旋转矢量法在振动与波中的应用
振动和波动习题课(改)
x)
yBP
Acos[ t
2
(30 x)]
l
两波同频率，同振幅，同方向振动，所以相干静止的点满足：
(t 2 x) [t 2 (30 x)]
l
l
(2k 1)
k 0,1,2,...
化简后 30 2x kl
30 2x kl O x
X
因为： l u 4m
x 15 k 2
1
3
x 3 102 sin(4t 1 ) （SI）
2
6
画出两振动的旋转矢量图，并求合振动的振动
方程.
x1
5
102
cos(4t
1 3
)
x2
3
102
sin(4t
1 6
)
3
102
cos(4t
1 6
1 2
)
3 102 cos(4t 2 ) 3
x x1 x2
1
2 102 cos(4t 1 )
7.一简谐振动曲线如图所示，试由图确
定在t=2s时刻质点的位移为
，速
度为
。
t=2s, x=0
Vm
A
2 A
T
3
102
8.已知两个简谐振动 曲线如图所示，
X1的位相比X2的位相
A) 落后 1
2
C) 落后
B) 超前 1 √
2
D) 超前
9.一简谐振动的振动曲线如图，求此振动的 周期。
解： =/3+ /2=5/6 t=5= 5/6 = /6
2
之间)
（1）2 1 2k k 0,1,2,
A A1 A2 振动加强; 此时有= 1= 2
A1
用旋转矢量描述波形及振动曲线与波形的转换
用旋转矢量描述波形及振动曲线与波形的转换杨庆怡;刘奕新;郭进【摘要】类比于简谐振动的旋转矢量描述法, 提出用波动旋转矢量描述波形以及利用振动旋转矢量和波动旋转矢量来实现振动曲线与波形之间相互转换的方法.【期刊名称】《广西科学院学报》【年(卷),期】2010(026)002【总页数】4页(P107-109,115)【关键词】振动曲线;波形;旋转矢量;转换【作者】杨庆怡;刘奕新;郭进【作者单位】广西大学物理科学与工程技术学院,广西南宁,530004;广西大学物理科学与工程技术学院,广西南宁,530004;广西大学物理科学与工程技术学院,广西南宁,530004【正文语种】中文【中图分类】O321Abstract:By comparing w ith harmonic vibration described using the rotation vectorAt,thewave rotating vectorAxwas introduced to describe wave form.A method to realize the transformation between the harmonic vibration curve and the wave form w ith rotation vectorAtwas proposed. Key words:harmonic vibration curve,wave form,rotatingvectors,transformation振动与波是大学物理课程中的基本内容,振动是单一质元在线性回复力的作用下在其平衡位置附近作往复运动的过程;波动则是弹性媒质在弹性力的作用下,由于波源的振动而引起媒质质元从波源开始由里向外依次发生振动的过程.简谐振动和平面简谐波是振动和波动过程中最为简单的情形.振动曲线与波形之间的相互转换是学习振动与波内容时经常遇到的问题,在由x0处质元的振动曲线求时刻的t0波形时,需要考虑该质元的相位、振动方向以及与相邻质元间的相位关系,在明确这些因素之后,即可根据质元的振动曲线作出相应的波形;在由t0的波形求x0处质元振动曲线时,需要根据该时刻的波形确定x0处质元的相位、位移以及振动方向,在明确这些因素之后,即可作出该质元的振动曲线.然而,在大学物理课程的教学过程中,学生在学习了相关的知识之后,并不一定能够熟悉地了解振动过程与波动过程的本质,对振动过程中质元的相位、相位变化以及振动方向和波动过程中质元的位移、振动方向以及质元间的相位关系理解不透彻,从而不能顺利而正确地进行转换.