(苏科版)最新九年级数学上册教材配套教学课件：1.2 一元二次方程的解法(6)因式分解法
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一元二次方程的解法(第3课时配方法)(课件)九年级数学上册精品课件(苏科版)
将常数项移到等号右边，含未 知数的项移到等号左边.
左、右两边同时加上一次项系 数一半的平方.
利用平方根的意义直接开平方.
移项，合并.
例题讲解
例1.用配方法解下列方程：
(2)2x2-2x+1=0
∴原方程无解.
＜0？
新知巩固
用配方法解下列方程：
(1)3x2-1＝6x；
(2) －5x2+2x－1＝0.
当堂检测
2.用配方法解下列方程，正确的是( D ) A. x2+4x-1=0化为(x+2)2 = -1+4
B. t2-2t-4 = 0化为(t-1)2 = 4
当堂检测
3.用配方法解下列方程，配方错误的是( C )
当堂检测
4.若方程4x2－(m＋2)x＋1＝0的左边可以写成一个完全平方
式，则m的值为( C ) A. 2或－2 B. 6或－6
变式：试判断代数式-x2+2x+3是存在最大值还是最小值？
课堂小结
二次项系数为1 (x+h)2=k(k≥0) 配方法解一 元二次方程
二次项系数不为1 ax2+bx+c=0 (a≠0）
特别提醒： 在使用配方法解方程之前先把方程的二次项系数化为1.
当堂检测
1. 将方程2x2＋8x＋3＝0变形为(x＋h)2＝k的形式，正确的是 ( D ) A. （x＋2）2＝1
∴原方程无解.
例题讲解
例2. 求证：不论x取何值，代数式2x2-4x+3的值总大于零.
证明：2x2-4x+3=2(x2-2x+1)+1 =2(x-1)2+1
∵不论x取何值时，总有2(x-1)2≥0 ∴2(x-1)2+1＞0 ∴不论x取何值，代数式2x2-4x+3的值总大于零.
左、右两边同时加上一次项系 数一半的平方.
利用平方根的意义直接开平方.
移项，合并.
例题讲解
例1.用配方法解下列方程：
(2)2x2-2x+1=0
∴原方程无解.
＜0？
新知巩固
用配方法解下列方程：
(1)3x2-1＝6x；
(2) －5x2+2x－1＝0.
当堂检测
2.用配方法解下列方程，正确的是( D ) A. x2+4x-1=0化为(x+2)2 = -1+4
B. t2-2t-4 = 0化为(t-1)2 = 4
当堂检测
3.用配方法解下列方程，配方错误的是( C )
当堂检测
4.若方程4x2－(m＋2)x＋1＝0的左边可以写成一个完全平方
式，则m的值为( C ) A. 2或－2 B. 6或－6
变式：试判断代数式-x2+2x+3是存在最大值还是最小值？
课堂小结
二次项系数为1 (x+h)2=k(k≥0) 配方法解一 元二次方程
二次项系数不为1 ax2+bx+c=0 (a≠0）
特别提醒： 在使用配方法解方程之前先把方程的二次项系数化为1.
当堂检测
1. 将方程2x2＋8x＋3＝0变形为(x＋h)2＝k的形式，正确的是 ( D ) A. （x＋2）2＝1
∴原方程无解.
例题讲解
例2. 求证：不论x取何值，代数式2x2-4x+3的值总大于零.
证明：2x2-4x+3=2(x2-2x+1)+1 =2(x-1)2+1
∵不论x取何值时，总有2(x-1)2≥0 ∴2(x-1)2+1＞0 ∴不论x取何值，代数式2x2-4x+3的值总大于零.
