等差数列与通项公式

列.
等差数列的前 n 项和为 25，前 2n 项和为 100，则它的前 3n 和为
。
（ 5 ） 在 等 差 数 列 {an} 中 ， 当 项 数 为 偶 数 2n 时 ， S偶－S奇 nd ； 项 数 为 奇 数 2n 1 时 ， S奇 S偶 a中 ， S2n1 (2n 1) a中 （这里 a中 即 an ）； S奇 : S偶 (k 1) : k 。
提醒：（1）等差数列的通项公式及前 n 和公式中，涉及到 5 个元素： a1 、 d 、 n 、 an 及 Sn ，其中 a1 、 d 称作为
基本元素。只要已知这 5 个元素中的任意 3 个，便可求出其余 2 个，即知 3 求 2。
（2）为减少运算量，要注意设元的技巧，如奇数个数成等差，可设为…， a 2d, a d, a, a d, a 2d …（公差
环球雅思学科教师辅导学案
辅导科目：数学
年级：高一
学科教师：
课 时 数： 3
授课类型 教学目的
等差数列与通项公式 掌握等差数列的通项公式与前 n 项和公式．
教学内容
1、等差数列的定义
如果一个数列从第二项起，每一项与前一项的差都等于同一个常数 d ，那么这个数列就叫做等差数列，这个常数 d 就
叫做这个数列的公差。即 an an1 d (n 2, n N )
类型 8 an1 panr ( p 0, an 0)
例：已知数列｛ an
｝中， a1
1, an1
1 a
an2
(a
0) ，求数列an的通项公式 .
解法：这种类型一般是等式两边取对数后转化为 an1 pan q ，再利用待定系数法求解。
类型 9
an1
f (n)an g(n)an h(n)
同步讲解
1、等差数列的判断方法：定义法 an1 an d (d为常数）或 an1 an an an1(n 2) 。
1、设 Sn 是数列{an}的前 n 项和，且 Sn=n2，则{an}是（ ）
A.等比数列，但不是等差数列
B.等差数列，但不是等比数列
C.等差数列，而且也是等比数列
D.既非等比数列又非等差数列
均为常数） 。
例:已知数列an 中，
a1
5 6
,
an1
1 3
an
( 1 )n1 2
，求
an
。
（或 an1 pan rqn ,其中 p，q, r
解法：一般地，要先在原递推公式两边同除以 q n1 ，得： an1
q n1
p • an q qn
1 引入辅助数列 q
bn
（其中 bn
an qn
），得：
p(an
t) ，其中 t
q 1
p
，再利用换元法转化为等比数列求解。
在数列an 中，若 a1 1, an1 2an 3(n 1) ，则该数列的通项 an _______________
类型 4 an1 pan q n （其中 p，q 均为常数， ( pq( p 1)(q 1) 0) ）。
例:已知数列an 中， a1
1, a2
2
, an2
2 3
an1
1 3 an
，求 an
。
1.已知数列 an 满足 a1 1, a2 3, an2 3an1 2an (n N *).
（I）证明：数列an1 an是等比数列；（II）求数列an 的通项公式；
（III）若数列 bn 满足 4b1 4 1 b2 1...4bn 1
d
d 2
n2
(a1
d )n 2
是关于
n
的二次函数且常数项为
0.
（2）若公差 d 0 ，则为递增等差数列，若公差 d 0 ，则为递减等差数列，若公差 d 0 ，则为常数列。
（3）当 m n p q 时,则有 am an a p aq ，特别地，当 m n 2 p 时，则有 am an 2ap .
例 1.
已知数列an 满足 a1
1 2
，
an1
an
n
2
1
n
，求
a
n
。
解法：把原递推公式转化为 an1 an f (n) ，利用累加法(逐差相加法)求解。 类型 2 an1 f (n)an
例
1:已知数列an 满足 a1
2 3
， an1
n n 1an
，求 an
。
解法：把原递推公式转化为 an1 f (n) ，利用累乘法(逐商相乘法)求解。 an
为 d ）；偶数个数成等差，可设为…， a 3d, a d, a d, a 3d ,…（公差为 2 d ）
6.等差数列的性质：
（1）当公差 d 0 时，等差数列的通项公式 an a1 (n 1)d dn a1 d 是关于 n 的一次函数，且斜率为公差 d ；前 n
和
Sn
na1
n(n 1) 2
4、设 Sn 是等差数列{an}的前 n 项和，a12＝－8，S9＝－9，则 S16＝________.