因此,提出一种较为直观的方法可以使学生在学习振动与波的内容时能够更好地掌握振动曲线与波形的转换.类比于简谐振动的旋转矢量描述法,本文提出用波动旋转矢量描述波形以及利用振动旋转矢量和波动旋转矢量来实现振动曲线与波形之间相互转换的方法. 在线性回复力的作用下质元作往复运动时的位移y与时刻t满足的振动称为简谐振动,其中,A为振幅,(ωt+ φ0)为时刻的相位,φ0为初相位.利用(1)式可以求出质元作简谐振动时的速度v和加速度a,由(1)式描述的简谐振动可以用旋转矢量(称为振动旋转矢量)来描述.如图1所示,大小保持不变的矢量At以其始端O为定点以角速度ω沿逆时针方向转动,在初始时刻At与y轴的夹角为φ0,则在时刻t时At与y轴的夹角为(ωt+φ0),则At的终端M在y轴上的投影P为y=Acos(ωt+φ0),从而可以用这样一个旋转矢量来描述质元的简谐振动.利用振动旋转矢量来描述简谐振动的优点是可以方便地作出振动曲线以及直观地了解质元作简谐振动时的相位、位移以及质元的运动方向.根据质元作简谐振动时的速度和加速度,类比于振动旋转矢量描述简谐振动的位移,可以引入速度旋转矢量和加速度旋转矢量来描述简谐振动过程中质元的速度和加速度随时间变化的关系[1].波动的实质是媒质在弹性力的作用下,由于波源的振动引起媒质中一系列的质元从波源开始由里向外先后作简谐振动,描述波源以及所有参与振动的质元振动规律的方程称为波动方程,它反映了波源以及所有参与振动的质元集体作不同步的简谐振动.平面简谐横波的波动方程为其中,“∓”号分别表示波沿x轴正向传播和负向传播,[ω(t∓x/u)+φ0]为x处的质元在时刻t的相位,φ0为坐标原点处质元的初相位,u为波的传播速度.当给定x=x0时(4)式描述的是x0处的质元随时间作简谐振动;当给定t=t0时(4)式描述的是波源以及所有参与振动的质元在时刻t0时的位移,即波形;而当x和t都发生变化时(4)式描述的是所有参与振动的质元的振动规律(即波形随时间的变化),从波形的变化关系来看波形沿波的传播方向移动,因此称为行波.根据(4)式,对于给定的时刻t0波动方程描述的是这一时刻的波形其中,为x= 0处的质元在t0时刻的相位.在用振动旋转矢量描述简谐振动时,At以角速度ω沿逆时针方向转动,在At转动过程中,相位(ωt+φ0)随时间而增大.考虑由(5)式描述的波形,当波沿x轴正向传播时,质元的相位随坐标x而减小,当波沿x轴负向传播时,质元的相位随坐标x而增大;而相距一个波长的两个质元的相位差为2π.根据波形中质元的相位特征以及类比于用振动旋转矢量描述简谐振动,可以引入另一个旋转矢量(称为波动旋转矢量)来描述波动过程中某一时刻的波形[2].如图2所示,大小保持不变的矢量Ax以其始端O为定点以角速度ω转动,在时刻t0,坐标原点处Ax与y轴的夹角为φ′0= ωt0+ φ0,则在Ax的转动过程中,Ax与y 轴的夹角为[∓ (ω/u)x+φ′0],取负号时相位减小,表示Ax沿顺时针方向转动,而取正号时相位增大,表示Ax沿逆时针方向转动.利用关系Δφ = (ω/u)Δx=ωΔt,当Ax旋转一周时,Ax的终端M在y轴上的投影随坐标x的变化即为(5)式描述的在时刻t0时一个周期内的波形,其中,Ax沿顺时针方向转动时得到的是沿x正向传播的波形,而Ax沿逆时针方向转动时得到的是沿x负向传播的波形.通过对振动方程与波动方程的相位以及相位变化的关系进行分析,我们利用旋转矢量法来实现振动曲线与波形之间的相互转换.在振动方程(1)中,质元作简谐振动的相位(ωt+ φ0)随时间而增大,而在波动方程(4)中,对于给定的时刻t0,[ω(t0∓x/u)+φ0]描述了所有参与振动的质元的相位随坐标x变化的关系,当波沿x轴正向传播时,相位随x的增大而减小,而当波沿x轴负向传播时,相位随x的增大而增大.而从振动过程中质元的相位(ωt+ φ0)与波动过程中质元的相位[ω(t-x/u)+ φ0]来看,简谐振动在时刻t0的相位刚好就是该时刻的波形中处于坐标原点处的质元的相位.根据对振动过程和波动过程的相位及变化关系的分析,结合振动曲线和波形的旋转矢量描述方法,可以总结出利用旋转矢量法来描述振动曲线与波形间相互转换的一种便捷而可靠的方法。
