2019-2020学年江苏省镇江市高二下学期期末数学试题(解析版)
江苏省盐城市2019-2020学年高二下学期期终数学试题(解析版)
江苏省盐城市2019—2020学年高二下学期期终考试数学试题一､单项选择题1.设命题p ：0x ∀>，sin x x >，则⌝p （ ）A. 0x ∃>，sin x x ≤B. 0x ∀>，sin x x ≤C. 0x ∃≤，sin x x ≤D. 0x ∀≤，sin x x ≤2.已知复数2311z i i i i =++++，则z =（ ）A-1B. 1D. 113.在二项式()12nx +的展开式中，有且只有第5项的二项式系数最大，则n =（ ） A. 6B. 8C. 7或9D. 104.低密度脂蛋白是一种运载胆固醇进入外周组织细胞的脂蛋白颗粒，可被氧化成氧化低密度脂蛋白，当低密度脂蛋白，尤其是氧化修饰的低密度脂蛋白过量时，它携带的胆固醇便积存在动脉壁上，久了容易引起动脉硬化，因此低密度脂蛋白被称为“坏的胆固醇”.为了调查某地中年人的低密度脂蛋白浓度是否与肥胖有关，随机调查该地100名中年人，得到2×2列联表如下：由此得出正确结论是（ ）A. 有10%的把握认为“该地中年人的低密度脂蛋白浓度与肥胖有关”B. 有10%的把握认为“该地中年人的低密度脂蛋白浓度与肥胖无关”C. 有90%的把握认为“该地中年人的低密度脂蛋白浓度与肥胖有关”D. 有90%的把握认为“该地中年人的低密度脂蛋白浓度与肥胖无关” 5.著名斐波那契数列{}n a 满足：121a a ==，21n n n a a a ++=+.人们通过研究发现其有许多优美的性质，如：记黄金分割比10.6182k =≈，若1n n a k a +>，则12n n a k a ++<；反之亦然.现记1n n n a b a +=，若从数列{}n b 的前7项中随机抽取2项，则这2项都大于k 的概率为（ ） A.47B.17C.57D. 276.若平行六面体1111—ABCD A B C D 的底面ABCD 是边长为2的菱形，且60BAD ∠=︒，1AA ⊥底面ABCD ，11AA =，则异面直线1AC 与1B C 所成角的余弦值为（ ）A.13B. C.15D. 15-7.A 、B 、C 、D 四名学生报名参加学校的甲、乙、丙、丁四个社团，若学生A 不参加甲社团，B 不参加乙社团，且四名学生每人报一个社团，每个社团也只有一人报名，则不同的报名方法数有（ ） A. 14B. 18C. 12D. 48.下列实数m 的取值范围中，能使关于x 的不等式ln()x m mx +≤恒成立的是（ ） A. (1,1)-B. (0,2)C. 2⎛⎤ ⎥ ⎝⎦D.二､多项选择题9.设点F ､直线l 分别是椭圆C ：22221x y a b+=(a>b>0)的右焦点､右准线，点P 是椭圆C 上一点，记点P 到直线l 的距离为d ，椭圆C 的离心率为e ，则2||d PF >的充分不必要条件有（ ）A. e ∈(0,12) B. e ∈(18,14) C. e ∈(14,12)D. e ∈(12,1) 10.为了对变量x 与y 的线性相关性进行检验，由样本点()11,x y 、()22,x y 、、()1010,x y 求得两个变量的样本相关系数为r ，那么下面说法中错误的有（ ） A. 若所有样本点都直线21y x =-+上，则1r =B. 若所有样本点都在直线21y x =-+上，则2r =-C. 若r 越大，则变量x 与y 的线性相关性越强D. 若r 越小，则变量x 与y 的线性相关性越强11.设d ，n S 分别为等差数列{}n a 的公差与前n 项和，若1020S S =，则下列论断中正确的有（ ） A. 当15n =时，n S 取最大值 B. 当30n =时，0n S = C. 当0d >时，10220a a +>D. 当0d <时，1022a a >12.设命题p ：若()(0)f x f >对任意的x ∈(0,2]都成立，则()f x 在[0,2]上是增函数，下列函数中能说明命题p 为假命题的有（ ） A. ()sin f x x = B. 2()f x x =C. 321()13f x x x x =-++ D. ()e 2ln(1)xf x x =-+三､填空题13.已知随机变量X 服从正态分布()210,N σ，0σ>，且()160.76P X ≤=，则()410P X <≤的值为____________.14.在二项式10的展开式中，有理项的个数为____________. 15.若正实数x ，y 满足1()y x y -=，则2x+y 的最小值为____________.16.设过双曲线C ：22221x y a b-=(a>0，b>0)的右焦点F (c ，0)的直线l 与其一条渐近线垂直相交于点A ，则点A 的横坐标可用a ，c 表示为____________；若l 与另一条渐近线交于点B ，且4FB FA =，则C 的离心率为____________.四､解答题17.设函数2()ln 2f x x mx x =-+-(m ∈R ).（1）当1m =时，求函数()f x 在1x =处的切线方程； （2）当32m =时，求函数()f x 的单调增区间. 18.①4516a a +=；②39S =；③2n S n r =+（r 为常数）这3个条件中选择1个条件，补全下列试题后完成解答，设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若数列{}n a 的各项均为正整数，且满足公差1d >，____________.（1）求数列{}n a 的通项公式；（2）令21n an b =+，求数列{}n b 的前n 项的和.19.如图，在斜三棱柱111—ABC A B C 中，AB=1，AC=2，13AC =，AB ⊥AC ，1A C ⊥底面ABC .（1）求直线1B C 与平面11ACC A 所成角的正弦值； （2）求平面11ACC A 与平面1AB C 所成锐二面角的余弦值.20.我国全力抗击“新冠疫情”对全球做出了巨大贡献，广大中小学生在这场“战疫”中也通过各种方式作出了贡献.某校团委准备组织一次“网上战疫”的宣传活动，活动包含4项子活动.现随机抽取了5个班级中的25名同学进行关于活动方案的问卷调查，其中关于4项子活动的赞同情况统计如下： 班级代码ABCDE合计 4项子活动全部赞同的人数 3 4 8 3 2 20 4项子活动不全部赞同的人数 1 1 0 2 1 5 合计问卷调查人数 4585325现欲针对4项子活动的活动内容作进一步采访调研，每项子活动采访1名学生.（1）若每项子活动都从这25名同学中随机选取1人采访，求4次采访中恰有1次采访的学生对“4项子活动不全部赞同”的概率；（2）若从A 班和E 班的被问卷调查者中各随机选取2人作为采访调研的对象，记选取的4人中“4项子活动全部赞同”的人数为X ，求随机变量X 的分布列与数学期望()E X .21.如图，平面直角坐标系xOy 中，已知直线l 与抛物线C ：24y x =切于点P (0x ,0y )，00x ≠.（1）用0y 表示直线l 的斜率；（2）若过点P 与直线l 垂直的直线交抛物线C 于另一点Q ，且OP ⊥OQ ，求0x 的值. 22.设函数()()1221x f x eax a x -=+-+（其中a 为实数）.（1）若0a >，求()f x 零点的个数；（2）求证：若1x =不是()f x 的极值点，则()f x 无极值点.江苏省盐城市2019—2020学年高二下学期期终考试数学试题一､单项选择题1.设命题p ：0x ∀>，sin x x >，则⌝p 为（ ） A. 0x ∃>，sin x x ≤ B. 0x ∀>，sin x x ≤ C. 0x ∃≤，sin x x ≤ D. 0x ∀≤，sin x x ≤【答案】A 【解析】 【分析】根据全称命题的否定形式，即可得出结论. 【详解】命题p ：0x ∀>，sin x x >， 则⌝p ：0x ∃>，sin x x ≤. 故选：A.【点睛】本题考查命题的否定，要注意量词之间的转换，属于基础题. 2.已知复数2311z i i i i =++++，则z =（ ）A. -1B. 1D. 11【答案】B 【解析】 【分析】由等比数列的求和公式及i 的性质求解即可. 【详解】1112432311(1)()111111i i i i i i i z i i i i i i i i----=++++=====-----,1z ∴==,故选：B【点睛】本题主要考查了虚数单位i 的性质，等比数列的求和公式，复数的除法运算，属于容易题. 3.在二项式()12nx +的展开式中，有且只有第5项的二项式系数最大，则n =（ ）A. 6B. 8C. 7或9D. 10【答案】B 【解析】 【分析】由二项式系数的对称性得知二项式()12nx +的展开式的项数，进而可求得n 的值.【详解】在二项式()12nx +的展开式中，有且只有第5项的二项式系数最大，则该二项式的展开式中共有9项，所以，19n +=，解得8n =. 故选：B.【点睛】本题考查二项式系数的对称性，确定二项展开式的项数是解题的关键，属于基础题.4.低密度脂蛋白是一种运载胆固醇进入外周组织细胞的脂蛋白颗粒，可被氧化成氧化低密度脂蛋白，当低密度脂蛋白，尤其是氧化修饰的低密度脂蛋白过量时，它携带的胆固醇便积存在动脉壁上，久了容易引起动脉硬化，因此低密度脂蛋白被称为“坏的胆固醇”.为了调查某地中年人的低密度脂蛋白浓度是否与肥胖有关，随机调查该地100名中年人，得到2×2列联表如下：由此得出的正确结论是（ ）A. 有10%的把握认为“该地中年人的低密度脂蛋白浓度与肥胖有关”B. 有10%的把握认为“该地中年人的低密度脂蛋白浓度与肥胖无关”C. 有90%把握认为“该地中年人的低密度脂蛋白浓度与肥胖有关”D. 有90%的把握认为“该地中年人的低密度脂蛋白浓度与肥胖无关” 【答案】C 【解析】根据列联表计算出2K ，然后借助于临界值表可得结论．【详解】由已知22100(1217863)8.4435 6.63575252080K ⨯⨯-⨯=≈>⨯⨯⨯，由临界值表知选项C 正确．故选：C ．【点睛】本题考查独立性检验，解题关键是计算出2K 的值，然后与临界值表对照即可得．5.著名的斐波那契数列{}n a 满足：121a a ==，21n n n a a a ++=+.人们通过研究发现其有许多优美的性质，如：0.618k =≈，若1n n a k a +>，则12n n a k a ++<；反之亦然.现记1n n n a b a +=，若从数列{}n b 的前7项中随机抽取2项，则这2项都大于k 的概率为（ ） A.47B.17C.57D. 27【答案】D 【解析】 【分析】先确定数列{}n b 的前7项中大于k 的项数，再根据古典概型概率公式求结果. 【详解】因为112=1a b k a =>，所以根据题中提供的性质得 1234567,,,,,,,b k b k b k b k b k b k b k ><><><>即数列{}n b 的前7项中大于k 的项数有4个，因此从数列{}n b 的前7项中随机抽取2项，则这2项都大于k 的概率为242762217C C == 故选：D【点睛】本题考查古典概型概率，考查基本分析求解能力，属基础题.6.若平行六面体1111—ABCD A B C D 的底面ABCD 是边长为2的菱形，且60BAD ∠=︒，1AA ⊥底面ABCD ，11AA =，则异面直线1AC 与1B C 所成角的余弦值为（ ）A.13B. C.15D. 15-【分析】设,AC BD 交于O ，1111,AC B D 交于1O ，连1OO ，可得1,,AB CD OO 两两互相垂直，以点O 为原点建立空间直角坐标系，确定11,,,A B C C 坐标，进而得到11,AC B C 的坐标，求出其夹角余弦，即可得出结论. 【详解】连,AC BD 交于O ，1111,AC B D 交于1O ，连1OO ，则11//OO AA ，1AA ⊥底面ABCD ，1OO ∴⊥底面ABCD ，底面ABCD 是边长为2的菱形，AC BD ∴⊥， 60,2,23BAD BD AC ∠=︒∴==，以点O 为坐标原点，1,,OA OB OO 所在的直线分别为,,x y z 轴建立空间直角坐标系，11(3,0,0),(0,1,1),(3,0,0),(3,0,1),A B C C -- 11(23,0,1),(3,1,1)AC B C =-=---，11111165cos ,13||||135AC B C AC B C AC B C ⋅<>===⨯，所以异面直线1AC 与1B C 所成角的余弦值为6513. 故选：A.【点睛】本题考查空间向量法求异面直线所成的角，考查计算求解能力，属于中档题.7.A 、B 、C 、D 四名学生报名参加学校的甲、乙、丙、丁四个社团，若学生A 不参加甲社团，B 不参加乙社团，且四名学生每人报一个社团，每个社团也只有一人报名，则不同的报名方法数有（ ） A. 14B. 18C. 12D. 4【分析】对学生A 是否参加乙社团进行分类讨论，结合分类加法计数原理可求得结果. 【详解】分以下两种情况讨论：①若学生A 参加乙社团，则其他三人的选择无限制，此时不同的报名方法种数为336A =；②若学生A 不参加乙社团，则学生A 有两种选择，则学生B 也有两种选择，其他两人的选择无限制，此时不同的报名方法数为22228A ⨯⨯=. 综上所述，不同的报名方法种数为6814+=. 故选：A.【点睛】本题考查排列组合综合问题，考查分类加法计数原理的应用，考查计算能力，属于中等题. 8.下列实数m 的取值范围中，能使关于x 的不等式ln()x m mx +≤恒成立的是（ ） A. (1,1)- B. (0,2)C. 2⎛⎤⎥ ⎝⎦D.【答案】C 【解析】 【分析】构造新函数()ln()f x x m mx =+-，利用导数求出它的最大值，由这个最大值0≤得出题设不等式恒成立的m 的范围，然后确定选项中集合是这个范围的子集即可．【详解】由题意ln()0x m mx +-≤恒成立，设()ln()f x x m mx =+-，则1()f x m x m'=-+，易知 若0m ≤，则()0f x '>恒成立，()f x 递增，()1()0f e m m e m -=-->，不合题意．所以0m >，()f x '在0x m +>时是减函数，由1()0f x m x m '=-=+得1x m m =-，当1m x m m-<<-时，()0f x '>，()f x 递增，当1x m m>-时，()0f x '<，()f x 递减， 所以1x m m =-时，()f x 取得极大值也是最大值2211()ln 1ln 1f m m m m m m-=-+=--，令2()ln 1g m m m =--，则22(12122()2m m m g m m m mm-+-'=-==，因为0m >，所以当02m <<时，()0g m '<，()g m 递减，当2m >时，()0g m '>，()g m 递增，由于(1)0g =，所以02g <，所以存在0(0,2m ∈，使得()0g m =，当01m m ≤≤时，()0g m ≤，原不等式成立，对照各选项，只有C 满足， 故选：C ．【点睛】本题考查不等式恒成立问题，可把问题转化为研究函数的最值，由这个最值满足相应的条件得出参数取值范围，注意本题中要选的是这个范围的子集，而不一定是这个范围本身．二､多项选择题9.设点F ､直线l 分别是椭圆C ：22221x y a b+=(a>b>0)的右焦点､右准线，点P 是椭圆C 上一点，记点P 到直线l 的距离为d ，椭圆C 的离心率为e ，则2||d PF >的充分不必要条件有（ ）A. e ∈(0,12) B. e ∈(18,14) C. e ∈(14,12)D. e ∈(12,1) 【答案】BC 【解析】 【分析】根据椭圆第二定义可得2||d PF >充要条件是102e <<，根据充分不必要条件关系，逐项判断即可. 【详解】依题意，||12||,2PF d PF d ><，即102e <<， 选项A ，是充要条件，所以不满足； 选项B ，C 中e 的范围均是1(0,)2的真子集， 所以满足充分不必要条件；选项D ，既不是充分条件也不是必要条件. 故选：B ，C.【点睛】本题考查充分不必要条件的判定，掌握椭圆第二定义是解题的关键，属于基础题. 10.为了对变量x 与y 的线性相关性进行检验，由样本点()11,x y 、()22,x y 、、()1010,x y 求得两个变量的样本相关系数为r ，那么下面说法中错误的有（ ） A. 若所有样本点都在直线21y x =-+上，则1r =B. 若所有样本点都在直线21y x =-+上，则2r =-C. 若r 越大，则变量x 与y 的线性相关性越强D. 若r 越小，则变量x 与y 的线性相关性越强【答案】ABD 【解析】 【分析】根据相关系数与变量x 与y 的线性相关性之间的关系可判断出各选项的正误.【详解】若所有样本点都在直线21y x =-+上，且直线斜率为负数，则1r =-，A 、B 选项均错误； 若r 越大，则变量x 与y 的线性相关性越强，C 选项正确，D 选项错误. 故选：ABD.【点睛】本题考查相关系数与线性相关性之间关系的判断，考查推理能力，属于基础题.11.