苏科版九年级上册 1.2 一元二次方程的解法 讲义
一元二次方程的解法1、直接开方法：对于形如x ²=k(k ≥0)的方程，我们可以根据平方根的意义，其中x 表示k 的平方根，即x=±k ，所以对于一元二次方程x ²=k 有两个根，它们分别记为k x =1，k x -2=注意：这里有时候要将等号两边看作整体，常见形式：①ax ²=k ②(ax+h)²=k ③（ax+b)²=（cx+d)²例题解析：4x ²-1=0 (x+1)²=2解：412=x 解；将(x+1)看作一个整体21±=x ()21±=+x121-=x 1-2-2=x(3x+2)²=(x-2)²解：将(3x+2)和（x-2）分别看作一个整体 ()()223-±=+x x21-=x 02=x2、配方法：首先要将一个一元二次方程变形为(x+h)²=k,当k ≥0时，然后就可以直接用开平方法求出方程的解。
步骤：①移项：把常数项移到等号的右边；②二次项系数化为1：方程两边同时除以二次项的系数； ③配方：在方程的两边同时加上一次项系数一半的平方； ④用直接开平方法求出变形后的方程；注意：配方法用到一个公式：完全平方公式逆运算：a ²±2ab+b ²=（a ±b ）² 配方法最关键的就是第二个步骤，一定要加上一次项系数一半的平方。
（这里可以不用考虑一次系数前面的正负号）例题分析：x ²+8x+ 4² =(x+ 4 )² x ²-62x+ ()223 =(x- ²加上一次项系数的一半的平方，不需要考虑正负号。
02522=+-x x 解：移项： 2522-=-x x二次项系数化为1：1252-=-x x加上一次项系数一半的平方：2224514525⎪⎭⎫⎝⎛+-=⎪⎭⎫ ⎝⎛+-x x配方：169)45(2=-x解得：4345±=⎪⎭⎫ ⎝⎛-x21=x 212=x3、公式法：一元二次方程ax ²+bx+c=0(a ≠0)的根是由方程的各项系数决定的，它的实数根是：240)x b ac =-≥ 步骤：① 要将已知方程化为一般表达式，且注意二次项系数不为0；② 计算出△=b ²-4ac 的值，注意各项系数包括符号； ③ 若△=b ²-4ac ≥0，直接带入公式求解；注意：看清楚是指一元二次方程还是指一元一次方程，或只是说方程（两种情况都要考虑）。
苏科版数学九年级上册 1.2 一元二次方程的解法 (根的判别式) (共12张PPT)
根的判别式
归纳小结
（1）当 b2－4ac >0时，方程有两个不相等的实数根； （2）当 b2－4ac =0时，方程有两个相等的实数根； （3）当 b2－4ac <0时，方程没有实数根。 xk
动手试一试吧！
不解方程，你能判断下列方程根的 情况吗？
⑴ x2＋3x－1 = 0
⑵ x2 - 6x + 5 = 0
⑵ x2－2x＋1 = 0
两个不相等的 实数根 方程（1）____________ 两个相等的 方程（2） ____________ 实数根 方程（3）__________ 没有 实数根
探索活动
一元二次方程ax2＋bx＋c = 0（a≠0）的 根的情况跟什么有关系？ 可以发现：
一元二次方程 ax2＋bx＋c=0 （ a≠0 ） 的根的情况可由b2－4ac 来判定
苏科版数学九年级上册
§1.2 一元二次方程的解法（4）
施 凯 花 张家港市大新实验学校
温故知新
1、用公式法解一元二次方程的步 骤是什么？
2、用公式法解下列一元二次方程 ⑴ x 2＋ x － 1 = 0 ⑶2x2－2x＋1 = 0 ⑵ x2－2x＋1 = 0
探索活动
观察这三个方程的根的情况。
⑴ x 2＋ x － 1 = 0 ⑶2x2－2x＋1 = 0
变式1： 关于x的方程 kx2-(2k-1)x+k+3=0 有实数根 , 求 k 的取值范围。 变式2： 关于x的方程 kx2-(2k-1)x+k+3=0 有两个实数根 , 求 k 的取值范围。
典例示范
试说明关于x的方程：
x 2 2mx 2m 4 0
的根的情况.
拓展延伸
苏教九年级数学上册《一元二次方程的解法》课件
三化：方程化为两个一元一次方程;
四解：写出方程两个解; Zx xk
➢回顾与思考
按下列要求解方程：
1 x2 1 60直 接 开 平 方 法 ； 2 2 x2 5 x 3 0配 方 法 3 x2 2 x 1 公 式 法 ； 4 3y 1 2yy 1 因 式 分 解 法 .
① x2-3x+1=0 ② 3x2-1=0 ③ -3t2+t=0
④ x2-4x=2 ⑤ 2x2－x=0 ⑥ 5(m+2)2=8
⑦ 3y2-y-1=0 ⑧ 2x2+4x-1=0 ⑨ (x-2)2=2(x-2)
适合运用直接开平方法
；
适合运用因式分解法
；
适合运用公式法
；
适合运用配方法
.
