半CAP-子群与有限群的p-超可解性
半次覆盖远离子群和有限群的可解性
半次覆盖远离子群和有限群的可解性李士恒;柳海萍;刘冬华【摘要】In this paper,we define semi-subnormal-cover-avoidance subgroups of finite groups and study the solvability between groups and their semi-subnormal-cover-avoidance subgroups. With semi-subnormal-cover-avoidance subgroups,we characterize the solvability of finite groups and obtain the results that the group is soluble if all of its sylow groups(or maximal subgroups)are semi-subnormal-cover-avoidance subgroups,which generalize the results in[6].%本文定义了有限群的半次覆盖远离子群概念,研究了半次覆盖远离子群和有限群的可解性问题.利用某些半次覆盖远离子群刻划了有限群的可解性,得到了若所有的sylow子群(或极大子群)半次覆盖远离则群可解,推广了文献[6]中的结果.【期刊名称】《数学杂志》【年(卷),期】2017(037)006【总页数】6页(P1303-1308)【关键词】有限群;半次覆盖远离子群;极大子群;可解【作者】李士恒;柳海萍;刘冬华【作者单位】郑州航空工业管理学院理学院,河南郑州450015;郑州航空工业管理学院经贸学院,河南郑州450015;郑州铁路职业技术学院公共教学部,河南郑州450052【正文语种】中文【中图分类】O152.1利用子群研究有限群的结构,在有限群的研究中有很重要的地位.很多学者都在这些方面进行了研究,得到了很多重要的结果.如著名的Huppert定理,即有限群为超可解当且仅当它的所有极大子群的指数为素数;有限群为幂零群当且仅当每个极大子群都正规;有限群可解当且仅当它的极大子群均c-正规(见文献[1])等.很多学者对子群的正规性进行了推广,并由此得到了许多关于可解性、超可解性和幂零性的一些充分条件.例如文献[2]证明了如果群G的每一个Sylow子群有在G中正规的极大子群那么G超可解;文献[3,4]中刻画了满足换位子条件的群的结构;文献[10]用某些子群的半正规性刻画了有限群的可解性等.郭秀云在文献[5]中用覆盖-离开子群刻画了群的结构;樊恽、郭秀云[6]等介绍了概念半覆盖远离,这个概念是覆盖远离、几乎正规(见文献[6]定义2.1(2))的推广,而几乎正规是c-正规的推广.他们用Sylow子群或极大子群的半覆盖远离性刻画了有限群的可解性,也用其他一些子群的半覆盖远离性刻画了有限群的超可解性.本文定义了有限群的半次覆盖远离性子群,用有限群的半次覆盖远离性子群刻划群G的可解性.文中,π是一个素数集合,G是一个群,所有的群都是有限群.π(G)表示群G的阶的所有素因子作成的集合;如果数n的每一个素因子都在π中,称n是一个π-数;H＜G 表示H为G的真子群,H◁◁G表示H为G的次正规子群,H为G的极大子群记作H＜·G;称L为G的2-极大子群,如果存在G的极大子群M使L＜·M.定义1.1 设商群M/N为G的次正规因子,H是G的子群.若H满足HM=HN(这里HM和HN不一定是群G的子群),则称H覆盖M/N;若H∩M=H∩N(⇔H∩M/H∩N=1),则称H远离M/N.如果H覆盖或者远离G的某个合成列的每个合成因子,那么称H是G的半次覆盖远离子群.显然这是半覆盖远离子群和次正规子群的一个推广.下面的例1.1说明半次覆盖远离子群既不是次正规子群也不是半覆盖远离子群,例1.2说明半次覆盖远离子群不一定覆盖远离每一个合成列,相关概念见文献[7,A,第18节].例1.1 设G=NS3是N和S3的圈积(wreath product),其中S3为3次对称群,N 为一个非交换单群.再设H=D〈(12)〉,其中D为基群(base group)B的对角子群(diagonal subgroup),(12)为S3的一个置换.下面验证H 覆盖远离次正规列1＜N1＜N1×N2＜B＜B〈(123)〉＜G,其中N1={(a,1,1)|a∈N},N2={(1,a,1)|a∈N}.显然有N1∩H=1=N1∩1、N1∩H=1=(N1×N2)∩H、(N1×N2)H=B〈(12)〉=BH、B∩H=D=B〈(123)〉∩H、(B〈(123))〉H=G(由|B〈(123)〉H|=得)成立,因此H 覆盖远离上述次正规列.另一方面,由B∩H=D≠1和BH=B〈(12)〉≠H得H不覆盖或远离G的主因子B/1,又B是G唯一的极小正规子群,所以H不覆盖或远离G的任何主列,即是H不是G 的半覆盖远离子群.显然H也不是G的次正规子群(否则H∩B=D是G的次正规子群从而也是B的次正规子群,但由文献[8,第一章,9.12]可看出这是不可能的).例1.2 设G=A5×〈(67)〉,其中A5为5次交错群,(67)为S7的一个置换,H=〈(12)(34)(67)〉.则H覆盖远离合成列1＜A5＜G(也是主列),但不覆盖远离G的合成列1＜〈(67)〉＜G(也是主列).引理2.1 设H是群G的子群,1＜···＜N＜M＜···＜G是G的一个次正规列.如果H 覆盖（远离）M/N,那么H覆盖(远离)这个次正规列细化后的在M和N之间的任一个合成因子.证设A/B是满足N≤B＜A≤M的群G的合成因子.当H覆盖M/N时,由HM⊇HA⊇HB⊇HN得H覆盖A/B.如果H远离M/N,那么H∩M=H∩N.因为H∩M≥H∩A≥H∩B≥H∩N,所以H∩A=H∩B.引理得证.引理2.2 设H≤G,NG且(|H|,|N|)=1.如果MG,那么M∩HN=(M∩H)(M∩N).证设W=M∩HN.由M◁◁G得存在次正规子群Gi(i=0,1,···,r)满足M=Gr◁Gr−1◁···◁G0=G.对r用数学归纳法.当r=1时MG.从而WHN,WH=HW且NW=WN.又由(|H|,|N|)=1得(|HN:N|,|HN:H|)=1.因此由文献[7,A,1.6(c)]得W=(W∩H)(W∩N)=(M∩H)(M∩N).假定Gr−1∩HN=(Gr−1∩H)(Gr−1∩N).设Hr−1=(Gr−1∩H),Nr−1=(Gr−1∩N).由M≤Gr−1和归纳假定得W=M∩(Gr−1∩HN)=M∩Hr−1Nr−1=W∩Hr−1Nr−1.由MGr−1得M⊥Hr−1和M⊥Nr−1,显然也有(|Hr−1Nr−1:Hr−1|,|Hr−1Nr−1:Nr−1|)=1.再次由文献[7,A,1.6(c)]得引理2.3 设H是G的半次覆盖远离子群.(a)如果H≤M≤G,那么H是M的半次覆盖远离子群.(b)如果N≤H或(|H|,|N|)=1,那么HN/N是G/N的半次覆盖远离子群.证 (a)设H是G的半次覆盖远离子群.那么G有合成列1=Gn◁Gn−1◁···◁G0=G 使对i=1,···,n有HGi=HGi−1或H∩Gi−1=H∩Gi.设Mi=Gi∩M,i=0,···,n.那么有HMi=HMi−1或H∩Mi=H∩Mi−1.于是H覆盖远离M 的次正规列1=MnMn−1···M0=M,从而由引理2.1得H是M的半次覆盖远离子群.(b)设H是G的半次覆盖远离子群,H覆盖远离主列1=G0＜G1＜···＜Gt=G.即有HGi=HGi−1或H∩Gi=H∩Gi−1.HGi=HGi−1显然结论成立,只需要证明H∩Gi=H∩Gi−1时的情形.如果N≤H,那么H/N∩Gi−1N/N=N(H∩Gi−1)/N(由文献[7,A,1.3]可得)且H/N∩GiN/N=N(H∩Gi)/N.结合H∩Gi=H∩Gi−1得(H/N∩GiN/N)=(H/N∩Gi−1N/N).于是,由引理2.1得H/N是G/N的半次覆盖远离子群.如果(|H|,|N|)=1,那么HN/N∩Gi−1N/N=N(HN∩Gi−1)/N.又由引理2.2得HN∩Gi−1=(H∩Gi−1)(N∩Gi−1),所以HN/N∩Gi−1N/N=N(H∩Gi−1)(N∩Gi−1)/N=N(H∩Gi−1)/N≌H∩Gi−1.同理有H/N∩GiN/N≌H∩Gi.因此HN/N∩Gi−1N/N=HN/N∩GiN/N,从而H/N是G/N的半次覆盖远离子群.引理2.4 设G为有限群且L是G的2-极大子群.如果L=1,那么G可解.证如果L=1,那么G有一个素数阶的极大子群,从而由文献[8,第四章,7.4]得G可解. 引理2.5 设G为有限群,A/B为G的次正规因子,H≤G,则有(1)(A∩H)B=A⇔HB=HA;(2)(A∩H)B=B⇔B∩H=A∩H.证 (1)若(A∩H)B=A则HB=(H(A∩H))B=H((A∩H)B)H=HA;反之,若HB=HA则由文献[7,A,1.3]得A=A∩HA=A∩HB=(A∩H)B.(2)若(A∩H)B=B则由文献[7,A,1.3]得B∩H=((A∩H)B)∩H=(A∩H)(B∩H)=A∩H;反之,若B∩H=A∩H则B(A∩H)=B(B∩H)=B.定理3.1 设G是有限群.如果G的每一个极大子群都是G的半次覆盖远离子群,那么G是可解的.证假设结论不成立,设G是极小阶反例.因为G的商群的极大子群的逆像是G的极大子群,由引理2.3,G的商群满足定理的假设.因此,对任意的NG,由G是极小阶反例得G/N是可解的.如果G有两个极小正规子群,那么由可解群类是饱和群系得G是可解的.因此,假定G有唯一的极小正规子群,设为N.若N是可解的则G是可解的,所以假定N非可解.于是N=N1×N2×···×Nr,其中N1≌N2≌···≌Nr为非可解单群.由文献[7,A,15.2]得CG(N)=1.设P=P1×P2×···×Pr＞1,其中Pi∈Sylp(Ni),i=1,2,···,r,则P∈Sylp(N).