设d ，n S 分别为等差数列{}n a 的公差与前n 项和，若1020S S =，则下列论断中正确的有（ ） A. 当15n =时，n S 取最大值 B. 当30n =时，0n S =C. 当0d >时，10220a a +>D. 当0d <时，1022a a >【答案】BC 【解析】 【分析】首先根据1020S S =，得到1292a d =-，再依次判断选项即可得到答案. 【详解】因为1020S S =，所以111092019102022a d a d ⨯⨯+=+，解得1292a d =-. 对选项A ，因为无法确定1a 和d 的正负性， 所以无法确定n S 是否有最大值，故A 错误. 对选项B ，13030292930301529022a d S d d ⨯⎛⎫=+=⨯-+⨯= ⎪⎝⎭， 故B 正确.对选项C ，()10221612921521502a a a a d d d d ⎛⎫+=2=+=-+=> ⎪⎝⎭，故C 正确.对选项D ，1012918119222a a d d d d =+=-+=-， 22129421321222a a d d d d =+=-+=，因为0d <，所以10112a d =-，22132a d =-，1022a a <，故D 错误.故选：BC【点睛】本题主要考查等差数列的性质，同时考查了前n 项和n S 的计算，属于简单题.12.设命题p ：若()(0)f x f >对任意的x ∈(0,2]都成立，则()f x 在[0,2]上是增函数，下列函数中能说明命题p 为假命题的有（ ） A. ()sin f x x = B. 2()f x x =C. 321()13f x x x x =-++ D. ()e 2ln(1)xf x x =-+【答案】A 【解析】 【分析】可根据初等函数的单调性，或利用导数先找到满足()(0)f x f >对任意的x ∈(0,2]都成立的函数，再分析函数在x ∈(0,2]上的单调性得到结论即可.【详解】因为()sin f x x =当x ∈(0,2]时，都有()(0)f x f >，但因为22π>，所以()sin f x x =在x ∈(0,2]上不单调，故A 可以；因为2()f x x =满足()(0)f x f >对任意的x ∈(0,2]都成立，2()f x x =在x ∈(0,2]上单调递增，故B 不可以；由321()13f x x x x =-++知22()21(1)0f x x x x '=-+=-≥， 所以函数321()13f x x x x =-++在R 上单调递增，当x ∈(0,2]时()(0)f x f >成立，即()(0)f x f >对任意的x ∈(0,2]都成立，()f x 在[0,2]上是增函数，故C 不可以，因为()e 2ln(1)xf x x =-+，所以2()1xf x e x '=-+为增函数，因为(0)10,(1)10f f e ''=-<=->， 所以存在0(0,1)x ∈使0()0f x '=，故函数在0(0,)x 上递减，在0(,2)x 上单调递增，不满足()(0)f x f >对任意的x ∈(0,2]都成立，故D 不可以. 故选：A.【点睛】本题主要考查了命题真假的判定，考查了利用导数求函数的值域，单调性，正弦函数的单调性、值域，属于难题.三､填空题13.已知随机变量X 服从正态分布()210,N σ，0σ>，且()160.76P X ≤=，则()410P X <≤的值为____________. 【答案】0.26 【解析】 【分析】根据随机变量X 服从正态分布()210,N σ，可得对称轴为10x =，再利用对称性即可得到答案. 【详解】因为随机变量X 服从正态分布()210,N σ，所以对称轴为10x =.所以()()1016160.50.26P X P X <≤=≤-=. 所以()()41010160.26P X P X <≤=<≤=. 故答案为：0.26【点睛】本题主要考查正态分布曲线的特点及曲线表示的意义，属于简单题.14.在二项式10的展开式中，有理项的个数为____________. 【答案】3 【解析】 【分析】先根据二项展开式通项公式确定有理项取法，再确定有理项个数. 【详解】35104110104()()2,0,1,2,,10r r rr r rr T C x C x r x--+==⋅⋅=所以当35,0,4,84rZ r -∈=时，为有理项，因此有理项的个数为3， 故答案为：3【点睛】本题考查二项展开式定理应用，考查基本分析求解能力，属基础题.15.若正实数x ，y 满足1()y x y -=，则2x+y 的最小值为____________.【答案】【解析】 【分析】先消去x ，再利用基本不等式求最值. 【详解】11()y x y x y y-=∴=+223x y y y ∴+=+≥=,当且仅当y =时取等号 因此2x+y的最小值为故答案为：【点睛】本题考查利用基本不等式求最值，考查基本分析求解能力，属基础题.16.设过双曲线C ：22221x y a b-=(a>0，b>0)的右焦点F (c ，0)的直线l 与其一条渐近线垂直相交于点A ，则点A 的横坐标可用a ，c 表示为____________；若l 与另一条渐近线交于点B ，且4FB FA =，则C 的离心率为____________.【答案】 (1). 2a c(2). 3【解析】 【分析】设双曲线的一条渐近线方程为： b y x a =，根据直线l 与之垂直，设直线方程为()ay x c b=-- ，联立()b y x a a y x c b ⎧=⎪⎪⎨⎪=--⎪⎩，解得A 的坐标，联立()b y x aa y x cb ⎧=-⎪⎪⎨⎪=--⎪⎩，解得B 的坐标，然后根据4FB FA =求解. 【详解】设双曲线C ：22221x y a b-=的一条渐近线方程为： b y x a =，因为过右焦点F (c ，0)的直线l 与之垂直，设直线为 ()ay x c b=-- ，联立()b y x a a y x c b ⎧=⎪⎪⎨⎪=--⎪⎩，解得 2a x c ab y c ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，所以2,a ab A c c ⎛⎫⎪⎝⎭， 联立()b y x a a y x c b ⎧=-⎪⎪⎨⎪=--⎪⎩，解得22222a c x a b abc y a b ⎧=⎪⎪-⎨⎪=-⎪-⎩，所以22222,⎛⎫- ⎪--⎝⎭a c abc B a b a b ， 因为4FB FA =，所以22224⎛⎫-=- ⎪-⎝⎭a ca c c abc ，化简得：422431180-+=c a c a ， 所以4231180-+=e e ， 解得283=e 或21e =（舍去），解得=e 故答案为：①2a c；②3【点睛】本题主要考查双曲线的几何性质以及向量共线的应用，还考查了运算求解的能力，属于中档题.四､解答题17.设函数2()ln 2f x x mx x =-+-(m ∈R ).（1）当1m =时，求函数()f x 在1x =处的切线方程； （2）当32m =时，求函数()f x 的单调增区间. 【答案】（1）0x y +=.（2）(1,)+∞ 【解析】 【分析】（1）由2()ln 2=-+-f x x x x ，求导， 求出(1)f ，(1)'f ，写出切线方程. （2）当32m =时，23()ln 22f x x x x =-+-，求导，然后由()0f x '>求解. 【详解】（1）当1m =时，2()ln 2=-+-f x x x x ，1()22'=-+-f x x x(1)=1∴-f ， (1)1'∴=-f()f x ∴在1x =处的切线方程为(1)(1),y x --=--即0x y +=. （2）当32m =时，23()ln 22f x x x x =-+-， 21321()32(0)x x f x x x x x'--∴=-+-=>令()0f x '>，得23210x x x-->0x ，23210∴-->x x ，解得13x <-(舍去)或1x >，()f x ∴的单调增区间是(1,)+∞.【点睛】本题主要考查导数的几何意义，导数与函数的单调性，还考查了运算求解的能力，属于中档题.18.①4516a a +=；②39S =；③2n S n r =+（r 为常数）这3个条件中选择1个条件，补全下列试题后完成解答，设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若数列{}n a 的各项均为正整数，且满足公差1d >，____________.（1）求数列{}n a 的通项公式；（2）令21n an b =+，求数列{}n b 的前n 项的和.【答案】条件选择见解析；（1）21n a n =-；（2）212233n n ++-.【解析】【分析】（1）选①，根据条件4516a a +=得出12716a d +=，由2d ≥且d N *∈，1a *∈N ，可求得d 和1a 的值，进而可求得等差数列{}n a 的通项公式；选②，由39S =得出13a d +=，由2d ≥且d N *∈，1a *∈N ，可求得d 和1a 的值，进而可求得等差数列{}n a 的通项公式；选③，由11,1,2n nn S n a S S n -=⎧=⎨-≥⎩可求得数列{}n a 的通项公式，求得数列{}n a 的公差，由该数列为等差数列求得r 的值，进而可得出数列{}n a 的通项公式； （2）求得2121n n b -=+，然后利用分组求和法可求得数列{}n b 的前n 项和.【详解】（1）由等差数列{}n a 各项均为正整数，且公差1d >，知2d d N *≥∈，，1a *∈N .选①，由4516a a +=得12716a d +=，由2d d N *≥∈，，1a *∈N ，得11a =，2d =，()1121n a a n d n ∴=+-=-；选②，由31339S a d =+=得13a d +=，由2d d N *≥∈，，1a *∈N ，得11a =，2d =，()1121n a a n d n ∴=+-=-；选③，由2n S n r =+得()()2112n S n r n -=-+≥，()()221121n n n a S S n r n r n -⎡⎤∴=-=+--+=-⎣⎦，则()()1211212n n a a n n +-=+---=⎡⎤⎣⎦，且23a =， 又111a S r ==+，且数列{}n a 是等差数列，则()213122a a r r -=-+=-=，得0r =，21n a n ∴=-；（2）由（1）知21n a n =-，212121n a n n b -∴=+=+， ()()()()32132112212121222n n n b b b n --∴+++=++++++=++++()21214221433n n n n +⨯-=+=+--，所以{}n b 的前n 项的和为212233n n ++-.【点睛】本题考查等差数列通项公式的求解以及分组求和法，涉及基本量法以及利用n S 求n a ，考查计算能力，属于中等题.19.如图，在斜三棱柱111—ABC A B C 中，AB=1，AC=2，13AC =，AB ⊥AC ，1A C ⊥底面ABC .（1）求直线1B C 与平面11ACC A 所成角的正弦值； （2）求平面11ACC A 与平面1AB C 所成锐二面角的余弦值. 【答案】（1）1010.（2）310【解析】 【分析】（1）以A 为原点，AB AC ，分别为x 轴，y 轴的正方向建立空间直角坐标系A xyz -，求得向量1B C 的坐标，再根据1A C ⊥底面ABC ，得到1A C AB ⊥，又AB AC ⊥，由线面垂直的判定定理得到AB ⊥平面11ACC A ，从而(1,0,0)AB =是平面11ACC A 的一个法向量，然后由111cos ,||||⋅<>=B C ABB C AB B C AB 求解.（2）由（1）知(1,0,0)AB =是平面11ACC A 的一个法向量，再求得平面1AB C 的一个法向量(,,)n x y z =，然后由cos ,||||⋅<>=n ABn AB n AB 求解.【详解】（1）以A 为原点，AB AC ，分别为x 轴，y 轴的正方向建立如图所示的空间直角坐标系A xyz -， 则(0,0,0)A ，(1,0,0)B ，(0,2,0)C ，1(0,2,3)A ，1(1,2,3)B ，则1(1,0,3)BC =--， ∵1A C ⊥底面ABC ，AB 底面ABC ，∴1A C AB ⊥，又∵AB AC ⊥，1AC C AC ⋂=， AC ⊂平面11ACC A ，1AC ⊂平面11ACC A ， ∴AB ⊥平面11ACC A ，∴(1,0,0)AB =是平面11ACC A 的一个法向量，∴111cos ,||||10B C AB B C AB BC AB ⋅<>===故所求直线1B C 与平面11ACC A （2）(0,2,0)AC =，1(1,2,3)AB =， 设(,,)n x y z =为平面1AB C 的一个法向量，则120230n AC y n AB x y z ⎧⋅==⎪⎨⋅=++=⎪⎩， 令1z =，得30x y =-=，，得平面1AB C 的一个法向量为(3,0,1)n =-，又由（1）得(1,0,0)AB =是平面11ACC A 的一个法向量， ∴cos ,10||||10n AB nAB n AB ⋅<>===-，故所求面11ACC A 与平面1AB C . 【点睛】本题主要考查线面角和二面角的向量求法，还考查了逻辑推理和运算求解的能力，属于中档题. 20.我国全力抗击“新冠疫情”对全球做出了巨大贡献，广大中小学生在这场“战疫”中也通过各种方式作出了贡献.某校团委准备组织一次“网上战疫”的宣传活动，活动包含4项子活动.现随机抽取了5个班级中的25名同学进行关于活动方案的问卷调查，其中关于4项子活动的赞同情况统计如下：现欲针对4项子活动的活动内容作进一步采访调研，每项子活动采访1名学生.（1）若每项子活动都从这25名同学中随机选取1人采访，求4次采访中恰有1次采访的学生对“4项子活动不全部赞同”的概率；（2）若从A 班和E 班的被问卷调查者中各随机选取2人作为采访调研的对象，记选取的4人中“4项子活动全部赞同”的人数为X ，求随机变量X 的分布列与数学期望()E X . 【答案】（1）256625.（2）分布列答案见解析，数学期望：176【解析】 【分析】（1）先求出事件“任选1人对4项子活动不全部赞同”的概率，问题就是求4次试验中这个事件恰好发生一次的概率，由此可计算概率；（2）A 班中4项子活动全部赞同的人数共有3人，不全部赞同的有1人，E 班中4项子活动全部赞同的人数共有2人，不全部赞同的有1人，因此X 的可能值为2，3，4，分别计算出概率可得分布列，再由期望公式计算出期望．【详解】（1）设4次采访中恰有1次采访的学生对“4项子活动不全部赞同”为事件A ， ∵25名同学中4项子活动全部赞同的人数为20人，不全部赞同的人数为5人， ∴从中任选1人对4项子活动不全部赞同的概率为51255=， ∴所求事件的概率为113411256()()(1)55625P A C =-= （2）2,3,4X =，1111312122431(2)3C C C C P X C C ==⨯=，2011112031312121222243431(3)2C C C C C C C C P X C C C C ==⨯+⨯=，2020312122431(4)6C C C C P X C C ==⨯=， 故X 的分布列为X 2 3 4P131216则X 的数学期望为11117()2343266E X =⨯+⨯+⨯=． 【点睛】本题考查独立重复试验恰好发生k 次概率，考查随机变量的概率分布列和数学期望，解题关键是确定随机变量的所有可能取值．21.如图，平面直角坐标系xOy 中，已知直线l 与抛物线C ：24y x =切于点P (0x ,0y )，00x ≠.（1）用0y 表示直线l 的斜率；（2）若过点P 与直线l 垂直的直线交抛物线C 于另一点Q ，且OP ⊥OQ ，求0x 的值.【答案】（1）02y .（2）2 【解析】 【分析】（1）首先设直线l 的方程为2004y y y k x ⎛⎫-=- ⎪⎝⎭，联立24y x =，得到2200440ky y y ky -+-=，再利用0∆=即可得到答案.（2）首先设直线PQ 的方程为200024y y y y x ⎛⎫-=-- ⎪⎝⎭，联立24y x =解得008Q y y y =--. 再利用OP OQ ⊥解得022y =±24y x =即可得到0x 的值.【详解】（1）因直线l 与抛物线相切于点()00,P x y ，2004y x =，00x ≠，所以直线l 的斜率存在，设为k ，直线l 的方程为()2004y y y k x x k x ⎛⎫-=-=- ⎪⎝⎭，联立24y x =，得220044y y y y k ⎛⎫-=- ⎪⎝⎭，化简得2200440ky y y ky -+-=， 显然0k ≠，由()()22004440k y ky ∆=---=，整理得：()200440ky ky -+=，解得02k y =. （2）由（1）知02PQy k =-，所以直线PQ 的方程为200024y y y y x ⎛⎫-=-- ⎪⎝⎭，将24y x =代入得22000244y y y y y ⎛⎫-=-- ⎪⎝⎭， 整理得23000880y y y y y +--=，2008Q y y y ∴=--，008Q y y y =--， 由OP OQ ⊥，得0OP OQ ⋅=，则220000016QQ Q Q y y x x y y y y +=+=，显然00Q y y ≠，从而016Q y y =-， 即0008()16y y y --=-，解得0y =± 所以20024y x ==，所以当OP OQ ⊥时，0x 的值为2 .