➢归纳小结
①公式法虽然是万能的，对任何一元二次方程都适 用，但不一定是最简单的，因此在解方程时我们首 先考虑能否应用“直接开平方法”、“因式分解法” 等简单方法，若不行，再考虑公式法（适当也可考 虑配方法）
1.2. 一元二次方程的解法复习
➢回顾与思考
1.我们已经学过了几种解一元二次方程的方法? 直接开平方法 配方法 公式法 因式分解法 2.你能说出每一种解法的特点吗? Zx xk
➢回顾与思考
直接开平方法
方程的左边是完全平方式,右边是非负数;
即形如x2=k(k≥0)或 xh2k(k0)
xk xhk
➢回顾与思考
配方法
1.化1:把二次项系数化为1; Zx xk 2.移项:把常数项移到方程的右边; 3.配方:方程两边同时加上一次项系数一半的平方;
4.变形:化成 xh2k(k0)
5.开平方：求解Zx xk
★一除、二移
1.先把一元二次方程化为一般形式: ax2+bx+c=0(a≠0).
四解：写出方程两个解; Zx xk
➢回顾与思考
按下列要求解方程：
1 x2 1 60直 接 开 平 方 法 ； 2 2 x2 5 x 3 0配 方 法 3 x2 2 x 1 公 式 法 ； 4 3y 1 2yy 1 因 式 分 解 法 .
① x2-3x+1=0 ② 3x2-1=0 ③ -3t2+t=0
④ x2-4x=2 ⑤ 2x2－x=0 ⑥ 5(m+2)2=8
⑦ 3y2-y-1=0 ⑧ 2x2+4x-1=0 ⑨ (x-2)2=2(x-2)
适合运用直接开平方法
；
适合运用因式分解法
；
适合运用公式法
；
适合运用配方法
.
➢归纳小结
①公式法虽然是万能的，对任何一元二次方程都适 用，但不一定是最简单的，因此在解方程时我们首 先考虑能否应用“直接开平方法”、“因式分解法” 等简单方法，若不行，再考虑公式法（适当也可考 虑配方法）
1.2. 一元二次方程的解法复习
➢回顾与思考
1.我们已经学过了几种解一元二次方程的方法? 直接开平方法 配方法 公式法 因式分解法 2.你能说出每一种解法的特点吗? Zx xk
➢回顾与思考
直接开平方法
方程的左边是完全平方式,右边是非负数;
即形如x2=k(k≥0)或 xh2k(k0)
xk xhk
➢回顾与思考
配方法
1.化1:把二次项系数化为1; Zx xk 2.移项:把常数项移到方程的右边; 3.配方:方程两边同时加上一次项系数一半的平方;
4.变形:化成 xh2k(k0)
5.开平方：求解Zx xk
★一除、二移
1.先把一元二次方程化为一般形式: ax2+bx+c=0(a≠0).
苏科版初三数学上册1.2一元二次方程的解法PPT课件17
初中数学 九年级(上册)
1.2 解一元二次方程（6）
复习：
1、我们已经学习了哪几种解一元二次方程的方法？
（1）直接开平方法 （2）配方法 （3）公式法
2、一元二次方程的求根公式是什么？
3、用公式法解一元二次方程的基本步骤有哪些？
1、化成一般形式，找出 a、b、c
2、计算 b2-4ac 的值
3、利用公式求解
4、若一元二次方程 ax2+bx+c=0（a≠0）有两个实
数根，则可得结论
。
用两种不同方法解下面方程：源自1、配方法2、公式法
x2 3x 0
因式分解法
步骤：（1）通过变形，使方程右边为0 （2）将方程左边因式分解.
例 1 用因式分解法解下列方程：
（1）x2=-4x （2） 3x（x-2）=2（x-2）
例3 用适当方法解下列方程
（1） (x-1)2=3 （2） 4（2x-1）2=9（x+4）2 (3) x2-2x=8 (4) （x－1）2－6（x－1）+9=0 (5) x2-8x+6=0
如何选用解一元二次方程的方法？ 首选因式分解法和直接开平方， 其次选公式法，最后选 配方法
作业
《全品》 第七页（不要撕）
步骤：（1）通过变形，使方程右边为0 （2）将方程左边因式分解.
练一练
用因式分解法解下列方程： (1) 2(x-1)+x(x-1)=0 (2) 4x(2x-1)=3(2x-1) (3) (2x-5)2-2x+5=0 (4) 4(2x-1)2=9(x+4)2
例 2 用因式分解法解下列方程：
（1） x2-4x - 5=0 （2） x2 + x - 6=0 （3） x2 -2 x - 8=0 （4） x2 +7 x +12=0 （5） x2 +5x -24=0 （6） x2 -12x +20=0
苏科版九年级上册第1章一元二次方程课件
数学
一元二次方程 (1)
温故知新
．
（1）一元二次方程的有关概念
只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的方程，叫做 一元二次方程．
一元二次方程的一般情势： ax2 bx c 0a 0
一元二次方程的解（根）：使方程成立的未知数的值，就是一 元二次方程的解，一元二次方程的解也叫做一元二次方程的根.
