中考数学专题复习《新定义问题》专项检测(含答案)

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2020中考复习——新定义问题专题训练(四)(有答案)

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知识像烛光，能照亮一个人，也能照亮无数的人。--培根
22. 阅读理解：若 A、B、C 为数轴上三点，若点 C 到 A 的距离是点 C 到 B 的距离 2 倍，
我们就称点 C 是【A，B】的好点．例如，如图 1，点 A 表示的数为−1，点 B 表示的数为 2.表示 1 的点 C 到点 A 的距离是 2，到点 B 的距离是 1，那么点 C 是【A，B】的好点；又如，表示 0 的点 D 到点 A 的距离是 1，到点 B 的距离是 2，那么点 D 就不是【A，B】的好点，但点 D 是【B、A】的好点．知识运用： (1)如图 1，点 B 是【D，C】的好点吗？_________(填是或不是)；
B. 6
C. 8
2. 若定义新运算 ∗ = 2 − 3 ，则 4 ∗ 1 的值是：
D. −6
A. 5
B. 7
C. 13
D. 15
3. 已知 a，b 为有理数，定义一种运算： ★ = 2 − 3 ，若(5 − 3)★(1 − 3 ) = 29，则 x 的值为 ( )
A. 2
B. 3
C. 4
D. 5
4. 我们约定 ⊕ = 10 × 10 ，如 2 ⊕ 3 = 102 × 103 = 105，那么 3 ⊕ 8 为( )
=± 2， 1 = 2， 2 =− 2，
7. D
解：根据题中的新定义化简得：2 × 8 + 2 =− (3 + 2) − 6 × 7，整理得：2 + 3 =− 60，合并同类项，得：5 =− 60，系数化为 1，得： =− 12，
8. B
解：结合图象可得[ ]可能为 0 或 1 或 2，
由1
3
答案和解析

中考数学《新定义型问题》专题复习

中考数学《新定义型问题》专项复习考向1 数或函数类新定义例：（2019•越秀区校级模拟）在平面直角坐标系中，当点(,)M x y 不在坐标轴上时，定义点M 的影子点为(y M x，)xy ，已知点P 的坐标为(,)a b ，且a ．b 满足方程组|3|40(1416a c cbc 为常数），若点P 的影子点是点P ，则点P 的坐标为．【解析】方程组|3|4(1416acc b c 为常数），40c ，又由4160c ，4c ，3a ，1b ，(3,1)P ，由影子点的定义，1(3P ，3)，故答案为1(3，3)．练习：1．（2018•越秀区校级一模）定义[a ，b ，]c 为函数2y ax bxc 的特征数，下面给出特征数为[1m ，1m 2]m 的函数的一些结论：①当3m时，函数图象的顶点坐标是(1,8)；②当1m 时，函数图象截x 轴所得的线段长度大于3；③当0m时，函数在12x时，y 随x 的增大而减小；④不论m 取何值，函数图象经过两个定点．其中正确的结论有( ) A ．1个 B ．2个 C ．3个 D ．4个【解析】因为函数2y ax bxc 的特征数为[1m ，1m ，2]m ； ①当3m时，222462(1)8y x x x ，顶点坐标是(1,8)；此结论正确；②当1m 时，令0y ，有2(1)(1)20m x m x m，解得，11x ，221mx m ， 2131||31m x x m ，所以当1m 时，函数图象截x 轴所得的线段长度大于3，此结论正确；③当0m 时，2(1)(1)2y m x m x m 是一个开口向下的抛物线，其对称轴是：12(1)m xm ，在对称轴的左边y 随x 的增大而增大，因为当0m时，1121112(1)2(1)212m m m m m ，即对称轴在12x 右边，可能大于12，所以在12x时，y 随x 的增大而减小，此结论错误， ④当1x 时，2(1)(1)20y m x m x m即对任意m ，函数图象都经过点(1,0)那么同样的：当2x时，2(1)(1)26ym x m x m，即对任意m ，函数图象都经过一个点(2,6)，此结论正确．根据上面的分析，①②④是正确的．故选：C ．2．（2018•平定县二模）新定义：[a ，]b 为一次函数(0yaxb a，a ，b 为实数）的“关联数””．若“关联数”为[3，2]m 的一次函数是正比例函数，则点(1,1)m m 在第象限．【解析】 “关联数”为[3，2]m 的一次函数是正比例函数， 32yxm 是正比例函数，20m ，解得：2m ，则11m，13m，故点(1,1)m m 在第二象限．故答案为：二．3．（2019•电城区二模）对于实数a ，b ，我们定义符号{max a ，}b 的意义为：当a b 时，{max a ，}b a ；当ab 时，{max a ，]b b ；如：{4max ，2}4，{3max ，3}3，若关于x 的函数为{3ymax x，1}x ，则该函数的最小值是．【解析】联立两函数解析式成方程组，得：31y x yx ，解得：12x y．当1x时，{3y max x，1}12x x ；当1x时，{3y max x ，1}32x x ．函数{3y max x，1}x 最小值为2．故答案为：2．4．（2019•普宁育才实验学校二模）在平面直角坐标系xOy 中，对于任意两点11(P x ，1)y 与22(P x ，2)y 的“非常距离”，给出如下定义：若1212||||x x y y ，则点1P 与点2P 的“非常距离”为12||x x ；若1212||||x x y y ，则点1P 与点2P 的“非常距离”为12||y y ．例如：点1(1,2)P ，点2(3,5)P ，因为|13||25|，所以点1P 与点2P 的“非常距离”为|25|3，也就是图1中线段1PQ 与线段2P Q 长度的较大值（点Q 为垂直于y 轴的直线1PQ 与垂直于x 轴的直线2P Q 交点）．（1）已知点1(2A ，0)，B 为y 轴上的一个动点，①若点A 与点B 的“非常距离”为2，写出一个满足条件的点B 的坐标； ②直接写出点A 与点B 的“非常距离”的最小值；（2）已知C 是直线334yx 上的一个动点，①如图2，点D 的坐标是(0,1)，求点C 与点D 的“非常距离”的最小值及相应的点C 的坐标；②如图3，E 是以原点O 为圆心，1为半径的圆上的一个动点，求点C 与点E 的“非常距离”的最小值及相应的点E 与点C 的坐标．【解析】（1）①B 为y 轴上的一个动点，设点B 的坐标为(0,)y ．11|0|222，|0|2y ，解得，2y 或2y ；点B 的坐标是(0,2)或(0,2)；②点A 与点B 的“非常距离”的最小值为12（2）①如图2，取点C 与点D 的“非常距离”的最小值时，需要根据运算定义“若1212||||x x y y ，则点1P 与点2P 的“非常距离”为12||x x ”解答，此时1212||||x x y y ．即ACAD ，C 是直线334yx 上的一个动点，点D 的坐标是(0,1)，设点C 的坐标为0(x ，033)4x ，0324x x ，此时，087x ，点C 与点D 的“非常距离”的最小值为：08||7x ，此时8(7C ，15)7； ②当点E 在过原点且与直线334y x 垂直的直线上时，点C 与点E 的“非常距离”最小，设(,)E x y （点E位于第二象限）．则22431yxx y，解得，3545xy，故3(5E ，4)5． 003343545x x ，解得，085x ，则点C 的坐标为8(5，9)5，最小值为1．考向 2 运算类新定义例：（2019•兴宁市期末）定义新运算：a bab b ，例如：323228，则34 ．【解析】a b ab b ，(3)4(3)441248．故答案为：8．练习：1．（2018•陆河二模）定义符号{min a ，}b 的含义为：当a b 时{min a ，}b b ；当ab 时{min a ，}b a ．如：{1min ，3}3，{4min ，2}4．则2{1min x ，}x 的最大值是( )A 51B 512C ．1D ．0【解析】在同一坐标系xOy 中，画出二次函数21y x 与正比例函数yx 的图象，如图所示．设它们交于点A ．B ．令21x x ，即210x x ，解得：152x或15，15(2A ，51)，15(B ，15)．观察图象可知：①当152x 时，2{1min x，2}1x x ，函数值随x 51；②1515x 时，2{1min x ，}x x ，函数值随x 512；③当152x时，2{1min x ，2}1x x ，函数值随x 的增大而减小，最大值为15．综上所示，2{1min x，}x 51．故选：A ．2．（2019•花都区期末）对于任意的实数m ，n ，定义运算“”，规定22()()m n m n mnm n m n ，例如：2323211，223231，计算(12)(21)的结果为( )A ．4B ．0C ．6D ．12【解析】22()()m n m n mnm n m n ，(12)(21)22(12)(21)(1)52(1)5154，故选：A ．3．（2019•紫金东江二中二模）用“☆”定义一种新运算：对于任意有理数x 和y ，x ☆21(y a x ay a 为常数），如：2☆223231231a a a a ．若1☆23，则3☆6的值为( )A ．7B ．8C ．9D ．13【解析】1☆23，2213a a ，222a a，3☆62361a a 23(2)1a a 3217，故选：A ．4．（2019•陆丰期末）对任意两个正实数a ，b ，定义新运算a ★b 为：若a b ，则a ★ab b；若a b ，则a ★bb a．则下列说法中正确的有( ) ①a ★bb ★a ②(a ★)(b b ★)1a ③a ★12ba bA ．①B ．②C ．①②D ．①②③【解析】①a b 时，a ★ab b，b ★a a b，a ★bb ★a ；ab 时，a ★bba，b ★b a a，a ★bb ★a ，①符合题意．②由①，可得：a ★b b ★a ，(a ★)(b b ★)(a a ★)(b a ★)b ，(a ★)(b b ★)1a 不一定成立，②不符合题意．③由①，可得：a ★bb ★a ，a ★12ba b，a ★12ba b不成立，③不符合题意，说法中正确的有1个：①．故选：A ．5．（2019•仁化二模）定义一种新运算：1a n nn bn x dx a b ，例如：222k hxdx k h ，若252m mx dx，则m．【解析】由题意可得：21152(5)m mx dx mm ，则1125mm，解得：25m．故答案为：25．考向3 图形类新定义例：（2019•海珠区期末）定义：ABC 中，一个内角的度数为，另一个内角的度数为，若满足290，则称这个三角形为“准直角三角形”．如图，在Rt ABC 中，90C，8AC，6BC ，D 是BC 上的一个动点，连接AD ，若ABD 是“准直角三角形”，则CD 的长是( )A ．127B ．2413 C ．83D ．135【解析】作DM AB 于M ．设BAD ，B ．①设BAD，B ，当290时， 90DAC，DACB ，C C ，CAD CBA ∽，2AC CD CB ，3263CD（舍去）；②设BAD ，B ，当290时，90DAC ，DAC DAB ，DM AB ，DCAC ，DMDC ，90DMA C，DM DC ，AD AD ，Rt ADC Rt ADM(HL)，8AM AC ，90C，8AC ，6BC，22228610ABAC BC ，1082BM ，设BDx ，则6CD DM x ，在Rt BDM 中，则有222(6)2x x ，解得103x．108633CD．故选：C ．练习：1．（2019•高州市期末）我们定义：若两个角差的绝对值等于60，则称这两个角互为“正角”，其中一个角是另一个角的“正角”．如：1110，250，|12|60，则1和2互为“正角”．如图，已知120AOB，射线OC 平分AOB ，EOF 在AOB 的内部，若60EOF ，则图中互为“正角”的共有对．【解析】120AOB，射线OC 平分AOB ，1602AOCBOCAOB ，60AOB AOC ，60AOBBOC ，又60EOF ，60AOB EOF ， 60EOFAOC，60AOFAOE，60AOFCOF，图中互为“正角”的共有AOB 与AOC ，AOB 与BOC ，AOB 与EOF ，AOF 与AOE ，AOF 与COF 共5对．故答案为：52．（2019•揭东县期末）通过对《勾股定理》的学习，我们知道：如果一个三角形中，两边的平方和等于第三边的平方，那么这个三角形一定是直角三角形．如果我们新定义一种三角形两边的平方和等于第三边平方的2倍的三角形叫做奇异三角形．（1）根据奇异三角形的定义，请你判断：等边三角形一定是奇异三角形吗？（填“是”或不是）；（2）若某三角形的三边长分别为12，则该三角形是不是奇异三角形，请做出判断并写出判断依据；（3）在Rt ABC中，两边长分别为a、c，且250c，则这个三角形是不是奇异三角形？请做a，2100出判断并写出判断依据；探究：在Rt ABC中，90C，AB c，AC b，BC a，且b a，若Rt ABC是奇异三角形，求222a b c．::【解析】（1）设等边三角形的边长为a，222a a a，等边三角形一定是奇异三角形；2（2）2221(7)22，该三角形一定是奇异三角形；（3）当c为斜边时，22250b c a，Rt ABC不是奇异三角形；当b为斜边时，222150b c a，501502100，Rt ABC是奇异三角形；2222a b c，Rt ABC是奇异三角形；拓展：Rt ABC中，90C，222a b c，c b a，2222a b c，2c b a，222Rt ABC是奇异三角形，2222b a c，2222c c，222::1:2:3a b c．b a，2232b a a b，2223．（2019•云城区期末）定义：如果一个三角形的一个内角等于另一个内角的两倍，则称这样的三角形为“倍角三角形”．（1）如图1，ABC中，AB AC，36A，求证：ABC是倍角三角形；（2）若ABC是倍角三角形，A B C，30B，42AC，求ABC面积；（3）如图2，ABC的外角平分线AD与CB的延长线相交于点D，延长CA到点E，使得AE AB，若AB AC BD，请你找出图中的倍角三角形，并进行证明．【解析】（1）证明：AB AC，B C，180A B C，36A，72B C，2A C，即ABC是倍角三角形，（2）解：AB C，30B，①当2B C，得15C，过C作CH直线AB，垂足为H，可得45CAH，24 AH CH AC．43BH，434AB BH AH，18382S AB CH．②当2A B或2A C时，与AB C矛盾，故不存在．综上所述，ABC面积为8．（3）AD平分BAE，BAD EAD，AB AE，AD AD，()ABD AED SAS，ADE ADB，BD DE．又AB AC BD，AE AC BD，即CE BD．CE DE．2C BDE ADC．ADC是倍角三角形．4．（2018•阳春市二模）定义：两边的平方和与这两边乘积的差等于第三边平方的三角形叫做“和谐三角形”．如图1在ABC中，若222AB AC AB AC BC，则ABC是“和谐三角形”．（1）等边三角形一定是“和谐三角形”，是命题（填“真”或“假”)．（2）若Rt ABC 中，90C，ABc ，AC b ，BC a ，且b a ，若ABC 是“和谐三角形”，求::a b c ．（3）如图2，在等边三角形ABC 的边AC ，BC 上各取一点D ，E ，且AD CD ，AE ，BD 相交于点F ，BG 是BEF 的高，若BGF 是“和谐三角形”，且BGFG ．①求证：AD CE ．②连结CG ，若GCBABD ，那么线段AG ，FE ，CD 能否组成一个“和谐三角形”？若能，请给出证明：若不能，请说明理由．【解析】（1）当ABC 为等边三角形时，AB AC BC ，22222AB AC AB ACBC BC BC BCBC ，等边三角形一定是“和谐三角形”，故答案为：真；（2）90C，ABc ，AC b ，BC a ，222a b c ，当222a b ab c 时，则0ab （舍去）；当222a c acb 时，则2222a c ac c a ，22aca ，2c a ．::1:3:2a b c；当222b c bca 时，则2222b c bc c b ，22bcb ，得2cb ．::3:1:2a b c；（舍去），综上可知，ABC 是“和谐三角形”时，::1:3:2a b c ；（3）①ABC 为等边三角形，AB BC AC ，60ABC ACB BAC ， BG 是BEF 的高，BGF 是“和谐三角形”，::1:3:2FG BG BF，60BFG，60FAB FBA BFG ， 60FABEACBAC，FBAEAC ，在ABD 和CAE 中，BADACEBAACDBAEAC，()ABD CAE ASA ，AD CE ；②GCB ABD ，AB AC ，6060FAB ABD GCB ACG ，在ABF 和CAG 中，FABGCAABCAABFCAG，()ABF CAG ASA ，AG BF ，AB BC ，AD CE ，BE CD ，设FG x ，EG y ，则3BGx ，2BFx ， 2224AG BF x ，2222()2EF x y x xyy ，22222(3)3CD x y x y ，2222222422()3AG EF AG EFx x xyy x x y x y ，222AG EF AG EF CD ，线段AG ，FE ，CD 能组成一个和谐三角形．5．（2019•四会市二模）我们定义：如果圆的两条弦互相垂直，那么这两条弦互为“十字弦”，也把其中的一条弦叫做另一条弦的“十字弦”．如：如图，已知O 的两条弦ABCD ，则AB 、CD 互为“十字弦”，AB 是CD 的“十字弦”， CD 也是AB 的“十字弦”．（1）若O 的半径为5，一条弦8AB ，则弦AB 的“十字弦” CD 的最大值为，最小值为．（2）如图1，若O 的弦CD 恰好是O 的直径，弦AB 与CD 相交于H ，连接AC ，若12AC ，7DH，9CH，求证：AB 、CD 互为“十字弦”；（3）如图2，若O 的半径为5，一条弦8AB ，弦CD 是AB 的“十字弦”，连接AD ，若60ADC ，求弦CD 的长．【解析】（1）如图a ，当CD 是直径时，CD 的长最大，则CD 的最大值为10；如图b，当点D与点A重合时，CD有最小值，过点O作OE CD于E，OF AB于F，4AF BF，DE CE，2225163OF AO AF，OE CD，OF AB，90CDB，四边形CEOF是矩形，3CE OF，6CD，CD最小值为6，故答案为：10，6；（2）如图1，连接AD，7DH，9CH，16CD，CD是直径，90CAD，2225614447AD CD AC，47 ADDH ，4747DCAD，AD DCDH AD，ADH ADC，ADH CDA∽，90AHD CAD，AB CD，AB、CD互为“十字弦”；（3）如图2，过点O作OE CD于E，过点O作OF AB于点F，连接AO，CO，过点O作ON AC于N，60ADC，AB CD，3AF DF，OECD ，OFAB ，AB CD ，四边形OEHF 是矩形，4AFBF，CEED ，OF EH ，2225163OFAO AF ，3EH，3ED CE DH ，32CF DH ，2120AOC ADC，且5AOCO，ONAC ，30CAO，AN CN ，52NO，53AN ，53AC，222AH CH AC ，22753(32)DH DH ，3232DH， 322(323)4332CDCE．。

