旋转矢量
旋转矢量法求合振动方程
旋转矢量法求合振动方程旋转矢量法是一种常用的工具，用于求解多个振动体的合振动方程。
它在振动学、固体力学、流体力学等领域中都有广泛的应用。
本文将从基本原理、数学推导、具体应用等方面进行阐述。
1. 基本原理旋转矢量法是建立在以下假设基础上的：对于任意振动体，其振动可以看作是由平动和转动两部分构成的，其中平动由质心偏离平衡位置造成，而转动则由振动体绕其质心旋转所引起的。
因此，我们可以将振动体的质心看作是一个之间相邻关联的旋转矢量，从而求得其合振动方程。
2. 数学推导首先，我们需要确定旋转矢量的表达式。
假设一个振动体的质心在平衡位置处的坐标为$(x,y,z)$，而其受到的外力为$\boldsymbol F$。
则该振动体所受的旋转矢量$\boldsymbol A$可表示为：$$\begin{aligned}\boldsymbol A &= \boldsymbol r \times \boldsymbol F\\ &= \begin{vmatrix}\boldsymbol e_x & \boldsymbol e_y & \boldsymbol e_z\\x-x_0 & y-y_0 & z-z_0 \\F_x & F_y & F_z\end{vmatrix}\\&= (y-y_0)F_z\boldsymbol e_x + (z-z_0)F_x\boldsymbole_y + (x-x_0)F_y\boldsymbol e_z\end{aligned}$$其中，$\boldsymbol r=(x-x_0)\boldsymbol e_x+(y-y_0)\boldsymbol e_y+(z-z_0)\boldsymbol e_z$为振动体的位置矢量，$\boldsymbol e_x,\boldsymbol e_y,\boldsymbol e_z$为三个坐标轴的单位矢量，$x_0,y_0,z_0$为平衡位置的坐标。
简谐振动的旋转矢量法
简谐振动的旋转矢量法
简谐振动的旋转矢量法（also known as the rotational vector method）是一种描述简谐振动运动的方法。
这种方法将简谐振动的位移表示为一个旋转矢量，该旋转矢量的大小和方向都随时间变化。
在这种方法中，假设物体在振动过程中绕一个固定轴旋转。
这个固定轴被称为挠度轴，它垂直于振动平面。
振动的位移被表示为从挠度轴指向物体的矢量。
根据简谐振动的性质，位移矢量旋转的角度随时间变化，而角度的变化速率与振动频率相关。
通过将位置矢量的旋转速率与振动频率相关联，可以得到简谐振动的动态方程。
旋转矢量法可以应用于各种简谐振动问题，包括简谐振子、摆线振动等。
通过使用该方法，可以更轻松地分析和计算简谐振动的运动特性，例如位移、速度和加速度等。
此外，该方法还可以用于解决相关问题，如相位差和共振等。
总的来说，简谐振动的旋转矢量法是一种较为直观和简便的分析简谐振动运动的方法，它通过描述位移矢量的旋转来描述振动过程，并可以得到简谐振动的动态方程。
旋转矢量表示法B版
1 2
⎞ ⎟ ⎠
−
π⎤
3
⎥ ⎦
=
2 π
⎡ 2π ⎢⎣ 3
−
π⎤ 3 ⎥⎦
=
2 3
=
0.667(s)
四、相图（phase diagram）
利用相图描述非线性动力学的方 法是19世纪末法国数学家亨利·庞加 莱（H.Poincare）发明的.
现以坐标和速度为坐标轴定义一 个平面, 称为相平面. 系统的一个运 动状态对应于相平面上的一个点, 称 为相点. 当系统的运动状态发生变化 时, 相点在相平面内运动, 相点的轨 迹则称为相图.
A 端投影:
x = A cos(ωt + ϕ )
与简谐运动方程完全相同, 所以投影点的运动为简谐运动.
