湖南省重点中学2020届高三仿真考试(五)文综试题(PDF版)
2020届湖南省名校联盟高三第五次调研考试数学(文)试题
2020届湖南省名校联盟高三第五次调研考试文科数学试题★祝考试顺利★ 注意事项：1、考试范围：高考范围。
2、试题卷启封下发后，如果试题卷有缺页、漏印、重印、损坏或者个别字句印刷模糊不清等情况，应当立马报告监考老师，否则一切后果自负。
3、答题卡启封下发后，如果发现答题卡上出现字迹模糊、行列歪斜或缺印等现象，应当马上报告监考老师，否则一切后果自负。
4、答题前，请先将自己的姓名、准考证号用0.5毫米黑色签字笔填写在试题卷和答题卡上的相应位置，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。
用2B 铅笔将答题卡上试卷类型A 后的方框涂黑。
5、选择题的作答：每个小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。
写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非选择题答题区域的答案一律无效。
6、主观题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。
写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域的答案一律无效。
如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液。
不按以上要求作答无效。
7、保持答题卡卡面清洁，不折叠，不破损，不得使用涂改液、胶带纸、修正带等。
8、考试结束后，请将本试题卷、答题卡、草稿纸一并依序排列上交。
第I 卷(选择题，共60分）一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每个小题所给出的四个选项中，只 有一项是符合题目要求的，把正确选项的代号填在答题卡的指定位置.） 1.已知集合{}{}21,0,1,21A B x x ，=-=≤，则A B ⋂=A. {}1,0,1-B. {}0,1C. {}1,1-D. {}0,1,22.＝A. ﹣1B. ﹣iC. 1D. i3.甲、乙、丙三个学生中有一人申请了去新疆支教，当他们被问到谁申请了去新疆支教时，乙说：甲没有申请；丙说：乙申请了；甲说：乙说对了.如果这三人中有两人说的是真话，一人说了假话，那么申请去新疆支教的学生是 A. 甲B. 乙C. 丙D. 不确定 4.函数的最小正周期为A. B. C. D. 25.已知实数，满足约束条件，则的最小值为A.B.C.D.6.设向量(0,2),==r ra b ，则,a b 的夹角等于A.3πB.6π C.32π D.65π7.设 ， ，则“”是“ ”的A.充分不必要条件B.充要条件C.必要不充分条件D.既不充分也不必要条件8.若，则)A.B.C.D.9.设双曲线的离心率为，且一个焦点与抛物线的焦点相同，则此双曲线的方程是A. B.C.D. 10.已知为等差数列的前项和，若，，则数列的公差A. 4B. 3C. 2D. 111.在中，，，则的最大值为A.B.C.D.12.在三棱锥中，平面ABC ，，且三棱锥的体积为，若三棱锥的四个顶点都在同一球面上，则该球的表面积为A.B.C.D.第Ⅱ卷（非选择题共90分）二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，满分20分）13.某校高三科创班共48人，班主任为了解学生高考前的心理状况，将学生按1至48的学号用系统抽样方法抽取8人进行调查，若抽到的最大学号为48，则抽到的最小学号为______．14.已知函数在点处的切线方程为，则．15.角的终边与单位圆相交于，则______．16.如图所示，平面BCC1B1⊥平面ABC，∠ABC＝120︒，四边形BCC1B1为正方形，且AB＝BC＝2，则异面直线BC1与AC所成角的余弦值为_____．三、解答题（共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤，第17 ~ 21题为必考题，每个试题考生都必须作答，第22、23题为选考题，考生根据要求作答.）17.（本大题满分12分）某机构用“10分制”调查了各阶层人士对某次国际马拉松赛事的满意度，现从调查人群中随机抽取16名，如图茎叶图记录了他们的满意度分数以小数点前的一位数字为茎，小数点后的一位数字为叶：（1）指出这组数据的众数和中位数；（2）若满意度不低于分，则称该被调查者的满意度为“极满意”，求从这16人中随机选取3人，至少有2人满意度是“极满意”的概率；18（本大题满分12分）数列满足：，.（1）求的通项公式；（2）设，数列的前项和为，求满足的最小正整数.19.（本大题满分12分）在四棱锥中，平面平面，底面为矩形，，，，、分别为线段、上一点，且，.（1）证明：；（2）证明：平面，并求三棱锥的体积.20.（本大题满分12分）设函数,其中为自然对数的底数．（1）若,求的单调区间;（2）若,求证:无零点．21.（本大题满分12分）已知抛物线21:4C y x =的焦点为F ，椭圆2C 的中心在原点，F 为其右焦点，点M 为曲线1C 和2C 在第一象限的交点，且5||2MF =． （1）求椭圆2C 的标准方程；（2）设,A B 为抛物线1C 上的两个动点，且使得线段AB 的中点D 在直线y x =上，(3,2)P 为定点，求PAB ∆面积的最大值．（二）选考题：共10分，请考生在第22、23题中任选一题作答.如果多做，则按所做的第一题计分.22. [选修4-4：坐标系与参数方程]（10分）在平面直角坐标系中，以为极点，轴的非负半轴为极轴，建立极坐标系，曲线的极坐标方程为，直线的参数方程为为参数，直线与曲线分别交于两点.（1）若点的极坐标为，求的值；（2）求曲线的内接矩形周长的最大值.23.[选修4-5：不等式选讲]（10分）已知，．（1）求的最小值（2）证明：．文科数学试题答案1.A2.A3.C4.D5.A6.A7.A8.C9.D 10.B 11.A 12.D13.6 14.4 15.16.17.由茎叶图可知：这组数据的众数为86，中位数．被调查者的满意度为“极满意”共有4人其满意度分别为，，，．从这16人中随机选取3人，至少有2人是“极满意”的概率．18.（1）∵．n=1时，可得a1＝4，n≥2时，．与．两式相减可得＝（2n﹣1）+1=2n，∴．n=1时，也满足，∴.（2）=∴S n，又，可得n>9，可得最小正整数n为10．19.（1）∵AM＝AD＝3，MD＝3，∴AM2+AD2＝MD2，∴AM⊥AD，∵平面MAD⊥平面ABCD，平面MAD∩平面ABCD＝AD，∴AM⊥平面ABCD，又BD⊂平面ABCD，∴AM⊥BD．（2）在棱AD上取一点N，使得ND＝1，∵CE＝1，∴CE＝ND，又BC∥AD，∴EC ND，又AB∥CD，∴EN∥AB，∵＝，∴FN∥AM，∵FN∩EN＝N，∴平面ENF∥平面MAB，又EF⊂平面ENF，∴EF∥平面MAB，∵AM⊥平面ABCD，且FD＝MD，AM＝3，∴F到平面ABCD的距离d＝，∴V D﹣AEF＝V F﹣ADE＝＝1．20.（1）若,则,∴．令,则,当时,,即单调递增,又,∴当时,单调递减,当时,单调递增．∴的单调递减区间为,单调递增区间为．（2）当时,，显然无零点．当时,(i)当时,，显然无零点．(ii)当时，易证，∴,∴．令，则，令，得，当时，；当时，，故，从而，显然无零点.综上,无零点．21.（1）设椭圆2C 的方程为22221(0)x y a b a b-=>>，半焦距为c ．由已知，点(1,0)F ，则1c =．设点00(,)M x y 00(,0)x y >，据抛物线定义，得0||1MF x =+．由已知，0512x +=，则032x =．从而0y ==3(2M ．设点E 为椭圆的左焦点，则(1,0)E -，7||2ME ==． 据椭圆定义，得752||||622a ME MF =+=+=，则3a =． 从而2228b a c =-=，所以椭圆2C 的标准方式是22198x y+=．（2）设点(,)D m m ，11(,)A x y ，22(,)B x y ，则2211224,4y x y x ==．两式相减，得2212124()y y x x -=-，即1212124y y x x y y -=-+．因为D 为线段AB 的中点，则122y y m +=．所以直线AB 的斜率124422k y y m m===+．从而直线AB 的方程为2()y m x m m-=-，即2220x my m m -+-=． 联立222204x my m m y x⎧-+-=⎪⎨=⎪⎩，得222240y my m m -+-=，则21224y y m m =-．所以12||||AB y y =-==． 设点P 到直线AB 的距离为d，则2d =．所以21|||64|2PAB S AB d m m ∆==-+．由240m m ->，得04m <<．t =，则23|6|622PABt t t t S ∆--==(0t 2)<≤． 设36()2t t f t -=(02)t <≤，则263()2t f t -'=．由()0f t '>，得0t <<()f t 在上是增函数，在上是减函数，所以max ()f t f ==PAB ∆面积的最大值为 22.（1）由，将x=ρcos θ，y=ρsin θ代入得到+3=12,所以曲线C 的直角坐标方程为+3=12，的极坐标为，化为直角坐标为（-2，0）由直线l 的参数方程为：（t 为参数），知直线l 是过点P （-2， 0），且倾斜角为的直线， 把直线的参数方程代入曲线C 得，．所以|PM |•|PN |＝|t 1t 2|＝4．（2）由曲线C 的方程为 ，不妨设曲线C 上的动点，则以P 为顶点的内接矩形周长l，又由sin （θ）≤1，则l ≤16；因此该内接矩形周长的最大值为16． 23.（1）因为，，所以,即，当且仅当时等号成立，此时取得最小值3．（2）．- 11 -。
湖南省娄底市2020届高三模拟考试数学(文)试题 Word版含解析
娄底市2020届高考仿真模拟考试数学（文科）注意事项：1.本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上.2.回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.写在本试卷上无效.3.回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效.4.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.第Ⅰ卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.设复数z 满足()121z i i ⋅+=+（i 为虚数单位），则复数z 在复平面内对应的点位于（ ）. A. 第一象限 B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限【答案】A 【解析】12(12)(1)3311(1)(1)222i i i i z i i i i ++-+====+++-,复数z 在复平面内对应的点位于第一象限,选A. 2.设集合{}220A x x x =--≤，集合{}2B x x =>，则A B =（ ）A. (],2-∞B. [)1,-+∞C. []1,2-D. ()1,2-【答案】B 【解析】 【分析】由题意解得[]1,2A =-,再由集合并集的概念即可得解.【详解】由220x x --≤，()()120x x +-≤，[]1,2A =-，∴[)1,A B ⋃=-+∞. 故选:B.【点睛】本题考查了一元二次不等式的求解和集合并集的运算,属于基础题.3.函数()621xf x x =-+的零点0x 所在的区间为（ ） A. ()1,0- B. ()0,1C. ()1,2D. ()2,3【答案】C 【解析】 【分析】求函数值判断()()120f f ⋅<,即可求解.【详解】∵()f x 在区间()1,-+∞上是增函数，且()110f =-<，()220f =>， ∴()f x 的零点()01,2x ∈. 故选:C.【点睛】本题考查函数零点存在性定理,熟记定理应用的条件是关键,属于基础题. 4.已知向量(),2a t =，()4,2b t →=-，则“4t =”是“//a b →→”的（ ）A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件【答案】A 【解析】 【分析】根据向量平行的坐标表示,可得()280t t --=,简单计算,可得结果.【详解】∵//a b →→，()280t t --=，2280t t --=，2t =-或4t =.∴当4t =时，//a b →→命题成立，反之，当//a b →→时，4t =不一定成立.所以“4t =”是“//a b →→”的充分不必要条件. 故选:A.【点睛】本题考查向量平行的坐标表示以及计算,同时考查了充分、必要条件,识记概念与计算公式，属基础题5.设双曲线C ：2212x y -=的两条渐近线的夹角为θ，则tan θ=（ ）A.C. 1D.2【答案】A 【解析】 【分析】根据双曲线的方程，求得其渐近线的方程，利用斜率与倾斜角的关系，以及双曲线的对称性，可知tan22θ=,利用二倍角公式,即可求解. 