11-1简谐振动旋转矢量表示法
大学物理自测题下(黄皮书)机械波动要点及详细答案
1）在波动的传播过程中，任意时刻的动能和势能不仅大小 相等而且相位相同，同时达到最大，同时等于零。 2）在波传动过程中，任意质元的能量不守恒，所以波动过
程实质上是能量的传递过程。
惠更斯原理：在波的传播过程中，波面（波前）上的各点，
都可以看作是发射子波的波源，在其后的任一时刻，这些子波 的包迹就成为新的波面。
v A sin( t 0 )
x A cos( t 0 )
1 1 2 2 E k mv E p kx 2 2 1 2 1 2 kA sin2 ( t 0 ) kA cos 2 ( t 0 ) 2 2
1 2 E E k E p kA 2
k 2 , T 2 m
m k
kT 2 200 0.04 2 m 2.0 (kg ) 2 2 4 4
解：由能量守恒定律可知：左右两侧所 处最高位置应该相等，即势能相等。
mg l 0.451 cos 1 mgl 1 cos 2
答案为（c)
1 1 1 弹簧串联： k k k'
T 2
k k' 2
m 2 k' 2m k
2
弹簧并联： k ' x kx kx mg
k ' 2k
m 2k
T
2
2
m 2 k'
５．一弹簧振子作简谐振动，总能量为E1,如果简谐振动振幅 增加为原来的两倍，重物的质量增为原来的四倍，则它的总能 量E1变为： (A)E1/4 (B)E1/2 (C)2E1 (D)4E1 谐振动系统的能量=系统的动能Ek+系统的势能Ep 某一时刻，谐振子速度为v，位移为x
11_机械振动和电磁振荡
1 ω v= = T 2π
4、角频率(angular frequency): 物体在 π秒内所作 、角频率( ): 物体在2 的完全运动的次数。 的完全运动的次数。
2π ω= = 2πv T
对于弹簧振子， 对于弹簧振子，因有 ω = 弹簧振子
k m ，得:
m T = 2π , k
k ν = 2π m
′ ′ φ 0 = ϕ + π / 2 x = A sin( ω t + φ 0 )
简谐振动的运动学特征: 简谐振动的运动学特征: 物体的加速度与位移成正比而方向相反， 物体的加速度与位移成正比而方向相反 ， 物 体的位移按余弦规律变化。 体的位移按余弦规律变化。
速度
dx v= = −ω A sin( ω t + φ 0 ) dt
速度、加速度的旋转矢量表示法： 速度、加速度的旋转矢量表示法：
v
a
vx
ax
v, a 沿X 轴的投
影为简谐运动的速度、 影为简谐运动的速度、 加速度表达式： 加速度表达式：
M
X
ωt + φ0
v x = − ω A sin (ω t + φ 0 )
a x = − ω A cos (ω t + φ 0 )
x = A cos(ωt + φ0 )
v = −vm sin(ωt + φ0 ) = vm cos(ωt + φ0 + π 2)
a = −am cos(ωt + φ0 ) = am cos(ωt + φ0 + π )
速度的相位比位移的相位超前 π 2 ，加速度的相 位比位移的相位超前 π。
三、谐振动的旋转矢量图示法
简谐振动的方程
6
1 s1
t 0
A vm 31.4 10cm
3.14
x 10 cos( t )cm
6
2
o
v
t 1s
A
x02
(v0
)2
mg k
1 2kh (m M )g
最大位移=
x0
A
mg k
mg k
1 2kh (m M )g
mg k
1
1
(m
2kh M
)g
一、简谐振动的动力学方程
小ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
d2 dt
x
2
2
x
0
结
二、简谐振动的运动学方程
x Acos(t )
弹簧振子 k
m
单 摆 g
l
T 2 m
k
T 2 l
g
1 k 2 m
1 g 2 l
复 摆 mgh T 2 I 1 mgh
I
mgh
2 I
(3) 位相和初位相
x Acos(t 0 )
t 0 — 位相，决定谐振动物体的运动状态 0 是t =0时刻的位相—初位相
