12高三文科导数应用：切线方程 单调性 极值 最值
2012年高考文科数学解析分类汇编：导数(逐题详解)
2012年高考文科数学解析分类汇编：导数一、选择题1 ．（2012年高考（重庆文））设函数()f x 在R 上可导,其导函数()f x ',且函数()f x 在2x =-处取得极小值,则函数()y xf x '=的图象可能是2 ．（2012年高考（浙江文））设a>0,b>0,e 是自然对数的底数（ ）A ．若e a +2a=e b+3b,则a>bB ．若e a +2a=e b+3b,则a<bC ．若e a -2a=e b-3b,则a>bD ．若e a -2a=e b-3b,则a<b3 ．（2012年高考（陕西文））设函数f(x)=2x+lnx 则 （ ）A ．x=12为f(x)的极大值点 B ． x=12为f(x)的极小值点 C ．x=2为 f(x)的极大值点D ．x=2为 f(x)的极小值点4 ．（2012年高考（山东文））设函数1()f x x=,2()g x x bx =-+.若()y f x =的图象与()y g x =的图象有且仅有两个不同的公共点1122(,),(,)A x y B x y ,则下列判断正确的是 （ ） A ．12120,0x x y y +>+> B ．12120,0x x y y +>+< C ．12120,0x x y y +<+>D ．12120,0x x y y +<+<5 ．（2012年高考（辽宁文））函数y=12x 2-㏑x 的单调递减区间为 （ ）A ．(-1,1]B ．(0,1]C ．[1,+∞)D ．(0,+∞)6 ．（2012年高考（湖北文））如图,在圆心角为直角的扇形OAB 中,分别以,OA OB 为直径作两个半圆. 在扇形OAB 内随机取一点,则此点取自阴影部分的概率是（ ）A ．112π- B ．1πC ．21π-D ．2π7 ．（2012年高考（福建文））已知32()69,f x x x x abc a b c =-+-<<,且()()()0f a f b f c ===.现给出如下结论:①(0)(1)0f f >;②(0)(1)0f f <;③(0)(3)0f f >;④(0)(3)0f f <. 其中正确结论的序号是 （ ）A ．①③B ．①④C ．②③D ．②④二、填空题8 ．（2012年高考（上海文））已知函数)(x f y =的图像是折线段ABC ,若中A (0,0),B (21,1),C (1,0). 函数)10()(≤≤=x x xf y 的图像与x 轴围成的图形的面积为_______ .9 ．（2012年高考（课标文））曲线(3ln 1)y x x =+在点(1,1)处的切线方程为________ 三、解答题10．（2012年高考（重庆文））已知函数3()f x ax bx c =++在2x =处取得极值为16c -(1)求a 、b 的值;(2)若()f x 有极大值28,求()f x 在[3,3]-上的最大值.11．（2012年高考（浙江文））已知a∈R,函数3()42f x x ax a =-+(1)求f(x)的单调区间(2)证明:当0≤x≤1时,f(x)+ 2a ->0.12．（2012年高考（天津文））已知函数3211()(0)32a f x x x ax a a -=+-->(I)求函数)(x f 的单调区间;(II)若函数)(x f 在区间(2,0)-内恰有两个零点,求a 的取值范围;(III)当1a =时,设函数)(x f 在区间]3,[+t t 上的最大值为()M t ,最小值为()m t ,记()()()g t M t m t =-,求函数()g t 在区间]1,3[--上的最小值.13．（2012年高考（陕西文））设函数()(,,)nn f x x bx cn N b c R +=++∈∈(1)设2n ≥,1,1b c ==-,证明:()n f x 在区间1,12⎛⎫⎪⎝⎭内存在唯一的零点;(2)设n 为偶数,(1)1f -≤,(1)1f ≤,求b+3c 的最小值和最大值;(3)设2n =,若对任意12,x x [1,1]∈-,有2122|()()|4f x f x -≤,求b 的取值范围;14．（2012年高考（山东文））已知函数ln ()(e xx kf x k +=为常数,e=2.71828是自然对数的底数),曲线()y f x =在点(1,(1))f 处的切线与x 轴平行. (Ⅰ)求k 的值;(Ⅱ)求()f x 的单调区间;(Ⅲ)设()()g x xf x '=,其中()f x '为()f x 的导函数.证明:对任意20,()1e x g x -><+.[15．（2012年高考（辽宁文））设()ln 1f x x x =+-,证明:(Ⅰ)当x ﹥1时,()f x ﹤32( 1x -) (Ⅱ)当13x <<时,9(1)()5x f x x -<+16．（2012年高考（课标文））设函数f (x )= e x-ax -2(Ⅰ)求f (x )的单调区间(Ⅱ)若a =1,k 为整数,且当x >0时,(x -k ) f´(x )+x +1>0,求k 的最大值17．（2012年高考（江西文））已知函数2()()xf x ax bx c e =++在[]0,1上单调递减且满足(0)1,(0)0f f ==.(1)求a 的取值范围;(2)设()()()g x f x f x '=--,求()g x 在[]0,1上的最大值和最小值.18．（2012年高考（湖南文））已知函数f(x)=e x-ax,其中a>0.[@、中国^教育出版&网~](1)若对一切x∈R,f(x) ≥1恒成立,求a 的取值集合;[z(2)在函数f(x)的图像上去定点A(x 1, f(x 1)),B(x 2, f(x 2))(x 1<x 2),记直线AB 的斜率为k ,证明:存在x 0∈(x 1,x 2),使0()f x k '=恒成立.19．（2012年高考（湖北文））设函数()(1)(0)nf x ax x b x =-+>,n 为正整数,,a b 为常数,曲线()y f x =在(1,(1))f 处的切线方程为1x y +=.(1)求,a b 的值; (2)求函数()f x 的最大值; (3)证明:1()f x ne<. 20．（2012年高考（广东文））(不等式、导数)设1a <,集合{}0A x R x =∈>,(){}223160B x R x a x a =∈-++>,D A B = .(Ⅰ)求集合D (用区间表示);(Ⅱ)求函数()()322316f x x a x ax =-++在D 内的极值点.21．（2012年高考（福建文））已知函数3()sin (),2f x ax x a R =-∈且在]2,0[π上的最大值为32π-,(1)求函数()f x 的解析式;(2)判断函数()f x 在(0,)π内的零点个数,并加以证明.22．（2012年高考（大纲文））已知函数321()3f x x x ax =++.(Ⅰ)讨论()f x 的单调性;(Ⅱ)设()f x 有两个极值点12,x x ,若过两点11(,())x f x ,22(,())x f x 的直线l 与x 轴的交点在曲线()y f x =上,求a 的值.23．（2012年高考（北京文））已知函数2()1f x ax =+(0a >),3()g x x bx =+.(1)若曲线()y f x =与曲线()y g x =在它们的交点(1,c )处具有公共切线,求,a b 的值;(2)当3,9a b ==-时,求函数()()f x g x +在区间[,2]k 上的最大值为28,求k 的取值范围.24．（2012年高考（安徽文））设定义在(0,+∞)上的函数1()(0)f x ax b a ax=++> (Ⅰ)求()f x 的最小值;(II)若曲线()y f x =在点(1,(1))f 处的切线方程为32y x =,求,a b 的值.2012年高考文科数学解析分类汇编：导数参考答案一、选择题 1. 【答案】:C【解析】:由函数()f x 在2x =-处取得极小值可知2x <-,()0f x '<,则()0xf x '>;2x >-,()0f x '>则20x -<<时()0xf x '<,0x >时()0xf x '>【考点定位】本题考查函数的图象,函数单调性与导数的关系,属于基础题. 2. 【答案】A【命题意图】本题主要考查了函数复合单调性的综合应用,通过构造法技巧性方法确定函数的单调性.【解析】若23a b e a e b +=+,必有22a b e a e b +>+.构造函数:()2x f x e x =+,则()20x f x e '=+>恒成立,故有函数()2x f x e x =+在x >0上单调递增,即a >b 成立.其余选项用同样方法排除.3. 解析:22()x f x x -'=,令()0,f x '=得2x =,2x <时,()0f x '<,1()ln f x x x=+为减函数;2x >时,()0f x '>,1()ln f x x x=+为增函数,所以2x =为()f x 的极小值点,选D.4. 解析:设32()1F x x bx =-+,则方程()0F x =与()()f x g x =同解,故其有且仅有两个不同零点12,x x .由()0F x '=得0x =或23x b =.这样,必须且只须(0)0F =或2()03F b =,因为(0)1F =,故必有2()03F b =由此得3322b =.不妨设12x x <,则32223x b ==.所以231()()(2)F x x x x =--,比较系数得3141x -=,故31122x =-.3121202x x +=>,由此知12121212110x x y y x x x x ++=+=<,故答案应选B. 另解:令)()(x g x f =可得b x x+-=21. 设b x y xy +-=''=',12不妨设21x x <,结合图形可知,21x x <, 即210x x <-<,此时021>+x x ,112211y x x y -=-<=,即021<+y y .答案应选B.5. 【答案】B【解析】b x y +-=''y x1x x211ln ,,00,02y x x y x y x x x x''=-∴=->∴< 由≤，解得-1≤≤1,又≤1,故选B 【点评】本题主要考查利导数公式以及用导数求函数的单调区间,属于中档题.6. C 【解析】如图,不妨设扇形的半径为2a,如图,记两块白色区域的面积分别为S 1,S 2,两块阴影部分的面积分别为S 3,S 4,则S 1+S 2+S 3+S 4=S 扇形OAB =221(2)4a a ππ=①,而S 1+S 3 与S 2+S 3的和恰好为一个半径为a 的圆,即S 1+S 3 +S 2+S 32a π=②. ①-②得S 3=S 4,由图可知S 3=221()2OEDC EOD S S S a a π+-=-正方形扇形扇形COD ,所以. 222S a a π=-阴影.由几何概型概率公式可得,此点取自阴影部分的概率 P=222221OABS a a S a πππ-==-阴影扇形.【点评】本题考查古典概型的应用以及观察推理的能力.本题难在如何求解阴影部分的面积,即如何巧妙地将不规则图形的面积化为规则图形的面积来求解.来年需注意几何概型在实际生活中的应用. 7. 【答案】C【解析】(0),(1)4,(3)275427(0)f abc f abc f abc abc f =-=-=-+-=-= , 又()3(1)(3)f x x x '=--,所以()f x 在(,1)-∞和(3,)+∞上单调增加,在(1,3)上单调递减,故13a b c <<<<,(0)(1)0,(0)(3)0f f f f ∴<>【考点定位】本题考查函数的零点,函数的单调性极值,考查分析判断能力、必然与或然的思想.二、填空题8. [解析] 如图1,⎩⎨⎧≤<-≤≤=1,220,2)(2121x x x x x f , 所以⎩⎨⎧≤<+-≤≤==1,220,2)(212212x x x x x x xf y ,易知,y =xf (x )的分段解析式中的两部分抛物线形状完全相同,只是开口方向及顶点位置不同,如图2,封闭图形MND 与OMP 全等,面积相等,故所求面积即为矩形ODMP 的面积S=412121=⨯.9. 【命题意图】本题主要考查导数的几何意义与直线方程,是简单题.xy A BC 1 1 图1(O )Nx y OD M 1 P 图2【解析】∵3ln 4y x '=+,∴切线斜率为4,则切线方程为:430x y --=.三、解答题 10. 【答案】:(Ⅰ)1327(Ⅱ)427【解析】::(Ⅰ)因3()f x ax bx c =++ 故2()3f x ax b '=+ 由于()f x 在点2x = 处取得极值 故有(2)0(2)16f f c '=⎧⎨=-⎩即1208216a b a b c c +=⎧⎨++=-⎩ ,化简得12048a b a b +=⎧⎨+=-⎩解得112a b =⎧⎨=-⎩(Ⅱ)由(Ⅰ)知 3()12f x x x c =-+,2()312f x x '=-令()0f x '= ,得122,2x x =-=当(,2)x ∈-∞-时,()0f x '>故()f x 在(,2)-∞-上为增函数;当(2,2)x ∈- 时,()0f x '< 故()f x 在(2,2)- 上为减函数 当(2,)x ∈+∞ 时()0f x '> ,故()f x 在(2,)+∞ 上为增函数.由此可知()f x 在12x =- 处取得极大值(2)16f c -=+,()f x 在22x = 处取得极小值(2)f c =-由题设条件知1628c += 得12c =此时(3)921,(3f c f c -=+==-+=,(2)164f c =-=-因此()f x 上[3,3]-的最小值为(2)4f =-【考点定位】本题主要考查函数的导数与极值,最值之间的关系,属于导数的应用.(1)先对函数()f x 进行求导,根据(2)0f '==0,(2)16f c =-,求出a,b 的值.(1)根据函数()f x =x3-3ax2+2bx 在x=1处有极小值-1先求出函数中的参数a,b 的值,再令导数等于0,求出极值点,判断极值点左右两侧导数的正负,当左正右负时有极大值,当左负右正时有极小值.再代入原函数求出极大值和极小值.(2)列表比较函数的极值与端点函数值的大小,端点函数值与极大值中最大的为函数的最大值,端点函数值与极小值中最小的为函数的最小值.11. 【命题意图】本题是导数中常规的考查类型主要利用三次函数的求导判定函数的单调区间,并综合绝对值不等式考查了学生的综合分析问题的能力.【解析】(1)由题意得2()122f x x a '=-,当0a ≤时,()0f x '≥恒成立,此时()f x 的单调递增区间为(),-∞+∞.当0a >时,()12()()66a a f x x x '=-+,此时函数()f x 的单调递增区间为,66a a ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦.(2)由于01x ≤≤,当2a ≤时,33()2422442f x a x ax x x +-=-+≥-+. 当2a >时,333()242(1)244(1)2442f x a x a x x x x x +-=+--≥+--=-+.设3()221,01g x x x x =-+≤≤,则233()626()()33g x x x x '=-=-+. 则有 x30,3⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭333,13⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭1()g x ' - 0 + ()g x1减极小值增1所以min 343()()1039g x g ==->. 当01x ≤≤时,32210x x -+>. 故3()24420f x a x x +-≥-+>.12.解:(1)2()(1)(1)()f x x a x a x x a '=+--=+-,由()0f x '=,得121,0x x a =-=>13.14.解:(I)1ln ()e x x k x f x --'=,由已知,1(1)0ek f -'==,∴1k =. (II)由(I)知,1ln 1()e xx x f x --'=. 设1()ln 1k x x x =--,则211()0k x x x'=--<,即()k x 在(0,)+∞上是减函数, 由(1)0k =知,当01x <<时()0k x >,从而()0f x '>,当1x >时()0k x <,从而()0f x '<.综上可知,()f x 的单调递增区间是(0,1),单调递减区间是(1,)+∞. (III)证明:由(II)可知,当1x ≥时,()()g x xf x '=≤0<1+2e -,故只需证明2()1e g x -<+在01x <<时成立.当01x <<时,e x >1,且()0g x >,∴1ln ()1ln e xx x x g x x x x --=<--. 设()1ln F x x x x =--,(0,1)x ∈,则()(ln 2)F x x '=-+, 当2(0,e )x -∈时,()0F x '>,当2(e ,1)x -∈时,()0F x '<,所以当2e x -=时,()F x 取得最大值22()1e F e --=+.所以2()()1e g x F x -<≤+.综上,对任意0x >,2()1e g x -<+.另证:因为)0(),ln 1(1)()(>--='=x x x x e x f x x g x,设x x x x h ln 1)(--=,则2ln )(--='x x h ,令2,02ln )(-==--='e x x x h ,当),0(2-∈e x 时0)(>'x h ,)(x h 单调递增;当),(2+∞∈-e x 时0)(<'x h ,)(x h 单调递减.所以当0>x 时,221)()(--+=≤e e h x h ,而当0>x 时110<<x e ,所以当0>x 时21)ln 1(1)(-+<--=e x x x e x g x ,综上可知结论成立.15. 