题目 2：把方程 x2+2（x﹣1）＝3x 化成一般形式，正确的是（ ）
A．x2﹣x﹣2＝0
B．x2+5x﹣2＝0 C．x2﹣x﹣1＝0
D．x2﹣2x﹣1＝0
题目 3： 已知方程 x2＋mx﹣3＝0 的一个根是 1，则 m 的值为
.
（2）一元二次方程的解法 题目 5：用配方法将方程 x2﹣6x＝1 转化为（x+a）2＝b 的形式，则 a，b 的值分别为
例 2 阅读材料：为解方程（x2﹣1）2﹣3（x2﹣1）＝0，我们可以将 x2﹣1 视为一个整 体，然后设 x2﹣1＝y，将原方程化为 y2﹣3y＝0，①解得 y1＝0，y2＝3． 当 y＝0 时，x2﹣1＝0，x2＝1，∴x＝±1 当 y＝3 时，x2﹣1＝3，x2＝4，∴x＝±2 ∴原方程的解为 x1＝1，x2＝﹣1，x3＝2，x4＝﹣2 解答问题： （1）在由原方程得到方程①的过程中，利用 法达到了降次的目的，体现了 的数 学思想； （2）利用上述材料中的方法解方程：（x2+x）2﹣（x2+x）﹣2＝0．
.
题目 10：下列一元二次方程中，两个实数根之和为 1 的是 ( A． x2 x 2 0 B． x2 x 2 0 C． x2 x 2 0
) D． x2 x 2 0
例 1 若关于 x 的一元二次方程（m+2）x|m|+2x﹣1＝0 是一元二次方程，则 m＝ ． 变式：关于 x 的一元二次方程（a+1）x2﹣2x+3＝0 有实数根，则整数 a 的最大值是 ．
一元二次方程 (1)
温故知新
．
（1）一元二次方程的有关概念
只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的方程，叫做 一元二次方程．
一元二次方程的一般情势： ax2 bx c 0a 0
一元二次方程的解（根）：使方程成立的未知数的值，就是一 元二次方程的解，一元二次方程的解也叫做一元二次方程的根.
题目 2：把方程 x2+2（x﹣1）＝3x 化成一般形式，正确的是（ ）
A．x2﹣x﹣2＝0
B．x2+5x﹣2＝0 C．x2﹣x﹣1＝0
D．x2﹣2x﹣1＝0
题目 3： 已知方程 x2＋mx﹣3＝0 的一个根是 1，则 m 的值为
.
（2）一元二次方程的解法 题目 5：用配方法将方程 x2﹣6x＝1 转化为（x+a）2＝b 的形式，则 a，b 的值分别为
例 2 阅读材料：为解方程（x2﹣1）2﹣3（x2﹣1）＝0，我们可以将 x2﹣1 视为一个整 体，然后设 x2﹣1＝y，将原方程化为 y2﹣3y＝0，①解得 y1＝0，y2＝3． 当 y＝0 时，x2﹣1＝0，x2＝1，∴x＝±1 当 y＝3 时，x2﹣1＝3，x2＝4，∴x＝±2 ∴原方程的解为 x1＝1，x2＝﹣1，x3＝2，x4＝﹣2 解答问题： （1）在由原方程得到方程①的过程中，利用 法达到了降次的目的，体现了 的数 学思想； （2）利用上述材料中的方法解方程：（x2+x）2﹣（x2+x）﹣2＝0．
.
题目 10：下列一元二次方程中，两个实数根之和为 1 的是 ( A． x2 x 2 0 B． x2 x 2 0 C． x2 x 2 0
) D． x2 x 2 0
例 1 若关于 x 的一元二次方程（m+2）x|m|+2x﹣1＝0 是一元二次方程，则 m＝ ． 变式：关于 x 的一元二次方程（a+1）x2﹣2x+3＝0 有实数根，则整数 a 的最大值是 ．
苏教版九年级数学上册《一元二次方程》课件(共19张PPT)
x
根据题意，得 x(192x)24
问题情境 （3）我校图书馆的藏书在两年内从5万册增加 到7.2万册，平均每年增长的百分率是多少？
解： 设平均每年增长的率 百是 分x.