由Frattini推断得G=NNG(P).因为N是G的极小正规子群且P＜N,所以存在M＜·G使NG(P)≤M,从而G=MN.由题设,可设M覆盖远离合成列1=G0＜G1＜···＜Gt=G.由文献[7,A,14.3]得N≤NG(G1),若N∩G1=1,则有1=C G(N)≥G1,这是不可能的.因此N∩G1≠1,又N∩G1◁◁G,结合G1为极小次正规子群得N≥G1.由文献[8,第一章,9.12定理]可假设N1=G1.因为M∩G1≥P1＞1,所以M 覆盖G1/1,即有MG1=M,从而N1=G1≤M.由N1N得所以由N是唯一的极小正规子群得所以G=MN=M,与M＜·G矛盾.定理得证.定理3.2 若群G的每一个2-极大子群都是G的半次覆盖远离子群,那么G是可解的.证对每一个M＜·G,由定理的假设条件和引理2.3得M 的每一个极大子群均在M 中半覆盖远离.因此由定理3.1得M 可解.另一方面,对每一个N◁G,由引理2.3,有G/N满足定理的假设条件.如果N≠1,那么对|G|用归纳法得G/N可解.因此,如果N＜G那么N必含于某一个极大子群,从而N 可解,G可解.因此,可假定G是非交换单群.于是,对G的任一个2-极大子群L,由假设条件得L=G或L=1.由L是一个2-极大子群知L=G不可能,于是必有L=1,从而由引理2.4得G是可解群.定理3.3 群G是可解群当且仅当G的任意子群都是G的半次覆盖远离子群.证必要性:群G是可解群,设1=Gn◁Gn−1◁···◁G0=G是G的合成列,则由G是可解群得Gi−1/Gi为p阶群,i=1,···,n−1.设H≤G,则Gi−1∩HGi或Gi−1∩H⊆Gi.若前者成立,则(Gi−1∩H)Gi=Gi−1;若后者成立,则(Gi−1∩H)Gi=Gi.由引理2.5分别得充分性由定理3.1或定理3.2显然可得.注3.1由定理3.3知道半次覆盖远离子群只能刻画群的可解性,且定理3.1和定理3.2的条件都是群可解的充要条件.定理3.4 群G是p-可解群当且仅当G有Sylow p-子群P是G的半次覆盖远离子群.证必要性:假设群G是p-可解群,1=Gn◁Gn−1◁···◁G0=G是G的合成列,则由G是p-可解群得Gi−1/Gi为p阶群或p′-群,i=1,···,n−1.设P是G的任一Sylowp-子群.则Gi−1/Gi为p阶群时,Gi−1∩PGi;Gi−1/Gi为p′-群时,Gi−1∩P⊆Gi.从而Gi(Gi−1∩P)=Gi−1和Gi(Gi−1∩P)=Gi.由引理2.5分别得PGi=PGi−1和Gi∩P=Gi−1∩P.充分性:假设G有Sylow p-子群P是G的半次覆盖远离子群,则可设P覆盖远离G 的一个合成列1=Gn◁Gn−1◁ ···◁G0=G.若PGi=PGi−1,则由引理2.5得(Gi−1∩P)Gi=Gi−1.由Gi−1◁◁G得Gi−1∩P∈Sylp(Gi−1).从而Gi−1/Gi为p-群,结合Gi−1/Gi为单群得Gi−1/Gi为p阶群.若Gi∩P=Gi−1∩P,则由引理2.5得Gi(Gi−1∩P)=Gi.由Gi−1◁◁G得Gi−1∩P∈Sylp(Gi−1).因此Gi−1/Gi为p′-群.由定理3.4可得推论3.1.推论3.1 群G是可解群当且仅当G的任意Sylow子群都是G的半次覆盖远离子群. 由推论3.1、定理3.1和定理3.3得推论3.2.推论3.2 (见文献[6,定理2.2])设G是一个群.则如下的3个命题等价:(l)G是一个可解群;(2)G的每一Sylow子群在G中具有半覆盖远离性;(3)G的每一极大子群在G中都具有半覆盖远离性.平行于文献[6,定理3.1],结合定理3.3,只可能得到如下结论.定理3.5 群G是可解群当且仅当G每一个非循环Sylow子群的任一个极大子群都是G的半次覆盖远离子群.证必要性由定理3.3显然可得,下面证明充分性.(1)设P是G的一个Sylow p-子群,1=Gn◁Gn−1◁···◁G0=G是G的任一合成列,其中p∈π(G).则于是(Gi−1∩P)Gi/Gi是Gi−1/Gi的Sylow p-子群.且由得(Gi−1∩P)Gi/Gi同构于P的一个截断.(2)设P是G的一个Sylow p-子群,若P循环则由(1)得Gi−1/Gi的Sylow p-子群为循环群.(3)设P是G的一个Sylow p-子群,P1＜·P.若P非循环,则P1覆盖远离G的某一合成列1=Gn◁Gn−1◁ ···◁G0=G.(i)若P1覆盖Gi−1/Gi,则由引理2.5得Gi−1=(P1∩Gi−1)Gi.于是是一个p-群,结合Gi−1/Gi是单群得Gi−1/Gi为p阶群.(ii)若P1远离Gi−1/Gi,则由引理2.5得Gi=(P1∩Gi−1)Gi.若(P∩Gi−1)⊆P1,则(P∩Gi−1)=(P1∩Gi−1).因此得Gi=(P∩Gi−1)Gi,从而由P∩Gi−1为Gi−1的Sylow p-子群得Gi−1/Gi为p′-群.若(P∩Gi−1)P1则(P∩Gi−1)P1=P.又由P1＜·P得P1◁P且|P:P1|=p.于是由|(P∩Gi−1)||P1|/|(P1∩Gi−1)|=|P|得|(P∩Gi−1):(P1∩Gi−1)|=p.所以为p阶群或1.总之,由(2),(3)得Gi−1/Gi的Sylow子群为循环群.因此Gi−1/Gi可解(见文献[9,V,6.2定理]),从而为素数阶群.所以群G是可解群.【相关文献】[1]Wang Y.C-normality of groups and its properties[J].J.Alg.,1996,180(3):954–965.[2]Sirnivasan S.Two sufficient conditions for supersolvability of finite groups[J].IsrealJ.Math.,1980,35(3):210–214.[3]Beidleman J C,Robinson D J S.On finite groups satisfying the Permutizercondition[J].J.Alg.,1997,191(2):686–703.[4]Zhang J.A note on finite groups satisfying permutizer condition[J].Kexue Tongbao,1986,31(6):363–365.[5]Guo X,Shum K P.Cover-avoidance properties and the structure of finite groups[J].J.Pure Appl.Alg.,2003,181(2-3):297–308.[6]樊恽,郭秀云,岑嘉评.关于子群的两种广义正规性的注记[J].数学年刊,2006,27A(2):169–176.[7]Doerk K,Hawkes T.Finite soluble groups[M].New York:Walter de Gruyter Berlin,1992.[8]胡贝特B著,黄建华,李慧陵译.有限群论(第一卷)[M].福州:福建人民出版社,1992.[9]徐明曜.有限群导引(上)[M].北京:科学出版社,1987.[10]韦华全,班桂宁.某些幂零子群与可解性[J].数学杂志,1999,19(3):257–262.。
有限群的超可解和可解性
６
扬州大学学报 （ 显然 Ｚ 在 Ｇ中不是 正规 和 ｃ正 规 的 ， 而不是 ｕ 一 补充 的［ 实上 ， 。 一 从 可 事 Ｇ是 Ｇ 的唯一 正规子 群使 得 Ｚ Ｇ—Ｇ且 （ ） 一１ 但 是 ｚ ｎＧ—Ｚ ｚ Ｇ） ． ３ Ｇ ， 。 ３ Ｚ（ ］
在 群论研 究 中 ，人们通 常利 用群 的子 群 的性 质 来刻 画 有 限群 的结 构 ．王 燕 鸣教 授 曾引进 ｃ正 一 规 的概念 ： Ｇ是 一个 群 ， 果存 在 Ｇ 的一个 正规 子群 Ｋ 使得 Ｇ—ＨＫ， 如 并且 Ｈ ｎＫ≤ Ｈｃ 其 中 Ｈ。是 ，
包含 在 Ｈ 中 Ｇ 的最大正 规子 群 ， 则称 子群 Ｈ 在 Ｇ 中 ｃ正规 ．最 近 ， 一 杨南 迎 等［ 引入 Ｆ 一 补充 的概 ２ 可 念： 如果存 在 Ｇ的一 个正 规子 群 Ｔ 使 得 Ｇ—ＨＴ，并且 （ Ｎ Ｔ） ／ Ｈ Ｈ Ｈ 包 含 在 Ｇ／ Ｈｃ的 Ｆ 超 中心 － Ｚ Ｇ Ｈ 中 ， （ ／ ） 则称 子群 Ｈ 在 Ｇ 中 Ｆ 一 可补 充．显然 ，一 Ｃ 正规 子群都 是 Ｆ 一 可补 充子群 ． 用上述 这些 利 子群 ， 们 获得 了一 系列重 要结果 ．ｌ 本文 中 ， 们给 出下 面新 的概念 ． 人 【 刮 我 定义 １ 设 Ｆ是一 个群类 ， Ｇ是 一个 有限群 ．如果 存在 Ｇ的一 个正规 子 群 Ｔ 使得 ＨＴ是 Ｇ 的正 规子 群 ，并且 （ ｎ丁 Ｈ Ｈ。包含 在 Ｇ／ Ｈ ） ／ Ｈ。的 超 中心 Ｚ Ｇ Ｈ 中 ， 称 子 群 Ｈ 在 Ｇ 中 Ｆ 一 三（ ／ ） 则 正
Ｆ一 正规 的．例如 ， 子群 Ｈ 在 Ｇ 中 ｃ 正规 ， 存在 正 规 子 群 Ｋ 使得 Ｇ＝ＨＫ 且 （ ｎ Ｔ） ／ 一 若 一 则 Ｈ Ｈ Ｈｃ
子群可补充性对可解群p-超可解性的影响
现 假设 Ｐ／ 是 Ｔ／ 的一 个 Ｓ ｌｗ ｐ ｙｏ －子群 ， Ｍ／ 是 Ｐ／ 的一 个极 大子 群 ， 是 Ｐ Ｆ Ｆ（ 且 Ｐ １ Ｎ）的一 个
Ｎ ｎ Ｐ 是 Ｐ 的一 个 极 大 子 群 ， Ｍ — Ｌ 且 Ｄ．
２ 主 要 结 果
定理 设 Ｇ是 可解群 ． Ｇ是 一个 户 超 可解 群 当且 仅 当存 在 Ｇ 的一个 正规子 群 Ｎ ， 则 一 使得 Ｇ Ｎ 是超可 ／ 解 的 ， 满足 Ｆ Ｎ） 且 （ 的每一 个 Ｓ ｌｗ 子群 的任一 极大 子群在 Ｇ 中有 一个 Ｐ ｙｏ 一超可解 补充 ．
可解 补充．
引 理 ４ 设 Ｎ 和 Ｌ 是 群 Ｇ 的 正 规 子 群 ， 足 Ｐ Ｌ是 ＮＬ Ｌ 的 一 个 Ｓ ｌｗ 满 ／ ｙｏ 子 群 ， Ｍ／ 且 Ｌ是 Ｐ／ 的 一 Ｌ