【答案与解析】【点评】本题主要考查导数公式,以及利用导数,通过函数的单调性与最值来证明不等式,考查转化思想、推理论证能力、运算能力、应用所学知识解决问题的能力,难度较大. 16. (Ⅰ) 解:()x f 的定义域为R ,()a e x f x -=';若0≤a ,则()0>'x f 恒成立,所以()x f 在R 总是增函数若0>a ,令()0>'x f ,求得a x ln >,所以()x f 的单增区间是()∞+,ln a ; 令()0<'x f , 求得 a x ln <,所以()x f 的单减区间是()a ln ,∞-(Ⅱ) 把()⎩⎨⎧-='=ae xf a x 1 代入()()01>++'-x x f k x 得:()()011>++--x e k x x ,因为0>x ,所以01>-x e ,所以:()()11-->--x e k x x ,11--->-x e x k x , 11-+<-x e x x k ,所以:(*))0(11 >+-+<x x e x k x令()x e x x g x +-+=11,则()()()212---='x x x e x e e x g ,由(Ⅰ)知:()()2--=x e x h x 在()∞+,0单调递增,而()()⎩⎨⎧><0201h h ,所以()x h 在()∞+,0上存在唯一零点α,且()2,1∈α; 故()x g '在()∞+,0上也存在唯一零点且为α,当()α,0∈x 时, ()0<'x g ,当()∞+∈,αx 时,()0>'x g ,所以在()∞+,0上,()()αg x g =m in ;由()0='αg 得:2+=ααe ,所以()1+=ααg ,所以()()3,2∈αg , 由于(*)式等价于()αg k <,所以整数的最大值为217. 【解析】(1)由(0)1f c ==,(1)0f =⇒1,1c a b =+=-,则2()[(1)1]x f x ax a x e =-++,2'()((1))x f x ax a x a e =+--,依题意须对于任意(0,1)x ∈,有()0f x '<,当0a >时,因为二次函数2(1)y ax a x a =---的图像开口向上,而(0)0f a '=-<,所以须(1)(1)0f a e '=-<,即01a <<,当1a =时,对任意(0,1)x ∈,有2()(1)0x f x x e '=-<,符合条件;当0a =时,对任意(0,1x ∈,()0x f x xe '=-<,()f x 符合要求,当0a <时,因(0)0f a '=>,()f x 不符合条件,故a 的取值范围为01a ≤≤.(2)因()(21),()(21)x xg x ax e g x ax a e '=-+=-+-当0a =时,()0x g x e '=>,()g x 在0x =上取得最小值(0)1g =,在1x =上取得最大值(1)g e =;当1a =时,对于任意(0,1)x ∈,有()20x g x xe '=-<,()g x 在0x =上取得最大值(0)2g =,在1x =上取得最小值(1)0g =;当01a <<时,由1()002a g x x a-'=⇒=>,18. 【解析】解:(),x f x e a '=-令()0ln f x x a '==得. [当ln x a <时()0,()f x f x '<单调递减;当ln x a >时()0,()f x f x '>单调递增,故当ln x a =时,()f x 取最小值(ln )ln .f a a a a =-于是对一切,()1x R f x ∈≥恒成立,当且仅当ln 1a a a -≥. ①令()ln ,g t t t t =-则()ln .g t t '=-当01t <<时,()0,()g t g t '>单调递增;当1t >时,()0,()g t g t '<单调递减.故当1t =时,()g t 取最大值(1)1g =.因此,当且仅当1a =时,①式成立.综上所述,a 的取值集合为{}1.(Ⅱ)由题意知,21212121()().x x f x f x e e k a x x x x --==--- 令2121()(),x x xe e xf x k e x x ϕ-'=-=--则 12112121()()1,x x x e x e x x x x ϕ-⎡⎤=----⎣⎦- 21221221()()1.x x x e x e x x x x ϕ-⎡⎤=---⎣⎦- 令()1t F t e t =--,则()1t F t e '=-.当0t <时,()0,()F t F t '<单调递减;当0t >时,()0,()F t F t '>单调递增.故当0t =,()(0)0,F t F >=即10.t e t -->从而2121()10x x e x x ---->,1212()10,x x e x x ---->又1210,x e x x >-2210,x e x x >- 所以1()0,x ϕ<2()0.x ϕ>因为函数()y x ϕ=在区间[]12,x x 上的图像是连续不断的一条曲线,所以存在 012(,)x x x ∈使0()0,x ϕ=即0()f x k '=成立.【点评】本题考查利用导函数研究函数单调性、最值、不等式恒成立问题等,考查运算能力,考查分类讨论思想、函数与方程思想等数学方法.第一问利用导函数法求出()f x 取最小值(ln )ln .f a a a a =-对一切x∈R,f(x) ≥1恒成立转化为min ()1f x ≥从而得出求a 的取值集合;第二问在假设存在的情况下进行推理,然后把问题归结为一个方程是否存在解的问题,通过构造函数,研究这个函数的性质进行分析判断.19. 【解析】(1)因为(1)f b =,由点(1,)b 在1x y +=上,可得110b b +=⇒=因为1()(1)n n f x ax a n x -'=-+,所以(1)f a '=-又因为切线1x y +=的斜率为1-,所以11a a -=-⇒=,所以1,0a b ==(2)由(1)可知,11()(1),()(1)()1n n n n n f x x x x x f x n x x n +-'=-=-=+-+ 令()01n f x x n '=⇒=+,即()f x '在(0,)+∞上有唯一的零点01n x n =+.在(0,)1n n +上,()0f x '>,故()f x 单调递增;而在(,)1n n +∞+上,()0f x '<,()f x 单调递减,故()f x 在(0,)+∞的最大值为1()()(1)111(1)nn n n n n n f n n n n +=-=++++. (3)令1()ln 1(0)t t t t ϕ=-+>,则22111()(0)t t t t t t ϕ-'=-> 在(0,1)上,()0t ϕ'<,故()t ϕ单调递减,而在(1,)+∞上,()0t ϕ'>,()t ϕ单调递增, 故()t ϕ在(0,)+∞上的最小值为(1)0ϕ=,所以()0(1)t t ϕ>> 即1ln 1(1)t t t >->,令11t n =+,得11ln 1n n n +>+,即11ln()ln n n e n++> 所以11()n n e n++>,即11(1)n n n n ne +<+ 由(2)知,11()(1)n n n f x n ne+≤<+,故所证不等式成立. 【点评】本题考查多项式函数的求导,导数的几何意义,导数判断函数的单调性,求解函数的最值以及证明不等式等的综合应用.考查转化与划归,分类讨论的数学思想以及运算求解的能力. 导数的几何意义一般用来求曲线的切线方程,导数的应用一般用来求解函数的极值,最值,证明不等式等. 来年需注意应用导数判断函数的极值以及求解极值,最值等;另外,要注意含有,ln xe x 等的函数求导的运算及其应用考查.20.解析:(Ⅰ)考虑不等式()223160x a x a -++>的解. 因为()()()2314263331a a a a ∆=⎡-+⎤-⨯⨯=--⎣⎦,且1a <,所以可分以下三种情况: ①当113a <<时,0∆<,此时B =R ,()0,D A ==+∞. ②当13a =时,0∆=,此时{}1B x x =≠,()()0,11,D =+∞ . ③当13a <时,0∆>,此时()223160x a x a -++=有两根,设为1x 、2x ,且12x x <,则()()()13133314a a a x +---=,()()()23133314a a a x ++--=,于是{}12B x x x x x =<>或. 当103a <<时,()123102x x a +=+>,1230x x a =>,所以210x x >>,此时()()120,,D x x =+∞ ;当0a ≤时,1230x x a =≤,所以10x ≤,20x >,此时()2,D x =+∞.综上所述,当113a <<时,()0,D A ==+∞;当13a =时,()()0,11,D =+∞ ;当103a <<时,()()120,,D x x =+∞ ;当0a ≤时,()2,D x =+∞.其中()()()13133314a a a x +---=,()()()23133314a a a x ++--=.(Ⅱ)()()26616f x x a x a '=-++,令()0f x '=可得()()10x a x --=.因为1a <,所以()0f x '=有两根1m a =和21m =,且12m m <.①当113a <<时,()0,D A ==+∞,此时()0f x '=在D 内有两根1m a =和21m =,列表可得x ()0,aa(),1a1 ()1,+∞()f x '+ 0 - 0 + ()f x递增极小值递减极大值递增所以()f x 在D 内有极大值点1,极小值点a . ②当13a =时,()()0,11,D =+∞ ,此时()0f x '=在D 内只有一根113m a ==,列表可得 x10,3⎛⎫⎪⎝⎭131,13⎛⎫ ⎪⎝⎭()1,+∞()f x '+ 0 - + ()f x递增极小值递减递增所以()f x 在D 内只有极小值点a ,没有极大值点. ③当103a <<时,()()120,,D x x =+∞ ,此时1201a x x <<<<(可用分析法证明),于是()0f x '=在D 内只有一根1m a =,列表可得x ()0,aa()1,a x()2,x +∞()f x '+-+()f x递增 极小值 递减 递增所以()f x 在D 内只有极小值点a ,没有极大值点.④当0a ≤时,()2,D x =+∞,此时21x >,于是()f x '在D 内恒大于0,()f x 在D 内没有极值点.综上所述,当113a <<时,()f x 在D 内有极大值点1,极小值点a ;当103a <≤时,()f x 在D 内只有极小值点a ,没有极大值点.当0a ≤时,()f x 在D 内没有极值点.21. 【考点定位】本题主要考查函数的最值、零点、单调性等基础知识,考查推理论证能力、运算求解能力、考查函数与方程思想、数形结合思想、分类讨论思想、转化化归思想. 解:()(sin cos ),(0,),sin cos 02f x a x x x x x x x π'=+∈∴+>当0a =时,3()2f x =-不合题意; 当0a <时,()0f x '<,()f x 单调递减,max 3[()](0)2f x f ==-,不合题意; 当0a >时,()0f x '>,()f x 单调递增,max33[()]()2222f x f a πππ-==-=1a ∴=,所以综上3()sin 2f x x x =-(2)()f x 在(0,)π上有两个零点.证明如下: 由(1)知3()sin 2f x x x =-,33(0)0,()0222f f ππ-=-<=> ∴()f x 在[0,]2π上至少有一个零点,又由(1)知()f x 在[0,]2π上单调递增,故在[0,]2π上只有一个零点,当x 2ππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，时,令()()sin cos g x f x x x x '==+, 10)02g g πππ=>=-<（），（,()g x 在2ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦，上连续,∴2m ππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，,()0g m =')2cos -sin 0g x x x x =<（,∴()g x 在2ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦，上递减,当2x m π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，时,()()0g x g m >=,')0f x >（,()f x 递增,∴当(,)2m m π∈时,3()()022f x f ππ-≥=>∴()f x 在(,)m π上递增,∵()0,()0f m f π><∴()f x 在(,)m π上只有一个零点,综上()f x 在(0,)π上有两个零点.22. 【命题意图】本试题考查了导数在研究函数中的运用.第一问就是三次函数,通过求解导数求解单调区间.另外就是运用极值概念,求解参数值的运用.解:(1)依题意可得2()2f x x x a '=++当440a ∆=-≤即1a ≥时,220x x a ++≥恒成立,故()0f x '≥,所以函数()f x 在R 上单调递增;当440a ∆=->即1a <时,2()20f x x x a '=++=有两个相异实根1224411,112ax a x a ---==---=-+-且12x x <故由2()20f x x x a '=++>⇒(,11)x a ∈-∞---或(11,)x a ∈-+-+∞,此时()f x 单调递增由2()201111f x x x a a x a '=++<⇒---<<-+-,此时此时()f x 单调递增递减综上可知当1a ≥时,()f x 在R 上单调递增;当1a <时,()f x 在(,11)x a ∈-∞---上单调递增,在(11,)x a ∈-+-+∞单调递增,在(11,11)a a ----+-单调递减. (2)由题设知,12,x x 为方程()0f x '=的两个根,故有2211221,2,2a x x a x x a <=--=--因此321111()33a f x =+同理222()(1)33a f x a x =-- 因此直线l 的方程为2(1)33ay a x =--设l 与x 轴的交点为0(,0)x ,得02(1)ax a =-而22322031()()()(12176)32(1)2(1)2(1)24(1)a a a a f x a a a a a a =++=-+---- 由题设知,点0(,0)x 在曲线()y f x =的上,故0()0f x =,解得0a =或23a =或34a = 所以所求a 的值为0a =或23a =或34a =. 【点评】试题分为两问,题面比较简单,给出的函数比较常规,这一点对于同学们来说没有难度,但是解决的关键还是要看导数的符号对函数单调性的影响,求解函数的单调区间.第二问中,运用极值的问题,和直线方程的知识求解交点,得到参数的值.23. 【考点定位】此题应该说是导数题目中较为常规的类型题目,考醒的切线、单调性、极值以及最值问题都是果本中要求的重点内容.也是学生掌握比较好的知识点,在题目占能够发现(3)28F -=和分析出区间[,2]k 包含极大值点13x =-,比较重要.解:(1)()2f x ax '=,2()=3g x x b '+.因为曲线()y f x =与曲线()y g x =在它们的交点()1c ，处具有公共切线,所以(1)(1)f g =,(1)(1)f g ''=.即11a b +=+且23a b =+.解得3,3a b ==(2)记()()()h x f x g x =+当3,9a b ==-时,32()391h x x x x =+-+,2()369h x x x '=+- 令()0h x '=,解得:13x =-,21x =;()h x 与()h x '在(,2]-∞上的情况如下:x (,3)-∞- 3-(3,1)-1 (1,2)2 ()h x + 0 —0 +()h x '↑ 28↓ -4↑3由此可知:当3k ≤-时,函数()h x 在区间[,2]k 上的最大值为(3)28h -=; 当32k -<<时,函数()h x 在区间[,2]k 上的最大值小于28. 因此,k 的取值范围是(,3]-∞-24. 【解析】(I)11()22f x ax b ax b b ax ax=++≥+=+ 当且仅当11()ax x a ==时,()f x 的最小值为2b + (II)由题意得:313(1)22f a b a =⇔++= ①2113()(1)2f x a f a ax a ''=-⇒=-= ②由①②得:2,1a b ==-。
专题训练--利用导数求单调区间、极值、最值
利用导数求函数的单调性、极值 、最值一．求单调区间的步骤①求定义域；①求导函数f ′(x )；①解方程f ′(x )＝0；④分区间；⑤列表定导数正负得单调区间. 二．求极值的步骤（同上） 极值的定义：①如果在x 0附近的左侧f ′(x )>0，右侧f ′(x )<0，那么f (x 0)是极大值； ①如果在x 0附近的左侧f ′(x )<0，右侧f ′(x )>0，那么f (x 0)是极小值． 三．求函数最值的步骤①求极值；①求[a ，b ]端点的函数值f (a )、f (b )；①比较极值与端点函数值的大小，得最值.考向一 求单调区间【例题】求下列函数的单调区间：（1）3()23f x x x =-； （2）2()ln f x x x =-. （3）)f (x )＝2x －x 2. 【练习】1．函数 f (x )＝(x －3)e x 的单调递增区间是( ） A ．(－∞，2) B ．(0,3) C ．(1,4) D ．(2，＋∞)2.函数f (x )＝x －ln x 的单调递减区间为( )A.(0，1)B.(0，＋∞)C.(1，＋∞)D.(－∞，0)①(1，＋∞) 3．函数f (x )＝x ＋eln x 的单调递增区间为( )A ．(0，＋∞)B ．(－∞，0)C ．(－∞，0)和(0，＋∞)D ．R4．函数y ＝4x 2＋1x 的单调增区间为________．【答案】()12，＋∞ 5．函数f (x )＝x ·e x －e x＋1的单调增区间是________．【答案】 (e －1，＋∞)6．已知函数f (x )＝x ln x ，则f (x )的单调减区间是________．【答案】()0，1e7．已知定义在区间(－π，π)上的函数f (x )＝x sin x ＋cos x ，则f (x )的单调增区间是_______．()－π，－π2和()0，π28. 函数f (x )=(x-3)e x 的单调递增区间是 。
