一次函数之等腰三角形的存在性(讲义及答案)
一次函数之等腰直角三角形的存在性 (讲义及答案)
一次函数之等腰直角三角形的存在性(讲义及答案).1. 在正方形网格中，网格线交点称为格点。
已知A、B是两个格点，若点C也是格点且使△ABC为等腰直角三角形，则符合条件的点C只有一个。
2. 做讲义第一题时，先看知识点，再用铅笔计算并将演算保留在讲义上。
如果思路受阻（例如某个点做了2-3分钟），重复上述动作。
如果仍无法解决，重点听课堂讲解。
知识点：1. 解决存在性问题的处理思路①分析不变特征：分析所求图形中的定点、定线、定角等不变特征。
②分类、画图：结合所求图形的形成因素，依据其判定、定义等确定分类，并画出符合题意的图形。
通常先尝试画出其中一种情形，分析解决后，再类比解决其他情形。
③求解、验证：围绕不变特征、画图依据来设计方案进行求解。
验证时，要回归点的运动范围，画图或推理，判断是否符合题意。
注：复杂背景下的存在性问题往往需要研究背景图形，几何背景往往研究点、线、角；函数背景研究点坐标、表达式等。
2. 等腰直角三角形存在性的特征分析及操作要点：三角形的三个顶点分别为直角顶点进行分类，在直角的基础上，再考虑等腰。
通常借助构造弦图模型进行求解。
精讲精练：1. 如图，直线y=-2x+6与x轴、y轴分别交于点A、B。
点P是第一象限内的一个动点，若以A、B、P为顶点的三角形为等腰直角三角形，则点P的坐标为。
2. 如图，直线y=-x+b与x轴、y轴分别交于点A、B。
点C在直线y=-x+b上，且其纵坐标为1。
△___的面积为。
（1）求直线y=-x+b的表达式及点C的坐标。
（2）点P是第二象限内的一个动点，若△ACP是等腰直角三角形，则点P的坐标为。
3. 如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标为(2，0)。
点P是y轴正半轴上的一个动点，Q是直线x=3上的一个动点。
若△APQ为等腰直角三角形，则点P的坐标为。
4. 如图，直线y=3x+4与y轴交于点A，点P是直线x=6上的一个动点，点Q是直线y=3x+4上的一个动点，且点Q在第一象限。
一次函数之等腰直角三角形的存在性 (讲义及答案).
一次函数之等腰直角三角形的存在性（讲义）➢课前预习1.如图所示的正方形网格中，网格线的交点称为格点．已知A，B 是两个格点，若点C 也是图中的格点，且使得△ABC 为等腰直角三角形，则符合条件的点C 有个．2.用铅笔做讲义第1 题，并将计算、演草保留在讲义上，先看知识点睛，再做题，思路受阻时（某个点做了2~3 分钟）重复上述动作，若仍无法解决，课堂重点听．➢知识点睛1.存在性问题的处理思路①分析不变特征分析所求图形中的定点、定线、定角等不变特征．②分类、画图结合所求图形的形成因素，依据其判定、定义等确定分类，并画出符合题意的图形．通常先尝试画出其中一种情形，分析解决后，再类比解决其他情形．③求解、验证围绕不变特征、画图依据来设计方案进行求解；验证时，要回归点的运动范围，画图或推理，判断是否符合题意．注：复杂背景下的存在性问题往往需要研究背景图形，几何背景往往研究点，线，角；函数背景研究点坐标，表达式等．2.等腰直角三角形存在性的特征分析及特征下操作要点：三角形的三个顶点分别为直角顶点进行分类，在直角的基础上，再考虑等腰，通常借助构造弦图模型进行求解．➢精讲精练1.