大学物理B(Ⅱ)旋转矢量

2
t 0.667s
x
A
00 7.5 A 2
A v
t0
例 一简谐运动的运动
曲线如图所示，求振动周
期.
t(s) t 0

A A2 0 A x
t 7.5
2π T T
t 7.5s
T 18s
例 已知谐振动的 A 、T ，求 1）如图简谐运动方
A＇
44
因为 v0 0 ，由旋转矢量图可知 ＇ π 4
x Acos(t ) 0.0707cos(6.0t π)
4
例2 一质量为 0.01kg 的物体作简谐运动，其振
幅为 0.08m，周期为 4s ，起始时刻物体在 x 0.04m
处，向 Ox轴负方向运动（如图）.试求
（1）t 1.0s 时，物体所处的位置和所受的力；
A/2 t ta
A 0 A x
t0
π ( π) 2π
3 33
tb
T
2π
T 3
的最短时间.
v
x/m
0.08 0.04 o 0.04 0.08
法一 设由起始位置运动到 x 0.04m 处所
需要的最短时间为 t
0.04 0.08cos(π t π) 23
t 0.667s
解法二
t 时刻
t
π3 π3
0.08 0.04 o 0.04
起始时刻
x/m
0.08
t π
3
π s1
x 0.08cos(π t π ) 23
m 0.01kg
v
x/m
0.08 0.04 o 0.04 0.08
x 0.08cos(π t π ) 23
t 1.0s 代入上式得 x 0.069m
F kx m 2x 1.70103 N
（2）由起始位置运动到 x 0.04m 处所需要
2
讨论 ➢ 相位差：表示两个相位之差 .
1）对同一简谐运动，相位差可以给出两运动状
态间变化所需的时间. (t2 ) (t1 )
x Acos(t1 ) x Acos(t2 )
t
t2
t1
xa Ab
Ab
A2
t
x
o
A
v
π
A
t π 3 T 1 T
0
A 2
Aa
A
3
2π 6
程， 2）到达 a、b 点运动状态的时间 .
x
解法一
vA *a b
x Acos(t )
A2 *
t 从图上可知
0
A
π 或 ( π , 5π)
3 33
v0 0,sin 0
π 或 5π
33
t 0, x A , v 0
A
2
A cos
2
cos
1
2
x Acos(t π)
3
v
A
思考 一质点作谐振动，周期为T，当它由平衡位
置向 x 轴正方向运动时，从二分之一最大位移处到最
大位移处这段路程所需要的时间为
（1）T/4 （2）T/12
（3）T/6 （4）T/8
π 3 t
2π 2π T
A
t T 6
A 2 Ab x
0 A
Aa
2）对于两个同频率的简谐运动，相位差表示它们 间步调上的差异.（解决振动合成问题）
2
x0
0.05m
tan v0 0 x0
0 或π
oAx
由旋转矢量图可知 0
x Acos(t ) 0.05cos6.0t m
（2）求物体从初位置运动到第一次经过 A 处时的
速度；
2
解 x Acos(t ) Acos(t)
cos(t) x 1
A2
t π 或 5π
33
由旋转矢量图可知 t π
v
x/m
0.08 0.04 o 0.04 0.08
解 A 0.08m
2π π s1
T2
A 0.08m
2π π s1
T2
t 0, x 0.04m 代入 x Acos(t )
0.04 0.08cos
π
3
v0 0
π
3
A
π3
x/m
0.08 0.04 o 0.04 0.08
简谐振动的旋转矢量表示
设质点沿x轴做简谐振动，平衡位置 为坐标 原点O.以O为起点作一旋转矢量 A
AA
在t=0时， A与x轴正向的夹角为ψ
2π
T
当t 0时
A
o
x0 x
x0 Acos
以 o为
原点旋转矢 量A的端点
x 在 轴上的
投影点的运
动为简谐运
动.
2π
T
t t 时
A
t
o
x x0 x
x a *
b
A2 *
x Acos(t π)
3
t A Acos(ta π 3)
0
A
ta
π 3
0,2π,4π
A 2
A cos(tb
π
3)
(ta
π) 3
2π
tb
π 3
π , 5π 33
,
7π 3
2π T
ta
π 3
0
ta
T 6
(tb
π 3
)
2π
2π T
tb
π 3
π 3
tb T 3
v
A
x a *
b
A
*
*
**
O
t O * T T * 3T T 5T
4* 2* 4
4
-A
-A
*
T 2π （旋转矢量旋转一周所需的时间）
用旋转矢量图画简谐运动的 x t 图
T 2π （旋转矢量旋转一周所需的时间）
例 用旋转矢量法求初相位
x Acos(t )
t0 x0 v0
A 0
Ax
Ax
0
A
π
2
v
m
0x
T Tt
下后再释放，求简谐运动方程； （2）求物体从初位置运动到第一次经过
A 处时的
速度；
2
（3）如果物体在 x 0.05m 处时速度不等于零，
而是具有向右的初速度 v0 0.30m s，1 求其运动方程.
x/m
o 0.05
解 （1） k 0.72N m1 6.0s1
m
0.02kg
A
x02
v02
x Acos(t )
以 o为
原点旋转矢 量A的端点
x 在 轴上的
投影点的运
动为简谐运
动.
y vm t π
t an
2 A
0 a v
x
vm A an A 2
x Acos(t )
v A cos(t π )
2
a A2 cos(t )
用旋转矢量图画简谐运动的 x t 图
x A
x x Acos(t ) π 4
x1 A1 cos(t 1) x2 A2 cos(t 2 )
(t 2 ) (t 1) 2 1
0同步 x
π 反相
x
超前
为其它
落后
x
o
to
o
t
t
例1 如图所示，一轻弹簧的右端连着一物体，弹
簧的劲度系数 k 0.72N m1，物体的质量 m 20g.
（1）把物体从平衡位置向右拉到 x 0.05m处停
A2 *
0
解法二
用旋转矢量法求初相位
t x Acos(t )
A
t 0, x A , v 0
2
矢量位于 x 轴下方时 v 0
A
0 A/2 A x
π
x
3
A cos(t
π)
3
v
A
x a *
b
A2 *
t
0
A
x Acos(t π)
3
0 ( π) π
33
ta
T
2π
T 6
t tb
3
v A sint
A
o A Ax
2
0.26m s1 （负号表示速度沿 Ox轴负方向）
（3）如果物体在 x 0.05m 处时速度不等于零，
而是具有向右的初速度 v0 0.30m，求s其1 运动方程.
解 A＇
x02
v02
2
0.0707m
tan＇ v0 1 x0
o π 4 x
＇ π 或 3π