简谐振动的旋转矢量图示法 PPT
合集下载
简谐运动及其旋转矢量表示法简谐运动的能量
解：(1 )A6 1 2 0 m , /3 ，
1 Hz , 2 6
T 2 1 6s, /4
（2）势能 总能
Epkx2/2, EkA 2/2
由题意， k2 x/2k2 A /4, xA/ 24.2 41 02m
（3）从平衡位置运动到 xA/ 2
的最短时间为 T / 8。
即为 6/80.75s
) )
O
A/2
x
(B)
A/2
O
x
A
x 10-2cos( t /3 - /4)，(SI)
五、两个同频率简谐运动的相位关系
x 10-2cos( t /3 - /4)，(SI)
x2 比 x1 超前
简谐运动及其旋转矢量表示法简谐运动的能量
五、两个同频率简谐运动的相位关系
(或 x1 比 x2 落后 ) 的最短时间为 T / 8。
x Acos( t )
半径
圆周运动小球 角速度
振幅
角频率 简谐振动物体
角坐标
相位
例：一物体做谐振动，振幅为 A，在起始
时刻质点的位移为 A/2 且向 x 轴的正方向
运动，代表此谐振动的旋转矢量图为：
质点运动的周期和振幅。
五、两个同频率简谐运动的相位关系
= 2 v = 2 /T
质点运动的周期和振幅。
A
，振幅A=1 cm． t=0时,速度具有负最O大值，求振动表达式．
(C ) x A/2
(D)
A/2
O
x
A
[D]
四、简谐运动的能量
1. 动能
Ek
1 mv 2
2
1 kA2 sin 2( t )
2
掌握
Ek max
1 Hz , 2 6
T 2 1 6s, /4
（2）势能 总能
Epkx2/2, EkA 2/2
由题意， k2 x/2k2 A /4, xA/ 24.2 41 02m
（3）从平衡位置运动到 xA/ 2
的最短时间为 T / 8。
即为 6/80.75s
) )
O
A/2
x
(B)
A/2
O
x
A
x 10-2cos( t /3 - /4)，(SI)
五、两个同频率简谐运动的相位关系
x 10-2cos( t /3 - /4)，(SI)
x2 比 x1 超前
简谐运动及其旋转矢量表示法简谐运动的能量
五、两个同频率简谐运动的相位关系
(或 x1 比 x2 落后 ) 的最短时间为 T / 8。
x Acos( t )
半径
圆周运动小球 角速度
振幅
角频率 简谐振动物体
角坐标
相位
例：一物体做谐振动，振幅为 A，在起始
时刻质点的位移为 A/2 且向 x 轴的正方向
运动，代表此谐振动的旋转矢量图为：
质点运动的周期和振幅。
五、两个同频率简谐运动的相位关系
= 2 v = 2 /T
质点运动的周期和振幅。
A
，振幅A=1 cm． t=0时,速度具有负最O大值，求振动表达式．
(C ) x A/2
(D)
A/2
O
x
A
[D]
四、简谐运动的能量
1. 动能
Ek
1 mv 2
2
1 kA2 sin 2( t )
2
掌握
Ek max
《大学物理》第14章 振动
速度超前位移 /2 vmax = A = (k/m)1/2A
a = - 2A cos (t + ) = 2A cos (t + + )
加速度超前位移 amax = 2A = (k/m)A
上页 下页 返回 退出
相位和初相
相位 (t 0 ) ：决定简谐运动状态的物理量。
其中v为物体 m 距平衡位置 x 处的速度。 忽略摩擦，总机械能 E 保持不变。随着 物体来回振动，势能和动能交替变化。
上页 下页 返回 退出
§ 14-3简谐振动的能量
在x = A 和 x = - A处，v = 0,
E = m(0)2/2 + kA2/2 = kA2/2 (14-10a) 简谐振子的总机械能正比于振幅的平方。
dx/dt = - A sin (t + ) d2x/dt2 = - 2 A cos (t + ) = - 2 x
0 = d2x/dt2 + (k/m) x = - 2 x + (k/m) x
(k/m - 2) x = 0 只有当 (k/m - 2) = 0 时，x不为零。因此
a = - (410 m/s2) cos(1650t). (c) 在t = 1.0010-3 s 时刻
x = A cos t
= (1.510-4 m) cos[(1650 rad/s)(1.0010-3 s)]
= (1.510-4 m) cos(1.650 rad/s) = -1.210-5 m.
