旋转矢量法
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旋转矢量法在简谐振动中的应用探讨
旋转矢量法在简谐振动中的应用探讨摘要：结合旋转矢量法的理论依据探究旋转矢量法在简谐振动中的应用，探究结果发现：旋转矢量法的理论依据是两个振幅相等，频率相同的简谐振动，相位差等于π/2，沿垂直方向的合成就是圆周运动；而旋转矢量法可计算简谐振动的矢端速度与加速度、相位与初相位、运动时间间隔及合振动。
关键词：旋转矢量法；简谐振动；应用0.旋转矢量法旋转矢量法[1]，也叫匀速圆周运动法，参考圆法，用其方法来解决简谐振动中的问题，相对来说比较简单。
如图1，做一个圆周，以O为原点，向右为正方向建立坐标轴，根据题目条件确定半径位置，要观察的是半径的端点在x轴上的投影的位置，如果速度为正，半径端点一定处于x轴下方，反之在x轴上方，比如，t＝0时，质点正经过平衡位置向正方向运动，那么这个半径端点就是在原点正下方，即端点的投影刚好在原点[2]。
而以O为原点的旋转向量A的端点与在x 轴上的投影点的运动为简谐振动。
图1 旋转矢量图2 相位差为π/2互相垂直简谐振动的合成1.简谐振动矢量法的理论依据互相垂直相同频率简谐振动的合成[3]，现将分振动的运动学方程表示为，，质点既沿Ox轴又沿Oy轴运动，实际上是在Oxy平面上运动。
从上面方程消去t，得合振动的轨迹方程：=。
当相位差为时，，表明合振动的轨迹为以x和y为轴的椭圆，如图2所示这里又可分为两种情况，时，x方向的振动比y方向的振动超前，即，当某一瞬时，则x=0，y=A2，即质点在图2(a)中的P点，经过很短时间后略大于零，y将略小于A2，为正，而略大于，x将为负，故质点运动到第二象限，即质点沿椭圆逆时针运动。
反之，时，y方向的振动比x方向的振动超前，质点沿椭圆顺时针方向运动，如图2（b）。
以上两分运动中，若=且相位差为，则其合运动轨迹方程褪化为圆。
两个振幅相等，频率相同的简谐振动，相位差等于沿互相垂直方向合成的为圆周运动；反推理可得，圆周运动亦能分解为两互相垂直的同振幅同频率的简谐振动。
简谐振动的旋转矢量图示法
解：
点 2 在 x = - A / 2 处 向 右 运 动 ， 试 用 旋
转 矢 量 法 求 两 质 点 的 相 位 差 。 1
3
x
2
4
3
2
A
2A
O
1
A 2
2143 3
例2、一物体沿x轴作简谐振动，振幅A=0.12m,周期 T=2s。当t=0时,物体的位移x=0.06m,且向x轴正向运
动。求: (1)简谐振动表达式;
向正方向运动,求运动方程。
解：(1) k 0.726.0s-1
m 0.02
由旋转矢量可知初相位 谐振动方程为
0 0
0.05
O
x
x0.05cos(6.0t) m
第一次经过A/2时，相位
(2) v dx 0.056.0sin(6.0t) dt
=0.3sin(6.0t) m/s
6.0t 3
OA
0, x=0.06m可
得0 3
或
3
简谐振动表达式
01
02
03
04
v0Asin00
由于t=0时质点 向x轴正向运动
0 3
因而
可知
x0.12cos(t) m
3
(2)由简谐振动的运动方程可得:
vdx0.12sin(t) m /s
dt
3
adv 0.12 2cos(t)m /s2
dt
3
在t =T/4=0.5s时，可得
A 的长度
振幅A
A 旋转的角速度
角频率ω
A 与参考方向x 的夹角
振动相位ωt+φ0
相位之差为
x1A1cos(t1)
x2A2cos(t2)
旋转矢量表示法B版
1 2
⎞ ⎟ ⎠
−
π⎤
3
⎥ ⎦
=
2 π
⎡ 2π ⎢⎣ 3
−
π⎤ 3 ⎥⎦
=
2 3
=
0.667(s)
四、相图（phase diagram）
利用相图描述非线性动力学的方 法是19世纪末法国数学家亨利·庞加 莱（H.Poincare）发明的.