【点睛】本题主要考查直线与抛物线的位置关系，同时考查学生的计算能力，属于中档题. 22.设函数()()1221x f x eax a x -=+-+（其中a 为实数）.（1）若0a >，求()f x 零点的个数；（2）求证：若1x =不是()f x 的极值点，则()f x 无极值点. 【答案】（1）有2个零点；（2）证明见解析. 【解析】【分析】（1）求得函数()y f x =的导数，利用导数分析函数()y f x =的单调性，结合零点存在定理判断出函数()y f x =在区间(),1-∞和[)1,+∞上的零点个数，由此可得出结论；（2）分析出当0a ≥时，1x =是函数()y f x =的极值点，在0a <时，求得()f x ''，可知函数()y f x ''=在R 上单调递增，令()0f x ''=得()1ln 2x a =+-，对()1ln 2a +-与1的大小进行分类讨论，利用导数分析函数()y f x =的单调性，由此可证得结论. 【详解】（1）由题意得()()()()11221121x x f x eax a e a x --'=+-+=-+-，所以()10f '=，又()12x f x e a -''=+，且0a >，所以()0f x ''>恒成立，从而函数()y f x '=在R 上单调递增，所以当(),1x ∈-∞时，()0f x '<；当()1,x ∈+∞时，()0f x '>. 则函数()y f x =在(),1-∞上单调递减，在()1,+∞上单调递增， 因为()10f a =-<，()100f e=>，函数()y f x =在(,1]-∞上单调递减且图象连续不断， 所以函数()y f x =在(),1-∞上恰有1个零点，因为()10f a =-<，()220f e =->，函数()y f x =在[)1,+∞上单调递增且图象连续不断， 所以函数()y f x =在[)1,+∞上恰有1个零点， 综上所述，当0a >时，函数()y f x =有2个零点；（2）由（1）知，当0a >时，函数()y f x '=在R 上单调递增， 又()10f '=，当1x <时，()0f x '<；当1x >时，()0f x '>. 所以，1x =是函数()y f x =的极小值点.同理当0a =时，1x =也是函数()y f x =的极小值点. 当0a <时，由()120x f x ea -''=+=得()1ln 2x a =+-，且()y f x ''=在R 上单调递增.所以当()1ln 2x a <+-时，()0f x ''<；当()1ln 2x a >+-时，()0f x ''>，从而函数()y f x '=在()(),1ln 2a -∞+-上单调递减；在()()1ln 2,a +-+∞上单调递增. 若()1ln 21a +-<，即102a -<<，则当()()1ln 2,1x a ∈+-时，()0f x '<，当()1,x ∈+∞时，()0f x '>，则1x =是函数()y f x =的极值点； 同理若()1ln 21a +->，即12a <-，则1x =也是函数()y f x =的极值点；若()1ln 21a +-=，即12a =-，()0f x '≥，则函数()y f x =在R 上单调递增，此时1x =不是函数()y f x =的极值点.综上可知，若1x =不是函数()y f x =的极值点，则12a =-，函数()y f x =在R 上单调递增，从而函数()y f x =无极值点.【点睛】本题考查利用导数研究函数的零点，同时也考查了利用导数研究函数的极值点，考查分类讨论思想的应用，属于难题.。
精品解析：江苏省苏州中学2019-2020学年高二下学期阶段调研数学试题(解析版)
高二数学阶段调研一、单选题（共8题，共40分）1.若i 是虚数单位，复数21ii-=+( ) A.1322i + B. 1322i -C.3322i + D.3322i - 【答案】B 【解析】 【分析】 将2i1i-+的分子分母都乘以分母的共轭复数1i -，即可化简出． 【详解】()()()()2i 1i 2i 13i 13i1i 1i 1i 222----===-++-Q ， 故选B ．【点睛】本题考查复数的除法运算，关键是将其分子分母都乘以分母的共轭复数．2.设复数z ＝﹣1+2i ，（i 为虚数单位），则复数z 的共轭复数z 在复平面上对应的点位于（ ） A. 第一象限 B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限【答案】C 【解析】 【分析】写出共轭复数以及其对应点的坐标即可判断.【详解】因为复数z ＝﹣1+2i ，故其共轭复数为12i --， 则其对应的点为()1,2--,该点在第三象限. 故选：C .【点睛】本题考查共轭复数的求解，以及复数在复平面内对应点的求解.3.一个物体的运动方程为21s t t =-+，其中s 的单位是米，t 的单位是秒，那么物体在3秒末的瞬时速度是（ ） A. 5米/秒 B. 6米/秒C. 7米/秒D. 8米/秒【答案】A 【解析】【分析】由物体的运动方程为21s t t =-+，得()12s t t '=-+，代入3t =，即可求解，得到答案． 【详解】由题意，物体的运动方程为21s t t =-+，则()12s t t '=-+， 所以物体在3秒末的瞬时速度是(3)1235s '=-+⨯=米/秒，故选A ．【点睛】本题主要考查了导数的计算，以及瞬时速度的计算，其中解答中熟悉导数的计算公式和瞬时速度的概念是解答的关键，着重考查了运算与求解能力，属于基础题．4.函数e xy x=在()0,2上的最小值是（ ）A.2e B.2eC.23e D. e【答案】D 【解析】 【分析】利用导数分析函数e xy x =在区间()0,2上的单调性，进而可求得该函数在区间()0,2上的最小值.【详解】xe y x =Q ，()21x e x y x-'∴=，令0y '=，可得1x =. 当01x <<时，0y '<；当12x <<时，0y '>.所以，函数e xy x=在1x =处取得极小值，亦即最小值，即min y e =.故选：D.【点睛】本题考查利用导数求函数在区间上的最值，考查计算能力，属于基础题.5.复数z 满足)i 1z =,则z =A. 1B.C. 2D. 【答案】A 【解析】由题知)(()()1-3i3-i1-3i z===-i 3+i 3+i3-i ，则()22011z =+-=．故本题答案选A ．6.如图，函数()y f x =的图象在点()()5,5P f 处的切线方程是()()855y x f f =-++'=，则A.12B. 1C. 2D. 0【答案】C 【解析】【详解】()()553(1)2f f '+=+-=，选C7.欧拉公式cos sin ix e x i x =+（i 为虚数单位）是由著名数学家欧拉发明的，他将指数函数定义域扩大到复数，建立了三角函数和指数函数的关系，根据欧拉公式，若将2i e π表示的复数记为z ，则(12)z i +的值为（ ） A .2i -+B. 2i --C. 2i +D. 2i -【答案】A 【解析】 【分析】根据欧拉公式求出2cossin22iz e i i πππ==+=，再计算(12)z i +的值.【详解】∵2cossin22iz e i i πππ==+=，∴(12)(12)2z i i i i +=+=-+. 故选：A.【点睛】此题考查复数的基本运算，关键在于根据题意求出z .8.已知函数()f x lnx x k =-++，在区间1[,]e e上任取三个实数a ，b ，c 均存在以(),(),()f a f b f c 为边长的三角形，则实数k 的取值范围是( ) A. (,1)-∞- B. (,3)e -∞-C. (1,)-+∞D. (3,)e -+∞【答案】D 【解析】 【分析】由条件可得2()()min max f x f x >且()0min f x >，再利用导数求得函数的最值，从而得出结论． 【详解】任取三个实数a ，b ，c 均存在以(),(),()f a f b f c 为边长的三角形， 等价于()()()+>f a f b f c 恒成立，可转化为2()()min max f x f x >，且()0min f x >． 令11()10x f x x x-'=-+==得1x =． 当11x e<<时，()0f x '<；当1x e <<时，()0f x '>； 所以当1x =时，min ()(1)1f x f k ==+，11(){(),()}1,11max f x max f f e max k e k e k e e ⎧⎫==++-+=-+⎨⎬⎩⎭，从而可得2(1)110k e kk +>-+⎧⎨+>⎩，解得3k e >-.故选：D ．【点睛】本题考查利用导数研究函数的单调性、最值、不等式恒成立问题，考查函数与方程思想、转化与化归思想、分类讨论思想，考查逻辑推理能力、运算求解能力．二、多选题（共4题，共20分）9.如果函数()y f x =的导函数的图象如图所示，则下述判断正确的是（ ）A. 函数()y f x =在区间13,2⎛⎫-- ⎪⎝⎭内单调递增B. 函数()y f x =在区间1,32⎛⎫- ⎪⎝⎭内单调递减 C. 函数()y f x =在区间()4,5内单调递增 D. 当2x =时，函数()y f x =有极大值 【答案】CD 【解析】 【分析】根据导函数符号与函数单调性的关系可判断各选项的正误.【详解】对于A 选项，当32x -<<-时，()0f x '<，则函数()y f x =在区间()3,2--上单调递减，A 选项错误； 对于B 选项，当122x -<<时，()0f x '>，则函数()y f x =在区间1,22⎛⎫- ⎪⎝⎭上单调递增，B 选项错误；对于C 选项，当45x <<时，()0f x '>，则函数()y f x =在区间()4,5上单调递增，C 选项正确； 对于D 选项，当22x -<<时，()0f x '>，当24x <<时，()0f x '<，所以，函数()y f x =在2x =处取得极大值，D 选项正确. 故选：CD.【点睛】本题考查利用导函数的图象判断函数的单调性与极值，考查推理能力，属于中等题.10.已知函数()32f x x ax bx c =+++，[]2,2x ∈-表示的曲线过原点，且在1x =±处的切线斜率均为1-，以下命题正确的是（ ）A. ()f x 的解析式为()34f x x x =-，[]2,2x ∈-B. ()f x 的极值点有且仅有一个C. ()f xD. ()f x 的最大值与最小值之和等于零 【答案】ACD 【解析】 【分析】根据题意得出关于a 、b 、c 的方程组，求出a 、b 、c 的值，可判断A 选项的正误，利用导数可判断B 、C 、D 的正误，综合可得出结论.【详解】()32f x x ax bx c =+++Q ，()232f x x ax b '∴=++，由题意可得()()()0013211321f c f a b f a b ''⎧==⎪=++=-⎨⎪-=-+=-⎩，解得040a b c =⎧⎪=-⎨⎪=⎩，则()34f x x x =-，[]2,2x ∈-，()234f x x '=-，令()0f x '=，得[]2,2x =-.当2x -≤<2x <≤时，()0f x '>；当x <<时，()0f x '<. 所以，函数()y f x =有两个极值点，且函数()y f x =的极大值为39f ⎛-= ⎝⎭，极小值为39f ⎛=- ⎝⎭. ()()()()3224202f f -=--⨯-==Q ，所以，()max f x =()min9f x =-. 所以，函数()y f x =的最大值和最小值之和为零. 综上所述，A 、C 、D 选项正确，B 选项错误. 故选：ACD.【点睛】本题考查利用导数求解函数的极值点、极值和最值，考查计算能力，属于中等题. 11.已知复数z 对应复平面内点A ，则下列关于复数z 、1z 、2z 结论正确的是（ ） A. 2z i +表示点A 到点()0,2的距离B. 若123z z i -++=，则点A 的轨迹是椭圆C. 121212z z z z z z -≤+≤+D. 1212||z z z z =⋅ 【答案】BCD 【解析】 【分析】利用复数的几何意义可判断A 选项的正误；利用椭圆的定义可判断B 选项的正误；利用复数模的三角不等式可判断C 选项的正误；利用复数的乘法运算和模长公式可判断D 选项的正误.综合可得出结论.【详解】对于A 选项，设点(),A x y ，则z x yi =+，()22z i x y i +=++=则2z i +表示点A 到点()0,2-的距离，A 选项错误；对于B 选项，由复数的几何意义可知，123z z i -++=表示点A 到点()1,0M 和点()0,2N -的距离之和为3，且3MN =<，所以，点A 的轨迹是椭圆，B 选项正确；对于C 选项，由复数模的三角不等式可得121212z z z z z z -≤+≤+，C 选项正确； 对于D 选项，设1z a bi =+，2z x yi =+，则()()()()12z z a bi x yi ax by ay bx i =++=-++，1212z z z z ∴====，D 选项正确. 故选：BCD.【点睛】本题考查复数模的几何意义相关命题真假的判断，涉及椭圆定义、三角不等式的应用，考查推理能力，属于中等题.12.以下命题正确的是（ ）A. 0a =是z a bi =+为纯虚数的必要不充分条件B. 满足210x +=的x 有且仅有iC. “在区间(),a b 内()0f x '>”是“()f x 在区间(),a b 内单调递增”的充分不必要条件D. 已知()f x =()1878f x x '=【答案】AC 【解析】 【分析】利用纯虚数的概念以及必要不充分条件的定义可判断A 选项的正误；解方程210x +=可判断B 选项的正误；利用导数与函数单调性的关系结合充分不必要条件的定义可判断C 选项的正误；利用基本初等函数的导数公式可判断D 选项的正误.综合可得出结论.【详解】对于A 选项，若复数z a bi =+为纯虚数，则0a =且0b ≠，所以，0a =是z a bi =+为纯虚数的必要不充分条件，A 选项正确； 对于B 选项，解方程210x +=得x i =±，B 选项错误；对于C 选项，当(),x a b ∈时，若()0f x '>，则函数()f x 在区间(),a b 内单调递增， 即“在区间(),a b 内()0f x '>”⇒“()f x 在区间(),a b 内单调递增”.反之，取()3f x x =，()23f x x '=，当()1,1x ∈-时，()0f x '≥，此时，函数()y f x =在区间()1,1-上单调递增，即“在区间(),a b 内()0f x '>”⇐/“()f x 在区间(),a b 内单调递增”.所以，“在区间(),a b 内()0f x '>”是“()f x 在区间(),a b 内单调递增”的充分不必要条件. C 选项正确；对于D 选项，()11172488f x xx ++===，()1878f x x -'∴=，D 选项错误.故选：AC.【点睛】本题考查命题真假的判断，涉及充分条件与必要条件的判断、实系数方程的根以及导数的计算，考查推理能力与计算能力，属于中等题.三、填空题（共4题；共20分）13.复数()1i i +（i 是虚数单位）的虚部为______． 【答案】1 【解析】 【分析】先将复数化简，再求虚部即可【详解】()11i i i +=-+，所以复数的虚部为：1 故答案为1【点睛】本题考查复数的基本概念，在复数z a bi =+中，实部为a ，虚部为b ，属于基础题14.已知在复平面上的ABCD Y 中，AC u u u r 对应的复数为68i +，BD u u u r对应的复数为46i -+，则向量DA u u u r 对应的复数为_________. 【答案】17i -- 【解析】【分析】DA uuu r 表示为1()2CA DB +u uu r u u u r ，代入相对应的复数即可得解.【详解】设ABCD Y 的对角线AC 与BD 相交于点P ，由向量加减法的几何意义可得111()222C DA PA PD CA B A DB D =-=-=+u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r ，所以DA uuu r 对应的复数为1(6846)172i i i --+-=--.故答案为：17i --【点睛】本题考查复数的几何意义，属于基础题.15.如图，酒杯的形状为倒立的圆锥.杯深8cm ，上口宽6cm ，水以320/cm s 的流量倒入杯中，则当水深为4cm 时，时刻t =________s ，水升高的瞬时变化率v =_________/cm s .【答案】 (1). 320π (2). 