初高中数学衔接 第1课 数与式的运算 1
初高中知识衔接数与式的运算
初高中知识衔接数与式的运算知识要点：1．分母（子）有理化：使之有理.2．0)a ≥叫做二次根式，其性质如下：(1) 2(0)a a =≥a ==,0,,0.a a a a ≥⎧⎨-<⎩(3)0,0)a b =≥≥0,0)a b =>≥3．绝对值的代数意义： ,0,||0,0,,0.a a a a a a >⎧⎪==⎨⎪-<⎩4.绝对值的几何意义：一个数的绝对值，是数轴上表示它的点到原点的距离． 两个数的差的绝对值的几何意义：b a -表示在数轴上，数a 和数之间的距离．5、我们在初中已经学习过了下列一些乘法公式：（1）平方差公式 22()()a b a b a b +-=-；（2）完全平方公式 222()2a b a ab b ±=±+．（3）立方和公式 2233()()a b a ab b a b +-+=+；（4）立方差公式 2233()()a b a ab b a b -++=-；（5）三数和平方公式 2222()2()a b c a b c ab bc ac ++=+++++；（6）两数和立方公式 33223()33a b a a b ab b +=+++；（7）两数差立方公式 33223()33a b a a b ab b -=-+-． 类型一 有理化例一 (3．例二 已知x y ==22353x xy y -+的值 ．例三 试比较下列各组数的大小：（1； （2.类型二 根式的计算例四 化简 （10)x <． （2）20042005+⋅．（3 （41)x <<．(5) 已知的值．试求ab abb ba a ab ++>,0(6)|x ＋1|＋|x －3|＝6，x ＝_______． 求|x －1|＋|x －2|的最小值．类型三 乘法公式的应用例五 计算：).1)(1)(1)(1)(4(;))(2)(3();41101251)(2151)(2();416)(4)(1(2222222222+++--++-++++-+-+x x x x x x y xy x y xy x n mn m n m m m m例六 (1) 已知.1,1,314422的值求a a a a a a ++=+（2）已知 .1,013332的值求x x x x +=+-(3)已知4a b c ++=，4ab bc ac ++=，求222a b c ++的值．（4）已知.的值ac bc ab c b a 求代数式21.201c 19,201b 20,201a 222---+++=+=+=x x x。
新高一数学暑期衔接讲义第一讲数与式的运算(选上)(学生版)
第一讲数与式的运算在初中，我们已学习了实数，知道字母能够表示数用代数式也能够表示数，我们把实数和代数式简称为数与式．代数式中有整式（多项式、单项式）、分式、根式．它们拥有实数的属性，能够进行运算．在多项式的乘法运算中，我们学习了乘法公式（平方差公式与完整平方公式），而且知道乘法公式能够使多项式的运算简易．因为在高中学习中还会碰到更复杂的多项式乘法运算，所以本节中将拓展乘法公式的内容，增补三个数和的完整平方公式、立方和、立方差公式．在根式的运算中，我们已学过被开方数是实数的根式运算，而在高中数学学习中，常常会接触到被开方数是字母的情况，但在初中却没有波及，所以本节中要增补．鉴于相同的原由，还要增补“繁分式”等相关内容．一、乘法公式【公式 1】( a b c) 2a2b2c22ab 2bc2ca证明： (a b c) 2[( a b)c] 2(a b) 22(a b)c c 2a 22ab b 22ac2bc c2 a 2 b 2c22ab2bc2ca等式建立【例 1】计算：( x22x 1 )23解：原式 = [ x2(2x) 1 ]23( x 2 ) 2(2x) 2( 1)22x2 (2) x2x 2121( 2x)333x4 2 2x38 x2 2 2 x1339说明：多项式乘法的结果一般是按某个字母的降幂或升幂摆列．【公式 2】( a b)(a 2ab b 2 )a3 b 3(立方和公式)证明 : (a b)(a2ab b2 ) a 3 a 2b ab2 a 2b ab 2b3 a 3b3说明 :请同学用文字语言表述公式 2.【例 2】计算：(a b)(a2ab b2 )解：原式 = [a(b)][ a2a(b)(b) 2 ]a3( b) 3 a 3b3我们获得：【公式 3】( a b)(a 2ab b 2 )a3b3(立方差公式)请同学察看立方和、立方差公式的差别与联系，公式1、 2、3 均称为乘法公式．【例 3】计算：（ 1）（ 3）(4)(16 4m m 2 ) （2） ( 11 1 m 211 2)mmn)(25mn4n5210( a 2)( a 2)( a 4 4216) （4） ( x 2 2 xy y 2 )( x 22)2axy y解：（ 1）原式 =（ 2）原式 = （ 3）原式 =（ 4）原式 =明：（ 1）在 行代数式的乘法、除法运算 ，要 察代数式的 构能否 足乘法公式的 构．（ 2） 了更好地使用乘法公式， 住 1、2、3、4、⋯、20 的平方数和 1、2、3、4、⋯、 10 的立方数，是特别有好 的．【例 4】已知 x23x1 0 ，求 x31 的 ．x 31解： x 23x1 0 x 0x3x原式 = ( x1)( x211 ) (x1)[( x 1 ) 2 3] 3(323) 18xx2x x明：本 若先从方程 x 23 x 1 0 中解出 x 的 后，再代入代数式求 ， 算 ． 本是依据条件式与求 式的 系，用整体代 的方法 算， 化了 算． 注意整体代 法．本 的解法，体 了“正 反”的解 策略，依据 求利用 知，是理智之 ．【例 5】已知 a b c0 ，求1 1 1 1 1 1 a(c) b(a) c() 的 ．bcab解：原式 =①②把②代入①得原式 =明：注意字母的整体代 技巧的 用． 引申：同学能够探究并 明：a 3b 3c 3 3abc (a b c)(a 2 b 2 c 2 ab bc ca)二、根式式子a (a 0) 叫做二次根式，其性 以下：(1) ( a )2 a(a 0)(2) a 2 | a |(3)abab(a 0,b 0)(4)b b(a 0,b 0)aa【例 6】化简以下各式：(1) ( 3 2)2(3 1)2(2) (1 x)2(2 x) 2 ( x 1)解：(1) 原式 =(2)原式 =说明：请注意性质a2| a | 的使用：当化去绝对值符号但字母的范围未知时，要对字母的取值分类议论．【例 7】计算(没有特别说明，本节中出现的字母均为正数)：(1)33(2)11(3) 2xx38x2a b2解：(1)原式 =(2)原式 =(3)原式 =说明： (1) 二次根式的化简结果应知足：①被开方数的因数是整数，因式是整式；②被开方数不含能开得尽方的因数或因式．(2)二次根式的化简常有种类有以下两种：①被开方数是整数或整式．化简时，先将它分解因数或因式，而后把开得尽方的因数或因式开出来；②分母中有根式 ( 如3(如)或被开方数有分母23x)．这时可将其化为a形式 (如x可化为x) ，转变为“分母中有根式”的状况．化简时，2b22要把分母中的根式化为有理式，采纳分子、分母同乘以一个根式进行化简．(如3化为32 3(23)，此中23 与 2 3 叫做互为有理化因式)．(23)(23)【例 8】计算：(1) (ab 1)(1a b )( a b )2(2)a aa ab aab解：(1)原式 =(2)原式 =说明：有理数的的运算法例都合用于加法、乘法的运算律以及多项式的乘法公式、分式二次根式的运算．