现以坐标和速度为坐标轴定义一 个平面, 称为相平面. 系统的一个运 动状态对应于相平面上的一个点, 称 为相点. 当系统的运动状态发生变化 时, 相点在相平面内运动, 相点的轨 迹则称为相图.
A 端投影:
x = A cos(ωt + ϕ )
与简谐运动方程完全相同, 所以投影点的运动为简谐运动.
二、初相位
ϕ = π平衡位置 2
旋转矢量表示法
π <ϕ <π 2
ϕ
ϕ=π
负向最大
π 0<ϕ<
2
x ϕ=0
正向最大
π < ϕ < 3π 2
3π < ϕ < 2π 2
ϕ = 3π 平衡位置 2
初相位讨论
大学物理
振动学基础
第3讲 旋转矢量表示法
旋转矢量表示法
旋转矢量表示法
一、旋转矢量表示法(参考圆法)
是研究简谐运动规律时所采用的直观的几何描述方法.
自 Ox 轴原点作矢量 A , 其模等 于振幅. A 绕 O点逆时针旋转, 角 速度为ω (其数值即为简谐运动的 角频率) , 则 A 称为旋转振幅矢量. 设初始时刻 t = 0 时 A 与 x 轴夹角 等于初相位 ϕ , 经过时间 t , A 与 x 轴夹角等于相位ω t +ϕ .
旋转矢量法简谐运动的动力学能量实例
旋转矢量的长度表示振动的振幅，矢 量的角度表示相位，通过旋转矢量的 旋转速度和方向可以描述简谐运动的 特性。
旋转矢量与简谐运动的关联
旋转矢量与简谐运动的振动方向和速度相关联，通过旋转矢量的几何特性可以推 导出简谐运动的振动方程和能量表达式。
旋转矢量法可以直观地表示简谐运动的振动形式，帮助理解振动的合成与分解， 以及振动在不同方向上的表现。
对未来研究的展望
随着科学技术的不断发展，旋转矢量法在简谐运动研究中 的应用将更加广泛和深入。未来可以进Байду номын сангаас步探索旋转矢量 法在其他领域的应用，如量子力学、光学等。
未来研究可以进一步优化旋转矢量法的计算方法和可视化 效果，提高其精度和直观性，以更好地服务于科学研究和 技术创新。
THANKS
感谢观看
旋转矢量法简介
01
旋转矢量法是一种描述简谐运动 的直观方法，通过引入一个旋转 矢量来表示振动的状态。
02
旋转矢量具有长度和方向，分别 对应振动的振幅和相位，矢量的 旋转速度则与角频率有关。
02
旋转矢量法在简谐运动中的应用
旋转矢量表示
旋转矢量表示是一种用于描述简谐运 动的几何方法，通过引入一个旋转矢 量来表示简谐运动的相位和振幅。
简谐运动的定义
简谐运动
物体在一定力的作用下，以一定的初速度做周期 性往复运动。
描述参数
振幅、角频率、初相角、周期等。
实例
单摆、弹簧振子等。
简谐运动的数学模型
微分方程
$mfrac{d^2x}{dt^2}
+
cfrac{dx}{dt} + kx = F$
旋转矢量法
通过旋转矢量表示简谐运动的相 位和振幅，简化分析过程。
旋转矢量与简谐运动的关联
旋转矢量与简谐运动的振动方向和速度相关联，通过旋转矢量的几何特性可以推 导出简谐运动的振动方程和能量表达式。
旋转矢量法可以直观地表示简谐运动的振动形式，帮助理解振动的合成与分解， 以及振动在不同方向上的表现。
对未来研究的展望
随着科学技术的不断发展，旋转矢量法在简谐运动研究中 的应用将更加广泛和深入。未来可以进Байду номын сангаас步探索旋转矢量 法在其他领域的应用，如量子力学、光学等。
未来研究可以进一步优化旋转矢量法的计算方法和可视化 效果，提高其精度和直观性，以更好地服务于科学研究和 技术创新。
THANKS
感谢观看
旋转矢量法简介
01
旋转矢量法是一种描述简谐运动 的直观方法，通过引入一个旋转 矢量来表示振动的状态。
02
旋转矢量具有长度和方向，分别 对应振动的振幅和相位，矢量的 旋转速度则与角频率有关。
02
旋转矢量法在简谐运动中的应用
旋转矢量表示
旋转矢量表示是一种用于描述简谐运 动的几何方法，通过引入一个旋转矢 量来表示简谐运动的相位和振幅。
简谐运动的定义
简谐运动
物体在一定力的作用下，以一定的初速度做周期 性往复运动。
描述参数
振幅、角频率、初相角、周期等。
实例
单摆、弹簧振子等。
简谐运动的数学模型
微分方程
$mfrac{d^2x}{dt^2}
+
cfrac{dx}{dt} + kx = F$
旋转矢量法
通过旋转矢量表示简谐运动的相 位和振幅，简化分析过程。