【详解】∵双曲线C ：2212x y -=的两条渐近线为：y x =，∴tan 22θ=，22tan222tan 11tan 122θθθ===--. 故选:A.【点睛】本题主要考查了双曲线的标准方程及其简单的几何性质的应用,同时考查了直线的斜率与倾斜角的关系的应用,属于基础题.6.已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，527312a a a =++，36a =，则数列1n S ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前2020项和为（ ） A.20182019B.20192020C.20202021D.20212022【答案】C 【解析】 【分析】由已知可求出等差数列的首项和公差,进而求得()1n S n n =+,则()111111n S n n n n ==-++,根据裂项求和即可得出结果.【详解】设等差数列{}n a 的首项为1a ，公差为d，由52733126a a a a =++⎧⎨=⎩,1151226a d a d +=⎧⎨+=⎩，12a d ==，∴2n a n =，()1n S n n =+.∴()111111n S n n n n ==-++， ∴数列1n S ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前2020项和20201111112020112232020202120212021T ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+-++-=-= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭. 故选:C.【点睛】本题考查等差数列通项和求和公式中基本量的计算,考查裂项相消求数列的和,难度一般.7.为了改善市民的生活环境，某沿江城市决定对本市的1000家中小型化工企业进行污染情况摸排，并把污染情况综合折算成标准分100分，如图为该市被调查的化工企业的污染情况标准分的频率分布直方图，根据该图可估计本市标准分不低于50分的企业数为（ ）A. 400B. 500C. 600D. 800【答案】B 【解析】 【分析】根据频率分布直方图中频率=小矩形的高×组距,计算出50分以上的频率,再根据频数=频率⨯样本容量,求得结果.【详解】根据频率分布直方图经计算得50分以上的频率为()10.005200.0125200.01510=0.50-⨯+⨯+⨯,所以本市标准分不低于50分的企业数为500家. 故选:B.【点睛】本题考查了频率分布直方图的应用问题,也考查了频数=频率⨯样本容量的应用问题,属于基础题.8.已知函数()xxf x a a -=+（0a >且1a ≠），则关于x 的不等式()221log a f x a+>的解集是（ ） A. ()2,+∞B. ()10,2,2⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭C. 1,22⎛⎫ ⎪⎝⎭D. 以上答案都不对【答案】B 【解析】 【分析】先证明()f x 为偶函数,在[)0,+∞上是增函数,且()2111a f a a a-+=+=,已知不等式可转化为()()2log 1f x f >,只需满足2log 1x >,计算解得对数不等式即可得出结果.【详解】根据题意，函数f （x ）＝a x+a ﹣x，其定义域为R ，又由f （﹣x ）＝a x +a ﹣x＝f （x ）， 即函数f （x ）为偶函数， 又由f ′（x ）＝（a x ﹣a ﹣x ）lna ，若a ＞1，当x ∈[0，+∞）时，a x﹣a ﹣x≥0且lna ≥0，此时f ′（x ）≥0， 若0＜a ＜1，当x ∈[0，+∞）时，a x ﹣a ﹣x ≤0且lna ≤0，此时f ′（x ）≥0， 则当x ∈[0，+∞）时，都有f ′（x ）≥0，即函数f （x ）在[0，+∞）上为增函数， 可得()xxf x a a -=+（0a >，1a ≠）为偶函数且在[)0,+∞上是增函数,()2111a f a a a -+=+=,∴()221log a f x a+>，即()()2log 1f x f >，2log 1x >，2log 1x >或2log 1x <-，解得2x >或102x <<.即()10,2,2x ⎛⎫∈⋃+∞ ⎪⎝⎭. 故选:B.【点睛】本题考查函数的单调性和奇偶性在解不等式中的应用,考查对数不等式的解法,难度一般.9.如图所示是某几何体的三视图，则该几何体的外接球的表面积为（ ）A. 258π B.254π C. 252π D. 98π【答案】C 【解析】 【分析】首先把三视图转换为几何体,观察可知几何体为正四棱锥,由正四棱锥性质,找到外接球的球心,根据勾股定理,计算即可求得正四棱锥体的外接球的半径,最后求出球的表面积. 【详解】由三视图可知该几何体是一个底面边长为2，高为2. 设其外接球的球心到底面的距离为d ，半径为R ， 则2222R d d ==+324d =524R =∴其外接球的表面积为22542R ππ⋅=.故选:C.【点睛】本题考查了几何体的三视图问题,解题的关键是要能由三视图解析出原几何体,从而解决问题,考查学生的空间想象能力,属于中档题.10.已知椭圆E ：22221x y a b+=（0a b >>）的左焦点为F ，A 、B 两点是椭圆E 上关于y 轴对称的点，若ABF 能构成一个内角为23π的等腰三角形，则椭圆E 的离心率e =（ ） A.121D. 2-【答案】C 【解析】 【分析】设椭圆E 的右焦点为F '，连接BF ',由图可知,四边形FABF '为等腰梯形,计算可得6F FB π∠'=，3FF B π∠'=，2FBF π∠'=,因为22c c FF e aaBF BF '==='+,借助正弦定理可知sin2sin sin 63FF BF BF πππ'='++,计算即可得出结果.【详解】设椭圆E 的右焦点为F '，连接BF '，则四边形FABF '为等腰梯形，其中23FAB π∠=，ABF 是一个内角为23π的等腰三角形 ∴6F FB π∠'=，3FF B π∠'=，2FBF π∠'=，∴在焦点三角形FF B '△中，sin21sin sin 63FF e BF BF πππ'===='++，即椭圆E1. 故选:C.【点睛】本题考查椭圆的定义及性质,考查利用正弦定理求解离心率,考查学生分析问题的能力,属于中档题.11.已知函数()2sin cos 6f x x x πωω⎛⎫=++⎪⎝⎭（0>ω）在区间[]0,π上不是单调函数，且其值域为33⎣，则ω的取值范围是（ ）A. 12,33⎛⎫ ⎪⎝⎭B. 12,33⎛⎤ ⎥⎝⎦C. 12,33⎡⎫⎪⎢⎣⎭D. 12,33⎡⎤⎢⎥⎣⎦【答案】B 【解析】 【分析】利用辅助角公式化简可知()36f x x πω⎛⎫=+⎪⎝⎭.由()30f =,借助三角函数的图象和性质可知5266πππωπ<+≤,化简即可得出结果. 【详解】()33sin 326f x x x x πωωω⎛⎫=+=+ ⎪⎝⎭. 又∵()f x 在[]0,π上的值域为332⎣且()302f =，∴5266πππωπ<+≤，1233ω<≤. 故选:B.【点睛】本题考查三角函数解析式的化简,考查正弦型函数的图象和性质,难度一般.12.已知函数()f x 的导函数为()f x '，且满足2()2()=--f x x f x ．当(,0)x ∈-∞时，()2f x x '<；若(2)()44+--≤+f m f m m ，则实数m 的取值范围是A. (]1-∞-，B. (]2--，∞ C. [1,)-+∞ D. [2,)-+∞【答案】C 【解析】令()()2h x f x x =-，()()2h x f x x '='-，∵当(),0x ∈-∞时，()2f x x '<，∴()h x 在()0-∞，递减，而()()2h x f x x -=--，∴()()()()2222f x f x h x x h x x x -+=-+++=，∴()()0h x h x -+=，∴()h x 是奇函数，()h x 在R 递减，若()()244f m f m m +--≤+，则()()()2222f m m f m m +-+≤--，∴()()2h m h m +≤-，∴2m m +≥-，即1m ≥-，故选C.第Ⅱ卷二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.把答案填在答题卡中对应题号后的横线上.13.已知某市的1路公交车每10分钟发车一次，小林到达起点站乘车的时刻是随机的，则他候车时间不超过4分钟的概率是______. 【答案】25【解析】 【分析】由几何概型中的长度型,利用长度之比,计算即可得出结果.【详解】当小林在上一辆车走开后6分钟内到达，候车时间会超过4分钟，则小林候车时间不超过4分钟的概率为1062105P -==. 故答案为:25. 【点睛】本题考查几何概型中的长度型,属于基础题.14.已知实数x ，y 满足20250270x y x y x y -+≥⎧⎪+-≥⎨⎪--≤⎩，则1y z x =+的最大值是______.【答案】32【解析】 【分析】作出不等式组所表示的可行域,由目标函数的几何意义,利用数形结合思想可求得z 的取值范围.【详解】画出x ，y 满足的区域图，易知1yz x =+表示该区域内的点与点()1,0P -连线的直线的斜率，联立20,250,x y x y -+=⎧⎨+-=⎩解得1,3,x y =⎧⎨=⎩即()1,3A 则max 33112z ==+. 故答案为:32.【点睛】本题考查线性规划中分式型目标函数的取值范围的求解,解题时要结合目标函数的几何意义,利用数形结合思想求解,属于中等题.15.如图所示，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 是菱形，3DAB π∠=，侧面PAD 是等边三角形，且平面PAD ⊥平面ABCD ，E 为棱PC 上一点，若平面EBD ⊥平面ABCD ，则PEEC=______.【答案】12【解析】【分析】取AD 的中点O ,连接OC 交BD 于F 点,由已知可得PO ⊥平面ABCD ,由只需满足//OP EF 则平面EBD ⊥平面ABCD .根据PE OFEC FC=,即可求得结果. 【详解】取AD 的中点O ，连接OC 交BD 于F 点，∵//OD BC ，2BC OD =，∴2FC OF =. ∵平面PAD ⊥平面ABCD ，PO AD ⊥，∴PO ⊥平面ABCD ,在POC △中,当//OP EF ,EF ⊂平面BDE ,则有平面BDE ⊥平面ABCD ，∴12PE OF EC FC ==. 故答案为:12.【点睛】本题考查面面垂直的性质,考查学生的空间想象能力和逻辑推理能力,难度一般. 16.如图所示，在四边形ABCD 中，3BAD π∠=，23BCD π∠=，2BC =，3BD =，则AB AC →→⋅的最大值为______.21【解析】 【分析】利用正弦定理可求得4BDC π∠=,由已知可得A ，B ，C ，D 四点共圆,根据“同弧圆周角相等”原理,则有4BAC π∠=,设x AB =,y AC =,则cos4AB AC xy π→→=⋅,由余弦定理可得2222cos4x y xy π=+-,借助重要不等式化简即可求出结果.【详解】在BCD 中，由正弦定理得：2sin sin 3BDC π=∠，sin 2BDC ∠=，∴4BDC π∠=.由已知条件可知A ，B ，C ，D 四点共圆，根据“同弧圆周角相等”原理，4BDC π∠=，又在ABC 中设x AB =，y AC =，则2222cos4x y xy π=+-，(2222x y xy =+≥，∴2xy ≤+所以cos14xy xy AB AC π→→==≤⋅.故答案为1.【点睛】本题考查正余弦定理在解三角形中的应用,考查利用重要不等式求取值范围问题,难度一般.三、解答题：本大题共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22、23题为选考题，考生根据要求作答. （一）必考题：共60分.17.如图，在四棱锥P ABCD -中，平面PAC ⊥平面ABCD ，PA PC =，//AB CD ，AB AD ⊥，且244CD AD AB ===.（1）求证：BD PC ⊥；（2）过BD 作截面与线段PC 交于点H ，使得//AP 平面BDH ，试确定点H 的位置，并给出证明.【答案】（1）证明见解析；（2）H 为线段PC 上靠近点P 的五等分点，理由见解析. 【解析】 【分析】(1)连接BD 交AC 于点E ,由已知可证得Rt Rt ABD DAC △∽△,即得到AC BD ⊥,由于平面ABCD ⊥平面PAC ,可证得BD ⊥平面PAC ,进而证得结论;(2) 由//AB CD ，易知AEB CED ∽△△,由于//AP 平面BDH ,可证得//AP EH ,根据对应边成比例可知14PH AE AB HC EC CD ===,即可证得H 为线段PC 上靠近点P 的五等分点. 【详解】（1）连接BD 交AC 于点E ， ∵//AB CD ，AB AD ⊥，12AB AD AD CD ==， ∴Rt Rt ABD DAC △∽△， ∴90AEB =︒∠，则AC BD ⊥， ∵平面ABCD ⊥平面PAC ，平面ABCD 平面PAC AC =，∴BD ⊥平面PAC ，又PC 平面PAC ， ∴BD PC ⊥.