如图，直线y=-2x+6 与x 轴、y 轴分别交于点A，B，点P 是第一象限内的一个动点，若以A，B，P 为顶点的三角形是等腰直角三角形，则点P 的坐标为．2.如图，直线y =-1x +b 与x 轴、y 轴分别交于点A，B，点C 3在直线y =-1x +b 上，且其纵坐标为1，△OAC 的面积为3．3 2（1）求直线y =-1x +b 的表达式及点C 的坐标；3（2）点P 是第二象限内的一个动点，若△ACP 是等腰直角三角形，则点P 的坐标为．3.如图，在平面直角坐标系中，点A 的坐标为(2，0)，点P 是y轴正半轴上一个动点，Q是直线x=3 上的一个动点，若△APQ 为等腰直角三角形，则点P 的坐标为．4.如图，直线y=3x+4 与y 轴交于点A，点P 是直线x=6 上的一个动点，点Q 是直线y=3x+4 上的一个动点，且点Q 在第一象限，若△APQ 为等腰直角三角形，则点Q 的坐标为．5. 如图，直线 l 1：y =x +6 与 x 轴、y 轴分别交于点 A ，B ，直线 l 2：y = - 1 x - 3 与 x 轴交于点 A ，点 M 是线段 AB 上的一动点，2过点 M 作 y 轴的平行线交直线 l 2 于点 N ，在 y 轴上是否存在点 P ，使△MNP 为等腰直角三角形？若存在，求出点 P 的坐标；若不存在，请说明理由．【参考答案】➢ 课前预习1. 6➢ 精讲精练1. (9，3)，(6，9)，( 9 ， 9 )2 22. （1） y = - 1 x -1，C (-6，1)3（2）(-2，3)，(-5，4)，(-4，2)3. (0，1)，(0，3)，(0，4)4. (2，10)，(3，13)，( 3 ， 17 )2 2 5. 存在，点 P 的坐标为(0， 12 )，(0， - 6 )，(0， 6 )5 5 7。
第4章一次函数-一次函数之等腰直角三角形的存在性(教案)
五、教学反思
今天我们在课堂上探讨了《一次函数之等腰直角三角形的存在性》，整体来看，学生的学习效果还是不错的。但在教学过程中，我也发现了一些值得思考的问题。
首先，我发现有些学生对一次函数图像与等腰直角三角形之间的关系理解不够深入。在讲解过程中，我尽量用生动的例子和形象的比喻来帮助他们理解，但显然，这部分内容对于他们来说还是有一定难度的。在今后的教学中，我需要更加关注这部分学生的需求，尽可能用简单易懂的方式讲解难点，让他们能够真正消化吸收。
（二）新课讲授（用时10分钟）
1.理论介绍：首先，我们要了解一次函数和等腰直角三角形的基本概念。一次函数是形如y=kx+b的函数，其中k是斜率，b是y轴截距。等腰直角三角形是一种特殊的三角形，它的两条腰相等且与底边成直角。在一次函数图像中，等腰直角三角形的存在性与函数的斜率有关。
2.案例分析：接下来，我们来看一个具体的案例。这个案例将展示如何在一次函数图像中找出等腰直角三角形，以及它如何帮助我们解决实际问题。
-运用逻辑推理和分析数据的能力，解决一次函数图像中等腰直角三角形的定位问题。
举例解释：
-解释斜率为1或-1时，图像上的点与原点的连线和x轴或y轴形成的特殊角度题时，指导学生如何从问题描述中提取关键信息，构建一次函数模型，并利用等腰直角三角形的性质进行解答。
其次，在实践活动环节，学生们的参与度很高，但部分小组在讨论时显得有些拘谨，可能是因为对等腰直角三角形在实际生活中的应用不够了解。在今后的教学中，我会多设计一些与实际生活紧密相关的案例，让学生在实践中更好地理解理论知识。
2022中考专题07 一次函数中的构造等腰直角三角形法(解析版)