【例 9】设 x2 3 , y 2 3 ，求 x 3y 3 的值．2 3 23解：原式 =说明 ：相关代数式的求值问题： (1) 先化简后求值； (2) 当直接代入运算较复杂时，可依据结论的构造特色，倒推几步，再代入条件，有时整体代入可简化计算量．三、分式当分式 A 的分子、 分母中起码有一个是分式时，A就叫做繁分式， 繁分式的化简常用以下两BB种方法： (1) 利用除法法例； (2) 利用分式的基天性质． 【例 10】化简xx1 xx解法一 ：原式 =解法一 ：原式 =1x说明：解法一的运算方法是从最内部的分式下手，采纳通分的方式逐渐脱掉繁分式，解法二则是利用分式的基天性质A Am进行化简．一般依据题目特色综合使用两种方法．BB m【例 11】化简x 23x 96x x 1 x 2279x x 26 2x解：原式 =说明 ：(1) 分式的乘除运算一般化为乘法进行，当分子、分母为多项式时，应先因式分解再进行约分化简； (2) 分式的计算结果应是最简分式或整式．练 习A 组1．二次根式a 2a 建立的条件是 ()A ． aB ． aC ． a 0D ． a 是随意实数2．若 x3 ，则 9 6xx 2 | x6 |的值是 ()A ．－３B ．３C ．－９D ．９3．计算：4z)21 b) 2(1) ( x 3 y(2)(2a (a b)( a 2b)(3)(a b)(a2ab b 2) (ab)2(4) (a4b)( 1a 24b 2 ab)4．化简 ( 以下 a 的取值范围均使根式存心义4)：(1)8a 3(2)a1a(3)4ab(4)1 12a b ba232315．化简：(1)m 9m 10m m 2m 21(2)2x 2 yx y ( x y 0)325mx 2x 2 yB 组1 1 3x xy 3 y 1．若y2 ，则xyyxx的值为 ()：A ．33C ．5 55B ．3D ．532．计算：(1) (abc )( abc )(2) 11 1()233．设 x1 , y 1 ，求代数式 x 2xy y 2 的值．3 23 2x y4．当 3a 2ab20(a0,b 0) ，求a ba 2b 22bba的值．ab5．设 x 、 y 为实数，且 xy3 ，求 x yyx的值．xy6．已知a1x20,b1x19, c1x21 ，求代数式 a2b2c2ab bc ac 的值．2020207．设x51，求 x4x22x1的值．28．睁开(x2)49．计算(x 1)(x2)( x3)( x4)10．计算( x y z)(x y z)( x y z)( x y z)11．化简或计算：(1)(184113)3223 (2)222(25) 212 35(3)x x x y x xy y xy y2x x y y(4)(a b ab(a b a b a)ab b ab a)b ab第一讲习题答案A 组1． C2． A3． (1)x29 y216z26xy8xz 24 yz(2)3a25ab 3b24a 2b 1(3)3a2b3ab2(4)1 a316b344．2a2a a2( a b )2a b 12 5．m m 2 xyB 组1． D 2．a c b 2 ac ,3 2 2 33．13 36 4．3,25． 2 36．37．35 8．x48x324x232 x 169．x410x335x250 x2410．x4y4z42x2 y22x2 z2 2 y2 z211．3,4 3x ya ,y, b3。
高中数学初高中知识衔接课件a必修1a高一必修1数学课件
所以
k
12
4
1 4
k
2
1
2k
3
0,
1 4
k
2
1
5
解得 k=4,即当 k=4 时,方程的两实根的积为 5.
第十七页，共二十五页。
(2)方程(fāngchéng)的两实根x1,x2满足|x1|=x2.
解:(2)由|x1|=x2 知: ①当 x1≥0 时,x1=x2,所以方程有两相等实数根, 故Δ=0 k= 3 ;
第二十一页，共二十五页。
17.当 t≤x≤t+1 时,求函数 y= 1 x2-x- 5 的最小值(其中 t 为常数).
2
2
解:函数 y= 1 x2-x- 5 的对称轴为 x=1.
2
2
(1) 当对称轴在所给范围左侧.即 t>1 时,当 x=t 时,
ymin= 1 t2-t- 5 ;
2
2
(2)当对称轴在所给范围之间.即 t≤1≤t+1 0≤t≤1 时:
15.解不等式 1 ≤3. x2
解:原不等式可化为 1 -3≤0 x2
3x 5 ≤0 x2
3x 5 ≥0 x2
3x 5 x 2 0
x 2 0
x<-2 或 x≥- 5 . 3
第二十页，共二十五页。
16.当-2≤x≤2时,求函数y=x2-2x-3的最大值和最小值. 解:作出函数的图象(tú xiànɡ).由图可知,当x=1时,ymin=-4, 当x=-2时,ymax=5.
x x
m 0, n0
或
x
x
m 0, n 0.
解得
x>m
或
x<n.
(2)不等式(x-
2020初高中数学章节知识讲解《1.1数与式的运算》+练习+答案
1.1 数与式的运算 1.1.1 绝对值 1.1.2 乘法公式 1.1.3 二次根式 1.1.４ 分式1.1 数与式的运算1.１.1．绝对值绝对值的代数意义：正数的绝对值是它的本身，负数的绝对值是它的相反数，零的绝对值仍是零．即,0,||0,0,,0.a a a a a a >⎧⎪==⎨⎪-<⎩绝对值的几何意义：一个数的绝对值，是数轴上表示它的点到原点的距离． 两个数的差的绝对值的几何意义：b a -表示在数轴上，数a 和数b 之间的距离． 例1 解不等式：13x x -+-＞4．解法一：由01=-x ，得1=x ；由30x -=，得3x =； ①若1<x ，不等式可变为(1)(3)4x x ---->， 即24x -+＞4，解得x ＜0， 又x ＜1， ①x ＜0；①若12x ≤<，不等式可变为(1)(3)4x x --->， 即1＞4，①不存在满足条件的x ；①若3x ≥，不等式可变为(1)(3)4x x -+->， 即24x -＞4， 解得x ＞4． 又x ≥3，①x ＞4．综上所述，原不等式的解为 x ＜0，或x ＞4．解法二：如图1．1－1，1-x 表示x 轴上坐标为x 的点P 到坐标为1的点A 之间的距离|P A |，即|P A |＝|x －1|；|x －3|表示x 轴上点P 到坐标为2的点B 之间的距离|PB |，即|PB |＝|x －3|．所以，不等式13x x -+-＞4的几何意义即为 |P A |＋|PB |＞4．由|AB |＝2，可知点P 在点C (坐标为0)的左侧、或点P 在点D (坐标为4)的右侧．x ＜0，或x ＞4．练 习 1．填空：（1）若5=x ，则x =_________；若4-=x ，则x =_________.（2）如果5=+b a ，且1-=a ，则b ＝________；若21=-c ，则c ＝________. 13A B x0 4C D xP |x －1||x －3| 图1．1－12．选择题：下列叙述正确的是 （ ）（A ）若a b =，则a b = （B ）若a b >，则a b > （C ）若a b <，则a b < （D ）若a b =，则a b =± 3．化简：|x －5|－|2x －13|（x ＞5）．1.1.2. 乘法公式我们在初中已经学习过了下列一些乘法公式：（1）平方差公式 22()()a b a b a b +-=-； （2）完全平方公式 222()2a b a ab b ±=±+． 