个极 大子群 ． 果 Ｐｒ是 Ｐ ｎ Ｎ 的一个 Ｓ ｌｗ 如 ｙｏ 子群 ， 么 Ｐ 那 是 Ｎ 的一个 Ｓ ｌｗ ｐ 子群 ， ｙｏ － 使得 Ｄ — Ｍ ｎ
引理 ３ 设 Ｈ 是群 Ｇ 的一个 子群． 如果 Ｈ 在 Ｇ 中有一 个 Ｐ 一超 可 解补 充 Ｔ， 且 Ｋ Ｇ， Ｔ 是 并 则 Ｋ Ｋ
ＨＫ／ 在 Ｇ Ｋ 中 的 一 个 Ｐ Ｋ 一超 可 解 补 充 ． 证 明 因 为 子 群 丁 是 子 群 Ｈ 在 群 Ｇ 中 的 一 个 补 群 ， 以 丁 ／，从 而 （ Ｋ／ （ Ｋ） Ｇ Ｋ． 因 所 Ｈ ｃ， Ｔ Ｋ） ＨＫ 一 ／ 又 为 丁是 一 可 解 群 ， 以 Ｔ Ｋ 竺 Ｔ Ｔ ｎ Ｋ 是 Ｐ 超 可 解 的 ． 此 Ｔ ／ 是 ＨＫ 超 所 Ｋ／ ／ 一 因 Ｋ Ｋ Ｋ 在 Ｃ／ 中 的 一 个 Ｐ 超 ；Ｋ 一
． ６ Ｎｏ ５ ３ ．
Ｓｅ ． ０８ ｐｔ ２０
X-可换子群与有限群的超可解性
Ａｕ ．０ ８ ｇ２ ０
文 章 编 号 ：６ ３ １ ４ （ ０ ８） ４ ０ ０ － ３ １ ７— ５ ９２ ０ ０ — ０ １ ０
可换 子 群 与有 限群 的超 可解 性
刘 玉凤
（ 山东工商学院数学与信息科学学院， 山东 烟 台 ２４ ０ ） ６０ ５
摘
要 ；利用 ． 可换 子 群 的 概 念 ， 到 了有 限群 超 可解 的 ２ 充 分 条 件 ： １设 Ｇ是 可解 群 ， 是 Ｇ的 子 集 且 得 个 （）
群 。如 果每个 不包含 Ｋ 的 Ｇ的极 大子群在 Ｇ中 ｘ 可 ．
换 ， 么 Ｋ 是超 可解 群 。 那 引理 证 毕 。 证 明 设 结论 不 成立 并 选取 Ｋ 为极 小阶 反 例 。 设 ７是 含 于 Ｋ 的 Ｇ 的 极 小 正 规 子 群 ， ／ １ Ｍ Ｔ是 Ｇ Ｔ ／
的极 大 子群 且 Ｋ Ｈ。 － ＜
１基本概念和 引理
定义 设 Ａ， 是 群 Ｇ 的子 群 ， 是 Ｇ 的 非 空 子 集 。
那 么
由 幂 零 且 ＩＩ Ｇ＝
＝
， 有 ＨＩＫＫ Ｉ 一 ＝ ： Ｉ 是
（） １Ａ和 称为 一 可换，如果存在 ∈ Ｘ，有 Ａ ｅ Ｂ＝
收稿 日期：２０ －３ ７ ０８ － ００ 基金项 目： 国家 自然科 学基金资助项 目（ ０ ７ １ ０ １７１８）
作者简介：刘玉凤 （９５）女 ， １６－， 山东烟 台人 ， 副教授 ， 士， 硕 主要从 事群论 的研 究。
维普资讯
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四川理 工学 院学报 （ 自然科 学版 ）
包含 Ｇ的极 小子群和极 大子群。 如果 Ｇ的每 个极 大子群和 Ｇ的 ｓｌ ｙ ｗ子群 的每 个极 大子群在 Ｇ中 Ｘ－ ｏ 可换 ， 么 Ｇ 那
判定有限群可解性的一种方法
判定有限群可解性的一种方法
崔雪晴;陈仁霞
【期刊名称】《科技视界》
【年(卷),期】2015(0)7
【摘要】本文研究了换位子群的性质,得出了几个关于换位子群的结论.研究了有限群子群指数互素的情形.在此基础上,给出了一种判定有限群可解性的方法,即,若有限群G有三个可解子群H1,H2,H3,且指数G:H1|,|G:H2,|G:H3|两两互素,则G是可解的.
【总页数】1页(P141)
【作者】崔雪晴;陈仁霞
【作者单位】中原工学院理学院,河南郑州450000;中原工学院理学院,河南郑州450000
【正文语种】中文
【相关文献】
1.关于有限群超可解性的一种新判定方法 [J], 刘阿明;李保军;黄程
2.关于有限群 p 超可解性的一些新判定 [J], 刘阿明;李保军
3.利用极大子群的正规指数判定有限群的可解性 [J], 王军霞
4.主群列唯一的有限超可解群和合成群列唯一的有限可解群 [J], 刘燕俊;范兴亚
5.关于有限群p-超可解性与p-幂零性的新判定 [J], 陈德平;尤泽;李保军
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一个关于极小子群与超可解性的注记
一个关于极小子群与超可解性的注记陈晨;韩章家;张志让【摘要】In order to obtain a sufcient condition of supersolvable groups, by using two concepts of Jt-quasinormal subgroups and semi cover-avoiding subgroups of finite groups . A subgroup H of a group G is called a Tt-quasinormal subgroup of G, if it permutes with every Sylow subgroup of G. A subgroup H of a group G is called a semi cover-avoiding subgroup, if H either covers or avoids every normal factor of a normal series of G. The results extend some known conclusions.%为了得出一个超可解群的充分条件,利用有限群的π-拟正规子群和半覆盖远离子群的概念.群G的子群H称为G的π-拟正规子群,如果它与G的每一个Sylow子群可交换,群G的子群H称为G的半覆盖远离子群,如果H覆盖或者远离G的某个正规列的每一个正规因子.并将所得的结果推广到一些已知的结论.【期刊名称】《成都信息工程学院学报》【年(卷),期】2012(027)002【总页数】3页(P230-232)【关键词】基础数学;有限群;极小子群;π-拟正规子群;半覆盖远离子群;超可解群【作者】陈晨;韩章家;张志让【作者单位】成都信息工程学院数学学院,四川成都610225;成都信息工程学院数学学院,四川成都610225;成都信息工程学院数学学院,四川成都610225【正文语种】中文【中图分类】O152.11 引言及引理文中所指的群都是有限群,所用的符号都是标准的,可参见文献[1]。
有限群的几乎s-半置换子群
第38卷第4期西南师范大学学报(自然科学版)2013年4月V o l.38N o.4J o u r n a l o f S o u t h w e s t C h i n aN o r m a lU n i v e r s i t y(N a t u r a l S c i e n c eE d i t i o n)A p r.2013文章编号:10005471(2013)04001204有限群的几乎s-半置换子群①郭纪莲,李金宝,陈贵云西南大学数学与统计学院,重庆400715摘要:群G的子群H称为在G中几乎s-半置换的,如果G中有一个子群T,使得G=HT,且HɘT在T中是s-半置换的.利用子群的几乎s-半置换性,得到了有限群G为超可解群的一些充要条件.关键词:有限群;几乎s-半置换子群;超可解中图分类号:O152.1文献标志码:A在有限群的研究过程中,正规子群起着十分重要的作用,许多群论研究者从不同的角度对正规子群进行了推广.文献[1]引入了s-半置换子群的概念.文献[2-4]对s-半置换子群进行了研究.文献[5-6]介绍了弱s-半置换子群的概念并对其进行了研究.本文在此基础上,给出了几乎s-半置换子群的概念,并利用其性质来研究它对有限群结构的影响,得到了有限群为超可解群的一些充要条件.定义1设H是群G的子群.称H在G中是几乎s-半置换的,如果G中有一个子群T,使得G=H T,且HɘT在T中是s-半置换的.显然,s-半置换子群为几乎s-半置换子群.反之不然.例1设G=S4,H=<(12)>,T=A4.则G=H T,HɘT=1,且H在G中几乎s-半置换.另一方面,设P3=<(234)>,则P3HʂH P3,且H在G中不是s-半置换的.另外,弱s-半置换子群和几乎s-半置换子群是两个不同的概念.例2设G=C3~S3,H是S3的一个S y l o w3-子群,T=K C2,其中K=C3ˑC3ˑC3,C2是S3的一个S y l o w2-子群.则G=H T,HɘT=1.因为T在G中不是次正规的,所以H在G中是几乎s-半置换的,但不是弱s-半置换的.引理1设G为有限群,HɤG,若H为G的几乎s-半置换子群,则(i)若HɤKɤG,那么H在K中几乎s-半置换;(i i)若N◁_G,H是一个p-群,pɪπ(G),(p,|N|)=1,那么H N/N在G/N中几乎s-半置换;(i i i)若N◁_G,H是一个p-群,NɤH,那么H/N在G/N中几乎s-半置换.证(i)由假设知,G有子群T,使得G=H T,且HɘT在T中s-半置换.从而有K=KɘH T=H(KɘT)Hɘ(KɘT)=HɘTɤKɘTɤT由文献[3]知HɘT在KɘT中是s-半置换的.因此H在K中几乎s-半置换.(i i)由假设知,G有子群T,使得G=H T,且HɘT在T中s-半置换.因为(p,|N|)=1,所以NɤO p(G)ɤT.从而有①收稿日期:20120327基金项目:重庆市自然科学基金项目(C S T C,2009B B8111).Copyright©博看网. All Rights Reserved.作者简介:郭纪莲(1986),女,山西吕梁人,硕士研究生,主要从事有限群论的研究.通信作者:陈贵云,教授.G /N =(H N /N )(T /N ) (H N /N )ɘ(T /N )=(H ɘT )N /N 由文献[3]知,H N /N 在G /N 中几乎s -半置换.(i i i )由假设知,G 有子群T ,使得G =H T ,且H ɘT 在T 中s -半置换.从而有G /N =(H /N )(T N /N ) (H /N )ɘ(T N /N )=(H ɘT )N /N 由文献[3]知,H /N 在G /N 中几乎s -半置换.