（2）由//AB CD ，易知AEB CED ∽△△. ∴14AE AB EC CD ==， 又//AP 平面BDH ，平面APC 平面BDH EH =，∴//AP EH ， ∴14PH AE HC EC ==，即H 为线段PC 上靠近点P 五等分点，即5PC PH =.【点睛】本题考查面面垂直的性质定理,线面垂直的判定,线面平行的性质定理,难度一般. 18.已知数列{}n a 满足11a =，213a =，且111123n n n n n n a a a a a a -+-++=（2n ≥，n *∈N ）. （1）证明：数列111n n a a +⎧⎫-⎨⎬⎩⎭是等比数列； （2）求数列{}12nn n a a +的前n 项和.【答案】（1）证明见解析；（2）11121n n S +=--.【解析】 【分析】(1) 111123n n n n n n a a a a a a -+-++=两边同除以11n n a a -+,得11123n n na a a +-+=，1111112n n nn a a a a +-⎛⎫-=- ⎪⎝⎭,化简即可证得结论; (2) 由(1)知1112nn n a a +-=,构造可得111122n n n n a a ++-=-,进而可知1111112221n n n na a a ++-=-==-=-,即可求得11121n n a ++=-,由11111=2nn n n n n na a a a a a +++--=,可知112n n n n n a a a a ++=-,则()()()1223111n n n n S a a a a a a a a ++=-+-++-=-,即可得出结果.【详解】（1）当2n ≥且*n ∈N 时，在111123n n n n n n a a a a a a -+-++=两边同除以11n n a a -+，得11123n n n a a a +-+=，1111112n n n n a a a a +-⎛⎫-=- ⎪⎝⎭，1111211n nn n a a a a +--=-为常数，且21112a a -=所以数列111n n a a +⎧⎫-⎨⎬⎩⎭是以2为首项，2为公比的等比数列. （2）设数列{}12nn n a a +的前n 项和为nS，由（1）知1112n n n a a +-=，1111112221n n n na a a ++-=-==-=-，∴11121n n a ++=-，11121n n a ++=-又由1112n n na a +-=，112n n n n n a a a a ++=-， 所以()()()122311111121n n n n n S a a a a a a a a +++=-+-++-=-=--.【点睛】本题考查由递推关系证明等比数列,考查递推公式在求数列通项中的应用,考查累加求和的应用,难度一般.19.已知过点()2,3A 的直线l ：1y x =+与抛物线E ：22x py =（0p >）交于B ，C 两点，且A 为线段BC 的中点. （1）求抛物线E 的方程；（2）已知直线l '：y x m =+与直线l 平行，过直线l '上任意一点P 作抛物线E 的两条切线，切点分别为M ，N ，是否存在这样的实数m ，使得直线MN 恒过定点A ？若存在，求出m 的值；若不存在，说明理由.【答案】（1）24x y =；（2）存在实数3m =-使得命题成立 【解析】 【分析】(1)直线方程与抛物线方程联立,借助韦达定理124x x +=即可求得p ,得出抛物线方程; (2)设M ，N 点的坐标分别为()11,M x y ，()22,N x y ，直线l '上任意一点()00,P x x m +,由242x xy '⎛⎫'== ⎪⎝⎭,利用导数的几何意义可得点M 处的切线PM 方程和点N 处的切线PN 方程,由()00,P x x m +都满足上述两个方程,即有10102020,2,2x x y x m x x y x m ⎧-=+⎪⎪⎨⎪-=+⎪⎩可得直线MN 的方程即为:02x x y x m -=+,点()2,3A 代入即可得出存在实数3m =-使得命题成立. 【详解】（1）由212y x x py=+⎧⎨=⎩，()2210x p x -+=，2220x px p --=， 依题意24p =，2p =.故抛物线E 的方程为：24x y =.（2）设M ，N 点的坐标分别为()11,M x y ，()22,N x y ，直线l '上任意一点()00,P x x m +，由242x xy '⎛⎫'== ⎪⎝⎭，可得点M 处的切线PM 的方程为：()1111122x x y x x y x y =-+=-，点N 处的切线PN 的方程为：()2222222x xy x x y x y =-+=- ∵()00,P x x m +都满足上述两个方程，∴10102020,2,2x x y x m x x y x m ⎧-=+⎪⎪⎨⎪-=+⎪⎩∴直线MN 的方程为：02x x y x m -=+， ∵直线MN 恒过定点()2,3A ，∴0232x x m ⋅-=+，得3m =-， 故存在实数3m =-使得命题成立.【点睛】本题考查求解抛物线方程,考查直线和抛物线的关系,考查恒过定点求解参数问题,难度较难.（二）选考题：共10分.请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.20.某市政府为减轻汽车尾气对大气的污染，保卫蓝天，鼓励广大市民使用电动交通工具出行，决定为电动车（含电动自行车和电动汽车）免费提供电池检测服务.现从全市已挂牌照的50000电动车中随机抽取100辆委托专业机构免费为它们进行电池性能检测，电池性能分为需要更换、尚能使用、较好、良好四个等级，并分成电动自行车和电动汽车两个群体分别进行统计，样本分布如图.（1）采用分层抽样的方法从电池性能较好的电动车中随机抽取9辆，再从这9辆中随机抽取2辆，求至少有一辆为电动汽车的概率；（2）为进一步提高市民对电动车的使用热情，市政府准备为电动车车主一次性发放补助，标准如下：①电动自行车每辆补助300元；②电动汽车每辆补助500元；③对电池需要更换的电动车每辆额外补助400元.试求抽取的100辆电动车执行此方案的预算；并利用样本估计总体，试估计市政府执行此方案的预算.【答案】（1）56；（2）20800000.【解析】【分析】（1）根据频数图，利用分层抽样得电动自行车应抽取4辆，电动汽车应抽取5辆，再利用古典概型和对立事件求得：至少有一辆为电动汽车的概率为56；（2）由频数图，计算样本中100辆电动车共补助41600元，算出每辆电动车平均需补助的钱乘以50000可得估计出市政府执行此方案的预算．【详解】（1）根据分层抽样的原理，电动自行车应抽取20942025⨯=+（辆），电动汽车应抽取25952025⨯=+（辆）.从9辆电动车中抽取2辆，设电动汽车和电动自行车分别为1a，2a，3a，4a，5a，1b，2b，3b ，4b ，可得抽法总数为36种，其中2辆均为电动自行车的有1a 2a ,1a 3a ,1a 4a ,2a 3a ,2a 4a ,3a 4a ,共6种. “设从这9辆中随机抽取2辆，至少有一辆为电动汽车”为事件A ， 则65()1()1366P A P A =-=-=. （2）由条件可知，这100辆电动车中电动自行车60辆，电动汽车40辆，其中电池需要更换的电动自行车8辆，电动汽车1辆.根据补助方案可知，这100辆电动车共补助6030040500940041600⨯+⨯+⨯=（元）.由样本估计总体，市政府执行此方案的预算大约需要416005000020800000100⨯=（元）.即为所求. 【点睛】本题考查从图中抽取数据信息、古典概型计算概率、样本估计总体思想，考查基本数据处理能力．21.已知函数()(2)(1)2ln f x a x x =---（a R ∈）.（1）若曲线()()g x f x x =+上点(1,(1))g 处的切线过点(0,2)，求函数()g x 的单调递减区间； （2）若函数()y f x =在1(0,)2上无零点，求a 的最小值. 【答案】（1）()0,2；（2）24ln 2-． 【解析】试题分析：（1）求出函数的导数，计算g′（1），求出a 的值，从而求出g （x ）的递减区间即可；（2）问题转化为对x ∈（0，12），a ＞2﹣21lnx x -恒成立，令l （x ）=2﹣21lnx x -，x ∈（0，12），根据函数的单调性求出a 的最小值即可． 试题解析：（1）∵g（x ）=（3﹣a ）x ﹣（2﹣a ）﹣2lnx ，∴g′（x ）=3﹣a ﹣2x，∴g′（1）=1﹣a ， 又g （1）=1，∴1﹣a=1210--=﹣1，解得：a=2，由g′（x ）=3﹣2﹣2x =2x x-＜0，解得：0＜x ＜2， ∴函数g （x ）在（0，2）递减； （2）∵f（x ）＜0在（0，12）恒成立不可能， 故要使f （x ）在（0，12）无零点，只需任意x ∈（0，12），f （x ）＞0恒成立， 即对x ∈（0，12），a ＞2﹣21lnxx -恒成立，令h （x ）=2﹣21lnx x -，x ∈（0，12），则h′（x ）=()22221lnx x x +--， 再令m （x ）=22lnx x +﹣2，x ∈（0，12）， 则m′（x ）=()221x x--＜0，故m （x ）在（0，12）递减，于是m （x ）＞m （12）=2﹣2ln2＞0， 从而h′（x ）＞0，于是h （x ）在（0，12）递增，∴h（x ）＜h （12）=2﹣4ln2，故要使a ＞2﹣21lnxx -恒成立，只要a ∈[2﹣4ln2，+∞），综上，若函数y=f （x ）在（0，12）上无零点，则a 的最小值是2﹣4ln2．（二）选考题：共10分.请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.选修4-4：坐标系与参数方程22.直角坐标系xOy 中，以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，已知曲线C的极坐标方程为：ρ=l过点)F与单位圆221x y +=相切.（1）求曲线C 的直角坐标方程和直线l 的参数方程；（2）设直线l 与曲线C 交于A ，B 两点，求AB 的值.【答案】（1）2213x y +=，()22x t t y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩为参数；（2）AB =. 【解析】 【分析】(1)已知条件化简2223cos 3sin ρθθ=+,利用极坐标和直角坐标的互化公式即可得出结果,由倾斜角为锐角的直线l过点)F与单位圆221x y +=相切,可得l 的倾斜角为4π,根据直线参数方程的定义即可得出结果.(2)将直线参数方程和曲线C 的普通方程联立,利用直线方程中参数的几何意义,可知12AB t t =-,借助韦达定理即可得出结果.【详解】（1）ρ=()()222222233cos 3sin 2cos sin cos sin ρθθθθθθ==++-- ()222cos 3sin 3ρθθ+=，2233x y +=，即曲线C 的直角坐标方程为2213x y +=.又依题意易得直线l 的倾斜角为4π，所以直线l的参数方程为：()x t y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩为参数（2）将22x t y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩代入22330x y +-=中，整理得22210t t -=+，121211,2t t t t +=-⋅=- 所以21AB t t =-==【点睛】本题考查极坐标和普通方程的互化,考查直线的参数方程中参数的几何意义的应用,难度一般.选修4-5：不等式选讲 23.()223f x x x =---.（1）求()f x 的最大值m 的值；（2）已知0a >，0b >，a b m +=，证明：221113a b b a +≥++. 【答案】（1）1m =；（2）证明见解析【解析】【分析】(1) 由放缩法可知()23323f x x x x x x =-----≤---,由绝对值不等式可得()()23231x x x x ---≤---=,进而求得m 的值; (2)由(1)可知, 1a b +=,由于()()22223111111a b a b b a b a b a ⎛⎫⎛⎫+⋅=+⋅+++⎡⎤ ⎪ ⎪⎣⎦++++⎝⎭⎝⎭化简,借助基本不等式即可证得223111a b b a ⎛⎫+⋅≥ ⎪++⎝⎭,进而证得结论. 【详解】（1）∵()()()23323231f x x x x x x x x =-----≤---≤---=（当且仅当3x =时，取“=”），∴函数()f x 的最大值为1，即1m =.（2）由（1）知1a b +=（0a >，0b >）， ∴()()22223111111a b a b b a b a b a ⎛⎫⎛⎫+⋅=+⋅+++⎡⎤ ⎪ ⎪⎣⎦++++⎝⎭⎝⎭22221111b a a b b a a b++=++⋅+⋅++22a b ≥++()22221a b ab a b =++=+=， ∴221113a b b a +≥++（当且仅当a b =时，取“=”）成立. 【点睛】本题考查绝对值不等式在求最值中的应用,考查基本不等式在不等式证明中的应用,难度一般.。
湖南师范大学附属中学2020届高三5月模拟考试数学(文)试题解析