X
v0=-Asin>0 , sin 0 <0, 取0=3/2
x=9.810-2cos(10t+3/2) m
固有频率 1 g 1.6Hz 2 2 l
例 已知某简谐振动的 速度与时间的关系曲线 如图所示，试求其振动方程。
解：方法1 设振动方程为
x Acos(t 0 )
振动力学教程PPT课件
动的叠加-----------谐波分析
•
2、非周期：利用傅立叶积分作谐波分析
• δ函数又称为单位脉冲函数-----它的性质、应用
示成一系列简谐振
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第一节：简谐振动及其表示方法
•一、简谐振动的表示方法
• （一）正弦函数表示
2、A、ω、Φ ------简谐振动三要素
第23页/共35页
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船舶的模态分析和强度分析，飞行器的结构振动和声疲劳分析等。
3） 在土木建筑、地质工程中：建筑、桥梁等结构物的模态分析，地震
引起结构物的动态响应，爆破技术的研究等。
4） 在医学、生物工程中：脑电波、心电波、脉搏波动等的信号处理等。
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2途径：
1）从具体的工程对象提炼出力学模型 2）建立数学模型------应用力学知识建立所研究问题的数学模型 3）对数学模型进行分析和计算，求出请确、近似或数值解。 4） 比较------将计算结果与工程问题的实际现象或实验研究的测试结果进行 比较，考察理论结果是否解决该工程问题，如不能解决而数学模型及求解均无错 误，则需要修改力学模型重复上述过程。
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5 随机振动
20世纪50年代，航空和航天工程的发展对振动力学提出了更高 的要求，确定性的力学模型无法处理包含随机因素的工程问题----如大气湍流引起的飞机颤振、喷气噪音导致飞行器表面结构 的声疲劳、火箭运载工具有效负荷的可靠性等。工程的需要迫使 人们用概率统计的方法研究承受非确定性载荷的机械系统和结构 的响应、稳定性和可靠性等， 从而 形成了随机振动这一振动力 学的重要组成部分。 在工程问题中振动信号的采集和处理是随机振动理论应用的前提， 由于计算机的迅速发展和快速第1傅0页/立共35叶页 变换算法的出现，随机振动
谐振动的运动学
)
令 t=0 则
x0
A c os 0
(1)
V 0
Asin 0
(2)
12 22
得
A
x02
V02
2
2、周期T（频率、圆频率ω 、固有圆频率）
（1）周期T：完成一次完全振动所需的时间
x Acos(t 0 ) Acos(t T ) 0
Acos(t 0 2 )
T 2
或 T 2
2
(2)频率：单位时间内所完成的完全振动的次数
13
2、参考圆、参考点：
(1) 所谓参考圆：指旋转矢量旋转一周时矢量端点的轨迹；而矢量的端点则谓之参 考点。
参考点在坐标轴上的投影才是谐振动。
（2）利用参考点在参考圆中的位置来判断振动位相所在的象限
由图可知:
x>0, v<0 , φ在第 I 象限
v2
v1
x<0, v<0 , φ在第Ⅱ 象限 x<0, v>0 , φ在第 III 象限 x>0, v>0 , φ在第Ⅳ 象限
φ ＝tg-1（－ｖ0／ωｘ0）＝12.6° 在第三象限， φ0 ＝180°＋12.6°
或取
φ0 ＝180°+12.6°＝192.6°＝3.36 rad
也可写成 φ0 ＝－2.92 rad
振动表达式为
ｘ＝2.05×10-2cos（11.2ｔ－2.92） （ＳＩ）
12
三、谐振动的旋转矢量表示法
1、旋转矢量的规定法则 (1) 旋转矢量的制作
两个同频振动在同一时刻的位相之差
Δφ=φ20-φ10
2）同一振动在不同时刻的位相差
同一振动在t1、t2时刻的位相差为
Δφ=(ωt2+φ0)-(ωt1+φ0)=ω(t2-t1)
第四章振动下