809π【解析】 【分析】计算出当水深为4cm 时，水的体积，然后除以流速可得出时刻t 的值，设水的深度为hcm ，求出h 关于t 的函数表达式，利用导数可求得当水深为4cm 时，水升高的瞬时变化率.【详解】当水深为4cm 时，酒杯中水面的半径为32cm ，此时水的体积为2134332V ππ⎛⎫=⨯⨯= ⎪⎝⎭，由题意可得203t π=，可得320t s π=； 设水的深度为hcm ，水面半径为rcm ，则83h r =，则38r h =， 由题意可得22311332033864t r h h h h πππ⎛⎫==⨯⨯= ⎪⎝⎭，1312803t h π⎛⎫∴= ⎪⎝⎭， 12331128033h tπ-⎛⎫'=⨯ ⎪⎝⎭，当320t π=时，()123311280380/33209h cm s πππ-⎛⎫⎛⎫'=⨯⨯= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭. 故答案为：320π；809π. 【点睛】本题考查变化的快慢与变化率，正确解答本题关键是得出高度关于时间的函数关系，然后利用导数求出高度为4时刻的导数值，即得出此时的变化率，本题是一个应用题求解此类题，正确理解题意很关键．由于所得的解析式复杂，解题时运算量较大，要认真解题避免因为运算出错导致解题失败． 16.若12sin a x x a x ≤≤对任意的0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦都成立，则21a a -的最小值为________. 【答案】21π-【解析】 【分析】作出函数sin y x =在区间0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的图象，利用图象可知，当直线2y a x =与曲线sin y x =图象相切于原点时，2a 取最小值，当直线1y a x =过点,12π⎛⎫⎪⎝⎭时，1a 取最大值，进而可求得21a a -的最小值. 【详解】如下图所示：对于函数sin y x =求导得cos y x '=，当0x =时，1y '=.由于12sin a x x a x ≤≤对任意的0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦都成立， 当直线2y a x =与曲线sin y x =图象相切于原点时，2a 取最小值1；当直线1y a x =过点,12π⎛⎫⎪⎝⎭时，1a 取最大值10202ππ-=-. 因此，21a a -的最小值为21π-.故答案为：21π-.【点睛】本题考查利用函数不等式求参数，解答的关键就是找出直线与曲线的临界位置，考查数形结合思想的应用，属于中等题.四、解答题（共6题；共70分）17.计算：（1）()()5433i i ++--； （2）()101i +.【答案】（1）2i +；（2）32i . 【解析】 【分析】（1）利用复数的加法法则可求得结果；（2）计算出()21i +的值，进而利用复数的乘方法则可得出结果. 【详解】（1）原式()()53432i i =-+-=+；（2）()212i i +=Q ，因此，()()()5102551123232i i i i i ⎡⎤+=+===⎣⎦.【点睛】本题考查复数的计算，考查复数的四则运算法则的应用，考查计算能力，属于基础题. 18.已知函数()ln f x x x =.（1）求函数的图象在点x e =处的切线方程； （2）求函数的极值.【答案】（1）2y x e =-；（2）极小值为1e-. 【解析】 【分析】（1）求出()f e 和()f e '的值，利用点斜式可得出所求切线的方程；（2）利用导数求出函数()y f x =的极值点，列表分析函数()y f x =的单调性，进而可求得函数()y f x =的极值.【详解】（1）()ln f x x x =Q ，()ln 1f x x '∴=+，则()f e e =，()2f e '=， 因此，函数()y f x =的图象在点x e =处的切线方程为()2y e x e -=-，即2y x e =-； （2）函数()ln f x x x =的定义域为()0,∞+，且()0f x '=，得1x =，列表如下：所以，函数()y f x =的单调递减区间为10,e ⎛⎫ ⎪⎝⎭，单调递增区间为1,e ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭， 则函数()y f x =在1x e=处取得极小值，且极小值为11e e f ⎛⎫=- ⎪⎝⎭.【点睛】本题考查利用导数求函数图象的切线方程，同时也考查了利用导数求函数的极值，考查计算能力，属于基础题.19.已知O 为坐标原点，向量1OZ u u u u r 、2OZ u u u u r 分别对应复数1z 、2z ，且()213105z a i a =+-+，()()22251z a i a R a=+-∈-.若12z z +是实数. （1）求实数a 的值； （2）求以1OZ 、2OZ 为邻边的平行四边形的面积. 【答案】（1）3a =；（2）118. 【解析】 【分析】（1）求出1z 和2z ，由复数12z z +是实数，可求得实数a 的值；（2）求出1OZ u u u u r 和2OZ u u u u r，利用平面向量的数量积求出12cos Z OZ ∠，进一步求出12sin Z OZ ∠，结合三角形的面积公式可求得所求四边形的面积.【详解】（1）由题意可得()213105z a i a =--+， ()22251z a i a =+--Q ，则()2123221551z z a a i a a+=+++-+-，由于复数12z z +是实数，则221505010a a a a ⎧+-=⎪+≠⎨⎪-≠⎩，解得3a =；（2）由（1）可得138z i =+，21z i =-+，则点13,18Z ⎛⎫⎪⎝⎭，()21,1Z -，因此，以1OZ 、2OZ 为邻边的平行四边形的面积为121118S Z Z =⨯=. 【点睛】本题考查利用复数类型求参数，同时也考查了四边形面积的计算，涉及平面向量数量积的应用，考查计算能力，属于中等题. 20.已知函数()323f x x ax x =--.（1）若4a =时，求()f x 在[]1,4x ∈上的最大值和最小值； （2）若()f x 在[)2,x ∈+∞上是增函数，求实数a 的取值范围. 【答案】（1）最大值为6-，最小值为18-；（2）9,4⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦.【解析】 【分析】（1）利用导数求出函数()y f x =在区间[]1,4上的极值，并与()1f 和()4f 的值，由此可得出函数()y f x =在区间[]1,4上的最大值和最小值；（2）由题意可得出()0f x '≥对任意的[)2,x ∈+∞恒成立，利用参变量分离法得出323a x x≤-，求出函数33y x x=-在区间[)2,+∞上的最小值，由此可求得实数a 的取值范围. 【详解】（1）当4a =时，()3243f x x x x =--，()()()2383313f x x x x x '∴=--=+-， 令()0f x '=，由于[]1,4x ∈，则3x =，列表如下：所以，函数()y f x =在区间[)1,3上单调递减，在区间(]3,4上单调递增， 当[]1,4x ∈时，()()min 318f x f ==-， 又()16f =-Q ，()412f =-，则()()max16f x f ==-；（2）()323f x x ax x =--Q ，()2323f x x ax '∴=--，由题意可知，()0f x '≥对任意的[)2,x ∈+∞恒成立，则323a x x≤-， 函数33y x x =-在区间[)2,+∞上为增函数，则min 39622y =-=，所以，922a ≤，即94a ≤.因此，实数a 的取值范围是9,4⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦.【点睛】本题考查利用导数求函数的最值，同时也考查了利用函数在区间上的单调性求参数，考查运算求解能力，属于中等题.21.如图，OA 是南北方向的一条公路，OB 是北偏东45︒方向的一条公路，某风景区的一段边界为曲线C ．为方便游客光，拟过曲线C 上的某点分别修建与公路OA ，OB 垂直的两条道路PM ，PN ，且PM ，PN 的造价分别为5万元/百米，40万元/百米，建立如图所示的直角坐标系xOy ，则曲线符合函数42(19)y x x =+剟模型，设PM x =，修建两条道路PM ，PN 的总造价为()f x 万元，题中所涉及的长度单位均为百米． （1）求()f x 解析式；（2）当x 为多少时，总造价()f x 最低？并求出最低造价．【答案】（1）232()5()(19)f x x x x =+剟；（2）当4x =时，总造价最低，最低造价为30万元． 【解析】 【分析】（1）求出P 的坐标，直线OB 的方程，点P 到直线0x y -=的距离，即可求()f x 解析式； （2）利用导数的方法最低造价．【详解】解：（1）在如图所示的直角坐标系中，因为曲线C 的方程为2429)y x x x =+剟， 所以点P 坐标为42(,x x ， 直线OB 的方程为0x y -=， 则点P 到直线0x y -=24242|()|422x x x x x -=，又PM 的造价为5万元/百米，PN 的造价为40万元/百米． 则两条道路总造价为22432()5405()(19)f x x x x x x =+=+g 剟． （2）因为22432()5405()(19)f x x x x x x=+=+g 剟， 所以333645(64)()5(1)x f x x x -'=-=，令()0f x '=，得4x =，列表如下：所以当4x =时，函数()f x 有最小值，最小值为232(4)5(4)304f =+=． 答：（1）两条道路PM ，PN 总造价()f x 为232()5()(19)f x x x x=+剟； （2）当4x =时，总造价最低，最低造价为30万元．【点睛】本题考查利用数学知识解决实际问题，考查导数知识的运用，确定函数的解析式是关键． 22.已知函数1()ln f x x a x x=-+． （1）讨论()f x 的单调性；（2）若()f x 存在两个极值点12,x x ，证明：()()12122f x f x a x x -<--．【答案】（1）见解析；（2）见解析 【解析】分析：(1)首先确定函数定义域，之后对函数求导，之后对a 进行分类讨论，从而确定出导数在相应区间上的符号，从而求得函数对应的单调区间；(2)根据()f x 存在两个极值点，结合第一问的结论，可以确定2a >，令'()0f x =，得到两个极值点12,x x 是方程210x ax -+=的两个不等的正实根，利用韦达定理将其转换，构造新函数证得结果.详解：（1）()f x 的定义域为()0,+∞，()222111a x ax f x x x x-+=--+-'=. （i ）若2a ≤，则()0f x '≤，当且仅当2a =，1x =时()0f x '=，所以()f x 在()0,+∞单调递减.（ii ）若2a >，令()0f x '=得，x =或x =.当x ⎛⎫∈⋃+∞ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭时，()0f x '<；当x ⎝⎭时，()0f x '>.所以()fx ,⎛⎫+∞ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭单调递减，在⎝⎭单调递增. （2）由（1）知，()f x 存在两个极值点当且仅当2a >.由于()f x 的两个极值点12,x x 满足210x ax -+=，所以121x x =，不妨设12x x <，则21x >.由于()()12121221212121222ln ln ln ln 2ln 11221f x f x x x x x x a a ax x x x x x x x x x ----=--+=-+=-+----， 所以()()12122f x f x a x x -<--等价于22212ln 0x x x -+<.设函数()12ln g x x x x=-+，由（1）知，()g x 在()0,+∞单调递减，又()10g =，从而当()1,x ∈+∞时，()0g x <.所以22212ln 0x x x -+<，即()()12122f x f x a x x -<--. 点睛：该题考查的是应用导数研究函数的问题，涉及到的知识点有应用导数研究函数的单调性、应用导数研究函数的极值以及极值所满足的条件，在解题的过程中，需要明确导数的符号对单调性的决定性作用，再者就是要先保证函数的生存权，先确定函数的定义域，要对参数进行讨论，还有就是在做题的时候，要时刻关注第一问对第二问的影响，再者就是通过构造新函数来解决问题的思路要明确.。
江苏省苏州市2019-2020年度数学高二下学期理数期末考试试卷(I)卷
江苏省苏州市2019-2020年度数学高二下学期理数期末考试试卷（I）卷姓名:________ 班级:________ 成绩:________一、单选题 (共12题；共24分)1. （2分）已知集合，集合，则等于（）A .B .C .D .2. （2分）已知实数a,b满足a+b>0,b<0，则a,b,-a,-b的大小关系是（）A . a>-b>b>-aB . a>b>-b>-aC . a>-b>-a>bD . a>b>-a>-b3. （2分） (2019高一上·临河月考) 函数的定义域是（）A .B .C .D .4. （2分） (2019高一上·集宁月考) 函数y=log （5+4x-x2）的单调递增区间为（）A . (2, 5)B . (-1,2)C . (-∞,2)D . (2,+∞)5. （2分）(2020·兴平模拟) “ ”是“ ”的（）条件A . 充分不必要B . 必要不充分C . 充要D . 既不充分也不必要6. （2分） (2017高一下·长春期末) 若x, y满足约束条件 ,则z=x+2y的取值范围是（）A .B .C .D .7. （2分）函数的单调递减区间是（）A .B .C .D .8. （2分） (2018高二上·宁德期中) 已知，函数的最小值是A . 6B . 5C . 4D . 39. （2分） (2016高一上·汉中期中) 定义在R上的偶函数在[0，7]上是增函数，又f（7）=6，则f（x）（）A . 在[﹣7，0]上是增函数，且最大值是6B . 在[﹣7，0]上是减函数，且最大值是6C . 在[﹣7，0]上是增函数，且最小值是6D . 在[﹣7，0]上是减函数，且最小值是610. （2分）下列函数中，在其定义域内既是奇函数又是减函数的是（）A .B .C .D .11. （2分）某企业为节能减排，用9万元购进一台新设备用于生产．第一年需运营费用2万元，从第二年起，每年运营费用均比上一年增加2万元，该设备每年生产的收入均为11万元．设该设备使用了n（n∈N*）年后，年平均盈利额达到最大值（盈利额等于收入减去成本），则n等于（）A . 6B . 5C . 4D . 312. （2分） (2017高三上·静海开学考) 已知x∈（0，+∞）时，不等式9x﹣m•3x+m+1＞0恒成立，则m的取值范围是（）A . 2﹣2 ＜m＜2+2B . m＜2C . m＜2+2D . m二、填空题 (共3题；共3分)13. （1分） (2016高一上·仁化期中) 用“二分法”求方程x3﹣2x﹣5=0，在区间[2，3]内的实根，取区间中点为x0=2.5，那么下一个有根的区间是________．14. （1分）(2020·鹤壁模拟) 已知函数在函数的零点个数________．15. （1分）命题“∀x∈R，x2+x+1＞0”的否定是________ ．三、解答题 (共7题；共51分)16. （1分）函数g（x）是函数f（x）=loga（x﹣2）（a＞0，且a≠1）的反函数，则函数g（x）的图象过定点________17. （10分） (2018高二下·张家口期末) 在平面直角坐标系中，曲线的参数方程为（为参数），曲线的参数方程为（为参数），以坐标原点为极点，轴正半轴为极轴建立极坐标系，直线的极坐标方程为，直线与曲线交于两点，直线与曲线交于两点.（1）当时，求两点的极坐标；（2）设，求的值.18. （10分） (2015高二上·柳州期末) 已知函数f（x）=|x+a|+|x﹣2|．（1）当a=﹣4时，求不等式f（x）≥6的解集；（2）若f（x）≤|x﹣3|的解集包含[0，1]，求实数a的取值范围．19. （10分） (2017高三下·赣州期中) 在高中学习过程中，同学们经常这样说“如果物理成绩好，那么学习数学就没什么问题”某班针对“高中生物理对数学学习的影响”进行研究，得到了学生的物理成绩与数学成绩具有线性相关关系的结论，现从该班随机抽取5名学生在一次考试中的物理和数学成绩，如表：编号12345成绩物理（x）9085746863数学（y）1301251109590（参考公式：b= ， = b ，）参考数据：902+852+742+682+632=2939490×130+85×125+74×110+68×95+63×90=42595．（1）求数学y成绩关于物理成绩x的线性回归方程 = x+ （b精确到0.1），若某位学生的物理成绩为80分时，预测他的物理成绩．（2）要从抽取的这五位学生中随机选出三位参加一项知识竞赛，以X表示选中的学生的数学成绩高于100分的人数，求随机变量X的分布列及数学期望．20. （10分） (2016高二下·北京期中) 已知函数f（x）= x3﹣（a∈R）．（1）若a=1，求函数f（x）在[0，2]上的最大值；（2）若对任意x∈（0，+∞），有f（x）＞0恒成立，求a的取值范围．21. （5分） (2019高二上·浙江期中) 如图，已知是椭圆的一个顶点，的短轴是圆的直径，直线，过点P且互相垂直，交椭圆于另一点D，交圆于A，B两点Ⅰ 求椭圆的标准方程；Ⅱ 求面积的最大值．22. （5分）(2018·中山模拟) 设函数 .(Ⅰ)求函数的单调区间；(Ⅱ)若函数有两个极值点且，求证．参考答案一、单选题 (共12题；共24分)1-1、2-1、3-1、4-1、5-1、6-1、7-1、8-1、9-1、10-1、11-1、12-1、二、填空题 (共3题；共3分)13-1、14-1、15-1、三、解答题 (共7题；共51分) 16-1、17-1、17-2、18-1、18-2、19-1、19-2、20-1、20-2、21-1、22-1、。
