高二数学期末复习概率统计(理)典型例题选讲

1 / 4 概率统计（理）典型例题选讲 (1)等可能性事件(古典概型)的概率：P(A)＝)()(IcardAcard＝nm; 等可能事件概率的计算步骤： ① 计算一次试验的基本事件总数n; ② 设所求事件A，并计算事件A包含的基本事件的个数m;

③ 依公式()mPAn求值;

④ 答，即给问题一个明确的答复. (2)互斥事件有一个发生的概率：P(A＋B)＝P(A)＋P(B); 特例：对立事件的概率：P(A)＋P(A)＝P(A＋A)＝1. (3)相互独立事件同时发生的概率：P(A·B)＝P(A)·P(B); 特例：独立重复试验的概率：Pn(k)＝knkknppC)1(.其中P为事件A在一次试验中发生的概率，此式为二项式[(1-P)+P]n展开的第k+1项. (4)解决概率问题要注意“四个步骤，一个结合”： ① 求概率的步骤是：

第一步，确定事件性质等可能事件 互斥事件 独立事件 n次独立重复试验即所给的问题归结为四类事件中的某一种.

第二步，判断事件的运算和事件积事件即是至少有一个发生，还是同时发生，分别运用相加或相乘事件. 第三步，运用公式()()()()()()()()(1)kknknnmPAnPABPAPBPABPAPBPkCpp等可能事件: 互斥事件： 独立事件： n次独立重复试验:求解

第四步，答，即给提出的问题有一个明确的答复. 典型例题分析

1 ．（2009高考(陕西理)）某食品企业一个月内被消费者投诉的次数用表示,椐统计,随机变量的概率分布如下:  0 1 2 3

p 0.1 0.3 2a a (Ⅰ)求a的值和的数学期望; (Ⅱ)假设一月份与二月份被消费者投诉的次数互不影响,求该企业在这两个月内共被消费者投诉2次的概率｡ 【答案】(1)由概率分布的性质有0.1+0.3+2a+a=1,解答a=0.2



的概率分布为

 0 1 2 3

P 0.1 0.3 0.4 0.2 0*0.11*0.32*0.43*0.21.7E

(2)设事件A表示“两个月内共被投诉2次”事件1A表示“两个月内有一个月被投诉2次,另外一个月被投诉0次”;事件2A表示“两个月内每月均被投诉12次” 则由事件的独立性得 112

222

12

()(0)2*0.4*0.10.08()[(1)]0.30.09()()()0.080.090.17PACPPAPPAPAPA 故该企业在这两个月内共被消费者投诉2次的概率为0.17 2．（浙江省温州市2010届高三八校联考（理））甲乙两队参加某知识竞赛,每队3人,每人回答一个问题,

答对者为本队赢得一分,答错得零分｡假设甲队中每人答对的概率均为32,乙队中3人答对的概率分

别为21,32,32且各人回答正确与否相互之间没有影响.用ξ表示乙队的总得分. (Ⅰ)求随机变量ξ的分布列和数学期望; (Ⅱ)用A表示“甲、乙两个队总得分之和等于3”这一事件,用B表示“甲队总得分大于乙队总得分”这一事件,求)|(ABP｡

【答案】:(1)181213131)0(P;

185213131213231213132)1(P

188213231213132213232)2(P

184213232)3(P

所以随机变量ξ的分布列: ξ 0 1 2 3

P 181 185 188 18

4

数学期望18331843188218511810E 2 / 4

(2)用η表示甲队的总得分 271)321()0(303CP; 92276)321(32)1(213CP;

942712)321()32()2(223CP 278)32()3(333CP

)0,3()1,2()2,1()3,0()(PPPPAP

27181202711842761882712185278181

2718682712185278181)2,1()3,0()(PPBAP

∴301712068)()()|(APBAPABP 3 ．（浙江省台州中学09-10学年高二上学期第二次统练（理））在汶川大地震后对唐家山堰塞湖的抢险过程中,武警官兵准备用射击的方法引爆从湖坝上游漂流而下的一个巨大的汽油罐.已知只有5发子弹,第一次命中只能使汽油流出,第二次命中才能引爆.每次射击是相互独立的,且命中的概率都是2

3.

(Ⅰ)求油罐被引爆的概率; (Ⅱ)如果引爆或子弹打光则停止射击,设射击次数为.求的分布列及数学期望E().(用分数表示) 【答案】:

5145

0121(0)(1),32432210(1)(1),332432321(0)(1).(6)243XXPXPXCPPXPXLLL(1)设命中油罐的次数为X,则当或时,油罐不能被引爆.