，e2
a2 b2 a2
1 1 9
8 9
．e
22 3
．
16.4
17 、 (1) 因 为 Sn pan1 , 所 以 a1 a2 an pan1 0 , 所 以 当 n 2 时 , a1 a2 an1 pan 0 , 两 式 相 减 , 得
an1 an
p
p
1
(n
2)
,故数列
在 M
中， | MD || MA | 所以 | MA |
| MN
| 4
，所以
M
的轨迹为椭圆，由定义可知
2a
4
，所以求轨迹 C
的方程
c 3
为 x2 y2 1． 4
（2）当 l
的斜率不存在的时，设
P ( x0
，
y0 ) ，所以
Q ( x0
，
y0 )
，所以
kPB x02 4
kQB
y0 x0
AO 平面 BCD ，且 BD 2 ， AO 3 ，
取 CD 的中点 F ，连接 OF ， EF ， 同理可证 CD 平面 EOF ， CD 平面 AOF ， A ， O ， F ， E 共面， 平面 BCD 平面 OFE ，作 EH 垂直 OF 于点 H ，则 EH 平面 BCD ， 故点 E 到平面 BCD 的距离即为 EH ， 又 AE 平面 CDE ， AE EF ， AE EC ，
5.答案：D 解析：∵函数 f x 2x 4sinx , f x 2x 4sin x 2x 4sinx f x ,故函数 f x 为奇
函数，所以函数 f x 2x 4sinx 的图象关于原点对称，排除 AB，函数 f x 2 4cosx ,由 f x 0 得
2020届湖南长郡中学高考仿真抢分模拟(五)文科数学
2020届湖南长郡中学高考仿真抢分模拟(五)文科数学★祝你考试顺利★注意事项：1、考试范围：高考考查范围。
2、答题前，请先将自己的姓名、准考证号用0.5毫米黑色签字笔填写在试题卷和答题卡上的相应位置，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。
用2B铅笔将答题卡上试卷类型A后的方框涂黑。
3、选择题的作答：每个小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。
写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非选择题答题区域的答案一律无效。
4、主观题的作答：用0.5毫米黑色签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。
写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非主观题答题区域的答案一律无效。
5、选考题的作答：先把所选题目的题号在答题卡上指定的位置用2B铅笔涂黑。
答案用0.5毫米黑色签字笔写在答题卡上对应的答题区域内，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非选修题答题区域的答案一律无效。
6、保持卡面清洁，不折叠，不破损。
7、本科目考试结束后，请将本试题卷、答题卡、草稿纸一并依序排列上交。
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．设集合P＝{(x，y)|y＝k}，Q＝{(x，y)|y＝2x}，已知P∩Q＝∅，那么k的取值范围是()A．(－∞，0) B．(0，＋∞)C．(－∞，0]D．(1，＋∞)答案C解析由P∩Q＝∅可得，函数y＝2x的图象与直线y＝k无公共点，所以k∈(－∞，0]．2．“(綈p)∨q为真命题”是“p∧(綈q)为假命题”的()A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件答案C解析(綈p)∨q为真命题包括以下三种情况：p假q真、p假q假、p真q真；p ∧(綈q )为假命题包括以下三种情况：p 假q 真、p 假q 假、p 真q 真；所以“(綈p )∨q 为真命题”是“p ∧(綈q )为假命题”的充要条件．3．欧拉公式 e i x ＝cos x ＋isin x (i 为虚数单位)是由瑞士著名数学家欧拉发现的，它将指数函数的定义域扩大到复数，建立了三角函数和指数函数的关系，在复变函数论里占有非常重要的地位，被誉为“数学中的天桥”，已知e a i 为纯虚数，则复数sin2a ＋i1＋i在复平面内对应的点位于( )A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限 答案 A解析 e a i ＝cos a ＋isin a 是纯虚数，所以cos a ＝0，sin a ≠0，所以a ＝k π＋π2，k ∈Z ，所以2a ＝2k π＋π，k ∈Z ，sin2a ＝0，所以sin2a ＋i 1＋i ＝i1＋i ＝i (1－i )2＝12＋12i ，在复平面内对应的点⎝ ⎛⎭⎪⎫12，12位于第一象限．4．如图，在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，P 为BD 1的中点，则△P AC 在该正方体各个面上的正投影可能是( )A ．①②B ．②④C ．②③D ．①④ 答案 D解析 从上下方向上看，△P AC 的投影为①图所示的情况；从左右方向上看，△P AC的投影为④图所示的情况；从前后方向上看，△P AC的投影为④图所示的情况．5．(2019·河南洛阳月考)学校为了调查学生在课外读物方面的支出情况，抽取了一个容量为n的样本，其频率分布直方图如图所示，其中支出在[50,60)的同学有30人，则n的值为()A．100 B．1000 C．90 D．900答案A解析由频率分布直方图可知，支出在[50,60)的同学的频率为0.03×10＝0.3，∴n＝300.3＝100.6．执行如图所示的程序框图，则输出的结果为()A ．1＋22 B ．1－32 C ．1－3－22D ．1＋3－22答案 C解析 s ＝0，n ＝1<5，且n ＝1是奇数，则s ＝0－sinπ＝0；n ＝2<5，且n ＝2不是奇数，则s ＝0＋sin π2＝1；n ＝3<5，且n ＝3是奇数，则s ＝1－sin π3＝1－32；n ＝4<5，且n ＝4不是奇数，则s ＝1－32＋sin π4＝1－32＋22；n ＝5时结束循环，输出的s ＝1－32＋22＝1－3－22.7．已知3sin α－cos α＝43，则cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π3＋sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋5π6＝( )A ．0 B.43 C ．－43 D.23 答案 C解析 依题意，sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π6＝23；因为⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π3－⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π6＝π2，故α＋π3＝π2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π6，则cos ⎝⎛⎭⎪⎫α＋π3＝cos ⎣⎢⎡⎦⎥⎤π2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π6＝－sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π6＝－23； 而⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋5π6－⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π6＝π，故⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋5π6＝π＋⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π6，故sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋5π6＝－sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π6＝－23，故cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π3＋sin ⎝⎛⎭⎪⎫α＋5π6＝－43. 8．已知抛物线y 2＝4x 的焦点为F ，准线l 与x 轴的交点为K ，抛物线上一点P ，若|PF |＝5，则△PFK 的面积为( )A ．4B ．5C ．8D ．10 答案 A解析 由抛物线的方程y 2＝4x ，可得 F (1,0)，K (－1,0)，准线方程为x ＝－1， 设P (x 0，y 0)，则|PF |＝x 0＋1＝5，即x 0＝4，不妨设P (x 0，y 0)在第一象限，则P (4,4)， 所以S △PKF ＝12|FK |·|y 0|＝12×2×4＝4.9．如图，△GCD 为正三角形，AB 为△GCD 的中位线，AB ＝3AE ，BC ＝3BF ，O 为DC 的中点，则向量FE→，OF →夹角的余弦值为( )A.12 B ．－12 C ．－22 D.22 答案 B解析 解法一：以O 为坐标原点，DC 所在的直线为x 轴建立平面直角坐标系如图所示，设△GCD 的边长为4，则A (－1，3)，E ⎝ ⎛⎭⎪⎫－13，3，B (1，3)，C (2,0)，F ⎝ ⎛⎭⎪⎫43，233， FE →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－53，33，OF →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫43，233，FE →·OF →＝－149，|FE →|＝273，|FO →|＝273，cos 〈FE→，OF →〉＝－149273×273＝－12.解法二：设△GCD 的边长为4，连接OE ，OA ，如图，易得△ADO 为正三角形，∠OAE ＝60°，AO ＝2，AE ＝23，由余弦定理得OE ＝273，同理得EF ＝273，OF ＝273，∴∠EFO ＝60°，∴cos 〈FE →，OF →〉＝cos120°＝－12.10．王老师的班上有四个体育健将甲、乙、丙、丁，他们都特别擅长短跑，在某次运动会上，他们四人要组成一个4×100米接力队，王老师要安排他们四个人的出场顺序，以下是他们四人的对话：甲：我不跑第一棒和第二棒；乙：我不跑第一棒和第四棒；丙：我也不跑第一棒和第四棒；丁：如果乙不跑第二棒，我就不跑第一棒；王老师听了他们四人的对话，安排了一种合理的出场顺序，满足了他们的所有要求，据此我们可以断定，在王老师安排的出场顺序中，跑第三棒的人是( )A ．甲B ．乙C ．丙D ．丁 答案 C解析由题意知乙、丙均不跑第一棒和第四棒，则跑第三棒的人只能是乙、丙中的一个，当丙跑第三棒时，乙只能跑第二棒，这时丁跑第一棒，甲跑第四棒，符合题意，故跑第三棒的人是丙．11．已知点P为双曲线x2a2－y2b2＝1(a>b>0)右支上一点，点F1，F2分别为双曲线的左、右焦点，点I是△PF1F2的内心(三角形内切圆的圆心)，若恒有S△IPF1－S△IPF2≥13S△IF1F2成立，则双曲线离心率的取值范围是()A．(1,2]B．(1,2) C．(0,3]D．(1,3]答案D解析设△PF1F2的内切圆的半径为r，由双曲线的定义，得|PF1|－|PF2|＝2a，|F1F2|＝2c，S△IPF1＝12|PF1|·r，S△IPF2＝12|PF2|·r，S△IF1F2＝12·2c·r＝cr，由题意，得12|PF1|·r－12|PF2|·r≥13cr，故c≤32(|PF1|－|PF2|)＝3a，故e＝ca≤3，又e>1，所以双曲线的离心率取值范围是(1,3]．12．已知函数f (x )＝2ax 3－3ax 2＋1，g (x )＝－a 4x ＋32，若对任意给定的m ∈[0,2]，关于x 的方程f (x )＝g (m )在区间[0,2]上总存在唯一的一个解，则实数a 的取值范围是( )A ．(－∞，1] B.⎣⎢⎡⎭⎪⎫18，1C ．(0,1)∪{－1}D ．(－1,0)∪⎝ ⎛⎦⎥⎤0，18答案 B解析 f ′(x )＝6ax 2－6ax ＝6ax (x －1)， ①当a ＝0时，f (x )＝1，g (x )＝32， 显然不可能满足题意；②当a >0时，f ′(x )＝6ax (x －1)， x ，f ′(x )，f (x )的变化如下：又因为当a >0时，g (x )＝－a 4x ＋32是减函数， 对任意m ∈[0,2]，g (m )∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－a 2＋32，32，由题意，必有g (m )max ≤f (x )max ，且g (m )min >f (0)， 故⎩⎪⎨⎪⎧32≤1＋4a ，－a 2＋32>1，解得18≤a ＜1；③当a <0时，g (x )＝－a 4x ＋32是增函数，不符合题意． 综上，a ∈⎣⎢⎡⎭⎪⎫18，1.二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13．