我们还可以通过证明得到下列一些乘法公式：（1）立方和公式 2233()()a b a ab b a b +-+=+； （2）立方差公式 2233()()a b a ab b a b -++=-；（3）三数和平方公式 2222()2()a b c a b c ab bc ac ++=+++++； （4）两数和立方公式 33223()33a b a a b ab b +=+++； （5）两数差立方公式 33223()33a b a a b ab b -=-+-． 对上面列出的五个公式，有兴趣的同学可以自己去证明． 例1 计算：22(1)(1)(1)(1)x x x x x x +--+++．解法一：原式=2222(1)(1)x x x ⎡⎤-+-⎣⎦=242(1)(1)x x x -++=61x -．解法二：原式=22(1)(1)(1)(1)x x x x x x +-+-++ =33(1)(1)x x +-=61x -．例2 已知4a b c ++=，4ab bc ac ++=，求222a b c ++的值． 解： 2222()2()8a b c a b c ab bc ac ++=++-++=．练 习 1．填空：（1）221111()9423a b b a -=+（ ）； （2）(4m + 22)164(m m =++ )；（3）2222(2)4(a b c a b c +-=+++ )．2．选择题：（1）若212x mx k ++是一个完全平方式，则k 等于 （ ） （A ）2m （B ）214m （C ）213m （D ）2116m（2）不论a ，b 为何实数，22248a b a b +--+的值 （ ）（A ）总是正数 （B ）总是负数（C ）可以是零 （D ）可以是正数也可以是负数1.1.3．二次根式0)a ≥的代数式叫做二次根式．根号下含有字母、且不能够开得尽方的式子称为无理式. 例如32a b21x +，22x y ++理式．1．分母（子）有理化把分母（子）中的根号化去，叫做分母（子）有理化．为了进行分母（子）有理化，需要引入有理化因式的概念．两个含有二次根式的代数式相乘，如果它们的积不含有二次根式，我们就说这两个代数式互为有理化因式，等等． 一般地，b与b 互为有理化因式．分母有理化的方法是分母和分子都乘以分母的有理化因式，化去分母中的根号的过程；而分子有理化则是分母和分子都乘以分母的有理化因式，化去分子中的根号的过程在二次根式的化简与运算过程中，二次根式的乘法可参照多项式乘法进行，运算中要运用公式0,0)a b =≥≥；而对于二次根式的除法，通常先写成分式的形式，然后通过分母有理化进行运算；二次根式的加减法与多项式的加减法类似，应在化简的基础上去括号与合并同类二次根式．2a ==,0,,0.a a a a ≥⎧⎨-<⎩例1 将下列式子化为最简二次根式：（1（20)a ≥； （30)x <． 解： （1=（20)a ==≥； （3220)x x x ==-<．例2(3．解法一：(3＝12．解法二：(3-＝12+． 例3 试比较下列各组数的大小：（1（2和 解： （1）1===，1===，>，（2）①1=== 又 4＞22，①6＋4＞6＋22，.例4 化简：20042005⋅-．解：20042005+⋅＝20042004+⋅-⋅-＝2004⎡⎤+⋅-⋅-⎣⎦＝20041⋅-例 5 化简：（1 （21)x <<．解：（1）原式===2=-2=．（2）原式1x x =-，①01x <<， ①11x x>>， 所以，原式＝1x x-．例 6 已知x y ==22353x xy y -+的值 ．解： ①2210x y +==+=，1xy ==， ①22223533()1131011289x xy y x y xy -+=+-=⨯-=．练 习 1．填空：（1＝__ ___；（2(x =-x 的取值范围是_ _ ___；（3）=__ ___；（4）若2x ==______ __． 2．选择题：=（ ） （A ）2x ≠ （B ）0x > （C ）2x > （D ）02x <<3．若b =，求a b +的值．4．比较大小：2－4（填“＞”，或“＜”）．1.1.４．分式1．分式的意义形如A B 的式子，若B 中含有字母，且0B ≠，则称A B 为分式．当M ≠0时，分式A B具有下列性质：A A MB B M ⨯=⨯； A A M B B M÷=÷． 上述性质被称为分式的基本性质．2．繁分式像ab c d+，2m n pm n p +++这样，分子或分母中又含有分式的分式叫做繁分式．例1 若54(2)2x A Bx x x x +=+++，求常数,A B 的值．解： ①(2)()2542(2)(2)(2)A B A x Bx A B x A x x x x x x x x x ++++++===++++，①5,24,A B A +=⎧⎨=⎩解得 2,3A B ==．例2 （1）试证：111(1)1n n n n =-++（其中n 是正整数）；（2）计算：1111223910+++⨯⨯⨯； （3）证明：对任意大于1的正整数n ， 有11112334(1)2n n +++<⨯⨯+． （1）证明：①11(1)11(1)(1)n n n n n n n n +--==+++，①111(1)1n n n n =-++（其中n 是正整数）成立．（2）解：由（1）可知1111223910+++⨯⨯⨯ 11111(1)()()223910=-+-++-1110=-＝910．（3）证明：①1112334(1)n n +++⨯⨯+ ＝111111()()()23341n n -+-++-+＝1121n -+，又n ≥2，且n 是正整数，①1n ＋1一定为正数，①1112334(1)n n +++⨯⨯+＜12 ． 例3 设ce a=，且e ＞1，2c 2－5ac ＋2a 2＝0，求e 的值．解：在2c 2－5ac ＋2a 2＝0两边同除以a 2，得 2e 2－5e ＋2＝0，①(2e －1)(e －2)＝0，①e ＝12 ＜1，舍去；或e ＝2． ①e ＝2．练 习1．填空题：对任意的正整数n ，1(2)n n =+ (112n n -+)；2．选择题：若223x y x y -=+，则xy ＝ （ ）（A ）１ （B ）54 （C ）45 （D ）653．正数,x y 满足222x y xy -=，求x y x y-+的值．4．计算1111 (12233499100)++++⨯⨯⨯⨯．习题1．1A 组1．解不等式：(1) 13x ->； (2) 327x x ++-< ； (3) 116x x -++>．２．已知1x y +=，求333x y xy ++的值． 3．填空：（1）1819(2(2+-＝________；（22=，则a 的取值范围是________； （3=________．B 组1．填空：（1）12a =，13b =，则2223352a ab a ab b -=+-____ ____； （2）若2220x xy y +-=，则22223x xy y x y++=+__ __；2．已知：11,23x y ==的值．C 组1．选择题：（1）=则 （ ） （A ）a b < （B ）a b > （C ）0a b << （D ）0b a <<（2）计算 （ ）（A （B （C ） （D ）2．解方程22112()3()10x x x x +-+-=．3．计算：1111132435911++++⨯⨯⨯⨯． 4．试证：对任意的正整数n ，有111123234(1)(2)n n n +++⨯⨯⨯⨯++＜14．1.1.1．绝对值1．（1）5±；4± （2）4±；1-或3 2．D 3．3x －181.1.2．乘法公式 1．（1）1132a b - （2）11,24 （3）424ab ac bc --2．（1）D （2）A1.1.3．二次根式1． （12 （2）35x ≤≤ （3）- （4． 2．C 3．1 4．＞1.1.4．分式1．12 2．B 3． 1- 4．99100习题1．1 A 组1．（1）2x <-或4x > （2）－4＜x ＜3 （3）x ＜－3，或x ＞32．1 3．（1）2-（2）11a -≤≤ （31B 组1．（1）37 （2）52，或－15 2．4．C 组1．（1）C （2）C 2．121,22x x == 3．36554．提示：1111[](1)(2)2(1)(1)(2)n n n n n n n =-+++++。