振动和波(yt)
解：要求在x=0处为波节，故两列波在 x=0处应振动反向，相位差差π。 故选C
15、（5523） 设声波在媒质中的传播速度为u，声源的 频率为νs。若声源S不动，而接收器R相对 于媒质以速度VR沿着S、R连线向着声源S 运动，则位于S、R连线中点的质点P的振 动频率为： u vR s （A） νs （B） u 故选A u u s （C）u v s （D）u v R R 解：媒质中各质点的振动频率与波源 的振动频率相同。
0 A
x
5、（3031） 已知一质点沿y轴作简谐振动，其振动 方程为 y A cos(t 3 / 4)。与之对应的振 动曲线是：
Y 0 -A t
（A）
（B）
Y 0 -A
t
Y （C） 0
Y A （D） 0
-A
t
t
解：由振动方程易知质点的初相为3/4， 2 故初位移为： 2 A ，随着时间t的增加，质 点将向负最大位移处运动。 故选B
4、（3042） 一个质点作简谐振动，振幅为A，在起始 1 时刻质点的位移为 2 A ，且向x轴的正方 向运动，代表此简谐振动的旋转矢量图为：
A
（A） 0 1 A 2 （C）
A
1 A 2
（B） 0 A
1 A 2
1 A 2
x
0
x
（D）
解：根据旋转矢量法，该题可直接判断 选B
解：由图易知x2完成一次 全振动时，x1已完成两次 全振动，故 1 : 2 2 : 1 amax=Aω2，故a1m：a2m=4：1 v0=ωA，v10：v20= ω1： ω2=2：1
5、（本题3分）3046 一简谐振动的旋转矢量图如图所示， 振幅矢量长2cm，则该简谐振动的初位相 x 2 102 cos t / 4 为 π/4 。振动方程为： 解：由图形易得初相为π/4 角频率为π
振动、波动部分答案(新)
大学物理学——振动和波振 动班级 学号 姓名 成绩内容提要1、简谐振动的三个判据（1）；（2）；（3）2、描述简谐振动的特征量： A 、T 、γ；T1=γ，πγπω22==T3、简谐振动的描述：（1）公式法 ；（2）图像法；（3）旋转矢量法4、简谐振动的速度和加速度：)2cos()sin(v00πϕωϕωω++=+-==t v t A dt dx m ； a=）（）（πϕωϕωω±+=+=0m 0222t a t cos -dtxd A 5、振动的相位随时间变化的关系：6、简谐振动实例弹簧振子：，单摆小角度振动：，复摆：0mgh dt d 22=+θθJ ,T=2mghJπ 7、简谐振动的能量：222m 21k 21A A Eω==系统的动能为：）（ϕωω+==t sin m 21mv 212222A E K ；系统的势能为：）ϕω+==t (cos k 21kx 21222A E P8、两个简谐振动的合成（1）两个同方向同频率的简谐振动的合成合振动方程为：）（ϕω+=t cos x A其中，其中；。
＊(2) 两个同方向不同频率简谐振动的合成拍：当频率较大而频率之差很小的两个同方向简谐运动合成时，其合振动的振幅表现为时而加强时而减弱的现象，拍频：12-γγγ=＊（3）两个相互垂直简谐振动的合成合振动方程：）（1221221222212-sin )(cos xy 2y x ϕϕϕϕ=--+A A A A ，为椭圆方程。
练习一一、 填空题1．一劲度系数为k 的轻弹簧，下端挂一质量为m 的物体，系统的振动周期为T 1。
若将此弹簧截去一半的长度，下端挂一质量为m/2的物体，则系统的周期T 2等于 。
2．一简谐振动用余弦函数表示，其振动曲线如图所示，则此简谐振动的三个特征量为：A ＝ ；=ω ;=ϕ 。
3．如图，一长为l 的均匀细棒悬于通过其一端的光滑水平固定轴上，做成一复摆。