上页 下页 返回 退出
§ 14-1 弹簧的振动
例题 14-1 汽车弹簧。当一个质量为200公斤的 一家四口步入一辆总质量为1200公斤的汽车 里，汽车的弹簧压缩了3厘米。(a) 假设汽车 里的弹簧可视为单个弹簧，弹簧劲度系数为 多少？ (b) 如果承载了300公斤而不是200公 斤，则汽车将下降多少厘米？
a = - 2A cos (t + ) = 2A cos (t + + )
加速度超前位移 amax = 2A = (k/m)A
上页 下页 返回 退出
相位和初相
相位 (t 0 ) ：决定简谐运动状态的物理量。
其中v为物体 m 距平衡位置 x 处的速度。 忽略摩擦，总机械能 E 保持不变。随着 物体来回振动，势能和动能交替变化。
上页 下页 返回 退出
§ 14-3简谐振动的能量
在x = A 和 x = - A处，v = 0,
E = m(0)2/2 + kA2/2 = kA2/2 (14-10a) 简谐振子的总机械能正比于振幅的平方。
dx/dt = - A sin (t + ) d2x/dt2 = - 2 A cos (t + ) = - 2 x
0 = d2x/dt2 + (k/m) x = - 2 x + (k/m) x
(k/m - 2) x = 0 只有当 (k/m - 2) = 0 时，x不为零。因此
a = - (410 m/s2) cos(1650t). (c) 在t = 1.0010-3 s 时刻
x = A cos t
= (1.510-4 m) cos[(1650 rad/s)(1.0010-3 s)]
= (1.510-4 m) cos(1.650 rad/s) = -1.210-5 m.
上页 下页 返回 退出
§ 14-1 弹簧的振动
例题 14-1 汽车弹簧。当一个质量为200公斤的 一家四口步入一辆总质量为1200公斤的汽车 里，汽车的弹簧压缩了3厘米。(a) 假设汽车 里的弹簧可视为单个弹簧，弹簧劲度系数为 多少？ (b) 如果承载了300公斤而不是200公 斤，则汽车将下降多少厘米？
第四章 振动学基础§4.2简谐振动的图示法.讲解
cos(t) x 1
A2
t π 或 5π
33
由旋转矢量图可知 t π
3
v A sint
A
o A Ax
2
0.26m s1
（负号表示速度沿 Ox轴负方向）
2019/6/11
重庆邮电大学理学院
17
（3）如果物体在 x 0.05m 处时速度不等于零，而是具有 向右的初速度 v0 0.30m s，1 求其运动方程.
A
aቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
x
由图看出：速度超前位移 π 加速度超前速度 2
位移与加速度 Δ π 称两振动反相
若 0 称两振动同相
8、 在谐振动的合成中，用旋转矢量非常方便。
总之20，19/6旋/11 转矢量法在大学物重庆理邮电，大电学理路学院分析，等学科中有广泛15应用
例4.2.4 如图所示，一轻弹簧的右端连着一物体，弹簧的劲度
22
重庆邮电大学理学院
418
例4.2.5、一作简谐振动的物体，其振动曲
x/m
线如图所示。试写出该振动的表达式。
解：振动方程为 x Acos(t )
0.01
由振动曲线可知，振幅为 A 0.02 m
t = 0 时，
x0
A 2
0.01m
O
1
t/s
且其初始速度 v0 0
0.02
y
作旋转矢量图，如右图。
)
2
0 a v
(t )
2
v Asin(t )
x an r 2 A2
a
an
i
(t ) an i cos
大学物理B(Ⅱ)旋转矢量
2
t 0.667s
x
A
00 7.5 A 2
A v
t0
例 一简谐运动的运动
曲线如图所示，求振动周
期.
t(s) t 0
A A2 0 A x
t 7.5
2π T T
t 7.5s
T 18s
例 已知谐振动的 A 、T ，求 1）如图简谐运动方
A＇
44
因为 v0 0 ，由旋转矢量图可知 ＇ π 4
x Acos(t ) 0.0707cos(6.0t π)
4
例2 一质量为 0.01kg 的物体作简谐运动，其振
幅为 0.08m，周期为 4s ，起始时刻物体在 x 0.04m
处，向 Ox轴负方向运动（如图）.试求
（1）t 1.0s 时，物体所处的位置和所受的力；
A/2 t ta
A 0 A x
t0
π ( π) 2π
3 33
tb
T
2π
T 3
的最短时间.