高中数学导数与函数的极值与单调性
高中数学导数与函数的极值与单调性在高中数学中，导数与函数的极值与单调性是一个重要且基础的概念。
理解导数与函数的极值与单调性对于解决一些函数的问题非常关键。
本文将通过讨论导数的概念、求导法则以及函数的极值和单调性来详细介绍这个主题。
一、导数的概念与求导法则1. 导数的概念函数的导数表示函数在某一点的变化率，可以理解为函数曲线在该点处的切线的斜率。
导数通常用符号"f'(x)"或"dy/dx"表示。
对于函数y=f(x)，其导数可以通过求导得到。
2. 求导法则求导法则是一类用于求函数导数的规则，常见的包括常数法则、幂函数法则、和差法则、乘积法则和商法则等。
这些法则可以帮助我们计算各种函数的导数，从而研究其极值和单调性。
二、函数的极值1. 极值的定义极值是函数在一定区间内取得的最大值或最小值。
极大值表示函数取得的最大值，而极小值表示函数取得的最小值。
2. 寻找极值的方法要寻找函数的极值，我们需要分析函数的导数和二阶导数。
首先，通过求导得到函数的导数，然后找到导数为零或不存在的点。
接下来，求取这些点的二阶导数，通过二阶导数的正负性来判断极值的情况。
三、函数的单调性1. 单调性的定义函数的单调性是指函数在定义域内的变化趋势。
如果函数在某个区间上的导数始终大于零，那么该函数在该区间上是递增的；如果导数始终小于零，函数在该区间上是递减的。
2. 单调性的判断方法为了判断函数的单调性，我们可以先求取函数的导数，并对导数进行分析。
通过导数的正负性可以判断函数在某个区间上是否递增或递减。
如果导数恒大于零，则函数在该区间上递增；如果导数恒小于零，则函数在该区间上递减。
四、综合应用举例下面通过一个例子来综合运用导数与函数的极值与单调性。
例：函数f(x) = x^3 - 3x^2 - 9x + 5，在[-2, 4]区间上的极值与单调性。
解：首先，求取函数的导数：f'(x) = 3x^2 - 6x - 9然后，令导数等于零，解方程：3x^2 - 6x - 9 = 0化简得：x^2 - 2x - 3 = 0解得：x = -1 或 x = 3接下来，求取导数的二阶导数：f''(x) = 6x - 6将x = -1 和 x = 3代入二阶导数得到：f''(-1) = -12f''(3) = 12根据二阶导数的正负性，当x = -1时，f(x)取得极大值；当x = 3时，f(x)取得极小值。
高中数学复习：导数与函数的单调性、极值、最值问题
高中数学复习：导数与函数的单调性、极值、最值问题1.函数f (x )＝x 4－2x 3的图象在点(1，f (1))处的切线方程为( ) A.y ＝－2x －1 B.y ＝－2x ＋1 C.y ＝2x －3D.y ＝2x ＋1解析 f (1)＝1－2＝－1，切点坐标为(1，－1)， 又f ′(x )＝4x 3－6x 2，所以切线的斜率k ＝f ′(1)＝4×13－6×12＝－2， 切线方程为y ＋1＝－2(x －1)，即y ＝－2x ＋1.故选B. 答案 B2.设函数f (x )＝e xx ＋a .若f ′(1)＝e4，则a ＝________.解析 f ′(x )＝e x（x ＋a －1）（x ＋a ）2，可得f ′(1)＝a e （1＋a ）2＝e 4，即a （1＋a ）2＝14，解得a ＝1.答案 13.已知函数f (x )＝a ex －1－ln x ＋ln a .(1)当a ＝e 时，求曲线y ＝f (x )在点(1，f (1))处的切线与两坐标轴围成的三角形的面积； (2)若f (x )≥1，求a 的取值范围.解 f (x )的定义域为(0，＋∞)，f ′(x )＝a ex －1－1x.(1)当a ＝e 时，f (x )＝e x－ln x ＋1，f (1)＝e ＋1，f ′(1)＝e －1，曲线y ＝f (x )在点(1，f (1))处的切线方程为y －(e ＋1)＝(e －1)(x －1)，即y ＝(e －1)x ＋2. 直线y ＝(e －1)x ＋2在x 轴，y 轴上的截距分别为－2e －1，2.因此所求三角形的面积S ＝12|x |·|y |＝12×2×2e －1＝2e －1.(2)当0＜a ＜1时，f (1)＝a ＋ln a ＜1. 当a ＝1时，f (x )＝ex －1－ln x ，f ′(x )＝ex －1－1x.当x ∈(0，1)时，f ′(x )＜0； 当x ∈(1，＋∞)时，f ′(x )＞0.所以当x ＝1时，f (x )取得最小值，最小值为f (1)＝1，从而f (x )≥1.当a ＞1时，f (x )＝a ex －1－ln x ＋ln a ＞ex －1－ln x ≥1.综上，a 的取值范围是[1，＋∞). 4.已知函数f (x )＝e x ＋ax 2－x . (1)当a ＝1时，讨论f (x )的单调性；(2)当x ≥0时，f (x )≥12x 3＋1，求a 的取值范围.解 (1)当a ＝1时，f (x )＝e x ＋x 2－x ，x ∈R ，f ′(x )＝e x＋2x －1. 故当x ∈(－∞，0)时，f ′(x )<0；当x ∈(0，＋∞)时，f ′(x )>0. 所以f (x )在(－∞，0)单调递减，在(0，＋∞)单调递增. (2)f (x )≥12x 3＋1等价于⎝ ⎛⎭⎪⎫12x 3－ax 2＋x ＋1e －x≤1.设函数g (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x 3－ax 2＋x ＋1e －x(x ≥0)，则g ′(x )＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫12x 3－ax 2＋x ＋1－32x 2＋2ax －1e －x＝－12x [x 2－(2a ＋3)x ＋4a ＋2]e －x＝－12x (x －2a －1)(x －2)e －x.①若2a ＋1≤0，即a ≤－12，则当x ∈(0，2)时，g ′(x )>0.所以g (x )在(0，2)单调递增，而g (0)＝1， 故当x ∈(0，2)时，g (x )>1，不符合题意. ②若0<2a ＋1<2，即－12<a <12，则当x ∈(0，2a ＋1)∪(2，＋∞)时，g ′(x )<0； 当x ∈(2a ＋1，2)时，g ′(x )>0.所以g (x )在(0，2a ＋1)，(2，＋∞)单调递减，在(2a ＋1，2)单调递增. 由于g (0)＝1，所以g (x )≤1当且仅当g (2)＝(7－4a )·e －2≤1，即a ≥7－e24.所以当7－e 24≤a <12时，g (x )≤1.③若2a ＋1≥2，即a ≥12，则g (x )≤⎝ ⎛⎭⎪⎫12x 3＋x ＋1e －x.由于0∈⎣⎢⎡⎭⎪⎫7－e 24，12，故由②可得⎝ ⎛⎭⎪⎫12x 3＋x ＋1e －x ≤1.故当a ≥12时，g (x )≤1.综上，a 的取值范围是⎣⎢⎡⎭⎪⎫7－e 24，＋∞.考点1.导数的几何意义函数f (x ) 在x 0处的导数是曲线f (x )在点P (x 0，f (x 0))处的切线的斜率，曲线f (x )在点P 处的切线的斜率k ＝f ′(x 0)，相应的切线方程为y －f (x 0)＝f ′(x 0)(x －x 0).易错提醒 求曲线的切线方程时，要注意是在点P 处的切线还是过点P 的切线，前者点P 为切点，后者点P 不一定为切点. 2.四个易误导数公式 (1)(sin x )′＝cos x ； (2)(cos x )′＝－sin x ；(3)(a x)′＝a xln a (a >0，且a ≠1)； (4)(log a x )′＝1x ln a(a >0，且a ≠1，x >0). 3.利用导数研究函数的单调性 (1)导数与函数单调性的关系.①f ′(x )>0是f (x )为增函数的充分不必要条件，如函数f (x )＝x 3在(－∞，＋∞)上单调递增，但f ′(x )≥0.②f ′(x )≥0是f (x )为增函数的必要不充分条件，如果函数在某个区间内恒有f ′(x )＝0时，则f (x )为常数函数.(2)利用导数研究函数单调性的方法.①若求单调区间(或证明单调性)，只要在函数定义域内解(或证明)不等式f ′(x )>0或f ′(x )<0.②若已知函数的单调性，则转化为不等式f ′(x )≥0或f ′(x )≤0在单调区间上恒成立问题来求解.4.利用导数研究函数的极值、最值(1)若在x 0附近左侧f ′(x )>0，右侧f ′(x )<0，则f (x 0)为函数f (x )的极大值；若在x 0附近左侧f ′(x )<0，右侧f ′(x )>0，则f (x 0)为函数f (x )的极小值.(2)设函数y ＝f (x )在[a ，b ]上连续，在(a ，b )内可导，则f (x )在[a ，b ]上必有最大值和最小值且在极值点或端点处取得.易错提醒 若函数的导数存在，某点的导数等于零是函数在该点取得极值的必要不充分条件.热点一 导数的几何意义【例1】 (1)已知曲线y ＝a e x＋x ln x 在点(1，a e)处的切线方程为y ＝2x ＋b ，则( ) A.a ＝e ，b ＝－1 B.a ＝e ，b ＝1 C.a ＝e －1，b ＝1D.a ＝e －1，b ＝－1(2)(多选题)下列四条曲线中，直线y ＝2x 与其相切的有( ) A.曲线y ＝2e x－2 B.曲线y ＝2sin x C.曲线y ＝3x ＋1xD.曲线y ＝x 3－x －2解析 (1)因为y ′＝a e x＋ln x ＋1，所以k ＝y ′|x ＝1＝a e ＋1， 所以曲线在点(1，a e)处的切线方程为y －a e ＝(a e ＋1)(x －1)，即y ＝(a e ＋1)x －1.所以⎩⎪⎨⎪⎧a e ＋1＝2，b ＝－1，即⎩⎪⎨⎪⎧a ＝e －1，b ＝－1. (2)直线y ＝2x 的斜率为k ＝2，A 中，若f (x )＝2e x－2，则由f ′(x )＝2e x＝2，得x ＝0，f (0)＝0，因为点(0，0)在直线y ＝2x 上，所以直线y ＝2x 与曲线y ＝2e x－2相切.B 中，若f (x )＝2sin x ，则由f ′(x )＝2cos x ＝2，得x ＝2k π(k ∈Z )，f (2k π)＝0，因为点(0，0)在直线y ＝2x 上，所以直线y ＝2x 与曲线y ＝2sin x 相切.C 中，若f (x )＝3x ＋1x ，则由f ′(x )＝3－1x2＝2，得x ＝±1，f (1)＝4，f (－1)＝－4，因为(1，4)，(－1，－4)都不在直线y ＝2x 上，所以直线y ＝2x 与曲线y ＝3x ＋1x不相切.D 中，若f (x )＝x 3－x －2，则由f ′(x )＝3x 2－1＝2，得x ＝±1，f (1)＝－2，f (－1)＝－2，其中(－1，－2)在直线y ＝2x 上，所以直线y ＝2x 与曲线y ＝x 3－x －2相切.故选ABD. 答案 (1)D (2)ABD探究提高 利用导数的几何意义解题，主要是利用导数、切点坐标、切线斜率之间的关系来进行转化，其中关键是确定切点的坐标.【训练1】 (1)在平面直角坐标系xOy 中，点A 在曲线y ＝ln x 上，且该曲线在点A 处的切线经过点(－e ，－1)(e 为自然对数的底数)，则点A 的坐标是________. (2)曲线y ＝ln x ＋x ＋1的一条切线的斜率为2，则该切线的方程为________. 解析 (1)设A (m ，n )，则曲线y ＝ln x 在点A 处的切线方程为y －n ＝1m(x －m ).又切线过点(－e ，－1)， 所以有n ＋1＝1m(m ＋e).再由n ＝ln m ，解得m ＝e ，n ＝1. 故点A 的坐标为(e ，1). (2)设切点坐标为(x 0，y 0)，因为y ＝ln x ＋x ＋1，所以y ′＝1x＋1，所以切线的斜率为1x 0＋1＝2，解得x 0＝1.所以y 0＝ln 1＋1＋1＝2，即切点坐标为(1，2)， 所以切线方程为y －2＝2(x －1)，即2x －y ＝0. 答案 (1)(e ，1) (2)2x －y ＝0 热点二 利用导数研究函数的单调性 角度1 讨论函数的单调性(区间) 【例2】已知函数f (x )＝2ln x ＋1. (1)若f (x )≤2x ＋c ，求c 的取值范围； (2)设a >0，讨论函数g (x )＝f （x ）－f （a ）x －a的单调性.解 设h (x )＝f (x )－2x －c ，则h (x )＝2ln x －2x ＋1－c ， 其定义域为(0，＋∞)，h ′(x )＝2x－2.(1)当0<x <1时，h ′(x )>0；当x >1时，h ′(x )<0.所以h (x )在区间(0，1)单调递增，在区间(1，＋∞)单调递减. 从而当x ＝1时，h (x )取到最大值，最大值为h (1)＝－1－c . 故当且仅当－1－c ≤0，即c ≥－1时，f (x )≤2x ＋c . 所以c 的取值范围为[－1，＋∞). (2)g (x )＝f （x ）－f （a ）x －a ＝2（ln x －ln a ）x －a，x ∈(0，a )∪(a ，＋∞).g ′(x )＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫x －a x ＋ln a －ln x （x －a ）2＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫1－a x ＋ln a x （x －a ）2. 取c ＝－1得h (x )＝2ln x －2x ＋2，h (1)＝0， 则由(1)知，当x ≠1时，h (x )<0，即1－x ＋ln x <0. 故当x ∈(0，a )∪(a ，＋∞)时，1－a x ＋ln a x<0， 从而g ′(x )<0.所以g (x )在区间(0，a )，(a ，＋∞)单调递减. 角度2 根据函数的单调性求参数的取值范围【例3】 (1)已知函数f (x )＝12mx 2＋ln x －2x 在定义域内是增函数，则实数m 的取值范围是( ) A.[－1，1] B.[－1，＋∞) C.[1，＋∞)D.(－∞，1](2)若函数f (x )＝－12x 2＋4x －3ln x 在[t ，t ＋1]上不单调，则t 的取值范围是________.解析 (1)f ′(x )＝mx ＋1x－2≥0对一切x >0恒成立，∴m ≥－⎝ ⎛⎭⎪⎫1x 2＋2x.令g (x )＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫1x2＋2x ，则当1x＝1，即x ＝1时，函数g (x )取最大值1，故m ≥1.(2)对f (x )求导，得f ′(x )＝－x ＋4－3x ＝－x 2＋4x －3x ＝－（x －1）（x －3）x.由f ′(x )＝0得函数f (x )的两个极值点为1，3，则只要这两个极值点有一个在区间(t ，t ＋1)内，函数f (x )在区间[t ，t ＋1]上就不单调，所以t <1<t ＋1或t <3<t ＋1，解得0<t <1或2<t <3. 答案 (1)C (2)(0，1)∪(2，3)探究提高 1.求函数的单调区间，只需在函数的定义域内解(证)不等式f ′(x )>0或f ′(x )<0.2.(1)已知函数的单调性，求参数的取值范围，应用条件f ′(x )≥0(或f ′(x )≤0)，x ∈(a ，b )恒成立，解出参数的取值范围(一般可用不等式恒成立的理论求解)，应注意参数的取值是f ′(x )不恒等于0的参数的范围.(2)若函数y ＝f (x )在区间(a ，b )上不单调，则转化为f ′(x )＝0在(a ，b )上有解(需验证解的两侧导数是否异号).【训练2】已知函数f (x )＝ax e x－x 2－2x . (1)讨论函数f (x )的单调性；(2)当x ＞0时，f (x )＞0，求正实数a 的取值范围. 解 (1)f ′(x )＝a (x ＋1)e x－2x －2＝(x ＋1)(a e x－2).①当a ≤0时，由f ′(x )＞0，得x ＜－1；由f ′(x )＜0，得x ＞－1. ∴f (x )在(－∞，－1)上单调递增，f (x )在(－1，＋∞)上单调递减. ②当a ＝2e 时，f ′(x )≥0，即f (x )在R 上单调递增， ③当0＜a ＜2e 时，由f ′(x )＜0，得－1＜x ＜ln 2a；由f ′(x )＞0，得x ＜－1或x ＞ln 2a.∴f (x )在(－∞，－1)和⎝⎛⎭⎪⎫ln 2a，＋∞上单调递增，f (x )在⎝ ⎛⎭⎪⎫－1，ln 2a 上单调递减.④当a ＞2e 时，由f ′(x )＜0，得ln 2a＜x ＜－1；由f ′(x )＞0，得x ＞－1或x ＜ln 2a.故f (x )在(－1，＋∞)和⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，ln 2a 上单调递增，f (x )在⎝⎛⎭⎪⎫ln 2a，－1上单调递减.(2)当a ≥2e 时，由第(1)问知f (x )在(0，＋∞)上是增函数， ∴f (x )＞f (0)＝0，满足题意. 当0＜a ＜2e 时，由(1)知：当ln 2a ≤0时，即2≤a ＜2e 时，f (x )在(0，＋∞)单调递增，即f (x )＞f (0)＝0，符合题意.当ln 2a＞0时，即0＜a ＜2时，f (x )在⎝ ⎛⎭⎪⎫0，ln 2a 单调递减，在⎝⎛⎭⎪⎫ln 2a，＋∞单调递增.因此当x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，ln 2a 时，f (x )＜f (0)＝0，不符合题意.综上可知，实数a 的取值范围是[2，＋∞). 热点三 利用导数研究函数的极值和最值 【例4】 设函数f (x )＝e 2x－a ln x . (1)讨论f (x )的导函数f ′(x )零点的个数； (2)证明：当a ＞0时，f (x )≥2a ＋a ln 2a.(1)解 f (x )的定义域为(0，＋∞)，f ′(x )＝2e 2x－a x(x ＞0).当a ≤0时，f ′(x )＞0，f ′(x )没有零点. 