根据题意，得 5(1x)2 7.2
问题情境
（4）长5米的梯子斜靠在墙上，梯子的底端到墙面 的距离比梯子的顶端到地面的距离多1m。设梯子的 底端到墙面的距离是xm，怎样用方程来描述其中的 数量关系？
5(1x)2 7.2
(x1)2x2 52
x2 20
2x21x9 2 40
5x21x02.20
2x22x240
例题例讲题解讲解二 一 常次 数次项 项项、、都二一是次次包项项括系系符数数号、、的
?
[例1] 将下列方程化为一般形式，并分别指出它们的二 次项、一次项和常数项及它们的系数：
(1) 3 x (x 1 ) 5 (x 2 )
解：根据勾股定理，得
x2(x1)2 52
x2 2
x(192x)24
5(1x)2 7.2
x2(x1)2 52 这四个方程是不是一元一次方程？有何特点？
?
x2 2
?
整理得：
2x21x924
5x210x2.2
2x22x24
特点:
①都是整式方程; ②只含一个未知数; ③未知数的最高次数是2.
x2 2
常数项。
(1).x2 x2 (2)4x1x2
(3)2.x23x1 (4)x.(x3)2
走进中考
p2x3xp2p0
1、（苏州）若
C
是关x
于A 、 的p 为 一元二任 次方,B 程、 ，p 意 则0 ,（C 、 实 p ）0 ,D 、 数 p 0 或 1
根据题意，得 x(192x)24
问题情境 （3）我校图书馆的藏书在两年内从5万册增加 到7.2万册，平均每年增长的百分率是多少？
解： 设平均每年增长的率 百是 分x.
根据题意，得 5(1x)2 7.2
问题情境
（4）长5米的梯子斜靠在墙上，梯子的底端到墙面 的距离比梯子的顶端到地面的距离多1m。设梯子的 底端到墙面的距离是xm，怎样用方程来描述其中的 数量关系？
5(1x)2 7.2
(x1)2x2 52
x2 20
2x21x9 2 40
5x21x02.20
2x22x240
例题例讲题解讲解二 一 常次 数次项 项项、、都二一是次次包项项括系系符数数号、、的
?
[例1] 将下列方程化为一般形式，并分别指出它们的二 次项、一次项和常数项及它们的系数：
(1) 3 x (x 1 ) 5 (x 2 )
解：根据勾股定理，得
x2(x1)2 52
x2 2
x(192x)24
5(1x)2 7.2
x2(x1)2 52 这四个方程是不是一元一次方程？有何特点？
?
x2 2
?
整理得：
2x21x924
5x210x2.2
2x22x24
特点:
①都是整式方程; ②只含一个未知数; ③未知数的最高次数是2.
x2 2
常数项。
(1).x2 x2 (2)4x1x2
(3)2.x23x1 (4)x.(x3)2
走进中考
p2x3xp2p0
1、（苏州）若
C
是关x
于A 、 的p 为 一元二任 次方,B 程、 ，p 意 则0 ,（C 、 实 p ）0 ,D 、 数 p 0 或 1
1.2 一元二次方程的解法 课件 苏科版数学九年级上册
感悟新知 (1)(x－5)(x－6)＝x－5；
解：原方程可变形为(x－5 )(x－6)－(x－5)＝0， (x－5)［(x－6)－1］＝0. 即(x－5 )(x－7)＝0. x－5=0 或x－7＝0. 所以x1＝5，x2＝7.
感悟新知
(2)3(x＋2)2＝x2－4； 解：原方程可变形为3(x＋2)2－(x＋2 )(x－2)＝0， (x＋2)［3(x＋2)－(x－2)］＝0. 即(x＋2)(2x＋8)＝0. x＋2＝0 或2x＋8＝0. 所以x1＝－2，x2＝－4.
感悟新知
解：把方程x2＋3＝2 2x化成一般形式， 得x2－2 2x＋3＝0 . ∵ a＝1，b＝－2 2，c＝3, ∴ b2－4ac＝(－2 2)2－4×1×3＝－4 ＜ 0， ∴这个方程没有实数根.
感悟新知
特别提醒
用公式法解一元二次方程时，若b2－ 4ac＝0，则方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)有两 个相等的实数根，即x1＝x2＝－2ba.
知识点 5 因式分解法
感悟新知
1. 定义 当一个一元二次方程的一边是0，另一边能分解为 两个一次因式的乘积时，就可以把解这样的一元二次方 程转化为解两个一元一次方程，这种解一元二次方程的 方法叫做因式分解法.