5、已知数列{an}为等差数列，若aa1110<－1，且它们的前 n 项和 Sn 有最大值，则使 Sn>0 的 n 的最大值为(
)
A．11 B．19
C．20 D．21
（1）数列
{an} 中， an
②等差数列的前 n 项和公式
sn
n(a1 2
an )
na1
n(n 1) 2
d
.
Sn
na1
n(n 1) 2
d
d 2
n2
(a1
d 2
)n
An2
Bn
，当
d
0
时，它是一个二次函数，由于其常数项为零，所
以其图像过原点。
③等差数列an 中，如果 m n p q ,则 am an ap aq ,特殊地，2m p q 时，则 2am ap aq ，am 是 ap、aq
例：已知数列an 前
n
项和 Sn
4
an
1 2n2
.
（1）求 an1 与 an 的关系；（2）求通项公式 an .
解法：这种类型一般利用
an
S1 (n 1) Sn Sn1 (n 2)
与
an
Sn
Sn1
f
(an )
f
(an1 )
消去
Sn
(n 2) 或与
Sn f (Sn Sn1) (n 2) 消去 an 进行求解。
设{an} 是等差数列，求证：以
bn=
a1
a2
n
an
n N *为通项公式的数列{bn} 为等差数列。
3、等差数列的通项： an a1 (n 1)d 或 an am (n m)d 。
4、等差数列的前 n 和：
Sn
n(a1 2
an )
，
Sn
na1
n(n 1) 2
d
。
2、等差数列{an}的前 n 项和记为 Sn，若 a2＋a4＋a15 的值是一个确定的常数，则数列{an}中也为常数的项是( )
项数为奇数的等差数列{an} 中，奇数项和为 80，偶数项和为 75，求此数列的中间项与项数.
（6）若等差数列{an} 、{bn} 的前 n 和分别为 An 、 Bn ，且
An Bn
f (n) ，则 an bn
(2n 1)an (2n 1)bn
A2n1 B2n1
f
(2n 1) .
设{
an
}与{
bn
}是两个等差数列，它们的前
例
2:已知
a1
3，
an1
3n 1 3n 2
an
(n 1) ，求 an 。
类型 3 an1 pan q （其中 p，q 均为常数， ( pq( p 1) 0) ）。
例:已知数列 an 中， a1 1 ， an1 2an 3 ，求 an .
解法（待定系数法）：把原递推公式转化为：an1
t
的等差中项。
④等差数列被均匀分段求和后，得到的数列仍是等差数列，即 Sn , S2n Sn , S3n S2n 成等差数列。
⑤若{an}是等差数列，公差为 d，则 ak，ak＋m，ak＋2m，…(k，m∈N*)是公差为 md 的等差数列． ⑥S2n－1＝(2n－1)an. ⑦若 n 为偶数，则 S 偶－S 奇＝n2d，若 n 为奇数，则 S 奇－S 偶＝a 中(中间项)．
⑧若{an}与{bn}为等差数列，且前
n
项和分别为
Sn
与
S
n
′，则bamm＝
S2n1 S'
2n1
5、知三求二
等差数列有 5 个基本量， a1, d , n, an , Sn ，求解它们，多利用方程组的思想，知三求二。注意要弄准它们的值。
6、特殊设法
三个数成等差数列，一般设为 a d, a, a d ； 四个数成等差数列，一般设为 a 3d, a d, a d, a 3d 。
2、等差中项
若 a, A,b 成等差数列，那么 A 叫做 a, b 的等差中项。两个实数 a, b 的等差中项只有一个，就是这两个数的算术平均数
ab。 2
3、等差数列的性质
①等差数列的通项公式 an a1 (n 1)d am (n m)d
(n N *) ， d an am 。 nm
an dn (a1 d ) 当 d 0 时，它是一个一次函数。
（ 4 ） 若 {an} 、 {bn} 是 等 差 数 列 ， 则 {kan} 、 {kan pbn} ( k 、 p 是 非 零 常 数 ) 、 {apnq}( p, q N*) 、
Sn , S2n Sn , S3n S2n ，…也成等差数列，而{aan }成等比数列；若{an} 是等比数列，且 an 0 ，则{lg an} 是等差数