当a ＞0时，设u (x )＝e 2x，v (x )＝－a x，因为u (x )＝e 2x在(0，＋∞)上单调递增，v (x )＝－a x在(0，＋∞)上单调递增，所以f ′(x )在(0，＋∞)上单调递增.又f ′(a )＞0，当b 满足0＜b ＜a 4且b ＜14时，f ′(b )＜0(讨论a ≥1或a ＜1来检验)，①当a≥1时，则0<b <14，f ′(b )＝2e 2b－a b <2e 12－4a ＝2(e 12－2a )<0；②当0<a <1时，则0<b <a 4，f ′(b )＝2e 2b－a b<2e a2－4<0.故当a ＞0时，f ′(x )存在唯一零点.(2)证明 由(1)，可设f ′(x )在(0，＋∞)上的唯一零点为x 0，当x ∈(0，x 0)时，f ′(x )＜0； 当x ∈(x 0，＋∞)时，f ′(x )＞0.故f (x )在(0，x 0)上单调递减，在(x 0，＋∞)上单调递增， 所以当x ＝x 0时，f (x )取得最小值，最小值为f (x 0). 由于2e 2x 0－ax 0＝0，所以f (x 0)＝a 2x 0＋2ax 0＋a ln 2a ≥2a ＋a ln 2a.故当a ＞0时，f (x )≥2a ＋a ln 2a.探究提高 (1)运用导数证明不等式，常转化为求函数的最值问题.(2)利用导数解决不等式恒成立问题：一般先转化为我们熟悉的函数，利用导数研究单调性，求出最值，解答相应的参数不等式，如果易分离参数，可先分离变量，构造函数，直接转化为函数的最值问题，避免参数的讨论. 【训练3】已知f (x )＝mx 2－x ＋ln x .(1)当m ＝0时，求函数f (x )在区间[t ，t ＋1](t ＞0)上的最大值M (t )；(2)当m ＝1时，若存在正数x 1，x 2满足f (x 1)＋f (x 2)＝1－ln 2，求证：x 1＋x 2≥2. (1)解 当m ＝0时，f (x )＝ln x －x ，其定义域为(0，＋∞)，则f ′(x )＝1x－1.当x ∈(0，1)时，f ′(x )＞0，函数单调递增；当x ∈(1，＋∞)时，f ′(x )＜0，函数单调递减.当t ≥1时，f (x )在[t ，t ＋1]上单调递减，f (x )的最大值为f (t )＝ln t －t ；当0＜t ＜1时，f (x )在区间(t ，1)上单调递增，在区间(1，t ＋1)上单调递减，f (x )的最大值为f (1)＝－1.综上，M (t )＝⎩⎪⎨⎪⎧－1，0＜t ＜1，ln t －t ，t ≥1.(2)证明 当m ＝1时，f (x )＝x 2－x ＋ln x ，其定义域为(0，＋∞)，则f (x 1)＋f (x 2)＝x 21＋x 22－(x 1＋x 2)＋ln x 1x 2＝1－ln 2，即(x 1＋x 2)2－(x 1＋x 2)＝2x 1x 2－ln x 1x 2＋1－ln 2. 令h (x )＝2x －ln x ＋1－ln 2，则h ′(x )＝2x －1x，故h (x )在⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12上单调递减，在⎝ ⎛⎭⎪⎫12，＋∞上单调递增，∴h (x )在x ＝12时，取到最小值h ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝2. 因此(x 1＋x 2)2－(x 1＋x 2)≥2， 即(x 1＋x 2－2)(x 1＋x 2＋1)≥0. 又x 1＞0，x 2＞0，所以x 1＋x 2≥2.巩固提升一、选择题1.函数f (x )＝ln x －ax 在x ＝2处的切线与直线ax －y －1＝0平行，则实数a ＝( ) A.－1B.14C.12D.1解析 由f (x )＝ln x －ax ，得f ′(x )＝1x－a ，∴f (x )在x ＝2处切线的斜率k ＝f ′(2)＝12－a .依题意12－a ＝a ，所以a ＝14.答案 B2.函数y ＝f (x )的导函数y ＝f ′(x )的图象如图所示，则函数y ＝f (x )的图象可能是( )解析 利用导数与函数的单调性进行验证.f ′(x )＞0的解集对应y ＝f (x )的增区间，f ′(x )＜0的解集对应y ＝f (x )的减区间，验证只有D 选项符合. 答案 D3.已知函数f (x )＝2e f ′(e)ln x －xe ，则f (x )的极大值点为( )A.1eB.1C.eD.2e解析 因为f (x )＝2e f ′(e)ln x －xe(x ＞0)，所以f ′(x )＝2e f ′（e ）x －1e ，所以f ′(e)＝2e f ′（e ）e －1e ＝2f ′(e)－1e ，因此f ′(e)＝1e ，所以f ′(x )＝2x －1e ，由f ′(x )＞0，得0＜x ＜2e ； 由f ′(x )＜0，得x ＞2e.所以函数f (x )在(0，2e)上单调递增，在(2e ，＋∞)上单调递减， 因此f (x )的极大值点为x ＝2e. 答案 D4.已知函数f (x )＝13x 3＋mx 2＋nx ＋2，其导函数f ′(x )为偶函数，f (1)＝－23，则函数g (x )＝f ′(x )e x在区间[0，2]上的最小值为( ) A.－3eB.－2eC.eD.2e解析 由题意可得f ′(x )＝x 2＋2mx ＋n ， ∵f ′(x )为偶函数，∴m ＝0，故f (x )＝13x 3＋nx ＋2，∵f (1)＝13＋n ＋2＝－23，∴n ＝－3.∴f (x )＝13x 3－3x ＋2，则f ′(x )＝x 2－3.故g (x )＝e x (x 2－3)，则g ′(x )＝e x(x 2－3＋2x )＝e x(x －1)(x ＋3)，据此可知函数g (x )在区间[0，1)上单调递减，在区间(1，2]上单调递增，故函数g (x )的极小值，即最小值为g (1)＝e 1·(12－3)＝－2e. 答案 B5.(多选题)已知定义在⎣⎢⎡⎭⎪⎫0，π2上的函数f (x )的导函数为f ′(x )，且f (0)＝0，f ′(x )cos x＋f (x )sin x <0，则下列判断中正确的是( )A.f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6<62f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4B.f ⎝ ⎛⎭⎪⎫ln π3>0C.f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6>3f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3D.f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4>2f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3 解析 令g (x )＝f （x ）cos x ，x ∈⎣⎢⎡⎭⎪⎫0，π2，则g ′(x )＝f ′（x ）cos x ＋f （x ）sin xcos 2x. 因为f ′(x )cos x ＋f (x )sin x <0，所以g ′(x )＝f ′（x ）cos x ＋f （x ）sin x cos 2x <0在⎣⎢⎡⎭⎪⎫0，π2上恒成立，所以函数g (x )＝f （x ）cos x 在⎣⎢⎡⎭⎪⎫0，π2上单调递减，所以g ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6>g ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4，即f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6cos π6>f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4cosπ4，即f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6>62f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4，故A 错误；又f (0)＝0，所以g (0)＝f （0）cos 0＝0，所以g (x )＝f （x ）cos x ≤0在⎣⎢⎡⎭⎪⎫0，π2上恒成立，因为ln π3∈⎣⎢⎡⎭⎪⎫0，π2，所以f ⎝⎛⎭⎪⎫ln π3<0，故B 错误；又g ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6>g ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3，所以f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6cos π6>f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3cosπ3，即f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6>3f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3，故C 正确；又g ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4>g ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3，所以f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4cos π4>f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3cosπ3，即f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4>2f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3，故D 正确.故选CD.答案 CD 二、填空题6.若曲线y ＝e x在x ＝0处的切线也是曲线y ＝ln x ＋b 的切线，则b ＝________. 解析 令y ＝f (x )＝e x，y ＝g (x )＝ln x ＋b ， ∴f ′(x )＝e x，∴f ′(0)＝1，∵f (0)＝1，∴曲线y ＝e x在x ＝0处的切线方程为y ＝x ＋1.设切线y ＝x ＋1与曲线y ＝g (x )＝ln x ＋b 的切点坐标为(m ，m ＋1)，∵g ′(x )＝1x ，∴g ′(m )＝1m＝1，∴m ＝1，∴切点坐标为(1，2)，∴2＝ln 1＋b ，∴b ＝2. 答案 27.已知定义在R 上的可导函数f (x )的导函数为f ′(x )，满足f ′(x )<f (x )，且f (0)＝12，则不等式f (x )－12e x<0的解集为________.解析 构造函数g (x )＝f （x ）ex，则g ′(x )＝f ′（x ）－f （x ）ex，因为f ′(x )<f (x )，所以g ′(x )<0， 故函数g (x )在R 上为减函数， 又f (0)＝12，所以g (0)＝f （0）e 0＝12， 则不等式f (x )－12e x <0可化为f （x ）e x<12， 即g (x )<12＝g (0)，所以x >0，即所求不等式的解集为(0，＋∞). 答案 (0，＋∞)8.若函数f (x )与g (x )满足：存在实数t ，使得f (t )＝g ′(t )，则称函数g (x )为f (x )的“友导”函数.已知函数g (x )＝12kx 2－x ＋3为函数f (x )＝x 2ln x ＋x 的“友导”函数，则k 的取值范围是________.解析 由g (x )＝12kx 2－x ＋3可得g ′(x )＝kx －1，∵函数g (x )＝12kx 2－x ＋3为函数f (x )＝x 2ln x ＋x 的“友导”函数，∴kx －1＝x 2ln x ＋x 有解，即k ＝x ln x ＋1＋1x(x ＞0)有解.令h (x )＝x ln x ＋1＋1x ，则h ′(x )＝1＋ln x －1x2，再令φ(x )＝1＋ln x －1x 2，∴φ′(x )＝1x ＋2x3＞0.∴φ(x )在区间(0，＋∞)上单调递增.∵h ′(1)＝φ(1)＝0，∴x ＞1时，h ′(x )＞0；0＜x ＜1时，h ′(x )＜0， ∴h (x )在(0，1)上单调递减，在(1，＋∞)上单调递增，∴h (x )≥h (1)＝2，∴k ≥2. 答案 [2，＋∞) 三、解答题9.已知函数f (x )＝(x －1)ln x －x －1. 证明：(1)f (x )存在唯一的极值点；(2)f (x )＝0有且仅有两个实根，且两个实根互为倒数. 证明 (1)f (x )的定义域为(0，＋∞).f ′(x )＝x －1x ＋ln x －1＝ln x －1x.因为y ＝ln x 在(0，＋∞)上单调递增，y ＝1x在(0，＋∞)上单调递减，所以f ′(x )在(0，＋∞)上单调递增.又f ′(1)＝－1<0，f ′(2)＝ln 2－12＝ln 4－12>0，故存在唯一x 0∈(1，2)，使得f ′(x 0)＝0. 又当x <x 0时，f ′(x )<0，f (x )单调递减， 当x >x 0时，f ′(x )>0，f (x )单调递增， 因此，f (x )存在唯一的极值点.(2)由(1)知f (x 0)<f (1)＝－2，又f (e 2)＝e 2－3>0， 所以f (x )＝0在(x 0，＋∞)内存在唯一根x ＝α. 由α>x 0>1得1α<1<x 0.又f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1α＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1α－1ln 1α－1α－1＝f （α）α＝0，故1α是f (x )＝0在(0，x 0)的唯一根.综上，f (x )＝0有且仅有两个实根，且两个实根互为倒数. 10.已知函数f (x )＝ax －1－ln x (a ∈R ). (1)讨论函数f (x )在定义域内的极值点的个数；(2)若函数f (x )在x ＝1处取得极值，∀x ∈(0，＋∞)，f (x )≥bx －2恒成立，求实数b 的最大值.解 (1)f (x )的定义域为(0，＋∞)，f ′(x )＝a －1x ＝ax －1x.当a ≤0时，f ′(x )<0在(0，＋∞)上恒成立，函数f (x )在(0，＋∞)上单调递减.∴f (x )在(0，＋∞)上没有极值点.当a >0时，由f ′(x )<0，得0<x <1a ；由f ′(x )>0，得x >1a，∴f (x )在⎝ ⎛⎭⎪⎫0，1a 上单调递减，在⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ，＋∞上单调递增，故f (x )在x ＝1a处有极小值.综上，当a ≤0时，f (x )在(0，＋∞)上没有极值点； 当a >0时，f (x )在(0，＋∞)上有一个极值点. (2)∵函数f (x )在x ＝1处取得极值，∴f ′(1)＝a －1＝0，则a ＝1，从而f (x )＝x －1－ln x . 因此f (x )≥bx －2⇒1＋1x －ln xx≥b ，令g (x )＝1＋1x －ln x x ，则g ′(x )＝ln x －2x2， 令g ′(x )＝0，得x ＝e 2，则g (x )在(0，e 2)上单调递减，在(e 2，＋∞)上单调递增， ∴g (x )min ＝g (e 2)＝1－1e 2，即b ≤1－1e 2.故实数b 的最大值是1－1e2.能力突破11.(多选题)已知函数f (x )＝e x＋a ln x ，其中正确的结论是( ) A.当a ＝0时，函数f (x )有最大值B.对于任意的a <0，函数f (x )一定存在最小值C.对于任意的a >0，函数f (x )在(0，＋∞)上单调递增D.对于任意的a >0，都有函数f (x )>0解析 对于A ，当a ＝0时，函数f (x )＝e x，根据指数函数的单调性可知，f (x )＝e x是单调递增函数，故无最大值，故A 错误；对于B ，对于任意的a <0，f ′(x )＝e x＋a x，x >0，易知f ′(x )在(0，＋∞)单调递增，当x →＋∞时，f (x )→＋∞，当x →0时，f (x )→－∞，∴存在x 0使得f ′(x 0)＝0，∴当0<x <x 0时，f ′(x )<0，f (x )在(0，x 0)上单调递减，∴当x 0<x <＋∞时，f ′(x )>0，f (x )在(x 0，＋∞)上单调递增，∴f (x )min ＝f (x 0)，故B 正确；对于C ，对于任意的a >0，∵f ′(x )＝e x＋a x，x >0，∴f ′(x )>0，故函数f (x )在(0，＋∞)上单调递增，故C 正确；对于D ，对于任意的a >0，由C 知函数f (x )在(0，＋∞)上单调递增，当x →0时，e x→1，ln x →－∞，可得f (x )→－∞，故D 错误.故选BC.答案 BC12.已知函数f (x )＝ln x －x e x＋ax ，其中a ∈R .(1)若函数f (x )在[1，＋∞)上单调递减，求实数a 的取值范围； (2)若a ＝1，求f (x )的最大值.解 (1)f ′(x )＝1x －(e x ＋x e x)＋a ＝1x－e x (x ＋1)＋a .依题意，f ′(x )≤0在[1，＋∞)上恒成立， ∴a ≤(x ＋1)e x－1x在[1，＋∞)上恒成立.令g (x )＝(x ＋1)e x－1x，x ≥1，则g ′(x )＝(x ＋2)e x＋1x2，易知g ′(x )＞0(x ≥1)，所以g (x )在[1，＋∞)上单调递增， 所以g (x )min ＝g (1)＝2e －1. 因此a ≤2e －1.所以实数a 的取值范围为(－∞，2e －1]. (2)当a ＝1时，f (x )＝ln x －x e x＋x (x ＞0)， 则f ′(x )＝1x－(x ＋1)e x＋1＝(x ＋1)⎝ ⎛⎭⎪⎫1x －e x ，令m (x )＝1x －e x ，x ＞0，则m ′(x )＝－1x2－e x，易知m ′(x )＜0，所以m (x )在(0，＋∞)上单调递减.由于m ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＞0，m (1)＜0. 所以存在x 0＞0满足m (x 0)＝0，即e x 0＝1x 0.当x ∈(0，x 0)时，m (x )＞0，f ′(x )＞0； 当x ∈(x 0，＋∞)时，m (x )＜0，f ′(x )＜0.所以f (x )在(0，x 0)上单调递增，在(x 0，＋∞)上单调递减， 所以f (x )max ＝f (x 0)＝ln x 0－x 0e x 0＋x 0，因为e x 0＝1x 0，所以x 0＝－ln x 0，所以f (x 0)＝－x 0－1＋x 0＝－1.所以f (x )max ＝－1.。