结论： 结论：
振子在振动过程中， （1） 振子在振动过程中，动能和势能分别随时间 变化，但任一时刻总机械能保持不变。 变化，但任一时刻总机械能保持不变。 （2） 动能和势能的变化频率是弹簧振子振动频 率的两倍。 频率一定时， （3）频率一定时，谐振动的总能量与振幅的平方 成正比。（适合于任何谐振系统） 。（适合于任何谐振系统 成正比。（适合于任何谐振系统） 弹性势能
小结：
描述简谐振动的三种方法： 描述简谐振动的三种方法： 运动方程，振动曲线，旋转矢量。 运动方程，振动曲线，旋转矢量。
的简谐振动， 例1：一物体沿 轴作振 幅为 A 的简谐振动，若初始时该球的 ：一物体沿x轴作振 状态为（ ） ；（2）在平衡位置且向X轴正方向运动 轴正方向运动； 状态为（1）X0＝ -A；（ ）在平衡位置且向 轴正方向运动； ；（ 处向X轴负方向运动；（4） 轴负方向运动；（ （3）在 X0＝1／2 A 处向 轴负方向运动；（ ）在 ） ／ 方向运动。试用旋转矢量法确定相应的初相位。 处向正 方向运动。试用旋转矢量法确定相应的初相位。 3π r ϕ = ϕ =π
k = m
得
X
g b
mg
b, v 0 = 0
g t+π) b
A =b, φ = π
[ 例2] 一谐振动的振动曲线如图所示。 一谐振动的振动曲线如图所示。
ω 以及振动方程。 求： ϕ 0 以及振动方程。
−
π
x
x
A 2
3r
A
1.0
0
解：
t
r A
A
π
2
x
π
3
t=
A x0 = = A cos ϕ 0 2 0时 v 0 = − ω A sin ϕ 0 > 0
旋转矢量图与简谐振动的关系
旋转矢量图与简谐振动的关系背景：简谐振动是一种有规律的振动，它是在一定时间内发生的频率、幅度和相位相同的振动。
简谐振动的最大特点是振动的频率是其他振动的倍数，通常可以表示为：sin（ωt+φ），其中ω是振动频率，t是时间，φ是振动的相位。
简谐振动的根本原理是动能的循环传递，动能源可能是重力，弹簧力，电势或磁场，它们可以是振动系统的源和动力，而不断重复地传递动能，最终形成简谐振动。
旋转矢量图是一种可以模拟物理量的数学工具，根据其使用的坐标轴有极坐标和直角坐标之分。
旋转矢量图的原理是根据分析的物理量的大小和方向，可以将其映射成极坐标和直角坐标的图形。
从旋转矢量图中可以清楚地看出物理量在时间上的变化情况，从而计算旋转矢量图所表示物理量的频率和振幅。
简谐振动与旋转矢量图之间的关系:旋转矢量图是一种可以模拟物理量的数学图表，它可以直观地表示物理量在时间上的变化情况。
这里就是说，简谐振动的大小是旋转矢量图中表示的振幅，而简谐振动的频率是旋转矢量图中沿时间的偏移量。
当物理量的振动周期为T时，它的频率就是f=1/T，表示每秒会有一个往复，而振幅就是表示物理量每次振动的最大幅度，当振动的振幅为A时，则振动的最大大小达到2A。
旋转矢量图中沿着时间轴的偏移量可以表示为ωT，这里ω表示的是简谐振动的频率，而振幅方向反映了物理量的方向变化以及振动的相位，而这里的振幅是由动能源反复循环传递流动的结果，正是这种循环结果造成了简谐振动。
从上述分析可知，旋转矢量图是可以用来模拟简谐振动的，它既可以表示出简谐振动的频率和振幅，也可以表示出振动的方向及振动的相位，是一种比较直观和方便的模型。
结论：综上所述，简谐振动与旋转矢量图之间存在着紧密的关系，旋转矢量图可以模拟出简谐振动的频率和振幅，从而可以用来分析物理场景中一些简单的振动情况。
它的准确度和可靠性也非常高，所以在物理和数学的研究中，旋转矢量图经常作为软件和工具的重要部分，来分析和研究各种振动问题。
简谐振动1-1
A = x + (v0 ω )
2 0
2
v0 φ 0 = arct an ωx 0
在π 到+π之间，通常 φ0存在两个值，可根据 之间， 存在两个值，
v0 = ωA sin φ0 进行取舍。 进行取舍。
9
2.描述简谐振动的特征物理量 描述简谐振动的特征物理量
22
1 2 考虑到 ω = k m，系统总能量为 E = kA ，表明 2 简谐振动的机械能守恒。 简谐振动的机械能守恒。