中考数学《阅读理解及新定义》专项练习(8)

一、选择题1.如果规定[]x 表示不大于x 的最大整数，例如[]2.32=，那么函数[]y x x =-的图象为（）xy xy–1–2–3123–11–1–2–3123–11O OA ．B ．xyx y –1–2–3123–11–1–2–3123–11O OC ．D ．答案.A ，解析：根据题中的新定义，分x 为正整数，负整数两种情况进行验证，即可排除B ，C ，D ，故选A. 2.平面直角坐标系中，点P 的坐标为（m ，n ），则向量OP 可以用点P 的坐标表示为OP ＝（m ，n ），已知1OA ＝（x 1，y 1），2OA ＝（x 2，y 2），若x 1·x 2＋y 1·y 2＝0，则1OA 与2OA 互相垂直．下列四组向量：①1OB ＝（3，－9），2OB ＝（1，－13）；②1OC ＝（2，π°），2OC ＝（12-，－1）；③1OD ＝（cos30°，tan45°），2OD ＝（sin30°，tan45°）； ④1OE ＝（5＋2，2），2OE ＝（5―2，22）．其中互相垂直的组有（）．A ．1组B ．2组C ．3组D ．4组答案：A ，解析：①1OB ＝（3，－9），2OB ＝（1，－13）；∵3×1＋（―9）×（―13）≠0，∴1OB 与2OB 互相不垂直．②1OC ＝（2，π°），2OC ＝（12-，－1）； ∵2×12-＋（―9）×（―1）＝0，∴1OC 与2OC 互相垂直． ③1OD ＝（cos30°，tan45°），2OD ＝（sin30°，tan45°）；∵cos30°·sin30°＋tan45°·tan45°≠0，∴1OD 与2OD 互相不垂直． ④1OE ＝（5＋2，2），2OE ＝（5―2，22）． ∵（5＋2）×（5―2）＋2×22≠0，∴1OE 与2OE 互相不垂直．故选A.3．任何一个无限循环小数都可以写成分数的形式，应该怎样写呢?我们以无限循环小数0.7，为例进行说明:设0.7x =.由0.7=0.7777...可知，10x ＝7.7777.... 所以10x －x ＝7，解方程得：x ＝79，于是，得70.7=9.将0.36写成分数的形式是 .19．114，解析：设0.36=x ，由0.36=0.363636……，可知100x =36.3636……，所以100x －x =36，解方程得x =1149936=.4．阅读理解，a ，b ，c ，d 是实数，我们把符号a b c d 称为2×2行列式，并且规定：a bc d ＝a ×d －b ×c ，例如32-1-2＝3×(－2)－2×(－1)＝－6＋2＝－4．二元一次方程组111222a xb yc a x b y c +=⎧⎨+=⎩的解可以利用利用2×2阶行列式表示为x yD x DD y D⎧⎪=⎨=⎪⎪⎪⎩：其中D ＝1122a b a b ，D x ＝1122c b c b ，D y ＝1122a c a c ．问题：对于用上面的方法解二元一次方程组213212x y x y +=⎧⎨-=⎩时，下面说法错误的是A ．D ＝2132-＝－7 B ．D x ＝－14 C ．D y ＝27D ．方程组的解为23x y ==-⎧⎨⎩8．C ，解析：因为213212x y x y +=⎧⎨-=⎩，所以D ＝1122a b a b ＝2132-＝2×(－2)－3×1＝－7，D x ＝1122c b c b ＝11122-＝1×(－2)－1×12＝－14，D y ＝1122a c a c ＝21312＝2×12－1×3＝21，因为14272137x y D x D D y D -===-===--⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎩，所以方程组的解为23x y ==-⎧⎨⎩，所以说法错误的是C ，故选C ．二、填空题1．对于两个非零实数x ,y ，定义一种新的运算：abx y x y*=+.若()112*-=，则()22-*的值是 ▲ . 答案．-1，解析：根据新定义运算，将数值代入公式即可计算，注意符号不要出错即可. 由()11211a b *-=+=-，可得a -b =2， ()22-*=()22112a b a b +-=--=-.2．对于实数a ，b 定义运算“◇” ：a ◇b ＝22,,,.a b a b ab a b ⎧⎪+≥⎨⎪⎩＜例如，4◇3，因为4＞3，所以4◇3＝22435+=．若x ，y 满足方程组48229x y x y -=⎧⎨+=⎩，则x ◇y ＝．答案．60 解析：解方程组得：x=5y=12⎧⎨⎩，∵5＜12，∴x ◇y ＝5×12＝60．3．若x 为实数, 则[x ]表示不大于x 的最大整数, 例如[1.6] ＝1，[π] ＝３， [﹣2.82] ＝﹣３等．[x ] ＋１是大于x 的最小整数, 对任意的实数x 都满足不等式[x ] ≤x ＜[x ] ＋１.①利用这个不等式① ，求出满足[x ] ＝２x ﹣１的所有解，其所有解为．答案：1或12解析：把[x ] ＝２x ﹣１代入不等式[x ] ≤x ＜[x ] ＋１，得2111x x x x -≤⎧⎨<2-+⎩，，解不等式组，得0＜x ≤1，当x=1时，[x ]= ２x ﹣１=1，解得x=1；当0＜x ＜1时，[x ]= ２x ﹣１=0，解得x= 12，综合起来，满足[x ] ＝２x ﹣１的所有解是1或12. 4．根据下列材料，解答问题.等比数列求和：概念：对于一列数a 1，a 2，a 3，…，a n ，…（n 为正整数），若从第二个数开始，每一个数与前一个数的比为一定值，即21a a =q （常数），那么这一列数a 1，a 2，a 3，…，a n ，…成等比数列，这一常数q 叫做该数列的公比.例：求等比数列1，3，32,33，…，3100的和.解：令S =1+3+32+33+…+3100，则3S =3+32+33+…+3100+3101，因此，3S -S =3101-1，所以S =213101-，即1+3+32+33+…+3100=213101-. 仿照例题，等比数列1，5，52,53，…，52018的和为 .答案：4152019-，解析：令S =1+5+52+53+…+52018，则5S =5+52+53+…+52018+52019，因此，5S -S =52019-1，所以S =4152019-，即1+5+52+53+…+52018=4152019-.5．对于任意大于0的实数x 、y ，满足log 2(x ·y )= log 2x +log 2y ，若log 22=1，则log 216=____________．答案．4，解析：log 216=log 2(2×8)= log 22 +log 28=1+log 2(2×4)=1+ log 22 +log 24=1+1+ log 2(2×2)=1+1+ log 22 +log 22=1+1+1+1=4．三、解答题 1.知识背景当a ＞0且x ＞0时，因为2()a x x-≥0，所以2a x a x -+≥0，从而ax x+≥2a （当x ＝a 时取等号）．设函数y ＝ax x+（a ＞0，x ＞0），由上述结论可知，当x ＝a 时，该函数有最小值为2a ．应用举例已知函数1y ＝x （x ＞0）与函数2y ＝4x （x ＞0），则当x ＝4＝2时，12y y +＝4x x +有最小值为24＝4．解决问题（1）已知函数1y ＝3x +（x ＞－3）与函数2y ＝2(3)9x ++（x ＞－3），当x 限何值时，21y y 有最小值？最小值是多少？（2）已知某设备租赁使用成本包含以下三部分：一是设备的安装调试费用，共490元；二是设备的租赁使用费用，每天200元；三是设备的折旧费用，它与使用天数的平方成正比，比例系数为0.001．若设该设备的租赁使用天数为x 天，则当x 取何值时，该设备平均每天的租赁使用成本最低？最低是多少元？分析：（1）将21y y 表示成9(3)3x x +++，利用“知识背景”求解；（2）列出该设备平均每天的租赁使用成本的代数式24902000.001x x x ++，再转化成4900000.001()200x x++利用“知识背景”求解．解：（1）∵x ＞－3， ∴3x +＞0，∴21y y ＝2(3)93x x +++＝9(3)3x x +++≥92(3)3x x +⨯+．即21y y ≥6． ∴21y y 的最小值6，此时3x +＝9＝3，解得x ＝0．（2）设该设备平均每天的租赁使用成本为w ．根据题意，得 w ＝24902000.001x x x++．∴w ＝4900000.001()200x x++． ∵x ＞0，∴w ≥4900000.0012200x x⨯⋅+．即w ≥201.4．∴w 的最小值为201.4．此时x ＝490000＝700．答：当x 取700时，该设备平均每天的租赁使用成本最低？最低是201.4元．2.阅读下列材料;对数的创始人是苏格兰数学家纳皮尔(j .Napier ，1550年~1617年)．纳皮尔发明对数是在指数书写方式之前，直到18世纪瑞士数学家欧拉 (Euler ，1707年~1783年)，才发现指数和对数的联系．对数的定义：一般地，若a x＝N (a >0，a ≠1)，那么数x 叫做以a 为底N 的对数，记作N a log x =．比如指数式24＝16可转化为对数式16log 42=，对数式25log 25=，可转化为52＝25 我们根据对数的定义可得到对数的一个性质：N M N M a a a log log )(log +=⋅(a >0，a ≠1，M >0，N >0)理由如下：设m M =a log ，n =N log a ，则m a M =，n a N =，∴nm n a a a N M +=⋅=⋅m，由对数的定义得：)(log a N M n m ⋅=+ 又∵N M a a log log n m +=+， ∴N M N M a a a log log )(log +=⋅ 解决以下问题：（1）将指数式43＝64转化成对数式；（2）证明log a MN＝log a M － log a N (0a >，1a ≠，M >0，N >0)；. （3）拓展应用：计算4log 6log 2log 333-+＝．思路分析：（1）读懂新定义，明白指数与对数之间的关系与相互转化关系；（2）阅读题目，明确对数的定义、特别是题目中提供的 “根据对数的定义推出的对数的性质：N M N M a a a log log )(log +=⋅”，模仿解决新问题；（3）阅读题目，明确对数的定义、积的对数和商的对数的运算法则，可逐步推出结果．解：（1）4log 643=；（2）设log a M m =，log a N n =，则m a M =，n a N =， ∴m m n n M a a N a -==，由对数的定义得m －n ＝log aM N ，又∵m －n ＝log a M －log a N ，∴log aMN＝log a M － log a N (0a >，1a ≠，M >0，N >0). （3）3333326log 2log 6log 4log log 314⨯+-=== .3．阅读教材：宽与长的比是（约为0．618）的矩形叫做黄金矩形，黄金矩形给我们以协调、匀称的美各国许多著名的建筑，为了取得最佳的视觉效果，都采用了黄金矩形的设计．下面，我们用宽为2的矩形纸片折叠黄金矩形．（提示：MN ＝2）第一步，在矩形纸片的一端，利用图①的方法折出一个正方形，然后把纸片展平．第二步，如图②，把这个正方形折成两个相等的矩形，再把纸片展平．第三步，折出内侧矩形的对角线AB ，并把它折到图③中所示的AD 处．第四步，展平纸片，按照所得的D 点折出DE ，使DE ⊥ND ，则图④中就会出现黄金矩形．问题解决：（1）图③中AB ＝ cm （保留根号）；（2）如图③，判断四边形BADQ 的形状，并说明理由；（3）请写出图④中所有的黄金矩形，并选择其中一个说明理由．实际操作：（4）结合图④，请在矩形BCDE 中添加一条线段，设计一个新的黄金矩形，用字母表示出来，并写出它的长和宽．思路分析：（1）连接AB ，由折叠的性质，可得AC ＝2，在Rt △ABC 中，利用勾股定理可求出AB 的长度．（2）先证明四边形BADQ 是平行四边形，再进而证明它是菱形．（3）通过计算，观察图④客户哪个矩形的宽与长的比是，选择其中一个给出证明．（4）的矩形BCDE 中，已知CD ＝BE ＝5－1，添加宽，使矩形的宽与长的比是．解答过程：（1）由折叠知，四边形MNCB 是正方形，∴BC ＝MN ＝2，AC ＝1， ∴2222125AB AC BC =+=+=．答案：5（2）∵矩形纸片，∴ ∠BQA ＝∠QAD ，由折叠，得∠BAQ ＝∠QAD ，AB ＝AD ， ∴∠BQA ＝∠BAQ ， ∴BQ ＝AB ， ∴BQ ＝AD ． ∵BQ ∥AD ，∴四边形BADQ 是平行四边形， ∵AB ＝AD ，∴四边形BADQ 是菱形．（3）图④中的黄金矩形有矩形BCDE ，矩形MNDE ．矩形BCDE 是黄金矩形，理由如下： ∵AD ＝AB ＝5，AN ＝AC ＝1， ∴CD ＝AD －AC ＝5－1，又∵BC ＝2， ∴512CD BC -=， ∴矩形BCDE 是黄金矩形．（4）如图，在矩形BCDE 上添加线段GH ，使四边形GCDH 为正方形，则矩形BGHE 为所要作的黄金矩形．矩形较长的边GH ＝5－1，宽HE ＝3－5． 4.阅读材料：已知：如图1，等边△A 1A 2A 3内接于⊙O ，点P 是12A A 上的任意一点，连接PA 1，PA 2，PA 3，可证：PA 1＋PA 2＝PA 3，从而得到12123PA PA PA PA PA +++＝12是定值.（1）以下是小红的一种证明方法，请在方框内将证明过程补充完整：MOA 3A 1A 2P第24题图1证明：如图1，作∠PA 1M ＝60°，A 1M 交A 2P 的延长线于点M . ∵△A 1A 2A 3是等边三角形， ∴∠A 3A 1A 2＝60°. ∴∠A 3A 1P ＝∠A 2A 1M ，又A 3 A 1＝A 2A 1，∠A 1A 3P ＝∠A 1A 2P ， ∴△A 1A 3P ≌△A 1A2M .∴PA 3＝MA 2＝PA 2＋PM ＝PA 2＋PA 1∴12123PA PA PA PA PA +++＝12，是定值.（2）延伸：如图2，把（1）中条件“等边△A 1A 2A 3”改为“正方形A 1A 2A 3A 4”，其余条件不变，请问121234PA PA PA PA PA PA ++++还是定值吗？为什么？O A 3A 4A 1A 2P第24题图2（3）拓展：如图3，把（1）中条件“等边△A 1A 2A 3”改为“正五边形A 1A 2A 3A 4 A 5”，其余条件不变，则1212345PA PA PA PA PA PA PA +++++＝___________（只写出结果）.OA 3A 4A 5A 1A 2P第24题图3参考数据：如图，等腰△ABC 中，若顶角∠A ＝108°，则BC ＝152+ AC ；若顶角∠A ＝36°，则BC ＝152-+ AC .36°108°36°72°72°36°A ABBC思路分析：（1）阅读材料，得出方框内的内容.先根据全等三角形的性质得PA 3＝MA 2，PA 1＝MA 1，然后根据全等三角形的判定和性质得PA 1＝PM .（2）用类比的方法证得121234PA PA PA PA PA PA ++++还是定值.（3）用类比的方法证得1212345PA PA PA PA PA PA PA +++++还是定值.解答过程：解：（1）方框内的内容为： ∴PA 3＝MA 2，PA 1＝MA 1， ∵∠PA 1M ＝60°，∴△PA 1M 是等边三角形. ∴PA 1＝PM . （2）是定值.理由：如图2，作∠PA 1M ＝90°，A 1M 交A 2P 的延长线于点M .NMO A 3A 4A 1A 2P∵A 1A 2A 3A 4是正方形， ∴∠A 4A 1A 2＝90°. ∴∠A 4A 1P ＝∠A 2A 1M ，又A 4 A 1＝A 2A 1，∠A 1A 4P ＝∠A 1A 2P ， ∴△A 1A 4P ≌△A 1A 2M . ∴PA 4＝MA 2，PA 1＝MA 1， ∵∠PA 1M ＝90°， ∴PM ＝2PA 1.∴PA 4＝MA 2＝PA 2＋PM ＝PA 2＋2PA 1，作∠PA 2MN ＝90°，A 2N 交A 1P 的延长线于点MN . 同理可得PA 3＝PA 1＋2PA 2，∴PA 3＋PA 4＝(1+2) (PA 1＋PA 2)∴121234PA PA PA PA PA PA ++++＝12+2＝1－22，是定值. （3）1212345PA PA PA PA PA PA PA +++++＝13+5＝354-，是定值.5．对任意一个四位数n ，如果千位与十位上的数字之和为9，百位与个位上的数字之和也为9，则称n 为“极数”．（1）请任意写出三个“极数”；并猜想任意一个“极数”是否是99的倍数，请说明理由；（2）如果一个正整数a 是另一个正整数b 的平方，则称正整数a 是完全平方数．若四位数m 为“极数”，记D (m )＝33m，求满足D (m )是完全平方数的所有m ．【思路分析】（1）先根据“极数”的定义，较易写出千位与十位上的数字之和为9且百位与个位上的数字之和为9的四位数三个，答案不唯一；再设n 的千位数字为s ，百位数字为t （1≤s ≤9，0≤t ≤9且s 、t 均为整数），用代数式表示出n ，化简后因式分解，即可证明n 是99的倍数；（2）先求出D (m )＝33m，其中m ＝1000s ＋100t ＋10(9－s )＋9－t ，化简后得D (m )＝33m＝3(10s ＋t ＋1)；再根据D (m )是完全平方数，且10s ＋t ＋1是一个两位数，从而10s ＋t ＋1＝3×22、3×32、3×42、3×52，即10s ＋t ＋1＝12或27或48或75，于是得到方程组112s t =⎧⎨+=⎩或217s t =⎧⎨+=⎩或418s t =⎧⎨+=⎩或715s t =⎧⎨+=⎩，解方程组即可锁定符合条件的所有m ．【解题过程】解：（1）答案不唯一，如5346，1782，9405，等．任意一个“极数”都是99的倍数，理由如下：设n 的千位数字为s ，百位数字为t （1≤s ≤9，0≤t ≤9且s 、t 均为整数），则n ＝1000s ＋100t ＋10(9－s )＋9－t ＝990s ＋99t ＋99＝99(10s ＋t ＋1)，而10s ＋t ＋1是整数，故n 是99的倍数．（2）易由（1）设m ＝1000s ＋100t ＋10(9－s )＋9－t ＝990s ＋99t ＋99＝99(10s ＋t ＋1)，其中1≤s ≤9，0≤t ≤9且s 、t 均为整数，从而D (m )＝33m＝3(10s ＋t ＋1)，而D (m )是完全平方数，故3(10s ＋t ＋1)是完全平方数．∵10＜10s ＋t ＋1＜100， ∴30＜3(10s ＋t ＋1)＜300．∴10s ＋t ＋1＝3×22、3×32、3×42、3×52． ∴(s ，t )＝(1，1)，(2，6)，(4，7)，(7，4)． ∴m ＝1188，2673，4752，7425．【知识点】整式的运算完全平方数不等式的解法新定义运算题二元一次方程的特殊解 6．对于任意实数a ，b ，定义关于“⊗”的一种运算如下：b a b a +=⊗2．例如.1043243=+⨯=⊗ （1）求）（5-2⊗的值；（2）若,2)(=-⊗y x 且,12-=⊗x y 求x ＋y 的值．思路分析：（1）直接运用新定义的运算规则进行计算；（2）根据新定义的运算规则列出两个方程，联立成方程组，解出x 、y 的值，再求出x ＋y 的值．解答过程：（1）2⊗（－5）＝2×2＋（－5）＝4－5＝－1；（2）由题意，得：2241x y y x -=⎧⎨+=-⎩，解方程组，得：7949x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩，则x ＋y ＝7949-＝13．7 对于三个数a 、b 、c ，用{},,M a b c 表示这三个数的中位数，用{}max ,,a b c &表示这三个数最大数，例如{}2,1,0M --=-1，{}max 2,1,0--=0，{}max 2,1,a --=(1)1(1)a a a ≥-⎧⎨-<-⎩.解决问题：（1）填空：{}sin 45,cos60,tan 60M ︒︒︒= ，如果{}max 3,53,26x x --=3，则x 的取值范围为；（2）如果{}22,2,4M x x ⋅++={}max 2,2,4x x ++，求x 的值；（3）如果{}29,,32M x x -={}2max 9,,32x x -，求x 的值.思路分析：（1）分别求出三个特殊角的三角函数值即可求出中位数，分两种情况：5-3x ≤3与2x-6≤3构造不等式组求解；（2）结合题意运用分类讨论加以求解. 解答过程：（1）{}sin45,cos60,tan60M ︒︒︒=21,,322⎧⎫⎪⎪⎨⎬⎪⎪⎩⎭=12，由题意得，当5-3x ≤3且2x-6≤3时，{}max 3,53,26x x --=3，解得23≤x ≤4.5. （2）∵{}22,2,4M x x ⋅++=4,22,202,0x x x x x +≤-⎧⎪-<<⎨⎪+≥⎩由图可知：{}max 2,2,4x x ++=2,24,2x x x ≤-⎧⎨+>-⎩①若x ≤-2,根据题意得2(x+4)=2,解得x=-3,②若-2＜x ＜0, 根据题意得x+4=2,解得x=-2（不合题意，舍去）, ③若x ≥0，根据题意得x+2≠x+4（不合题意，舍去）, 所以，满足题意的x 的值为-3.（3）{}29,,32M x x -={}2max 9,,32x x -①由图可知，当x ＜-3时，{}29,,32M x x -=9，{}2max 9,,32x x -=2x ，解得x=±3(不合题意，舍去) ②由图可知，当-3≤x ＜1时，{}29,,32M x x -=2x ，{}2max 9,,32x x -=9，解得x=-3，③由图可知，当1≤x ＜2时，{}29,,32M x x -=3x-2，{}2max 9,,32x x -=9，解得x=113(不合题意，舍去)，④由图可知，当2≤x ＜3时，{}29,,32M x x -=2x ，{}2max 9,,32x x -=9，解得x=±3(不合题意，舍去)⑤由图可知，当3≤x ＜113时，{}29,,32M x x -=9，{}2max 9,,32x x -=2x，解得x=3，⑥由图可知，当113≤x 时，{}29,,32M x x -=3x-2，{}2max 9,,32x x -=2x ，解得x=1，x=2(不合题意，舍去) 所以，满足题意的x 的值为±3.。