河南省郑州外国语学校初高中数学衔接知识分章节讲解：1.1 数与式的运算 1.1.2. 乘法公式 Word版含答案
1.1.2. 乘法公式我们在初中已经学习过了下列一些乘法公式：（1）平方差公式 22()()a b a b a b +-=-；（2）完全平方公式 222()2a b a a b b ±=±+．我们还可以通过证明得到下列一些乘法公式：（1）立方和公式 2233()()a b a a b b a b +-+=+；（2）立方差公式 2233()()a b a a b b a b -++=-；（3）三数和平方公式 2222()2()a b c a b c ab bc ac ++=+++++；（4）两数和立方公式 3322()33a b a a b a b b +=+++；（5）两数差立方公式 33223()33a b a a b ab b -=-+-．对上面列出的五个公式，有兴趣的同学可以自己去证明．例1 计算：22(1)(1)(1)(1)x x x x x x +--+++．解法一：原式=2222(1)(1)x x x ⎡⎤-+-⎣⎦=242(1)(1)x x x -++=61x -．解法二：原式=22(1)(1)(1)(1)x x x x x x +-+-++=33(1)(1)x x +-=61x -．例2 已知4a b c ++=，4ab bc ac ++=，求222a b c ++的值．解： 2222()2()8a b c a b c ab bc ac ++=++-++=．练 习1．填空：（1）221111()9423a b b a -=+（ ）；（2）(4m + 22)164(m m =++ )；（3）2222(2)4(a b c a b c +-=+++ )．2．选择题：（1）若212x mx k ++是一个完全平方式，则k 等于 （ ）（A ）2m （B ）214m （C ）213m （D ）2116m （2）不论a ，b 为何实数，22248a b a b +--+的值 （ ）（A ）总是正数 （B ）总是负数（C ）可以是零 （D ）可以是正数也可以是负数1.1.2．乘法公式1．（1）1132a b-（2）11,24（3）424ab ac bc--2．（1）D （2）A。
2021_2022学年高中数学初升高衔接课课件新人教A版必修1
(4)由于该方程的根的判别式为 Δ＝22－4×1×a＝4－4a＝4(1－a)， 所以①当Δ>0，即4(1－a)>0，即a<1时，方程有两个不相等的实 数根x1＝1＋ 1－a，x2＝1－ 1－a. ②当Δ＝0，即a＝1时，方程有两个相等的实数根x1＝x2＝1； ③当Δ<0，即a>1时，方程没有实数根．
(2)由图③，得x2＋4x－12＝(x－2)(x＋6)． (3)由图④，得x2－(a＋b)xy＋aby2＝(x－ay)(x－by)．
(4)xy－1＋x－y＝xy＋(x－y)－1 ＝(x－1)(y＋1)(如图⑤所示)．
第二部分 一元一次方程与一元二次方程 ●知识点1 一元一次方程 (1)定义：在一个方程中，只含有一个未知数，并且未知数的次 数是1，这样的方程叫一元一次方程． (2)解一元一次方程的步骤：去分母，去括号，移项，合并同类 项，未知数系数化为1.
[解] 根据题意，得a－2－a1＋＝10≠，0， 解得a＝1， 则方程变为－2x＋8＝0，解得x＝4， 原式＝2 008(1＋4)(4－2)＋3＋5＝20 088.
2．解下列一元一次方程： (1)－3x＋7＝4x＋21；(2)x＋5 4－1＝x－2 2＋x.
[解] (1)移项得－3x－4x＝21－7， 合并得：－7x＝14，系数化为1得：x＝－2. (2)去分母得：2(x＋4)－10＝5(x－2)＋10x， 去括号得：2x＋8－10＝5x－10＋10x， 移项得：2x－15x＝－8，合并同类项得：－13x＝－8， 系数化为1得：x＝183.
(5)三数和平方公式：(a＋b＋c)2＝a2＋b2＋c2＋2ab＋2ac＋2bc. (6)完全立方公式：(a±b)3＝a3±3a2b＋3ab2±b3. (7)a3＋b3＝(a＋b)(a2－ab＋b2)． (8)a3－b3＝(a－b)(a2＋ab＋b2)．
高一暑假班课程讲义-初高中衔接-数与式的运算-学生版
（C） a b 0
（2）计算 a 1 等于 a
（A） a
（B） a
2．解方程
2( x 2
1 x2
)
3(x
1) x
1
0
．
（C） a
（）
（D） b a 0
（）
（D） a
3．计算： 1 1 1 1 ．
13 2 4 35
9 11
1 4．试证：对任意的正整数 n，有 1 2 3
2）下列叙述正确的是
（A）若 a b ，则 a b
（B）若 a b ，则 a b
（）
（C）若 a b ，则 a b
（D）若 a b ，则 a b
3）化简：|x－5|－|2x－13|．
例 2、计算： (x 1)(x 1)(x2 x 1)(x2 x 1) ．
（2）若 (1 a)2 (1 a)2 2 ，则 a 的取值范围是________； （3） 1 1 1 1 1 ________．
1 2 2 3 3 4 4 5 5 6
B组
1．填空：
（1） a
1 2
，b
1
3a2 ab
，则
3 3a2 5ab 2b2
初高中衔接-数与式的运算
教学内容
【知识精讲】
一、绝对值
1、绝对值的代数意义：正数的绝对值是它的本身，负数的绝对值是它的相反数，零的绝对值仍是零．即
a, a 0, | a | 0, a 0,
a, a 0.
2、绝对值的几何意义：一个数的绝对值，是数轴上表示它的点到原点的距离．
3、两个数的差的绝对值的几何意义： a b 表示在数轴上，数 a 和数 b 之间的距离．
初高中数学衔接知识1数与式
在进行代数式 运算时，要观察代 数式的结构是否满 足乘法公式的结 构．
解 : 原式= (a2 4)(a4 4a2 42 ) (a2 )3 43 a6 64.
(4) ( x2 2xy y2 )( x2 xy y2 )2
解 : 原式= ( x y)2( x2 xy y2 )2 [( x y)( x2 xy y2 )]2 ( x3 y3 )2 x6 2x3 y3 y6 .
2019年11月25日星期一
四、分式
2019年11月25日星期一
四、分式
解
: 原式
(x
x2 3x 3)( x2
9 3x
9)
6x x(9 x2)
x1 2(3 x)
1
6
x1
x 3 ( x 3)( x 3) 2( x 3)
2( x 3) 12 ( x 1)( x 3) 2( x 3)( x 3)
【例1】计算 ( x2 2 x 1 )2 3
解 : 原式 [ x2 ( 2x) 1]2
3
( x2 )2 ( 2x)2 (1)2 2x2( 2)x 2x2 1 2 1 ( 2x)
3
33
x4 2
2x3 8 x2 2
2
x
1 .