油罐被引爆的概率分 12

123

(2)2,3,4,5.2242228(2),(3)(1),339333272224(4)(1),333274841(5)1(2)(3)(4)1().927279,PPCPCPPPP射击次数的取值为

因此的分布列为: ξ 2 3 4 5

P 49 827 427 19 4841792345.(14)92727927ELLLL分

4 ．（北京市崇文区2009届高三一模文）某学校进行交通安全教育,设计了如下游戏,如图,一辆车模要直．

行．通过十字路口,此时前方交通灯为红灯,且该车模前面已有．．4．辆车模．．．依次在同一车道上排队等候

(该车道只可以直行或左转行驶).已知每辆车模直行的概率是35,左转行驶的概率是25,该路口红绿灯转换间隔时间均为1分钟.假设该车道上一辆直行去东向的车模驶出停车线需要10秒钟,一辆左转去北向的车模驶出停车线需要20秒钟,求: (Ⅰ)前4辆车模中恰有2辆车左转行驶的概率; (Ⅱ)该车模在第一次绿灯亮起时的1分钟内通 过该路口的概率(汽车驶出停车线就算通过路口). 【答案】(Ⅰ)设前4辆车模中恰有2辆左转行驶为事件A,

则 222432216()()55625PAC

(Ⅱ)设该车在第一次绿灯亮起时的1分钟内通过该路口为事件B,其中4辆车模均

直行通过路口为事件1B,3辆直行1辆左转为事件2B,则事件1B、2B互斥.

4433

121244

332297()()555625PBPBBPBPBCC

5．（江西省上高二中09-10学年高二上学期第一次月考）为了让学生了解环保知识,增强环保意识,某中学举行了一次“环保知识竞赛”,共有900名学生参加了这次竞赛. 为了解本次竞赛成绩情况,从中抽取了部分学生的成绩(得分均为整数,满分为100分)进行统计. 请你根据尚未完成并有局部污损的频率分布表和频率分布直方图,解答下列问题:

(1)若用系统抽样的方法抽取50个样本,现将所有学生随机地编号为 000,001,002,,899,试写出第二组第一位学生的编号______; (2)填充频率分布表的空格(将答案直接填在表格内)和补全频率分布直方图 (3)所抽取的这些数据的中位数可能在直方图的哪一组? (4)若成绩在75.585 的学生为二等奖,估计获二等奖的学生为多少人?

0.008 3 / 4

初一年级 初二年级 初三年级 女生 373 x y

男生 377 370 z

【答案】(1) (1)018 (2) 如上所示 (3)第4组｡ (4) 约为0.26900=234(人)

6．（2009高考(湖北理)）一个盒子里装有4张大小形状完全相同的卡片，分别标有数2，3，4，5；另

一个盒子也装有4张大小形状完全相同的卡片，分别标有数3，4，5，6。现从一个盒子中任取一张卡片，其上面的数记为x；再从另一盒子里任取一张卡片，其上面的数记为y，记随机变量＝x＋y，求的分布列和数学期望。 【答案】：依题意，可分别取5、6、11取，则有 1123(5),(6),(7)441616164321(8),(9),(10),(11)16161616ppppppp







的分布列为

 5 6 7 8 9 10 11

p 116 216 316 416 316 216 1

16

1234321567891011816161616161616E.

7．（湖南师大附中2009届高三第五次月考数学理科）在一个盒子中，放有标号分别为2，3，4的三张卡片，现从这个盒子中，有放回地先后抽得两张卡片的标号分别为x、y，记ξ=|x-3|+|y-x|. （Ⅰ）求随机变量ξ的最大值，并求事件“ξ取得最大值”的概率； （Ⅱ）求随便机变量ξ的分布列和数学期望.

【答案】：（Ⅰ）∵x、y可能的取值为2、3、4，∴|x-3|≤1，|y-x|≤2, ∵ξ≤3,且当x=2,y=4或x=4,y=2时，ξ=3. 因此，随机变量ξ的最大值为3.

∵有放回地抽两张卡片的所有情况有3×3=9种，∴P（ξ=3）=92.

答：随机变量的最大值为3，事件“ξ取得最大值”的概率为92. （Ⅱ）ξ的所有取值为0，1，2，3. ∵ξ=0时，只有x=3，y=3这一种情况， ξ=1时，有x=2，y=2或x=3，y=2或x=3，y=4或x=4，y=4四种情况， ξ=2时，有x=2，y=3或x=4，y=3两种情况.

∴P(ξ=0)=91，P(ξ=1)=94，P(ξ=2)=92. 则随机变量ξ的分布列为： ξ 0 1 2 3

P 91 94 92 92

因此，数学期望Eξ=0×91+1×94+2×92+3×92=914. 8．（海南省三亚市一中08-09学年高二第一学期期中考(理)）某初级中学共有学生2000名，各年级男、女生人数如 下表：

已知在全校学生中随机抽取1名，抽到初二年级女生的概率是0.19. （1）求x的值； （2）现用分层抽样的方法在全校抽取48名学生，问应在初三年级抽取多少名？

（3）已知245,245yz，求初三年级中女生比男生多的概率。

【答案】：（1）∵19.02000x ∴x=380 （2）初三年级人数为y+z=2000-(373+377+388+370)=500， 现用分层抽样的方法在全校抽取48名学生，应在初三年级抽取的人数为：