为了在一条河上建一座桥，施工前在河两岸打上两个桥位桩A ，B (如图)，要测算两点的距离，测量人员在岸边定出基线BC ，测得BC ＝50 m ，∠ABC ＝105°，∠BCA ＝45°，就可以计算出A ，B 两点的距离为________．答案 50 2 m解析 根据三角形内角和为180°，所以∠BAC ＝30°， 由正弦定理AB sin C ＝BC sin A ，得AB sin45°＝50sin30°. 解得AB ＝50 2 m.14．已知实数x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧3x ＋y ≤π，x ≥π6，y ≥0，则sin(x ＋y )的取值范围为________(用区间表示)．答案 ⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，1解析 作出约束条件表示的平面区域(如图阴影部分所示)．设z ＝x ＋y ，作出直线l ：x ＋y ＝z ，当直线l 过点B ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6，0时，z 取得最小值π6；当直线l 过点A ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6，π2时，z 取得最大值2π3，所以π6≤x ＋y ≤2π3，所以sin(x ＋y )∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，1. 15．已知14C 的半衰期为5730年(是指经过5730年后，14C 的残余量占原始量的一半)．设14C 的原始量为a ，经过x 年后的残余量为b ，残余量b 与原始量a 的关系如下：b ＝a e －kx ，其中x 表示经过的时间， k 为一个常数．现测得湖南长沙马王堆汉墓女尸出土时14C 的残余量约占原始量的76.7%.请你推断一下马王堆汉墓的大致年代为距今________年．(已知log 20.767≈－0.4)答案 2292解析 由b ＝a e －kx 及题意，得12＝e －5730k ， 两边取2为底的对数可得， －1＝－5730k log 2e ，① 又0.767＝e －kx ，两边取2为底的对数可得， log 20.767＝－kx log 2e ，②②÷①可得0.4≈x5730，即x ≈2292.16．(2019·广东湛江测试二)圆锥 Ω的底面半径为2，母线长为4，正四棱柱ABCD －A ′B ′C ′D ′的上底面的顶点A ′，B ′，C ′，D ′均在圆锥 Ω的侧面上，棱柱下底面在圆锥 Ω的底面上，则此正四棱柱体积的最大值为________．答案64327解析 设正四棱柱的底面边长为x ，棱柱的高为h ，根据相似性可得22x2＝23－h23，解得h ＝43－6x 2(其中0＜x ＜22)．所以此正四棱柱的体积为V ＝x 2h ＝x 2·43－6x 2，V ′＝83x －36x 22，令V ′＝0，解得x ＝423，易得V ＝x 2·43－6x 2在⎝ ⎛⎭⎪⎫0，423上单调递增，在⎝ ⎛⎭⎪⎫423，22上单调递减，所以此正四棱柱体积的最大值为⎝ ⎛⎭⎪⎫4232×43－6×4232＝64327.三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答．(一)必考题：共60分．17．(2019·四川教考联盟第三次诊断) (本小题满分12分)槟榔原产于马来西亚，中国主要分布在云南、海南及台湾等热带地区，亚洲热带地区广泛栽培．槟榔是重要的中药材，在南方一些少数民族还有将果实作为一种咀嚼嗜好品，但其被世界卫生组织国际癌症研究机构列为致癌物清单Ⅰ类致癌物．云南某民族中学为了解A，B两个少数民族班的学生咀嚼槟榔的情况，分别从这两个班中随机抽取5名学生进行调查，将他们平均每周咀嚼槟榔的颗数作为样本绘制成如图所示的茎叶图(图中的茎表示十位数字，叶表示个位数字)．(1)你能否估计哪个班的学生平均每周咀嚼槟榔的颗数较多？(2)从A班不超过19的样本数据中随机抽取一个数据记为a，从B班不超过21的样本数据中随机抽取一个数据记为b，求a≥b的概率．解(1)A班样本数据的平均数为15×(9＋11＋14＋20＋31)＝17.由此估计A班学生平均每周咀嚼槟榔的颗数为17；2分B班样本数据的平均数为15×(11＋12＋21＋25＋26)＝19，由此估计B班学生平均每周咀嚼槟榔的颗数为19颗．故估计B班学生平均每周咀嚼槟榔的颗数较多. 5分(2)A班的样本数据中不超过19的数据a有3个，分别为9,11,14，B班的样本数据中不超过21的数据b也有3个，分别为11,12,21. 6分从A班和B班的样本数据中各随机抽取一个共有9种不同情况，分别为(9,11)，(9,12)，(9,21)，(11,11)，(11,12)，(11,21)，(14,11)，(14,12)，(14,21). 9分其中a ≥b 的情况有(11,11)，(14,11)，(14,12)三种， 故a ≥b 的概率P ＝39＝13. 12分18．(本小题满分12分)已知正项数列{a n }的前n 项和为S n ，若数列{log 13a n }是公差为－1的等差数列，且a 2＋2是a 1，a 3的等差中项．(1)证明：数列{a n }是等比数列，并求数列{a n }的通项公式； (2)若T n 是数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n 的前n 项和，且T n <M 恒成立，求实数M 的取值范围．解 (1)证明：依题意，log 13a n ＋1－log 13a n ＝－1，故log 13a n ＋1a n ＝－1，故a n ＋1a n＝3； 2分故数列{a n }是公比为3的等比数列．因为2(a 2＋2)＝a 1＋a 3，故2(3a 1＋2)＝a 1＋9a 1， 4分 解得a 1＝1，故数列{a n }的通项公式为a n ＝3n －1. 6分(2)依题意，1a n ＝13n －1，故数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n 是以1为首项，13为公比的等比数列， 8分故T n ＝1a 1＋1a 2＋1a 3＋…＋1a n＝1＋13＋…＋13n －1＝1－⎝ ⎛⎭⎪⎫13n1－13＝32⎝ ⎛⎭⎪⎫1－13n <32， 10分故M ≥32，即实数M 的取值范围为⎣⎢⎡⎭⎪⎫32，＋∞. 12分19．(2019·湖南师大附中考前演练五)(本小题满分12分)在梯形ABCD 中(图1)，AB ∥CD ，AB ＝2，CD ＝5，过点A ，B 分别作CD 的垂线，垂足分别为E ，F ，且AE ＝2DE ，将梯形ABCD 沿AE ，BF 同侧折起，使得CF ⊥FE ，且DE ∥CF ，得空间几何体ADE －BCF (图2)．直线AC 与平面ABFE 所成角的正切值是22.(1)求证：BE ∥平面ACD ； (2)求多面体ADE －BCF 的体积．解 (1)证明：如图，设BE 交AF 于点O ，取AC 的中点H ，连接OH ，DH ， 因为四边形ABFE 为矩形，则OH 是△AFC 的中位线，所以OH ∥CF 且OH ＝12CF ， 2分设DE ＝x ，则AE ＝2x ，CF ＝3－x ，因为直线AC 与平面ABFE 所成角的正切值是22，所以tan ∠CAF ＝CFAF ＝3－x (2x )2＋22＝22，解得x ＝1，所以DE ＝1，AE ＝2，CF ＝2.因为DE ∥CF 且DE ＝12CF ，所以DE ∥OH 且DE ＝OH ，所以四边形DEOH 为平行四边形，DH ∥EO ，又因为EO ⊂平面ABFE ，DH ⊄平面ABFE ，DH ⊂平面ACD ，所以EO ∥平面ACD ，即BE ∥平面ACD . 5分(2)由已知CF ⊥FE ，CF ⊥BF ，EF ∩BF ＝F ，得CF ⊥平面BEF ，又CF ⊂平面CDEF ，所以平面CDEF ⊥平面BEF ，又AE ⊥EF ，所以AE ⊥平面CDEF ， 7分由(1)知DE ＝1，AE ＝2，CF ＝2，所以S 矩形ABFE ＝4，S △CDE ＝12×1×2＝1， 10分则V ADE －BCF ＝V C －ABFE ＋V A －CDE ＝13×4×2＋13×2×1＝103. 12分20．(2019·吉林长春质量监测二)(本小题满分12分)已知函数f (x )＝(a －1)ln x －ax －x (a ∈R )．(1)当a ＝2时，求曲线y ＝f (x )在点(2，f (2))处的切线方程； (2)若函数f (x )在[1,3]上的最大值为－2，求实数a 的值． 解 (1)因为a ＝2时，f (x )＝ln x －2x －x ， 所以f ′(x )＝1x ＋2x 2－1， 又f (2)＝ln 2－3，f ′(2)＝0，所以所求切线方程为y ＝ln 2－3. 4分 (2)因为f ′(x )＝－(x ＋1)(x －a )x 2(1≤x ≤3)， 5分当a ≤1时，f ′(x )＜0，f (x )在[1,3]上单调递减， 此时f (x )max ＝f (1)＝－a －1＝－2，a ＝1， 7分 当a ≥3时，f ′(x )＞0，f (x )在[1,3]上单调递增， 此时f (x )max ＝f (3)＝a ln 3－ln 3－a3－3＝－2， a ＝ln 3＋1ln 3－13(舍去)； 9分当1＜a ＜3时，f (x )在(1，a )上单调递增，在(a,3)上单调递减， 此时f (x )max ＝f (a )＝a ln a －ln a －1－a ＝－2，a ＝e. 综上a ＝1或a ＝e. 12分21．(2019·东北三省四市一模)(本小题满分12分)如图所示，椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的离心率为22，B 1，B 2是椭圆C 的短轴端点，且B 1到焦点的距离为32，点M 在椭圆C 上运动，且点M 不与B 1，B 2重合，点N 满足NB 1⊥MB 1，NB 2⊥MB 2.(1)求椭圆C 的方程；(2)求四边形MB 2NB 1的面积的最大值． 解 (1)∵e ＝22，∴a ＝2c ，又a 2＝b 2＋c 2＝(32)2，∴a 2＝18，b 2＝9， ∴椭圆C 的方程为x 218＋y 29＝1. 4分 (2)解法一：设N (x ，y )，M (x 0，y 0)(x 0≠0)， ∵MB 1⊥NB 1，MB 2⊥NB 2，B 1(0，－3)，B 2(0,3)， ∴直线NB 1：y ＋3＝－x 0y 0＋3x ， ① 直线NB 2：y －3＝－x 0y 0－3x, ② 6分由①②解得x ＝y 20－9x 0，又x 2018＋y 209＝1，∴x ＝－x 02，则四边形MB 2NB 1的面积S ＝12|B 1B 2|·(|x |＋|x 0|)＝12×6×⎝ ⎛⎭⎪⎫⎪⎪⎪⎪⎪⎪－x 02＋|x 0|＝3×32|x 0|， 9分∵0＜x 20≤18，∴当x 2＝18时，S 的最大值为3×32×32＝2722. 12分 解法二：设直线MB 1：y ＝kx －3(k ≠0)， 则直线NB 1：y ＝－1k x －3, ①则直线MB 1与椭圆C ：x 218＋y 29＝1的交点M 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫12k 2k 2＋1，6k 2－32k 2＋1， 6分则直线MB 2的斜率kMB 2＝6k 2－32k 2＋1－312k 2k 2＋1＝－12k ，∴直线NB 2：y ＝2kx ＋3. ② 由①②解得x N ＝－6k2k 2＋1， 9分 则四边形MB 2NB 1的面积S ＝12|B 1B 2|·(|x M |＋|x N |)＝12×6×⎝ ⎛⎭⎪⎫12|k |2k 2＋1＋6|k |2k 2＋1＝54|k |2k 2＋1＝542|k |＋1|k |≤2722， 当且仅当|k |＝22时，S 取得最大值2722. 12分(二)选考题：共10分．请考生在第22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分．22．(本小题满分10分)选修4－4：坐标系与参数方程在平面直角坐标系xOy 中，曲线C 的参数方程为⎩⎨⎧x ＝7cos θ，y ＝3＋7sin θ(θ为参数)，以坐标原点O 为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，已知直线l 的极坐标方程为ρ＝1sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋π6.(1)试判断直线l 与曲线C 的位置关系；(2)若直线θ＝π3(ρ∈R )与直线l 交于点A ，与曲线C 交于M ，N 两点，求|AM |·|AN |的值．解 (1)曲线C 的普通方程为x 2＋(y －3)2＝7，圆心C (0，3)， 半径r ＝7， 2分直线l 的普通方程为x ＋3y －2＝0， 3分 ∵圆心C 到直线l 的距离 d ＝|0＋3×3－2|12＋(3)2＝12<r ，∴直线l 与圆C 相交.5分(2)曲线C 的极坐标方程为ρ2－23ρsin θ－4＝0， 将θ＝π3代入ρ＝1sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋π6，得ρ＝1， 7分 将θ＝π3代入ρ2－23ρsin θ－4＝0得ρ2－3ρ－4＝0，则ρ1＝4， ρ2＝－1. 8分∴|AM |＝ρ1－ρ＝3，|AN |＝ρ－ρ2＝2， 9分 ∴|AM |·|AN |＝3×2＝6.10分23．(本小题满分10分)选修4－5：不等式选讲 已知函数f (x )＝ln (|x －2|＋|ax －a |)(a ∈R )． (1)当a ＝1时，求函数f (x )的值域；(2)若∀x ∈R ，都有f (x )＋1≥0恒成立，求实数a 的取值范围． 解 (1)当a ＝1时，f (x )＝ln (|x －2|＋|x －1|)， ∵|x －2|＋|x －1|≥|(x －2)－(x －1)|＝1， 3分∴ln (|x －2|＋|x －1|)≥ln 1＝0，即函数f (x )的值域为[0，＋∞). 5分 (2)由f (x )＋1≥0，即ln (|x －2|＋|ax －a |)≥－1，得|x －2|＋|ax －a |≥1e ， 令g (x )＝|x －2|＋|ax －a |，则函数g (x )的最小值g (x )min ＝{g (1)，g (2)}min ， 7分∴只需满足⎩⎪⎨⎪⎧g (1)≥1e ，g (2)≥1e ，9分解得a ≤－1e 或a ≥1e ，故实数a 的取值范围是⎝ ⎛⎦⎥⎤－∞，－1e ∪⎣⎢⎡⎭⎪⎫1e ，＋∞. 10分。