引理2 设G 是一个群,那么G 是超可解的当且仅当G 有正规子群N 使得G /N 超可解,且N 的每个非循环S yl o w 子群的极小子群或4阶循环群在G 中是几乎s -半置换的.证 必要性是显然的,只需证充分性.假设充分性不真,设G 为极小反例.任取G 的一极大子群M .因为M /(M ɘN )≅MN /N ɤG /N ,所以M /(M ɘN )超可解.由引理1知M ɘN 的每个非循环S yl o w 子群的极小子群或4阶循环群在M 中几乎s -半置换,因此M 满足条件假设,故M 是超可解的.从而G 为极小非超可解群.由文献[7]的定理3.4.2和定理3.11.8知:(a )对于素数p ɪπ(G ),G 有非循环的正规S y l o w p -子群P =G U ,使得P /Φ(P )是G 的一个主因子;(b )若p =2,则e x p (P )ɤ4;若p >2,则e x p(P )=p .设x ɪP \Φ(P ),则|x |=p 或|x |=4.由假设知,G 有子群T ,使得G =<x >T ,且<x >ɘT 在T 中s -半置换.假设T <G .因为P /Φ(P )是G 的一个主因子,所以P /Φ(P )是G /Φ(P )的交换的极小正规子群.从而有(P ɘT )Φ(P )/Φ(P )◁_P T /Φ(P )=G/Φ(P )由P /Φ(P )的极小正规性知(P ɘT )Φ(P )=Φ(P )或(P ɘT )Φ(P )=P .若(P ɘT )Φ(P )=Φ(P ),则P ɘT ɤΦ(P ),从而有P =P ɘ<x >T =<x >(P ɘT )=<x >,矛盾;若(P ɘT )Φ(P )=P ,则P ɘT =P ,P ɤT ,G =<x >T =T ,矛盾.所以G =T ,则<x >在G 中s -半置换.设Q ɪS y l q (G ),其中q ʂp .则<x >Q =Q <x > <x >=<x >(P ɘQ )=P ɘ<x >Q ◁_<x >Q 所以Q ɤN G (<x >).由P /Φ(P )的交换性知<x >Φ(P )/Φ(P )◁_P /Φ(P ).由q 的任意性知<x >Φ(P )/Φ(P )◁_G /Φ(P )所以<x >Φ(P )/Φ(P )=P /Φ(P ),<x >Φ(P )=P ,<x >=P ,矛盾.因此极小反例不存在,故G 超可解.定理1 设G 是一个群,那么G 是超可解群当且仅当G 有一个可解的正规子群N ,使得G /N 是超可解的,且F (N )的每个非循环的S y l o w 子群的极大子群在G 中几乎s -半置换.证 必要性是显然的,只需证充分性.假设充分性不真,设G 为极小反例,设P ɪS y l p (F (N )).因为P c h a r F (N )◁_G ,所以P ◁_G .(1ʎ)P ɘΦ(G )=1.假设P ɘΦ(G )ʂ1.记R =P ɘΦ(G ).由假设知G /R 有可解的正规子群N /R ,且(G /R )/(N /R )≅G/N 是超可解的.由于R ɤΦ(G ),所以F (N /R )=F (N )/R .设P 1/R 是F (N /R )的任一非循环的S y l o w 子群的极大子群,则由假设和引理1知,P 1/R 在G /R 中几乎s -半置换.因此G /R 满足条件假设.由G 的选择知,G /R 是超可解的,从而G 是超可解的,矛盾.故P ɘΦ(G )=1.(2ʎ)P =R 1ˑR 2ˑ ˑR m ,其中R i (i =1,2, ,m )是G 素数阶的极小正规子群.由步骤(1ʎ)和文献[7]的定理1.8.17知,P =R 1ˑR 2ˑ ˑR m ,其中R i (i =1,2, ,m )是G 交换的极小正规子群.下证|R i |=p .因为R i ⊈Φ(G ),于是G 有一极大子群M ,使得G =M R i 且R i ɘM =1.设M p 是M 的S y l o w p -子群.则G p =M p R i =M p P 是G 的一个S yl o w p -子群.设P 1是G p 的一个包含M p 的极大子群,且令P 2=P 1ɘP ,则|P ʒP 2|=|P ʒP 1ɘP |=|G p ʒP 1|=p于是P 2是P 的极大子群.由假设可知,G 有子群T ,使得G =P 2T ,且P 2ɘT 在T 中s -半置换.任取T的一个S y l o w q -子群T q ,其中p ʂq ,则T q 是G 的一个S y l o w q -子群,且(P 2ɘT )T q =T q (P 2ɘT ).因为P 2ɘT =(P 2ɘT )(P ɘT q )=P ɘ(P 2ɘT )T q ◁_(P 2ɘT )T q 31第4期 郭纪莲,等:有限群的几乎s -半置换子群Copyright ©博看网. All Rights Reserved.所以T q ɤN G (P 2ɘT ).另一方面,由于G =P T ,且P 是交换的,P ɘT ◁_G ,从而P 2ɘT =P 1ɘP ɘT ◁_P 1.因此P 2ɘT ◁_P P 1=G p由上面的讨论,我们有P 2ɘT ◁_G ,因此P 2ɘT ɤ(P 2)G .假设P 2ɘT <(P 2)G ,设N =(P 2)GT ,则G =P 2T =P 2(P 2)G T =P 2N P 2ɘN =P 2ɘ(P 2)G T =(P 2)G (P 2ɘT )=(P 2)G于是存在K ɤG ,使得G =P 2K ,P 2ɘK =(P 2)G .因为P 2是P 的极大子群且P 交换,所以P 2(P ɘM )=P 或P 2(P ɘM )=P 2.若P 2(P ɘM )=P ,则G =P 2(P ɘM )M =P 2M ,从而P =P ɘP 2M =P 2(P ɘM )=P 2(P ɘM p )=P 2(P ɘP 1ɘM )=P 2(P 2ɘM )=P 2矛盾.故P 2(P ɘM )=P 2,因此P ɘM ɤ(P 2)G =P 2ɘK .假设K <G ,设K ɤK 1且K 1是G 的极大子群,则G =P K 1且P ɘK 1◁_G ,从而(P ɘK 1)M ɤG .由M 的极大性知,(P ɘK 1)M =G 或(P ɘK 1)M=M .若(P ɘK 1)M =G ,则由P ɘM ɤ(P 2)G =P 2ɘK <P ɘK 1知P =P ɘ(P ɘK 1)M =(P ɘK 1)(P ɘM )=P ɘK 1于是P ɤK 1,G =P K =K 1,矛盾.故(P ɘK 1)M =M .从而P ɘK 1ɤM P 2ɘK ɤP ɘK ɤP ɘK 1=P ɘK 1ɘM ɤP ɘM ɤP 2ɘK 故P 2ɘK =P ɘK .因为G =P K =P 2K ,所以|G ʒP |=|G ʒP 2|,矛盾.这一矛盾表明G =K ,从而P 2ɘK =P 2=(P 2)G ◁_G .因此P 2ɘR i ◁_G .由R i 的极小性知,P 2ɘR i =R i 或P 2ɘR i =1.若P 2ɘR i=R i ,则R i ɤP 2,与R i ɤ/P 1矛盾.故P 2ɘR i =1,|R i |=|R i ʒP 2ɘR i |=|R iP 2ʒP 2|=|P ʒP 2|=p(3ʎ)极小反例不存在.由步骤(2ʎ)知,G /C G (R i )是交换的,其中i =1,2, ,m .因此G ᶄɤC G (R i ),于是G ᶄɤC G (F (N )).从而G ᶄɘN ɤC G (F (N ))=F (N ),且G ᶄɘN 的每个G -主因子都是循环的.又因为G /(G ᶄɘN )是超可解的,所以G 是超可解的,矛盾.故极小反例不存在,定理1得证.定理2 设G 是一个群,那么G 是超可解的当且仅当G 有一个可解的正规子群N ,使得G /N 是超可解的,且F (N )的每个非循环的S y l o w 子群的极小子群或4阶循环子群在G 中几乎s -半置换.证 必要性是显然的,只需证充分性.假设充分性不真,且设G 为极小反例.设p 是|F (N )|的最小素因子,P ɪS y l p (F (N )).因为P c h a r F (N )◁_G ,所以P ◁_N .(1ʎ)F (N )ʂN ,C N (F (N ))ɤF (N ).若F (N )=N ,由引理2知G 超可解,矛盾.因为N 是可解群,所以C N (F (N ))ɤF (N ).(2ʎ)设V /P =F (N /P ),Q ɪS y l q (V ),q ɪπ(V /P ),那么p ʂq .若p <q ,则Q ɤF (N );若p >q ,则C Q (P )=1.因为V /P 是幂零群,Q P /P c h a r V /P ◁_N /P ,所以Q P ◁_N .若p =q ,则Q P ɤF (N ),与P ɪS y l p (F (N ))矛盾.由引理2知P Q 是超可解的.若p <q ,则Q c h a r P Q ◁_N ,从而Q ɤF (N );若p >q ,则p >2.因为p 是|F (N )|的最小素因子,所以F (N )是q ᶄ群.设R ɪS y l r (F (N ))且r ʂp .则r ʂq 且[R P /P ,Q P /P ]=1,从而[R ,Q ]ɤP .假设有x ɪQ ,则x ɪC N (P ).因为V /P 幂零,由文献[8]的定理5.3.6知[R ,<x >]=[R ,<x >,<x >]=1,从而x ɪC N (F (N )).由步骤(1ʎ)知C N (F (N ))ɤF (N ),所以x ɪF (N ),与F (N )是q ᶄ-群矛盾,从而Q ɘC N (P )=1,即C Q (P )=1.(3ʎ)p >2.若p =2,由步骤(2ʎ)知,当p <q 时,Q ɤF (N ).所以F (N /P )=F (N )/P 且2⫮|F (N /P )|.设<x >P /P 是F (N )/P 的任意极小正规子群,则|x |=r ,r ʂ2.由假设和引理1知,F (N /P )的每个极小子群在G /P 中几乎s -半置换,因此G /P 满足条件假设.由G 的选择知G /P 是超可解的.