简谐振动-旋转矢量法
sin2 (2 1)
y
2） 2 1 π
y A2 x A1
3）2 1 π 2
x A2
o A1
x2 A12
பைடு நூலகம்
y2 A22
1
x A1 cost
y
A2
cos(t
π) 2
A2 y
o A1 x
用 旋 转 矢 量 描 绘 振 动 合 成 图
两
相
互 垂 直 同 频 率 不 同 相
简 谐 运 动 的 合 成 图
x
x
A1 o
o
A
A2
A A1 A2
Tt
结论
A A12 A22 2A1 A2 cos(2 1 )
若两分振动同相位：
2 1 2k k 0,1, 2,
A A1 A2
若两分振动反相位:
两分振动相互加强
2 1 (2k 1) k 0,1, 2,
A A1 A2
两分振动相互减弱
再若 A1= A2 , 则 A= 0
M
A
P
x
注意：旋转矢量在第 2 象限
速度v <0
M
PA
x
注意：旋转矢量在第 2 象限
速度v <0
M
PA
x
<
注意：旋转矢量在第 3 象限
速度v 0
P x
MA
<
注意：旋转矢量在第 3 象限
速度v 0
P x
A
M
<
注意：旋转矢量在第 3 象限
速度v 0
P x
A
M
<
注意：旋转矢量在第 3 象限
速度v 0
找到谐振动的特征量，问题就解决了。
4-1-2简谐运动旋转矢量法简谐运动的动力学讲解
t 超前、落后以<
-A1
的相位角来判断。
1
2
, 2
0
1
3
2
,
2
0
2-1>0 ，x2比x1超前 π/2 1-2>0 ，x1比x2超前 3π/2
位 移 ：x(t) Acos(t )
速 度 ：(t) Asin(t )
加 速 度 ：a(t) 2 x(t)
x、 、a
2A
A
A
x
o
-A
- A
dt
2
a(t)
d 2 x(t) dt 2
2 Acos(t
)
2 x(t)
m
加速度与位移成正比而反向
x、 、a
2A
A
A
x
o
-A
- A
- 2A
a < 0 a<0 加速
<0 >0 减速
o
x
x
>0 >0 加速
T t
>0 <0 减速
三. 描述简谐运动的特征量 x(t)=Acos( t+)
1.振幅A(amplitude) 偏离平衡位置的最大距离 其值与运动如何开始有关
波动与光学
第1章 振 动 (Vibration)
生活中观察的：摇曳的树枝、飘荡的小船， 人类发明中的：颤动的琴弦或鼓膜， 人类自身中的：声带、耳膜、心脏， 不易感觉的：传递声音的空气分子的振动、
传递温度的固体内原子的振动、 传递信息的天线中电子的振动…… 周期性过程：指不断有规律重复的过程或状态。
2.周期T (period) 振动往复一次所需时间 频率v (frequency) 单位时间内的振动次数
-A1
的相位角来判断。
1
2
, 2
0
1
3
2
,
2
0
2-1>0 ，x2比x1超前 π/2 1-2>0 ，x1比x2超前 3π/2
位 移 ：x(t) Acos(t )
速 度 ：(t) Asin(t )
加 速 度 ：a(t) 2 x(t)
x、 、a
2A
A
A
x
o
-A
- A
dt
2
a(t)
d 2 x(t) dt 2
2 Acos(t
)
2 x(t)
m
加速度与位移成正比而反向
x、 、a
2A
A
A
x
o
-A
- A
- 2A
a < 0 a<0 加速
<0 >0 减速
o
x
x
>0 >0 加速
T t
>0 <0 减速
三. 描述简谐运动的特征量 x(t)=Acos( t+)
1.振幅A(amplitude) 偏离平衡位置的最大距离 其值与运动如何开始有关
波动与光学
第1章 振 动 (Vibration)
生活中观察的：摇曳的树枝、飘荡的小船， 人类发明中的：颤动的琴弦或鼓膜， 人类自身中的：声带、耳膜、心脏， 不易感觉的：传递声音的空气分子的振动、
传递温度的固体内原子的振动、 传递信息的天线中电子的振动…… 周期性过程：指不断有规律重复的过程或状态。
2.周期T (period) 振动往复一次所需时间 频率v (frequency) 单位时间内的振动次数
旋转矢量
v
x/m
0.08 0.04 o 0.04 0.08
第九章 振 动
11
物理学
第五版
9-2 旋转矢量
已知 m 0.01kg, A 0.08 m,T 4 s