专题八新定义问题__2023届中考数学热点题型突破(含答案)

专题八新定义问题——2023届中考数学热点题型突破1.对任意两个实数a，b定义两种运算：并且定义运算顺序仍然是先做括号内的，例如，，，那么等于( )A. B.3 C.6 D.2.我们知道, 如果直角三角形的三边的长都是正整数, 这样的三个正整数就叫做一组勾股数. 定义: 如果一个正整数m能表示为两个正整数a,b的平方和, 即, 那么称m 为广义勾股数. 下面的结论:① 7 不是广义勾股数;②13 是广义勾股数;③两个广义勾股数的和是广义勾股数;④两个广义勾股数的积是广义勾股数;⑤若，，, 其中x,y,z,m,n 均为正整数, 则x,y,z 为一组勾股数;⑥一个正奇数 (除 1 外) 与两个和等于此正奇数的平方的连续正整数是一组勾股数.正确的是( )A.①②⑤⑥B.①③④⑤C.②④⑥D.②④⑤⑥3.对x,y定义一种新运算T,规定:（其中a,b均为非零常数）,这里等式右边是通常的四则运算,例如:,若,,则结论正确的个数为( )（1）,;（2）若,则;（3）若,m,n均取整数,则或或;（4）若,当n取s,t时,m对应的值为c,d,当时,;（5）若对任意有理数x,y都成立(这里和T均有意义),则A.2个B.3个C.4个D.5个4.阅读材料:定义:如果一个数的平方等于,记为,这个数i叫做虚数单位,把形如为实数)的数叫做复数,其中a叫这个复数的实部,b叫这个复数的虚部.它的加、减、乘法运算与整式的加、减、乘法运算类似:例如计算:;;;.根据以上信息,完成下面的计算:__________.5.定义:在平面直角坐标系xOy中,如果将点绕点旋转得到点Q,那么称线段PQ为“拓展带”,点Q为点P的“拓展带”.（1）当时,点的“拓展带”坐标为__________.（2）如果,当点的“拓展带”N在函数的图象上时,t的值为__________.6.新定义:在平面直角坐标系中,对于点和点,若满足时,;时,,则称点是点的限变点.例如:点的限变点是,则点的限变点是____________.若点在二次函数的图象上,则当时,其限变点的纵坐标的取值范围是____________.7.阅读以下材料：指数与对数之间有密切的联系，它们之间可以互化.对数的定义：一般地，若(且)，那么x叫做以a为底N的对数，记作，比如指数式可以转化为对数式，对数式，可以转化为指数式.我们根据对数的定义可得到对数的一个性质：(，，，)，理由如下：设，，则，，，由对数的定义得又，.请解决以下问题：(1)将指数式转化为对数式__________；(2)求证：(，，，)；(3)拓展运用：计算__________.8.定义如果一个正整数等于两个连续偶数的平方差, 那么称这个正整数为 “奇巧数”.发现数28,32,36 中, 是 “奇巧数” 的是探究已知正奇数的 4 倍一定是 “奇巧数”, 设一个正奇数为 (n为正整数), 请你论证这个结论.9.已知一个三位自然数N, 若满足十位数字与个位数字之和减去百位数字为 0 , 则称这个数为“雪花数”, 并把其十位数字与个位数字的乘积记为. 定义为 “雪花数”, m,n为常数),已知，. 例如: 945，，945是 “雪花数”, ，634，，634不是 “雪花数”.(1)请填空: 817 _______“雪花数”, 527______ “雪花数” (填“是”或“不是”);(2)求出常数m,n的值;(3)已知s 是个位数字不为 1 的 “雪花数”, 其十位数字为, 个位数字为b, 将s的个位数字移到十位上,十位数字移到百位上, 百位数字移到个位上, 得到一个新数, 若s 与的差能被17整除, 求出所有满足条件的s及由这些s两两组合形成的P 的值.答案以及解析1.答案：A解析：，故选A.2.答案：A解析：7 不能表示为两个正整数的平方和, 7不是广义勾股数,故结论①正确., 13是广义勾股数,故结论②正确. 两个广义勾股数的和不一定是广义勾股数, 如 5 和 10 是广义勾股数, 但是它们的和 15 不是广义勾股数, 故结论③错误 . 两个广义勾股数的积不一定是广义勾股数, 如 2 和 2 是广义勾股数, 但，4 不是广义勾股数, 故结论④错误. , 即. 又x,y,z均为正整数, 故结论⑤正确. 设正奇数为 (k为正整数), 2 个连续正整数为p,, 由题意得,,,. 又,p,都是正整数, 结论⑥正确. 综上, 正确结论有①②⑤⑥.故选 A.3.答案：C解析:由题意可知,,,即,解得,故（1）正确;,;,,则;故（2）正确m,n均取整数,,的取值为,,,1,2,4;当,即时,;当,即时,;当,即时,;当,即时,;当,即时,;当,即时,;故（3）不正确,,,,当时,;故（4）正确;,,,,,,对任意有理数x,y都成立(这里和均有意义),则故（5）正确故选C4.答案：解析：.5.答案：①.②.2解析:（1）根据“拓展带”的定义,互为“拓展带”的两点关于点成中心对称,互为“拓展带”的两点的横坐标互为相反数,纵坐标的平均数等于t,点的“拓展带”坐标为.（2）根据“拓展带”的定义,点M和点N关于点成中心对称,设N点坐标为,则,,解得,,在函数的图象上,,解得.6.答案：①.②.解析:,,,点的限变点是,点在二次函数的图象上,当时,,,当时,,当时,,综上,当时,其限变点的纵坐标n'的取值范围是,故答案为:,.7.答案：(1)(2)证明见解析(3)2解析：(1)解：根据指数与对数关系得：.故答案为：；(2)解：设，，则，，，..(3)解：.故答案为：2.8.答案：见解析解析：发现 28,36，，32不是两个连续偶数的平方差,28,36 是“奇巧数”.探究正奇数的 4 倍为.总能表示为两个连续偶数的平方差,正奇数的 4 倍一定是“奇巧数”.9.答案： (1) 是，不是(2)(3)见解析解析：817，, 817 是“雪花数”;527，,527不是 “雪花数”.(2)，，，①，，，，②联立①②得解得(3) 由 “雪花数” 的定义可知, 由题意可知, s与的差能被 17 整除，能被 17 整除,为 17 的倍数.s为“雪花数”, 且个位数字不为 1 ,，且,，34,51,68 或 85 .若, 则不符合题意;若, 则符合题意;若, 则符合题意;若, 则此时, 不符合题意;若, 则此时, 不符合题意.综上可得或 615 .。