感悟新知
2. 用因式分解法解一元二次方程的一般步骤 (1)整理方程，使其右边为0. (2)将方程左边分解为两个一次因式的乘积. (3)令两个一次因式分别为0，得到两个一元一次方程. (4)分别解这两个一元一次方程，它们的解就是原方程的解.
感悟新知
首先将方程化成左边是含有未知数的平方式， 右边是非负数的形式；其次化平方式的系数为1； 最后根据平方根的意义开平方求解.
感悟新知
例 1 用直接开平方法解下列方程： (1)4x2－13＝12； (2)4(2x－1)2－36＝0. 解题秘方：紧扣用直接开平方法解一元二次方程的步骤 求解.
1最新江苏科技版初中数学九年级上册精品课件.2 一元二次方程的解法
2
＝(x － )2； ＝(x＋ )2 ＝(x－ )2． ＝(x+ )2．
练一练：
解下列方程： （1）x2－4x＋3＝0； （2） x2+10x＋20＝0；
（3）x2＋3x－1＝0 ； （4）x2－7x＋12＝0 ．
小结：
用配方法解一元二次方程的步骤： 1.移项: 把常数项移到方程的右边； 2.配方: 方程两边都加上一次项系数一半的平方; 3.开方: 方程两边开平方; 4.求解: 解两个一元一次方程; 5.定解: 写出原方程的解.
练一练：
1.解下列方程： （1）x2=9 ；
（3）16 x2－25=0 ；
（2）9x2=4 ； （4）2x2－1=0.
2.解下列方程：
（1）x 12 4
（2）3x 12 6 0
（3）2x 12 1 （4）(x 2 )2 2
2
课后练习：
解下列方程：
（1）4x 12 1
解方程2x2－5x＋2＝0. 解：两边都除以2，得
x2 5 x 1 0 ． 2
移项，得
x2 5 x 1 ． 2
配方，得
x2
5 2
x
5 4
2
1 25 16
，
x
5 4
2
9 16
．
两边开平方，得 x 5 3 ．
44
∴
x1
2
，x2
(3) (x-1)2-2(x-1)+1=0．
【小结】
用因式分解法解一元二次方程的一般步骤： （1）把一元二次方程右边化为0； （2）将方程左边分解为两个一次因式的积； （3）每个因式分别为0，得到两个一元一次方程； （4）解这两个一元一次方程，它们的解就是原方程的解．
＝(x － )2； ＝(x＋ )2 ＝(x－ )2． ＝(x+ )2．
练一练：
解下列方程： （1）x2－4x＋3＝0； （2） x2+10x＋20＝0；
（3）x2＋3x－1＝0 ； （4）x2－7x＋12＝0 ．
小结：
用配方法解一元二次方程的步骤： 1.移项: 把常数项移到方程的右边； 2.配方: 方程两边都加上一次项系数一半的平方; 3.开方: 方程两边开平方; 4.求解: 解两个一元一次方程; 5.定解: 写出原方程的解.
练一练：
1.解下列方程： （1）x2=9 ；
（3）16 x2－25=0 ；
（2）9x2=4 ； （4）2x2－1=0.
2.解下列方程：
（1）x 12 4
（2）3x 12 6 0
（3）2x 12 1 （4）(x 2 )2 2
2
课后练习：
解下列方程：
（1）4x 12 1
解方程2x2－5x＋2＝0. 解：两边都除以2，得
x2 5 x 1 0 ． 2
移项，得
x2 5 x 1 ． 2
配方，得
x2
5 2
x
5 4
2
1 25 16
，
x
5 4
2
9 16
．
两边开平方，得 x 5 3 ．
44
∴
x1
2
，x2
(3) (x-1)2-2(x-1)+1=0．
【小结】
用因式分解法解一元二次方程的一般步骤： （1）把一元二次方程右边化为0； （2）将方程左边分解为两个一次因式的积； （3）每个因式分别为0，得到两个一元一次方程； （4）解这两个一元一次方程，它们的解就是原方程的解．
新苏科版九年级数学上册第1章 一元二次方程《1.2一元二次方程的解法》优质课件
试一试：
已知一元二次方程mx2+n=0(m≠0),若方
程可以用直接开平方法求解，且有两个实数根，
则m、n必须满足的条件是（ B ）
A.n=0
B.m、n异号
C.n是m的整数倍
D.m、n同号
例1解下列方程 （1）x2-1.21=0
典型例题
（2）4x2-1=0
解（1）移项，得x2=1.21 ∵x是1.21的平方根
C.( x 3)2 2
B.( x 3)2 16 D.( x 6)2 16
（2）用配方法解下列方程时，配方有
错误的是（ B）
A.x 2 2x 99 0化为（x 1）2 100
B.x 2 8x 9 0化为（x 4）2 25
C.x 2 3x 1 0化为（x 1.5）2 1.25
然后回答下列问题：
（1）你在求解过程中遇到什么问题？你是 怎样处理所遇到的问题的？ （2）对于形如x2＋px＋q＝0这样的方程， 在什么条件下才有实数根？
1.2一元二次方程的解法 配方法2
知识回顾
1.什么是配方法？ 我们通过配成完全平方式的方法,得到了一元二次方 程的根,这种解一元二次方程的方法称为配方法 (solving by completing the square)
次方程，用配方法解时，为了便于配方，可把二次
项系数化为1，再求解.