2019-2020学年江苏省常州市数学高二(下)期末质量跟踪监视试题含解析
2019-2020学年江苏省常州市数学高二(下)期末质量跟踪监视试题一、单选题（本题包括12个小题，每小题35，共60分．每小题只有一个选项符合题意） 1．已知集合{}(,)|1,A x y y x x R ==+∈，集合{}2(,)|,B x y y x x R ==∈，则集合A B I 的子集个数为（ ） A ．1 B ．2 C ．3 D ．4【答案】D 【解析】 【分析】因为直线与抛物线有两个交点，可知集合的交集有2个元素，可知其子集共有22=4个. 【详解】由题意得，直线1y x =+与抛物线2y x =有2个交点，故A B I 的子集有4个.【点睛】本题主要考查了集合的交集运算，子集的概念，属于中档题.2．设全集U ＝R ，集合{}3A x x =≤， {}6B x x =≤，则集合()⋂=U C A B ( ) A ．{}36x x <≤ B ．{}36x x << C ．{}36x x ≤< D ．{}36x x ≤≤【答案】A 【解析】 【分析】求出U C A ，然后求解()U C A B ⋂即可. 【详解】全集U =R ，集合{}{}|3,|6A x x B x x =≤=≤， 则集合{}|3U C A x x =>， 所以{}()|36U C A B x x =<≤I ， 故选A. 【点睛】该题考查的是有关集合的运算，属于简单题目.3．已知n 为正整数用数学归纳法证明2()135(21)f n n n =++++-=L 时，假设*(n k k N =∈）时命题为真，即2()f k k =成立，则当1n k =+时，需要用到的(1)f k +与()f k 之间的关系式是( )A ．(1)()23f k f k k +=+-B ．(1)()21f k f k k +=+-C ．(1)()21f k f k k +=++D ．(1)()23f k f k k +=++【答案】C 【解析】分析：先根据条件确定()1f k +式子，再与()f k 相减得结果.详解：因为()()13521f n n =++++-L ，所以()()13521f k k =++++-L()()()11352121f k k k +=++++-++L ，所以()()121f k f k k +-=+,选C.点睛：本题考查数学归纳法，考查数列递推关系. 4．若0a b <<，则下列结论中不恒成立的是（ ） A ．a b > B ．11a b>C ．222a b ab +>D ．22222a b a b ++⎛⎫>⎪⎝⎭【答案】D 【解析】分析a b ，两数可以是满足0a b <<，任意数，利用特殊值法即可得到正确选项． 详解：若0a b <<，不妨设a 21b =-=-， 代入各个选项，错误的是A 、B ， 当2a b ==- 时，C 错． 故选D ．点睛：利用特殊值法验证一些式子错误是有效的方法，属于基础题．5．已知函数()(]()ln ,0,11,1,x x f x x x ⎧∈⎪=⎨-∈+∞⎪⎩，则()2f f ⎡⎤⎣⎦等于（ ） A ．-1 B ．0C ．1D ．ln21-【答案】B 【解析】 【分析】先求()21f =，再求()2f f ⎡⎤⎣⎦. 【详解】由已知，得：()2211f =-= 所以()()21ln10f f f ===⎡⎤⎣⎦ 故选：B 【点睛】本题考查了分段函数求值，属于基础题.6．已知定义在R 上的函数()f x 的导函数为()f x '，若()()20f x f x '->，且()1f e =，则不等式()211x f x e-<的解集为（ ） A ．(),1-∞ B ．(),e -∞C ．()1,+∞D ．(),e +∞【答案】C 【解析】 【分析】 构造函数()()2x f x g x e =，利用导数判断出函数()y g x =的单调性，将不等式()211x f x e-<变形为()()1g x g <，结合函数()y g x =的单调性可解出该不等式.【详解】 构造函数()()2xf xg x e=，则()()()220x f x f x g x e '-'=<， 所以，函数()y g x =在R 上单调递减，由()211x f x e-<，可得()()2211x f x f e e e <=，即()()1g x g <，解得1x >， 因此， 不等式()211x f x e-<的解集为()1,+∞，故选C. 【点睛】本题考查利用导数求解函数不等式，解决这类不等式的基本步骤如下： （1）根据导数不等式的结构构造新函数()y g x =；（2）利用导数研究函数()y g x =的单调性，必要时要考查该函数的奇偶性； （3）将不等式转化为()()12g x g x <的形式，结合函数的单调性进行求解.7．请观察这些数的排列规律，数字1位置在第一行第一列表示为（1,1），数字14位置在第四行第三列表示为（4,3），根据特点推算出数字2019的位置A ．（45,44）B ．（45,43）C ．（45,42）D ．该数不会出现【答案】C 【解析】 【分析】由所给数的排列规律得到第n 行的最后一个数为2n ，然后根据2452025=可推测2019所在的位置． 【详解】由所给数表可得，每一行最后一个数为2221,2,3,L ，由于22441936,452025==，2244201945<<， 所以故2019是第45行的倒数第4个数， 所以数字2019的位置为（45,42）． 故选C ． 【点睛】（1）数的归纳包括数字归纳和式子归纳，解决此类问题时，需要细心观察，寻求相邻项及项与序号之间的关系，同时还要联系相关的知识． （2）解决归纳推理问题的基本步骤①发现共性，通过观察特例发现某些相似性(特例的共性或一般规律)； ②归纳推理，把这种相似性推广为一个明确表述的一般命题(猜想)． 8．在等比数列中，，公比为，前项和为，若数列也是等比数列，则等于A ．B ．C ．D ．【答案】C【解析】由题意，得，因为数列也是等比数列，所以，即，解得；故选C.点睛：本题若直接套用等比数列的求和公式进行求解，一是计算量较大，二是往往忽视“”的特殊情况，而采用数列的前三项进行求解，大大降低了计算量，也节省的时间，这是处理选择题或填空题常用的方法.9．执行如图的程序框图，如果输入10N =，那么输出的S =（ ）A ．11112310++++LB ．11111212312310++++⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯L LC ．11112311++++LD ．11111212312311++++⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯L L 【答案】B 【解析】分析：由题意结合流程图运行程序即可确定程序的输出结果. 详解：结合所给的流程图运行程序如下： 首先初始化数据：10,1,0,1N k S T ====，第一次循环：1TT k ==，1S S T =+=,12k k =+=，此时不满足k N >； 第二次循环：112T T k ==⨯，1112S S T =+=+⨯,13k k =+=，此时不满足k N >； 第三次循环：1123T T k ==⨯⨯，11112123S S T =+=++⨯⨯⨯,14k k =+=，此时不满足k N >； 一直循环下去， 第十次循环：112310T T k ==⨯⨯⨯⨯L ，S S T =+=1112+⨯1123+⨯⨯++L 112310⨯⨯⨯⨯L ,111k k =+=，此时满足k N >，跳出循环.则输出的11111212312310S =++++⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯L L . 本题选择B 选项.点睛：识别、运行程序框图和完善程序框图的思路 (1)要明确程序框图的顺序结构、条件结构和循环结构． (2)要识别、运行程序框图，理解框图所解决的实际问题． (3)按照题目的要求完成解答并验证．10．如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗线画出的是某几何体的三视图，则此几何体各面中直角三角形的个数是( )A ．2B ．3C ．4D ．5【答案】C 【解析】把三视图还原为原几何体为一个四棱锥P ABCD -，底面是边长为3的正方形，侧棱PB ⊥底面ABCD ，四个侧面均为直角三角形，则此几何体各面中直角三角形的个数是4个，选C.11．已知21nx x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭的展开式的各项系数和为32,则展开式中4x 的系数( ) A ．5 B ．40C ．20D ．10【答案】D 【解析】试题分析：先对二项式中的x 赋值1求出展开式的系数和，列出方程求出n 的值，代入二项式；再利用二项展开式的通项公式求出展开式的通项，令通项中的x 的指数为4，求出r ，将r 的值代入通项求出二项展开式中x 4的系数．在21nx x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭中，令x=1得到二项展开式的各项系数和为2n ，∴2n =32，∴n=5，得到521031511034,2r r r x T C x r r x -+⎛⎫+∴=∴-== ⎪⎝⎭∴二项展开式中x 4的系数2510C =，故选D. 考点：二项展开式的系数点评：求二项展开式的系数和常用的方法是给二项式中的x 赋值；解决二项展开式的特定项问题常用的方法是利用二项展开式的通项公式．12．等差数列{a n }中，a 1+a 5=10,a 4=7,则数列{a n }的公差为A ．1B ．2C ．3D ．4【答案】B 【解析】∵a 1＋a 5＝10，a 4＝7，∴⇒d ＝2二、填空题（本题包括4个小题，每小题5分，共20分）13．()62111x x ⎛⎫+- ⎪⎝⎭的展开式中常数项为__________．(有数字填写答案)【答案】16 【解析】611x ⎛⎫- ⎪⎝⎭展开式的2x -次项与2x 形成常数项，展开式的常数项和1形成常数项，所以611x ⎛⎫- ⎪⎝⎭展开式的2x -次项为42426(1)15C x x ---=，常数项为1，所以()62111x x ⎛⎫+- ⎪⎝⎭的展开式中常数项为15+1=1614．若三角形内切圆半径为r ，三边长为a,b,c ，则1()2S a b c r =++，利用类比思想：若四面体内切球半径为R ，四个面的面积为1234,,,S S S S ，则四面体的体积V =________． 【答案】()123413R S S S S +++． 【解析】试题分析：由题意得三角形的面积可拆分成分别由三条边为底，其内切圆半径为高的三个小三角形的面积之和，从而可得公式1()2S a b c r =++，由类比思想得，四面体的体积亦可拆分成由四个面为底，其内切圆的半径为高的四个三棱锥的体积之和，从而可得计算公式()123413V R S S S S =+++．考点：1．合情推理；2．简单组合体的体积（多面体内切球）．【方法点晴】此题主要考查合情推理在立体几何中的运用方面的内容，属于中低档题，根据题目前半段的“分割法”求三角形面积的推理模式，即以三角形的三条边为底、其内切圆半径为高分割成三个三角形面积之和，类似地将四面体以四个面为底面、其内切球半径为高分割成四个三棱锥（四面体）体积之和，从而问题可得解决． 15．已知24sin 225θ=，02πθ⎛⎫<< ⎪⎝⎭24πθ⎛⎫- ⎪⎝⎭的值为_______________.【答案】75【解析】 【分析】由三角函数的基本关系式和正弦的倍角公式，求得249(cos sin )25θθ+=，再由两角差的余弦函数的公式，即可求解． 【详解】 由24sin 225θ=，即242sin cos 25θθ=， 则2222449(cos sin )cos 2sin cos sin 12525θθθθθθ+=++=+=， 又由02πθ<<，所以cos 0,sin 0θθ>>，7cos()cos sin 45πθθθ-=+=． 【点睛】本题主要考查了三角函数的基本关系式，以及正弦的倍角公式和两角差的余弦公式的化简、求值，着重考查了推理与运算能力，属于基础题．16．函数2()sin 2f x x x =+()cos(2)236g x m x m π=--+(0)m >，若对所有的20,4x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦总存在10,4x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，使得12()()f x g x =成立，则实数m 的取值范围是__________．【答案】413⎡⎤⎢⎥⎣⎦， 【解析】 【分析】分别求得f （x ）、g （x ）在[0，4π]上的值域，结合题意可得它们的值域间的包含关系，从而求得实数m 的取值范围． 【详解】∵f（x ）（2cos 2x ﹣1）（2x+3π）， 当x ∈[0，4π]，2x+3π∈[3π，56π]，∴2sin （2x+3π）∈[1，2]，∴f （x ）∈[1，2]．对于g （x ）=mcos （2x ﹣6π）﹣2m+3（m ＞0），2x ﹣6π∈[﹣6π，3π]，mcos （2x ﹣6π）∈[2m ，m]， ∴g （x ）∈[﹣32m +3，3﹣m]．由于对所有的x 2∈[0，4π]总存在x 1∈[0，4π]，使得f （x 1）=g （x 2）成立， 可得[﹣32m+3，3﹣m]⊆[1，2]，故有3﹣m≤2，﹣32m+3≥1，解得实数m的取值范围是[1，43]．故答案为413⎡⎤⎢⎥⎣⎦，．【点睛】本题考查两角和与差的正弦函数，着重考查三角函数的性质的运用，考查二倍角的余弦，解决问题的关键是理解“对所有的x2∈[0，4π]总存在x1∈[0，4π]，使得f（x1）=g（x2）成立”的含义，转化为f（x）的值域是g（x）的子集．三、解答题（本题包括6个小题，共70分）17．为调查某小区居民的“幸福度”．现从所有居民中随机抽取16名，如图所示的茎叶图记录了他们的幸福度分数（以小数点前的一位数字为茎，小数点后的一位数字为叶），若幸福度分数不低于8.5分，则称该人的幸福度为“幸福”．（1）求从这16人中随机选取3人，至少有2人为“幸福”的概率；（2）以这16人的样本数据来估计整个小区的总体数据,若从该小区（人数很多）任选3人，记ξ表示抽到“幸福”的人数，求ξ的分布列及数学期望和方差．【答案】（1）121140；（2）ξ的分布列见解析；数学期望为94；方差为916【解析】【分析】首先由茎叶图统计出“幸福”的人数和其他人数，再计算概率．由茎叶图知任选一人，该人幸福度为“幸福”的概率为34，知道在该小区中任选一人该人幸福度为“幸福”的概率为34，再计算即可．【详解】(1)由茎叶图可知，抽取的16人中“幸福”的人数有12人，其他的有4人；记“从这16人中随机选取3人，至少有2人是“幸福”，”为事件A.由题意得()3214412331616191211114070140C C CP AC C⨯=--=--=(2)由茎叶图知任选一人，该人幸福度为“幸福”的概率为34，ξ的可能取值为0,1,2,3, 显然33,4B ξ⎛⎫~ ⎪⎝⎭则()3110464P ξ⎛⎫=== ⎪⎝⎭；()21331914464P C ξ⎛⎫==⋅⋅= ⎪⎝⎭；()223312724464P C ξ⎛⎫⎛⎫==⋅⋅= ⎪⎪⎝⎭⎝⎭；()33273464P ξ⎛⎫=== ⎪⎝⎭； 所以ξ的分布列为()344E ξ=⨯= ()319134416D np p ξ=-=⨯⨯=【点睛】本题考查茎叶图、样本估计总体、分布列、数学期望，属于基础题． 18．已知函数21()ln ()2f x x a x a R =-∈. （1）讨论()f x 的单调性；（2）若存在实数0[1,]x e ∈，使得()00f x <，求正实数a 的取值范围. 【答案】（1）见解析；（2）e +∞（，）. 【解析】 【分析】（1）求出定义域以及()f x '，分类讨论a ，求出()f x '大于0和小于0的区间，从而得到()f x 的单调区间；（2）结合（1）的单调性，分类讨论，分别求出01a <≤和21a e <<以及2a e ≥函数()f x 在[1,]e 上的单调区间以及最小值，从而求出a 的范围。