2
能量平均值
1 EK = T
∫
T
0
1 1 2 2 2 2 mω A sin (ωt + φ0 ) d t = kA 2 4
1 EP = T
∫
T
0
1 2 1 2 2 kA cos (ωt + φ0 ) d t = kA 2 4
7
速度
d2 x dx π 加速度 a = 2 =ω02 x v = = ω0 Acos(ω0t +0 + ) dt dt 2
2π
简谐振 动中质 点位移、 点位移、 速度、 速度、 加速度 与时间 的关系: 的关系:
x
ω
4π
t
ω
v
t
a
t
8
常量 A和 φ0 的确定
t x 根据初始条件： 根据初始条件： = 0 时， = x0 , v = v0 ，得
25
一匀质细杆AB的两端 用长度都为l 的两端, 例1 一匀质细杆 的两端 用长度都为 且不计质 量的细绳悬挂起来, 量的细绳悬挂起来 当棒以微小角度绕中心轴扭动 求证其运动周期为： 时，求证其运动周期为： OO'
大学物理课后答案第十一章
第十一章 机械振动一、基本要求1．掌握简谐振动的基本特征，学会由牛顿定律建立一维简谐振动的微分方程，并判断其是否谐振动。
2. 掌握描述简谐运动的运动方程，理解振动位移，振)cos(0ϕω+=t A x 幅，初位相，位相，圆频率，频率，周期的物理意义。
能根据给出的初始条件求振幅和初位相。
3. 掌握旋转矢量法。
4. 理解同方向、同频率两个简谐振动的合成规律，以及合振动振幅极大和极小的条件。
二、基本内容1. 振动 物体在某一平衡位置附近的往复运动叫做机械振动。
如果物体振动的位置满足，则该物体的运动称为周期性运动。
否则称为非周)()(T t x t x +=期运动。
但是一切复杂的非周期性的运动，都可以分解成许多不同频率的简谐振动（周期性运动）的叠加。
振动不仅限于机械运动中的振动过程，分子热运动，电磁运动，晶体中原子的运动等虽属不同运动形式，各自遵循不同的运动规律，但是就其中的振动过程讲，都具有共同的物理特征。
一个物理量，例如电量、电流、电压等围绕平衡值随时间作周期性（或准周期性）的变化，也是一种振动。
2. 简谐振动 简谐振动是一种周期性的振动过程。
它可以是机械振动中的位移、速度、加速度，也可以是电流、电量、电压等其它物理量。
简谐振动是最简单，最基本的周期性运动，它是组成复杂运动的基本要素，所以简谐运动的研究是本章一个重点。
（1）简谐振动表达式反映了作简谐振动的物体位移随时间)cos(0ϕω+=t A x 的变化遵循余弦规律，这也是简谐振动的定义，即判断一个物体是否作简谐振动的运动学根据。
但是简谐振动表达式更多地用来揭示描述一个简谐运动必须涉及到的物理量、、（或称描述简谐运动的三个参量），显然三个参量A ω0ϕ确定后，任一时刻作简谐振动的物体的位移、速度、加速度都可以由对应地t 得到。
2cos()sin(00πϕωωϕωω++=+-=t A t A v )cos()cos(0202πϕωωϕωω±+=+-=t A t A a （2）简谐运动的动力学特征为：物体受到的力的大小总是与物体对其平衡位置的位移成正比、而方向相反，即，它是判定一个系统的运动过程kx F -=是否作简谐运动的动力学根据，只要受力分析满足动力学特征的，毫无疑问地系统的运动是简谐运动。
第十一章机械振动.doc
第十一章 机械振动11-1 一质量为m 的质点在力F = -π2x 的作用下沿x 轴运动．求其运动的周期．（答案：m 2）11-2 质量为2 kg 的质点，按方程)]6/(5sin[2.0π-=t x (SI)沿着x 轴振动．求： (1) t = 0时，作用于质点的力的大小；(2) 作用于质点的力的最大值和此时质点的位置．（答案：5 N ；10 N ，±0.2 m （振幅端点））11-3 一物体在光滑水平面上作简谐振动，振幅是12 cm ，在距平衡位置6 cm 处速度是24 cm/s ，求(1)周期T ；(2)当速度是12 cm/s 时的位移．（答案：2.72s ；±10.8cm ）11-4 一个轻弹簧在60 N 的拉力作用下可伸长30 cm ．