2019年11月25日星期一
三、根式
解 : (1)原式= 3(2 3) (2 3)(2
3)
3(2 3) 22 3
6 3
3,
(2)原式= a b
a2b ab2 .
ab
ab
1,初高中数学衔接知识(数与式)
(a b c)(a2 b2 c2 ab bc ca)
当堂训练：7分钟
(x 3y 4z)2
(a b)(a2 ab b2 ) (a b)2
学习目标（1分钟）
1.复习平方差，完全平方公式. 2.理解并掌握三个数和的完全平方公式、 3.理解并掌握完全立方公式、立方和、立方差公式
自学指导一：（8分钟）
【公式1】平方差公式 a2 b2 (a b)(a b) 【公式2】完全平方公式 (a b)2 a2 2ab b2 【公式3】完全立方公式 (a b)3 a3 3a2b 3ab2 b3
x
1
(a3
0, 求x3
b3) c
3 x313ab的c 值.
(a b)(xa20ab b2) xc3 1 3ab3c
x
(a (a (a
bbb)))3[(原a(a2(式3xab2=b)a((12xabx)[3(bbax1x)2b)](c1xx33ca2)23b)31a33bac]cb3x1c23)3(3a2bc
(4) ( x2 2xy y2 )( x2 xy y2 )2
解 : 原式= ( x y)2( x2 xy y2 )2 [( x y)( x2 xy y2 )]2 ( x3 y3 )2 x6 2x3 y3 y6 .
自学检测2：（10分钟）
【例3】计算：已知x2 3
证解明: ：a3x2 b33xc3 13a0bc
3)
18.
请证明: a3 b3 c3 3abc (a b c)(a2 b2 c2 ab bc ca)
(a b)3 c3 3ab(a b c c) 3abc
(a b)3 c3 3ab(a b c) (a b c)[(a b)2 c(a b) c2 3ab]
初高中数学衔接知识点+配套练习
第一讲 数与式的运算在初中，我们已学习了实数，了解字母可以表示数用代数式也可以表示数，我们把实数和代数式简称为数与式．代数式中有整式〔多项式、单项式〕、分式、根式．它们具有实数的属性，可以进行运算．在多项式的乘法运算中，我们学习了乘法公式〔平方差公式与完全平方公式〕，并且了解乘法公式可以使多项式的运算简便．由于在高中学习中还会遇到更复杂的多项式乘法运算，因此本节中将拓展乘法公式的内容，补充三个数和的完全平方公式、立方和、立方差公式．在根式的运算中，我们已学过被开方数是实数的根式运算，而在高中数学学习中，经常会接触到被开方数是字母的情形，但在初中却没有涉及，因此本节中要补充．基于同样的原因，还要补充“繁分式〞等有关内容．一、乘法公式 【公式1】ca bc ab c b a c b a 222)(2222+++++=++证明：2222)(2)(])[()(c c b a b a c b a c b a ++++=++=++∴等式成立【例1】计算：22)312(+-x x解：原式=22]31)2([+-+x x说明：多项式乘法的结果一般是按某个字母的降幂或升幂排列． 【公式2】3322))((b a b ab a b a +=+-+(立方和公式)证明: 3332222322))((b a b ab b a ab b a a b ab a b a +=+-++-=+-+ 说明:请同学用文字言语表述公式2. 【例2】计算：))((22b ab a b a ++-解：原式=333322)(])()()][([b a b a b b a a b a -=-+=-+---+ 我们得到：【公式3】3322))((b a b ab a b a -=++-(立方差公式)请同学观察立方和、立方差公式的区别与联系，公式1、2、3均称为乘法公式． 【例3】计算：〔1〕)416)(4(2m m m +-+〔2〕)41101251)(2151(22n mn m n m ++-〔3〕)164)(2)(2(24++-+a a a a 〔4〕22222))(2(y xy x y xy x +-++ 解：〔1〕原式=333644m m +=+ 〔2〕原式=3333811251)21()51(n m n m -=-〔3〕原式=644)()44)(4(63322242-=-=++-a a a a a〔4〕原式=2222222)])([()()(y xy x y x y xy x y x +-+=+-+说明：〔1〕在进行代数式的乘法、除法运算时，要观察代数式的结构是否满足乘法公式的结构．〔2〕为了更好地使用乘法公式，记住1、2、3、4、…、20的平方数和1、2、3、4、…、10的立方数，是非常有好处的．【例4】0132=+-x x ，求331xx +的值． 解：0132=+-x x 0≠∴x 31=+∴xx原式=18)33(3]3)1)[(1()11)(1(2222=-=-++=+-+x x x x xx x x说明：此题假设先从方程0132=+-x x 中解出x 的值后，再代入代数式求值，则计算较烦琐．此题是依据条件式与求值式的联系，用整体代换的方法计算，简化了计算．请注意整体代换法．此题的解法，表达了“正难则反〞的解题策略，依据题求利用题知，是明智之举．【例5】0=++c b a ，求111111()()()a b c b c c a a b+++++的值． 解：b a c a c b c b a c b a -=+-=+-=+∴=++,,,0∴原式=abba c ac c ab bc c b a +⋅++⋅++⋅abcc b a ab c c ac b b bc a a 222)()()(++-=-+-+-= ①abc c b a 3333=++∴ ②，把②代入①得原式=33-=-abcabc说明：注意字母的整体代换技巧的应用． 引申：同学可以探求并证明：二、根式0)a ≥叫做二次根式，其性质如下：【例6】化简以下各式：(1)(2)1)x ≥解：(1) 原式=2|1|211-+==(2) 原式=(1)(2)2 3 (2)|1||2|(1)(2) 1 (1x 2)x x x x x x x x -+-=->⎧-+-=⎨---=≤≤⎩说明||a =的使用：当化去绝对值符号但字母的范围未知时，要对字母的取值分类商量．【例7】计算(没有特别说明，本节中出现的字母均为正数)：(1)(2)(3) -+解：(1) 原式6==-(2) 原式=(3) 原式==说明：(1)二次根式的化简结果应满足：①被开方数的因数是整数，因式是整式；②被开方数不含能开得尽方的因数或因式．(2)二次根式的化简常见类型有以下两种：①被开方数是整数或整式．化简时，先将它分解因数或因式，然后把开得尽方的因数或因式开出来；②分母中有根式()或被开方数有分母(．() ，转化为 “分母中有根式〞的情况．化简时，要把分母中的根式化为有理式，采取分子、分母同乘以一个根式进行化简．(2+2)．【例8】计算：(1) 21)(1++--(2)+解：(1) 原式=22(1()21a b a +--+=--+(2) 原式++说明：有理数的运算法则都适用于加法、乘法的运算律以及多项式的乘法公式、分式二次根式的运算．【例9】设x y ==33x y +的值．解：77 14,123x y x y xy ==+=-⇒+==-原式=2222()()()[()3]14(143)2702x y x xy y x y x y xy +-+=++-=-=说明：有关代数式的求值问题：(1)先化简后求值；(2)当直接代入运算较复杂时，可依据结论的结构特点，倒推几步，再代入条件，有时整体代入可简化计算量．三、分式当分式A B 的分子、分母中至少有一个是分式时，AB就叫做繁分式，繁分式的化简常用以下两种方法：(1) 利用除法法则；(2) 利用分式的根本性质．