解：两边都除以-3，得 x2 4 x 1 0 33
移项，得 x2 4 x 1
33
系数化为1 移项
配方，得
x2
4
x
2 2
1
2 2
3 3 3 3
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苏科版九年级（上）数学
1.2一元二次方程的解法 ———因式分解法
一、知识回顾
1.我们已经学过了几种解一元二次方程的方法?
2.什么叫因式分解? Zx xk 把一个多项式分解成几个整式乘积的形式叫做
因式分解. 3.因式分解有几种方法?
提取公因式、公式法.
二、问题引入
如何解方程 x2 3x ？
思考：三种方法都正确吗？谁的方法更简单？
四、课堂练习
用因式分解法解下列方程： (1) 4x2=12x; (2) (x-2)(2x-3)=6; (3) x2+9=-6x ; (4) 9x2=(x-1)2
5 x2 3x 2 0
6 x 12 2 x 1 0
五、拓展补充 利用十字相乘法解方程
知识要点
利用十字交叉线来分解系数，把二次三 项式分解因式的方法叫做十字相乘法．
对二次三项式
注
x2+px+q进行因式分解， 应重点掌握以下三个问题：
意
1．掌握方法：拆分常数项，验证一次项．
2．符号规律： 当q>0时，a、b同号，且a、b的符号与p 的符号相同； 当q<0时，a、b异号，且绝对值较大的 因数与p的符号相同．
3．书写格式：竖分ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ积．
2、解下列方程：
12(x 3)2 x2 9；
顺口溜： 竖分常数交叉验， 横写因式不能乱．
将下列各式因式分解：
1．x2+8x+12= (x+2)(x+6) 2．x2-11x-12= (x-12)(x+1) 3．x2-7x+12= (x-3)(x-4) 4．x2-4x-12= (x-6)(x+2) 5．x2+13x+12= (x+1)(x+12) 6．x2-x-12= (x-4)(x+3)
三化-----方程化为两个一元一次方程; 四解-----写出方程两个解;
简记歌诀： 右化零 左分解 两因式 各求解
用十字相乘法把形如x2+px+q的二次三 项式分解因式： q=ab，p=a+b
当q>0时，q分解的因数a、b（ 同号 ） 当q<0时，q分解的因数a、b（ 异号 ）
x2+px+q= x2+(a+b)x+ab= (x+a)(x+b)
x
+a
x
ax +
+b
bx = (a+b)x
步骤： ①竖分二次项与常数项； ②交叉相乘，和相加； ③检验确定，横写因式．
知识精讲
我们知道ab=0，那么a=0或b=0，类似的解方程(x+1)(x－1)=0时，可转化 为两个一元一次方程x+1=0或x-1=0来解，你能求 (x+3)(x－5)=0的解吗？
(x+3)(x－5)=0 解： x+3=0或x－5=0 所以x1 =-3， x2 =5.
➢归纳小结
利用因式分解使方程化为两个一次式乘积等于 0的形式，再使这两个一次式分别等于0，从而实 现降次．这种解法叫作因式分解法． Zx xk
三、例题精讲
解下列方程： （1）x2＝4x； （2）x＋3－x(x＋3)＝0．
(3) (2x－1)2－x2＝0．
(4) (x＋2) 2＝4（x＋2）．
想一想
1、小明在解方程 (x+2)2 =4(x+2)时是这样解的 :
解 : 方程(x 2)2 4( x 2)两边都除以(x 2)，
x 4.
2 x2 ( 3 5)x 15 0；
3 x2 5 2x 12 0.
六、课堂总结
一、概念：
通过因式分解，将一个一元二次方程转化为两个一元一次方程来求解的 方法叫做因式分解法.
二、原理：
如果a ·b=0，那么a=0或b=0.