v
x/m
0.08 0.04 o 0.04 0.08
法一 设由起始位置运动到 x 0.04m 处所
需要的最短时间为 t
0.04 0.08cos(π t π) 23
t 0.667s
解法二
t 时刻
t
π3 π3
0.08 0.04 o 0.04
起始时刻
x/m
0.08
t π
3
π s1
x 0.08cos(π t π ) 23
m 0.01kg
v
x/m
0.08 0.04 o 0.04 0.08
x 0.08cos(π t π ) 23
t 1.0s 代入上式得 x 0.069m
t 0.667s
x
A
00 7.5 A 2
A v
t0
例 一简谐运动的运动
曲线如图所示，求振动周
期.
t(s) t 0
A A2 0 A x
t 7.5
2π T T
t 7.5s
T 18s
例 已知谐振动的 A 、T ，求 1）如图简谐运动方
A＇
44
因为 v0 0 ，由旋转矢量图可知 ＇ π 4
x Acos(t ) 0.0707cos(6.0t π)
4
例2 一质量为 0.01kg 的物体作简谐运动，其振
幅为 0.08m，周期为 4s ，起始时刻物体在 x 0.04m
处，向 Ox轴负方向运动（如图）.试求
（1）t 1.0s 时，物体所处的位置和所受的力；
A/2 t ta
A 0 A x
t0
π ( π) 2π
3 33
tb
T
2π
T 3
的最短时间.
v
x/m
0.08 0.04 o 0.04 0.08
法一 设由起始位置运动到 x 0.04m 处所
需要的最短时间为 t
0.04 0.08cos(π t π) 23
t 0.667s
解法二
t 时刻
t
π3 π3
0.08 0.04 o 0.04
起始时刻
x/m
0.08
t π
3
π s1
x 0.08cos(π t π ) 23
m 0.01kg
v
x/m
0.08 0.04 o 0.04 0.08
x 0.08cos(π t π ) 23
t 1.0s 代入上式得 x 0.069m
02简谐振动的运动学精品PPT课件
19
t t
o
A
t
x
x Acos(t )
点旋以转o矢为量原A
的端点在 x 轴
上的投影点的
运动为简谐运
动.
第4章 机械振动
4–2 简谐振动的运动学
20
y
vm t π
2
t an
A
0
a
v
x
x Acos(t )
vm A v A sin(t )
an A 2
a A 2 cos(t )
雌性蚊子 雄性蚊子 苍蝇 黄蜂
355~415 455~600 330 220
第4章 机械振动
4–2 简谐振动的运动学
例 如图所示系统（细线的质 量和伸长可忽略不计），细线 静止地处于铅直位置，重物位 于O 点时为平衡位置.
若把重物从平衡位置O 略 微移开后放手, 重物就在平衡 位置附近往复的运动．这一振 动系统叫做单摆. 求单摆小角 度振动时的周期．
12
x 简谐运动中， x和 v
间不存在一一对应的关系. A
x A cos(t 0 ) o
v A sin(t 0 ) A
v v
T 2
xt 图
v T t
3、位相和初位相 t 0
1） t 0 (x, v) 存在一一对应的关系;
2）相位在 0 ~ 2π 内变化，质点无相同的运动状态；
相差 2nπ (n为整数 )质点运动状态全同.（周期性）
4–2 简谐振动的运动学
1
一 简谐振动的运动学方程
d2x 2x 0
dt 2
x Acos(t 0 )
cos(t
0
)
sin(t
0
2
)
10-1 简谐振动的矢量图示法
简谐振动的矢量图示法
简谐振动的矢量图示法
A 的长度
振幅A
A旋转的角速度
振动圆频率 O
ω
M
A
t 0
P
X
x
A 旋转的方向
逆时针方向
A 与参考方向x 的夹角 振动相位
M 点在 x 轴上投影(P点)的运动规律：
x Acos(t 0 )
矢量OM 的端点 M 所画的圆叫参考圆。 矢量 OM 0 是 t = 0 时刻的位置，它与 x 轴的夹角φ叫初相位。 简谐振动的参考圆和矢量表示方法十分形
x
A 2
A 1.0
0
t
补例 1一谐振动的振动曲线如图所示。
求：ω 、φ 以及振动方程。
x
A 2
A 1.0
0
t
补例 1一谐振动的振动曲线如图所示。
求：ω 、φ 以及振动方程。
x
A 2
A 1.0
0
t
t
=
0时
{
x 0
=
A 2
补例 1一谐振动的振动曲线如图所示
求：ω 、φ 以及振动方程。
x
A 2
A 1.0
解：已知 A = 0.12 m，T = 2s，
ω = 2π/T = π ( rad/s ).