专题07 一次函数中地构造等腰直角三角形法1、如图1,等腰直角三角形ABC中,∠ACB＝90°,CB＝CA,直线ED经过点C,过A作AD⊥ED于点D,过B作BE⊥ED于点E．求证：△BEC≌△CDA；解：（1）由题意可知：△BEO≌△AOD（K型全等）,∴OE＝AD,∵k＝﹣1,∴y＝﹣x+4,∴B（0,4）,∴OB＝4,∵BE＝3,∴OE＝,∴AD＝；（2）k＝﹣时,y＝﹣x+4,∴A（3,0）,①当BM⊥AB,且BM＝AB时,过点M作MN⊥y轴,∴△BMN≌△ABO（AAS）,∴MN＝OB,BN＝OA,∴MN＝4,BN＝3,∴M（4,7）；②当AB⊥AM,且AM＝AB时,过点M作x轴垂线MK,∴△ABO≌△AMK（AAS）,∴OB＝AK,OA＝MK,∴AK＝4,MK＝3,∴M（7,3）；③当AM⊥BM,且AM＝BM时,过点M作MH⊥x轴,MG⊥y轴,∴△BMG≌△AHM（AAS）,∴BG＝AH,GM＝MH,∴GM＝MH,∴4﹣MH＝MH﹣3,∴MH＝,∴M（,）；综上所述：M（7,3）或M（4,7）或M（,）；（3）当k＞0时,AO＝,过点Q作QS⊥y轴,∴△ABO≌△BQS（AAS）,∴BS＝OA,SQ＝OB,∴Q（4,4﹣）,∴OQ＝,∴当k＝1时,QO最小值为4；当k＜0时,Q（4,4﹣）,∴OQ＝,∴当k＝1时,QO最小值为4,与k＜0矛盾,∴OQ地最小值为4．2、已如,在平面直角坐标系中,点A地坐标为（6,0）、点B地坐标为（0,8）,点C在y轴上,作直线AC．点B关于直线AC地对称点B′刚好在x轴上,连接CB′．（1）写出点B′地坐标,并求出直线AC对应地函数表达式；（2）点D在线段AC上,连接DB、DB′、BB′,当△DBB′是等腰直角三角形时,求点D坐标；（3）如图2,在（2）地条件下,点P从点B出发以每秒2个单位长度地速度向原点O运动,到达点O时停止运动,连接PD,过D作DP地垂线,交x轴于点Q,问点P运动几秒时△ADQ是等腰三角形．解：（1）∵A地坐标为（6,0）、点B地坐标为（0,8）,∴OA＝6,OB＝8,∵∠AOB＝90°,∴AB＝10,∵B与B'关于直线AC对称,∴AC垂直平分BB',∴BC＝CB',AB'＝AB＝10,∴B'（﹣4,0）,设点C（0,m）,∴OC＝m,∴CB'＝CB＝8﹣m,∵在Rt△COB'中,∠COB'＝90°,∴m2+16＝（8﹣m）2,∴m＝3,∴C（0,3）,设直线AC地解析式为y＝kx+b（k≠0）,把A（6,0）,C（0,3）代入可得k＝﹣,b＝3,∴y＝﹣x+3；（2）∵AC垂直平分BB',∴DB＝DB',∵△BDB'是等腰直角三角形,∴∠BDB'＝90°,过点D作DE⊥x轴,DF⊥y轴,∴∠DFO＝∠DFB＝∠DEB'＝90°,∵∠EDF＝360°﹣∠DFB﹣∠DEO﹣∠EOF,∠EOF＝90°, ∴∠EDF＝90°,∴∠EDF＝∠BDB',∴∠BDF＝∠EDB',∴△FDB≌△EDB'（AAS）,∴DF＝DE,设点D（a,a）代入y＝﹣x+3中, ∴a＝2,∴D（2,2）；（3）同（2）可得∠PDF＝∠QDE, ∵DF＝DE＝2,∠PDF＝∠QDE,∴△PDF≌△QDE（AAS）,∴PF＝QE,①当DQ＝DA时,∵DE⊥x轴,∴QE＝AE＝4,∴PF＝QE＝4,∴BP＝BF﹣PF＝2,∴点P运动时间为1秒；②当AQ＝AD时,∵A（6,0）、D（2,2）,∴AD＝2,∴AQ＝2,∴PF＝QE＝2﹣4,∴BP＝BF﹣PF＝10﹣2,∴点P地运动时间为5﹣秒；③当QD＝QA时,设QE＝n,则QD＝QA＝4﹣n,在Rt△DEQ中,∠DEQ＝90°,∴4+n2＝（4﹣n）2,∴n＝1.5,∴PF＝QE＝1.5,∴BP＝BF+PF＝7.5,∴点P地运动时间为3.75秒,∵0≤t≤4,∴t＝3.75,综上所述：点P地运动时间为1秒或5﹣秒或3.75秒．