【例10】化简11xx x x x-+-解法一：原式=222(1)11(1)1(1)(1)11x x xx x xx x x x x x x x x x x x x x x x x x x++=====--⋅+-+-+++--+ 解法二：原式=22(1)1(1)(1)111()x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x++====-⋅-+--+++--⋅说明：解法一的运算方法是从最内部的分式入手，采取通分的方法逐渐脱掉繁分式，解法二则是利用分式的根本性质A A mB B m⨯=⨯进行化简．一般依据题目特点综合使用两种方法． 【例11】化简222396162279x x x x xx x x ++-+-+--解：原式=22239611612(3)3(3)(3)2(3)(3)(39)(9)x x x x x x x x x x x x x x x ++--+-=--+-+---++- 说明：(1) 分式的乘除运算一般化为乘法进行，当分子、分母为多项式时，应先因式分解再进行约分化简；(2) 分式的计算结果应是最简分式或整式．第二讲 因式分解因式分解是代数式的一种重要的恒等变形，它与整式乘法是相反方向的变形．在分式运算、解方程及各种恒等变形中起着重要的作用．是一种重要的根本技能．因式分解的方法较多，除了初中课本涉及到的提取公因式法和公式法(平方差公式和完全平方公式)外，还有公式法(立方和、立方差公式)、十字相乘法和分组分解法等等．一、公式法(立方和、立方差公式)在第一讲里，我们已经学习了乘法公式中的立方和、立方差公式：2233()()a b a ab b a b +-+=+ (立方和公式) 2233()()a b a ab b a b -++=- (立方差公式)由于因式分解与整式乘法正好是互为逆变形，所以把整式乘法公式反过来写，就得到： 这就是说，两个数的立方和(差)，等于这两个数的和(差)乘以它们的平方和与它们积的差(和)．运用这两个公式，可以把形式是立方和或立方差的多项式进行因式分解． 【例1】用立方和或立方差公式分解以下各多项式：(1) 38x +(2) 30.12527b -分析： (1)中，382=，(2)中3330.1250.5,27(3)b b ==． 解：(1) 333282(2)(42)x x x x x +=+=+-+(2) 333220.125270.5(3)(0.53)[0.50.53(3)]b b b b b -=-=-+⨯+说明：(1) 在运用立方和(差)公式分解因式时，经常要逆用幂的运算法则，如3338(2)a b ab =，这里逆用了法则()n n n ab a b =；(2) 在运用立方和(差)公式分解因式时，肯定要看准因式中各项的符号． 【例2】分解因式：(1) 34381a b b -(2) 76a ab -分析：(1) 中应先提取公因式再进一步分解；(2) 中提取公因式后，括号内出现66a b -，可看着是3232()()a b -或2323()()a b -．解：(1) 3433223813(27)3(3)(39)a b b b a b b a b a ab b -=-=-++．(2) 76663333()()()a ab a a b a a b a b -=-=+-二、分组分解法从前面可以看出，能够直接运用公式法分解的多项式，主要是二项式和三项式．而对于四项以上的多项式，如ma mb na nb +++既没有公式可用，也没有公因式可以提取．因此，可以先将多项式分组处理．这种利用分组来因式分解的方法叫做分组分解法．分组分解法的关键在于如何分组．1．分组后能提取公因式 【例3】把2105ax ay by bx -+-分解因式．分析：把多项式的四项按前两项与后两项分成两组，并使两组的项按x 的降幂排列，然后从两组分别提出公因式2a 与b -，这时另一个因式正好都是5x y -，这样可以继续提取公因式．解：21052(5)(5)(5)(2)ax ay by bx a x y b x y x y a b -+-=---=--说明：用分组分解法，肯定要想想分组后能否继续完成因式分解，由此合理选择分组的方法．此题也可以将一、四项为一组，二、三项为一组，同学不妨一试． 【例4】把2222()()ab c d a b cd ---分解因式．分析：按照原先分组方法，无公因式可提，需要把括号翻开后重新分组，然后再分解因式．解：22222222()()ab c d a b cd abc abd a cd b cd ---=--+说明：由例3、例4可以看出，分组时运用了加法结合律，而为了合理分组，先运用了加法交换律，分组后，为了提公因式，又运用了分配律．由此可以看出运算律在因式分解中所起的作用．2．分组后能直接运用公式【例5】把22x y ax ay -++分解因式．分析：把第一、二项为一组，这两项虽然没有公因式，但可以运用平方差公式分解因式，其中一个因式是x y +；把第三、四项作为另一组，在提出公因式a 后，另一个因式也是x y +.解：22()()()()()x y ax ay x y x y a x y x y x y a -++=+-++=+-+ 【例6】把2222428x xy y z ++-分解因式．分析：先将系数2提出后，得到22224x xy y z ++-，其中前三项作为一组，它是一个完全平方法，再和第四项形成平方差形式，可继续分解因式．解：22222224282(24)x xy y z x xy y z ++-=++-说明：从例5、例6可以看出：如果一个多项式的项分组后，各组都能直接运用公式或提取公因式进行分解，并且各组在分解后，它们之间又能运用公式或有公因式，那么这个多项式就可以分组分解法来分解因式．三、十字相乘法1．2()x p q x pq +++型的因式分解这类式子在许多问题中经常出现，其特点是：(1) 二次项系数是1；(2) 常数项是两个数之积；(3) 一次项系数是常数项的两个因数之和．因此，2()()()x p q x pq x p x q +++=++运用这个公式，可以把某些二次项系数为1的二次三项式分解因式． 【例7】把以下各式因式分解：(1) 276x x -+(2) 21336x x ++解：(1) 6(1)(6),(1)(6)7=-⨯--+-=-276[(1)][(6)](1)(6)x x x x x x ∴-+=+-+-=--．(2)3649,4913=⨯+=说明：此例可以看出，常数项为正数时，应分解为两个同号因数，它们的符号与一次项系数的符号相同． 【例8】把以下各式因式分解：(1) 2524x x +-(2) 2215x x --解：(1) 24(3)8,(3)85-=-⨯-+=(2)15(5)3,(5)32-=-⨯-+=-说明：此例可以看出，常数项为负数时，应分解为两个异号的因数，其中绝对值较大的因数与一次项系数的符号相同． 【例9】把以下各式因式分解：(1) 226x xy y +-(2) 222()8()12x x x x +-++分析：(1) 把226x xy y +-看成x 的二次三项式，这时常数项是26y -，一次项系数是y ，把26y -分解成3y 与2y -的积，而3(2)y y y +-=，正好是一次项系数．(2) 由换元思想，只要把2x x +整体看作一个字母a ，可不必写出，只当作分解二次三项式2812a a -+．解：(1) 222266(3)(2)x xy y x yx x y x y +-=+-=+-(2) 22222()8()12(6)(2)x x x x x x x x +-++=+-+-2．一般二次三项式2ax bx c ++型的因式分解大家了解，2112212122112()()()a x c a x c a a x a c a c x c c ++=+++． 