( t =1 s ) B ’
ω
(1) 初态 t = 0 时，
x = 0.06， v ＞0， 初相 φ = －π/3 ,
-0.06
●
O 0.06
●
φ
Δφ
x (m
运动表达式为：
( t = 5/3 s) B
A(t=0)
速度v 0
P
A
x
M
简谐振动的矢量图示法
A 的长度
振幅A
A旋转的角速度
振动圆频率 O
ω
M
A
t 0
P
X
x
A 旋转的方向
逆时针方向
A 与参考方向x 的夹角 振动相位
M 点在 x 轴上投影(P点)的运动规律：
x Acos(t 0 )
矢量OM 的端点 M 所画的圆叫参考圆。 矢量 OM 0 是 t = 0 时刻的位置，它与 x 轴的夹角φ叫初相位。 简谐振动的参考圆和矢量表示方法十分形
x
A 2
A 1.0
0
t
补例 1一谐振动的振动曲线如图所示。
求：ω 、φ 以及振动方程。
x
A 2
A 1.0
0
t
补例 1一谐振动的振动曲线如图所示。
求：ω 、φ 以及振动方程。
x
A 2
A 1.0
0
t
t
=
0时
{
x 0
=
A 2
补例 1一谐振动的振动曲线如图所示
求：ω 、φ 以及振动方程。
x
A 2
A 1.0
解：已知 A = 0.12 m，T = 2s，
ω = 2π/T = π ( rad/s ).
( t =1 s ) B ’
ω
(1) 初态 t = 0 时，
x = 0.06， v ＞0， 初相 φ = －π/3 ,
-0.06
●
O 0.06
●
φ
Δφ
x (m
运动表达式为：
( t = 5/3 s) B
A(t=0)
速度v 0
P
A
x
M
振动力学教程PPT课件
动的叠加-----------谐波分析
•
2、非周期：利用傅立叶积分作谐波分析
• δ函数又称为单位脉冲函数-----它的性质、应用
示成一系列简谐振
第22页/共35页
第一节：简谐振动及其表示方法
•一、简谐振动的表示方法
• （一）正弦函数表示
2、A、ω、Φ ------简谐振动三要素
第23页/共35页
第24页/共35页
船舶的模态分析和强度分析，飞行器的结构振动和声疲劳分析等。
3） 在土木建筑、地质工程中：建筑、桥梁等结构物的模态分析，地震
引起结构物的动态响应，爆破技术的研究等。
4） 在医学、生物工程中：脑电波、心电波、脉搏波动等的信号处理等。
第12页/共35页
2途径：
1）从具体的工程对象提炼出力学模型 2）建立数学模型------应用力学知识建立所研究问题的数学模型 3）对数学模型进行分析和计算，求出请确、近似或数值解。 4） 比较------将计算结果与工程问题的实际现象或实验研究的测试结果进行 比较，考察理论结果是否解决该工程问题，如不能解决而数学模型及求解均无错 误，则需要修改力学模型重复上述过程。
第9页/共35页
5 随机振动
20世纪50年代，航空和航天工程的发展对振动力学提出了更高 的要求，确定性的力学模型无法处理包含随机因素的工程问题----如大气湍流引起的飞机颤振、喷气噪音导致飞行器表面结构 的声疲劳、火箭运载工具有效负荷的可靠性等。工程的需要迫使 人们用概率统计的方法研究承受非确定性载荷的机械系统和结构 的响应、稳定性和可靠性等， 从而 形成了随机振动这一振动力 学的重要组成部分。 在工程问题中振动信号的采集和处理是随机振动理论应用的前提， 由于计算机的迅速发展和快速第1傅0页/立共35叶页 变换算法的出现，随机振动
1.2旋转矢量与振动的相
1A : A 0.12 m 2 1 2 : S T 3 :
当t＝０时，x０＝０.06m， 带入表达式
x x0 0.12cos 0.06
1 cos 2
,
3
17
第1章 振 动
大学 物理学
1.2
旋转矢量与振动的相
另一个初始条件：当t＝０时，质点向x轴正向运动
v0 0 x A coswt v A sinwt
即： 当t＝０时，
v0 A sin 0
3
sin 0 3
x 0.12 cos t m 或x 0.12 cos t SI 3 18 3 振动 第1章
A2
O
x1
x
x A1
反相
T
A2 o - A2 -A1
t
x2
此种情况称为两振动反相（振动步调完全相反）
第1章 振 动
12
大学 物理学
1.2
旋转矢量与振动的相
Q2 t 0
3若 2 1 0
X2先于x1到达平衡位置、 负的最大等 称为： X2超前于x1， x1 落后于 X2
x
x
o
a
若此时 矢量末端在m点：则当t ，x , v 0
第1章 振 动
8
大学 物理学
1.2
旋转矢量与振动的相 m
x
A A2
a
b
v0
t