由引理2知G 是超可解的,矛盾.41西南师范大学学报(自然科学版) h t t p ://x b b jb .s w u .c n 第38卷Copyright ©博看网. All Rights Reserved.(4ʎ)极小反例不存在.设V /P =F (N /P ),Q ɪS y l q (V )且q ɪπ(V /P ).由步骤(2ʎ)知,若p <q ,则Q ɤF (N );若p >q ,则C Q (P )=1.当p >q 时,由步骤(3ʎ)和文献[7]知Q 是循环的.由步骤(2ʎ)知p ⫮|F (N /P )|.设<x >P /P 是F (N /P )的非循环S y l o w 子群的极小子群.则<x >也是F (N )的非循环S y l o w 子群的极小子群.由假设和引理1知<x >P /P 在G /P 中几乎s -半置换,因此G /P 满足条件假设.由G 的选择知G /P 是超可解的.由引理2知G 是超可解的,矛盾.因此极小反例不存在,定理2得证.参考文献:[1]陈重穆.关于S r i n i v a s a n 的一个定理[J ].西南师范大学学报:自然科学版,1987,12(1):1-4.[2] C H E NZ h o n g -m u .G e n e r a l i z a t i o n o f t h e S c h u r -Z a s s e n h a u sT h e o r e m [J ].J o u r n a l o fM a t h e m a t i c s ,1988,18(3):290-294.[3] Z HA N G Q i n -h a i ,WA N GL i -f a n g .T h e I n f l u e n c e o f s -S e m i p e r m u t a b l eS u b g r o u p s o n t h eS t r u c t u r e o fF i n i t eG r o u p [J ].A t c aM a t h e m a t i c sS i n i c a ,2005,48(1):81-88.[4] WA N G L i -f a n g ,WA N G Y a n -m i n g .O n s -S e m i p e r m u t a b i l i t y M a x i m a l a n d M i n i m a lS u b g r o u p so fF i n i t eG r o u p s [J ].C o mm A l ge b r a ,2006,34(1):143-149.[5] 祝 明,曹洪平.s *-半置换子群与有限群的p -幂零性[J ].西南师范大学学报:自然科学版,2011,36(1):17-20.[6] X U Y o n g ,L IX i a n -h u a .W e a k l y s -S e m i p e r m u t a b l e S u b g r o u p s o f F i n i t eG e o u p s [J ].F r o n t C h i n a ,2011,6(1):161-175.[7] 郭文彬.群类论[M ].北京:科学出版社,2000.[8] G O R E N S T E I N D.F i n i t eG r o u p s [M ].N e w Y o r k :H a r pe r a n dR o wP u b l i s h e r s ,1968.N e a r l y s -S e m i p e r m u t a b l e S u b g r o u p s of F i n i t eG r o u ps G U OJ i -l i a n , L I J i n -b a o , C H E N G u i -y u n S c h o o l o fM a t h e m a t i c sa n dS t a t i s t i c s ,S o u t h w e s t U n i v e r s i t y ,C h o n g q i n g 400715,C h i n a A b s t r a c t :As u b g r o u p H o f a g r o u p G i s s a i d t on e a r l y s -s e m i p e r m u t a b l e i n G i f G h a s a s u b g r o u p T s u c h t h a t G =HT ,a n d H ɘT i s a n s -s e m i p e r m u t a b l e o f T .W i t hn e a r l y s -s e m i p e r m u t a b l e s u b g r o u p s ,s o m e s u f -f i c i e n t a n dn e c e s s a r y c o n d i t i o n s o f s u p e r s o l u b l e g r o u p s a r e o b t a i n e d i n t h i s p a pe r .K e y w o r d s :f i n i t eg r o u p ;n e a r l y s -s e m i p e r m u t a b l e ;s u p e r s o l u b l e g r o u p 责任编辑 廖 坤51第4期 郭纪莲,等:有限群的几乎s -半置换子群Copyright ©博看网. 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关于有限p-超可解群的一个注记
（ １ ． Ｄ ｅ ｐ ａ ｒ ｔ ｍｅ ｎ ｔ ｏ ｆ Ｍａ ｔ ｈ ｍａ ｔ ｉ ｃ ｓ ， Ｒ ｕ ｇ ａ ｏ Ｂ ｒ ａ ｎ ｃ ｈ ， Ｊ ｉ ａ ｎ ｇ ｓ ｕ Ｉ ｎ ｓ ｔ ｉ ｔ ｕ ｔ ｅ ｏ ｆ Ｅ ｄ ｕ ｃ ａ ｔ ｉ ｏ ｎ ， Ｒ ｕ ｇ ａ ｏ ２ ２ ６ ５ ０ ０ ， Ｃ ｈ ｉ ｎ ａ ；
置换 子群 ．
利用置换子群研究群的结构是群论研究者们一直感兴趣的课题之一 ． 早在上个世纪三十年代 Ｏ ｒ ｅ Ｊ 就证 明了有限群的每个置换子群都是次正规的． 后来， Ｋ ｅ ｇ ｅ ｌ ［ ４ ］ 又给出了 ． 拟正规子群的概念： 群 Ｇ的子群 称为在 Ｇ中 一 拟正规， 若对于 Ｇ的每个 Ｓ ｙ ｌ ｏ ｗ子群 有 Ａ Ｇ ＝Ｇ Ａ． 近来， 人们对 ． 拟正规子群有许
Ｇ
其中 是 Ｇ 的某个次正规子群，
是包含在 中的 Ｇ的最大的 ． 拟正规子群． 后来， 李样明 Ｊ 又将 一 拟正规嵌人子群及弱 一 拟正规子群
定 义统一 推 广为 弱 一 拟正规 嵌入 子群 ．称群 Ｇ 的一个 子群 在 Ｇ 中弱 一 拟 正规 嵌入 的 ， 如 果 Ｇ＝Ａ Ｂ且 ｎ Ｂ≤Ａ ｓ ． 其 中 Ｂ是 Ｇ 的某个 次 正规 子群 ， 是包 含 在 中的 Ｇ的某个 ． 拟 正规嵌 入 子群 ． ２ ０ ０ ８ 年， 李 世荣［ ８ 】 在《 代 数杂 志 》 上引入了 Ｓ Ｓ ． 拟正 规 子群 ． 称 群 Ｇ的一个 子群 在 Ｇ 中 Ｓ Ｓ ． 拟正 规 的，如果 存在 Ｇ 的
一
个子 群 使 得 Ｇ＝Ａ Ｂ且 与 的每 个 Ｓ ｙ ｌ ｏ ｗ 子群 可换 ．利用 上述 一 系列子 群 ， 人 们 已经得 到 了有 限群
超可解群的一些新判别准则
超可解群的一些新判别准则张丽【摘要】结合有限群G的所有u-极大子群的交集Intu(G),定义了u*-拟正规子群.有限群G的一个子群H称为u*-拟正规的,如果存在G的一个拟正规子群T,使得HT在G中是S拟正规的,且(H∩T)HG/HG≤φ(H/HG)Intu(G/ HG).利用u*-拟正规子群研究有限群的结构,得到了超可解群的一些新判别准则.【期刊名称】《菏泽学院学报》【年(卷),期】2016(038)005【总页数】5页(P6-10)【关键词】有限群;u*-极大子群;u*-拟正规子群;超可解群【作者】张丽【作者单位】中国科技大学数学学院,安徽合肥230026【正文语种】中文【中图分类】O152本文所提到的群均为有限群. G表示一个群，π(G)是|G|的所有素因子构成的集合，且是所有超可解群组成的群类.文中未提到的符号和术语可参看文献[2, 3, 5].群G的一个子群H称为拟正规的(特别地，S-拟正规的)，如果H与G的任一子群P(特别地，Sylow-子群)置换，即HP=PH.另外，子群X称为在G中是-极大的(见[2, Chapter III, Definition 3.1])，如果满足(1) X∈，(2)若X≤V≤G且V∈，则X=V.群G的一个正规子群N称为超循环嵌入的，如果N的每个G-主因子是素数阶的.子群Z(G)称为G的-超中心，即G的所有超循环嵌入子群的乘积. 众所周知Z(G)对群的结构有着重要的影响，且其广泛应用基于下列性质：设N是群G的正规子群，且N≤Z(G),(1)若A≤G，且A∈，则AN∈；(2)若T≤G，且T/N∈，则T∈.但是[8, Theorem C]指出，上述性质当N≤Int(G)时仍成立，这里Int(G)表示G的所有-极大子群的交集.显然，Int(G)是G的一个特征子群，且Z(G)≤Int(G).上述表明，对Int(G)的研究是很有意义的.事实上，已经有很多相关研究，如文献[1, 4, 7, 8].文中分别用、p和p表示所有幂零群、p-幂零群和p-超可解群的群类. 可类似地定义子群Z (G)(通常记为Z∞(G))，Intp(G)和Intp(G).本文的研究工具是*-拟正规子群，定义如下：定义1 令H是群G的一个子群，称H在G中是*-拟正规的，如果存在G的一个拟正规子群T，使得HT在G中是S-拟正规的，且(H∩T)HG/HG≤Φ(H/HG)Int(G/HG).