二、初相位
ϕ = π平衡位置 2
旋转矢量表示法
π <ϕ <π 2
ϕ
ϕ=π
负向最大
π 0<ϕ<
2
x ϕ=0
正向最大
π < ϕ < 3π 2
3π < ϕ < 2π 2
ϕ = 3π 平衡位置 2
初相位讨论
大学物理
振动学基础
第3讲 旋转矢量表示法
旋转矢量表示法
旋转矢量表示法
一、旋转矢量表示法(参考圆法)
是研究简谐运动规律时所采用的直观的几何描述方法.
自 Ox 轴原点作矢量 A , 其模等 于振幅. A 绕 O点逆时针旋转, 角 速度为ω (其数值即为简谐运动的 角频率) , 则 A 称为旋转振幅矢量. 设初始时刻 t = 0 时 A 与 x 轴夹角 等于初相位 ϕ , 经过时间 t , A 与 x 轴夹角等于相位ω t +ϕ .
旋转矢量表示法
旋转矢量表示法高中物理的运动学、动力学大都以矢量表示，为了简单起见，通常采用“合矢”表示。
将有关运动矢量的矢量和分解成两个平行四边形，并指明两个平行四边形的夹角。
地球绕太阳的公转、卫星绕地球的公转、行星绕太阳的公转等都可用旋转矢量表示，但需要说明的是：所谓“公转”只不过是相对于观测者来说的，从一个观测者看来，地球上的每一点都在自西向东转动；而相对于地球的观测者来说，则是自东向西转动。
所以，由于地球上各点的位置在一年之中都不变，故“公转”也叫“平移”，它与“自转”同属角速度概念，并称为角动量的两个基本分量。
如果把太阳看作质点，则太阳绕地球公转的轨道平面就是以地球为焦点的双曲面。
根据动能定理，若把这一双曲面上的某一点P看作质点，则可得到太阳绕地球公转的轨道平面的另一种表达式——椭圆，其离心率为，为行星的半径，故称太阳为椭圆轨道的半长轴，称太阳轨道的长轴为太阳轨道的周期。
还可以证明：太阳的质量为，半径为，周期为地球的轨道平面与椭圆轨道的切线在赤道处的夹角称为地球的公转角速度。
通常以地球轨道的半长轴作为地球的周期，也就是说，地球绕太阳公转一周的时间称为年。
一般在电工学中经常遇到的情况是利用欧姆定律、焦耳定律、楞次定律或其他类似的定律。
电阻两端的电压u与通过导体横截面的电流i成正比，即，式中，是导体的电阻率，是材料的电阻率。
U是导体的内电压，是电源电动势，它决定于电流的参考方向和导体的电阻率，它是表示电源特征的一个物理量。
欧姆定律又称电功定律，是表示电流做功快慢的物理量。
焦耳定律是表示电流通过导体所消耗的热量多少的物理量。
下面介绍两种常用的方法，前者是由V=ir求欧姆定律，后者是由热功当量求焦耳定律。
前者可以直接由V=ir求出，然后再利用欧姆定律得到I，而后者必须先求出热功当量，然后根据热量、功、温度的关系（即热量=功×温度）求出。
另外，若需要知道闭合电路的欧姆定律或焦耳定律的微分形式，只要将公式略作变换，即可分别求出它们的微分形式。
旋转矢量法在简谐振动教学中的应用
旋转矢量法在简谐振动教学中的应用
一、简谐振动的概念
简谐振动是物理学中一个重要的概念，它指的是一个物体在一个恒定的频率和强度中振动的运动状态。
它是一个具有时间恒定性的物理运动，是一种定常运动，它的形式被称为简谐振动。
它是物理学中的重要概念，它的表现主要是一种周期性的运动形式，它的能量以及动量都会在振动中不断地循环。
它是一种简单的物理运动，在实际生活中可以体现在多种形式中。
二、旋转矢量法在简谐振动教学中的应用
旋转矢量法是一种特殊的矢量运算方法，它可以用来表示简谐振动的特性。
旋转矢量法可以将振动的特性简化为一个旋转的矢量，它可以将振动的特性抽象为一个简单的矢量运动。
因此，旋转矢量法在简谐振动教学中有着重要的作用。
旋转矢量法可以用来描述简谐振动的特性，它可以将振动的特性分解为不同的矢量，比如振动频率、振动振幅、振动相位等，这些矢量可以用来描述一个简谐振动的特性。