现将一物体悬挂在弹簧的下端并在它上面放一小物体，它们的总质量为4 kg ．待其静止后再把物体向下拉10 cm ，然后释放．问：(1) 此小物体是停在振动物体上面还是离开它？(2) 如果使放在振动物体上的小物体与振动物体分离，则振幅A 需满足何条件？二者在何位置开始分离？（答案：小物体不会离开；g A >2ω，在平衡位置上方19.6 cm 处开始分离）11-5 在竖直面内半径为R 的一段光滑圆弧形轨道上，放一小物体，使其静止于轨道的最低处．然后轻碰一下此物体，使其沿圆弧形轨道来回作小幅度运动. 试证：(1) 此物体作简谐振动； (2) 此简谐振动的周期 gR T /2π=11-6 一质点沿x 轴作简谐振动，其角频率ω = 10 rad/s ．试分别写出以下两种初始状态下的振动方程： (1) 其初始位移x 0 = 7.5 cm ，初始速度v 0 = 75.0 cm/s ；(2) 其初始位移x 0 =7.5 cm ，初始速度v 0 =-75.0 cm/s ．（答案：x =10.6×10-2cos[10t -(π/4)] (SI)； x =10.6×10-2cos[10t +(π/4)] (SI)）11-7 一轻弹簧在60 N 的拉力下伸长30 cm ．现把质量为4 kg 的物体悬挂在该弹簧的下端并使之静止 ，再把物体向下拉10 cm ，然 后由静止释放并开始计时．求 (1) 物体的振动方程；(2) 物体在平衡位置上方5 cm 时弹簧对物体的拉力；(3) 物体从第一次越过平衡位置时刻起到它运动到上方5 cm 处所需要的最短时间．（答案：x = 0.1 cos(7.07t ) (SI)；29.2 N ；0.074 s ）11-8 一物体放在水平木板上，这木板以ν = 2 Hz 的频率沿水平直线作简谐运动，物体和水平木板之间的静摩擦系数μs = 0.50，求物体在木板上不滑动时的最大振幅A max ．（答案：0.031 m ）11-9 一木板在水平面上作简谐振动，振幅是12 cm ，在距平衡位置6 cm 处速率是24 cm/s ．如果一小物块置于振动木板上，由于静摩擦力的作用，小物块和木板一起运动（振动频率不变），当木板运动到最大位移处时，物块正好开始在木板上滑动，问物块与木板之间的静摩擦系数μ为多少？（答案：0.0653）11-10 一质点在x 轴上作简谐振动，选取该质点向右运动通过A 点时作为计时起点( t = 0 )，经过2秒后质点第一次经过B 点，再经过2秒后质点第二次经过B 点，若已知该质点在A 、B 两点具有相同的速率，且AB = 10 cm 求：(1) 质点的振动方程；(2) 质点在A 点处的速率．（答案：)434cos(10252π-π⨯=-t x (SI)；3.93⨯10－2m/s ）11-11 在一轻弹簧下端悬挂m 0 = 100 g 砝码时，弹簧伸长8 cm ．现在这根弹簧下端悬挂m = 250 g 的物体，构成弹簧振子．将物体从平衡位置向下拉动4 cm ，并给以向上的21 cm/s 的初速度（令这时t = 0）．选x 轴向下, 求振动方程的数值式．（答案：)64.07cos(05.0+=t x (SI)）11-12 一质点按如下规律沿x 轴作简谐振动：)328cos(1.0π+π=t x (SI)． 求此振动的周期、振幅、初相、速度最大值和加速度最大值．（答案：0.25s ，0.1 m ，2π/3，0.8π m/s ，6.4π2 m/s 2）11-13 一质量为0.20 kg 的质点作简谐振动，其振动方程为 )215cos(6.0π-=t x (SI)．求：(1) 质点的初速度；(2) 质点在正向最大位移一半处所受的力．（答案：3.0 m/s ；-1.5 N ）11-14 有一单摆，摆长为l = 100 cm ，开始观察时( t = 0 )，摆球正好过 x 0 = -6 cm 处，并以v 0 = 20 cm/s 的速度沿x 轴正向运动，若单摆运动近似看成简谐振动．试求(1) 振动频率； (2) 振幅和初相．