中考数学总复习新定义问题专题综合训练题含和解析语文

2021 年中考数学总复习新定义问题专题综合训练题1．关于两个不相等的实数 a，b，我们规定符号 max{a，b} 表示 a，b 中的较大值，如： max{2，4}＝4，依照这个规定，方程 max{x，－x}＝2x＋1的解为( ) xA．1－ 2 B．2－ 2 C ．1＋ 2或 1－ 2 D ．1＋ 2或－12. 定义[a ，b，c]为函数 y＝ax2＋bx＋c 的特色数，下面给出特色数为[2m，1－m ，－1－m]的函数的一些结论：①当 m＝－ 3时，函数图象的极点坐标是 ( 1，38) ；②当 m>0时，函数图象截 x轴所得的线段长度大于3 3；③当 m<0时，函数在21x>时，y 随 x 的增大而减小；④当 m≠0时，函数图象经过同一个点．其中正确4的结论有 ( )A．①②③④ B．①②④ C ．①③④ D ．②④3. 我们知道，一元二次方程 x2＝－1 没有实数根，即不存在一个实数的平方等于－ 1，假设我们规定一个新数“ i 〞，使其满足 i2＝－1 ( 即方程 x2＝－1 有一个根为i) ，并且进一步规定：一的确数可以与新数进行四那么运算，且原有的运算律和运算法那么依旧成立，于是有i 1＝i ，i 2＝－1，i 3＝ i 2· i ＝( －1)· i ＝－ i, i4＝( i 2) 2＝( －1) 2＝1，从而对任意正整数 n，我们可以获取 i 4n＋1＝i 4n· i ＝(i 4) n· i＝i ，同理可得i 4n＋2＝－1, i 4n＋ 3＝－ i , i 4n＝1，那么 i ＋ i 2＋ i 3＋ i 4＋⋯＋i2021＋ i 2021 的值为( )A．0 B ．1 C ．－1 D ．i4.关于实数 a，b，定义一种新运算“ ?〞为： a?b＝12，这里等式右边是实a－b1数运算．比方： 1?3＝2＝－1－3 1 2.那么方程 x?(－2) ＝－1 的解是 ( ) 8 x－4第 1 页A．x＝4 B ．x＝5 C ．x＝6 D ．x＝75. 现定义一种变换：关于一个由有限个数组成的序列 S0，将其中的每个数换成该数在 S0 中出现的次数，可获取一个新序列 S1，比方序列 S0：(4，2，3，4，2) ，经过变换可生成新序列 S1：(2，2，1，2，2)，假设 S0 可以为任意序列，那么下面的序列可作为 S1 的是( )A．(1，2，1，2，2) B ．(2，2，2，3，3)C．(1，1，2，2，3) D ．(1，2，1，1，2)6. 设[ x) 表示大于x 的最小整数，如 [3) ＝4，[ －1.2) ＝－1，那么以下结论中正确的是____．( 填写所有正确结论的序号 )①[0) ＝0；②[x) －x 的最小值是 0；③[x) －x 的最大值是 1；④存在实数 x，使[x) －x＝0.5 成立．7. 关于正整数n，定义F(n) ＝2〔n<10〕，nf 〔n〕〔n≥10〕，其中f ( n)表示n 的首位数字、末位数字的平方和．比方：F(6) ＝6 2＝3 6，F(123) ＝f (123) ＝12＋32＝10. 规定F1( n) ＝F( n) ，F k＋1( n) ＝F( F k( n))( k 为正整数) ．比方：F1(123) ＝F(123) ＝1 0，F2(123) ＝F( F1(123)) ＝F(10) ＝1.(1) 求：F2(4) ＝____，F2021(4) ＝____；(2) 假设 F3m(4) ＝89，求正整数 m的最小值．8. 定义一种新运算：a b＝b 2－ab，如：1 2＝22－1×2＝2，那么( －1 2) 3＝____．9. 定义一种新运算：观察以下各式：1⊙3＝1×4＋3＝7；3⊙( －1) ＝3×4－1＝11；5⊙4＝5×4＋4＝24；4⊙( －3)＝4×4－3＝13.第 2 页(1) 请你想一想： a⊙b＝；(2) 假设 a≠b，那么 a⊙b____b⊙a( 填“＝〞或“≠〞 ) ；(3) 假设a⊙( －2b) ＝4，请计算( a－b) ⊙(2 a＋b) 的值．10. 假设三角形的某一边长等于其外接圆半径，那么将此三角形称为等径三角形，该边所对的角称为等径角．△ ABC 是等径三角形，那么等径角的度数为．11. 对某种几何图形给出以下定义：吻合必然条件的动点所形成的图形，叫做吻合这个条件的点的轨迹．比方，平面内到定点的距离等于定长的点的轨迹，是以定点为圆心，定长为半径的圆．(1) 如图 1，在△ABC中，A B＝A C，∠BAC＝90°，A(0，2) ，B 是x 轴上一动点，当点 B在 x 轴上运动时，点 C在坐标系中运动，点 C运动形成的轨迹是直线 DE，且 DE⊥x轴于点 G, 那么直线 D E的表达式是 .(2) 当△ABC是等边三角形时，在(1) 的条件下，动点 C形成的轨迹也是一条直线 .①当点 B运动到如图 2 的地址时， AC∥x 轴，那么 C点的坐标是；②在备用图中画出动点 C形成直线的表示图，并求出这条直线的表达式；③设②中这条直线分别与 x，y 轴交于 E，F 两点，当点 C在线段 EF上运动时，点 H在线段 OF上运动( 不与 O，F 重合) ，且 CH＝CE，求 C E的取值范围．12. 对x，y 定义一种新运算T，规定：T( x，y) ＝a x＋by2x＋y( 其中a，b 均为非零常数) ，这里等式右边是平时的四那么运算，比方：T(0，1)＝a× 0＋b×12× 0＋1＝b.(1) T(1 ，－1)＝－2，T(4 ，2) ＝1.①求a，b 的值；第 3 页②假设关于m的不等式组T〔2m，5－4m〕≤4，T〔m，3－2m〕＞p恰好有 3 个整数解，求实数p 的取值范围；(2) 假设T(x，y) ＝T( y，x) 对任意实数x，y 都成立( 这里T( x，y) 和T(y，x) 均有意义)，那么a，b 应满足怎样的关系式？13. 实数 a，n，m，b 满足 a＜n＜m＜b，这四个数在数轴上对应的点分别为 A，N，M，B(如图) ，假设AM 2＝BM·A B，B N2＝A N·AB，那么称 m为 a，b 的“大黄金数〞，n 为 a，b 的“小黄金数〞，当 b－a＝2 时，求 a，b 的大黄金数与小黄金数之差m－n.参照答案 :1. D 剖析：依照x 与－x 的大小关系，取x 与－x 中的最大值化简所求方程，求出解即可．2. B3. A4. B5. D 【剖析】依照题意可知，S1 中 2 有 2 的倍数个， 3 有 3 的倍数个，据此即可作出选择． A.∵2 有 3 个，∴不可以作为S1，应选项错误； B.∵2 有 3 个，∴不可以作为S1，应选项错误； C.3 只有 1 个，∴不可以作为S 1，应选项错误；D.吻合定义的一种变换，应选项正确．应选 D.6. ③④7. 解：(1)37 ，26 (2)68. －9 【剖析】先依照新定义计算出－ 1 2＝6，尔后计算再依照新定义计算 6 3 即可．－ 1 2＝2 2－( －1) ×2＝6，6 3＝32－6×3＝－9，所以( －第 4 页1 2) 3＝－9.9. 解：(1) 4a ＋b(2) ≠(3) 因为 a⊙( －2b)＝4，所以 4 a－2 b＝4，所以 2a－b＝2，(a －b) ⊙(2a ＋b) ＝4(a －b) ＋(2a ＋b)＝4a－4b＋2 a＋b＝6 a－3b＝3(2a－b)＝3×2＝6剖析：(1) 观察前面的例子可得a⊙b＝4a＋b；(2) 依照定义a⊙b＝4a＋b，b⊙a＝4b＋a，因为a≠b，所以a⊙b≠b⊙a；(3) 依照定义先将a⊙( －2b) ＝4 化简，再将(a－b) ⊙(2 a＋b) 化简并把上面获取的式子代入计算．10. 30 °或 150°11. 解：(1)x ＝2 (2) ①(4 33，2) ②画图略， y＝ 3x－2 ③4923≤EC<33 a－b12. 解：(1) ①依照题意得 T(1，－1)＝＝－2，即 a－b＝－2； 2－14a＋2bT＝(4，2) ＝＝1，即 2a＋b＝5，解得 a＝1，b＝38＋2②依照题意得2m＋3〔5－4m〕≤4①，4m＋5－4mm＋3〔3－2m〕＞p②，2m＋3－2m由①得 m≥－1；2由②得 m＜9－3p，∴不等式组的解集为－51 9－3p≤m＜，2 5∵不等式组恰好有 3 个整数解，即 m＝0，1，2，∴2＜9－3p≤3，5解得－2≤p＜－1 3(2) 由 T(x ，y) ＝T(y，x) ，获取a x＋by ay＋bx ＝，2x＋y 2y＋x 第 5 页中考数学总复习新定义问题专题综合训练题含和剖析语文整理得(x 2 2)(2b －a) ＝0，－y∵T(x ，y) ＝T(y，x) 对任意实数 x，y 都成立，∴ 2b－a＝0，即 a＝2b 13. 解：AB＝b－a＝2，设 AM＝x，那么 BM＝2－x，由题意得 x 2＝2(2 －x) ，解得x1＝－1＋ 5，x2＝－1－ 5( 舍去) ，那么 AM＝BN＝ 5－1，∴MN＝m－n＝A M＋BN －2＝2( 5－1) －2＝2 5－4第 6 页。

初中数学中考模拟复习专题51 新定义和阅读理解型问题考试卷及答案

xx学校xx学年xx学期xx试卷姓名:_____________ 年级:____________ 学号:______________题型选择题填空题简答题xx题xx题xx题总分得分一、xx题（每空xx 分，共xx分）试题1:阅读下面的材料：小明在数学课外小组活动中遇到这样一个“新定义”问题：小明是这样解决问题的：由新定义可知a=1，b=-2，又b＜0，所以1※（-2）=．请你参考小明的解题思路，回答下列问题：（1）计算：2※3= ；（2）若5※m=，则m= ．（3）函数y=2※x（x≠0）的图象大致是（）评卷人得分试题2:我们新定义一种三角形：两边平方和等于第三边平方的两倍的三角形叫做奇异三角形．（1）根据“奇异三角形”的定义，请你判断命题“等边三角形一定是奇异三角形”是真命题还是假命题?（2）在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AB=c，AC=b，BC=a，且b>a，若Rt△ABC是奇异三角形，求a：b：c；（3）如图，AB是⊙O的直径，C是⊙O上一点（不与点A，B重合），D是半圆的中点，C，D在直径AB的两侧，若在⊙O内存在点E，使AE=AD，CB=CE．①求证：△ACE是奇异三角形；②当△A CE是直角三角形时，求∠AOC的度数．试题3:阅读理解：对于任意正实数a、b，∵(－)2≥0，∴a－2＋b≥0，∴a＋b≥2，只有当a＝b时，等号成立.结论：在a＋b≥2（a、b均为正实数）中，若ab为定值p，则a+b≥2，只有当a＝b时，a＋b有最小值2. 根据上述内容，回答下列问题：（1）若m＞0，只有当m＝时，m＋有最小值；若m＞0，只有当m＝时，2m＋有最小值 .（2）如图，已知直线L1：y＝x＋1与x轴交于点A，过点A的另一直线L2与双曲线y＝（x>0）相交于点B（2，m），求直线L2的解析式.（3）在（2）的条件下，若点C为双曲线上任意一点，作CD∥y轴交直线L1于点D，试求当线段CD最短时，点A、B、C、D围成的四边形面积.试题4:如图是一组密码的一部分．为了保密，许多情况下可采用不同的密码，请你运用所学知识找到破译的“钥匙”。