已知细棒绕过其一端的轴的转动惯量J ＝3/2ml ，此摆作微小振动的周期为 。
振动与波习题
出质点由初始状态运动到 x=-0.12m, v<0的状
态所经过的最短时间。 t
t=0
解：
3
t
t 2 (s) 3
a
1 3
-0.12 O 0.24
18
8. 一质点同时参与两个同方向的简谐振动，其 振动方程分别为：
1
x51 0 2co4s t ( )（SI）
1
3
x310 2sin 4t (1)（SI）
答案： y2A co s t2 (l x 4 l L )
10、S 1 和 S 2 是波长均为l的两个相干波源，相距 3l / 4
，S 1 的位相比S 2 超前 / 2。若两波单独传播时，强度
均为 I 0 ，则在 S 1、S 2连线上 S 1 外侧和 S 2外侧各点
，合成波的强度分别是
（A）4 I 0 ，4 I 0 ； （C）0，4 I 0 ；
四、谐振动的合成 同方向、同频率的谐振动的合成：
A A12 A22 2A1A2cos(2 1
tg A1sin1 A2 sin2
A1cos1 A2ca os2
8
例1：一质点作简谐振动，=4 rad/s ,振幅A=2cm. 当t=0时,质点位于x=1cm处,并且向x轴正方向运动,求振
动表达式.
解:用矢量图法求解
1、周期和频率（由波源决定，与介质无关）
2、波长
3、波速 4、波速u与l、T的关系：u
l T
二、平面简谐波波动方程
坐标原点振动方程：yAcots()
a
28
波沿x轴正向传播：
y A co (t su x ) [ ] A co 2 (T s t [ l x ) ]
波沿x轴负向传播：
旋转矢量法求解简谐振动初相位
旋转矢量法求解简谐振动初相位唐义思【期刊名称】《科技创新导报》【年(卷),期】2014(0)27【摘要】Abstact:Contains the three elements of the amplitude, frequency, phase angle kinematics equation of simple harmonic vibration, and in these three elements, solving the initial phase of relatively trouble, under normal circumstances are the formula to solve the initial phase,but this method in solving process cumbersome and prone to error, in this paper describes the use of rotation vector method to seek solution of initial phase, the method is used to solve the initial phase is very simple, the operation is also quite small.%简谐振动的运动学方程中包含振幅、角频率、初相位三个要素，而在这三个要素中，初相位的求解相对来说比较麻烦，一般情况下都是采用公式法来求解初相位，但这种方法求解过程相当麻烦并容易出错，在该文中介绍使用旋转矢量法来求解初相位的方法，使用该方法来求解初相位则显得相当简洁，运算量也相当小。
【总页数】1页(P57-57)【作者】唐义思【作者单位】重庆人文科技学院重庆 401524【正文语种】中文【中图分类】G64【相关文献】1.旋转矢量法在简谐振动和简谐波问题求解中的应用 [J], 樊丽娟;冯云光2.教学中旋转矢量法的应用--以简谐振动为例 [J], 陈新;王赵;唐敏3.旋转矢量法在简谐振动教学中的应用 [J], 王慧娟;管永精;刘奕新4.旋转矢量法在解决简谐振动相关问题中的应用 [J], 陈柯5.用Flash动画和旋转矢量法模拟简谐振动 [J], 岑敏锐因版权原因，仅展示原文概要，查看原文内容请购买。