而且，旋转矢量法还可以用来表示振动运动的运动轨迹。
旋转矢量法可以将振动运动的运动轨迹表示为一个旋转的矢量，这个旋转的矢量可以用来描述振动运动的运动轨迹。
旋转矢量法在简谐振动教学中的应用，可以使学生更加清晰地了解简谐振动的特性，并且，可以更加直观地掌握振动运动的运动轨迹，从而更好地掌握简谐振动的基本原理。
此外，旋转矢量法还可以用来描述复杂的振动运动，例如三维振动、多振子振动等，这些都可以用旋转矢量法来分析和描述。
总之，旋转矢量法在简谐振动教学中有着重要的作用，它可以使学生更加清晰地了解简谐振动的特性，并且，可以更加直观地掌握振动运动的运动轨迹，从而更好地掌握简谐振动的基本原理。
旋转矢量法简谐运动的动力学能量实例
旋转矢量与简谐运动的关联
旋转矢量与简谐运动的振动方向和速度相关联，通过旋转矢量的几何特性可以推 导出简谐运动的振动方程和能量表达式。
旋转矢量法可以直观地表示简谐运动的振动形式，帮助理解振动的合成与分解， 以及振动在不同方向上的表现。
对未来研究的展望
随着科学技术的不断发展，旋转矢量法在简谐运动研究中 的应用将更加广泛和深入。未来可以进Байду номын сангаас步探索旋转矢量 法在其他领域的应用，如量子力学、光学等。
未来研究可以进一步优化旋转矢量法的计算方法和可视化 效果，提高其精度和直观性，以更好地服务于科学研究和 技术创新。
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旋转矢量法简介
01
旋转矢量法是一种描述简谐运动 的直观方法，通过引入一个旋转 矢量来表示振动的状态。
02
旋转矢量具有长度和方向，分别 对应振动的振幅和相位，矢量的 旋转速度则与角频率有关。
02
旋转矢量法在简谐运动中的应用
旋转矢量表示
旋转矢量表示是一种用于描述简谐运 动的几何方法，通过引入一个旋转矢 量来表示简谐运动的相位和振幅。
简谐运动的定义
简谐运动
物体在一定力的作用下，以一定的初速度做周期 性往复运动。
描述参数
振幅、角频率、初相角、周期等。
实例
单摆、弹簧振子等。
简谐运动的数学模型
微分方程
$mfrac{d^2x}{dt^2}
+
cfrac{dx}{dt} + kx = F$
旋转矢量法
通过旋转矢量表示简谐运动的相 位和振幅，简化分析过程。
第三节 旋转矢量法
§ 8.3 旋转矢量法一、旋转矢量1 矢量的模等于简谐振动的振幅A长度 = A ；2 矢量绕O 点作逆时针方向匀速转动，其角速度的大小等于简谐振动的角频率以ω为角速度绕o 点逆时针旋转；3 在t = 0时，矢量A 和x 轴的夹角为ϕ ，在任意时刻t ，它与x 轴的夹角为ωt +ϕ ，矢量A 的矢端M 在x 轴上的投影点P 的坐标为 矢量端点在x 轴上的投影做简谐振动例 已知简谐振动，A =4 cm ，ν = 0.5 Hz ，t =1s 时x =-2cm 且向x 正向运动。
写出此简谐振动的表达式。
解：由题意，T = 2 s由图， ϕ = π/3，当旋转矢量A 旋转一周，投影点P 作一次完全的振动 ，旋转矢量A 的端点在x轴上的投影点P 的运动为简谐振动例8-4 一物体沿x 轴作简谐振动，振幅为0.24m ，周期为2s 。
当t = 0时，x 0= 0.12m ，且向x 轴正方向运动。
试求（1）振动方程（2）从且向x 轴负方向运动这一状态，回到平衡位置所需的时间。
已知：0.24m =A s 2=T 0.12m 0=x 00>v ∴x = 4cos(πt + ) cmπ 3t = 1s x()ϕω+=t A x cos求：解：（1）简谐振动的角频率t = 0时旋转矢量的位置如图所示振动方程为（2）令φ < 0这一状态对应的时刻为 t 1；回到平衡位置的时刻为 t 2。