湖南省重点高中2020届高三数学模拟试题(二)文(扫描版)
湖南省怀化市2020届高三数学模拟试题（二）文（扫描版）AB CM ED文科数学 参考答案及评分细则二、填空题13．2y x =； 14．2； 15．85-； 16． 三、解答题17解：⑴设数列{}n a 的首项是1a ，公差是d ，则 1111131131151048828a d a d a d a d a d +=+=⎧⎧⇒⎨⎨+=+++=⎩⎩， …………………3分 解得12,3a d ==，…………………5分 所以 31n a n =-．…………………6分 ⑵ 由⑴得 3cos n b n n π=，…………………7分20203cos 6cos 29cos312cos 46060cos 2020T πππππ=+++++ …………………8分3691260576060=-+-+--+ …………………10分10103333030=+++个＝ …………………12分18证明：⑴由已知 222DC DE EC +=，得DC DE ⊥ …………1分又AD CD ⊥，DA DE D =，所以 CD ⊥平面ADE ， …………………2分又 AE ⊂平面ADE ，所以 CD AE ⊥，…………3分又 DA DE =，M 是EA 的中点，所以 DM AE ⊥， …………………4分 又 DM DC D =，所以 AE ⊥平面MCD ．…………………6分⑵ 方法一：由222DA DE EA +=得DE DA ⊥，…………………7分⑴中已证DE DC ⊥，又DA DC D =，所以 DE ⊥平面ABCD ，…………………8分 设AB x =，则1(2)222ABCD S x x =+⨯=+，12(2)2(2)33E ABCD V x x -=+⨯=+，………ABCM ED9分由M 是EA 的中点，得11(2)1(2)33M ABCD V x x -=+⨯=+， (10)分 ⑴中已证DM AE ⊥，CD ⊥平面ADE ，所以1122323C MDE V -=⨯=，所以2121(2)(2)3333M BCE E ABCD M ABCD C MDE V V V V x x ----=--=+-+-=，………………11分即 (2)21x +-=，解得 1x =，故 底棱1AB =．………………12分方法二：如图2，连AC ，由222DA DE EA +=得DE DA ⊥，…………7分⑴中已证DE DC ⊥，又DA DC D =， 所以 DE ⊥平面ABCD ，…………………8分 设AB x =，由//CD AB 得 12ABC S AB AD x ∆=⋅=，又 M 是EA 的中点，所以 12M ABC E ABC V V --=，…………………10分所以 111122233M BCE E BCM E ABC V V V x ---===⨯⨯=，………………11分得1x =，故 底棱1AB =．………………12分 19解：⑴ 由已知1c =，12c e a ==，所以2a =，b =2分 所以椭圆C 的标准方程22143x y +=．………………4分⑵ 由已知切线l 的斜率存在，设其方程为y kx t =+，联立方程22143y kx tx y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩，消去y 得222(34)84120k x ktx t +++-=，………………5分由相切得 222(8)4(34)(412)0kt k t ∆=-+-=，化简得 2234t k=+， ………………6分又圆心O 到切线l 的距离d =所以 ||MN= (7)分所以1||2OMNS MN d ∆=== ………………8分把 2234t k =+ 代入得 OMNS ∆=………………9分记 21u k =+，则 1u ≥，101u<≤，………………10分 所以OMNS ∆===11分 所以，11u=时，OMN ∆．………………12分 方法二：由已知切线l 的斜率存在，设其方程为y kx t =+，联立方程22143y kx t x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩，消去y 得222(34)84120k x ktx t +++-=，………………5分由相切得 222(8)4(34)(412)0kt k t ∆=-+-=，化简得 2234t k =+，即2234t k -=，………6分 把y kx t =+代入22:4O x y +=得 222(1)240k x ktx t +++-=，设1122(,),(,)M x y N x y ，则212122224,11kt t x x x x k k-+=-=++， ……………7分 所以1211|||||||22OMNS t x x t t ∆=-====……………9分 因为22304t k -=≥，所以23t ≥，而221+y t t =在[3,)+∞上单调递增，1103+=33y ≥，……10分所以OMN S ∆=≤2=3t 即=0k 时取“＝”号，……………11分故 OMN ∆．……………12分20解：⑴因为110x ≤≤时，0.1y x =单调递增，10x >时，10xy e-=单调递减，所以10x =时，y 达到峰值， 由 100.2x e -< 得110ln 0.2lnln 5 1.615x -<==-≈-，所以11.61x >，……………1分故 估计从第12天开始，志愿者身体内的IgM 含量水平低于0.2miu/ ml ．……………2分⑵①由已知，4t =，721()28i i t t =-=∑，……………3分所以7()()22.990.9623.85iit t u u r --===≈≈∑，……………4分因为0.75r >，所以，可以用线性回归模型拟合u 与t 的关系．……………5分 ②剔除第4组数据(4,4.85)后，4t =，411(70.60ln )(70.6 1.58)0.4466u z =⨯-=⨯-≈，………6分622222221123567124ii t==+++++=∑，……………7分64139.874ln 39.874 1.5833.55i ii t uz ==-=-⨯=∑，……………8分61622133.55640.4422.99ˆ8212461660i i i i i t u ntubt nt==--⨯⨯=≈-⨯-∑∑==0.，……………9分ˆˆ0.440.384 2.84au bt =-=-⨯=-，……………10分 所以，ˆˆln 0.82 2.84u z t ==-，即回归方程为 0.82 2.84ˆt z e -=， ……………11分当t 4=时，0.824 2.840.44ˆ 1.55ze e ⨯-==≈，估计第4天时，该志愿者人体中IgG 的含量水平为/1.55()miu ml ．……………12分21解：⑴因为()cos f x k x '=+，……………1分由题意，5,36x ππ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()cos 0f x k x '=+≥恒成立，即 cos k x ≥-，……………2分而5,36x ππ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，1cos 22x ⎛⎫∈- ⎪ ⎪⎝⎭，……………3分所以，2k ≥．……………4分 ⑵ 1k ＝时，()cos f x ax x ≥即sin cos x x ax x +≥，因为0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，所以cos 0,sin 0x x ≥≥，①当0a ≤时，sin cos x x ax x +≥显然成立，……………5分②当0a >时，记()sin cos g x x x ax x =+-，0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，则要原不等式成立，只要()0g x ≥． ()1cos cos sin 1(1)cos sin g x x a x ax x a x ax x '=+-+=+-+，……………6分 若01a <≤，则()0g x '>，()g x 在区间0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上递增，即有()(0)0g x g ≥=，原不等式成立，……………7分若12a <≤，则1(1)cos 0,sin 0a x ax x +-≥≥，即()0g x '>，同理原不等式成立，……8分若2a >，记()1(1)cos sin h x a x ax x =+-+，0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，则 ()(1)sin sin cos (21)sin cos 0h x a x a x a x a x a x '=-++=-+>，即()h x 在区间0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上递增，……………9分 又(0)20h a =-<，1022a h ππ⎛⎫=+> ⎪⎝⎭，即(0)0g '<，02g π⎛⎫'> ⎪⎝⎭所以00,2x π⎡⎤∃∈⎢⎥⎣⎦，使0[0,)x x ∈时，()0g x '≤，即()g x 在区间0[0,)x 上递减，………10分有 ()(0)0g x g ≤=，()0g x ≥不恒成立，……………11分综上所述，a 的取值范围为2a ≤．……………12分方法二：1k ＝时，()cos f x ax x ≥即sin cos x x ax x +≥，因为0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦， ①当0x =或2x π=时，sin cos x x ax x +≥显然成立，……………5分 ②当0,2x π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，则cos 0x x >， 要sin cos x x ax x +≥恒成立，只要sin cos x x a x x+≤恒成立，……………6分 记sin ()cos x x F x x x +=，0,2x π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，则()22sin sin cos ()cos x x x x x F x x x +-'=，……………7分记2()sin sin cos G x x x x x x =+-，0,2x π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，则 222222()12sin cos cos sin 1cos 2sin cos sin G x x x x x x x x x x x x x '=++-+=-+++……………8分因为 0,2x π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，所以 2221cos 0,2sin cos sin 0x x x x x x ->++>， 即()0G x '>，()G x 在0,2π⎛⎫ ⎪⎝⎭上递增，所以()(0)0G x G >=， ……………9分 即()0F x '>，()F x 在0,2π⎛⎫ ⎪⎝⎭上也是递增的，……………10分 由洛必达法则 ()000sin 1cos lim lim lim 2cos cos sin x x x x x x F x x x x x x→→→++===-，……………11分所以 a 的取值范围为2a ≤． ……………12分22解：⑴ 在直线l的极坐标方程中令ρ cos 14πθ⎛⎫-= ⎪⎝⎭，所以4πθ=，……………2分点M的极坐标为4π⎫⎪⎭．……………3分 ⑵ 把⊙C 的方程化为普通方程得 22(1)+(2)=4x y --，圆心(1,2)C ，……………4分把直线l 的方程化为直角坐标方程得 2x y +-=0，所以点O 到直线l的距离为d……………5分把直线l 的方程化为参数方程得,2x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩，代入⊙C 的普通方程得23=0t -，设,A B 两点分别对应参数12,t t，则12123t t t t +==-， ……………7分所以12||||AB t t =-==，……………9分所以1||2OAB S AB d ∆==10分 23解：⑴由已知得3=2++22ab a b ≥，所以2320≥--，………2分得≥2ab ≥，当且仅当2=2a b ab ⎧⎨=⎩即=1,=2a b 时取“=”号，………4分故 ab 的最小值是2． ……………5分⑵ 由⑴问题等价于 |||2|2x m x -+-≤有解，……………7分只要()min |||2|2x m x -+-≤，……………8分因为()min |||2||2|x m x m -+-=-，……………9分所以只要|2|2m -≤，得04m ≤≤．……………10分。