文献[6]中，定义了s-嵌入子群：G的子群H称为s-嵌入的，如果存在G的一个拟正规子群T，使得HT在G中是S-拟正规的，且文献[9]中定义了SΦ-嵌入子群： G的子群H称为SΦ-嵌入的，如果存在G的一个正规子群T，使得HT在G中是S-拟正规的，且易见，s-嵌入子群和SΦ-嵌入子群都是*-拟正规的.但下例说明，反之不一定成立. 例：令p和q是满足q|(p-1)的素数. 令A=QCp，其中Cp是一个p阶群，而Q 是一个被Cp忠实作用的单FqCp-模.设G=PA，其中P是一个被A忠实作用的单FpA-模. 由[3, Chapter 1, Example 6.2]知，Int(G)=P，且Intp(G)=1.注意到Z). 则Z(G)=1，且|P|>p.设H是P的一个极大子群，取G的子群P，可知H是*-拟正规的.然而H既不是s-嵌入的，也不是SΦ-嵌入的. 如若不然，存在G的一个正规子群T，使得HT在G中是S-拟正规的，且H∩T=1. 但这是不可能的，因为G 的任一非平凡正规子群包含P，进而包含H.文章的主要结果如下：定理1 设E是G的一个正规子群，且满足G/E是超可解的.对每个素因子p∈π(E)和E的每个非循环Sylow p-子群P，假设P的所有极大子群或者所有阶为p或4(若P是一个非交换2-群)的循环子群在G中是*-拟正规的. 则G是超可解的.引理1.1[3] 令H和E是G的子群，且N正规于G.(1) 如果H在G中是拟正规的，那么(2) 如果H在G中是拟正规的(S-拟正规)，那么H∩E在E中是拟正规的(S-拟正规)，且HN/N在G/N中是拟正规的(S-拟正规).(3) 设H是一个p-群. 则H在G中是拟正规的，当且仅当Op(G)≤NG(H).(4) G的S-拟正规子群在G中是次正规的，且G的所有S-拟正规子群组成一个格. 引理1.2[8] 令H和E是G的子群，且N正规于G.(1) Int(H)N/N≤Int(HN/N)，Int(H)∩E≤Int(H∩E).(2) 设=或p. 若H/(H∩Int(G))∈，则H∈.(3) Z(G)≤Int(G).引理1.3 令H是G的一个*-拟正规子群，H≤K≤G，且N正规于G，满足N≤H 或 (|N|, |H|)=1. 则H在K中是*-拟正规的，且HN/N在G/N中是*-拟正规的.证明：设T是G的一个拟正规子群，使得HT在G中是S-拟正规的，且(H∩T)HG/HG≤Φ(H/HG)Int(G/HG).由引理1.1(2)知，T∩K和H(T∩K)=HT∩K分别是K的拟正规子群和S-拟正规子群. 且由引理1.2(1)知，因为HG≤HK，所以根据引理1.2(1)和[2, Chapter A, Theorem 9.2]得这说明H在K中是*-拟正规的.由引理1.1(2)知，TN/N和HN/H·TN/N=HTN/N分别是G/N的拟正规子群和S-拟正规子群.若N≤H，则H∩TN=(H∩T)N.设(|N|, |H|)=1. 于是所以由[2, Chapter A, Lemma 1.6]知：进而HN∩TN=(H∩T)N. 注意到从而根据引理1.2(1)和[2, Chapter A, Theorem 9.2]知：故HN/N在G/N中是*-拟正规的.引理1.4 [1] 设p是π(G)中满足(|G|, p-1)=1的素因子. 则Int(G)≤Intp(G).引理1.5 [5] 设P是G的一个Sylow p-子群，且N正规于G，若P∩N≤Φ(P)，则N是p-幂零的.为证明定理1，首先证明以下两个性质.性质1 设P是G的一个Sylow p-子群，其中p∈π(G)，且满足(|G|, p-1)=1.假设：(a)P的所有极大子群在G中是*-拟正规的，或者(b)P的所有阶为p或4(若P是一个非交换2-群)的循环子群在G中是*-拟正规的.则G是p-幂零的.证明: 假设结论不成立，且G是一个极小阶反例. 易知|P|>p.(a)的证明：(a1)令N是G的一个极小正规子群. 则G/N是p-幂零的，从而N是G的唯一极小正规子群，且Op'(G)=1.令P1/N是PN/N的一个极大子群. 记P0=P1∩P，则P0是P的一个极大子群. 由假设知，存在G的一个拟正规子群T，使得P0T在G中是S-拟正规的，且由引理1.1(2)知TN/N和P0TN/N分别是G/N的拟正规子群和S-拟正规子群. 因为P0∩N是N的一个Sylow p-子群，且|P0T∩N: T∩N|=|P0T∩N: P0∩T|是p的方幂，所以P0T∩N=(T∩N)(P0∩N)，进而P1∩TN=(P0∩T)N (见[2, Chapter A, Lemma 1.2]).类似于引理1.3可证P1/N是*-拟正规的. 这说明G/N满足假设条件. 故由G的选取知G/N是p-幂零的. 从而(a1)成立.(a2) Int(G)=1=Op(G).若Int(G)>1，则由(a1)知N≤Int(G). 同时由引理1.4知N≤Intp(G). 此时，(a1)和引理1.2(2)说明G是p-幂零的，矛盾. 因此Int(G)=1.假设N≤Op(G). 因为(a1)表明Φ(G)=1，所以存在G的一个极大子群M.满足G=NM. 则P=N(P∩M).令P1是P的一个包含P∩M的极大子群. 显然(P1)G=1. 由假设知，存在G的一个拟正规子群T，使得P1T在G中是S-拟正规的，且P1∩T≤Φ(P1). 其中T满足1<T<G. 事实上，若T=1，则P1是G的一个S-拟正规子群.故由引理1.1(3)知P1正规于G，矛盾. 另一方面，T=G说明P1≤Φ(P1)，即P1=1，矛盾. 由N的极小性和唯一性知N≤T或TG=1，N≤TG. 若前者成立，则P1∩N≤P1∩T≤Φ(P1)且P1=(P∩M)(P1∩N)=P∩M. 此时|N|=|P: P1|=p. 且由假设(|G|, p-1)=1知N≤Z(G). 现设后者成立. 引理1.1(1)表明N≤Z∞(G).综上，总有N≤Z(G). 结合(a1)知，G是p-幂零的，矛盾. 则(a2)是成立的.(a3) 最后矛盾.设P1是P的任一极大子群. 由上知，存在G的一个拟正规子群T使得P1T在G 中是S-拟正规的，且P1∩T≤Φ(P1). 类似于(a2)知，1<T<G且N≤T.假设P1= P1T∩P，即P∩T≤P1，则由引理1.5知N是p-幂零的, 这与(a1)和(a2)矛盾. 因此P≤P1T. 由引理1.3知，P1T满足假设条件.若P1T<G，则G的选取表明P1T是p-幂零的, 这又与(a1)和(a2)矛盾. 故G=P1T. 上述说明对P的任一极大子群P1，存在G的一个拟正规子群T，使得G=P1T且P1∩T≤Φ(P1).因为G=POp(G)，1<Op(G)≤T<G，所以P∩Op(G)<P. 于是存在P 的一个极大子群P*满足P∩Op(G)≤P*.设K是G的一个拟正规子群，满足G=P*K且P*∩K≤Φ(P*).注意到Op(G)≤K. 于是，而引理1.5说明Op(G)是p-幂零的，这与(a1)和(a2)矛盾. 结论至此得到证明. (b)的证明：令M是G的一个真子群，且Mp是M的一个Sylow p-子群. 则存在g∈G使得P. 考虑子群Mg，其中Mg有一个Sylow p-子群含于P. 因为由引理1.3 知Mg 满足假设条件，所以G的选取表明Mg是p-幂零的. 故M是p-幂零的，而G是一个极小非p-幂零群. 根据 [3,Chapter 1, Proposition 1.9]，下述成立：(b1)G=PQ，其中P=G且Q是G的一个循环Sylow q-子群，这里q≠p；(b2) P/Φ(P)是一个非循环的G-主因子；(b3) P的方次数是p或4 (当P是一个非交换2-群).令x∈P\Φ(P). 由(b3)知L= <x>是一个p阶或4阶循环子群，且LG≤Φ(P). 如若不然，(b2)表明P=LGΦ(P)，即P=L是循环的, 这又与(b2)矛盾. 由假设知, 存在G 的一个拟正规子群T，使得LT在G中是S-拟正规的，且根据引理1.1(4)知，(P∩T)Φ(P)/Φ(P)在G/Φ(P)中是S-拟正规的. 则由引理1.1(3)知，(P∩T)Φ(P)/Φ(P)正规于G/Φ(P)，且(b2)表明(P∩T)Φ(P)=Φ(P)或P.首先设P∩Φ(P)≤Φ(P). 则在G/Φ(P)中是S-拟正规的. 故由(b2)和引理1.1(3)知LΦ(P)/Φ(P)正规于G/Φ(P).此时P=LΦ(P)=L，矛盾.其次，设(P∩T)Φ(P)=P，即P≤T. 则进而L/LG≤Int(G/LG).利用引理1.2(1)知由(b2)知，P/Φ(P)≤Int(G/Φ(P)).此时，引理1.2(2)和引理1.4说明G/Φ(P)是p-幂零的. 从而G也是p-幂零的，矛盾.(b)由此得证.性质2 设P是G的一个正规p-子群.假设(a)P的所有极大子群在G中是*-拟正规的，或者(b)P的所有阶为p或4(若P 是一个非交换2-群)的循环子群在G中是*-拟正规的. 那么P≤Int(G).证明：假设结论不成立.且(G, P)是使得|G|+|P|最小的反例. 显然，|P|>p，且G不是超可解的.通过下列步骤给出证明.先证明G/P是超可解的.因为P≮Int(G)，所以存在G的一个-极大子群X，满足P≮X. 由引理1.3知，(PX, P)满足假设. 于是，若PX<G，则(G, P)的选取表明，P≤Int(PX). 注意到PX/P是超可解的，这是由于PX/P≌X/(P∩X). 故由引理1.2(2)知，PX是超可解的. 同时X的-极大性说明，PX=X，即P≤X，矛盾. 这说明G=PX，故G/P(≌X/(P∩X))是超可解的.(a)的证明.假设P是G的一个极小正规子群. 设P1是P的一个极大子群，且P1在G的某个Sylow p-子群中正规. 显然(P1)G=1=Φ(P1). 由假设知，存在G的一个拟正规子群T，使得P1T在G中是S-拟正规的，且P1∩T≤Int(G).易知仅存在下面三种情况：(α) P≤T；(β) P∩TG=1；(γ) P∩TG=1且P≤TG.