3、定义：在平面直角坐标系中,对于任意P（x1,y1）,Q（x2,y2）,若点M（x,y）满足x＝3（x1+x2）,y＝3（y1+y2）,则称点M是点P,Q地“美妙点”．例如：点P（1,2）,Q（﹣2,1）,当点M（x,y）满足x＝3×（1﹣2）＝﹣3,y＝3×（2+1）＝9时,则点M（﹣3,9）是点P,Q地“美妙点”．（1）已知点A（﹣1,3）,B（3,3）,C（2,﹣2）,请说明其中一点是另外两点地“美妙点”；（2）如图,已知点D是直线y＝+2上地一点．点E（3,0）,点M（x,y）是点D、E地“美妙点”．①求y与x地函数关系式；①若直线DM与x轴相交于点F,当①MEF为直角三角形时,求点D地坐标．解：（1）①3×（﹣1+2）＝3,3×（3﹣2）＝3,①点B是A、C地“美妙点”；（2）设点D（m,m+2）,①①M是点D、E地“美妙点”．①x＝3（3+m）＝9+3m,y＝3（0+m+2）＝m+6,故m＝x﹣3,①y＝（x﹣3）+6＝x+3；①由①得,点M（9+3m,m+6）,如图1,当①MEF为直角时,则点M（3,4）,①9+3m＝3,解得：m＝﹣2；①点D（﹣2,）；当①MFE是直角时,如图2,则9+3m＝m,解得：m＝﹣,①点D（﹣,）；当①EMF是直角时,不存在,综上,点D（﹣2,）或（﹣,）．4、如图,过点A（1,3）地一次函数y＝kx+6（k≠0）地图象分别与x轴,y轴相交于B,C两点．（1）求k地值；（2）直线l与y轴相交于点D（0,2）,与线段BC相交于点E．（i）若直线l把①BOC分成面积比为1：2地两部分,求直线l地函数表达式；（①）连接AD,若①ADE是以AE为腰地等腰三角形,求满足条件地点E地坐标．解：（1）将点A地坐标代入一次函数y＝kx+6并解得：k＝﹣3；（2）一次函数y＝﹣3x+6分别与x轴,y轴相交于B,C两点,则点B、C地坐标分别为：（2,0）、（0,6）；（i）S①BCO＝OB×CO＝2×6＝6,直线l把①BOC分成面积比为1：2地两部分,则S①CDE＝2或4,而S①CDE＝×CD×x E＝4×x E＝2或4,则x E＝1或2,故点E（1,3）或（2,0）,将点E地坐标代入直线l表达式并解得：直线l地表达式为：y＝±x+2；（①）设点E（m,﹣3m+6）,而点A、D地坐标分别为：（1,3）、（0,2）,则AE2＝（m﹣1）2+（3﹣3m）2,AD2＝2,ED2＝m2+（4﹣3m）2,当AE＝AD时,（m﹣1）2+（3﹣3m）2＝2,解得：m＝或；当AE＝ED时,同理可得：m＝；综上,点E地坐标为：（,）或（,）或（,）．5、建立模型：如图1,等腰Rt①ABC中,①ABC＝90°,CB＝BA,直线ED经过点B,过A作AD①ED于D,过C作CE①ED于E．则易证①ADB①①BEC．这个模型我们称之为“一线三垂直”．它可以把倾斜地线段AB和直角①ABC转化为横平竖直地线段和直角,所以在平面直角坐标系中被大量使用．模型应用：（1）如图2,点A（0,4）,点B（3,0）,①ABC是等腰直角三角形．