“超级全能生”2020届高三第五次模拟考试文综历史参考答案解析
2019—2020学年度高三年级第五次模拟历史答案及评分标准一、选择题（本大题共35小题，每小题4分，共48分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是最符合题目要求的）242526272829303132333435 A A D D C B A B B C C D二、非选择题（本大题包括必考题和选考题两部分，第41~42题为必考题，每个试题考生都必须作答。
第43~47题为选考题，考生根据要求作答）41．(1)移民原因：近代化引发的移民(答出“工业化”移民得1分，经济结构的变化移民得1分，两者均答出得2分)；农民被动性移民(农民破产或失去土地)；移民原生存环境差。
(共6分，答出其中任意2点得6分，其他要点言之成理每点亦可得1~2分)移民特点：由农村移向城市；农村人口为流动主体。
(共2分，答出任意1点得2分，其他要点言之成理每点亦可得1~2分)移民影响：推动城市化；移民的生活方式发生了变化。
(答出生活方式发生了变化或生活习俗的变化亦可得2分)。
(每点2分，共4分，其他要点言之成理每点亦可得1~2分)(2)特点：新中国成立初期以政府计划引导为主；以保障社会主义建设为目标；新时期以自愿移民为主；城乡劳动力流动合理有序(答出“劳动力流动合理”亦可)。
(每点2分，答出3点得6分，其他要点言之成理每点亦可得1~2分)影响因素：受国际局势(国家安全或侵略战争)等的影响；受国内政府的政治导向影响；受国家经济建设的影响；受自然环境、自然灾害等影响。
(每点2分，答出3点得7分，其他要点言之成理每点亦可得1~2分)42．示例1：观点：我赞同天人合一、以人为本、刚健自强、以和为贵是中国传统文化的基本精神。
(2分)分析：董仲舒宣扬“天人合一”，通过天人感应理论呼吁君主循天道、行仁政，防止暴政。
湖南师范大学附属中学2020届高三5月模拟考试数学(文)试题
湖南师范大学附属学校2020 届高三5 月模拟文科数学试题卷本试卷共 6 页，满分150 分，考试用时120 分钟。
注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号和座位号填写答题卡上。
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。
如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。
回答非选择题时，将答案写在答题卡上。
写在本试卷上无效。
3．考试结束后.将本试卷和答题卡一并交回。
一、选择题：本题共12 小题，每小题5 分，共60 分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．设集合 A={(x，y)|x+y=2}，B={(x，y)|y=x2}，则 A B =A．{(1,1)} B．{(-2, 4)} C．{(1,1)},{(-2, 4)}D．Φ2．已知2(1)1iiz-=+（i i为虚数单位），则复数z =A.1+iB.1-IC.-1+iD.-1-i3．现有甲、乙、丙、丁四人参加数学竞赛，其中只有一位获奖. 有人走访了四人，甲说：“乙、丁都未获奖”，乙说：“是甲或丙获奖”，丙说：“是甲获奖”，丁说：“是乙获奖”，四人所说话中只有一位是真话，则获奖的人是A．甲B．乙C．丙D．丁4．已知直线a,b 表示不同的直线,则a / /b 的充要条件是A．存在平面α,使a / /α,b / /αB．存在平面α,使a ⊥α,b ⊥αC．存在直线 c ,使a ⊥c,b ⊥c D．存在直线c ,使a,b 与直线c 所成的角都是605．函数 f (x) = 2x - 4sin x ， x ∈[-π2,π2]的图像大致是A. B.C. D. 6．某几何体三视图如图，则该几何体体积是4 8 A ．4 B ．C ．33D ．27．“割圆术”是我国古代计算圆周率π的一种方法．在公元 263 年左右，由魏晋时期的数学家刘徽发明．其原理就是利用圆内接正多边形的面积逐步逼近圆 的面积，进而求π．当时刘微就是利用这种方法，把π的近似值计算到 3.1415 和 3.1416 之间，这是当时世界上对圆周率π的计算最精确的数据．这种方法的可贵之处就是利用已知的、可求的来逼近未知的、要求的，用有限的来逼近 无穷的．为此，刘微把它概括为“割之弥细，所失弥少，割之又割，以至于不可割，则与圆合体，而无所失矣”．这种方法极其重要，对后世产生了巨大影响，在欧洲，这种方法后来就演变为现在的微积分．根据“割圆术”，若用正二十四边形来估算圆周率π，则π的近似值是 （精确到0.01) （参考数据sin15︒ ≈ 0.2588) A ．3.05B ．3.10C ．3.11D ．3.148．关于函数 f (x ) =|sin ||cos |22x x+ 有下述三个结论：①函数 f (x ) 的图象既不关于原点对称，也不关于 y 轴对称；②函数 f (x ) 的最小正周期为π ；③ ∃x 0 ∈ R ， f (x 0 ) =2-1．其中正确结论的个数为 A ．0B ．1C ．2D ．39．设 A , B , C ∈(0,)2π，且cos A + cos B = cos C ， sin A - sin B = sin C ，则 C -A ＝A ．6π-B ．3π-C ．3π D ．3π或3π-10．已知椭圆 222:1(02)4x y C b b+=<< ，作倾斜角为3π4的直线交椭圆 C 于 A,B 两点,线段 AB 的中点为 M ,O 为坐标原点OM 与MA 的夹角为θ,且 tan θ =3，则b = A ．1B ．2C ．3D ．6211．在四面体 ABCD 中，AB = AC = 23，BC = 6，AD ⊥底面ABC ，G 为∆∆B C 的重心，且直线 DG 与平面 ABC 所成的角是30︒，若该四面体ABCD 的顶点均在球O 的表面上，则球O 的 表面积是 A. 24πB. 32πC. 46πD. 49π12．已知函数 f (x )=m x －1－n ln x (m >0,0≤n ≤e)在区间[1，e]内有唯一零点，则n +2m +1的取值范围为 A.22[,1]12e e e e ++++ B.22[,1]1e e e e ++++ C.2[,1]1e e ++ D. [1,1]2e+ 二、填空题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分。
2020届湖南省长沙市一中高三第五次调研考试数学(文)试题
2020届湖南省长沙市一中高三第五次调研考试高三数学（文）试题★祝考试顺利★ 注意事项：1、考试范围：高考范围。
2、试题卷启封下发后，如果试题卷有缺页、漏印、重印、损坏或者个别字句印刷模糊不清等情况，应当立马报告监考老师，否则一切后果自负。
3、答题卡启封下发后，如果发现答题卡上出现字迹模糊、行列歪斜或缺印等现象，应当马上报告监考老师，否则一切后果自负。
4、答题前，请先将自己的姓名、准考证号用0.5毫米黑色签字笔填写在试题卷和答题卡上的相应位置，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。
用2B 铅笔将答题卡上试卷类型A 后的方框涂黑。
5、选择题的作答：每个小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。
写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非选择题答题区域的答案一律无效。
6、主观题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。
写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域的答案一律无效。
如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液。
不按以上要求作答无效。
7、保持答题卡卡面清洁，不折叠，不破损，不得使用涂改液、胶带纸、修正带等。
8、考试结束后，请将本试题卷、答题卡、草稿纸一并依序排列上交。
第Ⅰ卷一、选择题：（本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 已知4(,0),cos 25x x π∈-=，则tan x = A.34B. 34-C.34D. 34-2. 过点(1,0)且与直线220x y --=垂直的直线方程是A ．220x y +-=B ．220x y --=C ．210x y --=D ．210x y +-=3．等比数列{}n a 的前n 项和n S ，若3240a S +=，则公比q = A.1-B.1C. 2D. 2-4．在正方体1111ABCD A B C D -中，异面直线1A B 与1B C 所成的角是 A.6πB.4π C.3π D.2π5．若变量x ，y 满足70201x y x y x +-⎧⎪-+⎨⎪⎩≤≤≥，则y x 的取值范围是A. 9[,6]5B. (3,6]C. 9(,]5-∞D. 9(,][6,)5-∞+∞6．已知函数()sin()(0,)22f x A x ωϕωϕππ=+>-<<的部分图象如图所示，则ϕ=A.6πB. 4πC. 3πD. 2π7．若圆224x y +=与圆222210x y ax a +-+-=相内切，则a 的值为 A. 1B. 1-C. 2D. 1±8．“牟合方盖”是我国古代数学家刘徽在研究球的体积过程中构造的一个和谐优美的几何体.它由完全相同的四个曲面构成，相对的两个曲面在同一圆柱的侧面上，好似两个扣合（牟合）在一起的方形伞（方盖）.其直观图如下右图所示，图中四边形是为体现其直观性所作的辅助线.当其正视图和侧视图完全相同时，它的俯视图可能是9．已知向量,a b 不共线，若,(21)c a b d a b λλ=+=+-，若c 与d 共线，则实数λ的值为A ．1B ．12-C ．1或12-D ．1-或1210．已知双曲线22136x y -=的左、右焦点分别为12,F F ，点P为双曲线上一点，且1260F PF ∠=︒，则12F PF ∆的面积为A ．6B ．C. 12D ．11．存在[1,1]x ∈-，使得230x tx t +-≥，则t 的最大值为 A. 1B. 1-C.12D.1412．设椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的左右焦点分别为12,F F ，点(0,)(0)E t t b <<.已知动点P 在椭圆上，且点2,,P E F 不共线，若2PEF ∆的周长的最小值为4b ，则椭圆C 的离心率是A.12第Ⅱ卷二、填空题：（本大题共4小题，每小题5分，共20分.把答案填写在答题卡的相应位置）13．已知平面向量,a b 满足()3a a b ⋅+=，且||2,||1a b==则a 与b 的夹角是____________．14．已知函数(2)2my x x x =+>-的最小值为6，则正数m 的值是____________． 15．等差数列{}n a 中，已知5470,0a a a >+<，则该数列的前n 项和n S 的最大值是____________.16．已知直线,m l 平面,αβ，且,m l αβ⊥⊂，给出下列命题：①若//αβ，则m l ⊥； ②若αβ⊥，则//m l ； ③若m l ⊥，则αβ⊥； ④若//m l ，则αβ⊥． 其中正确的命题是____________．（请填写正确命题的序号）三、解答题：（本大题共6小题，第17-21每题12分，第22题10分，共70分.解答题应写出必要的文字说明、证明过程、演算步骤）17．（本小题满分12分）（1）若直线:(1)20l a x y a +++-=（a ∈R ）的横截距是纵截距的2倍，求直线l的方程；（2）若直线l 经过原点，并且被圆22:2430C x y x y +-++=截得的弦长为2，求直线l 的方程.18.（本小题满分12分）在ABC ∆中，角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，已知(1cos )(2cos )c B b C +=-． （1）求证：2b a c =+；（2）若3B π=，ABC ∆的面积为b 的值．19.（本小题满分12分）如图，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 是边长为2的菱形，PAD ∆是正三角形，且E 为AD 的中点，BE ⊥平面PAD ．