专题69 数与式中的新定义问题(原卷版)-2023年中考数学重难点解题大招复习讲义-新定义问题

例题精讲【例1】．定义一种新运算：，例如．若，则k＝．变式训练【变1-1】．定义：对于实数a，符号[a]表示不大于a的最大整数．例如：[5.7]＝5，[5]＝5，[﹣π]＝﹣4，如果，则x的取值范围是（）A．5≤x＜7B．5＜x＜7C．5＜x≤7D．5≤x≤7【变1-2】．规定：符号[x]叫做取整符号，它表示不超过x的最大整数，例如：[5]＝5，[2.6]＝2，[0.2]＝0．现在有一列非负数a1，a2，a3，…，已知a1＝10，当n≥2时，a n＝a n﹣1+1﹣5（[]﹣[]），则a2022的值为．【例2】．定义：如果一个数的平方等于﹣1，记为i2＝﹣1，这个数i叫做虚数单位，把形如a+bi的数叫做复数，其中a叫做这个复数的实部，b叫做这个复数的虚部．它的加、减、乘法运算与整数的加、减、乘法运算类似．例如计算：（4+i）+（6﹣2i）＝4+6+i﹣2i＝10﹣i（2﹣i）（3﹣i）＝6﹣2i﹣3i+i2＝6﹣5i﹣1＝5﹣5i根据以上信息计算（1+2i）（2﹣i）+（2﹣i）2＝．变式训练【变2-1】．贾宪是生活在北宋年间的数学家，著有《黄帝九章算法细草》《释锁算书》等书，但是均已失传．所谓“贾宪三角”指的是如图所示的由数字所组成的三角形，称为“开方作法本源”图，也称为“杨辉三角”．贾宪发明的“开方作法本源“图作用之一，是为了揭示二项式（a+b）n（n＝1，2，3，4，5）展开后的系数规律，即（a+b）1＝a+b，（a+b）2＝a2+2ab+b2，（a+b）3＝a3+3a2b+3ab2+b3，（a+b）4＝a4+4a3b+6a2b2+4ab3+b4，（a+b）5＝a5+5a4b+10a3b2+10a2b3+5ab4+b5．则二项式（a+b）n（n为正整数）展开后各项的系数之和为（）A．2n﹣1+1B．2n﹣1+2C．2n D．2n+1【变2-2】．已知n行n列（n≥2）的数表中，对任意的i＝1，2，…，n，j＝1，2，…，n，都有a ij＝0或1．若当a st＝0时，总有（a1t+a2t+…+a nt）+（a s1+a s2+…+a sn）≥n，则称数表A为典型表，此时记表A中所有a ij的和记为S n．（1）若数表，，其中典型表是；（2）典型表中S5的最小值为．1．对任意两个实数a，b定义两种运算：a⊕b＝，a⊗b＝，并且定义运算顺序仍然是先做括号内的，例如：（﹣2）⊕3＝3，（﹣2）⊗3＝﹣2，（（﹣2）⊕3）⊗2＝3⊗2＝2，则等于（）A．B．3C．D．22．对于两个不相等的实数a、b，我们规定符号Min{a，b}表示a、b中较小的值，如Min{2，4}＝2，按照这个规定，方程Min{}＝的解为（）A．1或3B．1或﹣3C．1D．33．定义：如果a x＝N（a＞0，a≠1），那么x叫做以a为底N的对数，记做x＝log a N．例如：因为72＝49，所以log749＝2；因为53＝125，所以log5125＝3．则下列说法正确的个数为（）①log61＝0；②log323＝3log32；③若log2（3﹣a）＝log827，则a＝0；④log2xy＝log2x+log2y（x＞0，y＞0）．A．4B．3C．2D．14．我们把称作二阶行列式，规定它的运算法则为＝ad﹣bc．如＝2×5﹣3×4＝﹣2，请你计算的值为．5．对于实数a，b，定义运算“◎”如下：a◎b＝（a+b）2﹣（a﹣b）2．若（m+1）◎（m ﹣2）＝16，则m＝6．设n为正整数，记n！＝1×2×3×4×…×n（n≥2），1！＝1，则+++…++＝．7．新定义：任意两数m，n，按规定y＝﹣m+n得到一个新数y，称所得新数y为数m，n 的“愉悦数”．则当m＝2x+1，n＝x﹣1，且m，n的“愉悦数”y为正整数时，正整数x 的值是．8．对数的定义：一般地，若a x＝N（a＞0且a≠1），那么x叫做以a为底N的对数，记作x＝log a N，比如指数式23＝8可以转化为对数式3＝log28，对数式2＝log636，可以转化为指数式62＝36．计算log39+log5125﹣log232＝．9．对于正整数m，我们规定：若m为奇数，则f（m）＝3m+3；若m为偶数，则f（m）＝．例如f（5）＝3×5+3＝18，f（8）＝＝4．若m1＝1，m2＝f（m1），m3＝f（m2），m4＝f（m3），…，依此规律进行下去，得到一列数m1，m2，m3，m4，…，m n，…（n为正整数），则m1+m2+m3+…+m2021＝．10．如图，把平面内一条数轴x绕原点O逆时针旋转角θ（0°＜θ＜90°）得到另一条数轴y，x轴和y轴构成一个平面斜坐标系．规定：过点P作y轴的平行线，交x轴于点A，过点P作x轴的平行线，交y轴于点B，若点A在x轴上对应的实数为a，点B在y轴上对应的实数为b，则称有序数对（a，b）为点P的斜坐标．（1）点P（x，y）关于原点对称的点的斜坐标是；（2）在某平面斜坐标系中，已知θ＝60°，点P的斜坐标为（2，4），点N与点P关于x 轴对称，则点N的斜坐标是．11．欧拉是18世纪瑞士著名的数学家，他的贡献不仅遍及高等数学的各个领域，在初等数学中也留下了他的足迹．下面是关于分式的欧拉公式：＝（其中a，b，c均不为零，且两两互不相等）．（1）当r＝0时，常数p的值为．（2）利用欧拉公式计算：＝．12．任何一个正整数n都可以进行这样的分解：（s、t是正整数，且s≤t），如果在n的所有这种分解中两因数之差的绝对值最小，我们就称是n的最佳分解，并规定：F（n）＝．例如18可以分解成1×18，2×9，3×6这三种，这时就有F（18）＝＝．给出下列关于F（n）的说法：①F（2）＝；②F（48）＝；③F（n2+n）＝；④若n非0整数，则F（n2）＝1，其中正确说法的是（将正确答案的序号填写在横线上）．13．对于三个实数a，b，c，用M{a，b，c}表示这三个数的平均数，用min{a，b，c}表示这三个数中最小的数．例如：M{1，2，9}＝＝4，min{1，2，﹣3}＝﹣3，min{3，1，1}＝1．请结合上述材料，解决下列问题：（1）min{sin30°，cos60°，tan45°}；（2）若M{﹣2x，x2，3}＝2，求x的值．14．定义为二阶行列式，规定它的运算法则为：＝ad﹣bc．例如：＝5×8﹣6×7＝﹣2．（1）求的值．（2）若＝20，求m的值．15．材料：对于一个四位正整数m，如果满足百位上数字的2倍等于千位与十位的数字之和，十位上数字的2倍等于百位与个位的数字之和，那么称这个数为“相邻数”．例如：∵3579中，2×5＝3+7＝10，7×2＝5+9＝14，∴3579是“相邻数”．（1）判断7653，3210是否为“相邻数”，并说明理由；（2）若四位正整数n＝1000a+100b+10c+d为“相邻数”，其中a，b，c，d为整数，且1≤a≤9，0≤b≤9，0≤c≤9，0≤d≤9，设F（n）＝2c，G（n）＝2d﹣a，若为整数，求所有满足条件的n值．16．我国宋朝数学家杨辉在他的著作《详解九章算法》中提出“杨辉三角”（如图），此图揭示了（a+b）n（n为非负整数）展开式的项数及各项系数的相关规律．例如：（a+b）0＝1，它只有一项，系数为1；（a+b）1＝a+b，它有两项，系数分别为1，1，系数和为2；（a+b）2＝a2+2ab+b2，它有三项，系数分别为1，2，1，系数和为4；根据以上规律，解答下列问题：（1）（a+b）5展开式共有项，系数和为．（2）求（2a﹣1）5的展开式；（3）利用表中规律计算：25﹣5×24+10×23﹣10×22+5×2﹣1（不用表中规律计算不给分）；（4）设（x+1）17＝a17x17+a16x16+…+a1x+a0，则a1+a2+a3+…+a16+a17的值为．17．若规定f（n，m）＝n×（n+1）×（n+2）×（n+3）×…×（n+m﹣1），且m，n为正整数，例如f（3，1）＝3，f（4，2）＝4×5，f（5，3）＝5×6×7．（1）计算f（4，3）﹣f（3，4）；（2）试说明：；（3）利用（2）中的方法解决下面的问题，记a＝f（1，2）+f（2，2）+f（3，2）+…+ f（27，2），b＝f（1，3）+f（2，3）+f（3，3）+…+f（11，3）．①a，b的值分别为多少？②试确定a b的个位数字．18．请阅读以下材料，解决问题．我们知道：在实数体系中，一个实数的平方不可能为负数，即a2≥0．但是，在复数体系中，如果一个数的平方等于﹣1，记为i2＝﹣1，这个数i叫做虚数单位，那么形如a+bi （a、b为实数）的数就叫做复数，a叫做这个复数的实部，b叫做这个复数的虚部．它的加，减，乘法运算与整式的加，减，乘法运算类似，例如计算：（3+i）i＝3i+i2＝3i﹣1（2+i）+（3﹣4i）＝（2+3）+（1﹣4）i＝5＝3i；若两个复数，它们的实部和虚部分别相等，则称这两个复数相等；若它们的实部相等，虚部互为相反数，则称这两个复数共轭，如1+2i的共轭复数为1﹣2i．根据材料回答：（1）填空：①（2+i）（3i﹣1）＝；②将m2+9（m为实数）因式分解成两个复数的积：m2+9＝；（2）若a+bi是（1+2i）2的共轭复数，求（b﹣a）2022的值；（3）已知（a+i）（b+i）＝2﹣4i，求（a2﹣b2）（i2+i3+i4+…+i2023）的值．19．式子“1+2+3+4+…+100”表示从1开始的连续100个正整数的和，由于上述式子比较长，书写不方便，为了简便起见，可以将上述式子表示为，这里“∑”是求和的符号．例如“1+3+5+7+…+99”用“∑”可以表示为，“13+23+33+…+103”用“∑”可以表示为．（1）把写成加法的形式是；（2）“2+4+6+8+…+100”用“∑”可以表示为；（3）计算：．20．好学的小贤同学，在学习多项式乘以多项式时发现：（x+4）（2x+5）（3x﹣6）的结果是一个多项式，并且最高次项为：x•2x•3x＝3x3，常数项为：4×5×（﹣6）＝﹣120，那么一次项是多少呢？要解决这个问题，就是要确定该一次项的系数．根据尝试和总结他发现：一次项系数就是：×5×（﹣6）+2×（﹣6）×4+3×4×5＝﹣3，即一次项为﹣3x．请你认真领会小东同学解决问题的思路，方法，仔细分析上面等式的结构特征．结合自己对多项式乘法法则的理解，解决以下问题．（1）计算（x﹣5）（3x+1）（5x﹣3）所得多项式的一次项系数为．（2）若计算（x2+x﹣1）（x2﹣2x+a）（2x+3）所得多项式的一次项系数为2，求a的值；（3）若（x+1）2022＝a0x2022+a1x2021+a2x2020+…+a2021x+a2022，则a2021＝．21．阅读下列材料．材料一：对于一个四位正整数，如果百位数字大于千位数字，且个位数字大于十位数字，则称这个数是“双增数”；如果百位数字小于千位数字，且个位数字小于十位数字，则称这个数是“双减数”．例如：3628、4747是“双增数”，5231、9042是“双减数”．材料二：将一个四位正整数m的百位数字和十位数字交换位置后，得到一个新的四位数m'，规定：F（m）＝m﹣m'，例如：F（2146）＝2146﹣2416＝﹣270．（1）最大的“双增数”是，最小的“双减数”是；（2）已知“双增数”s＝1000x+100（y+4）+10y+6（1≤x≤9，0≤y≤9，x、y是整数），“双减数”t＝3000+20a+b（0≤a≤9，0≤b≤9，a、b是整数），且t的各个数位上的数字之和能被12整除，现规定k＝F（s）+F（t），求k的最大值．。

新定义问题题型专题-2022年初中数学中考备考测试题(word版含答案)