反过来，就得到：2121221121122()()()a a x a c a c x c c a x c a x c +++=++ 我们觉察，二次项系数a 分解成12a a ，常数项c 分解成12c c ，把1212,,,a a c c 写成1122a c a c ⨯，这里按斜线交叉相乘，再相加，就得到1221a c a c +，如果它正好等于2ax bx c ++的一次项系数b ，那么2ax bx c ++就可以分解成1122()()a x c a x c ++，其中11,a c 位于上一行，22,a c 位于下一行．这种借助画十字交叉线分解系数，从而将二次三项式分解因式的方法，叫做十字相乘法． 必须注意，分解因数及十字相乘都有多种可能情况，所以往往要经过屡次尝试，才能确定一个二次三项式能否用十字相乘法分解． 【例10】把以下各式因式分解：(1) 21252x x --(2) 22568x xy y +-解：(1) 21252(32)(41)x x x x --=-+3241-⨯(2) 22568(2)(54)x xy y x y x y +-=+-1 254y y -⨯说明：用十字相乘法分解二次三项式很重要．当二次项系数不是1时较困难，具体分解时，为提高速度，可先对有关常数分解，交叉相乘后，假设原常数为负数，用减法〞凑〞，看是否符合一次项系数，否则用加法〞凑〞，先〞凑〞绝对值，然后调整，添加正、负号．四、其它因式分解的方法1．配方法【例11】分解因式2616x x +-解：222222616233316(3)5x x x x x +-=+⨯⨯+--=+-说明：这种设法配成有完全平方法的方法叫做配方法，配方后将二次三项式化为两个平方法，然后用平方差公式分解．当然，此题还有其它方法，请大家试验．2．拆、添项法【例12】分解因式3234x x -+分析：此多项式显然不能直接提取公因式或运用公式，分组也不易进行．细查式中无一次项，如果它能分解成几个因式的积，那么进行乘法运算时，必是把一次项系数合并为0了，可考虑通过添项或拆项解决．解： 323234(1)(33)x x x x -+=+--说明：本解法把原常数4拆成1与3的和，将多项式分成两组，满足系数对应成比例，造成可以用公式法及提取公因式的条件．此题还可以将23x -拆成224x y -，将多项式分成两组32()x x +和244x -+．一般地，把一个多项式因式分解，可以按照以下步骤进行： (1) 如果多项式各项有公因式，那么先提取公因式；(2) 如果各项没有公因式，那么可以尝试运用公式来分解； (3) 如果用上述方法不能分解，那么可以尝试用分组或其它方法(如十字相乘法)来分解； (4) 分解因式，必须进行到每一个多项式因式都不能再分解为止．第三讲 一元二次方程根与系数的关系现行初中数学教材主要要求学生掌握一元二次方程的概念、解法及应用，而一元二次方程的根的判别式及根与系数的关系，在高中教材中的二次函数、不等式及解析几何等章节有着许多应用．本节将对一元二次方程根的判别式、根与系数的关系进行阐述．一、一元二次方程的根的判别式一元二次方程20 (0)ax bx c a ++=≠，用配方法将其变形为：(1) 当240b ac ->时，右端是正数．因此，方程有两个不相等的实数根：(2) 当240b ac -=时，右端是零．因此，方程有两个相等的实数根：(3) 当240b ac -<时，右端是负数．因此，方程没有实数根．由于可以用24b ac -的取值情况来判定一元二次方程的根的情况．因此，把24b ac -叫做一元二次方程20 (0)ax bx c a ++=≠的根的判别式，表示为：24b ac ∆=-【例1】不解方程，推断以下方程的实数根的个数：(1) 22310x x -+=(2) 24912y y +=(3) 25(3)60x x +-=解：(1) 2 (3)42110∆=--⨯⨯=>，∴ 原方程有两个不相等的实数根．(2) 原方程可化为：241290y y -+=2 (12)4490∆=--⨯⨯=，∴ 原方程有两个相等的实数根．(3) 原方程可化为：256150x x -+=2 (6)45152640∆=--⨯⨯=-<，∴ 原方程没有实数根．说明：在求判别式时，务必先把方程变形为一元二次方程的一般形式．【例2】关于x 的一元二次方程2320x x k -+=，依据以下条件，分别求出k 的范围： (1) 方程有两个不相等的实数根； (2) 方程有两个相等的实数根(3)方程有实数根；(4) 方程无实数根．解：2(2)43412k k ∆=--⨯⨯=- (1) 141203k k ->⇒<；(2) 141203k k -=⇒=； (3) 141203k k -≥⇒≤；(4) 141203k k -<⇒>．【例3】实数x 、y 满足22210x y xy x y +-+-+=，试求x 、y 的值． 解：可以把所给方程看作为关于x 的方程，整理得： 由于x 是实数，所以上述方程有实数根，因此：222[(2)]4(1)300y y y y y ∆=----+=-≥⇒=，代入原方程得：22101x x x ++=⇒=-． 综上知：1,0x y =-=二、一元二次方程的根与系数的关系一元二次方程20 (0)ax bx c a ++=≠的两个根为：所以：1222b b bx x a a a-+--+=+=-，定理：如果一元二次方程20 (0)ax bx c a ++=≠的两个根为12,x x ，那么：说明：一元二次方程根与系数的关系由十六世纪的法国数学家韦达觉察，所以通常把此定理称为〞韦达定理〞．上述定理成立的前提是0∆≥．【例4】假设12,x x 是方程2220070x x +-=的两个根，试求以下各式的值：(1) 2212x x +；(2)1211x x +； (3) 12(5)(5)x x --； (4) 12||x x -．分析：此题假设直接用求根公式求出方程的两根，再代入求值，将会出现复杂的计算．这里，可以利用韦达定理来解答．解：由题意，依据根与系数的关系得：12122,2007x x x x +=-=- (1) 2222121212()2(2)2(2007)4018x x x x x x +=+-=---= (2)121212112220072007x x x x x x +-+===- (3) 121212(5)(5)5()2520075(2)251972x x x x x x --=-++=---+=-(4) 12||x x =====-说明：利用根与系数的关系求值，要熟练掌握以下等式变形：222121212()2x x x x x x +=+-，12121211x x x x x x ++=，22121212()()4x x x x x x -=+-，12||x x -=2212121212()x x x x x x x x +=+，33312121212()3()x x x x x x x x +=+-+等等．韦达定理表达了整体思想．【例5】关于x 的方程221(1)104x k x k -+++=，依据以下条件，分别求出k 的值． (1) 方程两实根的积为5； (2) 方程的两实根12,x x 满足12||x x =．分析：(1) 由韦达定理即可求之；(2) 有两种可能，一是120x x =>，二是12x x -=，所以要分类商量．解：(1) ∵方程两实根的积为5∴ 222121[(1)]4(1)034,412154k k k k x x k ⎧∆=-+-+≥⎪⎪⇒≥=±⎨⎪=+=⎪⎩ 所以，当4k =时，方程两实根的积为5． (2) 由12||x x =得知：①当10x ≥时，12x x =，所以方程有两相等实数根，故302k ∆=⇒=；②当10x <时，12120101x x x x k k -=⇒+=⇒+=⇒=-，由于302k ∆>⇒>，故1k =-不合题意，舍去． 