t 0, x 0.04 m, v0 0 求（1）t 1.0 s, x, F
解 A 0.08 m 2 π π s1
第九章 振 动
4
物理学
第五版
9-2 旋转矢量
用旋转矢量图画简谐运动的x t图
第九章 振 动
5
物理学
第五版
9-2 旋转矢量
讨论 相位差：表示两个相位之差
（1）对同一简谐运动，相位差可以给出 两运动状态间变化所需的时间．
x1 Acos(t1 )
x Acos(t )
2
2
(t ) (t )
(A) 0～π/2之间． (B) π/2～π之间． (C) π～3π/2之间． (D) 3π/2～2π之间。
解：位移向下为正。当小盘处在最低位置时刻有一个小
物体落到盘上，则振子系统向下还是向上运动？
考虑到新的平衡位置相对原平衡位置向下移动的距离小于 原振幅，位移接近正的最大值，速度向下。采用旋转矢量 法可知初相位在第四象限。
物理学
第五版
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本章目录
9-1 简谐运动 振幅 周期和频率 相位
9-2 旋转矢量
9-3 单摆和复摆
9-4 简谐运动的能量
9-5 简谐运动的合成
* 9-6 阻尼振动 受迫振动 共振
第九章 振 动
19
法一 设由起始位置运动到x= -0.04 m处所 需要的最短时间为t
v x/m
9-2旋转矢量
练习:试画出同一简谐振动的 图 练习:试画出同一简谐振动的x-t图, v-t图, a-t图 图 图
理学院 物理系
大学物理
§9-2 旋转矢量
一质量为0.01 kg的物体作简谐运动, 的物体作简谐运动, 例 一质量为 的物体作简谐运动 其振幅为0.08 m,周期为 s,起始时刻物体在 其振幅为 ,周期为4 , x=0.04 m处,向ox轴负方向运动(如图).试求 轴负方向运动( 轴负方向运动 如图) (1)t=1.0 s时,物体所处的位置和所受的力; ) 时 物体所处的位置和所受的力; 2)由起始位置运动到x m处所需要 (2)由起始位置运动到x = -0.04 m处所需要 的最短时间. 的最短时间
t = 0, x = 0 . 04 m 代入 x = A cos( ω t + )
π ∵ v 0 < 0 ∴ = 3
0.08 0.04
ωቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
π =± 3
A
o
π 3
x/m
0.08
0.04
理学院 物理系
大学物理
§9-2 旋转矢量
π ∵ = 3 π π ∴ x = 0.08cos( t + ) 2 3 t 可求( ) 可求(1) = 1.0 s, x, F t = 1 .0 s 代入上式得 x = 0.069 m
大学物理
§9-2 旋转矢量
速度也是简谐振动
dx v= = ωAsin(ωt + 0 ) dt
v(t ) = ωAcos(ω t +0 +
x=Acos(ω t+0 )
π
2
)
v 比 x 超前 π/2
加速度也是简谐振动, 加速度也是简谐振动,a 比 x 超前 π
理学院 物理系
大学物理
§9-2 旋转矢量
一质量为0.01 kg的物体作简谐运动, 的物体作简谐运动, 例 一质量为 的物体作简谐运动 其振幅为0.08 m,周期为 s,起始时刻物体在 其振幅为 ,周期为4 , x=0.04 m处,向ox轴负方向运动(如图).试求 轴负方向运动( 轴负方向运动 如图) (1)t=1.0 s时,物体所处的位置和所受的力; ) 时 物体所处的位置和所受的力; 2)由起始位置运动到x m处所需要 (2)由起始位置运动到x = -0.04 m处所需要 的最短时间. 的最短时间
t = 0, x = 0 . 04 m 代入 x = A cos( ω t + )
π ∵ v 0 < 0 ∴ = 3
0.08 0.04
ωቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
π =± 3
A
o
π 3
x/m
0.08
0.04
理学院 物理系
大学物理
§9-2 旋转矢量
π ∵ = 3 π π ∴ x = 0.08cos( t + ) 2 3 t 可求( ) 可求(1) = 1.0 s, x, F t = 1 .0 s 代入上式得 x = 0.069 m
大学物理