江苏省泰州市2019-2020学年数学高二下期末统考试题含解析
江苏省泰州市2019-2020学年数学高二下期末统考试题一、选择题：本题共12小题，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1． “4ab =”是“直线210x ay +-=与直线220bx y +-=平行”的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要【答案】B 【解析】 【分析】 【详解】0a =时，直线210x ay +-=与直线220bx y +-=不平行，所以直线210x ay +-=与直线220bx y +-=平行的充要条件是2221b a -=≠-， 即4ab =且1(4)a b ≠≠，所以“4ab =”是直线210x ay +-=与直线220bx y +-=平行的必要不充分条件． 故选B ．2． “直线l 垂直于平面α内无数条直线”是“直线l 垂直于平面α”的（ ） A ．充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件 C ．充分必要条件 D ．既不充分也不必要条件【答案】B 【解析】 【分析】 【详解】由“直线l 垂直于平面α”可得到“直线l 垂直于平面α内无数条直线”， 反之不成立（如与无数条平行直线垂直时不成立），所以“直线l 垂直于平面α内无数条直线”是“直线l 垂直于平面α”的必要而不充分条件，故选B. 考点：充分条件与必要条件3．在正方体1111ABCD A B C D -中，过对角线1AC 的一个平面交1BB 于E ，交1DD 于F 得四边形1AEC F ，则下列结论正确的是（ ） A ．四边形1AEC F 一定为菱形B ．四边形1AEC F 在底面ABCD 内的投影不一定是正方形 C ．四边形1AEC F 所在平面不可能垂直于平面11ACC A D ．四边形1AEC F 不可能为梯形【答案】D 【解析】对于A ，当与两条棱上的交点都是中点时，四边形1AEC F 为菱形，故A 错误； 对于B, 四边形1AEC F 在底面ABCD 内的投影一定是正方形,故B 错误；对于C, 当两条棱上的交点是中点时，四边形1AEC F 垂直于平面11ACC A ,故C 错误； 对于D ，四边形1AEC F 一定为平行四边形，故D 正确. 故选：D4．已知8位学生得某次数学测试成绩得茎叶图如图，则下列说法正确的是( )A ．众数为7B ．极差为19C ．中位数为64.5D ．平均数为64【答案】C 【解析】 【分析】根据茎叶图中的数据求得这组数据的众数、极差、中位数和平均数． 【详解】根据茎叶图中的数据知，这组数据的众数为67，A 错误； 极差是75﹣57＝18，B 错误；中位数是62672+=64.5，C 正确； 平均数为6018+（﹣3﹣1+1+2+7+7+12+15）＝65，D 错误．故选C ． 【点睛】本题考查了利用茎叶图求众数、极差、中位数和平均数的应用问题，是基础题．5．若不等式()()2210a axx -++≤对一切()0,2x ∈恒成立,则a 的取值范围是 ( )A．1,2⎛-∞ ⎝⎦B．12⎡⎫++∞⎪⎢⎪⎣⎭ C．⎛⎫-∞⋃+∞ ⎪ ⎪⎝⎦⎣⎭D．⎣⎦【答案】C 【解析】 【分析】本题是通过x 的取值范围推导出a 的取值范围，可先将a 与x 分别放于等式的两边，在通过x 的取值范围的出a 的取值范围。
2019-2020学年江苏省淮安市淮阴中学高二(下)期末数学试卷
2019-2020学年江苏省淮安市淮阴中学高二（下）期末数学试卷1.（单选题，5分）集合A={x|-1≤x≤2}，B={x|x＜1}，则A∩B=（）A.{x|x＜1}B.{x|-1≤x≤2}C.{x|-1≤x≤1}D.{x|-1≤x＜1}2.（单选题，5分）已知x与y之间的一组数据：A.（2，2）B.（1.5，4）C.（1，2）D.（2.5，4），2}，若幂函数f（x）=xα为奇函数，且在（0，+∞）3.（单选题，5分）已知α∈{-3，-2，13上单调递减，则α的值为（）A.-3B.-2C. 13D.2的图象，只需把函数y=lgx的图象上所有的点4.（单选题，5分）为了得到函数y=lg x−310（）A.向左平移3个单位长度，再向上平移I个单位长度B.向右平移3个单位长度，再向上平移1个单位长度C.向左平移3个单位长度，再向下平移1个单位长度D.向右平移3个单位长度，再向下平移1个单位长度＞1的解集为（）5.（单选题，5分）不等式x2−x−4x−1A.{x|x＜-1或x＞3}B.{x|x＜-1或1＜x＜3}C.{x|-1＜x＜1或x＞3}D.{x|-1＜x＜1或1＜x＜3}6.（单选题，5分）已知随机变量X～N（2，σ2），P（X≤4）=0.8，那么P（2≤X≤4）的值为（）A.0.2B.0.3C.0.4D.0.87.（单选题，5分）用数字0，1，2，3，4这五个数字组成的无重复数字的四位偶数的个数为（）A.64B.88C.72D.608.（单选题，5分）若存在实数x使得不等式|x+1|-|x-1|≤a2-3a成立，则实数a的取值范围为（）A.（-∞，3−√172]∪[ 3+√172，+∞）B.（-∞，-2]∪[1，+∞）C.[1，2]D.（-∞，1]∪[2，+∞）9.（单选题，5分）设a，b都是不等于1的正数，则“log a3＞log b3＞1”是“3a＜3b”的（）A.充要条件B.充分不必要条件C.必要不充分条件D.既不充分也不必要条件10.（单选题，5分）（x2+2）3（1x2-1）7展开式中常数项是（）A.15B.-15C.7D.-711.（多选题，5分）下列说法正确的是（）A.函数y= x2x与函数y=log33x是同一函数B.函数y= √16−4x的值域是（-∞，4]C.若奇函数f（x）对定义域内任意x都有f（x）=f（2-x），则f（x）为周期函数D.函数y=|x|sinx为R上奇函数12.（多选题，5分）已知函数f （x ）= {2x +1，x ≤0|log 2x |−1，x ＞0，则方程f 2（x ）-2f （x ）+a 2-1=0的根的个数可能为（ ）A.2B.6C.5D.413.（填空题，5分）函数f （x ）= √1−log 2x 的定义域是 ___ ．14.（填空题，5分）设函数f （x ）=x 3+（a-1）x 2+ax 为奇函数，则曲线y=f （x ）在点x=1处的切线方程为___ ．15.（填空题，5分）设0＜p ＜1，随机变量ξ的分布列是16.（填空题，5分）已知动抛物线y=x 2+ax+b （其中a∈R ，b≤0）与动直线y=t （t≥1）交于A 、B 两点且与动直线y=t+1交于C 、D 两点，ABCD 构成一个梯形，S 为这个梯形的面积，AD 为其一腰长，则 14 S 2+16AD 2的最小值为___ ．17.（问答题，10分）设（1+2x ）n =a 0+a 1x+…+a n x n ，其中n∈N*，a 0，a 1，……，a n ∈R ．（1）若n=6，写出二项展开式第四项；（2）若n=8，求出a 0+a 2+a 4+a 6+a 8的值．18.（问答题，12分）现有大小相同的7只球，其中2只不同的红球，2只不同的白球，3只不同的黑球．（1）将这7只球排成一列且相同颜色的球必须排在一起，有多少种排列的方法？（请用数字作答）（2）将这7只球分成三堆，三堆的球数分别为：1，3，3，共有多少种分堆的方法？（请用数字作答）（3）现取4只球，求各种颜色的球都必须取到的概率．（请用数字作答）19.（问答题，12分）设函数f（x）=a x+mb x，其中a，m，b∈R．（1）若a=2，b= 12且f（x）为R上偶函数，求实数m的值；（2）若a=4，b=2且f（x）在R上有最小值，求实数m的取值范围；（3）a∈（0，1），b＞1，解关于x的不等式f（x）＞0．20.（问答题，12分）设U=R，A={x||x+1|＞1}，B={x|x2+（m+1）x+3m＜0}．（1）求集合A；（2）若B=∅，求实数m的取值范围；（3）若A∪B=R，求实数m的取值范围．21.（问答题，12分）江苏实行的“新高考方案：3+1+2”模式，其中统考科目：“3”指语文、数学、外语三门，不分文理：学生根据高校的要求，结合自身特长兴趣，“1”指首先在在物理、历史2门科目中选择一门：“2”指再从思想政治、地理、化学、生物4门科目中选择2门．某校根据统计选物理的学生占整个学生的34；并且在选物理的条件下，选择地理的概率为23；在选历史的条件下，选地理的概率为45．（1）求该校最终选地理的学生概率；（2）该校甲、乙、丙三人选地理的人数设为随机变量X．① 求随机变量X=2的概率；② 求X的概率分布表以及数学期望．22.（问答题，12分）已知函数f（x）=xlnx，函数g（x）=x3-ax2，a为实数．（1）若g（x）≥a2在[1，+∞）上恒成立，求实数a的取值范围；（2）求证：实数b＞0时，f（x）-b在（1，+∞）仅有一个零点；（3）若h（x）=-g（x），是否存在实数x1，x2，其中x1＞1，x2＞0，使得f（x）在x1处的切线与h（x）在x2处的切线重合，若存在，求出a的取值范围；若不存在，请说明理由．。
【含期末模拟卷15套】江苏省常州市2019-2020学年高二下数学期末模拟试卷含解析
江苏省常州市2019-2020学年高二下数学期末模拟试卷一、选择题：（本题共12个小题，每小题5分，共60分） 1．函数2xy -=的定义域为（ ） A ．(],2-∞B ．11,,222⎛⎫⎛⎫-∞-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭C ．11,,222⎛⎫⎛⎤-∞-- ⎪ ⎥⎝⎭⎝⎦D ．(],1-∞ 2．已知命题：，使得，则为 A ．，总有 B ．，使得 C ．，总有D ．，使得3．当a 输入a 的值为16，b 的值为12时，执行如图所示的程序框图，则输出的a 的结果是( )A ．2B ．3C ．4D ．64．若()21001121002a a x a x a x x +++=+-，则0123102310a a a a a ++++⋅⋅⋅+=（ ）A ．10B ．-10C ．1014D ．10345．函数的大致图象是( )A ．B ．C ．D ．6．设0x >，由不等式12x x +≥，243x x +≥，3274x x +≥，…，类比推广到1n ax n x+≥+，则a =( ) A ．2n B ．2nC ．2nD ．n n7．已知函数的图象关于直线对称，则函数的值为( ) A ．B ．C ．D ．8．用反证法证明：“实数,,x y z 中至少有一个不大于0”时，反设正确的是（ ） A ．,,x y z 中有一个大于0 B ．,,x y z 都不大于0 C ．,,x y z 都大于0D ．,,x y z 中有一个不大于09．用四个数字1,2,3,4能写成（ ）个没有重复数字的两位数. A ．6B ．12C ．16D ．2010．已知三棱锥D ABC -外接球的表面积为12π，ABC ∆是边长为1的等边三角形，且三棱锥D ABC -的外接球的球心O 恰好是CD 的中点，则三棱锥D ABC -的体积为（ ） A ．23B ．23C ．33D ．6311．函数()2f x ax a =--在[2,6]上有唯一零点，则a 的取值范围为 A ．2(,2]5B ．2(,2)5C ．2[,2]5D ．2(,][2,)5-∞⋃+∞12．设，则的展开式中的常数项为A ．20B ．-20C ．120D ．-120二、填空题：（本题共4个小题，每小题4分，共16分）13．已知函数2()ln(32)f x x x =+-，则曲线()y f x =在(1,(1))f 处的切线方程为_____14．已知函数121,0()1lg ,0x x f x x x +⎧-⎪=⎨>⎪⎩，，若函数()()g x f x a =-有3个零点，则实数a 的取值范围为____.15．高二（1）班有男生人，女生人，现用分层抽样的方法从该班的全体同学中抽取一个容量为的样本，则抽取的男生人数为____. 16．已知随机变量()20,N ξσ～，若()100.3P ξ-<<=，则()1P ξ<=__________．三、解答题：（本题共6个小题，共74分） 17．（本题共12分）已知函数()()()3212f x x a x a a x b =+--++(),a b R ∈（1）若函数()f x 的导函数为偶函数，求a 的值；（2）若曲线()y f x =存在两条垂直于y 轴的切线，求a 的取值范围 18．（本题共12分）已知函数()223sin cos 2cos 1f x x x x =-+.（Ⅰ）求6f π⎛⎫⎪⎝⎭的值及函数()f x 的最小正周期； （Ⅱ）当50,12x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，求函数()f x 的最大值. 19．（本题共12分）设不等式()()0x y x y +-<表示的平面区别为D ．区域D 内的动点P 到直线0x y +=和直线0x y -=的距离之积为1．记点P 的轨迹为曲线C ．过点()22,0F 的直线l 与曲线C 交于A 、B 两点． （1）求曲线C 的方程；（1）若l 垂直于x 轴，Q 为曲线C 上一点，求QA QB ⋅的取值范围； （3）若以线段AB 为直径的圆与y 轴相切，求直线l 的斜率． 20．（本题共12分）如图四棱锥中，底面ABCD 是平行四边形，平面ABCD ，垂足为G ，G 在AD 上，且，，，，E 是BC 的中点．求异面直线GE 与PC 所成的角的余弦值； 求点D 到平面PBG 的距离； 若F 点是棱PC 上一点，且，求的值．21．（本题共12分）如图，斜三棱柱111ABC A B C -中，侧面11AA B B 为菱形，底面ABC 是等腰直角三角形，BAC 90∠=，11A B B ⊥C ．（1）求证：直线AC ⊥直线1BB ；（2）若直线1BB 与底面ABC 成的角为60，求二面角1A BB C --的余弦值． 22．（本题共14分） 已知4sin cos sin 2cos θθθθ+=--1．（1）求tan （2θ4π-）的值；（1）求3sin1θ+4cos1θ的值．参考答案一、选择题：（本题共12个小题，每小题5分，共60分） 1．B 【解析】 【分析】利用二次根式的性质和分式的分母不为零求出函数的定义域即可. 【详解】 由题意知，2202320x x x -≥⎧⎨--≠⎩，解得2x <且12x ≠-， 所以原函数的定义域为11,,222⎛⎫⎛⎫-∞-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭. 故选：B 【点睛】本题考查函数定义域的求解；考查二次根式的性质和分式的分母不为零；考查运算求解能力；属于基础题. 2．C【分析】原命题为特称命题，则其否定为全称命题，即可得到答案【详解】命题：，使得：，总有故选【点睛】本题主要考查的是命题及其关系，命题的否定是对命题结论的否定，属于基础题．3．C【解析】【分析】模拟程序的运行，根据程序流程，依次判断写出a，b的值，可得当a=b=4时，不满足条件a≠b，输出a 的值为4，即可得解．【详解】模拟程序的运行，可得a=16，b=12满足条件a≠b，满足条件a>b，a=16−12=4，满足条件a≠b，不满足条件a>b，b=12−4=8，满足条件a≠b，不满足条件a>b，b=4−4=4，不满足条件a≠b，输出a的值为4.故选：C.【点睛】本题主要考查程序框图的循环结构流程图，属于中档题. 解决程序框图问题时一定注意以下几点：(1) 不要混淆处理框和输入框；(2) 注意区分程序框图是条件分支结构还是循环结构；(3) 注意区分当型循环结构和直到型循环结构；(4) 处理循环结构的问题时一定要正确控制循环次数；(5) 要注意各个框的顺序,（6）在给出程序框图求解输出结果的试题中只要按照程序框图规定的运算方法逐次计算，直到达到输出条件即可.4．C【解析】【分析】先求出0a，对等式两边求导，代入数据1得到答案.()21001121002a a x a x a x x +++=+-取10.002x a =⇒=对等式两边求导1231902923110(2)0a a a x x x x a +++⋅⋅⋅+⇒--=取1x =1231001231023102310140110a a a a a a a a a +++⋅⋅⋅+++++⋅⋅⋅+=⇒-=⇒ 故答案为C 【点睛】本题考查了二项式定理，对两边求导是解题的关键. 5．A 【解析】 【分析】利用函数的奇偶性，排除选项B,D ，再利用特殊点的函数值判断即可． 【详解】函数为非奇非偶函数，排除选项B,D ； 当,f （x ）<0，排除选项C ，故选：A ． 【点睛】本题考查函数的图象的判断，函数的奇偶性以及函数的图象的变化趋势是判断函数的图象的常用方法． 6．D 【解析】由已知中不等式：2322331422732,3,4,...x x x x x x x x x x+≥+=+≥+=+≥归纳可得：不等式左边第一项为x ，第二项为n n nx，右边为1n + ，故第n 个不等式为：1nn n x n x +≥+ ，故n a n = ，故选D.【方法点睛】本题通过观察几组不等式，归纳出一般规律来考察归纳推理，属于中档题.归纳推理的一般步骤: 一、通过观察个别情况发现某些相同的性质. 二、从已知的相同性质中推出一个明确表述的一般性命题(猜想）. 常见的归纳推理分为数的归纳和形的归纳两类：(1) 数的归纳包括数的归纳和式子的归纳，解决此类问题时，需要细心观察，寻求相邻项及项与序号之间的关系，同时还要联系相关的知识，如等差数列、等比数列等；(2) 形的归纳主要包括图形数目的归纳和图形变化规律的归纳. 7．A【分析】利用对称列方程解得，从而求出。