三、基本步骤： 一移-----方程的右边=0; 二分-----方程的左边因式分解;
你认为小明的解法对吗？为什么？Zxx。
k xk
四、课堂练习
请口算：下列各方程的根分别是多少？ (1) x(x-2)=0； (2) (y+2)(y-3)=0； (3) (3x+6)(2x-4)=0； (4) x2=x. (1) x1=0,x2=2； (2) y1=-2,y2=3 ； (3) x1=-2,x2=2； (4) x1=0,x2=1.
1.2一元二次方程的解法 ———因式分解法
一、知识回顾
1.我们已经学过了几种解一元二次方程的方法?
2.什么叫因式分解? Zx xk 把一个多项式分解成几个整式乘积的形式叫做
因式分解. 3.因式分解有几种方法?
提取公因式、公式法.
二、问题引入
如何解方程 x2 3x ？
思考：三种方法都正确吗？谁的方法更简单？
四、课堂练习
用因式分解法解下列方程： (1) 4x2=12x; (2) (x-2)(2x-3)=6; (3) x2+9=-6x ; (4) 9x2=(x-1)2
5 x2 3x 2 0
6 x 12 2 x 1 0
五、拓展补充 利用十字相乘法解方程
知识要点
利用十字交叉线来分解系数，把二次三 项式分解因式的方法叫做十字相乘法．
对二次三项式
注
x2+px+q进行因式分解， 应重点掌握以下三个问题：
意
1．掌握方法：拆分常数项，验证一次项．
2．符号规律： 当q>0时，a、b同号，且a、b的符号与p 的符号相同； 当q<0时，a、b异号，且绝对值较大的 因数与p的符号相同．
3．书写格式：竖分ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ积．
2、解下列方程：
12(x 3)2 x2 9；
顺口溜： 竖分常数交叉验， 横写因式不能乱．
将下列各式因式分解：
1．x2+8x+12= (x+2)(x+6) 2．x2-11x-12= (x-12)(x+1) 3．x2-7x+12= (x-3)(x-4) 4．x2-4x-12= (x-6)(x+2) 5．x2+13x+12= (x+1)(x+12) 6．x2-x-12= (x-4)(x+3)
三化-----方程化为两个一元一次方程; 四解-----写出方程两个解;
简记歌诀： 右化零 左分解 两因式 各求解
用十字相乘法把形如x2+px+q的二次三 项式分解因式： q=ab，p=a+b
当q>0时，q分解的因数a、b（ 同号 ） 当q<0时，q分解的因数a、b（ 异号 ）
x2+px+q= x2+(a+b)x+ab= (x+a)(x+b)
x
+a
x
ax +
+b
bx = (a+b)x
步骤： ①竖分二次项与常数项； ②交叉相乘，和相加； ③检验确定，横写因式．
知识精讲
我们知道ab=0，那么a=0或b=0，类似的解方程(x+1)(x－1)=0时，可转化 为两个一元一次方程x+1=0或x-1=0来解，你能求 (x+3)(x－5)=0的解吗？
(x+3)(x－5)=0 解： x+3=0或x－5=0 所以x1 =-3， x2 =5.
➢归纳小结
利用因式分解使方程化为两个一次式乘积等于 0的形式，再使这两个一次式分别等于0，从而实 现降次．这种解法叫作因式分解法． Zx xk
三、例题精讲
解下列方程： （1）x2＝4x； （2）x＋3－x(x＋3)＝0．
(3) (2x－1)2－x2＝0．
(4) (x＋2) 2＝4（x＋2）．
想一想
1、小明在解方程 (x+2)2 =4(x+2)时是这样解的 :
解 : 方程(x 2)2 4( x 2)两边都除以(x 2)，
x 4.
2 x2 ( 3 5)x 15 0；
3 x2 5 2x 12 0.
六、课堂总结
一、概念：
通过因式分解，将一个一元二次方程转化为两个一元一次方程来求解的 方法叫做因式分解法.
二、原理：
如果a ·b=0，那么a=0或b=0.
三、基本步骤： 一移-----方程的右边=0; 二分-----方程的左边因式分解;
你认为小明的解法对吗？为什么？Zxx。
k xk
四、课堂练习
请口算：下列各方程的根分别是多少？ (1) x(x-2)=0； (2) (y+2)(y-3)=0； (3) (3x+6)(2x-4)=0； (4) x2=x. (1) x1=0,x2=2； (2) y1=-2,y2=3 ； (3) x1=-2,x2=2； (4) x1=0,x2=1.