高三数学寒假精品讲义 第4讲 利用导数研究函数的单调性、极值与最值问题(解析版)
第4讲利用导数研究函数的单调性、极值与最值问题【题型精讲】题型一：利用导数研究函数的单调性1、讨论函数的单调性（或区间）1．（2021·广东·深圳市福田区福田中学高三月考）已知函数211()(1)ln (,0)22f x x a x a a =-+-∈≠R ．（1）讨论函数的单调性；【答案】（1）答案见解析；（2）0a ≤.【详解】解：（1）由已知定义域为()0,∞+，()211'()x a a f x x x x-++=-=当10a +≤，即1a ≤-时，()'0f x >恒成立，则()f x 在()0,∞+上单调递增；当10a +>，即1a >-时，x =或x =所以()f x 在(上单调递减，在)+∞上单调递增.所以1a ≤-时，()f x 在()0,∞+上单调递增；1a >-时，()f x 在(上单调递减，在)+∞上单调递增.（2）由（1）可知，当1a ≤-时，()f x 在()1,+∞上单调递增，若()0f x ≥对任意的[1,)x ∈+∞恒成立，只需(1)0f ≥，而(1)0f =恒成立，所以1a ≤-成立；当1a >-1，即10a -<≤，则()f x 在()1,+∞上单调递增，又(1)0f =，所以10a -<≤成立；若0a >，则()f x 在(上单调递减，在)+∞上单调递增，又(1)0f =，所以(0x ∃∈，()0()10f x f <=，不满足()0f x ≥对任意的[1,)x ∈+∞恒成立.所以综上所述：0a ≤.2．（2021·安徽·芜湖一中高三月考（理））已知函数32()f x x x mx =+-.（1）若函数()f x 在2x =处取到极值，求曲线()y f x =在(1,())f x 处的切线方程；（2）讨论函数()f x 的单调性.【答案】（1）113y x =--；（2）()f x 在⎛⎫-∞ ⎪ ⎪⎝⎭和⎫+∞⎪⎪⎝⎭上单调递增，在11,33⎛-- ⎝⎭上单调递减.【详解】（1）依题意，2()32f x x x m '=+-，(2)1240f m '=+-=，解得16m =，经检验，16m =符合题意；故32()16f x x x x =+-，2()3216f x x x '=+-，故(1)21614f =-=-，(1)11f '=-，故所求切线方程为1411(1)y x +=--，即113y x =--；（2）依题意2()32f x x x m '=+-，412m ∆=+，若0∆，即13m - 时，()0f x ' ，()f x 在R 上单调递增；若0∆>，即13m >-时，令()0,f x x '==令12x x =故当()1,x x ∈-∞时，()0f x '>，当()12,x x x ∈时，()0f x '<，当()2,x x ∈+∞时，()0f x '>，故函数()f x 在⎛⎫-∞ ⎪ ⎪⎝⎭和⎫+∞⎪⎪⎝⎭上单调递增，在⎝⎭上单调递减.3．（2021·宁夏·青铜峡市高级中学高三月考（文））已知函数()ln af x x x=+（a 为常数）（1）讨论函数()f x 的单调性；【答案】（1）0a ≤时，(0,)+∞递增，0a >时，在(0,)a 递减，(,)a +∞递增；【详解】（1）函数定义域是(0,)+∞，221()a x a f x x x x-'=-=，0a ≤时，()0f x '>恒成立，()f x 在(0,)+∞上是增函数；0a <时，0x a <<时，()0f x '<，()f x 递减，x a >时，()0f x '>，()f x 递增．2、根据函数的单调性求参数的取值范围1．（2021·重庆市清华中学校高三月考）已知函数321()23f x ax x x =+-+，其中a R ∈.（1）若函数()f x 恰好有三个单调区间，求实数a 的取值范围；【答案】（1）()()1,00,a ∈-+∞ ；【详解】（1）由321()23f x ax x x =+-+，得2()21f x ax x '=+-.∵()f x 存在三个单调区间∴()0f x '=有两个不相等的实数根，即2210ax x +-=.∴00a ≠⎧⎨∆>⎩，即0440a a ≠⎧⎨+>⎩，故()()1,00,a ∈-+∞ .2．（2021·山西省新绛中学校高三月考（文））已知函数()321f x x ax =++，a R ∈.（1）讨论函数()f x 的单调区间；（2）若函数()f x 在区间2,03⎛⎫- ⎪⎝⎭内是减函数，求a 的取值范围；（3）若函数()f x 的单调减区间是2,03⎛⎫- ⎪⎝⎭，求a 的值.【答案】（1）答案见解析（2）[)1,+∞（3）1（1）由题意知，22()323()3a f x x ax x x '=+=+，当0a =时，2()30f x x '=≥恒成立，所以()f x 的单调递增区间是()-∞+∞，；当0a >时，令2()0()(0)3a f x x '>⇒∈-∞-+∞ ，，，令2()0(0)3af x x '<⇒∈-，所以()f x 的单调递增区间为2(),(0)3a -∞-+∞，，，单调递减区间为2(0)3a -，当0a <时，令2()0(0)()3a f x x '>⇒∈-∞-+∞ ，，令2()0(03af x x '<⇒∈-，，所以()f x 的单调递增区间为2(0)()3a -∞-+∞，，，，单调递减区间为2(0)3a -，；（2）由(1)知，当0a >时，有22(0)(0)33a -⊆-，，所以2233a -≤-，解得1a ≥，即a 的取值范围为[1)+∞，；（3）由(1)知，当0a >时，有22(0)(0)33a -=-，，，所以2233a -=-，解得1a =.3．（2021·河南·新蔡县第一高级中学高三月考（文））已知函数()3f x x ax =-+，a R∈（1）若()f x 在)1,⎡+∞⎣上为单调减函数，求实数a 取值范围；【答案】（1）3a ≤；（2）最大值为0，最小值为16-．【详解】解：（1）因为()3f x x ax =-+，则()'23f x x a =-+．依题意得()'230f x x a =-+≤在[)1,x ∈+∞恒成立，∴23a x ≤在[)1,x ∈+∞恒成立．因为当1≥x 时，233x ≥，所以3a ≤．（2）当12a =时，()312f x x x =-+，()()()'2312322f x x x x =-+=-+-，令()'0f x =得[]123,0x =∉-，22x =-，所以当32x -<<-时，()'0f x <，()f x 单调递减，当20x -<<时，()'>0f x ，()f x 单调递增，又()327369f -=-=-，()282416f -=-=-，()00f =．∴()f x 在[]3,0-上最大值为0，最小值为16-．题型二：利用导数研究函数的极值、最值1．（2021·天津·大钟庄高中高三月考）设函数()32f x x ax bx c =-+++的导数()f x '满足()10f '-=，()29f '=.（1）求()f x 的单调区间；（2）()f x 在区间[]22-,上的最大值为20，求c 的值.（3）若函数()f x 的图象与x 轴有三个交点，求c 的范围.【答案】（1）递增区间为()1,3-，递减区间为(),1-∞-，()3,+∞（2）2-（3）()27,5-（1）由()32f x x ax bx c =-+++可得()232x x x b f a '=-++，因为()10f '-=，()29f '=，所以3201249a b a b --+=⎧⎨-++=⎩，解得：3a =，9b =，所以()3239f x x x x c =-+++，()()22369323x x f x x x =-++=---'，由()0f x '>即2230x x --<可得：13x -<<，由()0f x '<即2230x x -->可得：1x <-或3x >，所以()f x 的单调递增区间为()1,3-，单减区间为(),1-∞-和()3,+∞.（2）由（1）知，()f x 在()2,1--上单调递减，在()1,2-上单调递增，所以当1x =-时，()f x 取得极小值()()()()321131915f c c -=--+⨯-+⨯-+=-，()()()()322232922f c c -=--+⨯-+⨯-+=+，()3222329222f c c =-+⨯+⨯+=+，则()f x 在区间[]22-,上的最大值为()22220f c =+=，所以2c =-.（3）由（1）知当1x =-时，()f x 取得极小值()()()()321131915f c c -=--+⨯-+⨯-+=-，当3x =时，()f x 取得极大值()3233339327f c c =-+⨯+⨯+=+，若函数()f x 的图象与x 轴有三个交点，则(1)50(3)270f c f c -=-<⎧⎨=+>⎩得527c c <⎧⎨>-⎩，解得275c -<<，即c 的范围是()27,5-.2．（2021·陕西·西安中学高三期中）已知函数()ln 2f x x x =-.（1）求函数()f x 在()()1,1f 处的切线方程；（2）求函数()f x 的单调区间和极值.【答案】（1）30x y --=（2）单调递增区间是1e ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭，，单调减区间是()10e ，，极小值12e --，无极大值（1）()f x 的定义域为()0,∞+，由()ln 2f x x x =-可得()ln 1f x x '=+，所以()11f '=，()12f =-，切点为()1,2-，所以所求切线方程为21y x +=-，即30x y --=.（2）由()ln 10f x x '=+=，得ln 1x =-解得：1ex =，当10e x <<时，()0f x '<，()f x 递减，当1ex >时，()0f x '>，()f x 递增，所以()f x 的单调递增区间是1e ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭，单调减区间是()10e ，；当1e x =时，函数()f x 取得极小值112e e f ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭，无极大值.3．（2021·四川资阳·高三月考（理））已知函数()322133f x x ax a x =+-．（1）当1a =时，求函数()f x 在x ∈[]0,2时的最大值和最小值；（2）若函数()f x 在区间()1,2存在极小值，求a 的取值范围．【答案】（1）最大值为23，最小值为53-（2）()21,313,2⎛⎫⋃-- ⎪⎝⎭（1）当1a =时，()32133f x x x x =+-，则()()()22331f x x x x x '=+-=+-，由()0f x '>，可得3x <-或1x >，由()0f x '<，可得31x -<<，所以()f x 在()0,1上()f x 单调递减，在()1,2上单调递增；()00f =，()1511333f =+-=-，()122843233f =⨯+-⨯=，所以函数()f x 在x ∈[]0,2时的最大值为23，最小值为53-.（2）()()()22233f x x ax a x a x a '=+-=+-，当0a =时，知()f x 单调递增，函数()f x 没有极值；当0a >时，3x a <-时，()0f x '>，()f x 单调递增；3a x a -<<时，()0f x '<，()f x 单调递减；x a >时，()0f x '>，()f x 单调递增，则()f x 在3x a =-取得极大值，在x a =取得极小值，若函数()f x 在区间()1,2存在极小值，则12a <<，当0a <时x a <时，()0f x '>，()f x 单调递增，3a x a <<-时，()0f x '<，()f x 单调递减，3x a >-时，()0f x '>，()f x 单调递增，则()f x 在x a =取得极大值，在3x a =-取得极小值，若函数()f x 在区间()1,2存在极小值，则132a <-<可得：2133a -<<-．综上所述：实数a 的取值范围是()21,313,2⎛⎫⋃-- ⎪⎝⎭．4．（2021·河南南阳·高三期中（理））已知函数2()(2)21x f x x e x ax =---+，a ∈R .（1）当1a =-时，求()f x 的单调区间；（2）若函数()f x 不存在极值点，求证：1a <-.【答案】（1）增区间是(,ln 2)-∞和(1,)+∞，减区间是(ln 2,1)（2）证明见解析（1）解：当1a =-时，2()(2)21x f x x e x x =--++，则()()(1)2(1)(1)2x xf x x e x x e '=---=--令()0f x ¢>得：1x >或ln 2x <令()0f x ¢<得：ln 21x <<所以()f x 的单调增区间是(,ln 2)-∞和(1,)+∞，单调减区间是(ln 2,1)（2）解：()(1)22xf x x e x a '=---，因为函数()f x 无极值点，故()f x ¢无变号零点，，令()(1)22x g x x e x a =---，则2()x g x xe =-'，当(,0)x ∈-∞时，恒有()0g x '<，当[0,)x ∈+∞时，显然()'g x 是单调增加的，又因为(0)2g '=-，(1)20g e '=->，故0(0,1)x ∃∈，使得()00g x '=，即002xx e =，故()g x 在()0,x -∞上单调递减，在()0,x +∞上单调递增，则()0()min g x g x =，所以()00g x ≥，即000(1)220x x e x a ---≥，又002xx e =可得0011a x x ⎛⎫≤-+ ⎪⎝⎭，又因为0(0,1)x ∈，所以0012x x +>故1a <-5．（2021·广东顺德·高三月考）已知函数()32f x ax bx cx d =+++的两个极值点为1-，2，且在0x =处的切线方程为210x y +-=．（1）求函数()f x 的表达式；（2）当1,33x ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦时，()56f x kx >+恒成立，求实数k 的取值范围．【答案】（1）()32112132f x x x x =--+（2）62,227⎛⎫-- ⎪⎝⎭（1）由()32f x ax bx cx d =+++可得()232f x ax bx c '=++，则1-，2是方程()2320f x ax bx c '=++=的两根，所以()()132021240f a b c f a b c ⎧-=-+=⎪⎨=++=''⎪⎩，（*）因为又因为0x =处的切线方程为210x y +-=故()01f d ==，()02f c '==-代入（*）式解得13a =，12b =-故()32112132f x x x x =--+（2）由（1）知：()32112132f x x x x =--+，①当0x =时，()56f x kx >+即516>恒成立，此时R k ∈，②当(]0,3x ∈时，由()56f x kx >+即3211521326x x x kx --+>+，分离参数k 可得：21112326k x x x<--+，设()21112326g x x x x=--+，则()min k g x <，()()()23222214121143132666x x x x x g x x x x x -++--'=--==，故()g x 在(),0-∞上单调递减，()0,1上单调递减，()1,+∞上单调递增，故当(]0,3x ∈时，()g x 在()0,1上单调递减，()1,3上单调递增，所以()g x 的最小值为()()2min 11111231226g x g =⨯-⨯-+==-，所以2k <-，③当1,03x ⎡⎫∈-⎪⎢⎣⎭时，由()56f x kx >+分离参数可得21112326k x x x >--+设()21112326g x x x x=--+，则()max k g x >，由②过程知()g x 在1,03⎡⎫-⎪⎢⎣⎭上单调递减，故()2max1111116221333232763g x g ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-=--⨯--+=-⎪ ⎪ ⎪⎛⎫⎝⎭⎝⎭⎝⎭⨯- ⎪⎝⎭，所以6227k >-，综上所述：k 的取值范围为62,227⎛⎫-- ⎪⎝⎭.6．（2021·福建·福清西山学校高三期中）已知函数()()1ln 0f x a x a x=+>.（1）求函数()f x 的极值；（2）是否存在实数a ，使得函数()f x 在区间[]1,e 上的最小值为2e？若存在，求出a 的值；若不存在，请说明理由.【答案】（1）极小值ln a a a -，无极大值；（2）存在，1a e=.【详解】（1）函数()1ln f x a x x =+定义域为()0,∞+，()21-='ax f x x，其中0a >，由()0f x '>，得1x a >；由()0f x '<，得10x a<<.