§9-2 旋转矢量
速度也是简谐振动
dx v= = ωAsin(ωt + 0 ) dt
v(t ) = ωAcos(ω t +0 +
x=Acos(ω t+0 )
π
2
)
v 比 x 超前 π/2
加速度也是简谐振动, 加速度也是简谐振动,a 比 x 超前 π
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振动系统 总能量
• 能量法求谐振动的振幅
机械能守恒：
1 1 2 1 2 mv kx kA2 2 2 2
• 能量法求谐振动的周期 两边对时间求导：
d2 x a 2 2 x T 2 dt
自学 教材
P381 [例6]、[例7]
/ P.12 [例5]
例：能量法求谐振动的周期
T=2/ t+ 0
位移
速度
x =Acos(t+ 0)
v =- Asin(t+ 0) a =- 2Acos(t+ 0)
加速度
直观地表达谐振动的各特征量 旋转矢量法优点： 由 x、v 的符号确定 便于解题, 特别是确定初相位 便于振动合成 r A 所在的象限：
已知： A = 24cm, T = 3s, t = 0时 x0 12cm, v0 0,
2
mg
d 2 sin 0 2 dt
2
—— 复摆运动的微分方程也是非线性微分方程
当 很小时 sin
d 2 2 0 2 dt
角谐振动
运动 cos( t ) m 方程：
J 周期：T 2 mgh
2
由初始条件决定
由小角度摆动都是谐振动，可推广到 一切微振动均可用谐振动模型处理。 例如晶体中原子或离子在晶格点平衡位置附近的振动。
练 习
教材P.410 13-6 / P.40 12-6
r 解：作t = 0时刻的旋转矢量 A0
求：质点运动到 x = -12 cm处所需最短时间。
r 作x = -12cm处的旋转矢量 A r A
-12
r A0
o 12 24 x(cm)
t min
1 T 0.5 s 6
练 习
两个小球a和b分别沿o-x轴作简谐振动，在
1 1 2 2 k ( x x0 ) kx 0 x kx 0 2 2
m
mg=kx0
x
1 2 kx 2
1 1 2 1 2 2 E Ek Ep mv kx kA 2 2 2
比较
水平放置的弹簧振子
竖直悬挂的弹簧振子
回复力 弹簧的弹力
准弹性力：弹力与重力的合力
F kx
2
x
振动系统机械能守恒：
E Ek Ep 1 1 v 1 mv 2 J kx2 c 恒量 2 2 R 2
2
两边对时间求导：
Jva mva kxv 0 2 R
d2 x kx 2 a 2 x 2 dt mJ R
得：
k ; 2 mJ R 2 m J R2 T 2 k
弹簧的伸长 势能
总能
F kx
离系统平衡位置的位移
kx2 2 准弹性势能，
kx2 2
弹性势能
重力势能和弹性势能的总和
1 1 1 mv 2 kx2 kA2 2 2 2
统一描述：只要以平衡位置为坐标原点和零势点
1 2 准弹性势能: 1 Ep kx E kA2 2 （包括重力势能、弹性势能） 2
三.旋转矢量法
四.能量（以平衡位置为坐标原点和势能零点）
1 1 1 2 2 E Ek Ep mv kx kA2 2 2 2
用旋转矢量图画简谐运动的
x t
图
T 2π （旋转矢量旋转一周所需的时间）
简谐运动的描述和特征 1）物体受线性回复力作用
F kx 平衡位置 x 0
2
d x 2 2）简谐运动的动力学描述 x 2 dt
3）简谐运动的运动学描述
x A cos(t )
v A sin(t )
4）加速度与位移成正比而方向相反
弹簧振子
km 复摆
t=0时，两球均在平衡位置，且球a向x轴的正方向
运动，球b向x轴的负方向运动，比较t=4/3s时两球
的振动相位差。（Ta=2Tb=2s）
四. 孤立谐振动系统的能量 不计振动传播带来的能量损失 —— 辐射阻尼 不计摩擦产生的热损耗 —— 摩擦阻尼 水平放置的弹簧振子 以平衡位置为坐标原点
1 2 1 2 Εp kx kA cos 2 ( t 0 ) 2 2 1 2 1 1 2 2 2 2 2 Ek mv mA sin ( t 0 ) kA sin ( t 0 ) 2 2 2
d 2 g sin 0 2 dt l
d 2 2 sin 0 2 dt
令 2
g
l
得：
单摆运动的微分方程
sin
3
3!
