1.机械优化设计绪论

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2、目标函数
数学模型中用来评价设计方案优劣的函数式 f ( X ) f ( x1, x2 ,...xn ) (又称评价函数): ①常用指标: 最好的性能; 最小的重量; 最紧凑的外形; 最小的生产成本; 最大的经济效益等.
②单目标和多目标；
③常处理为极小化形式; ---对极大化问题可取原函数的负值
1)无约束最优解 X 1 2 2 f1 0
T
2)约束最优解 X
2

2
2

T
3)加入等式约束时的最优 解
f 2 2( 2 2) 2 0.68629 X 3 0.8 5

0.4 5

T
f3 1.2669
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五.建模示例（见p6-10）
g3 ( X ) 0
f ( X ) 4080 g2 ( X ) 0
X * [20 ， 24]T
g5 ( X ) 0 g 4 ( X ) x1＝0
10 20 30 40 50 60 70 80 90 100
x1
g 5 ( X ) x2＝0
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【例2】
用图解法求解
强度条件、刚度条件、曲柄存在条件等）。
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不等式约束与等式约束的几何意义：
x2
g(X)=0
x2
h(X)=0
g(X)>0
h(X ) ≠ 0
g(X)<0
h(X ) ≠ 0
0
不等式约束
x1
0
x1
等式约束
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（2）.可行域与不可行域
1)可行域 —满足约束条件的设计点的集合 用D表示: X D Rn x2 D 2)不可行域: D
最优点 : X x1

x2 ... xn

T
最优值 : f f ( X )
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本课程中，所有的优化设计问题都是求目标
函数的极小值。遇到求极大值的问题，则先通过
转化变成极小值问题。
与此同时，所有的不等式约束都采用 g ( X ) 0
的形式。
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2 1 2 2
min f ( X ) x x 4 x1 4 g1 ( X ) x1 x 2 2 0 s.t. g 2 ( X ) x x2 1 0
2 1
g 3 ( X ) x1 0
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x2
5 4 3 2 1
最优解是等值线在
等值线（面）—能使目标函数取某一定值的所有设计点
的集合;
如: f ( X ) ( x1 2) ( x2 1)
2 2
x2
f 0
f 1
f 4
(2,1)
—在无约束极小点处，等值线一般收缩一个点。
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x1
20
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3.约束条件
—对设计变量的取值范围加以限制的条件；
ⅰ)设计常量—预先已给定的参数； ⅱ)设计方案—由设计常量和设计变量组成。 ⅲ)维 数—设计变量的个数n.
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设计变量的全体实际上是一组变量，可用一个列向 量表示：
x x1
x2 ... xn
T
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如何选定设计变量？
任何一项产品，是众多设计变量标志结构尺寸 的综合体。变量越多，可以淋漓尽致地描述产品结 构，但会增加建模的难度和造成优化规模过大。所 以选择设计变量时应注意一下几点： – 抓主要，舍次要 对产品性能和结构影响大的参数可取为设计 变量，影响小的可先根据经验取为试探性的常 量，有的甚至不考虑； – 根据要解决的设计问题的特殊性来选择设计变 量。
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三.最优化方法的发展概况
---是适于生产建设、计划管理、科研和战争的需要发展起来的。
1 ）二十世纪三十年代 . 前苏联 Канторович （ 康托罗维
奇 ）在第二次世界大战期间出于战争运输需要，提出线
性规划问题的解法；
2）二十世纪五十年代末 .
H.W.Kuhn & A.W.Tucker（库
x2
g4 ( X ) 0
最优解是等值线在函数 值下降方向上与可行域 的最后一个交点。
约束方程： g1 ( X ) 9 x1 4 x2 360 ＝0 g 2 ( X ) 3 x1 10x2 300 ＝0 g 3 ( X ) 4 x1 5 x2 200 ＝0
g1 ( X ) 0
*ⅰ)可行点与不可行点
O
X