在(α)中，1< P1≤Int(G). 故P≤Int(G)，矛盾.若(β)成立，则P∩T=1且P1=P∩P1T在G中是S-拟正规的. 而P1的选取和引理1.1(3)表明P1正规于G，矛盾.现设(γ)成立. 则由引理1.1(1)知P≌PTG/TG≤Z∞(G/TG). 进而由引理1.2(3)知P≤Z∞(G)≤Int(G)，矛盾.令N是G的一个极小正规子群且包含于P. 由上知N<P. 根据引理1.3知(G/N, P/N)满足假设. 故(G, P)的选取表明P/N≤Int(G/N). 结合G/P是超可解的，引理1.2(2)和同构(G/N)/(P/N)≌G/P，有G/N∈. 因此N≮Φ(G)且N是G的含于P的唯一极小正规子群. 设M是G的一个极大子群且满足G=NM. 因为P∩M是G的一个正规子群，所以P∩M=1. 此时P=N(P∩M)=N，矛盾. 从而(a)得证.(b)的证明.设M是G的任一极大子群. 由引理1.3知(M, P∩M)满足假设，故(G, P)的选取表明P∩M≤Int(M). 另外，M/(P∩M)是超可解的，这由G/P是超可解的和同构M/(P∩M)≌MP/P可知.因此由引理1.2(2)知M是超可解的，且G是一个极小非超可解群. 由[3, Chapter 1, Proposition 1.8]和G/P是超可解的知：(i) P=G；(ii) P/Φ(P)是一个非循环的G-主因子；(iii) P的方次数是p或4 (当P是一个非交换2-群).取x∈P\Φ(P)使得H=<x>正规G的某个Sylow p-子群. 由(iii)知H是一个p阶或4阶循环子群.易知HG≤Φ(P). 由假设知，存在G的一个拟正规子群T，使得HT 在G中是S-拟正规的，且考虑到(ii)，证明可分成三种情形，分别是：(α) P≤T；(β) P∩TG≤Φ(P)；(γ) P≤TG且P∩TG≤Φ(P).在(α)中，H/HG≤Φ(H/HG)Int(G/HG)，于是H/HG≤Int(G/HG). 又由引理1.2(1)知：且(ii)表明P/Φ(P)≤Int(G/Φ(P)). 此时，由(i)和引理1.2(2)知G/Φ(P)是超可解的，则G也是超可解的，矛盾.若(β)成立，则由引理1.1(4)知，HΦ(P)/Φ(P)=PΦ(P)∩HTΦ(P)/Φ(P)，在G/Φ(P)中是S-拟正规的. 又由引理1.1(3)和H的选取知，HΦ(P)/Φ(P)正规于G/Φ(P). 于是P/Φ(P)=HΦ(P)/Φ(P)是循环的，矛盾.现设(γ)成立. 则由引理1.1(1)知注意到PTG/Φ(P)TG≌P/Φ(P). 故P/Φ(P)≤Z∞(G/Φ(P)). 这表明G/Φ(P)是超可解的. 同时G也是超可解的，矛盾.结论至此得到证明.定理1的证明：通过对|G|+|E|进行归纳来证明定理1. 令q是π(E)中的最小素因子. 若E有一个循环的Sylow q-子群，则显然E是q-幂零的. 如若不然，引理1.3 和性质1也表明E是q-幂零的. 从而E有一个正规的q′-Hall子群E*. 类似地，可证E*是r-幂零的，其中r是π(E*)中的最小素因子. 从而归纳知E是一个Sylow 塔群. 现设p是π(E)的最大素因子，且P是E的正规Sylow p-子群. 由引理1.3知(G/P, E/P)满足假设.归纳知G/P是超可解的. 若P是循环的，则P≤Z(G). 否则，则由性质2知P≤Z(G). 结合引理1.2(2)、(3)，仍有G是超可解的.【相关文献】[1]X. Chen, W. Guo, A.N. Skiba, On generalized -hypercentral subgroups of a finite group [J], J. Algebra, 2015, 442: 190-201.[2]K. Doerk, T. Hawkes, Finite Soluble Groups [M], Walter de Gruyter, Berlin-New York, 1992.[3]W. Guo, Structure Theory for Canonical Classes of Finite Groups [M], Springer, 2015.[4]W. Guo, A.N. Skiba, On the intersection of the -maximal subgroups and the generalized -hypercentre of a finite group [J], J. Algebra, 2012, 366: 112-125.[5]B. Huppert, Endliche Gruppen I [M], Springer-Verlag, Berlin-New York, 1967.[6]J. Huang, On s-quasinormal subgroups of finite groups [J], Comm. Algebra, 2010, 38: 4063-4076.[7]A. N. Skiba, On the intersection of all maximal -subgroups of a finite group [J], J. Algebra, 2011, 343: 173-182.[8]A. N. Skiba, On the -hypercentre and the intersection of all -maximal subgroups of a finite group [J], J. Pure Appl. Algebra, 2012, 216(4): 789-799.[9]L. Zhang, W. Guo, L. Huo, On SΦ-embedded subgroups of finite groups [J]. ТрудыИнститута математики и механики УрО РАН, 2016, 22(1): 310-318.。
p_超可解群的若干充分条件_谢凤艳_闫俊娜
p 是群 G 的素因子，如果 G 有正规子群 E 使得 G / E 为 p超可解群且 E 的每个 Sylow p子 如果 G 有 p-可解正规子群 E 使得 G / E 为 p-超可解群且 E 的每个 Sylow p-子群的极大
群的极大子群在 G 中 s-半置换的，则 G 为 p-超可解群．
q ≠ p，则存在 x ∈ X 使得 HQ x = Q x H． 从而 ss-半置换，故存在 T ∈ X ss （ H） ． 设 Q ∈ Syl q （ T） ，其中， 中 XN ∩ H = N ∩ HQ x 正规于 HQ x ，即 HQ x ≤ N G （ N ∩ H） ． 因为 N 为交换群，所以 N ∩ H 正规于 N． 又因为 N ∩ H = （ N ∩ E ） ∩ P1 正规于 P1 ，所以 N ∩ H 正规于 NP1 = G p ，故 N ∩ H 正规于 G． 由 N 的极小正规性 从而 G p = P1 ，矛盾． 故 N ∩ H = 1 ． 因为 得 N = N ∩ H 或者 N ∩ H = 1 ． 若 N = N ∩ H，则 N ≤ H ≤ P1 ， N ≤ H， H 是 P 的极大子群且 N ≤ G p ∩ E = P ，所以 P = NH． 故 N = p． = p． 由于 H
x
若（ ii） 成立． 设 P ∈ Syl p （ G ） ，则 N ≤ P． 设 H 为包含在 N 中 P 的极小正规子群，则 H
ssq ≠ p，则存在 x ∈ X 使得 HQ = Q x H． 因 半置换，故存在 T ∈ X ss （ H） ． 设 Q ∈ Syl q （ T） ，其中， 在 G 中 Xx 为 N 为初等交换群，所以 H 正规于 N． 因为 N 正规于 G ，所以 H 是 G 的次正规子群． 由于 Q ∈ Syl q （ G ） ，所 x x x q｝ 群． 故 H ∈ Syl p （ HQ x ） 且 H 是 HQ x 的次正规子群， 从而 H 正规于 HQ ， 以 HQ 为｛ p， 即 Q ≤ N G （ H） ． 又
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半CAP-子群与有限群的p-超可解性戴乔;韦华全;李雪;袁卫峰【摘要】设G为有限群,H为G的子群.称H为G的半CAP-子群,如果存在G的一个主群列1=G0<G1<?<G n=G,使得对每一个i=1,2,?,n,H或者覆盖Gi/Gi-1,或者远离Gi/Gi-1.该文主要利用Sylow p-子群的极大及极小子群的半覆盖-远离性来刻画有限群的结构,得到群为p-超可解或者p-幂零的几个充分或必要条件.【期刊名称】《广西师范学院学报（自然科学版）》【年(卷),期】2018(035)002【总页数】4页(P1-4)【关键词】有限群;CAP-子群;半CAP-子群;p-超可解;p-幂零【作者】戴乔;韦华全;李雪;袁卫峰【作者单位】广西大学数学与信息科学学院 ,广西南宁 530004;广西大学数学与信息科学学院 ,广西南宁 530004;广西大学数学与信息科学学院 ,广西南宁530004;广西大学数学与信息科学学院 ,广西南宁 530004【正文语种】中文【中图分类】O152.1本文所有的群都是有限群，π(G)表示群G的阶G的所有素因子的集合.1962年，Gaschüt z W.在[1]中提出覆盖-远离子群(CAP-子群)的定义,后来有许多学者用子群的覆盖-远离性研究群的结构, 给出了一个群是可解群、p-幂零群、超可解群和局部定义群系的一些充分或必要条件, 如[2～5]. 2006年,樊恽、郭秀云和岑嘉评在[6] 中引入了半覆盖-远离性的定义,利用极大子群和Sylow子群的这个性质,给出了有限群为可解群的一些特征.2008年,杨元韡和黎先华在[7]中用极小子群和4阶循环群的半覆盖远离性刻画了有限群的结构.