所以函数()f x 的单调递增区间为1,a ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭，单调递减区间为10,a ⎛⎫⎪⎝⎭，所以，函数()f x 的极小值为11ln ln f a a a a a a a ⎛⎫=+=- ⎪⎝⎭，无极大值；（2）①当101a<≤时，即1a ≥时，函数()f x 在[]1,e 上为增函数，故函数()f x 的最小值为()11f =，显然21e≠，故不满足条件；②当11e a <<时，即11a e <<时，函数()f x 在11,a ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上为减函数，在1,e a ⎛⎤⎥⎝⎦上为增函数，故函数()f x 的最小值为11ln ln f a a a a a a a ⎛⎫=+=- ⎪⎝⎭，令()ln g a a a a =-，1,1a e ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，则12g e e⎛⎫= ⎪⎝⎭，其导函数()ln 0g a a =->'，可知()g a 在1,1e ⎛⎫⎪⎝⎭单调递增，因为()min 2f x e =，有2ln a a a e -=，可得1a e=不符合题意；③当1e a ≥时，即10a e<≤时，函数()f x 在[]1,e 上为减函数，故函数()f x 的最小值为()11ln f e a e a e e =+=+，由12a e e +=，得1a e =满足条件.综上所述：存在1a e=符合题意.【课后精练】1．（2021·黑龙江·模拟预测（文））已知函数()2(2)2,2xa f x x e x ax a R =--++∈.（1）当1a =时，求()f x 的单调区间；（2）当0x ≥时，恒有()0f x ≥，求实数a 的最小值.【答案】（1）增区间：(,0)-∞，(1,)+∞，减区间：(0,1)（2）24e -（1）当1a =时，2()(2)22xx f x x e x =--++，()(1)(1)x f x x e '=--，令()00'>⇒<f x x 或1x >，()001f x x <⇒<<'，()f x ∴的增区间：(,0)-∞，(1,)+∞，减区间：(0,1)；（2）()(1)()x f x x e a '=--①当1a ≤时：0x e a -≥，(0,1)x ∴∈时：()0,()f x f x '<单调递减()(0)0f x f ⇒<=，不符合题意.②当1a >时：令12()01,ln f x x x a '=⇒==，若1a e <<，则12x x >，令()00ln f x x a '>⇒<<或1x >，()0ln 1f x a x '<⇒<<，所以()f x 在(0,ln )a 单调递增，在(ln ,1)a 单调递减，在(1,)+∞单调递增，又(0)0f = ，∴只需(1)024f a e ≥⇒≥-，综上，a 的最小值为24e -.2．（2021·山东·滕州市第一中学新校高三期中）已知函数()()2xf x x mx m e =--.（1）求()f x 的单调区间；（2）当1m ≤时，求证：对()0,x ∀∈+∞，()0f x e +≥.【答案】（1）答案见解析（2）证明见解析（1）解:()()()2,x f x e x x m ¢=+-当m 2=-时，()()220x f x e x ¢=+³，所以()f x 的单调增区间是()-∞+∞，；当2m >-时，由()0f x '>，得2x <-或x m >，所以()f x 的增区间是()()2m ，，，-¥-+¥，减区间是()2m ，-；当2m <-时，由()0f x '>，得x m <或2x >-，所以()f x 的增区间是()()m 2，，，-¥-+¥，减区间是()2m ，-；（2）当m 1≤时，()0,10x x >-+<，则()()()2-1x f x e h m x m x e e ⎡⎤+==++⎣⎦在1m £上单调递减，()()()()211x h m h x x e e g x ≥=--+=，()()()()2x =221x x g e x x e x x +-=+-，当()'x 0g >时，1x >，当()'x 0g <时，01x <<，所以()g x 在()0,1上递减，在()1+∞，上递增，所以()()g x g 1=0.≥所以当1m £时，对()0,x ∀∈+∞，()0f x e +≥.3．（2021·山西吕梁·高三月考（理））已知函数()2xf x ae x =-，a R ∈.（1）讨论函数()f x 的单调性；（2）当1a =时，求证：()221108f x x x +-+>.【答案】（1）当0a ≤时，()f x 在R 上单调递减；当0a >时，()f x 在2,ln a ⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭上单调递减，在2ln ,a ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭上单调递增.（2）答案见详解（1）∵()'2xf x ae =-，当0a ≤时，20x ae -<恒成立，()f x 单调递减.当0a >时，当20x ae -<，2xe a<，2ln x a <时，()f x 单调递减；当2ln x a >时，()f x 单调递增.∴函数()f x 的单调性为：当0a ≤时，()f x 在R 上单调递减；当0a >时，()f x 在2,ln a ⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭上单调递减，在2ln ,a ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭上单调递增.（2）当1a =时，()2xf x e x =-.设()222212137()1211888x x g x f x x x e x x x e x x =+-+=-+-+=+-+，则'37()28xg x e x =+-，令'37()()28xh x g x e x ==+-则'()20x h x e =+>，所以()h x 在R 上单调递增，又∵(0)0h <，(1)0h >∴存在唯一零点()00,1x ∈，且0037208xe x +-=①()0,x x ∈-∞时，()0h x <，即'()0g x <，()g x 单调递减，()0,x x ∈+∞时，()0h x >，即'()0g x >，()g x 单调递增，故()g x 在0x x =处取得极小值，也是最小值.()02000min 37()18x g x g x e x x ==+-+，将①式代入，则()22000000min 373745()21885838g x g x x x x x x ==-+-+=-+∵二次函数2534588y x x =-+在()0,1上单调递减，∴在1x =时，y 有最小值2min 54510838y =-+=∴()min 0g x >∴()221108f x x x +-+>4．（2021·山东德州·高三期中）已知函数()2(1)x f x xe a x =++(其中常数e 2.718= 是自然对数的底数).（1）当0a <时，讨论函数()f x 的单调性；（2）证明：对任意1a ≤，当0x >时，()()23231f x ex a x x x -≥-++.【答案】（1）答案见解析（2）证明见解析（1）由()()()()12(1)12x xf x x e a x x e a =+++=++，令()0f x '=，解得1x =-，()ln 2x a =-，①当102a e-<<，由()0f x '>，解得()ln 2x a <-或1x >-，由()0f x '<，解得()ln 21a x -<<-，故()f x 在()(),ln 2a -∞-，()1,-+∞上单调递增；在()()ln 2,1a --上单调递减，②当12a e=-，()0f x '≥，()f x 在R 上单调递增;③当12a e<-，由()0f x '>，解得1x <-或()ln 2x a >-，由()0f x '<，解得()1ln 2x a -<<-故()f x 在(),1-∞-，()()ln 2,a -+∞上单调递增；在()()1,ln 2a --上单调递减，综上所述，当102a e-<<时，()f x 在()(),ln 2a -∞-，()1,-+∞上单调递增；在()()ln 2,1a --上单调递减，当12a e=-，()f x 在R 上单调递增;当12a e<-，()f x 在(),1-∞-，()()ln 2,a -+∞上单调递增；在()()1,ln 2a --上单调递减.（2）证明：对任意1a ≤，当0x >时，要证()()23231f x ex a x x x --++≥，需证，20x e aa ax e x x +---≥，令()2x e ag x a ax e x x=+---，则()()()21x x e ax a g x x ---'=，令()xh x e ax a =--，则()xh x e a '=-，因为0x >，1a ≤，所以()0x h x e a '=->，所以()()010h x h a >=-≥，所以()0,1x ∈时，()0g x '<，()g x 单调递减，当()1,x ∈+∞时，()0g x '>，()g x 单调递增，所以()()10g x g ≥=，即20x e aa ax e x x+---≥，原不等式成立.5．（2021·河南三门峡·高三月考（文））已知函数()2ln f x ax x =--，12a >-且0a ≠.（1）当1a =时，求函数()f x 的单调区间与极大值；（2）当1x >时，()()20g x f x ax =+<恒成立，求实数a 的取值范围.【答案】（1）增区间为10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭，减区间为1,2⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭，极大值13ln 224f ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭（2）(]0,1（1）解：当1a =时，函数()2ln f x x x x =--，()0,x ∈+∞可得()()()212112121x x x x f x x x x x+-+-'=--=-=-，令()0f x '>，解得102x <<，()f x 单调递增；令()0f x '<，可得12x >，()f x 单调递减；所以函数()f x 的单调增区间为10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭，单调减区间为1,2⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭，当12x =时，函数()f x 取极大值13ln 224f ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭.（2）解：由题意，函数()()()22ln 21g x f x ax x ax a x =+=-+-，()1,x ∈+∞可得()()()()2111221ax x g x ax a x x+-'=-+-=-，①当102a -<<，11,2x a ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭时，()0g x '<；1,2x a ⎛⎫∈-+∞ ⎪⎝⎭时，()0g x '>恒成立，所以()g x 在11,2a ⎛⎫- ⎪⎝⎭上单调递减，在1,2a ⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭上是增函数，所以()1,2g x g a ⎛⎫⎛⎫∈-+∞ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，不符合题意；②当0a >时，()1,x ∈+∞时恒有()0g x '<，故()g x 在()1,+∞上是减函数，所以()0g x <对任意()1,x ∈+∞都成立，只需()10g ≤，即210a a -+-≤，解得1a ≤，故01a <≤.综上所述：a 的取值范围是(]0,1.6．（2021·江西赣州·高三期中（文））已知函数()e x f x ax =-，且函数()f x 在(1,(1))f 处的切线为(e 2)=-+y x b ．（1）求a ，b 的值并分析函数()f x 单调性；（2）若函数()(),[1,1]g x f x m x =-∈-恰有两个零点，求实数m 的取值范围．【答案】（1）2,0a b ==；函数()f x 在(,ln 2)-∞上单调递减，在(ln 2,)+∞上单调递增（2）(22ln 2,e 2]∈--m （1）解：由()e x f x ax =-得()e '=-x f x a ，由题意知(1)e 2='-f ，即e e 2-=-a ，解得2a =，又(1)e 2f =-，而切点(1,(1))f 在切线(e 2)=-+y x b 上，所以e 2e 2-=-+b ，解得0b =，则()e 2x f x '=-，令()0f x '>，得ln 2x >，令()0f x '>，得ln 2x <，故函数()f x 在(,ln 2)-∞上单调递减，在(ln 2,)+∞上单调递增；（2）由（1）知()()e 2,[1,1]=-=--∈-x g x f x m x m x ，且函数()g x 在[1,ln 2)-上递减，在(]ln 2,1上单调递增，而因为函数()g x 恰有两个零点，所以函数()g x 在区间[)(]1,ln 2ln 2,1-、各有一个零点，由零点存在性定理得(1)0(ln 2)0(1)0g g g ≥⎧⎪<⎨⎪-≥⎩，即e 2022ln 20120em m m ⎧⎪--≥⎪--<⎨⎪⎪+-≥⎩，解得22ln 2e 2-<≤-m ；∴(22ln 2,e 2]∈--m ．7．（2021·天津市第二十一中学高三期中）已知函数2()(21)ln f x ax a x x =+--．（1）当12a =时，求函数()f x 的单调区间和极值；（2）讨论函数()f x 单调性．【答案】（1）单减区间()0,1，单增区间()1,+∞，()f x 极小值=()112f =，无极大值；（2）见解析.（1）当12a =时，()21()ln 02f x x x x =->，所以()()111()x x f x x x x+-'=-=.故当()0,1x ∈时，()0f x '<，()f x 为减函数；当()1,x ∈+∞时，()0f x '>，()f x 为增函数.所以当x =1时，()f x 极小值=()112f =，无极大值.（2）由()2()(21)ln ,0f x ax a x x x =+-->可得：()21(21)2(21)1()x ax ax a x f x x x+-+--'==.①当a ≤0时，()0f x '<，()f x 在()0,∞+为减函数；②当a >0时，10,2x a ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时()0f x '<，故()f x 为减函数；1,2x a ⎛⎫∈+∞ ⎪⎝⎭时，()0f x '>，故()f x 为增函数.8．（2021·全国·高三月考（文））已知函数2()(21)ln f x ax a x x =-++.（1）当1a =时，求()f x 的单调区间与极值；（2）若()0f x <恒成立，求a 的取值范围.【答案】（1）单调递增区间为10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭，(1,)+∞，单调递减区间为1,12⎛⎫⎪⎝⎭，极大值15ln 224f ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭，极小值(1)2f =-（2）(1,0]-（1）当1a =时，函数2()3ln =-+f x x x x ，定义域为(0,)+∞，()21231(21)(1)23x x x x f x x x x x-+--'=-+==.当()0f x '>时，102x <<或1x >，当()0f x '<时，112x <<，所以函数()f x 的单调递增区间为10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭，(1,)+∞，单调递减区间为1,12⎛⎫⎪⎝⎭，所以当12x =时，函数()f x 取得极大值15ln 224f ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭，当1x =时，函数()f x 取得极小值(1)2f =-.（2）()1(21)(1)2(21)ax x f x ax a x x--'=-++=.①当0a >时，2()(21)ln f x ax a x x =-++，(0,)x ∈+∞，令2(21)0ax a x -+>，解得12x a>+，则当01(2,)x a∈++∞时，200(21)0ax a x -+>，且0ln ln 20x >>，所以函数2()(21)ln 0f x ax a x x =-++>恒成立，不符合题意，舍去；②当0a ≤时，令()0f x '>，解得01x <<，令()0f x '<，解得1x >，则函数()f x 在(0,1)上为增函数，在(1,)+∞上为减函数，所以函数()f x 在1x =处取得极大值，也是最大值，要使得()0f x <恒成立，则只需(1)(21)0f a a =-+<，解得1a >-，故10a -<≤.综上，a 的取值范围是(1,0]-.9．（2021·山西太原·高三期中）已知函数2()e x f x ax x =+-.（1）若12a =，讨论()f x 的单调性；（2）若()1f x ≤恒成立，求实数a 的取值范围.【答案】（1）()f x 为R 上的单调递减函数（2）(],0-∞（1）解：当12a =时，21()e 2xf x x x =+-，所以'()1e x f x x =+-，令()'()1e x g x f x x ==+-，则()'1e xg x =-，所以当0x >时，()'0g x <，()g x 单调递减，当0x <时，()'0g x >，()g x 单调递增，所以()()00g x g ≤=，即'()0f x ≤，所以函数()f x 为R 上的单调递减函数.（2）解：若()1f x ≤恒成立，即21e x ax x +-≤恒成立，显然，当0x =时成立，当0x ≠时，不等式等价于21e x x a x-+≤恒成立，令()21e x x h x x -+=，则()()()32e 1'x h x xx +=-，当()'0h x >时，得0x <或2x >，即函数()h x 在(),0-∞和()2,+∞上单调递增，当()'0h x <时，得02x <<，即函数()h x 在()0,2上单调递减，由于x →-∞时，()h x 由正数趋近于0，当2x =时，()21204e h -=>所以函数()h x 的草图如图，所以21e x x a x -+≤恒成立，只需0a ≤所以实数a 的取值范围是(],0-∞10．（2021·陕西·西安中学高三期中（文））己知函数e ()(0)xa f x a x=≠．（1）讨论函数()f x 的单调区间；（2）当(0,)x ∈+∞时，若()1f x ≥恒成立，求a 的取值范围．【答案】（1）答案见解析．（2）1[,)e+∞（1）解：函数定义域是{|0}x x ≠，2e (1)()x a x f x x -'=，0a >时，01x <<或0x <时，()0f x '<，1x >时，()0f x '>，()f x 的增区间是(1,)+∞，减区间是(,0)-∞和(0,1)．同理可得0a <时，()f x 的减区间是(1,)+∞，增区间是(,0)-∞和(0,1)．（2）由（1）知，若0a >，则1x =时，min ()(1)e f x f a ==，()1f x ≥恒成立，则e 1a ≥，1ea ≥，若0a <，0x >时，()0f x <，不合题意．综上，a 的取值范围是1[,)e+∞．。