5
5!
非线性微分方程 无解析解
当 很小时 sin
d 2 2 0 2 dt
角谐振动 周期：
同学们好！
k
上 讲 内 容
一. 简谐振动的运动方程(平衡位置为坐标原点）
F kx
d2 x 2 x0 2 dt
x Acos(t 0 )
角频率 k m 二. 特征量
振幅
初相
v02 A x 2
2 0
v0 0 arctg ( ) x0
三. 旋转矢量法
思考：
写出质点 m 以角速率 沿 半径 A 的圆周匀速运动的 参数方程
y A 0
m
o
x
x A cos(t 0 )
y A sin(t 0 )
x、y 方向分运动均为简谐振动
x A cos(t )
量 A的
旋转矢
端点在 x 轴上的投 影点的运 动为简谐 运动.
已知： k , R , J , m
求： T 解：以平衡位置为坐标原点
和零势点，向下为正，任意
m
时刻 t 系统的机械能为：
1 1 1 1 v 2 2 2 Ek mv J mv J 2 2 2 2 R
1 1 2 Ep kx Ep滑 轮 kx2 c 2 2
a x 单摆 g l
2
mgl
J
小
F kx
结：
x A cos( t 0 )
一.简谐振动的运动方程(平衡位置为坐标原点）
d2 x 2 x0 2 dt
角频率
k m
2 v 2 A x0 02
二.
特征量
振幅
初相
v0 0 arct g ( ) x0
1 2 1 1 2 1 2 1 2 2 E EP EK ( kx m v ) kx0 kA kx0 恒量 2 2 2 2 2
恰当选择零势点，可去掉第二项。
如何选？以平衡位置为坐标原点和势能零点
k
x0 EP=0
k
O
k x
1 1 2 2 Ep k ( x x0 ) mgx kx 0 2 2
质量为 0.10kg的物体，以振幅 1.0 102 m 作简谐振动，其最大加速度为 4.0m s 2,求： （1）振动的周期； （2）通过平衡位置的动能； （3）总能量； （4）物体在何处其动能和势能相等？
练 习
解 （ 1）
amax A
T
2
amax 1 20s A
0.314 s
运动 cos( t ) m 方程：
由初始条件决定
l T 2 g
2
二、复摆：绕不通过质心的光滑水平轴摆动的刚体 由刚体定轴转动定律
M J
d 2 m ghsin J 2 dt d 2 m gh sin 0 2
dt J
o
C
h
J
令
mgh J
o
T 4
T 2
3T 4
T
t
1 Ek m 2 A2 sin 2 t 2
E - x 曲线
Ek , Ep变化频率为 x 的2倍 Ek , Ep彼此变化步调相反
竖直悬挂的弹簧振子 以弹簧原长处为重力势能、弹性势能零点 以平衡位置为坐标原点 k
EP=0 x 0
mg-kx0=0 x
k m
O
k x
1 2 Ep k ( x x0 ) mg ( x x0) ) 2 1 k ( x x0 ) 2 kx0 ( x x0 ) 2 1 2 1 2 kx kx0 2 2
2π
（2） Ek ,max （ 3）
1 1 2 mvmax m 2 A2 2.0 103 J 2 2
3
E Ek ,max 2.0 10 J
Ep 时， Ep 1.0 10 J
3
（4） Ek
1 2 1 由 Ep kx m 2 x 2 2 2 2 Ep 4 2 2 0.5 10 m x 2 m
x 0.707 cm
摆动（单摆、复摆介绍）
研究摆动的理想模型 —— 单摆和复摆 一、单摆：无伸长的轻线下悬挂质点作无阻尼摆动 建立如图自然坐标 受力分析如图 切向运动方程 n N
l
m
mg
F ma ml d2 mgsin ml 2 dt
d 2 g sin 0 2 dt l
{ v A sin( t )
0
x A cos( t 0 )
1 E Ep Ek kA 2 恒量 2
孤立谐振动系统机械能守恒
x, v
E-t 曲线
o
能量
x t
T
0 t x Acost v t v A sin t