江苏省常州市2019-2020学年高二下学期期末考试数学试题 Word版含解析
江苏省常州教育学会学业水平测试2019—2020学年度第二学期（期末）高二数学试题一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．从5名男生和4名女生中，选出男女各1名学生主持某次活动，不同的选法种数为 A ．9 B ．10 C ．20 D ．40 2．若326n n A C =，则n 的值为A ．4B ．5C ．6D ．73．同时抛掷一颗红骰子和一颗蓝骰子，观察向上的点数，记“红骰子向上的点数为奇数”为事件A ，“两颗骰子的点数之积为奇数”为事件B ，则P(B ∣A)＝ A ．12 B ．13 C ．14 D ．164．某年级有6个班级，3位数学教师，每位教师任教2个班级，则不同分法的种数有 A ．15 B ．45 C ．90 D ．5405．函数22()e xx xf x +=的大致图象是6．对某同学7次考试的数学成绩x 和物理成绩y 进行分析，下面是该生7次考试的成绩．发现他的物理成绩y 与数学成绩x 是线性相关的，利用最小二乘法得到线性回归方程为y ＝0.5x a +，若该生的数学成绩达到130分，估计他的物理成绩大约是A ．114.5B ．115C ．115.5D ．116 7．已知函数3()31f x ax x =++的极大值与极小值的差为4，则实数a 的值为 A ．﹣1 B ．14-C ．14D ．18．我国南宋数学家杨辉所著的《详解九章算术》一书中，用如图的 数表列出了一些正整数在三角形中的一种几何排列，俗称“杨辉 三角形”．若将这些数字依次排列构成数列1，1，1，1，2，1， 1，3，3，1，1，4，6，4，1，…，则此数列的第2020项为 A ．363C B ．463CC ．364C D ．464C二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得3分，有选错的得0分． 9．下列求导数运算不正确的是A ．(sin )cos x x '=-B ．2ln 2(log )x x'=C ．2ln 1ln ()x x x x+'= D ．2121(e )2e x x ++'= 10．已知在某市的一次学情检测中，学生的数学成绩X 服从正态分布N(105，100)，其中90分为及格线，120 分为优秀线，下列说法正确的是附：随机变量ξ服从正态分布N(μ，2σ)，则P(μσξμσ-<<+)＝0.6826， P(22μσξμσ-<<+)＝0.9544，P(33μσξμσ-<<+)＝0.9974． A ．该市学生数学成绩的期望为105 B ．该市学生数学成绩的标准差为100 C ．该市学生数学成绩及格率超过0.99D ．该市学生数学成绩不及格的人数和优秀的人数大致相等 11．已知复数8i2iz +=-，其中i 是虚数单位，则以下说法正确的是 A ．复数z 的实部为3 B ．复数z 的虚部为2iC ．复数z 的模为13D ．复数z 的共轭复数32i z =-+12．由0，1，2，3，4，5，6，7，8，9这10个数字组成无重复数字的五位数，其中偶数的个数是 A ．41139488A A A A +⋅⋅ B ．41439498()A A A A +- C ．54143109498()A A A A A -+- D ．54143109598()A A A A A --- 三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分． 13．已知2()nx x+的展开式中第5项与第7项的二项式系数相等，则展开式中常数项为 ．第8题14．有一个活动小组有6名男生和4名女生，从中任选3名学生，至多选中2名男生的概率为 ． 15．已知函数()e ln xf x a x =+，若曲线()y f x =在1x =处的切线方程为y x b =+，则a ＋b ＝ ．16若a ＝2b ＝3c ，则E(X)为 ；若b ＝12，V(X)的最大值为 ． （本小题第一空2分，第二空3分）四、解答题：本题共6小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17．（本题满分10分）已知22(815)(56)i z m m m m =-++-+,其中i 是虚数单位，m 为实数．（1）当z 为纯虚数时，求m 的值；（2）当复数z ·i 在复平面内对应的点位于第二象限时，求m 的取值范围． 18．（本题满分12分）江苏省从2021年开始，高考取消文理分科，实行“3＋1＋2”的模式，其中的“1”表示每位学生必须从物理、历史中选择一个科目且只能选择一个科目，某校为了解高一年级学生对“1”的选课情况，随机抽取了100名学生进行问卷调查，如下表是根据调查结果得到的2×2列联表．（（2）请你依据该列联表判断是否有99.5%的把握认为选择科目与性别有关?说明你的理由．附：对于2×2列联表有22()()()()()n ad bc K a b c d a c b d -=++++，其中n a b c d =+++．19．已知函数21()(1)ln 2f x x m x m x =-++，m ∈R ． （1）若m ＝﹣1，求函数()f x 在区间[1e，e]上的最小值； （2）若m ＞0，求函数()f x 的单调增区间． 20．（本题满分12分）已知2012(1)nn n x a a x a x a x +=++++，n N *∈．（1）当7n =时，求1357a a a a +++的值； （2）求01235(21)n a a a n a +++++．21．（本题满分12分）常州别称龙城，是一座有着3200多年历史的文化古城．常州既有春秋淹城、天宁寺等名胜古迹，又有中华恐龙园、嬉戏谷等游乐景点，每年都有大量游客来常州参观旅游．为合理配置旅游资源，管理部门对首次来中华恐龙园游览的游客进行了问卷调查，据统计，其中23的人计划只游览中华恐龙园，另外13的人计划既游览中华恐龙园又参观天宁寺．每位游客若只游览中华恐龙园，得1分；若既游览中华恐龙园又参观天宁寺，得2分．假设每位首次来中华恐龙园游览的游客均按照计划进行，且是否参观天宁寺相互独立，视频率为概率．（1）有2名首次来中华恐龙园游览的游客是拼车到常州的，求“这2名游客都是既游览中华恐龙园又参观天宁寺”的概率；（2）从首次来中华恐龙园游览的游客中随机抽取3人，记这3人的合计得分为X ，求X 的概率分布和数学期望． 22．（本题满分12分）已知函数()()e xf x x a b =++，a ，b ∈R ．（1）若a ＝1，求关于x 的不等式()(0)f x f >的解集；（2）若1e a b +=，讨论函数()f x 的零点个数．江苏省常州教育学会学业水平测试2019—2020学年度第二学期（期末）高二数学试题一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．从5名男生和4名女生中，选出男女各1名学生主持某次活动，不同的选法种数为 A ．9 B ．10 C ．20 D ．40 答案：C考点：分步计数原理解析：5×4＝20，故选C ． 2．若326n n A C =，则n 的值为A ．4B ．5C ．6D ．7 答案：B考点：排列公式与组合公式解析：由326n n A C =得(1)(1)(2)62n n n n n ---=⨯，解得n ＝5，故选B ． 3．同时抛掷一颗红骰子和一颗蓝骰子，观察向上的点数，记“红骰子向上的点数为奇数”为事件A ，“两颗骰子的点数之积为奇数”为事件B ，则P(B ∣A)＝ A ．12 B ．13 C ．14 D ．16答案：A考点：条件概率解析：1()2P A =，91()364P B ==，1()14()1()22P B P B A P A ===，故选A ．4．某年级有6个班级，3位数学教师，每位教师任教2个班级，则不同分法的种数有 A ．15 B ．45 C ．90 D ．540 答案：C 考点：组合解析：222642156190C C C =⨯⨯=，故选C ．5．函数22()e xx xf x +=的大致图象是答案：A考点：利用导数研究函数的性质解析：∵22()e x x x f x +=，∴22()exx f x -'=，列表如下：故选A ．6．对某同学7次考试的数学成绩x 和物理成绩y 进行分析，下面是该生7次考试的成绩．发现他的物理成绩y 与数学成绩x 是线性相关的，利用最小二乘法得到线性回归方程为y ＝0.5x a +，若该生的数学成绩达到130分，估计他的物理成绩大约是A ．114.5B ．115C ．115.5D ．116 答案：B考点：线性回归方程解析：100x =，100y =，所以0.51000.510050a y x =-=-⨯=，0.513050115y =⨯+=，故选B ．7．已知函数3()31f x ax x =++的极大值与极小值的差为4，则实数a 的值为 A ．﹣1 B ．14- C ．14D ．1 答案：A考点：利用导数研究函数的极值解析：∵3()31f x ax x =++，∴2()33f x ax '=+，令()0f x '=，解得1x a=±-， ∴11()()f f a a ---- 111111()()3()()()3()4a a aa a a a a=⨯--+--⨯------= 解得a ＝﹣1，故选A ．8．我国南宋数学家杨辉所著的《详解九章算术》一书中，用如图的 数表列出了一些正整数在三角形中的一种几何排列，俗称“杨辉 三角形”．若将这些数字依次排列构成数列1，1，1，1，2，1， 1，3，3，1，1，4，6，4，1，…，则此数列的第2020项为 A ．363C B ．463CC ．364C D ．464C 答案：A考点：二项式定理解析：第2020项是第64行的第4个数字，即为363C ，故选A ．二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得3分，有选错的得0分． 9．下列求导数运算不正确的是A ．(sin )cos x x '=-B ．2ln 2(log )x x'=C ．2ln 1ln ()x x x x+'= D ．2121(e )2e x x ++'= 答案：ABC考点：导数的运算解析：选项A ，(sin )cos x x '=，故A 错误；选项B ，21(log )ln 2x x '=，故B 错误； 选项C ，2ln 1ln ()x xx x -'=，故C 错误； 选项D 错误，故本题选ABC ．10．已知在某市的一次学情检测中，学生的数学成绩X 服从正态分布N(105，100)，其中90第8题分为及格线，120 分为优秀线，下列说法正确的是附：随机变量ξ服从正态分布N(μ，2σ)，则P(μσξμσ-<<+)＝0.6826，P(22μσξμσ-<<+)＝0.9544，P(33μσξμσ-<<+)＝0.9974．A ．该市学生数学成绩的期望为105B ．该市学生数学成绩的标准差为100C ．该市学生数学成绩及格率超过0.99D ．该市学生数学成绩不及格的人数和优秀的人数大致相等 答案：AD考点：正态分布解析：期望为105，选项A 正确；方差为100，标准差为10，选项B 错误；该市85分以上占97.72%，故C 错误；根据对称性可判断选项D 正确，故选AD ． 11．已知复数8i2iz +=-，其中i 是虚数单位，则以下说法正确的是 A ．复数z 的实部为3 B ．复数z 的虚部为2iC ．复数zD ．复数z 的共轭复数32i z =-+ 答案：AC 考点：复数解析：8i32i 2iz +==+-，故实部为3，虚部为2，z ==32i z =-，故AC 正确．12．由0，1，2，3，4，5，6，7，8，9这10个数字组成无重复数字的五位数，其中偶数的个数是 A ．41139488A A A A +⋅⋅ B ．41439498()A A A A +- C ．54143109498()A A A A A -+- D ．54143109598()A A A A A --- 答案：ABD 考点：排列解析：如果个位是0，有49A 个，如果个位不是0，有113488A A A ⋅⋅个，故A 正确；由于13438898A A A A ⋅=-，故B 正确；由于5441099A A A -≠，故C 错误；由于541433411310959889488()41A A A A A A A A A A ---==+⋅⋅，故D 正确．故选ABD ． 三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分． 13．已知2(nx+的展开式中第5项与第7项的二项式系数相等，则展开式中常数项为 ．答案：45考点：二项式定理解析：4610nnC C n =⇒=，52021021()r r rr rr nn T C x C x --+==，520082r r -=⇒=，82101045C x C ==．14．有一个活动小组有6名男生和4名女生，从中任选3名学生，至多选中2名男生的概率为 ． 答案：56考点：概率解析：3064310516C C P C =-=． 15．已知函数()e ln xf x a x =+，若曲线()y f x =在1x =处的切线方程为y x b =+，则a ＋b ＝ ．答案：0考点：利用导数研究函数的切线解析：∵()e ln xf x a x =+，∴()e xaf x x'=+，(1)e 1f a '=+=， ∴e 1b =+，∴a ＋b ＝0．16若a ＝2b ＝3c ，则E(X)为 ；若b ＝12，V(X)的最大值为 ． （本小题第一空2分，第二空3分） 答案：411-，12考点：随机变量的均值与方差解析：由a ＝2b ＝3c ，1a b c ++=，解得611a =，311b =，211c =， ∴6324()10111111111E X =-⨯+⨯+⨯=-， b ＝12时，12a c +=，()101E X abc a c =-⨯+⨯+⨯=-+，2222()(1)01E X a b c a c =-⨯+⨯+⨯=+， 222()()()()V X E X E X a c a c =-=+--+，把12a c =-代入得， 211()(2)22V X c =--，14c =时，V(X)有最大值，为12． 四、解答题：本题共6小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．（本题满分10分）已知22(815)(56)i z m m m m =-++-+,其中i 是虚数单位，m 为实数． （1）当z 为纯虚数时，求m 的值；（2）当复数z ·i 在复平面内对应的点位于第二象限时，求m 的取值范围．解：（1）因为z 为纯虚数，所以2281503523560m m m m m m m m ⎧-+===⎧⎪⇒⎨⎨≠≠-+≠⎪⎩⎩或且综上可得，当z 为纯虚数时m ＝5；（2）因为22i (815)i (56)z m m m m ⋅=-+--+在复平面内对应的点位于第二象限，2281505332(56)0m m m m m m m m ⎧-+>><⎧⎪⇒⎨⎨><--+<⎪⎩⎩或或，即m ＜2或者m ＞5， 所以m 的取值范围为(-∞，2)(5，+∞)．18．（本题满分12分）江苏省从2021年开始，高考取消文理分科，实行“3＋1＋2”的模式，其中的“1”表示每位学生必须从物理、历史中选择一个科目且只能选择一个科目，某校为了解高一年级学生对“1”的选课情况，随机抽取了100名学生进行问卷调查，如下表是根据调查结果得到的2×2列联表．（（2）请你依据该列联表判断是否有99.5%的把握认为选择科目与性别有关?说明你的理由．有22()()()()()n ad bc K a b c d a c b d -=++++，其中n a b c d =+++．解：（1）随机抽取的100名学生中女生为40人，则男生有100﹣40＝60人，所以m ＝60，b ＝10，c ＝20； （2）根据题目所给数据得到如下2×2的列联表：则K 2的观测值：22100(50201020)12.770306040K ⨯⨯-⨯=≈⨯⨯⨯， 因为12.7＞7.879，所以有99.5%的把握认为选择科目与性别有关．19．（本题满分12分）已知函数21()(1)ln 2f x x m x m x =-++，m ∈R ． （1）若m ＝﹣1，求函数()f x 在区间[1e ，e]上的最小值； （2）若m ＞0，求函数()f x 的单调增区间．