（答案：0.5Hz ；8.8 cm ，226.8°或－133.2°）11-15 一物体作简谐振动，其速度最大值v m = 3×10-2 m/s ，其振幅A = 2×10-2 m ．若t = 0时，物体位于平衡位置且向x 轴的负方向运动. 求：(1) 振动周期T ； (2) 加速度的最大值a m ；(3) 振动方程的数值式．（答案：4.19 s ；4.5×10-2m/s 2；x = 0.02)215.1cos(π+t (SI)）11-16 一质点作简谐振动，其振动方程为x = 0.24)3121cos(π+πt (SI)，试用旋转矢量法求出质点由初始状态（t = 0的状态）运动到x = -0.12 m ，v < 0的状态所需最短时间∆t ．（答案：0.667s ）11-17 一质量m = 0.25 kg 的物体，在弹簧的力作用下沿x 轴运动，平衡位置在原点. 弹簧的劲度系数k = 25 N ·m -1． (1) 求振动的周期T 和角频率ω．(2) 如果振幅A =15 cm ，t = 0时物体位于x = 7.5 cm 处，且物体沿x 轴反向运动，求初速v 0及初相φ．(3) 写出振动的数值表达式．（答案：0.63s ，10 s －1；－1.3m/s ，π/3；)3110cos(10152π+⨯=-t x (SI)）11-18 两个物体作同方向、同频率、同振幅的简谐振动．在振动过程中，每当第一个物体经过位移为2/A 的位置向平衡位置运动时，第二个物体也经过此位置，但向远离平衡位置的方向运动．试利用旋转矢量法求它们的相位差．（答案：π21）11-19 一简谐振动的振动曲线如图所示．求振动方程．（答案：)3/212/5cos(1.0π+π=t x (SI)）11-20 一定滑轮的半径为R ，转动惯量为J ，其上挂一轻绳，绳的一端系一质量为m 的物体，另一端与一固定的轻弹簧相连，如图所示．设弹簧的劲度系数为k ，绳与滑轮间无滑动，且忽略轴的摩擦力及空气阻力．现将物体m 从平衡位置拉下一微小距离后放手，证明物体作简谐振动，并求出其角频率．（答案：22mRJ kR +=ω）11-21 在一竖直轻弹簧的下端悬挂一小球，弹簧被拉长l 0 = 1.2 cm 而平衡．再经拉动后，该小球在竖直方向作振幅为A = 2 cm 的振动，试证此振动为简谐振动；选小球在正最大位-移处开始计时，写出此振动的数值表达式．（答案：)1.9cos(1022t x π⨯=-）11-22 一弹簧振子沿x 轴作简谐振动（弹簧为原长时振动物体的位置取作x 轴原点）．已知振动物体最大位移为x m = 0.4 m 最大恢复力为F m = 0.8 N ，最大速度为v m = 0.8π m/s ，又知t = 0的初位移为+0.2 m ，且初速度与所选x 轴方向相反．(1) 求振动能量；(2) 求此振动的表达式．（答案：0.16J ；)312cos(4.0π+π=t x ）11-23 质量m = 10 g 的小球与轻弹簧组成的振动系统，按)318cos(5.0π+π=t x 的规律作自由振动，式中t 以秒作单位，x 以厘米为单位，求(1) 振动的角频率、周期、振幅和初相； (2) 振动的速度、加速度的数值表达式； (3) 振动的能量E ；(4) 平均动能和平均势能． （答案：ω = 8π s -1，T = 2π/ω = (1/4) s ，A = 0.5 cm ，φ = π/3；)318sin(104v 2πππ+⨯-=-t ，)318cos(103222π+π⨯π-=-t a ；3.95×10-5 J ，3.95×10-5 J ）11-24 一物体质量为0.25 kg ，在弹性力作用下作简谐振动，弹簧的劲度系数k = 25N ·m -1，如果起始振动时具有势能0.06 J 和动能0.02 J ，求 (1) 振幅；(2) 动能恰等于势能时的位移；(3) 经过平衡位置时物体的速度．（答案：0.08 m ；±0.0566m ；±0.8m/s ）11-25 在竖直悬挂的轻弹簧下端系一质量为 100 g 的物体，当物体处于平衡状态时，再对物体加一拉力使弹簧伸长，然后从静止状态将物体释放．已知物体在32 s 内完成48次振动，振幅为5 cm ．