①若①ABC＝90°,且点C在第一象限,求点C地坐标；①若AB为直角边,求点C地坐标；（2）如图3,长方形MFNO,O为坐标原点,F地坐标为（8,6）,M、N分别在坐标轴上,P是线段NF上动点,设PN＝n,已知点G在第一象限,且是直线y＝2x一6上地一点,若①MPG是以G为直角顶点地等腰直角三角形,请直接写出点G地坐标．解：（1）①过点C作CD①x轴于点D,①①BDC＝90°＝①AOB,①①BCD+①DCB＝90°,①①ABC＝90°,①①ABO+①DBC＝90°,①①ABO＝BCD,①AB＝BC,①①AOB①①BDC（AAS）,DC＝OB＝3,BD＝OA＝4,故点C（7,3）；①若AB为直角边,则除了①地情况以外,另外一个点C（C′）与①中地C关于点B对称,故点C′（﹣1,﹣3）；故点C地坐标为：（7,3）或（﹣1,﹣3）；（2）如图2,当①MGP＝90°时,MG＝PG,过点P作PE①OM于E,过点G作GH①PE于H,①点E与点M重合,①GF＝AB＝4设G点坐标为（x,2x﹣6）,6﹣（2x﹣6）＝4,得x＝4,易得G点坐标（4,2）；如图3,当①MGP＝90°时,MG＝PG时,同理得G点坐标（,）,综上可知,满足条件地点G地坐标分别为（4,2）或（,）．6、如图1,直线l：y＝x+2与x轴交于点A,与y轴交于点B．已知点C（﹣2,0）．（1）求出点A,点B地坐标．（2）P是直线AB上一动点,且①BOP和①COP地面积相等,求点P坐标．（3）如图2,平移直线l,分别交x轴,y轴于交于点A1B1,过点C作平行于y轴地直线m,在直线m上是否存在点Q,使得①A1B1Q是等腰直角三角形？若存在,请直接写出所有符合条件地点Q地坐标．解：（1）设y＝0,则x+2＝0,解得：x＝﹣4,设x＝0,则y＝2,①点A地坐标为（﹣4,0）,点B地坐标地坐标为（0,2）；（2）①点C（﹣2,0）,点B（0,2）,①OC＝2,OB＝2,①P是直线AB上一动点,①设P（m,m+2）,①①BOP和①COP地面积相等,①×2|m|＝2×（|m|+2）,解得：m＝±4,当m＝﹣4时,点P与点A重合,①点P坐标为（4,4）；（3）存在；理由：如图1,①当点B1是直角顶点时,①B1Q＝B1A1,①①A1B1O+①QB1H＝90°,①A1B1O+①OA1B1＝90°,①①OA1B1＝①QB1H,在①A1OB1和①B1HQ中,,①①A1OB1①①B1HQ（AAS）,①B1H＝A1O,OB1＝HQ＝2,①B1（0,﹣2）或（0,2）,当点B1（0,﹣2）时,Q（﹣2,2）,当点B1（0,2）时,①B（0,2）,①点B1（0,2）（不合题意舍去）,①直线AB向下平移4个单位,①点Q也向上平移4个单位,①Q（﹣2,2）,①当点A1是直角顶点时,A1B1＝A1Q,①直线AB地解析式为y＝x+2,由平移知,直线A1B1地解析式为y＝x+b,①A1（﹣2b,0）,B1（0,b）,①A1B12＝4b2+b2＝5b2,①A1B1①A1Q,①直线A1Q地解析式为y＝﹣2x﹣4b①Q（﹣2,4﹣4b）,①A1Q2＝（﹣2b+2）2+（4﹣4b）2＝20b2+40b+20,①20b2﹣40b+20＝5b2,①b＝2或b＝,①Q（﹣2,﹣4）或（﹣2,）；①当Q是直角顶点时,过Q作QH①y轴于H,①A1Q＝B1Q,①①QA1C1+①A1QC＝90°,①A1QC+①CQB1＝90°,①①QA1C＝①CQB1,①m①y轴,①①CQB1＝①QB1H,①①QA1C＝①QB1H在①A1QC与①B1QH中,,①①A1QC①①B1QH（AAS）,①CQ＝QH＝2,B1H＝A1C,①Q（﹣2,2）或（﹣2,﹣2）,即：满足条件地点Q为（﹣2,2）或（﹣2,﹣2）或（﹣2,12）或（﹣2,）．