新定义问题题型专题一、解答题1．对于平面内的点P 和图形M，给出如下定义：以点P 为圆心，以r 为半径作⊙P，使得图形M 上的所有点都在⊙P 的内部（或边上），当r 最小时，称⊙P 为图形M 的P 点控制圆，此时，⊙P 的半径称为图形M 的P 点控制半径．已知，在平面直角坐标系中，正方形OABC 的位置如图所示，其中点B（2，2）（1）已知点D（1，0），正方形OABC 的D 点控制半径为r1，正方形OABC 的A 点控制半径为r2，请比较大小：r1r2；（2）连接OB，点 F 是线段OB 上的点，直线l：y= 3x+b；若存在正方形OABC 的F点控制圆与直线l 有两个交点，求b 的取值范围．2．已知线段AB，如果将线段AB绕点A逆时针旋转90°得到线段AC，则称点C为线段AB关于点A的逆转点．点C为线段AB关于点A的逆转点的示意图如图1：（1）如图2，在正方形ABCD中，点_____为线段BC关于点B的逆转点；（2）如图3，在平面直角坐标系xOy中，点P的坐标为（x，0），且x＞0，点E是y 轴上一点，点F是线段EO关于点E的逆转点，点G是线段EP关于点E的逆转点，过逆转点G，F的直线与x轴交于点H．⊙补全图；⊙判断过逆转点G，F的直线与x轴的位置关系并证明；⊙若点E的坐标为（0，5），连接PF、PG，设⊙PFG的面积为y，直接写出y与x之间的函数关系式，并写出自变量x的取值范围．3．在⊙ABC 中，点P 是⊙BAC 的角平分线AD 上的一点，若以点P 为圆心，P A 为半径的⊙P 与⊙ABC 的交点不少于．．．4个，点P 称为⊙ABC 关于⊙BAC 的“劲度点”，线段 P A 的长度称为⊙ABC 关于⊙BAC 的“劲度距离”．（1）如图，在⊙BAC 平分线AD 上的四个点1P 、2P 、3P 、4P 中，连接点A 和点的线段长度是⊙ABC 关于⊙BAC 的“劲度距离”．（2）在平面直角坐标系中，已知点M （0，t ），N （4，0）．⊙当t =5时，求出⊙MON 关于⊙MON 的“劲度距离”1d 的最大值．⊙222d ≤⊙MON 关于⊙MON 的“劲度距离”，请直接写出t 的取值范围．4．在平面直角坐标系xOy 中，12,,,k A A A ⋯是k 个互不相同的点，若这k 个点横坐标的不同取值有m 个，纵坐标的不同取值有n 个，p m n =+，则称p 为这k 个点的“特征值”，记为12,,,k A A A p ⋯=．如图1，点(1,1),(1,2),,123M N T M N 〈〉=+=．（1）如图2，圆C 的圆心为(0,3)，半径为5，与x 轴交于A ，B 两点．⊙,T A B 〈〉=________，,,T A B C 〈〉= _________；⊙直线(0)y b b =≠与圆C 交于两点D ，E ，若,,,6T A B D E 〈〉=，求b 的取值范围；（2）点128,,,A A A ⋯到点O 的距离为128个点构成中心对称图形，128,,,6T A A A ⋯=，若抛物线2(0)y ax bx c a =++>恰好经过128,,,A A A ⋯中的三个点，并以其中一个点为顶点，直接写出a 的所有可能取值．5．如图，直线l 和直线l 外一点P ，过点P 作PH l ⊥于点H 任取直线l 上点Q ，点H 关于直线PQ 的对称点为点H '，标点H '为点P 关于直线l 的垂对点．在平面直角坐标系xOy 中，（1）已知点(0,2)P ，则点(0,0),(2,2),(0,4)O A B 中是点P 关于x 轴的垂对点的是_______；（2）已知点(0,)M m ，且0m >，直线443y x =-+上存在点M 关于x 轴的垂对点，求m 的取值范围；（3）已知点(,2)N n ，若直线y x n =+上存在两个点N 关于x 轴的垂对点，直接写出n 的取值范围，6．在⊙ABM中，⊙ABM＝90°，以AB为一边向⊙ABM的异侧作正方形ABCD，以A为圆心，AM为半径作⊙A，我们称正方形ABCD为⊙A的“关于⊙ABM的友好正方形”，如果正方形ABCD恰好落在⊙A的内部（或圆上），我们称正方形ABCD为⊙A的“关于⊙ABM的绝对友好正方形”，例如，图1中正方形ABCD是⊙A的“关于⊙ABM的友好正方形”．（1）图2中，⊙ABM中，BA＝BM，⊙ABM＝90°，在图中画出⊙A的“关于⊙ABM的友好正方形ABCD”．（2）若点A在反比例函数y＝kx（k＞0，x＞0）上，它的横坐标是2，过点A作AB⊙y轴于B，若正方形ABCD为⊙A的“关于⊙ABO的绝对友好正方形”，求k的取值范围．（3）若点A是直线y＝﹣x+2上的一个动点，过点A作AB⊙y轴于B，若正方形ABCD为⊙A的“关于⊙ABO的绝对友好正方形”，求出点A的横坐标m的取值范围．7．已知：点P 为图形M 上任意一点，点Q 为图形N 上任意一点，若点P 与点Q 之间的距离PQ 始终满足PQ ＞0，则称图形M 与图形N 相离．（1）已知点A （1，2）、B （0，﹣5）、C （2，﹣1）、D （3，4）．⊙与直线y ＝3x ﹣5相离的点是；⊙若直线y ＝3x +b 与⊙ABC 相离，求b 的取值范围；（2）设直线y 3+3、直线y 3+3及直线y ＝﹣2围成的图形为W ，⊙T 的半径为1，圆心T 的坐标为（t ，0），直接写出⊙T 与图形W 相离的t 的取值范围．8．在平面直角坐标系xOy 中，点A 的坐标为()11,x y ，点B 的坐标为()22,x y ，且12x x ≠，12y y =．给出如下定义：若平面上存在一点P ，使APB △是以线段AB 为斜边的直角三角形，则称点P 为点A 、点B 的“直角点”．（1）已知点A 的坐标为()1,0．⊙若点B 的坐标为()5,0，在点1()4,3P 、2(3,2)P -和33)P 中，是点A 、点B 的“直角点”的是_________；⊙点B 在x 轴的正半轴上，且22AB =y x b =-+上存在点A 、点B 的“直角点”时，求b 的取值范围；（2）O 的半径为r ，点()1,4D 为点()0,2E 、点(),F m n 的“直角点”，若使得DEF 与O 有交点，直接写出半径r 的取值范围．9．在平面中，给定线段AB 和C ，P 两点，点C 与点P 分布在线段AB 的异侧，满足180ACB APB ∠+∠=︒，则称点C 与点P 是关于线段AB 的关联点．在平面直角坐标系xOy 中，已知点()2,0A ，()0,2B ，(3C ．（1）在(11,12P ，()22,3P ，()32,2P三个点中，点O 与点P 是关于线段AB 的关联点的是________；（2）若点C 与点P 是关于线段OA 的关联点，求点P 的纵坐标m 的取值范围；（3）直线()0y x b b =-+>与x 轴，y 轴分别交于点E ，F ，若在线段AB 上存在点P 与点O 是关于线段EF 的关联点，直接写出b 的取值范围．10．在平面直角坐标系xOy 中，对于⊙M 内的一点P ，若在⊙M 外存在点P '，使得2MP MP '=，则称点P 为⊙M 的二倍点．（1）当⊙O 的半径为2时，⊙在1(1,0)T ，2(1,-1)T ，333()2T 三个点中，是⊙O 的二倍点的是； ⊙已知一次函数2y kx k =+与y 轴的交点是(0,)A a ，若一次函数在第二象限的图象上的所有点都是⊙O 的二倍点，求a 的取值范围．（2）已知点(,0)M m ，1(0,)2-B ，1(1,)2C -，⊙M 的半径为2，若线段BC 上存在点P 为⊙M 的二倍点，直接写出m 的取值范围．11．在平面直角坐标系xOy 中，若点P 和点1P 关于y 轴对称，点1P 和点2P 关于直线l 对称，则称点2P 是点P 关于y 轴，直线l 的完美点．（1）如图1，点(2,0)A -．⊙若点B 是点A 关于y 轴，直线1:4l x =的完美点，则点B 的坐标为__________ ； ⊙若点(5,0)C 是点A 关于y 轴，直线2:l x a =的完美点，则a 的值为__________；（2）如图2，⊙O 的半径为1．若⊙O 上存在点M ，使得点M '是点M 关于y 轴，直线3:l x b =的完美点，且点M '在函数2(0)y x x =>的图象上，求b 的取值范围；（3）(),0E t 是x 轴上的动点，⊙E 的半径为2，若⊙E 上存在点N ，使得点N '是点N 关于y 轴，直线4:32l y x +的完美点，且点N '在y 轴上，直接写出t 的取值范围．12．对于平面直角坐标系xOy 中的图形M 和点P ，给出如下定义：将图形M 绕点P 顺时针旋转90︒得到图形N ，图形N 称为图形M 关于点P 的“垂直图形”．例如，图1中点D 为点C 关于点P 的“垂直图形”．（1）点A 关于原点O 的“垂直图形”为点B ．⊙若点A 的坐标为(0,2)，则点B 的坐标为_______；⊙若点B 的坐标为(2,1)，则点A 的坐标为_______．（2）(3,3),(2,3),(,0)E F G a --．线段EF 关于点G 的“垂直图形”记为E F ''，点E 的对应点为E '，点F 的对应点为F '．⊙求点E '的坐标（用含a 的式子表示）；⊙若O 的半径为2，E F ''上任意一点都在O 内部或圆上，直接写出满足条件的EE '的长度的最大值．13．对于平面直角坐标系xOy 中的线段PQ ，给出如下定义：若存在PQR 使得2PQR S PQ =，则称PQR 为线段PQ 的“等幂三角形”，点R 称为线段PQ 的“等幂点”．（1）已知(3,0)A ．⊙在点1234(1,3),(2,6),(5,1),(3,6)P P P P --中，是线段OA 的“等幂点”的是_____________； ⊙若存在等腰OAB 是线段OA 的“等幂三角形”，求点B 的坐标；（2）已知点C 的坐标为(2,1)C -，点D 在直线3y x =-上，记图形M 为以点(1,0)T 为圆心，2为半径的T 位于x 轴上方的部分，若图形M 上存在点E ，使得线段CD 的“等幂三角形”CDE △为锐角三角形，直接写出点D 的横坐标D x 的取值范围． 14．如图1，点P 是平面内任意一点，点A ，B 是C 上不重合的两个点，连结,PA PB ．当60APB ∠=︒时，我们称点P 为C 的“关于AB 的关联点”．（1）如图2，当点P 在C 上时，点P 是C 的“关于AB 的关联点”时，画出一个满足条件的APB ∠，并直接写出ACB ∠的度数；（2）在平面直角坐标系中有点(3M ，点M 关于y 轴的对称点为点N ．⊙以点O 为圆心，OM 为半径画O ，在y 轴上存在一点P ，使点P 为O “关于MN 的关联点”，直接写出点P 的坐标；⊙点(),0D m 是x 轴上一动点，当D 的半径为1时，线段MN 上至少存在一点是D 的“关于某两个点的关联点”，求m 的取值范围．15．在平面直角坐标系xOy 中，已知正方形ABCD ，其中2222,,,0,A B C D ⎛⎫⎛⎫⎛ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭，M ，N 为该正方形外两点，1MN =．给出如下定义：记线段MN 的中点为P ，平移线段MN 得到线段M N ''，使点,M N ''分别落在正方形ABCD 的相邻两边上，或线段M N ''与正方形的边重合（,,M N P '''分别为点M ，N ，P 的对应点），线段PP '长度的最小值称为线段MN 到正方形ABCD 的“平移距离”．（1）如下图，平移线段MN ，得到正方形ABCD 内两条长度为1的线段1122,M N M N ，则这两条线段的位置关系是_______；若12,P P 分别为1122,M N M N 的中点，在点12,P P 中，连接点P 与点_______的线段的长度等于线段MN 到正方形ABCD 的“平移距离”；（2）如图，已知点21,02E ⎛⎫+ ⎪ ⎪⎝⎭，若M ，N 都在直线BE 上，记线段MN 到正方形ABCD 的“平移距离”为1d ，求1d 的最小值；（3）若线段MN 的中点P 的坐标为(2)2，，记线段MN 到正方形ABCD 的“平移距离”为2d ，直接写出2d 的取值范围．1．（1）＜；（2）2234242b -<【详解】解：（1）由题意得：r 1＝BD ＝CD 22125+r 2＝AC 222222+= ⊙r 1＜r 2；（2）如图所示，圆O 和圆B 分别是以O ，B 为圆心，以OB 长为半径的圆，当直线l ：3y x b =+与圆O 相切于点M 时，连接OM ，可得OM 与直线l 垂直，则直线OM 的解析式为：3y x =，设M （x ，3）， ⊙OM ＝OB ，⊙OM 22223223x x ， ⊙6x =6x ，⊙M （6-2，将（6-23y x b =+(236b -+，解得：2b =当直线l ：3y x b =+与圆B 相切于点N 时，连接BN ，同理可求出此时232b =-⊙b 的取值范围为：2234242b -<2．（1）A ；（2）⊙补图见解析；⊙GF⊙x 轴；证明见解析；⊙y=()()2215052215522y x x x y x x x ⎧=+<<⎪⎪⎨⎪=->⎪⎩．【详解】解：（1）由题意，点A 是线段AB 关于点B 的逆转点，故答案为A ．（2）⊙图形如图3所示．⊙结论：GF⊙x 轴．理由：⊙点F 是线段EF 关于点E 的逆转点，点G 是线段EP 关于点E 的逆转点， ⊙⊙OEF ＝⊙PEG ＝90°，EG ＝EP ，EF ＝EO ，⊙⊙GEF ＝⊙PEO ，⊙⊙GEF⊙⊙PEO （SAS ），⊙⊙GFE ＝⊙EOP ，⊙OE⊙OP ，⊙⊙POE ＝90°，⊙⊙GFE ＝90°，⊙⊙OEF ＝⊙EFH ＝⊙EOH ＝90°，⊙四边形EFHO 是矩形，⊙⊙FHO ＝90°，⊙FG⊙x 轴．⊙如图4﹣1中，当0＜x ＜5时，⊙E （0，5），⊙OE ＝5，⊙四边形EFHO 是矩形，EF ＝EO ，⊙四边形EFHO 是正方形，⊙OH ＝OE ＝5，⊙y ＝12•FG•PH ＝12•x•（5﹣x ）＝﹣12x 2+52x ．如图4﹣2中，当x ＞5时，y ＝12•FG•PH ＝12•x•（x ﹣5）＝12x 2﹣52x ．综上所述，y=()()2215052215522y x x x y x x x ⎧=+<<⎪⎪⎨⎪=->⎪⎩． 3．（1）23,P P ；（2）⊙22⊙52t -≤≤-或25t ≤≤．【详解】（1）以AP 为半径，以点P 为圆心作圆，则23P P 、符合要求．故答案为：23P P 、；（2）⊙作⊙MON 的角平分线OE ，ON 的垂直平分线PF ，OE 和PF 相交于点P ，此时⊙P 过点N ，线段OP 的长度是⊙MON 关于⊙MON 的“劲度距离”最大值．易知，OE 的函数表达式为y =x ， PF 的函数表达式为x =2，从而可得其交点坐标为P （2，2）．⊙1d =OP=22⊙由题意可知，圆心都在直线y =x 上，⊙当t >0时，当d 最大为22P 经过点N ，此时和⊙一样，点M 在（0，5）处，即t =5；当d 2P 经过点M ，此时点P 的纵坐标为1122OM t = ，所以点P 的坐标（12t ，12t ），再由2可得22211()()(2)22t t +=，解得t =2；⊙当t >0时，t 的取值范围为25t ≤≤．⊙同理，当t <0时，t 的取值范围为52t -≤≤-．综上所述t 的取值范围为52t -≤≤-或25t ≤≤．4．（1）⊙3，5；⊙28b -<<且0b ≠，6b ≠；（2）1或214【详解】（1）⊙由图可知()()()4,0,4,0,0,3A B C -，根据题意可得：,213T A B 〈〉=+=，,,325T A B C 〈〉=+=，故答案为：3,5；⊙解：D ，E 两点都在直线(0)y b b =≠上，而A ，B 两点都在直线0y =上，因此A ，B ，D ，E 四点纵坐标不同的取值有2个，要使得,,,6T A B D E 〈〉=，则A ，B ，D ，E 四点横坐标不同的取值必须有4个，于是此时这四个点的横坐标均不能相同．由对称性，当6b =时，D ，E 分别为(4,6)-和(4,6)，其横坐标分别与A ，B 的横坐标相同，不符合题意；由图可知，直线y b =与C 要有公共点，则28b -<<；综上所述，b 的取值范围是28b -<<且0b ≠且6b ≠．（2）⊙T ＜A 1，A 2，…，A 8＞=6，⊙这8个点横坐标的不同取值的个数与纵坐标的不同取值的个数之和为6．⊙点A 1，A 2，…A 8到点O 的距离为12，且这8个点构成中心对称图形，⊙这8个点构成的图形如下图所示：它们的坐标分别为：A 1（-1，1），A 2（0，1），A 3（1，1），A 4（-1，0），A 5（1，0），A 6（-1，-1），A 7（0，-1），A 8（1，-1）．⊙抛物线y =ax 2+bx +c （a ＞0），⊙抛物线开口向上．⊙抛物线y =ax 2+bx +c （a ＞0）恰好经过A 1，A 2，…A 8中的三个点，并以其中一个点为顶点，⊙根据抛物线为轴对称图形可得：抛物线经过A 1，A 3，A 7或A 4，A 5，A 7．⊙抛物线经过A 1，A 3，A 7时，11.1a b c a b c c -+=⎧⎪++=⎨⎪=-⎩解得：201a b c =⎧⎪=⎨⎪=-⎩抛物线经过或A 4，A 5，A 7时，001a b c a b c c -+=⎧⎪++=⎨⎪=-⎩解得：101a b c =⎧⎪=⎨⎪=-⎩或这8个点构成的图形如下图所示：它们的坐标分别为：123214214(),(A A ，34521432143214(((A A A 6782142143214(((A A A ⊙抛物线y =ax 2+bx +c （a ＞0）恰好经过A 1，A 2，…A 8中的三个点，并以其中一个点为顶点，⊙根据抛物线为轴对称图形可得：抛物线经过A 1，A 3，A 6或A 4，A 2，A 7．⊙抛物线经过A 1，A 3，A 6时，A 6为顶点，经过A 1，A 3，设抛物线解析式为2214()y x = 将A 3坐标代入得：142214(a = 解得：14.a =抛物线经过A 2，A 4，A 7时，A 7为顶点，经过A 2，A 4，设抛物线解析式为2214()y x = 将A 4坐标代入得：21432214()= 解得：14.a =综上，a 的值为1或2145．（1）O 和A ；（2）3m 2≥；（3）-2n 1+21＜＜n≠2 【详解】解：（1）⊙点(0,2)P ，⊙根据垂对点的定义可得点P 关于x 轴的垂对点为(0,0),(2,2)O A ；（2）⊙点(0,)M m ，且0m >，⊙由垂对点的定义可知，点M 关于x 轴的垂对点在以M 为圆心MO 即m 为半径的圆上，点(0,2)m 除外，则OM =m ；设直线443y x =-+与x 轴和y 轴的交点分别为G 、H ， ⊙G （3，0），H （0，4）， ⊙22345GH =+= ，⊙直线443y x =-+上存在点M 关于x 轴的垂对点， ⊙当直线443y x =-+与⊙M 相切时，m 的值最小，此时切点为N , 连接MN ，则⊙HOG =⊙MNH =90°，⊙⊙OHG =⊙NHM⊙⊙OHG ⊙⊙NHM ⊙=MN MH OG GH⊙m4-m 35=⊙3 m=2⊙m的取值范围是：3m2≥；（3）⊙(,2)N n，点N关于x轴的垂对点在以N为圆心2为半径的圆上，点(n,4)除外，当n=0时，⊙N与y=x有两个交点，则直线y x n=+上存在两个点N关于x轴的垂对点，当n＞0时，相当于⊙N向右平移，y=x向上平移，当y=x+n与⊙N相切于⊙N左侧时是临界点，设切点为E，连接NE，⊙DEN=90°，过点E作EF⊙x轴于F，直线y=x+n与x轴y轴的交点分别为W、K，则W（-n，0），K （0，n），⊙OK=OW，⊙⊙OWK为等腰直角三角形，设过点(,2)N n且平行于x轴的直线与直线y=x+n相交于点D，则⊙DEN为等腰直角三角形，22DE=设EF交DN于点I，在直角三角形ENI中，NE=2，⊙END=45°，⊙NI=EI2⊙E（n-22+2，⊙点E在y=x+n上，⊙2+2=n-2+n⊙n=1+2当n=2时，直线与圆交于点（0，2）、（2，4），此时只有一个垂对点，故n≠2．