1 2 E kA 2 1 2 Ep kA cos 2 t 2
• 能量法求谐振动的振幅
机械能守恒：
1 1 2 1 2 mv kx kA2 2 2 2
• 能量法求谐振动的周期 两边对时间求导：
d2 x a 2 2 x T 2 dt
自学 教材
P381 [例6]、[例7]
/ P.12 [例5]
例：能量法求谐振动的周期
T=2/ t+ 0
位移
速度
x =Acos(t+ 0)
v =- Asin(t+ 0) a =- 2Acos(t+ 0)
加速度
直观地表达谐振动的各特征量 旋转矢量法优点： 由 x、v 的符号确定 便于解题, 特别是确定初相位 便于振动合成 r A 所在的象限：
已知： A = 24cm, T = 3s, t = 0时 x0 12cm, v0 0,
2
mg
d 2 sin 0 2 dt
2
—— 复摆运动的微分方程也是非线性微分方程
当 很小时 sin
d 2 2 0 2 dt
角谐振动
运动 cos( t ) m 方程：
J 周期：T 2 mgh
2
由初始条件决定
由小角度摆动都是谐振动，可推广到 一切微振动均可用谐振动模型处理。 例如晶体中原子或离子在晶格点平衡位置附近的振动。
练 习
教材P.410 13-6 / P.40 12-6
r 解：作t = 0时刻的旋转矢量 A0
求：质点运动到 x = -12 cm处所需最短时间。
r 作x = -12cm处的旋转矢量 A r A
-12
r A0
o 12 24 x(cm)
t min
1 T 0.5 s 6
练 习
两个小球a和b分别沿o-x轴作简谐振动，在
1 1 2 2 k ( x x0 ) kx 0 x kx 0 2 2
m
mg=kx0
x
1 2 kx 2
1 1 2 1 2 2 E Ek Ep mv kx kA 2 2 2
比较
水平放置的弹簧振子
竖直悬挂的弹簧振子
回复力 弹簧的弹力
准弹性力：弹力与重力的合力
F kx
2
x
振动系统机械能守恒：
E Ek Ep 1 1 v 1 mv 2 J kx2 c 恒量 2 2 R 2
2
两边对时间求导：
Jva mva kxv 0 2 R
d2 x kx 2 a 2 x 2 dt mJ R
得：
k ; 2 mJ R 2 m J R2 T 2 k
弹簧的伸长 势能
总能
F kx
离系统平衡位置的位移
kx2 2 准弹性势能，
kx2 2
弹性势能
重力势能和弹性势能的总和
1 1 1 mv 2 kx2 kA2 2 2 2
统一描述：只要以平衡位置为坐标原点和零势点
1 2 准弹性势能: 1 Ep kx E kA2 2 （包括重力势能、弹性势能） 2
三.旋转矢量法
四.能量（以平衡位置为坐标原点和势能零点）
1 1 1 2 2 E Ek Ep mv kx kA2 2 2 2
用旋转矢量图画简谐运动的
x t
图
T 2π （旋转矢量旋转一周所需的时间）
简谐运动的描述和特征 1）物体受线性回复力作用
F kx 平衡位置 x 0
2
d x 2 2）简谐运动的动力学描述 x 2 dt
3）简谐运动的运动学描述
x A cos(t )
v A sin(t )
4）加速度与位移成正比而方向相反
弹簧振子
km 复摆
t=0时，两球均在平衡位置，且球a向x轴的正方向
运动，球b向x轴的负方向运动，比较t=4/3s时两球
的振动相位差。（Ta=2Tb=2s）
四. 孤立谐振动系统的能量 不计振动传播带来的能量损失 —— 辐射阻尼 不计摩擦产生的热损耗 —— 摩擦阻尼 水平放置的弹簧振子 以平衡位置为坐标原点
1 2 1 2 Εp kx kA cos 2 ( t 0 ) 2 2 1 2 1 1 2 2 2 2 2 Ek mv mA sin ( t 0 ) kA sin ( t 0 ) 2 2 2
d 2 g sin 0 2 dt l
d 2 2 sin 0 2 dt
令 2
g
l
得：
单摆运动的微分方程
sin
3
3!