（1）证明：平面PBC ⊥平面PEB ； （2）求四棱锥P BCDE -的体积．20.（本小题满分12分）已知数列{}n a 的前n 项和n S ，且22n n S a =-． （1）求数列{}n a 的通项公式；（2）若n n b na =，求数列{}n b 的前n 项和n T ．21．（本小题满分12分）已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=>>经过点1)2．（1）求椭圆C 的方程；（2）已知椭圆的顶点(0,),(,0)A b B a ，点P 是椭圆C 上位于第三象限的动点，直线,AP BP 分别交x 轴和y 轴于点,M N ，求证：||||AN BM ⋅为定值．22．（本小题满分10分，考生可在其中的（A ），（B ）两题中任选一题作答） （A ）4－4：坐标系与参数方程已知在平面直角坐标系xOy 中，直线l的参数方程为2,2(112x t y t ⎧=-⎪⎪⎨⎪=-+⎪⎩为参数)，以坐标原点O 为极点，x 轴正半轴为极轴且取相同的单位长度建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为4cos ρθ=．（1）求直线l 的普通方程与曲线C 的直角坐标方程； （2）设曲线C 与直线l 交于不同的两点,A B ，(2,1)M -，求11||||AM BM +的值．（B ）4－5：不等式选讲 已知函数()|21|f x x =+．（1）求不等式()3|2|f x x --≥的解集；（2）若()1,()2f a f b ≤≤成立，求证：(32)7f a b -≤．高三数学（文）试题参考答案一、选择题：（5×12=60）二、填空题：（4×5=20） 13.32π14.415.5S16. ①④三、解答题：（第17-21每题12分，第22题10分，共70分）17.解：（1）依题意，直线l 的横、纵截距均存在，所以1a ≠-∴令0x =，得直线l 的纵截距2y a =-，令0y =，得直线l 的横截距21a x a -=+∴依题意有：22(2)1a a a -=-+，即1(2)(2)01a a --=+ ∴2a =或12a =-……3分①当2a =时，直线l 的横、纵截距均为0，满足横截距是纵截距的2倍此时，直线l 过原点且方程为：30x y +=……4分②当12a =-时，直线l 的横、纵截距分别为55,2--，满足横截距是纵截距的2倍 此时，直线l 的方程为：250x y ++=……5分∴综上述，直线l 的方程为：30x y +=或250x y ++=．……6分（2）由圆的方程易得圆心坐标为(1,2)-……7分又直线l 经过原点，并且被圆截得的弦长为2，所以圆心到直线l 的距离为1……8分①当直线l 的斜率不存在时，直线l 的方程为0x =，满足条件；……9分②当直线l 的斜率存在时，设直线l 的方程为y kx =1=，解得34k =-∴直线l 的方程为34y x =-，即340x y +=……11分∴综上述，直线l 的方程为：0x =或340x y +=．……12分18.解：（1）∵(1cos )(2cos )c B b C +=-∴由正弦定理有sin (1cos )sin (2cos )C B B C +=-……2分∴sin sin cos 2sin sin cos C C B B B C +=-∴sin sin cos sin cos 2sin C C B B C B ++= ∴sin sin()2sin C B C B ++=又B C A +=π-∴sin sin 2sin C A B +=……4分∴由正弦定理有2b a c =+．……6分（2）∵3B π=∴ABC ∆的面积1sin 2S ac B ===∴16ac =……8分由余弦定理可得2222222cos ()3b a c ac B a c ac a c ac =+-=+-=+-……10分∵2b a c =+ ∴22(2)316b b =-⨯∴4b =．……12分19. 解：（1）∵BE ⊥平面PAD ，AD ⊂平面PAD ∴AD BE ⊥……1分又PAD ∆是正三角形，E 为AD 的中点 ∴AD PE ⊥……2分又PE E BE =∴AD ⊥平面PEB……4分又底面ABCD 是菱形 ∴//AD BC ∴BC ⊥平面PEB……5分又BC ⊂平面PBC ∴平面PBC ⊥平面PEB ．……6分（2）∵BE ⊥平面PAD ，PE ⊂平面PAD ∴PE BE ⊥由（1）知AD PE ⊥，且AD E BE =∴PE ⊥平面ABCD∴PE 为四棱锥P BCDE -的高……8分又底面ABCD 是边长为2的菱形∴1,AE ED PE === 又由（1）知AD BE ⊥∴EB =……10分∴P BCDE V -113[(12)]322=+=，即四棱锥P BCDE -的体积是32． ……12分20. 解：（1）∵22n n S a =- ∴当1n =时，11122a S a ==-∴12a =……2分又当2n ≥时，11122(22)22n n n n n n n a S S a a a a ---=-=---=- ∴12n n a a -=……4分∴数列{}n a 是以2为首项，2为公比的等比数列∴数列{}n a 的通项公式为*2,n n a n =∈N ．……6分（2）由（1）可得2nn b n =⋅……7分∴1231222322n n T n =⋅+⋅+⋅++⋅ ①∴23412122232(1)22n n n T n n +=⋅+⋅+⋅++-⋅+⋅ ②……8分由①-②得：2341222222n n n T n +-=+++++-⋅……9分∴12(12)212n n n T n +--=-⋅-∴112(12)22(21)212n n n n n T n n ++-=-+⋅=--+⋅-……11分∴12(1)2n n T n +=+-⋅∴数列{}n b 的前n 项和12(1)2n n T n +=+-⋅.……12分21.解：（1）∵椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=>>经过点1)2∴223114a b ⎧+=⎪=2,1a b ==∴椭圆C 的方程为2214x y +=．……5分（2）设点0000(,)(20,10)P x y x y -<<-<<，则220014x y +=……6分由（1）知(0,1),(2,0)A B ∴直线AP 的方程为0011y y x x -=+，令0y =得001M xx y =-直线BP 的方程为00(2)2y y x x =--，令0x =得022N y y x =-……8分∴00000222||122y x y AN x x --=-=--，0000022||211x x y BM y y --=-=--……10分∴200000000002222(22)||||21(2)(1)x y x y x y AN BM x y x y ------⋅=⋅=---- 22000000000000000000444844(22)42222x y x y x y x y x y x y x y x y x y ++--+--+===--+--+∴||||AN BM ⋅为定值4．……12分22.（A ）4－4：坐标系与参数方程解：（1）∵直线l的参数方程为2,(112x t y t ⎧=⎪⎪⎨⎪=-+⎪⎩为参数) ∴直线l的普通方程为20x ++=……3分又曲线C 的极坐标方程为4cos ρθ= ∴曲线C 的直角坐标方程为2240x y x +-=……5分（2）设,A B 两点所对应的参数分别为12,t t将直线l 的参数方程代入曲线C 的直角坐标方程得230t t --=∴12121,3t t t t +=⋅=-……7分∴12,t t 异号∴1212121212||||||11||||||||||||||||||t t t t AM BM AM BM AM BM t t t t +-++=====⋅⋅⋅．……10分（B ）4－5：不等式选讲解：（1）不等式()3|2|f x x --≥可化为|21|3|2|x x +--≥……1分当12x -≤时，不等式可化为2132x x --+-≥，解得：23x -≤ ∴此时不等式的解集为{|}3x x 2-≤；……2分当122x -<<时，不等式可化为2132x x ++-≥，解得0x ≥ ∴此时不等式的解集为{|02}x x <≤；……3分当2x ≥时，不等式可化为2132x x +-+≥，解不等式得43x ≥ ∴此时不等式的解集为{|2}x x ≥；……4分综上述，原不等式的解集为{|0}3x x x 2-≤或≥.……5分（2）依题意()|21|,()|21|f a a f b b =+=+∵(32)|2(32)1||641||3(21)2(21)|f a b a b a b a b -=-+=-+=+-+……7分∴|3(21)2(21)||3(21)||2(21)|3()2()a b a b f a f b +-++++=+≤……8分∵()1,()2f a f b ≤≤ ∴3()2()7f a f b +≤……9分∴(32)7f a b -≤．……10分。
2020届湖南省长沙市一中高三第五次模拟考试理科综合测试题
2020届湖南省长沙市一中高三第五次模拟考试理科综合测试题★祝考试顺利★注意事项：1、考试范围：高考范围。
2、试题卷启封下发后，如果试题卷有缺页、漏印、重印、损坏或者个别字句印刷模糊不清等情况，应当立马报告监考老师，否则一切后果自负。
3、答题卡启封下发后，如果发现答题卡上出现字迹模糊、行列歪斜或缺印等现象，应当马上报告监考老师，否则一切后果自负。
4、答题前，请先将自己的姓名、准考证号用0.5毫米黑色签字笔填写在试题卷和答题卡上的相应位置，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。
用2B铅笔将答题卡上试卷类型A后的方框涂黑。
5、选择题的作答：每个小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。
写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非选择题答题区域的答案一律无效。
6、主观题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。
写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域的答案一律无效。
如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液。
不按以上要求作答无效。
7、保持答题卡卡面清洁，不折叠，不破损，不得使用涂改液、胶带纸、修正带等。
8、考试结束后，请将本试题卷、答题卡、草稿纸一并依序排列上交。
可能用到的相对原子质量：H 1 Li 7 B 11 C 12 N 14 O 16 Na 23 Cu 64第Ⅰ卷（选择题共126分）本卷共21小题，每小题6分，共126分一、选择题：本题共13个小题，每小题6分，共78分。
四个选项中，只有一项是符合题目要求.1.下列有关真核生物核糖体的叙述，正确的是（）A.全部游离在细胞质基质中.B.遗传信息翻译的场所。
C.组成成分中含mRNA。
D.能识别基因的启动子。
2.下列生理过程中，没有蛋白质直接参与的是（）A.线粒体基质中的CO2进入细胞质基质的过程。
B.有丝分裂间期DNA进行半保留复制的过程。
C.受精作用中精子与卵细胞相互识别的过程。
D.免疫系统清除侵入内环境中病原体的过程。
湖南师范大学附属中学2020届高三5月模拟考试 文科数学(含答案)
(2)在① ak 1 , ak 3 , ak 2 ,② ak 2 , ak 1 , ak 3 这两个 条件中任选一个,补充在下面的问题中,要使问 题成立,
及对应的dk .
A．1,1
B．2,4
C．1,1,2, 4
库 2．已知 (1 i)2 1 i （ii 为虚数单位），则复数 z 料 z
D．
A. 1 i
B.1 I
C.1 i
资 D.1i
三 3．现有甲、乙、丙、丁四人参加数学竞赛，其中只有一位获奖. 有人走访了四人，甲说：“乙、丁
高 都未获奖”，乙说：“是甲或丙获奖”，丙说：“是甲获奖”，丁说：“是乙获奖”，四人所说话中只 ： 有一位是真话，则获奖的人是
其中正确结论的个数为
A．0
B．1
③ x0 R ， f x0 ．
C．2
D．3
9．设 A, B,C (0, ) ，且cos A cos B cos C ， sin A sin B sin C ，则 C-A＝
2
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公众号：高三资料库
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复习资料／最新试卷
线 DG 与平面 ABC 所成的角是30，若该四面体ABCD 的顶点均在球O 的表面上，则球O的
表面积是
A. 24π
B. 32π
C. 46π
D. 49π
12．已知函数 f(x)=m －1－nln x(m>0,0≤n≤e)在区间[1，e]内有唯一零点，则 n +2 的取值范围为
x
m+1
A.[
e2 e2 e
17．已知数列{an }的前 n 项和为Sn , a1 a(a 0,a N* ) , Sn pan+1( p 0 且 p 1, n N* )