除此之外也有其他关于子群半覆盖-远离性的论文, 如[8,9,10]. 周知，覆盖-远离性质是商群封闭的,但不是子群封闭的，而比覆盖-远离性质更弱的半覆盖-远离性质是子群封闭的, 这为研究群的结构提供了便利.本文主要利用Sylow p-子群的极大及极小子群的半覆盖-远离性来研究群的p-超可解性和p-幂零性，得到有限群是p-超可解的或者p-幂零的几个充分或必要条件.1 预备知识引理1([8，引理2.5]) 设G是群，H和K都是G的子群.若H是群G的半 CAP-子群且H≤K，则H是群K的半CAP-子群.引理2([8，引理2.6]) 设H是群G的半CAP-子群，N是G的正规子群.若下列条件之一成立，则HN/N是G/N的半CAP-子群：(1) N≤H；(2) gcd(H,N)=1,这里gcd(-,-)=1表示最大公因子.引理 3([5，引理2.7]) 设G是一个群，p∈π(G)且(G,p-1)=1，则(1) 若N是G的正规子群且阶为p，则N≤Z(G)；(2) 若G有循环的Sylow p-子群，则G是p-幂零的；(3) 若M是G的指数为p的子群，则M正规于G.引理4([11]) 设A是G的次正规子群且A是π-群，则A≤Oπ(G).引理5([5，引理2.9]) 设G是群且N是G的子群，则有：(1) 若N≤G，则F*(N)≤F*(G).(2) 若G≠1，则F*(G)≠1.从而有，F*(G)/F(G)=Soc(F(G)CG(F(G))/F(G)).(3) F*(F*(G))=F*(G)≥F(G).从而，若F*(G)是可解的，则F*(G)=F(G).(4) CG(F*(G))≤F(G).引理6([12，引理2.10]) 设G是一个群，则有：(1)(2) 从而有(3) 若是p-可解的，则(4) 若C=CG(Fp(G)/Op′(G))，则引理7 设G是p-超可解群，其中p∈π(G),则G的任意p-子群都是G的CAP-子群.证明设A/B为G的任意主因子，H为G的任意p-子群.因G是p-超可解群，故A/B为p阶群或为p′-群.若A/B为p阶群，则(A/B)∩(HB/B)=1或者(A/B)∩(HB/B)=A/B.于是A∩HB=B或者A≤HB，即A∩H=B∩H或者AH=BH.若A/B为p′-群，则A/B∩HB/B=1，即A∩HB=B.进一步，A∩H=B∩H.综合之，H为G的CAP-子群.2 主要结果定理1 设G是群，P是G的Sylow p-子群，其中p∈π(G).若P的极大子群都是G的半CAP-子群，则G是超可解群或者P=p.证明假设定理不成立，G是极小阶反例.以下分几步证极小阶反例不存在.(1) Op′(G)=1.若T=Op′(G)>1，则虑商群显然PT/T是H/T的Sylow p-群.设P1是P的极大子群，则根据引理2(2)，P1T/T是G/T的半CAP-子群，故G/T满足题设条件.于是，G/T是p-超可解群或者PT/T=p.由此可推出G是p-超可解群或者P=p，矛盾. (2) 设N是G的极小正规子群，则N≤Op(G).设P1是P的极大子群，则存在G的一个主群列1=G0<G1<…<Gn=G使得对任意的i=1,2,…,n-1，P1或者覆盖Gi+1/Gi，或者远离Gi+1/Gi.显然，存在j使得N∩Gj=1但N∩Gj+1≠1.由N的极小正规性，N∩Gj+1=N,从而Gj+1=NGj.若P1覆盖Gj+1/Gj，即P1Gj+1=P1Gj，则(P1Gj/Gj)·(Gj+1/Gj)=P1Gj/Gj,于是N≅Gj+1/Gj≤P1Gj/Gj为p-群.若P1远离Gj+1/Gj,即P1∩Gj+1=P1∩Gj，则P1∩N=P1∩Gj∩N=1.于是可得到P∩N≤p，再由(1)得P∩N≤p.进而，P∩N<P.现取R为P的包含P∩N的极大子群，则R∩N=P∩N.重复上面的讨论，有R∩N=1，这与R∩N=P∩N为p阶群矛盾.(3) 设N是G的极小正规子群，则G/N是p-超可解群或者P/N=p.这由(2)及引理2(1)即得.(4) G有唯一的极小正规子群，记为N.若否，则令N和M是G的两个极小正规子群，我们将利用(3)导出矛盾.若G/N和G/M都是p-超可解群，则G同构于G/N×G/M的子群，所以G是p-超可解群，矛盾.若G/N是p-超可解群且P/M=p，则N≅NM/M≤P/M,从而有N=p.由G/N为p-超可解群即得G为p-超可解群，矛盾.同理，若G/M是p-超可解群且P/N=p,则我们也得到矛盾.故P/N=p且P/M=p，于是P=P∶M∩N≤P∶MP∶N=p2.但P≠p,故P=p2，P=M×N，其中M=N=p.再由G/P是p′群知G为p-超可解群，矛盾.所以，N是G唯一的极小正规子群.(5) 最后的矛盾.设P1是P的极大子群.由于N是唯一的，N必定包含在G的任意主群列里.根据题设，P1或者覆盖N/1，或者远离N/1.若P1覆盖N/1,则P1N=P1,即N≤P1.由P1的任意性得N≤Φ(P),从而N≤Φ(G).若G/N为p-超可解群，则G是p-超可解群，矛盾.若P/N=p,则N=Φ(P),N为循环群.进一步有，N=p，而P=p2,这与[13，定理7]矛盾.若P1远离N/1，则P1∩N=1,于是我们有N=p.此时，若G/N为p-超可解群，则G是p-超可解群，矛盾.若P/N=p ，则P=p2，这仍与[13，定理7]矛盾.定理2 设H是群G的包含的次正规子群，P∈Sylp(H),其中(G,p-1)=1，则G是p-幂零群当且仅当P的极大子群都是群G的半CAP-子群.证明若G是p-幂零的，则于是H=G.根据引理7，P的极大子群都是群G的CAP-子群，自然P的极大子群都是群G的半CAP-子群.反之，设P的极大子群都是群G的半GAP-子群，则我们要证G是p-幂零的.假设G是极小阶反例.以下分步证明极小阶反例不存在.(1) Op′(G)=1.对于T=Op′(G)>1,考虑商群因故显然PT/T是H/T的Sylow p-子群.设P1是P的极大子群，则根据引理2(2)，P1T/T是G/T的半CAP-子群，故G/T满足题设条件.于是，G/T是p-幂零的，这导致G为p-幂零群，矛盾.(2) P=Op(G)=F*(G).根据引理1,P的极大子群都是群H的半CAP-子群,于是由定理1，H是p-超可解群，再由引理3知H为p-幂零群.设Hp′为H的正规p-补，则Hp′是G的次正规子群.由引理4，Hp′≤Op′(G)，再由(1)得H=P.这样，P≤Op(G).根据引理5(3)及引理6(2)得，由此即得P=Op(G)=F*(G).(3) 最后的矛盾.考虑PQ,其中Q∈Sylq(G)且p≠q.由引理1，定理1及引理3，PQ是p-幂零群.于是根据引理5(4)有，Q≤CG(P)=CG(F*(G))≤F(G)=P,矛盾.定理3 群G是超可解群当且仅当对任意p∈π(G)，存在G的包含的次正规子群H 使得H的Sylow p-子群的极大子群都是G的半CAP-子群.证明若G是超可解群，则G的任意子群L都是CAP-子群，自然L是G的半CAP-子群.反之，设对任意p∈π(G)，存在G的包含的次正规子群H使得H的Sylow p-子群的极大子群都是G的半CAP-子群，则我们要证G是超可解的.令p是G的最小素因子.根据定理2，G是p-幂零的，即G存在一个正规 p-补K.特别地，G可解.假设q是K的最小素因子，则因为 K而K char G，所以Fq(K)正规于G，从而Fq(K)≤Fq(G).根据题设，存在◁◁G，且Q∈Sylq(H)，使得Q的每个极大子群是G的半CAP-子群.显然Fq(G)≤H∩K◁◁K，又Q≤K，于是Q∈Sylq(H∩K).根据引理1，Q的每个极大子群都是K的半CAP-子群.由定理2知K是q-幂零的.这表明G是超可解型Sylow塔.令r为G的极大素因子且R∈Sylr(G)，则R正规于G.对任意的r≠s∈π(G)，因故G/R满足定理的条件.由归纳法知G/R是超可解的，从而，G是s-超可解的，其中r≠s∈π(G).若R=r，则G是超可解群.下设R>r.因故R是G的任意包含的子群的Sylow r-子群.由定理1，G为r-超可解群，这样G为超可解群.群G的子群H称为在G中s-拟正规，若对G的任意Sylow子群S，有HS=SH.定理4 设A是群G的s-拟正规子群，B是G的子群且G=AB,则G是p-幂零群当且仅当A和B的Sylow p-子群的极大子群都是G的半CAP-子群，其中p∈π(G)且(G,p-1)=1.证明若G是p-幂零群，则由引理7，G的p-子群都是G的半CAP-子群.现设A和B的Sylow p-子群的极大子群都是群G的半CAP-子群，则我们要证G是p-幂零群.假设定理不成立，G是极小阶反例.以下分步证明极小阶反例不存在.(1) Op′(G)=1.令T=Op′(G)>1.考虑商群显然满足题设条件，于是是p-幂零群，这样G是p-幂零群，矛盾.(2) A是p-群.根据定理2，A是p-幂零的.设Ap′为A的正规p-补,则Ap′ char A.又A在G中s-拟正规，故A在G中次正规，从而Ap′在G中次正规.由引理4，Ap′≤Op′(G)，再由(1)即得A是p-群.(3) 最后的矛盾.由定理2，B是p-幂零的，即B存在一个正规p-补Bp′.因为A是p-群且G=AB，所以Bp′是G的Hall p′-子群.又因为A在G中s-拟正规，故ABp′ 是G的子群.由定理2知ABp′是p-幂零的，故A正规化Bp′.由这就得到Bp′≤AB=G.由(1)得Bp′=1，故B也是p-群，这样G是p-群.当然，G是p-幂零的，矛盾.定理5 设A是群G的s-拟正规子群，B是G的子群且G=AB，则G是p-幂零群当且仅当A和B的p阶及4阶循环子群都是G的半CAP-子群，其中p∈π(G)且(G,p-1)=1.证明由引理7，只需证充分性.事实上，由[7，定理2.1]，A和B都是p-幂零的.用类似于定理4的证明方法，即可得到本定理.参考文献：[1] GASCHÜTZ W.Praefrattini gruppen [J]. 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