(1) 上述的外加拉力是多大？(2) 当物体在平衡位置以下1 cm 处时，此振动系统的动能和势能各是多少？（答案：0.444N ；1.07×10-2 J ，4.44×10-4 J ）11-26 在一竖直轻弹簧下端悬挂质量m = 5 g 的小球，弹簧伸长∆l = 1 cm 而平衡．经推动后，该小球在竖直方向作振幅为A = 4 cm 的振动，求(1) 小球的振动周期； (2) 振动能量．（答案：0.201 s ；3.92×10-3 J ）11-27 一物体质量m = 2 kg ，受到的作用力为F = -8x (SI)．若该物体偏离坐标原点O 的最大位移为A = 0.10 m ，则物体动能的最大值为多少？（答案：0.04 J ）O A11-28 如图，有一水平弹簧振子，弹簧的劲度系数k = 24N/m ，重物的质量m = 6 kg ，重物静止在平衡位置上．设以一水平恒力F = 10 N 向左作用于物体（不计摩擦），使之由平衡位置向左运动了0.05 m 时撤去力F ．当重物运动到左方最远位置时开始计时，求物体的运动方程．（答案：)2cos(204.0π+=t x (SI)）11-29 两个同方向简谐振动的振动方程分别为 )4310cos(10521π+⨯=-t x (SI), )4110cos(10622π+⨯=-t x (SI)求合振动方程．（答案：)48.110cos(1081.72+⨯=-t x (SI)）11-30 一物体同时参与两个同方向的简谐振动： )212c o s (04.01π+π=t x (SI), )2cos(03.02π+π=t x (SI)求此物体的振动方程．（答案：)22.22cos(05.0+π=t x (SI)）。
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以 o 为原 v 点旋转矢量 A 的端点在 x 轴 上的投影点的 运动为简谐运 动.
第十一章 振 动
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大学物 理学
1111-1 简谐振动的旋转矢量表示法
ω
t =t
ωt + ϕ
v A
x
o
x = A cos(ωt + ϕ )
以 o 为原 v 点旋转矢量 A 的端点在 x 轴 上的投影点的 运动为简谐运 动.
x1 = A1 cos(ωt + ϕ1 ) x2 = A2 cos(ωt + ϕ 2 )
∆ϕ = (ωt + ϕ 2 ) − (ωt + ϕ1 )
∆ϕ = ϕ 2 − ϕ1
第十一章 振 动
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1111-1 简谐振动的旋转矢量表示法
∆ϕ = ϕ 2 − ϕ1
∆ϕ = 0 同步
∆ϕ = ±π 反相 ∆ϕ为其它
简谐运动， （1）对同一简谐运动，相位差可以给出 ） 同一简谐运动 两运动状态间变化所需的时间． 两运动状态间变化所需的时间．
x1 = A cos(ωt1 + ϕ )
x2 = A cos(ωt 2 + ϕ )
∆ϕ = (ωt2 +ϕ) −(ωt1 +ϕ)
∆t = t2 −t1 = ∆ϕ
ω
第十一章 振 动
x = 0.104m v = −0.188m / s 2 a = −1.03m / s
A
− 0.12 −0.06
t 时刻
x/m
0.12
起始时刻
15
o
π − 3
0.06
A
第十一章 振 动
ω
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1111-1 简谐振动的旋转矢量表示法
（2）从初始时刻开始第一次通过平衡位 ） 置的时刻. 置的时刻. 通过平衡位置时， 通过平衡位置时，x=0，则由位移公式： ，则由位移公式：
Φ (t) = ωt + ϕ
ϕ
t = 0时，Φ (t ) = ϕ
相位的意义: 表征任意时刻（ ） 相位的意义 表征任意时刻（t）物体振动状态 相貌） 物体经一周期的振动， （相貌）. 物体经一周期的振动，相位改变 2π .