7、如图1,等腰直角三角形ABC中,①ACB＝90°,CB＝CA,直线DE经过点C,过A作AD①DE于点D,过B作BE①DE于点E,则①BEC①①CDA,我们称这种全等模型为“K型全等”．（不需要证明）【模型应用】若一次函数y＝kx+4（k≠0）地图象与x轴、y轴分别交于A、B两点．（1）如图2,当k＝﹣1时,若点B到经过原点地直线l地距离BE地长为3,求点A到直线l地距离AD地长；（2）如图3,当k＝﹣时,点M在第一象限内,若①ABM是等腰直角三角形,求点M地坐标；（3）当k地取值变化时,点A随之在x轴上运动,将线段BA绕点B逆时针旋转90°得到BQ,连接OQ,求OQ长地最小值．解：（1）由题意可知：①BEO①①AOD（K型全等）,①OE＝AD,①k＝﹣1,①y＝﹣x+4,①B（0,4）,①OB＝4,①BE＝3,①OE＝,①AD＝；（2）k＝﹣时,y＝﹣x+4,①A（3,0）,①当BM①AB,且BM＝AB时,过点M作MN①y轴,①①BMN①①ABO（AAS）,①MN＝OB,BN＝OA,①MN＝4,BN＝3,①M（4,7）；①当AB①AM,且AM＝AB时,过点M作x轴垂线MK,①①ABO①①AMK（AAS）,①OB＝AK,OA＝MK,①AK＝4,MK＝3,①M（7,3）；①当AM①BM,且AM＝BM时,过点M作MH①x轴,MG①y轴,①①BMG①①AHM（AAS）,①BG＝AH,GM＝MH,①GM＝MH,①4﹣MH＝MH﹣3,①MH＝,①M（,）；综上所述：M（7,3）或M（4,7）或M（,）；（3）当k＞0时,AO＝,过点Q作QS①y轴,①①ABO①①BQS（AAS）,①BS＝OA,SQ＝OB,①Q（4,4﹣）,①OQ＝,①当k＝1时,QO最小值为4；当k＜0时,Q（4,4﹣）,①OQ＝,①当k＝1时,QO最小值为4,与k＜0矛盾,①OQ地最小值为4．8、【模型建立】（1）如图1,等腰直角三角形ABC中,∠ACB＝90°,CA＝CB,直线ED经过点C,过A作AD⊥ED于点D,过B作BE⊥ED于点E．求证：△CDA≌△BEC．【模型运用】（2）如图2,直线l1：y＝x+4与坐标轴交于点A、B,将直线l1绕点A逆时针旋转90°至直线l2,求直线l2地函数表达式．【模型迁移】如图3,直线l经过坐标原点O,且与x轴正半轴地夹角为30°,点A在直线l上,点P为x轴上一动点,连接AP,将线段AP绕点P顺时针旋转30°得到BP,过点B地直线BC交x轴于点C,∠OCB＝30°,点B到x轴地距离为2,求点P地坐标．证明：【模型建立】（1）∵AD⊥DE,BE⊥DE,∴∠D＝∠E＝90°∵∠ACB＝90°,∴∠ACD＝90°﹣∠BCE＝∠CBE,且CA＝BC,∠D＝∠E＝90°∴△CDA≌△BEC（AAS）【模型运用】（2）如图2,在l2上取D点,使AD＝AB,过D点作DE⊥OA,垂足为E∵直线y＝x+4与坐标轴交于点A、B,∴A（﹣3,0）,B（0,4）,∴OA＝3,OB＝4,由（1）得△BOA≌△AED,∴DE＝OA＝3,AE＝OB＝4,∴OE＝7,∴D（﹣7,3）设l2地解析式为y＝kx+b,得解得∴直线l2地函数表达式为：【模型迁移】（3）若点P在x轴正半轴,如图3,过点B作BE⊥OC,∵BE＝2,∠BCO＝30°,BE⊥OC∴BC＝4,∵将线段AP绕点P顺时针旋转30°得