x1
D内的设计点为可行点,否则为不可行点.
ⅱ)边界点与内点
约束边界上的可行点为边界点,其余可行点为内点.
ⅲ)起作用的约束与不起作用的约束
满足 gu ( X * ) 0 的约束为起作用约束,否则为不起 作用的约束.(等式约束一定是起作用约束)
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例 根据下列约束条件画出可行域。
起作用约束
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4.优化设计的数学模型
求 使
X [ x1 x2 ... xn ]T
f ( X ) min f ( X )
X D Rn
满足于 g u ( X ) 0
u 1,2,..., p
v 1,2,...,q
hv ( X ) 0
注意 : 最优解包括两部分
二.优化设计的数学模型
三.优化设计的几何解释与基本解法
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一. 引例
3 m 例1-1. 要用薄钢板制造一体积为 5m3的长方形汽车货箱(无上
盖 ), 其长度要求不超过 4m. 问如何设计可使耗用的钢板表 面积最小? 解: 设货箱的长、宽、高分别为 x1, x2 , x3，该问题可表示为： 求 x1, x2 , x3 使 f ( x1, x2 , x3 ) x1x2 2( x2 x3 x1x3 ) 达到最小 满足于 g 4 x 0
点--- 以人机配合或自动搜索方式进行,能从 “所有的”可行方案中找出“最优的”设 4 计方案.
二.优化设计方法简介
1)古典方法: 微分法; 变分法. ---仅能解决简单的极值问题 2)现代方法: 数学规划方法 ---可求解包含等式约束和不等式约束
的复杂的优化问题.
有线性规划、非线性规划、多目标及离散规划 等。2015Fra bibliotek5-631
第三节 优化设计的几何解释与基本解法 一、优化问题的几何解释
等值线的概念
以二维优化为例。
等高线
Z=f（x）
设目标函数为 z f ( x, y) ，它的图形 是三维空间中的一个曲面。用一个平面 z=c(常数)去截这个曲面，其交线是空 间中的一条曲线，在这条曲线上所有的 点距平面xoy有同一高度，即具有相同 的目标函数值，称这条曲线为等高线。
g1 ( X ) x1 x2 2 0 2 g ( X ) x 2 1 x2 1 0 g ( X ) x 0 1 3
5
x2
g3 ( X ) 0 4
3
g1 ( X ) 0
-2 -1
2 1 0 1
g2 ( X ) 0
2
x1
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公司能获得最大利润的表达式为目标函数： y=x1+2x2 由题意，占地面积、甲、乙两种住房的数目为约束条件：
该问题是在满足不等式约束条件下，使公司获得最大利润的 优化设计问题。
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二.优化设计的数学模型
1.设计变量 —在设计中需进行优选的独立的待求参数；
例 如右下图所示满足两项约束 条件的二维设计问题的可行域D 为ABC涵盖区域，包括线段AC和 圆弧ABC在内。 约束条件：
g1 ( x) x x 16 0
2 1 2 2
g 2 ( x) 2 x2 0
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x2
g2 ( X ) 0
X ( 3)
X (1)
恩 - 卡特）提出非线性规划的基本定理 , 奠定了非线性规
划的理论基础. 其求解方法在六十年代获得飞速发展;
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* 最优化方法用于机械设计是从二十世纪六十年代开始的, 较早的成果主要反映在机构的优化设计方面 , 现已广泛用 于机械零部件设计和机械系统的优化设计. 是最优化技术和计算技术在设计领域中应用的结果。
g1 ( X ) 0 g2 ( X ) 0
g3 ( X ) 0
函数值下降方向上
与可行域的最后一 个交点。
1 1
g 2 x1 0 g 3 x2 0 g 4 x3 0 h1 x1 x2 x3 5
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x3
其解为：
x1 2.154351 , x2 2.154525 , x3 1.077214
x1
x2
f 13.92477
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例1-2 某建筑公司，在12000㎡的土地上，建设分别占地1012㎡ 和1617㎡的甲、乙两种住房，甲种不能超过8所，每所可获利润 1万元；乙种不能超过4所，每所可获利润2万元。问两种住房 各建几所可获得最大利润？ 解：设建造甲、乙两种住房的数目分别为 x1 ， x 2
g3 ( X ) 0
设计点X(k)的所有起作用约束的
函数序号下标集合用Ik表示，即