当n＜0时，相当于⊙N向左平移，y=x向下平移，同理得出n=1-2⊙-2n1+21＜＜n≠2 ．6．（1）见解析；（2）k≥4；（3）0＜m≤1或m＜0．【详解】（1）⊙BA＝BM，⊙ABM＝90°，⊙圆的半径AM2＝AC，故点C在圆上，补全图形如图1，（2）设A（2，a），当a＝2时，正方形ABCD的顶点C恰好落在⊙A上（如图2）；当a＞2时，正方形ABCD的顶点均落在⊙A内部（如图3）；当a＜2时，正方形ABCD的顶点C落在⊙A外部（如图4）；⊙反比例函数ky(k0,x0)x=>>过点A(2,a)，⊙当a≥2时，则k≥4，⊙k的取值范围为：k≥4；（3）当m＝1时，正方形ABCD的顶点C恰好落在⊙A上（如图5）；当0＜m＜1时，正方形ABCD均落在⊙A内部（如图6）；当m＝0时，⊙ABO不存在；当m＜0时，正方形ABCD均落在⊙A内部（如图7）；当m＞1时，正方形ABCD的顶点C落在⊙A外部（如图8），（当m＝2时⊙ABO不存在）；综上分析，点A的横坐标m的取值范围为：0＜m≤1或m＜0．7．（1）⊙A，C；⊙b＞﹣1或b＜﹣7；（2）t53或t533t3【详解】解：（1）⊙⊙点A（1，2），⊙当x＝1时，3﹣5＝﹣2，⊙点A不在直线y＝3x﹣5上，同理，点C（2，﹣1）不在直线y＝3x﹣5上，点B（0，﹣5），点D（3，4）在直线上，⊙与直线y＝3x﹣5相离的点是A，C；故答案为：A，C；⊙当直线y＝3x+b过点A（1，2）时，⊙3+b＝2．⊙b＝﹣1．当直线y＝3x+b过点C（2，﹣1）时，⊙6+b＝﹣1．⊙b＝﹣7．⊙b的取值范围是b＞﹣1或b＜﹣7．（2）⊙如图1，图形W为⊙ABC，直线y3+3与y轴交于点A，与x轴交于点D，令x＝0，y＝3，令y＝0，x3⊙OA＝3，OD3⊙⊙OAD＝30°，⊙ADO＝60°，当⊙T位于直线AC右侧，且与直线AC相切于点H，连接TH，⊙TH⊙DH，⊙⊙TDH＝⊙ADO＝60°，⊙TH＝1，⊙DT 23 3⊙OT＝OD+DT23533=，⊙T 5330），⊙当t53时，⊙T与图形W相离，⊙如图2，当⊙T位于直线y3+3左侧，且与直线AB相切于点H，连接TH，直线AB与x轴交于点E，同理可得，TE 23OE3⊙OT53，⊙T 533，0），⊙当t53时，⊙T与图形W相离，⊙如图3，当⊙T位于直线AC左侧，且与直线AC相切时，同理可得TD 23OD3⊙OT＝OD﹣TD2333⊙T30），当⊙T与AB相切，且位于直线AB的右侧时，T 30）， ⊙33t <<时，⊙T 与图形W 相离．综合以上可得，⊙T 与图形W 相离时t 的取值范围是：t 53或t 533t ＜3 8．（1）⊙2P ，3P ；2123b ≤≤；（2）229r ≤≤【详解】（1）⊙ ⊙()225116AB =-=，()()2221413018P A =-+-=，()()2221453010PB =-+-=， ⊙181016+≠，⊙22211P A PB AB +≠，1P 不是点A 、点B 的“直角点”； ()()222231208P A =-+--=，()()222235208P B =-+--=， ⊙8816，⊙22222P A P B AB +=，2P 是点A 、点B 的“直角点”；())222321304P A =-+=，())2223253012P B =-+=，⊙41216+=，⊙22233P A P B AB +=，3P 是点A 、点B 的“直角点”；故答案为：2P ，3P ； ⊙⊙(1,0),2A AB =⊙线段AB 的中点(21,0)C ，⊙点A 、B 的“直角点”在以点C 2C 上，⊙当直线y x b =-+与C 相切于点D ，与两坐标轴相交于点M 、N 时，如图：令0x =，则y b =，令0y =，则x b =，⊙OM ON b ==，⊙⊙OMN=45︒，2 ⊙22sin 452CD CM ==︒， ⊙21223b OM OC CM ==+=+=；当直线y x b =-+与C 相切于点E 时，如图：同理：2CH =， ⊙21OH OC CH =-=，即21b =； 2123b ≤≤；（2）根据“直角点”的定义知：点F 的坐标为(m ，2)，⊙22EF m =，()()22210425ED =-+-=，()()222214252DF m m m =-+-=-+， ⊙222ED DF EF +=，⊙22552m m m +-+=，解得：5m =，⊙点F 的坐标为(5，2)，⊙2OE =，221417OD +=225229OF +⊙若使得DEF 与O 有交点，直接写出半径r 的取值范围为：229r ≤≤9．（1）P 1，P 3；（2）3；（3）1≤b<2 【详解】解：(1)⊙()2,0A ，()0,2B ，⊙222228AB =+=, ⊙(11,12P , ⊙2221(10)(122)422BP =-+=-2221(21)(12)422AP =-+=+ ⊙22211AP BP AB +=，⊙⊙AP 1B=90°，⊙⊙AOB+⊙AP 1B=180°，⊙点O 与点P 1是关于线段AB 的关联点；⊙()22,3P ，⊙2222(22)(30)9AP =-+-=，2222(20)(32)5BP =-+-=⊙22222AP BP AB +≠,⊙290AP B ∠≠︒，故点O 与点P 2不是关于线段AB 的关联点；⊙()32,2P ，⊙2223(22)(20)4AP =-+-=，2223(20)(22)4BP =-+-=⊙22233AP BP AB +=，⊙390AP B ∠=︒，⊙⊙AOB+⊙AP 3B=180°，⊙点O 与点P 3是关于线段AB 的关联点；故答案为：P 1、P 3；(2)⊙点C 与点P 是关于线段OA 的关联点，⊙点O 、A 、C 、P 四边共圆，故点P 在劣弧OA 上，当CP 是直径时，存在m 的最小值，设圆心为E ， ⊙(3C ,A （2,0），⊙CP⊙OA ，3OD=AD=1，⊙222AE DE AD =+, ⊙222(3)1AE AE =+, ⊙23AE =, ⊙3DE =3即3 3；(3)设直线AB 的解析式为y=mx+n ，将点A(2,0)，B(0，2)代入，得202m n n +=⎧⎨=⎩，⊙12m n =-⎧⎨=⎩， ⊙直线AB 的解析式为y=-x+2，⊙直线()0y x b b =-+>与直线AB 平行，⊙A(2,0)，B(0，2),⊙OA=OB ，⊙⊙OFE=⊙OBA=45°，⊙⊙EOF=90°，点P 与点O 是关于线段EF 的关联点，⊙⊙EPF=90°，⊙当以EF 为直径的圆与直线AB 相切时有最小值，与直线AB 相交时都可得到⊙EPF=90°，故b<2，当以EF 为直径的圆与直线AB 相切时，连接EF 中点N 与点P ，连接PE 、PF ， ⊙⊙BPN=90°，⊙⊙FNP=90°，⊙FN=PN ，⊙⊙NFP=⊙NPF=45°，⊙⊙OFP=90°，⊙四边形OFPE 是矩形，⊙OF=OE ，⊙四边形OFPE 是正方形，⊙OF=PF=BF=1，⊙1≤b<2．10．（1）⊙2T ，3T ；232a <≤；（2）1531m <<3151m <<+【详解】（1）⊙⊙OT 1=1，122OT '=，但此时1T '点在圆上，不合题意，故T 1不是二倍点；⊙OT 222112+=22333322OT ⎛⎫⎛⎫=-+= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭22222OT '=>，32232OT '=>，⊙2T ，3T 是二倍点．故答案为：2T ，3T⊙当2x =-时，0y =，⊙一次函数2y kx k =+过定点()2,0-，如图1，当一次函数2y kx k =+的图象与半径为1的O 相切时，可得3k =23a =如图2当一次函数2y kx k =+的图象与y 轴的交点也是O 与y 轴的交点时，可得2a =．⊙232a <≤．（2）当2MC <且1MB > 或<2MB 且1MC >时，线段BC 上存在点P 为⊙M 的二倍点，即221(1)44114m m ⎧-+<⎪⎪⎨⎪+>⎪⎩或221(1)14144m m ⎧-+>⎪⎪⎨⎪+<⎪⎩， 3151m <<1531m << 故答案为：1531m <<3151m <<11．（1）⊙(6,0)，⊙3.5；（2）152b -<≤；（3）23434t ≤≤．【详解】解：（1）⊙(2,0)A -，∴点A 关于y 轴对称的点坐标为(2,0)，又点(2,0)关于直线1:4l x =对称坐标为(6,0)，(6,0)B ∴，故答案为：(6,0)；⊙(2,0)A -，∴点A 关于y 轴对称的点坐标为(2,0)，又点(2,0)关于直线2:l x a =对称坐标为(22,0)a -，点(5,0)C 是点A 关于y 轴，直线2:l x a =的完美点，225a ∴-=，解得 3.5a =，故答案为：3.5；（2）如图，设点M 关于y 轴的对称点为''M ，由完美点的定义得：点M 所在直线与点M '所在直线2(0)y x x =>平行，则设点M 所在直线的解析式为2(0)y x c y =+>，设点M '的坐标为(,2)M m m '，则(2,2)M b m m ''-，(2,2)M b m m -+，将点(2,2)M b m m -+代入2y x c =+得：2(2)2b m c m -++=，解得4c b =，则点M 所在直线的解析式为24y x b =+，因此，有两个临界位置：⊙直线24(0)y x b y =+>与位于x 轴上方的半圆O 相切；⊙直线24(0)y x b y =+>恰好经过点(1,0)，⊙直线24(0)y x b y =+>与位于x 轴上方的半圆O 相切，如图，设直线24(0)y x b y =+>与x 轴交于点B ，与y 轴交于点A ，则(0,4),(2,0),0A b B b b ->，224,2,25OA b OB b AB OA OB b ∴==+，由圆的切线的性质得：OM AB ⊥，1OM =，在AOB 和OMB △中，90AOB OMB ABO OBM∠=∠=︒⎧⎨∠=∠⎩， AOB OMB ∴~，OA AB OM OB ∴=，即4251b b = 解得5b =⊙直线24(0)y x b y =+>恰好经过点(1,0)，将点(1,0)代入得：240b +=，解得12b =-，点M '在函数2(0)y x x =>的图象上，不含原点(0,0)O ，b ∴的值不能取12-，则b 的取值范围为152b -<≤；（3）如图，设点E 关于y 轴的对称点为1E ，点1E 关于直线4:32l y x +的对称点为E '，连接1E E '，交直线4l 于点K ，则E '的半径为2，当点N 在E 上运动时，点N '在E '上运动，要使点N '在y 轴上，则E '与y 轴相切或相交即可，(,0)E t ，1(,0)E t ∴-，14E E l '⊥，∴设直线1E E '的解析式为3y x n =+，将点1(,0)E t -30n +=，解得3n =，则直线1E E '的解析式为33y x =，联立3332y x y x ⎧=⎪⎨⎪=+⎩，解得2332t x t y ⎧--=⎪⎪⎨-+⎪=⎪⎩2332(t t K ---+∴，又点K 是线段1E E '的中点，2332(t t E --+'∴，当E '与y 2322t -=，解得234t =或34t =，综上，满足条件的t 的取值范围为34234t ≤≤．12．（1）⊙()2,0；⊙()1,2-；（2）⊙(3,3)+'+E a a ；22【详解】解：（1）⊙因点A 在y 轴上，故点B 必在x 轴正半轴上，又OB =OA =2，所以点A 坐标为()2,0；故答案为：()2,0．⊙如图，过A 、B 分别作x 轴的垂线于N 、 M ．则⊙ANO =⊙OMB =90，⊙⊙AON +⊙A =90°⊙⊙AOB =90°，⊙⊙AON +⊙BOM =90°，⊙⊙A =⊙BOM ，⊙OA =OB ，⊙⊙ANO ⊙⊙OMB ，⊙AN =OM =2，ON =BM =1，根据题意，点A 必在第二象限，⊙A ()1,2-．故答案为：()1,2-．（2）⊙如图，过点E 作EH x ⊥轴于点H ，过点E '作'⊥E Q x 轴于点Q ．由题意可知，,'90EG E G EGE '=∠=︒．⊙EHG GQE '△≌△．⊙,'==EH GQ HG QE ．⊙(3,3),(,0)-E G a ，⊙()3,0-H ．⊙．|3|3,3HG QE a a EH GQ ==+=+=='⊙|3|3OQ a a =+=+．⊙(3,3)+'+E a a ．⊙⊙EF ⊙x 轴⊙E F x ''⊥轴连接OE '，延长E F ''交x 轴于点H ，则E H x '⊥轴；过点E '作x 轴的平行线，过点E 作y 轴的平行线，两线交于点D ，则ED E D '⊥，如图所示；由⊙知，点E '的两个坐标相等，⊙|3|OH E H a '==+，表明E '点在第一、三象限的角平分线上，且位于与圆相交的圆内的一条线段上运动，当点E '位于第一象限上的圆上时，即2OE '=时，EE '最大，⊙⊙E HO '是等腰直角三角形， 22OH OE '==， ⊙2OH E H '== ⊙(2,2)E '， ⊙32DE '=32DE =在Rt EDE '中，由勾股定理得：2222(32)(32)22EE DE DE +-++=''即EE '2213．（1）⊙24,P P ：⊙362⎛⎫ ⎪⎝⎭，或362⎛⎫ ⎪⎝⎭，-；（2321D x -<<或523D x +<<【详解】（1）⊙1OP A S =1211933222P OA y OA ⨯⋅=⨯⨯=<，P 1不是线段OA 的“等幂点”． 2OP A S =2211369=22P OA y OA ⨯⋅=⨯⨯=， P 2是线段OA 的“等幂点”． 3OP A S =3211331222P OA y OA ⨯⋅=⨯⨯=<，P 3不是线段OA 的“等幂点”． 4OP A S =421136922P OA y OA ⨯⋅=⨯⨯==， P 4是线段OA 的“等幂点”．是线段OA 的“等幂点”的是24,P P ，故答案为：24,P P ：⊙如图，⊙OAB 是线段OA 的“等幂三角形”，⊙2OAB S OA =．⊙点A 的坐标为()3,0A ，若记OAB 中OA 边上的高为h ，则有13922OAB S OA h h =⨯⨯==．解得6h =．⊙点B 在直线6y =或6y =-上．⊙OAB 是等腰三角形，⊙点B 在线段OA 的垂直平分线上．OA 的垂直平分线为x =32,与直线6y =或6y =-的交点为B 1（32，6），B 2（32，-6），综上所述，点B 的坐标为（32，6）或（32，-6），（2）设半圆与x 轴交于G ，H 两点，过T 作CH 的平行线与半圆交于R ，作CH 的垂线交半圆于Q ，直线y =x -3与y 轴交于N ，设D （x ，x -3），过D 作y 轴平行线，与过C 作x 轴平行线交于F ，当x =0时，y =-3,N (0，-3),当y =0时，x -3=0，x =3，H (3，0)，⊙ON =3=OH ，⊙ONH 为等腰直角三角形，⊙OHN =⊙ONH =45°，点D 运动分两种情况，第一种情况点D 在射线CH ，去掉线段CH 部分运动，⊙TC ⊙NH ，⊙OHN =45°，⊙⊙TCH 为等腰直角三角形，在Rt ⊙TCH 中TH =2，TC =CH =TH ×sin45°=2222QC=2+2 又因为⊙ECD 为锐角三角形，点E 在QR 上运动，点E 到CD 的距离h 222h ≤ 22(x-2)，⊙线段CD 的“等幂三角形”， S △CDE =12h CD ⋅=CD 2， ⊙h =2CD 2(x -2)， )222222x -< 解得5522x +<< 点D 在H 右侧，x>3， ⊙523D x +<<第二种情况点D 在射线CU 上，去掉线段CU 部分运动，点E 在QG 上运动，又因为⊙ECD 为锐角三角形， GU=GH×cos45°=22 ⊙2222h ≤⊙线段CD 的“等幂三角形”，S △CDE =12h CD ⋅=CD 2， ⊙h =2CD 2(2-x )，则)2222222x -≤ 321D x -<<，D 的横坐标D x 321D x -<<或523D x +<< 14．（1）详见解析；（2）⊙(0,3)P 或(0,0)；⊙22m -≤≤【详解】解：（1）补全图形由题意可知，⊙APB=60°，点P 在圆上 ⊙⊙ACB=120°（2）⊙设点P （0，y ），连接MP ，NP ，MN 交y 轴于点Q 由题意可知，⊙MPN=60°又⊙点M 关于y 轴的对称点为点N⊙⊙PMN 为等边三角形⊙在Rt⊙MPQ 中，tan 60PQ QM =33y -=3y =0 ⊙(0,3)P 或(0,0)⊙当点D 位于M 点右侧且点M 在圆上时，此时m 有最大值，由题意可知，此时⊙OMD=60°，⊙m=2当点D 位于N 点左侧且点N 在圆上时，此时m 有最小值，由题意可知，此时⊙OMD=60°，⊙m=-2⊙22m -≤≤15．（1）平行，P 1；（2）1d 2（3）213322d ≤≤ 【详解】（1）解：由图可得MN ⊙M 1N 1，MN ⊙M 2N 2，⊙M 1N 1⊙M 2N 2，而PP 1<PP 2，故线段MN 到正方形ABCD 的“平移距离”为PP 1；故答案为：平行，P1；（2）⊙B(02，C20)，四边形ABCD为正方形，⊙BC2222122⎛⎫⎛⎫+⎪ ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，⊙BCA=45︒，⊙E21，0)，⊙CE2211==BC，⊙⊙1=⊙2，则⊙1+⊙2=⊙BCA=45︒，⊙⊙1=⊙2=22.5︒，在Rt△BMN中，BP1为斜边上的中线，则BP1=12MN=12=NP1，⊙⊙P1BN=⊙P1NB，又MN⊙BE，⊙⊙2=⊙P1NB，⊙⊙2=⊙P1NB=45︒，⊙P1BE=⊙2+⊙P1BN=45︒，过P1作P1Q⊙BE于Q，则△P1QB为等腰直角三角形，在Rt△P1QB中，P1Q=P1B sin45︒=122 2=⊙1d2（3）解：根据题意，P1、P2分别是AB、BC的中点，则线段MN到正方形ABCD的“平移距离”最大为PP1，最小为PP2，此时，P 1 (22)，P 222， ⊙PP 12222332244⎛⎫⎛⎫++- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， PP 222222112222224422⎛⎫⎛⎫⎛⎫-+--= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭， ⊙2d 的取值范围是213322d ≤≤。