第十一章 振 动
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1111-1 简谐振动的旋转矢量表示法
讨论
相位差： 相位差：表示两个相位之差
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1111-1 简谐振动的旋转矢量表示法
x
A A2
a
b
t
tb ∆ϕ
−A
x
o
−A
v v
o A ta A
2
π ∆ϕ = 3
π 3 1 ∆t = T = T 2π 6
第十一章 振 动
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1111-1 简谐振动的旋转矢量表示法
的简谐运动， （2）对于两个同频率的简谐运动，相位 ）对于两个同频率的简谐运动 差表示它们间步调上的差异 步调上的差异（ 差表示它们间步调上的差异（解决振动合成 问题）. 问题）
0 = 0.12 cos(ω t −
π
3
2
)
所以： 所以： ω t −
π
3
= (2 k − 1)
π
, k = 1, 2, L
t=
kπ −
π
6
ω
第十一章 振 动
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1111-1 简谐振动的旋转矢量表示法
第一次过平衡点时， 第一次过平衡点时，k=1，所以： ，所以：
5π 6 = 5 = 0.83( s ) t= π 6
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1111-1 简谐振动的旋转矢量表示法
用旋转矢量图画简谐运动的x − t图
第十一章 振 动
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1111-1 简谐振动的旋转矢量表示法
相位 ω t + ϕ
x = A cos( ω t + ϕ )
v = − A ω sin( ω t + ϕ )
相位 (位相 位相) 位相 初相位
v = − ω A sin(ω t + ϕ ) = − 0.12π sin(π t −
π
3
)
加速度为： 加速度为：
a = − ω 2 A cos(ω t + ϕ ) = − 0.12π cos(π t −
2
π
3
)
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第十一章 振 动
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1111-1 简谐振动的旋转矢量表示法
分别代入位移、 将t=T/4=0.5s分别代入位移、速度、加 分别代入位移 速度、 速度的公式， 速度的公式，得：
A
x/m
− 0.12 −0.06
o
π − 3
0.06
0.12
A
第十一章 振 动
ω
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
起始时刻
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第十一章 振 动
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1111-1 简谐振动的旋转矢量表示法
y
ωt + ϕ
O
v vm
v an
π ωt +ϕ + v 2
vm = Aω
v = − Aω sin(ωt + ϕ)
A
v v
x = A cos(ωt + ϕ )
v a
ω
x
an = Aω
2
2
a = − Aω cos(ωt + ϕ )
第十一章 振 动
超前 落后
x
x
t
x
t
o
o
o
t
第十一章 振 动
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1111-1 简谐振动的旋转矢量表示法
例 一质点沿x轴作简谐运动，振幅 轴作简谐运动， A=0.12 m，周期 ，周期T=2 s，当t=0时，质点对平衡 ， 时 位置的位移x0=0.06m.此时刻质点向 正向运动。 位置的位移 此时刻质点向x正向运动。 此时刻质点向 正向运动 试求： 试求： （1）此简谐运动的表达式 ） 解 A = 0.12 m
3
简谐运动表达式为： 简谐运动表达式为：
x = 0.12 cos(π t −
π
3
)
x/m
− 0.12 −0.06
v 0 > 0, ϕ = −
o
π
3
π − 3
0.06
0.12
A
第十一章 振 动
ω
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1111-1 简谐振动的旋转矢量表示法
质点的位置、速度、 （2）t = T /4 时，质点的位置、速度、加速度 ） 此简谐运动的速度为： 此简谐运动的速度为：
2π ω= = π s −1 T
t = 0， x 0 = 0.06 m
代入 x = A cos( ω t + ϕ )
第十一章 振 动
π ϕ =± 3
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1111-1 简谐振动的旋转矢量表示法 又 v = −ω A sin(ω t + ϕ )
根据题意 v 0 > 0
则 v 0 = −ω A sin(ϕ ) π 则 ϕ=−
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1111-1 简谐振动的旋转矢量表示法
x = A cos( ω t + ϕ )
以 o 为原 v 点旋转矢量 A 的端点在 x 轴 上的投影点的 运动为简谐运 动.
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1111-1 简谐振动的旋转矢量表示法
ω
t=0
v A
o
ϕ
x0
x
x0 = A cos ϕ
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1111-1 简谐振动的旋转矢量表示法
旋转矢量
自Ox轴的原点 v O作一矢量 A 使 ， 它的模等于振动的 v 振幅A 振幅 ，并使矢量A 在 Oxy平面内绕点 O作逆时针方向的 逆时针方向的 匀角速转动， 匀角速转动，其角 速度 ω 与振动频率 相等， 相等，这个矢量就 叫做旋转矢量 叫做旋转矢量. 旋转矢量