导数与函数的单调性、极值、最值
导数与函数的单调性、极值、最值1．函数的单调性与导数在(a ，b )内的可导函数f (x )，f ′(x )在(a ，b )任意子区间内都不恒等于0.)(x f '≥0 ⇔f (x )在(a ，b )上为增函数．)(x f '≤0 ⇔f (x )在(a ，b )上为减函数．2．函数的极值与导数(1)函数的极小值函数y ＝f (x )在点x ＝a 的函数值f (a )比它在点x ＝a 附近的其他点的函数值都小，f ′(a )＝0，而且在点x ＝a 附近的左侧0)(<'x f ，右侧0)(>'x f ，则点a 叫做函数y ＝f (x )的极小值点，f (a )叫做函数y ＝f (x )的极小值．(2)函数的极大值函数y ＝f (x )在点x ＝b 的函数值f (b )比它在点x ＝b 附近的其他点的函数值都大，f ′(b )＝0，而且在点x ＝b 附近的左侧0)(>'x f ，右侧0)(<'x f ，则点b 叫做函数y ＝f (x )的极大值点，f (b )叫做函数y ＝f (x )的极大值．极小值点和极大值点统称为极值点，极小值和极大值统称为极值．3．函数的最值与导数(1)在闭区间[a ，b ]上连续的函数f (x )在[a ，b ]上必有最大值与最小值．(2)若函数f (x )在[a ，b ]上单调递增，则f (a )为函数的最小值，f (b )为函数的最大值；若函数f (x )在[a ，b ]上单调递减，则f (a )为函数的最大值，f (b )为函数的最小值．(3)设函数f (x )在[a ，b ]上连续，在(a ，b )内可导，求f (x )在[a ，b ]上的最大值和最小值的步骤如下：①求f (x )在(a ，b )内的极值；②将f (x )的各极值与f (a )，f (b )进行比较，其中最大的一个是最大值，最小的一个是最小值．4．判断下列结论的正误(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)f ′(x )＞0是f (x )为增函数的充要条件．(×)(2)函数的导数越小，函数的变化越慢，函数的图象就越“平缓”．(×)(3)函数的极大值不一定比极小值大．(√)(4)对可导函数f (x )，f ′(x 0)＝0是x 0点为极值点的充要条件．(×)(5)函数的极大值一定是函数的最大值．(×)(6)开区间上的单调连续函数无最值．(√)(7)函数在某区间上或定义域内极大值是唯一的．(×)(8)闭区间上的连续函数一定有最大值，也有最小值．(√)(9)函数f (x )＝3x ＋b ，在[m ，n ]上的极大值点为m .(×)(10)函数f (x )＝x 2－1，其极值点为)0,21(.(×)考点一 利用导数研究函数的单调性[例1] (1)函数f (x )＝1＋x －sin x 在(0,2π)上是( )A ．增函数B ．减函数C ．在(0，π)上增，在(π，2π)上减D ．在(0，π)上减，在(π，2π)上增解析：f ′(x )＝1－cos x ＞0恒成立，∴f (x )在R 上递增，在(0,2π)上为增函数． 答案：A(2)设函数f (x )＝13x 3－(1＋a )x 2＋4ax ＋24a ，其中常数a ＞1，则f (x )的单调减区间为________．解析：f ′(x )＝x 2－2(1＋a )x ＋4a ＝(x －2)(x －2a )，由a ＞1知，当x ＜2时，f ′(x )＞0，故f (x )在区间(－∞，2)上是增函数；当2＜x ＜2a 时，f ′(x )＜0，故f (x )在区间(2,2a )上是减函数；当x ＞2a 时，f ′(x )＞0，故f (x )在区间(2a ，＋∞)上是增函数．综上，当a ＞1时，f (x )在区间(－∞，2)和(2a ，＋∞)上是增函数，在区间(2,2a )上是减函数．答案：(2,2a )(3)函数f (x )＝x 3－ax 为R 上增函数的一个充分不必要条件是( )A ．a ≤0B ．a ＜0C ．a ≥0D ．a ＞0解析：函数f (x )＝x 3－ax 为R 上增函数的一个充分不必要条件是f ′(x )＝3x 2－a ＞0在R 上恒成立，所以a ＜(3x 2)min .因为(3x 2)min ＝0，所以a ＜0.故选B. 答案：B[方法引航] (1)利用导数的符号来判断函数的单调性；(2)已知函数的单调性求函数范围可以转化为不等式恒成立问题；(3)f (x )为增函数的充要条件是对任意的x ∈(a ，b )都有f ′(x )≥0且在(a ，b )内的任一非空子区间上f ′(x )≠0.应注意此时式子中的等号不能省略，否则漏解.1．若将本例(2)改为已知函数f (x )＝13x 3－(1＋a )x 2＋4ax ＋24a .(a ∈R )，求f (x )的单调区间．解：x ∈R ，f ′(x )＝x 2－2(1＋a )x ＋4a ＝(x －2a )(x －2)，令f ′(x )＝0，得x 1＝2a ，x 2＝2，当2a ＞2，即a ＞1时由f ′(x )＞0得x ＞2a 或x ＜2；由f ′(x )＜0得2＜x ＜2a .当2a ＝2，即a ＝1时，f ′(x )≥0恒成立；当2a ＜2，即a ＜1时，由f ′(x )＞0得x ＞2或x ＜2a ；由f ′(x )＜0得2a ＜x ＜2. 综上所述，当a ＞1时，增区间为(2a ，＋∞)，(－∞，2)；减区间为(2,2a )．当a ＝1时，增区间为(－∞，＋∞)，无减区间．当a ＜1时，增区间为(－∞，2a )，(2，＋∞)，减区间为(2a,2)．2．若函数f (x )＝13x 3－32x 2＋ax ＋4恰在[－1,4]上单调递减，则实数a 的值为________．解析：∵f (x )＝13x 3－32x 2＋ax ＋4，∴f ′(x )＝x 2－3x ＋a ，又函数f (x )恰在[－1,4]上单调递减，∴－1,4是f ′(x )＝0的两根，∴a ＝(－1)×4＝－4.答案：－4考点二利用导数求函数的极值[例2](1)求函数f解：由条件知函数f(x)的定义域为(0，＋∞)．因为m＜0，则)(xf'＝2(x＋－m)(x－－m)x.当x变化时，f′(x)，f(x)的变化情况如下表：的单调递减区间是单调递增区间是(－m，＋∞)．∴当x＝－m时，f(x)极小值＝(－m)2＋2m ln－m＝－m＋m ln(－m)．(2)已知a，b是实数，1和－1是函数f(x)＝x3＋ax2＋bx的两个极值点．①求a和b的值；②设函数g(x)的导函数g′(x)＝f(x)＋2，求g(x)的极值点．解：①由题设知f′(x)＝3x2＋2ax＋b，且f′(－1)＝3－2a＋b＝0，f′(1)＝3＋2a＋b＝0.解得a＝0，b＝－3.②由(1)知f(x)＝x3－3x.因为f(x)＋2＝(x－1)2(x＋2)，所以g′(x)＝0的根为x1＝x2＝1，x3＝－2，于是函数g(x)的极值点只可能是1或－2.当x＜－2时，g′(x)＜0；当－2＜x＜1时，g′(x)＞0，故－2是g(x)的极值点．当－2＜x＜1或x＞1时，g′(x)＞0，故1不是g(x)的极值点．所以g(x)的极值点为－2.[方法引航] 1.求可导函数f(x)的极值的步骤(1)确定函数的定义区间，求导函数)(xf'(2)求方程)(xf'＝0的根；(3)用函数的导数值为0的点，顺次将函数的定义区间分成若干个小开区间，并列成表格．检查在方程根的左右)(x f '的值的符号，如果左正右负，那么f (x )在这个根处取得极大值；如果左负右正，那么f (x )在这个根处取得极小值；如果左右不改变符号，那么f (x )在这个根处无极值．如果函数在某些点处连续但不可导，也需要考虑这些点是否是极值点．2．已知极值求参数时，要注意检验所求是否有极值的条件．1．若本例(1)中函数不变，m 变为“m ≥0”，其极值如何．解：当m ＝0时，f (x )＝x 2，∴在(－∞，0)，f (x )为减函数，(0，＋∞)为增函数， ∴当x ＝0时，f (x )极小值为0，无极大值．当m ＞0时，f ′(x )＝2x ＋2m x ＞0恒成立．∴f (x )在(0，＋∞)上为增函数，无极值．2．若本例(2)改为已知函数f (x )＝x 3＋ax 2＋bx ＋a 2在x ＝1处有极值10，则f (2)等于( )A ．11或18B ．11C ．18D ．17或18解析：选C.∵函数f (x )＝x 3＋ax 2＋bx ＋a 2在x ＝1处有极值10，∴f (1)＝10，且f ′(1)＝0，即⎩⎨⎧ 1＋a ＋b ＋a 2＝10，3＋2a ＋b ＝0，解得⎩⎨⎧ a ＝－3，b ＝3，或⎩⎨⎧a ＝4，b ＝－11. 而当⎩⎨⎧a ＝－3，b ＝3时，函数在x ＝1处无极值，故舍去． ∴f (x )＝x 3＋4x 2－11x ＋16，∴f (2)＝18.考点三 利用导数求函数的最值[例3] (1)已知函数f (x )＝e x ，g (x )＝ln x ＋1，对∀a ∈R ，∃b ∈(0，＋∞)，使得f (a )＝g (b )，则b －a 的最小值为( ) A ．1 B ．2 C ．2e －1 D ．e 2－1解析：设f (a )＝g (b )＝t ，即e a ＝ln b ＋1＝t (t ＞0)，所以a ＝ln t ，b ＝e t －1，则b －a ＝e t －1－ln t ＝h (t )，h ′(t )＝)e('te －1t ＝e t －1－1t ，令h ′(t )＝0，得t ＝1，可判断t ＝1为函数h (t )的极小值点，所以所求的最小值为h (1)＝1.答案：A(2)设函数f (x )＝x e x －x )12(+x a ＋2. ①若a ＝1，求f (x )的单调区间；②当x ≥0时，f (x )≥x 2－x ＋2恒成立，求a 的取值范围．解：①∵a ＝1，∴f (x )＝x e x －x )121(+x ＋2＝x e x －12x 2－x ＋2， ∴f ′(x )＝(e x －1)(x ＋1)，∴当－1≤x ≤0时，f ′(x )≤0；当x ≤－1或x ≥0时，f ′(x )≥0，∴f (x )在[－1,0]上单调递减，在(－∞，－1]，[0，＋∞)上单调递增．②由f (x )≥x 2－x ＋2，得x 0)22(≥+-x a e x≥0，即要满足e x ≥a ＋22x ， 当x ＝0时，显然成立；当x ＞0时，即e x x ≥a ＋22，记g (x )＝e x x ，则g ′(x )＝e x(x －1)x 2，易知g (x )的最小值为g (1)＝e ，∴a ＋22≤e ，得 a ≤2(e －1)．[方法引航] 设函数f (x )在[a ，b ]上连续，在(a ，b )内可导，则求f (x )在[a ，b ]上的最大值与最小值的步骤如下：(1)求f (x )在(a ，b )内的极值，若函数f (x )中含有参数，则需要讨论参数的范围，从而决定极值存在的位置；(2)将f (x )的各极值与f (a )、f (b )比较，得出函数f (x )在[a ，b ]上的最值.1．函数f (x )＝x 33＋x 2－3x －4在[0,2]上的最小值是( )A ．－173B ．－103C ．－4D ．－643解析：选A.f ′(x )＝x 2＋2x －3，令f ′(x )＝0得x ＝1(x ＝－3舍去)，又f (0)＝－4，f (1)＝－173，f (2)＝－103.故f (x )在[0,2]上的最小值是f (1)＝－173.2．设函数f (x )＝x 3－x 22－2x ＋5，若对任意的x ∈[－1,2]，都有f (x )＞a ，则实数a 的取值范围是________．解析：f ′(x )＝3x 2－x －2，令f ′(x )＝0，得3x 2－x －2＝0，解得x ＝1或x ＝－23，又f (1)＝72，f )32(-＝15727，f (－1)＝112，f (2)＝7， 故f (x )min ＝72，∴a ＜72. 答案：)27,(-∞[规范答题]用导数研究函数单调性和极值[典例] (2017·山东济南模拟)(本小题满分13分)已知函数f (x )＝e x ＋ax －a (a ∈R 且a ≠0)．(1)若函数f (x )在x ＝0处取得极值，求实数a 的值；并求此时f (x )在[－2,1]上的最大值；(2)若函数f (x )不存在零点，求实数a 的取值范围．[解] (1)函数f (x )的定义域为R ，f ′(x )＝e x ＋a ，1分f ′(0)＝e 0＋a ＝0，∴a ＝－1.2分∴f ′(x )＝e x －1，∵在(－∞，0)上f ′(x )＜0，f (x )单调递减，在(0，＋∞)上f ′(x )＞0，f (x )单调递增，∴当x ＝0时，f (x )取极小值．∴a ＝－1.3分易知f (x )在[－2,0]上单调递减，在(0,1]上f (x )单调递增，且f (－2)＝1e 2＋3，f (1)＝e ，f (－2)＞f (1).4分∴f (x )在[－2,1]的最大值为1e 2＋3.5分(2)f ′(x )＝e x ＋a ，由于e x ＞0.①当a ＞0时，f ′(x )＞0，f (x )是增函数，7分且当x ＞1时，f (x )＝e x ＋a (x －1)＞0.8分当x ＜0时，取x ＝－1a ，则f )1(a -＜1＋a )11(--a＝－a ＜0， ∴函数f (x )存在零点，不满足题意.9分②当a ＜0时，令f ′(x )＝e x ＋a ＝0，x ＝ln(－a )．在(－∞，ln(－a ))上f ′(x )＜0，f (x )单调递减，在(ln(－a )，＋∞)上f ′(x )＞0，f (x )单调递增，∴x ＝ln(－a )时，f (x )取最小值.11分函数f (x )不存在零点，等价于f (ln(－a ))＝e ln(－a )＋a ln(－a )－a ＝－2a ＋a ln(－a )＞0，解得－e 2＜a ＜0.综上所述，所求的实数a 的取值范围是－e 2＜a ＜0.13分[规范建议] (1)正确求导和f ′(0)．(2)通过极值并检验a 的值．(3)利用单调变化求最大值．(4)讨论a ，确定单调变化与最值，构建关于a 的不等式．(5)注意(1)与(2)两问无关系．[高考真题体验]1．(2016·高考全国乙卷)若函数f (x )＝x －13sin 2x ＋a sin x 在(－∞，＋∞)单调递增，则a 的取值范围是( )A ．[－1,1] B.]31,1[- C.]31,31[- D.]31,1[-- 解析：选 C.f ′(x )＝1－23cos 2x ＋a cos x ＝1－23(2cos 2x －1)＋a cos x ＝－43cos 2x ＋a cos x ＋53f (x )在R 上单调递增，则f ′(x )≥0在R 上恒成立，令cos x ＝t ，t ∈[－1,1]，则－43t 2＋at ＋53≥0在[－1,1]上恒成立，即4t 2－3at －5≤0在[－1,1]上恒成立，令g (t )＝4t 2－3at －5，则⎩⎨⎧g (1)＝4－3a －5≤0，g (－1)＝4＋3a －5≤0，解得－13≤a ≤13，故选C. 2．(2014·高考课标卷Ⅰ)设函数f (x )＝a ln x ＋1－a 2x 2－bx (a ≠1)，曲线y ＝f (x )在点(1，f (1))处的切线斜率为0.(1)求b ；(2)若存在x 0≥1，使得f (x 0)＜a a －1，求a 的取值范围． 解：(1)f ′(x )＝a x ＋(1－a )x －b .由题设知f ′(1)＝0，解得b ＝1.(2)f (x )的定义域为(0，＋∞)，由(1)知，f (x )＝a ln x ＋1－a 2x 2－x ，f ′(x )＝a x ＋(1－a )x －1＝1－a x )1(aa x --(x －1)． (ⅰ)若a ≤12，则a 1－a≤1，故当x ∈(1，＋∞)时，f ′(x )＞0，f ′(x )在(1，＋∞)上单调递增．所以，存在x 0≥1，使得f (x 0)＜a a －1的充要条件为f (1)＜a a －1，即1－a 2－1＜a a －1，解得－2－1＜a ＜2－1.(ⅱ)若12＜a ＜1，则a 1－a ＞1，故当x ∈)1,1(a a -时，f ′(x )＜0；当x ∈),1(+∞-aa 时，f ′(x )＞0.f (x )在)1,1(a a -上单调递减，在),1(+∞-aa 上单调递增． 所以，存在x 0≥1，使得f (x 0)＜a a －1的充要条件为f )1(aa -＜a a －1. 而)1(aa f -＝a ln a 1－a ＋a 22(1－a )＋a a －1＞a a －1，所以不合题意． (ⅲ)若a ＞1，则f (1)＝1－a 2－1＝－a －12＜a a －1. 综上，a 的取值范围是(－2－1，2－1)∪(1，＋∞)．3．(2013·高考课标卷Ⅰ)已知函数f (x )＝e x (ax ＋b )－x 2－4x ，曲线y ＝f (x )在点(0，f (0))处的切线方程为y ＝4x ＋4.