t 1和t 2时刻的旋转矢量位置，如图所示例8-5 两个同方向(沿x 轴方向)、同频率的简谐振动，其频率都是2s-1。
当第一个振子从平衡位置向正方向运动0.05s 后，第二个振子正处于正方向的端点。
求这两个简谐振动的相位差。
已知：求：当第一个振子从平衡位置向正方向运动时，其旋转矢量A 1的位置如图所示经过0.05s 后，旋转矢量A 1转过一角度？）（ =t x （1） ？=∆t （2） 2π2πrad πrad 2ω T ===π3ϕ=-π0.24cos(π )m 3x t =- ()21ππ5π326t t ω-=+=215π6Δs 0.833s πt t t =-==-1212s ==νν10100,0x υ=>0.05s =∆t A x =2？=∆ϕ解： 简谐振动的角频率4π0.050.2πω t =⨯=此时，第二个振子刚好处在正方向端点，其旋转矢量A 2由图可见，两振子的相位差为第二个振子比第一个振子的相位超前二、相位差1 相位差和初相差相位差(phase difference)---相位之差。
大学物理旋转矢量
极坐标表示法
极坐标与平面角
旋转矢量在极坐标系中由一个起点、一个长度和一个平面角唯一确定。平面角表示矢量旋转的方向和角度。
旋转矢量的运算
在极坐标系中，可以通过加减、数乘等运算得到新的旋转矢量。
直角坐标表示法
直角坐标与平面矢量
旋转矢量在直角坐标系中由三个分量唯一确定，这三个分量表示矢量在x、y、z轴上的投影。
结论总结
总结实验结果，得出结论，并指出实验的局限性和未来改进的方向 。
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旋转矢量的积分
当一个旋转矢量在某区间内进行积分时，其 结果为该区间内所有点处的切线方向与该区 间内所有点处的速度方向一致的点所组成的
线段。
04
旋转矢量在物理中的应用
角动量守恒定律
角动量定义
物体的转动惯量和转动半径的乘积称为角动量。
角动量守恒定律
在没有外力矩作用的情况下，物体的角动量保持不变。
旋转矢量表示
旋转矢量的应用领域
物理学
旋转矢量在物理学中广泛应用于描述物体的 旋转运动，如刚体的转动、电磁场的旋涡等 。
工程学
在机械工程、航空航天等领域，旋转矢量可以用于 分析物体的动态平衡、稳定性等问题。
电子技术
在电子技术中，旋转矢量可以用于描述信号 的相位、频率等参数，以及进行数字信号处 理。
02
旋转矢量的表示方法
03
旋转矢量的运算规则
加法运算规则
平行四边形法则
当两个旋转矢量相加时，以两个矢量的末端 为起点，分别画出平行四边形的两个相邻边 ，连接对角线，得到的结果是两个旋转矢量 相加后的矢量。
三角形法则
当两个旋转矢量相加时，以一个矢量的起点 为起点，画另一个矢量的平行线，得到的结 果是两个旋转矢量相加后的矢量。
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( SI )
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第九章
物理学
第五版
9-2
旋转矢量
例 一质量为0.01 kg的物体作简谐运动， 其振幅为0.08 m，周期为4 s，起始时刻物体在 x=0.04 m处，向ox轴负方向运动（如图）.试求 （1）t=1.0 s时，物体所处的位置和所 受的力；
v
0.08 0.04
o
第九章
x/m
0.04
1
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旋转矢量
t t
A
o
t
x
x A cos(t )
以 o 为原 点旋转矢量 A 的端点在 x 轴 上的投影点的 运动为简谐运 动.