5
5!
非线性微分方程 无解析解
当 很小时 sin
d 2 2 0 2 dt
角谐振动 周期：
同学们好！
k
上 讲 内 容
一. 简谐振动的运动方程(平衡位置为坐标原点）
F kx
d2 x 2 x0 2 dt
x Acos(t 0 )
角频率 k m 二. 特征量
振幅
初相
v02 A x 2
2 0
v0 0 arctg ( ) x0
三. 旋转矢量法
思考：
写出质点 m 以角速率 沿 半径 A 的圆周匀速运动的 参数方程
y A 0
m
o
x
x A cos(t 0 )
y A sin(t 0 )
x、y 方向分运动均为简谐振动
x A cos(t )
量 A的
旋转矢
端点在 x 轴上的投 影点的运 动为简谐 运动.
已知： k , R , J , m
求： T 解：以平衡位置为坐标原点
和零势点，向下为正，任意
m
时刻 t 系统的机械能为：
1 1 1 1 v 2 2 2 Ek mv J mv J 2 2 2 2 R
1 1 2 Ep kx Ep滑 轮 kx2 c 2 2
a x 单摆 g l
2
mgl
J
小
F kx
结：
x A cos( t 0 )
一.简谐振动的运动方程(平衡位置为坐标原点）
d2 x 2 x0 2 dt
角频率
k m
2 v 2 A x0 02
二.
特征量
振幅
初相
v0 0 arct g ( ) x0
1 2 1 1 2 1 2 1 2 2 E EP EK ( kx m v ) kx0 kA kx0 恒量 2 2 2 2 2
恰当选择零势点，可去掉第二项。
如何选？以平衡位置为坐标原点和势能零点
k
x0 EP=0
k
O
k x
1 1 2 2 Ep k ( x x0 ) mgx kx 0 2 2
质量为 0.10kg的物体，以振幅 1.0 102 m 作简谐振动，其最大加速度为 4.0m s 2,求： （1）振动的周期； （2）通过平衡位置的动能； （3）总能量； （4）物体在何处其动能和势能相等？
练 习
解 （ 1）
amax A
T
2
amax 1 20s A
0.314 s
运动 cos( t ) m 方程：
由初始条件决定
l T 2 g
2
二、复摆：绕不通过质心的光滑水平轴摆动的刚体 由刚体定轴转动定律
M J
d 2 m ghsin J 2 dt d 2 m gh sin 0 2
dt J
o
C
h
J
令
mgh J
o
T 4
T 2
3T 4
T
t
1 Ek m 2 A2 sin 2 t 2
E - x 曲线
Ek , Ep变化频率为 x 的2倍 Ek , Ep彼此变化步调相反
竖直悬挂的弹簧振子 以弹簧原长处为重力势能、弹性势能零点 以平衡位置为坐标原点 k
EP=0 x 0
mg-kx0=0 x
k m
O
k x
1 2 Ep k ( x x0 ) mg ( x x0) ) 2 1 k ( x x0 ) 2 kx0 ( x x0 ) 2 1 2 1 2 kx kx0 2 2
2π
（2） Ek ,max （ 3）
1 1 2 mvmax m 2 A2 2.0 103 J 2 2
3
E Ek ,max 2.0 10 J
Ep 时， Ep 1.0 10 J
3
（4） Ek
1 2 1 由 Ep kx m 2 x 2 2 2 2 Ep 4 2 2 0.5 10 m x 2 m
x 0.707 cm
摆动（单摆、复摆介绍）
研究摆动的理想模型 —— 单摆和复摆 一、单摆：无伸长的轻线下悬挂质点作无阻尼摆动 建立如图自然坐标 受力分析如图 切向运动方程 n N
l
m
mg
F ma ml d2 mgsin ml 2 dt
d 2 g sin 0 2 dt l
{ v A sin( t )
0
x A cos( t 0 )
1 E Ep Ek kA 2 恒量 2
孤立谐振动系统机械能守恒
x, v
E-t 曲线
o
能量
x t
T
0 t x Acost v t v A sin t
1 2 E kA 2 1 2 Ep kA cos 2 t 2