(1)求a ，b 的值；(2)讨论f (x )的单调性，并求f (x )的极大值．解：(1)f ′(x )＝e x (ax ＋a ＋b )－2x －4.由已知得f (0)＝4，f ′(0)＝4，故b ＝4，a ＋b ＝8.从而a ＝4，b ＝4.(2)由(1)知f (x )＝4e x (x ＋1)－x 2－4x ，f ′(x )＝4e x (x ＋2)－2x －4＝4(x ＋2))21(-x e 令f ′(x )＝0，得x ＝－ln 2或x ＝－2. 从而当x ∈(－∞，－2)∪(－ln 2，＋∞)时，f ′(x )＞0；当x ∈(－2，－ln 2)时，)(x f '＜0.故f (x )在(－∞，－2)，(－ln 2，＋∞)上单调递增，在(－2，－ln 2)上单调递减． 当x ＝－2时，函数f (x )取得极大值，极大值为f (－2)＝4(1－e －2)．课时规范训练A 组 基础演练1．函数f (x )＝x 2－2ln x 的单调减区间是( )A ．(0,1)B ．(1，＋∞)C ．(－∞，1)D ．(－1,1)解析：选A.∵f ′(x )＝2x －2x ＝2(x ＋1)(x －1)x(x ＞0)． ∴当x ∈(0,1)时，f ′(x )＜0，f (x )为减函数；当x ∈(1，＋∞)时，f ′(x )＞0，f (x )为增函数．2．函数f (x )＝x 3－3x 2＋2在区间[－1,1]上的最大值是( )A ．－2B ．0C ．2D ．4解析：选C.∵f ′(x )＝3x 2－6x ，令f ′(x )＝0，得x ＝0或x ＝2.∴f (x )在[－1,0)上是增函数，f (x )在(0,1]上是减函数．∴f (x )max ＝f (x )极大值＝f (0)＝2.3．若函数y ＝f (x )的导函数y ＝f ′(x )的图象如图所示，则y ＝f (x )的图象可能为( )解析：选C.根据f ′(x )的符号，f (x )图象应该是先下降后上升，最后下降，排除A ，D ；从适合f ′(x )＝0的点可以排除B.4．下面为函数y ＝x sin x ＋cos x 的递增区间的是( )A.)23,2(ππ B ．(π，2π) C.)25,23(ππ D ．(2π，3π) 解析：选C.y ′＝(x sin x ＋cos x )′＝sin x ＋x cos x －sin x ＝x cos x ，当x ∈)25,23(ππ时，恒有x cos x ＞0.故选C.5．设函数f (x )＝12x 2－9ln x 在区间[a －1，a ＋1]上单调递减，则实数a 的取值范围是( )A ．1＜a ≤2B ．a ≥4C ．a ≤2D ．0＜a ≤3解析：选A.∵f (x )＝12x 2－9ln x ，∴f ′(x )＝x －9x (x ＞0)，当x －9x ≤0时，有0＜x ≤3，即在(0,3]上原函数是减函数，∴a －1＞0且a ＋1≤3，解得1＜a ≤2.6．函数f (x )＝x ＋9x 的单调减区间为________．解析：f ′(x )＝1－9x 2＝x 2－9x 2， 令f ′(x )＜0，解得－3＜x ＜0或0＜x ＜3，故单调减区间为(－3,0)和(0,3)． 答案：(－3,0)和(0,3)7．函数f (x )＝x 3＋ax －2在(1，＋∞)上是增函数，则实数a 的取值范围是________． 解析：f ′(x )＝3x 2＋a ，f ′(x )在区间(1，＋∞)上是增函数，则f ′(x )＝3x 2＋a ≥0在(1，＋∞)上恒成立，即a ≥－3x 2在(1，＋∞)上恒成立．∴a ≥－3.答案：a ≥－38．若f (x )＝－12x 2＋b ln(x ＋2)在(－1，＋∞)上是减函数，则b 的取值范围是______．解析：转化为f ′(x )＝－x ＋b x ＋2≤0在[－1，＋∞)上恒成立， 即b ≤x (x ＋2)在[－1，＋∞)上恒成立，令g (x )＝x (x ＋2)＝(x ＋1)2－1， 所以g (x )min ＝－1，则b 的取值范围是(－∞，－1]．答案：(－∞，－1]9．已知函数f (x )＝1＋ln x kx (k ≠0)．求函数f (x )的极值．解：f (x )＝1＋ln x kx ，其定义域为(0，＋∞)，则f ′(x )＝－ln x kx 2.令f ′(x )＝0，得x ＝1，当k ＞0时，若0＜x ＜1，则f ′(x )＞0；若x ＞1，则f ′(x )＜0，∴f (x )在(0,1)上单调递增，在(1，＋∞)上单调递减，即当x ＝1时，函数f (x )取得极大值1k .当k ＜0时，若0＜x ＜1，则f ′(x )＜0；若x ＞1，则f ′(x )＞0，∴f (x )在(0,1)上单调递减，在(1，＋∞)上单调递增，即当x ＝1时，函数f (x )取得极小值1k .10．已知函数f (x )＝x 4＋a x －ln x －32，其中a ∈R ，且曲线y ＝f (x )在点(1，f (1))处的切线垂直于直线y ＝12x .(1)求a 的值；(2)求函数f (x )的单调区间与极值．解：(1)对f (x )求导得)(x f '＝14－a x 2－1x ，由f (x )在点(1，f (1))处的切线垂直于直线y＝12x 知f ′(1)＝－34－a ＝－2，解得a ＝54.(2)由(1)知f (x )＝x 4＋54x －ln x －32，则)(x f '＝x 2－4x －54x 2，令f ′(x )＝0，解得x ＝－1或x ＝5.因x ＝－1不在f (x )的定义域(0，＋∞)内，故舍去．当x ∈(0,5)时，)(x f '＜0，故f (x )在(0,5)内为减函数；当x ∈(5，＋∞)时，)(x f '＞0，故f (x )在(5，＋∞)内为增函数．由此知函数f (x )在x ＝5时取得极小值f (5)＝－ln 5.B 组 能力突破1．已知a 为函数f (x )＝x 3－12x 的极小值点，则a ＝( )A ．－4B ．－2C ．4D ．2解析：选D.由题意可得f ′(x )＝3x 2－12＝3(x －2)(x ＋2)，令f ′(x )＝0，得x ＝－2或x ＝2，则f ′(x )，f (x )随x 的变化情况如下表：处取得极小值，则2．已知函数f (x )＝e x x 2－k )ln 2(x x+，若x ＝2是函数f (x )的唯一一个极值点，则实数k 的取值范围为( )A ．(－∞，e]B ．[0，e]C ．(－∞，e)D ．[0，e)解析：选A.f ′(x )＝x 2e x －2x e x x 4－k )12(2xx +-＝(x －2)⎝ ⎛⎭⎪⎫e xx －k x 2(x ＞0)．设g (x )＝e x x ， 则g ′(x )＝(x －1)e xx 2，则g (x )在(0,1)内单调减，在(1，＋∞)内单调增．∴g (x )在(0，＋∞)上有最小值，为g (1)＝e ，结合g (x )＝e xx 与y ＝k 的图象可知，要满足题意，只需k ≤e ，选A.3．已知函数f (x )＝2x ＋1x 2＋2，则下列选项正确的是( ) A ．函数f (x )有极小值f (－2)＝－12，极大值f (1)＝1B ．函数f (x )有极大值f (－2)＝－12，极小值f (1)＝1C ．函数f (x )有极小值f (－2)＝－12，无极大值D ．函数f (x )有极大值f (1)＝1，无极小值解析：选A.由f ′(x )＝)212(2'++x x ＝－2(x ＋2)(x －1)(x 2＋2)2＝0，得x ＝－2或x ＝1，当x ＜－2时，f ′(x )＜0，当－2＜x ＜1时，f ′(x )＞0，当x ＞1时，f ′(x )＜0，故x＝－2是函数f (x )的极小值点，且f (－2)＝－12，x ＝1是函数f (x )的极大值点，且f (1)＝1.4．已知函数f (x )＝－12x 2＋4x －3ln x 在[t ，t ＋1]上不单调，则t 的取值范围是________．解析：由题意知f′(x)＝－x＋4－3x＝－x2＋4x－3x＝－(x－1)(x－3)x，由f′(x)＝0得函数f(x)的两个极值点为1,3，则只要这两个极值点有一个在区间(t，t＋1)内，函数f(x)在区间[t，t＋1]上就不单调，由t＜1＜t＋1或t＜3＜t＋1，得0＜t＜1或2＜t＜3.答案：(0,1)∪(2,3)5．已知函数f(x)＝e x－ax－1.(1)求f(x)的单调增区间；(2)是否存在a，使f(x)在(－2,3)上为减函数，若存在，求出a的取值范围，若不存在，请说明理由．解：f′(x)＝e x－a，(1)若a≤0，则f′(x)＝e x－a≥0，即f(x)在R上单调递增，若a＞0，e x－a≥0，∴e x≥a，x≥ln a.因此当a≤0时，f(x)的单调增区间为R，当a＞0时，f(x)的单调增区间是[ln a，＋∞)．(2)∵f′(x)＝e x－a≤0在(－2,3)上恒成立．∴a≥e x在x∈(－2,3)上恒成立．又∵－2＜x＜3，∴e－2＜e x＜e3，只需a≥e3.当a＝e3时，f′(x)＝e x－e3在x∈(－2,3)上，f′(x)＜0，即f(x)在(－2,3)上为减函数，∴a≥e3.故存在实数a≥e3，使f(x)在(－2,3)上为减函数．。
导数的应用单调性、极值、最值
导数的应用(单调性、极值、最值)蓝园高级中学数学组陈秋彬考纲要求II1. 了解函数的单调性与导数的关系；能利用导数研究函数的单调性，会求不超过三次的多项式函数的单 调区间。
2. 了解函数在某点取得极值的必要条件和充分条件；理解极大值、极小值的概念；会用导数求不超过三 次的多项式函数的极大值、极小值。
3. 会用导数求不超过三次的多项式函数在定区间上的最大值、最小值。
从进几年的高考试题来看，利用导数研究函数的单调性、极值和最值是导数的基本问题， 每年必考,分值较大，需要考生重点练习、熟练应用。
导数及其应用占据着非常重要的地位，包括求函数的极值，求函数的单调区间，证明函数的增减性 等；还包括将导数内容和传统内容中有关不等式、函数、解析几何等知识有机地结合在一起，设计综合 试题。
随着导数作为考试内容的考查力度逐年增大，导数已经由前几年只是在解决问题中的辅助地位上 升为分析和解决问题时的必不可少的工具。
导数一般考法比较简单，就是讨论单调区间求最值。
但也有的省市考得较难，与不等式结合，放在 最后一题的位置，往往需要我们理解其几何意义，才能找到方向。
考点解读II 考点1函数的单调性与导数 1.在某个区间(a,b)内，如果f(X)0,那么函数y f (x)在这个区间内单调递增；如果 那么函数y f(X)在这个区间内单调递间 2. 判断函数单调性的步骤:3. 一般地，如果一个函数在某一范围内导数的绝对值较大，那么函数在这个范围内变化的快,的图像就比较“陡峭”(向上或向下)；反之，函数的图像就“平缓”一些 .考点2函数的极值与导数a 的函数值f (a)比它在点x a 附近其他点的函数值都小b 的函数值f (b)比它在点x b 附近其他点的函数值都大，那么点 bf(x) 0 ，因为 f(x)，所以f (X)函数 (x) (x)f(x)时, 时, 的单调增区间为函数 函数 f(x) L 单调递增; f (x) L 单调递减.，单调减区间为这时函数叫做y f (x)的极小值点,f (a)叫做函数y f(x)的极小值;1. (1)如果函数y f (x)在点x ⑵如果函数y f (x)在点x叫做y f(x)的极大值点，f(b)叫做函数y f (x)的极大值.(3)极小值点、极大值点统称为极值点，极大值和极小值统称为极值 2. (1)求函数y f(x)的极值的方法(充分条件)：解方程f(X)0 .当f (X o ) 0时:①如果在X o 附近的左侧f(X)0，右侧f(X)0,那么f(X o )是极大值;②如果在X o 附近的左侧f(X) 0,右侧f(X) 0,那么f (X o )是极小值.(2)必要条件：函数y f(x)在一点取得极值的必要条件是函数 y f(X)在这一点的导数值 0。
用导数解决函数的单调性极值最值的方法步骤
用导数解决函数的单调性极值最值的方法步骤导数是微积分中非常重要的概念，它可以通过求取函数的斜率来提供关于函数的很多信息。
通过导数，我们能够判断函数的单调性、极值和最值。
下面，我将详细介绍使用导数进行函数分析的方法步骤。
一、函数的单调性分析：函数的单调性指的是函数在定义域上的递增或递减特性。
使用导数可以判断函数在不同区间上的单调性。
1.求出函数的导数：根据函数的定义，求出函数的导数。
若函数在其中一点存在导数，则说明函数在该点是可导的。
2.导数的符号变化：对求得的导数进行符号变化的分析，即导数求值时，符号的正负变化。
假设导数的结果是f’(x)。
通过求解f’(x)=0的解集，得到导数的零点集合。
3.导数零点的意义：对于导数零点集合中的每一个点进行分析。
如果导数在其中一点处的零点是一个正的极值点，则说明函数在该点是递增的；如果导数在其中一点处的零点是一个负的极值点，则说明函数在该点是递减的。
4.极值点的判定：在求得导数零点的基础上，通过导数的符号变化来判定函数在区间上的单调性。
当导数从正数变为负数时，说明函数在该区间上是递减的；当导数从负数变为正数时，说明函数在该区间上是递增的。
二、函数的极值分析：函数的极值是指函数在其中一点处取得的最大值或最小值。
通过导数可以判断函数的极值点。
1.求出函数的导数：根据函数的定义，求出函数的导数。
2.导数零点的极值分析：计算导数的零点，并求出零点对应的函数值，在零点处求得导数的值，在零点前后进行符号判定。
3.极值点的判定：若导数从负数增加到正数，则说明函数在该点处取得极小值；若导数从正数减小到负数，则说明函数在该点处取得极大值。
三、函数的最值分析：函数的最值是函数在定义域上取得的最大值或最小值。
通过导数可以判断函数的最值点。
1.求出函数的导数：根据函数的定义，求出函数的导数。
2.导数的变化性：通过计算导数的值和导数的符号变化来判断函数的最值。
3.导数的非零点分析：计算函数的定义域上的导数，找出导数等于零的点的集合。
高考数学答题模板：函数的单调性、极值、最值问题
高考数学答题模板：函数的单调性、极值、
最值问题
高考数学答题模板：函数的单调性、极值、最值问题
1、解题路线图
(1)①先对函数求导;②计算出某一点的斜率;③得出切线方程。
(2)①先对函数求导;②谈论导数的正负性;③列表观察原函数值;④得到原函数的单调区间和极值。
2、构建答题模板
①求导数：求f(x)的导数f′(x)。
(注意f(x)的定义域)
②解方程：解f′(x)=0，得方程的根。
③列表格：利用f′(x)=0的根将f(x)定义域分成若干个小开区间，并列出表格。
④得结论：从表格观察f(x)的单调性、极值、最值等。
⑤再回顾：对需讨论根的大小问题要特殊注意，另外观察f(x)的间断点及步骤规范性。
高数大一第十二章知识点
高数大一第十二章知识点最近，我正在学习高数大一的第十二章知识点。
这一章主要涵盖了曲线的切线与法线、函数的极值与最值、曲线的凹凸性以及函数的单调性。
接下来，我将分别介绍这些知识点，并探讨它们在实际问题中的应用。
一、曲线的切线与法线在这一部分，我们学习了如何求曲线在给定点的切线和法线。
首先，我们需要掌握求导数的方法，以确定曲线在某点的斜率。
然后，我们可以使用点斜式方程来确定切线或法线的方程。
这些知识非常重要，因为它们在物理等领域的运动问题中有广泛的应用。
例如，在机械运动中，我们可以利用曲线的切线来确定物体在某一瞬间的速度和方向。
二、函数的极值与最值这一部分的内容主要关于函数的极值和最值。
我们学会了如何找到函数的极值点，并验证它们是否为极大值或极小值。
我们可以通过求导数和二阶导数来确定函数的极值点，并用函数的图像进行确认。
函数的最值是指函数在定义域内取得的最大或最小值。
求解函数的最值需要考虑函数的最值点和函数的导数。
这一知识点在优化问题中有广泛的应用，例如在经济学中，我们可以利用函数的最值来确定最优的生产方案或消费策略。
三、曲线的凹凸性曲线的凹凸性是指曲线在某一点的弯曲程度。
在这一部分，我们学习了如何确定曲线的凹凸性以及凹凸点。
为了确定曲线的凹凸性，我们需要求曲线的二阶导数，并通过分析二阶导数的正负性来确定曲线的凹凸区间。
曲线的凹凸性在物理学和经济学等领域有重要的应用，例如在力学中，我们可以利用曲线的凹凸性来分析物体的稳定性和平衡状态。
四、函数的单调性函数的单调性是指函数在某一区间上递增或递减的性质。
我们学习了如何确定函数的单调性以及单调区间。
为了确定函数的单调性，我们需要求函数的导数，并通过分析导数的正负性来确定函数的单调区间。
函数的单调性在经济学、市场分析和判断趋势等领域具有重要的应用，例如在金融市场中，我们可以利用函数的单调性来分析股票的涨跌趋势。
总结起来，高数大一的第十二章知识点涵盖了曲线的切线与法线、函数的极值与最值、曲线的凹凸性以及函数的单调性。
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第12讲 导 数 【知识归纳】： 1．(1) 八个基本求导公式 )(C＝ ； )(nx＝ ； )(sinx＝ ， )(cosx＝ )(xe＝ ， )(xa＝ )(lnx＝ ， )(logxa＝ (2) 导数的四则运算 )(vu＝ ])([xCf＝ )(uv＝ )(vu＝ )0(v 1()'x 【典型例题】： 1、求下列函数的导数 42356yxxx； 2cosyxx 1yxx sinyxx 11xyx 2、求下列函数的单调区间，极值
3
3yxx
2
23yxx
x
yex
3、求31443yxx，[0,3]x的最值
【高考小题】：
1、求曲线y=.34313x在x=2处的切线方程；
2、函数y=x4-2x2+5在区间［-2,2］上的最大值与最小值.
3、函数f(x)的导函数y=)(xf的图象如右图，则函数f(x)
的单调递增区间为 .
4、已知函数3211()()32fxxaxaaR.若
1,a
求函数()[0,2]fx在上的最大值；
5、函数322,.fxxaxbxaabR在
1x
处有极值为10，求b的值；
6、求函数()=ln+1,fxxaxaR的图象在点
(1,(1))Pf
处的切线l的方程；
7、已知函数1()()2ln()fxaxxaxR．
（Ⅰ）若2a，求曲线()yfx在点(1,(1))f处的切线
方程；
（Ⅱ）求函数()fx的单调区间.
8、设函数()(1)ln(1)fxaxax，（1a）
求函数()fx的单调区间；