tb
a
o
A
v
A
p1 x o Ap2t A
2 n
v0
可以证明：当矢量处于x轴上面，则v<0；反之则v>0 由x~t图象可知：当处于b点时，v<0 所以此时矢量末端在m点
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
解法一(解析法）:
(1)取平衡位置为坐标原点,谐振动方程写为：
xAcos(t0)
由条件 T=2s可得
22 s1
T2
5
由初始条件 t = 0, x=0.06m可得
0 .1 2 c o s0 0 .0 6 即 c o s0 0 .5
0
3
或
3
由于t=0时质点向x轴正向运动可知
v0Asin00
因而
正方向运动,求运动方程。
解：(1) k 0.726.0s-1
m 0.02
由旋转矢量可知初相位 0 0
谐振动方程为
0.05
O
x
x0.05cos(6.0t) m 12
(2) v dx 0.056.0sin(6.0t) dt
=0.3sin(6.0t) m/s
第一次经过A/2时，相位
6.0t 3
t2 1.83s
因此从x = -0.06m处第一次回到平衡位置的时间：
tt2t10.83s
8
大家有疑问的，可以询问和交流
可以互相讨论下，但要小声点
9
解法二(旋转矢量法）:
(1)
0
O
x = 0.06m x t=0时旋转矢量
0
5
3
或
3
x0.12cos(t) m
3
10
(2)与解析法同
(3) x = -0.06m
0 3
简谐振动表达式
x0.12cos(t) m
3
6
(2)由简谐振动的运动方程可得:
vdx0.12sin(t) m /s
dt
3
adv 0.12 2cos(t)m /s2
dt
3
在t =T/4=0.5s时，可得
x0.12cos(0.5)0.104m
v 0 .1 2 sin ( 0 .5 3) 0 .1 8m /s
1
O
x3
例1、两个同频率的谐振动，它们都沿x轴振动，且 振幅相等，当t =0时质点1在x=A/2处向左运动,另 一质点2在x=-A/2处向右运动，试用旋转矢量法 求两质点的相位差。
解： 1
3
2
4
3
2
1
A 2
AA O2
x
2143 3
4
例2、一物体沿x轴作简谐振动，振幅A=0.12m,周期 T=2s。当t=0时,物体的位移x=0.06m,且向x轴正向运 动。求: (1)简谐振动表达式; (2) t=T/4时物体的位置、速度和加速度； (3)物体从x =-0.06m向x轴负方向运动，第一次回到 平衡位置所需时间。
a 0 .1 2 2c o s( 0 .5 3 ) 1 .0 3m /s2
3
7
(3Q )c当vo0 sx( =t1- 0.0A 36sm)in 时(，t121该时3刻)设0为tt11,得3t1 233或 2433
t1 1 s
3 设物体在t2时刻第一次回到平衡位置，相位是 2
t2
3
3
2
14
§3.2 简谐振动的旋转矢量图示法
旋转矢量:一长r 度等于
Mω
振幅A 的矢量 在A 纸平面
t
内绕O点沿逆时针方向旋
r A
转，其角速度大小与谐振
动的角频率相等，这个矢
t 0
t=0
量称为旋转矢量
M 点在 x 轴上投影点(P点)的运动规律：
xAcos(t0)
1
说明：
1、旋转矢量的方向: 逆时针方向
x = -0.06m时 旋转矢量
O
x
第一次回到平衡 位置时旋转矢量
5
32 6
5 t 6 50.83s
6 11
例3、一弹簧振子 k 0 .7 2 N /m ,m 2 0 g (1)将物体从平衡位置向右拉到 x=0.05m 处释放,求谐振
动方程. (2)求物体第一次经过A/2 处时速度大小。 (3)如果物体在x=0.05m处速度大小为 v0.30m/s ,且向
r 2、旋转矢量 A
和谐振动
xAcos(t0)
的对应关系
r A
的长度
振幅A
Ar旋转的角速度
角频率ω
r
A 与参考方向x 的夹角
振动相位ωt+φ0
2
3、两个谐振动的相位差
x1A1cos(t1) x2A2cos(t2)
相位之差为 (t 2 ) (t 1 ) 2 1
r
采用旋转矢量表示为：
A2
2
r A1
O
A 2
x
v 0.3sin () 0.33 0.26m /s
3
2
13
(3) 由初始条件，t=0,v0=0.30m/s, x0=0.05m,可得
A x02 v022 0.0707m
0arctan （ xv0 0 ） =arctan （ 1）
0
4
或 3
4
0.05
由旋转矢量
0
4
O
x
运动方程
x0.0707cos(6.0t )m 4