综上可得，32k =时，方程的两实根12,x x 满足12||x x =． 说明：依据一元二次方程两实根满足的条件，求待定字母的值，务必要注意方程有两实根的条件，即所求的字母应满足0∆≥．【例6】12,x x 是一元二次方程24410kx kx k -++=的两个实数根．(1) 是否存在实数k ，使12123(2)(2)2x x x x --=-成立？假设存在，求出k 的值；假设不存在，请您说明理由．(2) 求使12212x x x x +-的值为整数的实数k 的整数值． 解：(1) 假设存在实数k ，使12123(2)(2)2x x x x --=-成立．∵ 一元二次方程24410kx kx k -++=的两个实数根 ∴ 2400(4)44(1)160k k k k k k ≠⎧⇒<⎨∆=--⋅+=-≥⎩，又12,x x 是一元二次方程24410kx kx k -++=的两个实数根 ∴ 1212114x x k x x k +=⎧⎪⎨+=⎪⎩∴ 222121212121212(2)(2)2()52()9x x x x x x x x x x x x --=+-=+-939425k k k +=-=-⇒=，但0k <． ∴不存在实数k ，使12123(2)(2)2x x x x --=-成立． (2) ∵ 222121212211212()44224411x x x x x x k x x x x x x k k +++-=-=-=-=-++∴ 要使其值是整数，只需1k +能被4整除，故11,2,4k +=±±±，注意到0k <， 要使12212x x x x +-的值为整数的实数k 的整数值为2,3,5---． 说明：(1) 存在性问题的题型，通常是先假设存在，然后推导其值，假设能求出，则说明存在，否则即不存在．41 k 为整数的分析方法．(2) 此题综合性较强，要学会对第四讲 二次函数的最值问题二次函数2 (0)y ax bx c a =++≠是初中函数的主要内容，也是高中学习的重要根底．在初中阶段大家已经了解：二次函数在自变量x 取任意实数时的最值情况(当0a >时，函数在2b x a =-处取得最小值244ac b a-，无最大值；当0a <时，函数在2b x a =-处取得最大值244ac b a-，无最小值． 本节我们将在这个根底上继续学习当自变量x 在某个范围内取值时，函数的最值问题．同时还将学习二次函数的最值问题在实际生活中的简单应用．【例1】当22x -≤≤时，求函数223y x x =--的最大值和最小值．分析：作出函数及其对称轴在所给范围的草图，〔注意：是所给范围的。
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初高中数学衔接第1课数与式的运算 1初高中数学衔接第1课数与式的运算1
初高中数学衔接第1课数与式的运算(1)
第1课数与式的运算（1）
绝对值的代数意义：正数的绝对值是它的本身，负数的绝对值是它的相反数，零的绝对值仍是零．⎧a，a>0，即|a|＝⎧
⎧0，a＝0，⎧
绝对值的几何意义：一个数的绝对值，是数轴上表示它的点到原点的距离．两个数的差的绝对值的几何意义：|a－b|表示在数轴上，数a和数b之间的距离．【例1】在数轴上表示|x＋1|与|x－1|的几何意义．
【基准2】化简：(1)|3x－2|；(2)|x＋1|＋|x－3|；x－4x＋4；
【例3】解下列方程：(1)|x－1|＝1；(2)|x2－1|＝1.
【基准4】求解以下不等式．(1)|2x＋3|≤2；(2)|x－1|＋|x－3|>4.
(4)t＋4t＋4.
【基准5】图画出来以下函数的图象．(1)y＝|x|；(2)y＝|x－2|＋|x＋2|.
1．平方差公式：(a＋b)(a－b)＝a2－b2.2．完全平方公式：(a±b)2＝a2±2ab＋
b2.3．立方和公式：(a＋b)(a2－ab＋b2)＝a3＋b3.4．立方差公式：(a－b)(a2＋ab＋b2)＝a3－b3.
5．三数和平方公式：(a＋b＋c)2＝a2＋b2＋c2＋2(ab＋bc＋ac)．6．两数和立方公式：(a＋b)3＝a3＋3a2b＋3ab2＋b3.7．两数高立方公式：(a－b)3＝a3－3a2b＋3ab2－b3.【基准6】因式分解．(1)x3－1；(2)x3＋1.
【例7】计算：(x＋1)(x－1)(x2－x＋1)(x2＋x＋1)．
【基准8】未知：x＋y＝1，谋x3＋y3＋3xy的值．
【例9】已知：x2－3x＋1＝0，求x3＋1
【基准10】设x＝2323，y2－3
x3＋y3的值．
1．以下描述恰当的就是()
a．若|a|＝|b|，则a＝bb．若|a|>|b|，则a>bc．若a
3．如果|a|＋|b|＝5，且a＝－1，则b＝________；若|1－c|＝2，则c＝________.4．化简：|x＋1|－|x－2|.
5．解方程3|x＋1|－1＝5.
6．求解不等式|x2－1|≤2.
7．画出下列函数的图象．(1)y＝－|x＋1|(2)y＝|x|＋|x－1|
8．排序：(1)(4＋m)(16－4m＋m2)；
(3)(a＋b)(a2－ab＋b2)－(a＋b)3；
9．未知：x2－5x＋1＝0，谋x3＋1
(2)(x2＋2xy＋y2)·(x2－xy＋y2)2；(4)(a－4b)(1
＋4b2＋ab)．
10．已知：a＋b＋c＝0，求b＋c－aa＋c－b＋a＋b－c
．未知：a>0，a2x
＝3，求：a3x＋a3x
11a＋a－
12．已知：a2
－4a＋1＝0a2
a＋5a＋1
13．未知：a＋b＋c＝0，谋a(1b＋1c＋b1c1a＋c(11
a＋b)．
14．未知：a＋b＋c＝0.澄清：a3＋a2c＋b2c－abc＋b3＝0.
例1解|x＋1|为a、b两点间的距离，如图
|x－1|为a、b两点间的距离，例如图
⎧3x－2(x≥2
3基准2求解(1)|3x－2|＝⎧⎧－3x＋2(x
⎧－2x＋2(x≤－1(2)|x＋1|＋|x－3|＝⎧
)⎧4(－1
⎧⎧2x－2(x≥3)
(3)原式＝(x－2)＝|x－2|＝⎧⎧⎧x－2(x≥2)
－x＋2(x
(4)原式＝(t＋2)＝t2＋2.
例3解(1)x＝0或x＝2；(2)x＝0或x＝2.例4解(1)52x≤－1
2；(2)x>4或x
例6解(1)(x－1)(x2＋x＋1)；(2)(x＋1)(x2－x＋1)．例7解(x3＋1)(x3－1)＝x6－1.
基准8求解原式＝(x＋y)(x2－xy＋y2)＋3xy＝(x＋y)2＝1.基准9求解由x2－3x＋1＝0得：x1
∴x3＋1x3[(x1
2－3]＝18.
例10解xy＝1，x＋y＝14，x3＋y3＝2702.强化训练
1．d2.±5±43.±43或－1
⎧－3(x≤－1)4．解|x＋1|－|x－2|＝⎧
⎧2x－1(－1
⎧⎧3(x≥2)
5．求解x＝1或x＝－36．求解3≤x≤37．求解
8．解(1)64＋m3；(2)(x3＋y3)2＝x6＋2x3y3＋y6；(3)－3a2b－3ab2；183－8b3)＝1
43－16b3.
9．解x＋1x5，(x＋11
x)[(x＋x
2－3]＝110.
10．求解原式＝1111a＋b＋c
－2bc－2ac＋－2ab2[abc＝0.
11．求解原式＝a2x－1＋a
＝3－1＋17
12．求解a＋1a＝4，a2＋1a14，原式＝11
a2＋119
13．求解原式＝acbbcababbb－1＋aaa－1＋cc＋c
14．证明原式＝a2(a＋c＋b)－a2b－abc＋b2c＋b3＝－ab(a＋c＋b)＋ab2＋b2c＋b3＝b2(a＋b＋c)＝0.。