解：（1）m ＝﹣1时，21()ln 2f x x x =-，(1)(1)()x x f x x +-'=，x ∈[1e，e]， 令()0f x '=得1x =-（舍去）或者1x =，列表如下：所以，当x ＝1时，函数()f x 的最小值为1(1)2f =， （2）(1)()()x x m f x x--'=，x ＞0 ①当m ＝1时，对任意x ＞0，都有()0f x '≥恒成立(当且仅当x ＝1时，()0f x '=) 则函数()f x 在区间(0，+∞)上单调递增；②当m ＞1时，令()0f x '>，得x ＜1或x ＞m ；则函数()f x 在区间(0，1)，(m ，+∞)上单调递增；③当0＜m ＜1时，令()0f x '>，得x ＜m 或x ＞1；则函数()f x 在区间(0，m )，(1，+∞)上单调递增；综上可得，当m ＝1时，函数()f x 的单调增区间为(0，+∞)；当m ＞1时，函数()f x 的单调增区间为(0，1)，(m ，+∞)；当0＜m ＜1时，函数()f x 的单调增区间为(0，m )，(1，+∞)．20．（本题满分12分）已知2012(1)n n n x a a x a x a x +=++++，n N *∈．（1）当7n =时，求1357a a a a +++的值；（2）求01235(21)n a a a n a +++++． 解：（1）当n ＝7时，7270127(1)x a a x a x a x +=++++， 令x ＝1，有7012345672a a a a a a a a =+++++++，①令x ＝﹣1，有012345670a a a a a a a a =-+-+-+-，②①﹣②得7135722()a a a a =+++，所以61357264a a a a +++==，（2）由题意，i i n a C =，可得i n i a a -=，i ＝0，1，2，3，…，n ，记01235(21)(21)i n S a a a i a n a =++++++++，则210(21)[2()1]53n n i S n a n i a a a a -=+++-+++++012(21)(21)(23)[2()1]i n n a n a n a n i a a =++-+-++-+++ 所以0122(22)()n S n a a a a =+++++， 令x ＝1得，0122n n a a a a ++++=， 所以01235(21)(21)(1)2n i n a a a i a n a S n ++++++++==+． 21．（本题满分12分）常州别称龙城，是一座有着3200多年历史的文化古城．常州既有春秋淹城、天宁寺等名胜古迹，又有中华恐龙园、嬉戏谷等游乐景点，每年都有大量游客来常州参观旅游．为合理配置旅游资源，管理部门对首次来中华恐龙园游览的游客进行了问卷调查，据统计，其中23的人计划只游览中华恐龙园，另外13的人计划既游览中华恐龙园又参观天宁寺．每位游客若只游览中华恐龙园，得1分；若既游览中华恐龙园又参观天宁寺，得2分．假设每位首次来中华恐龙园游览的游客均按照计划进行，且是否参观天宁寺相互独立，视频率为概率．（1）有2名首次来中华恐龙园游览的游客是拼车到常州的，求“这2名游客都是既游览中华恐龙园又参观天宁寺”的概率；（2）从首次来中华恐龙园游览的游客中随机抽取3人，记这3人的合计得分为X ，求X 的概率分布和数学期望．解：（1）由题意，每位游客只游览中华恐龙园的概率为23，既游览中华恐龙园又参观天宁寺的概率为13记两位游客中一位游客“既游览中华恐龙园又参观天宁寺”为事件A ，则P(A)＝13， 另一位游客“既游览中华恐龙园又参观天宁寺”为事件B ，则P(B)＝13， 所以“这2名游客都是既游览中华恐龙园又参观天宁寺”为事件AB ，因为游客是否参观天宁寺相互独立，所以P(AB)＝P(A)P(B)＝111=339⨯， 答：“这2名游客都是既游览中华恐龙园又参观天宁寺”的概率为19， （2）随机变量X 的可能取值为3，4，5，6，3303218(3)()()3327P X C ===，2213214(4)()()339P X C ===， 1123212(5)()()339P X C ===，0033211(6)()()3327P X C ===， ∴X 的概率分布为：所以E(X)＝84213456279927⨯+⨯+⨯+⨯＝4 答：X 的数学期望为4．22．（本题满分12分）已知函数()()e x f x x a b =++，a ，b ∈R ．（1）若a ＝1，求关于x 的不等式()(0)f x f >的解集；（2）若1e a b +=，讨论函数()f x 的零点个数．解：（1）a ＝1时，()(1)e x f x x b =++，()(2)e x f x x '=+，当x ＞﹣2时，()0f x '>，所以()f x 在区间(﹣2，+∞)上单调递增，由()(0)f x f >得x ＞0；当x ≤﹣2时，(1)e 0x x +<，此时()()e 1(0)x f x x a b b b f =++<<+=，综上可得，不等式()(0)f x f >的解集为(0，+∞)；（2）1e a b +=时，1()()e e x a f x x a +=++，()(1)e xf x x a '=++，令()0f x '=得x ＝﹣a ﹣1，列表如下：所以，当x ＝﹣a ﹣1时，函数()f x 的极小值为11(1)e e a a f a --+--=-+； ①当11(1)e e 0a a f a --+--=-+>即1a >-时，对任意x ∈R ，都有()(1)0f x f a ≥-->恒成立，从而函数()f x 无零点，②当11(1)e e 0a a f a --+--=-+=即1a =-时，对任意x ∈R ，都有()(1)0f x f a ≥--≥恒成立（当且仅当x ＝0时，()0f x =），从而函数()f x 的零点个数为1，③当11(1)e e 0a a f a --+--=-+<即1a <-时，在区间[﹣a ﹣1，﹣a ]上，函数()f x 图象是连续不断的一条曲线，其中(1)0f a --< 1()e 0a f a +-=>，函数()f x 在区间[﹣a ﹣1，+∞ )上单调递增，所以函数()f x 在区间(﹣a ﹣1，+∞)上的零点个数为1；在区间[4a ，﹣a ﹣1]上，函数()f x 图象是连续不断的一条曲线，其中(1)0f a --< 3(4)e (5e e)a a f a a =+，即3()t h t te =，1t <-，3()(31)0t h t e t '=+<，所以3()t h t te =在区间(-∞，﹣1]上单调递减，由a ＜﹣1得3()(1)e h a h ->-=-，即33e e a a ->-，所以33(4)e (5e e)e (5e e)0a a a f a a -=+>-+>，又因为函数()f x 在区间(-∞，﹣a ﹣1]上单调递减，所以函数()f x 在区间(-∞，﹣a ﹣1)上的零点个数为1；从而函数()f x 的零点个数为2．综上可得，当1a >-时，函数()f x 无零点，当1a =-时，函数()f x 的零点个数为1，当1a <-时，函数()f x 的零点个数为2．。
【精准解析】江苏省苏州中学2019-2020学年高二下学期阶段调研数学试题
一、单选题（共 8 题，共 40 分）
1.若 i 是虚数单位，复数 2 i ( ) 1 i
A. 1 3 i 22
B. 1 3 i 22
【答案】B
C. 3 3 i 22
【解析】
【分析】
将
2i 1 i
的分子分母都乘以分母的共轭复数 1
i
，即可化简出．
【详解】
2i 1 i
2 i1 i 1 i1 i
-4-
A.
函数
y
f
x
在区间
3,
1 2
内单调递增
B.
函数
y
f
x
在区间
1 2
,
3
内单调递减
C. 函数 y f x 在区间 4,5 内单调递增
D. 当 x 2 时，函数 y f x 有极大值
【答案】CD 【解析】 【分析】 根据导函数符号与函数单调性的关系可判断各选项的正误.
【详解】对于 A 选项，当 3 x 2 时， f x 0 ，则函数 y f x 在区间 3, 2 上单
的距离之和为 3 ， 且 MN 5 3 ，所以，点 A 的轨迹是椭圆，B 选项正确； 对于 C 选项，由复数模的三角不等式可得 z1 z2 z1 z2 z1 z2 ，C 选项正确；
对于 D 选项，设 z1 a bi ，z2 x yi ，则 z1z2 a bi x yi ax by ay bxi ，
【详解】任取三个实数 a ， b ， c 均存在以 f (a), f (b), f (c) 为边长的三角形，
等价于 f (a) f (b) f (c) 恒成立，可转化为 2 f (x)min f (x)max ，且 f (x)min 0 ．
精品解析：江苏省苏州中学2019-2020学年高二下学期阶段调研数学试题(解析版)
选项错误；
对于 C 选项，当 4 x 5时， f x 0 ，则函数 y f x 在区间 4,5 上单调递增，C 选项正确；
对于 D 选项，当 2 x 2 时， f x 0 ，当 2 x 4 时， f x 0 ，所以，函数 y f x 在 x 2 处
取得极大值，D 选项正确. 故选：CD. 【点睛】本题考查利用导函数的图象判断函数的单调性与极值，考查推理能力，属于中等题.
8
【答案】AC
【解析】 【分析】
利用纯虚数的概念以及必要不充分条件的定义可判断 A 选项的正误；解方程 x2 1 0 可判断 B 选项的正
误；利用导数与函数单调性的关系结合充分不必要条件的定义可判断 C 选项的正误；利用基本初等函数的 导数公式可判断 D 选项的正误.综合可得出结论.
【详解】对于 A 选项，若复数 z a bi 为纯虚数，则 a 0 且 b≠0 ，
高二数学阶段调研
一、单选题（共 8 题，共 40 分）
1.若
i
是虚数单位，复数
2i 1 i
(
)
A. 1 3 i 22
B. 1 3 i 22
【答案】B
C. 3 3 i 22
D. 3 3 i 22
【解析】
【分析】
将
2i 1 i
的分子分母都乘以分母的共轭复数1
i
，即可化简出．
【详解】
2i 1 i
2 i1 i 1 i1 i
二、多选题（共 4 题，共 20 分）
9.如果函数 y f x 的导函数的图象如图所示，则下述判断正确的是（ ）
A.
函数
y
f
x
在区间
3,
1 2
内单调递增
B.
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第 1 页 共 6 页 2019-2020学年江苏省镇江市高二下学期期末数学试题 一、单选题 1．设集合2,5,6A，250Bxxxm，若2AB，则B（ ）
A．2,3 B．2 C．3 D．
1,6
【答案】A 【解析】由题意可知，2是关于x的方程250xxm的根，可求得m的值，再解方程250xxm，进而可解出集合B
.
【详解】 2AB，则2B，22520m，解得6m，
25602,3Bxxx
.
故选：A. 【点睛】 本题考查利用交集的结果求参数，考查计算能力，属于基础题. 2．命题020:1,log0pxx，则p为（ ）
A．2 1,log0xx B．
020
1,log0xx
C．020 1,log0xx D．
2
1,log0xx
【答案】D 【解析】由题意结合特称命题的否定为全称命题，即可得解. 【详解】 因为命题020:1,log0pxx为特称命题， 所以p为2
1,log0xx.
故选：D. 【点睛】 本题考查了特称命题的否定，牢记特称命题的否定方法是解题关键，属于基础题.
3．若180,4XB，则DX（ ）
A．20 B．40 C．15 D．
30 第 1 页 共 6 页
【答案】C 【解析】利用二项分布的方差公式可求得DX的值. 【详解】 180,4XB
，因此
13801544DX.
故选：C. 【点睛】 本题考查二项分布的方差的计算，考查计算能力，属于基础题. 4．已知a＝lg2，b＝ln2，c＝e12，则（ ）
A．a＜c＜b B．a＜b＜c C．b＜c＜a D．b＜a＜
c
【答案】B
【解析】利用换底公式可得a＝lg221log10，b＝ln221loge，再利用对数函数、指数函数的单调性即可得解． 【详解】
由题意得a＝lg221log10，b＝ln221loge，
22logl01og1e，a＜b＜1，
又1021cee，∴a＜b＜1＜c． 故选：B． 【点睛】 本题考查了指数式、对数式的大小比较，考查了换底公式、对数函数、指数函数的单调性的应用，属于基础题． 5．“lnlnmn”是“22mn”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】A 【解析】根据对数函数的定义域及单调性，可得,mn的关系，结合充分必要条件性质即可判断. 【详解】 第 1 页 共 6 页
若lnlnmn，根据对数函数的定义域及单调性可知0mn，可得22mn，因而具有充分关系； 若22mn，则mn，当0,0mn时对数函数无意义，因而不具有必要性； 综上可知“lnlnmn”是“22mn”的充分不必要条件
故选：A. 【点睛】 本题考查了充分必要条件的定义域判断，对数函数与图像性质的应用，属于基础题. 6．函数1lnyxx的图象大致为（ ）
A． B．
C．
D．
【答案】C 【解析】根据函数的奇偶性、某个区间上的函数值的符号、某个区间上的单调性，判断出正确选项. 【详解】 由题易知函数1lnyxx为偶函数，排除A选项； 当01x时，ln0x，10x，所以1ln0yxx，排除B选项； 当1x时，1lnyxx，1'ln0xyxx，所以函数1lnyxx在1,
上单调递增，排除D选项. 故选：C 【点睛】 第 1 页 共 6 页
本小题主要考查函数图象的识别，属于基础题. 7．十二生肖是十二地支的形象化代表，即子（鼠）、丑（牛）、寅（虎）、卯（兔）、辰
（龙）、巳（蛇）、午（马）、未（羊）、申（猴）、酉（鸡）、戌（狗）、亥（猪），每一个人的出生年份对应了十二种动物中的一种，即自己的属相.现有印着十二生肖图案的毛绒娃娃各一个，小张同学的属相为马，小李同学的属相为羊，现在这两位同学从这十二个毛绒娃娃中各随机取一个（不放回），则这两位同学都拿到自己属相的毛绒娃娃的概率是（ ） A．1144 B．1132 C．166 D．
1
33 【答案】B
【解析】由题知这两位同学各取一个毛绒娃娃有12×11种取法，而他们都拿到自己属相的毛绒娃娃有1种取法，故可由古典概率公式计算可得. 【详解】 小张、小李同学各取一个毛绒娃娃，共有12×11种取法，这两位同学都拿到自己属相的毛绒娃娃有1种取法，故所求概率1111211132P
.
故选：B 【点睛】 本题主要考查古典概型的计算，考查学生的应用意识与数学抽象的核心素养. 8．已知'fx是函数fx的导函数，对任意的实数x都有2'xfxfxe，且
302f
，若函数yfxa有两个零点，则实数a的取值范围是（ ）
A．252,e B．522,0e C．522,e D．
522,0e
【答案】D
【解析】首先构造函数23xgxefxx，根据'0gx和302g得到32xxfxe，再根据函数fx的单调性和最值即可得到实数a的取值范围.
【详解】 设函数23xgxefxx，则''2xxgxefxefx， 因为2'xfxfxe，所以2'()20xxgxee， 第 1 页 共 6 页
又因为302g，所以0gx，即32xxfxe. 25'xxfxe，fx在5,2上单调递减，在5,2上单调递增，
52min
522fxfe
.且当52x时，0fx，
如图所示：
所以当522,0ae时，yfx与ya有两个交点， 所以实数a的取值范围是522,0e
.
故选：D 【点睛】 本题主要考查利用导数研究函数的零点问题，构造函数为解决本题的关键，属于难题. 9．已知函数f（x）＝Acos（ωx+φ）（A＞0，ω＞0，0＜φ＜π）的图象的一个最高点为
（312，），与之相邻的一个对称中心为06，，将f（x）的图象向右平移6个单位长度得到函数g（x）的图象，则（ ） A．g（x）为偶函数
B．g（x）的一个单调递增区间为51212，
C．g（x）为奇函数 第 1 页 共 6 页
D．函数g（x）在02，上有两个零点
【答案】B 【解析】先根据函数的部分图象和性质求出f（x）解析式，再根据图象的变换规律求得g（x），最后根据余弦函数性质得出结论．
【详解】 因为函数f（x）＝Acos（ωx+φ）的图象的一个最高点为（312，），与之相邻的一个对
称中心为06，， 所以A=3，46T（12）4； 所以T＝π 所以ω＝2； 所以f（x）＝3cos（2x+φ）； 又因为f（12）＝3cos[（2×（12）+φ]＝3， 所以6φ＝Kπ； ∵0＜φ＜π； ∴φ6， ∴f（x）＝3cos（2x6）； 因为将f（x）的图象向右平移6个单位长度得到函数g（x）的图象， 所以g（x）＝3cos[2（x6）6]＝3cos（2x6）；是非奇非偶函数； 令﹣π+2kπ≤2x62kπ， 所以512kπ≤x≤kπ12π，k∈z；
当k＝0时，g（x）的一个单调递增区间为：51212，； 令2x6kπ2， 解得x23k，k∈z， ∴函数g（x）在[0，2]上只有一个零点． 故选：B．