第九章
振 动
2
物理学
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旋转矢量
x A cos(t )
以 o 为原 点旋转矢量 A 的端点在 x 轴 上的投影点的 运动为简谐运 动.
x2 Acos( t2 )
第九章 振 动
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旋转矢量
x
A A2
a
b
tb
t
o
A
v
A
x o A ta A
2
π 3
π3 1 t T T 2π 6
第九章
振 动
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物理学
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9-2
旋转矢量
（2）对于两个同频率的简谐运动，相位 差表示它们间步调上的差异（解决振动合成 问题）.
1 由t 0, x 1得： cos 2 3
3
第九章 振 动
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物理学
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旋转矢量
x 2 cos( 4t )
3
dx 由v A sin( t ) t 0 A sin 0 dt
得：
x1 A1 cos( t 1 ) x2 A2 cos( t 2 )
(t 2 ) (t 1 )
2 1
第九章
振 动
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旋转矢量
2 1
0 同步
π 反相 为其它
超前
落后
x
0.08
振 动
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旋转矢量
法二
t
时刻
t
π3 π3
起始时刻
0.08 0.04
o
x/m
0.08
0.04
π π 2 1 rad s t 0.667 s t 3 2 3
第九章 振 动
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x 0.02 cos( 4t ) 3 3
( SI )
第九章
振 动
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旋转矢量
解法2:用矢量图法求解 作半径为2cm的圆,
A
1 O 2
由初始条件得,初始
时刻旋转矢量端点 位于图中B处,故初 相为
B
x 0.02 cos(4t
3
3
)
振 动
0.08 0.04
o
0.04
振 动
0.08
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旋转矢量
π 3 π π x 0.08 cos( t ) 2 3 t 1.0 s, x, F 可求（1） t 1.0 s 代入上式得 x 0.069 m
F kx m 2 x 1.70 10 3 N
x
x
o
t
o
t
o
t
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旋转矢量
例
一质点作简谐振动， 4rad / s ,
振幅A=2cm. 当t=0时,质点位于x=1cm处,并 且向x轴正方向运动,求振动表达式. 解法1 用解析法求解
设x A cos(t ) 2 cos(4t ) (cm)
0.08
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旋转矢量
π π π π x 0.08 cos( t ) 0.04 0.08 cos( t ) 2 3 2 3 1 π arccos( ) 2 2 3 t 0.667 s π2 3
v
0.08 0.04
x/m
o
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旋转矢量
已知 m 1.0 s, x, F t 0, x 0.04 m, v0 0 求（1） 2 π π 1 解 A 0.08 m s T 2 t 0，x 0.04 m π 代入 x A cos( t ) 3 π v0 0 A 3 π x/m 3
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旋转矢量
y
t
O
vm
an
π t 2
vm A
v A cos(t )
A
x A cos(t )
a
v
x
an A
2
a A 2 cos( t )
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m 0.01 kg
0.08 0.04
v
o
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x/m
0.04
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0.08
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旋转矢量
（2）由起始位置运动到x = -0.04 m处所需 要的最短时间.
法一 设由起始位置运动到x= -0.04 m处所 需要的最短时间为t
v
0.08 0.04
x/m
o
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旋转矢量
旋转矢量
自Ox轴的原点 O作一矢量 A，使 它的模等于振动的 振幅A，并使矢量 A A 在 Oxy平面内绕点 t 0 O作逆时针方向的 o x0 x 匀角速转动，其角 x0 A cos 速度 与振动频率 相等，这个矢量就 叫做旋转矢量.
第九章 振 动
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旋转矢量
用旋转矢量图画简谐运动的x t图
第九章
振 动
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旋转矢量
讨论
相位差：表示两个相位之差
（1）对同一简谐运动，相位差可以给出 两运动状态间变化所需的时间．
x1 Acos( t1 )
(t2 ) (t1 )
t t 2 t1