2018中考数学专题复习新定义题(含答案).docx

最新的 2018 中考新定义题1. 在平面直角坐标系xOy中的某圆上，有弦MN ，取 MN 的中点 P，我们规定 : 点 P 到某点（直线）的距离叫做“弦中距”，用符号“d中”表示 .以 W ( 3 , 0) 为圆心，半径为 2 的圆上 .（ 1）已知弦 MN 长度为 2.①如图 1：当 MN∥ x 轴时，直接写出到原点O 的 d中的长度；②如果 MN 在圆上运动时，在图 2 中画出示意图，并直接写出到点O 的 d中的取值范围 .（ 2）已知点 M ( 5 , 0) , 点 N 为⊙ W 上的一动点，有直线y x 2 ，求到直线 y x 2 的 d中y y的最大值 .M P NW O x W O x图 1图 2yW O x1 x2上的点到点F(0，1)的距离与到直线l：y1的2.研究发现，抛物线y距离相等.如图1所示，若点P 是4抛物线y1x2上任意一点，PH⊥l于点H，则PF PH.4基于上述发现，对于平面直角坐标系x O y 中的点 M，记点M到点P的距离与点P到点F的距离之和的最小值为 d，称 d 为点 M 关于抛物线y1x2的关联距离；当2≤d≤4时，称点M为抛物线 y1x2的关联点.44（ 1）在点M1(2，0)，M2(12)，，M3(4，5)，M4(0，4) 中，抛物线y 1 x2的关联点是4______；（ 2）如图2，在矩形ABCD中，点A(t，1) ，点A(t13)，C( t.①若t=4，点M 在矩形ABCD上，求点M 关于抛物线y 1 x2的关联距离d 的取值范围；4②若矩形ABCD上的所有点都是抛物线y 1 x2的关联点，则t 的取值范围是__________.43.对于平面直角坐标系 xOy 中的点Q( x, y)（ x≠0），将它的纵坐标y 与横坐标 x 的比y称为点 Q 的“理想值”，x记作 L Q.如 Q( 1,2) 的“理想值” L Q 22 . 1（ 1）①若点Q(1,a)在直y x 4 上，点Q的“理想” L Q等于_________；②如，C(3,1)，⊙ C 的半径 1. 若点 Q 在⊙ C 上，点 Q 的“理想”L Q的取范是.（ 2）点 D 在直y3x+3 上，⊙D的半径1，点Q在⊙D上运都有3≤L Q≤ 3，求点 D 的横坐x D的取范；（ 3）M (2, m)（m＞ 0）， Q 是以 r 半径的⊙ M 上任意一点，当 0≤ L Q≤2 2，画出足条件的最大，并直接写出相的半径r 的 .（要求画位置准确，但不必尺作）答案：1．解：(1) .23⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 2 分示意正确⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 3 分3≤d中≤3⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯4分33（ 2）由于PW 是⊙W的弦心距yNPP'O xWM所以 PW MN所以点 N 在运程中，点 P 在以 MW 直径的上⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯由可知直与点 P 的运迹形成的相切，且弦中距 d中心，距离最大⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 6 分∵ y x 2 的象与 x 角是 45°N ∴由可得 DE6P 在等腰直角三角形DFM 中可得 DE 3 2 ，所以 PL32 1M D 即： d中的最大PL 3215分yW O E xL2. (1)M 1，M 2；-----------------------------------------------------------------2分（2）①当t 4，A 41，，B 51，，C 53，，D 4，3，此矩形 ABCD 上的所有点都在抛物y1x2 的下方，4∴ d MF .∴ AF ≤ d≤ CF .∵ AF =4，CF = 29 ，∴ 4≤d≤ 29. ----------------------------------------------------------------------------------5分② -2 3≤t ≤2 3 1.------------------------------------------------------------------------8分3.（ 1）① 3 ．⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 1 分② 0≤LQ≤3．⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 2 分y3x+3A，点 B，可得A(33,0) ，3（ 2）直与 x ， y 的交点分点B(0,3) ．∴ OA 3 3 ，OB 3，OAB 30 ．由 0≤LQ≤ 3 ，作直y3x ．①如，当⊙ D 与 x 相切，相的心D1 足意，其横坐取到最大．作D1E1x于点E1，可得D 1E1D 1E 1 AE 1∥ OB ， BOAO ．∵ ⊙D 的半径1，∴ D 1E 1 1 ．∴ AE 13 ， OE 1 OA AE 1 2 3 ．∴xD 12 3 ．②如，当⊙ D 与直 y3x相切，相的心 D2足意，其横坐取到最小．作D 2E 2x于点E2，D 2E2⊥ OA ．y3直yx+33x与直3的交点 F ．可得AOF60 ，OF ⊥ AB ．AFOA cos OAF3 33 922 ．∵ ⊙D 的半径 1，∴ D 2 F 1．AD 2AF7∴ D 2 F．2∴AE2AD 2 cos OAF73 7 3 224 ，OE 2OA5 3AE 24 ．x D5 3∴ 24 ．5 3由①②可得，xD的取范是4≤xD≤ 2 3 ．⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 5 分（ 3）画．2．⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯7 分。

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新定义问题
1. 定义[x ]为不超过x 的最大整数，如[3.6]＝3，[0.6]＝0，[－3.6]＝－4.对于任意实数x ，下列式子中错误的是( )
A. [x ]＝x (x 为整数)
B. 0≤x －[x ]<1
C. [x ＋y ]≤[x ]＋[y ]
D. [n ＋x ]＝n ＋[x ](n 为整数)
2.对于两个不相等的实数a ，b ，我们规定符号max{a ，b }表示a ，b 中较大的数，如：max{2，4}＝4.按照这个规定，方程max{x ，－x }＝2x ＋1x
的解为( )
A. 1－ 2
B. 2－ 2
C. 1－2或1＋ 2
D. 1＋2或－1
3.定义运算：a ⊗b ＝a (1－b )．下面给出了关于这种运算的几种结论：①2⊗(－2)＝6；②a ⊗b ＝b ⊗a ；③(a ⊗a )＋(b ⊗b )＝2ab ；④若a ⊗b ＝0，则a ＝0或b ＝1.其中结论正确的序号是( )
A. ①④
B. ①③
C. ②③④
D. ①②④
4. 对于实数m ，n ，定义一种运算“※”：m ※n ＝m 2－mn －3.下列说法错误的是( )
A. 0※1＝－3
B. 方程x ※2＝0的根为x 1＝－1，x 2＝3
C. 不等式组⎩⎪⎨⎪⎧1※t ＜0
（－3）※t ＜0
无解
D. 函数y ＝x ※(－2)的顶点坐标是(1，－4)
5. 用“♥”定义一种新运算．对于任意实数m ，n 和抛物线y ＝ax 2，
当y ＝ax 2♥(m ，n )后都可以得到y ＝a (x －m )2＋
n .当y ＝2x 2♥(3，4)后都可以得到y ＝2(x －3)2
＋4.函数y ＝x 2♥(1，n )得到的函数如图所示，n
＝________．第5题图
6. 4个数a ，b ，c ，d 排列成⎪⎪⎪⎪⎪
⎪⎪
⎪a b c d ，我们称之为二阶行列式．规定它的运算法则为：⎪
⎪⎪⎪⎪⎪⎪
⎪a b c d ＝ad －bc ，若⎪
⎪⎪
⎪⎪
⎪⎪
⎪x ＋3 x －3x －3 x ＋3＝12，则x ＝________．
7. 新定义[a ，b ]为一次函数y ＝ax ＋b (其中a ≠0，且a ，b 为实数)的“关联数”．若“关联数”[3，m ＋2]所对应的一次函数是正比例函数，则关于x 的方程1x －1＋1
m ＝1的解为________．
8. 对非负实数x “四舍五入”到个位的值记为
x ，即当n 为非
负整数．．时，若n －12≤x <n ＋1
2
，则x n =，如0.460,3.674==
给出下列关于x 的结论： ①1.4931=； ②22x x =； ③若
1
142
x -=，则实数x 的取值范围是9≤x <11; ④当x ≥0，m 为非负整数时，有20132013m x m x +=+；
⑤x y x y +=+．
其中，正确的结论有________(填写所有正确的序号)． 9.如果关于x 的一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0有两个实数根，且其中一个根为另一个根的2倍，则称这样的方程为“倍根方程”. 以下关
于倍根方程的说法，正确的是________．(写出所有正确说法的序号)
①方程x 2－x －2＝0是倍根方程；
②若(x －2)(mx ＋n )＝0是倍根方程，则4m 2＋5mn ＋n 2＝0； ③若点(p ，q )在反比例函数y ＝2
x
的图象上，则关于x 的方程px 2
＋3x ＋q ＝0是倍根方程；
④若方程ax 2＋bx ＋c ＝0是倍根方程，且相异两点M (1＋t ，s )，
N (4－t ，s )都在抛物线y ＝ax 2＋bx ＋c 上，则方程ax 2＋bx ＋c ＝0的
一个根为5
4
.
10.在直角坐标系xOy 中，对于点P (x ，y )和Q (x ，y ′)，给出如下定
义：若y ′＝⎩⎪⎨⎪⎧y （x ≥0）
－y （x <0）
，则称点Q 为点P 的“可控变点”．
例如：点(1，2)的“可控变点”为点(1，2)，点(－1，3)的“可控变点”为点(－1，－3)．
(1)若点(－1，－2)是一次函数y ＝x ＋3图象上点M 的“可控变点”，则点M 的坐标为________．
(2)若点P 在函数y ＝－x 2＋16(－5≤x ≤a )的图象上，其“可控变点”
Q 的纵坐标y ′的取值范围是－16≤y ′≤16，则实数a 的取值范围是
________．【答案】
专题四新定义问题
1. C 【解析】对于A 选项，取x ＝2，[2]＝2，成立；对于B 选项，取x ＝3.5，3.5－[3.5]＝3.5－3＝0.5<1，成立；对于C 选项，x ＝
2.5，y ＝
3.5，则[x ＋y ]＝[6]＝6，[x ]＋[y ]＝2＋3＝5，6＞5，故选项C 错误；对于D 选项，n ＝2，x ＝3.5, [2＋3.5]＝[5.5]＝5，2＋[3.5]＝2＋3＝5，成立．故答案选择C.
2. D 【解析】分类讨论：(1)当x ＞－x ，即x ＞0时，max{x ，－x }＝x ，即x ＝2x ＋1
x
，∴x 2－2x －1＝0，解得x 1＝1－2＜0(舍去)，x 2
＝1＋2；(2)当x ＜－x ，即x ＜0时，max{x ，－x }＝－x ，即－x ＝2x ＋1x
，
∴x 2＋2x ＋1＝0，解得x 1＝x 2＝－1＜0，符合题意．综上所述，符合题意的方程的解是1＋2或－1. 3. A 【解析】
合题意；B. 方程x ※2＝0即为x 2－2x －3＝0，解得x 1＝－1，x 2＝3，
正确，故本选项不符合题意；C.不等式组⎩⎪⎨⎪⎧1※t ＜0（－3）※t ＜0即为
⎩⎪⎨⎪⎧1－t －3＜09＋3t －3＜0，即⎩
⎪⎨⎪⎧t ＞－2
t ＜－2无解，正确，故本选项不符合题意；D. 函
数y ＝x ※(－2)即为y ＝x 2＋2x －3＝(x ＋1)2－4，顶点坐标为(－1，－4)，错误，故本选项符合题意．
5. 2 【解析】根据题意得y ＝x 2♥(1，n )是函数y ＝(x －1)2＋n ；由图象得此函数的顶点坐标为(1，2)，∴此函数的解析式为y ＝(x －1)2＋2.∴n ＝2.
6. 1 【解析】根据新定义规定的算法：⎪
⎪⎪⎪⎪
⎪⎪
⎪x ＋3 x －3x －3 x ＋3＝12，即(x ＋3)2－(x －3)2＝12，整理得12x ＝12，解得x ＝1.
7. x ＝53 【解析】根据“关联数”[3，m ＋2]所对应的一次函数是正
比例函数，得到y ＝3x ＋m ＋2为正比例函数，即m ＋2＝0，解得m ＝－2，则分式方程为1x －1－1
2＝1，去分母得：2－(x －1)＝2(x －1)，
去括号得：2－x ＋1＝2x －2，解得x ＝53，经检验x ＝5
3是分式方程的
解．
8. ①③④ 【解析】
9. ②③【解析】
10. (－1，2)；－5≤a≤4 2 【解析】(1)根据“可控变点”定义知它们的横坐标不变，∴M点的横坐标为－1.当横坐标为负数时，它们的纵坐标互为相反数．∴M(－1，2)；(2)当P点的横坐标为负数时，其纵坐标的取值范围是－9≤y<16，则其“可控变点”的纵坐标为－16<y′≤9，符合－16≤y′≤16这一条件．当P点横坐标为非负数时，y′＝y，因此只要y＝－x2＋16≥－16，即0≤x≤42，∴－5≤a≤4 2.。