旋转矢量法在简谐振动和简谐波问题求解中的应用
旋转矢量法在简谐振动和简谐波问题求解中的应用樊丽娟;冯云光【摘要】求解简谐振动和简谐波问题,一直是大学物理课程中学生学习的难点,其关键是初相位难以确定.若学生掌握了用旋转矢量求解相关问题的方法,则能直观、方便地研究简谐振动,达到化难为易、突破难点的目的.通过实例说明了旋转矢量法在简谐振动和平面简谐波中的运用.【期刊名称】《铜仁学院学报》【年(卷),期】2013(015)006【总页数】4页(P162-165)【关键词】简谐振动;旋转矢量法;初相位;相位差【作者】樊丽娟;冯云光【作者单位】铜仁学院物理与应用工程系,贵州铜仁554300;铜仁学院物理与应用工程系,贵州铜仁554300【正文语种】中文【中图分类】O411在大学物理课程中，求解简谐振动和简谐波的问题一直是学生学习的难点，究其原因，关键是求初相位时遇到困难。
教学中，常用两种方法即解析分析法（由位置坐标和速度的初始条件求初相位）和旋转矢量图示法求初相位，但解析法需要较麻烦的推理过程，学生在求解时常常出现错误，而旋转矢量法充分利用了大家熟悉的几何、三角知识，利用它对简谐振动过程的形象、直观的分析，使求解简谐振动问题变得十分简洁、方便。
1．简谐振动可以用单一频率的谐函数来描述的振动称为简谐振动。
它是周期振动的一种简单形式。
典型的简谐振动有弹簧振子、单摆、复摆和扭摆等。
在忽略阻尼的理想情况下，它们有共同的运动规律。
例如，弹簧振子和扭摆在弹簧的线性范围内的运动；单摆和复摆在小振幅时的运动。
描述它们的振动的动力学方程为：式中x为位移，ω为系统的固有频率，为弹性系数，m为质点质量。
它的解为：，式中 A，φ为待定的积分常数。
此为简谐振动的运动学方程。
2．简谐振动的旋转矢量表示法图1 简谐振动的旋转矢量表示示意图如图 1所示，简谐振动x = Acos(ω t+ φ )可以用一个质点M在以圆心为O，半径为A的圆周上作匀角速度运动来描述。
该圆的半径等于简谐振动的振幅A，M点的角速度ω为振动的圆频率。
简谐振动旋转矢量法讲课文档
振动学是波动学的基础
第5章 机械振动
振动: 任何一个物理量(物体的位置, 电 流强度, 电场强度, 磁场强度等)在某一 固定值附近作往复变化. 机械振动: 物体在固定位置(平衡位置) 附近作来回往复的运动. 简谐运动: 是最基本, 最简单的振动.
ω 6π 6
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§ 5.3 单摆
O
l T
mg
小球受力矩:
Mmg siln
根据转动定律
M J
mgslinm2ldd2t2
化简得:
d2
dt2
gsin
l
0
当θ 很小时, sin
d2
dt2
g l
0
结论: 单摆振动是简谐运动
0 cos t
g
l
T 2π l g
θ为振动角位移,θ0叫做角振幅
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例3: 一简谐振动曲线如图所示, 则振动周期
x（m 4） 2
1
t（s）
2 4 cos
0 4cos
3
32
5
6
T 2 12 5
（A）2.62 s （B）2.40 s （C）0.42 s （D）0.382 s
答案: B
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v d x 0.24sin 6.0t dt
sin 6.0t 1 cos2 6.0t
1
1
2
3
2 2
依题意, v＜0
v 0.24 3 0.208 m s1 2
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§5.2 简谐运动的旋转矢量 表示法
5.2.1 旋转矢量表示法