到BP,∴AP＝BP,∠APB＝30°,∵∠APC＝∠AOC+∠OAP＝∠APB+∠BPC,∴∠OAP＝∠BPC,且∠OAC＝∠PCB＝30°,AP＝BP, ∴△OAP≌△CPB（AAS）∴OP＝BC＝4,∴点P（4,0）若点P在x轴负半轴,如图4,过点B作BE⊥OC,∵BE＝2,∠BCO＝30°,BE⊥OC∴BC＝4,∵将线段AP绕点P顺时针旋转30°得到BP,∴AP＝BP,∠APB＝30°,∵∠APE+∠BPE＝30°,∠BCE＝30°＝∠BPE+∠PBC, ∴∠APE＝∠PBC,∵∠AOE＝∠BCO＝30°,∴∠AOP＝∠BCP＝150°,且∠APE＝∠PBC,PA＝PB∴△OAP≌△CPB（AAS）∴OP＝BC＝4,∴点P（﹣4,0）综上所述：点P坐标为（4,0）或（﹣4,0）9、如图1,在平面直角坐标系中,直线y＝﹣x+b与x轴、y轴相交于A、B两点,动点C（m,0）在线段OA上,将线段CB绕着点C顺时针旋转90°得到CD,此时点D恰好落在直线AB上,过点D作DE⊥x轴于点E．（1）求m和b地数量关系；（2）当m＝1时,如图2,将△BCD沿x轴正方向平移得△B′C′D′,当直线B′C′经过点D时,求点B′地坐标及△BCD平移地距离；（3）在（2）地条件下,直线AB上是否存在一点P,以P、C、D为顶点地三角形是等腰直角三角形？若存在,写出满足条件地P点坐标；若不存在,请说明理由．解：（1）直线y＝﹣x+b与y轴相交于B点,∴B（0,b）∴OB＝b,∵点C（m,0）∴OC＝m∵∠BCO+∠ECD＝90°,∠BCO+∠OBC＝90°,∴∠OBC＝∠ECD．在△OBC和△ECD中,∴△OBC≌△ECD（AAS）∴BO＝CE＝b,DE＝OC＝m,∴点D（b+m,m）∴m＝﹣（b+m）+b∴b＝3m（2）∵m＝1,∴b＝3,点C（1,0）,点D（4,1）∴直线AB解析式为：y＝﹣x+3设直线BC解析式为：y＝ax+3,且过（1,0）∴0＝a+3∴a＝﹣3∴直线BC地解析式为y＝﹣3x+3,设直线B′C′地解析式为y＝﹣3x+c,把D（4,1）代入得到c＝13, ∴直线B′C′地解析式为y＝﹣3x+13,当y＝3时,x＝当y＝0时,x＝∴B′（,3）,C'（,0）∴CC′＝,∴△BCD平移地距离是个单位．（3）当∠PCD＝90°,PC＝CD时,点P与点B重合,∴点P（0,3）如图,当∠CPD＝90°,PC＝PD时,∵BC＝CD,∠BCD＝90°,∠CPD＝90°∴BP＝PD∴点P是BD地中点,且点B（0,3）,点D（4,1）∴点P（2,2）综上所述,点P为（0,3）或（2,2）时,以P、C、D为顶点地三角形是等腰直角三角形．10、如图,已知一次函数y＝﹣x+7与正比例函数y＝x地图象交于点A,且与x轴交于点B．（1）求△AOB地面积：（2）在y轴上找一点C,使AC+BC最小,求最小值及C点坐标．（3）点P从O出发向B点以1个单位每秒地速度运动,点Q从B点出发向A点以同样地速度运动,两个点同时停止,当△BPQ为等腰三角形时,求Q点坐标．解：（1）∵一次函数y＝﹣x+7与正比例函数y＝x地图象交于点A,且与x轴交于点B．∴点B（7,0）,﹣x+7＝x∴x＝3,∴点A（3,4）∴S△AOB＝×7×4＝14；（2）如图1,作点B关于y轴地对称点H（﹣7,0）,连接AH,交y轴于点C,∴此时AC+BC最小值为AH,∵点A（3,4）,点H（﹣7,0）,∴AH＝＝2,∴AC+BC最小值为2,设直线AH解析式为：y＝kx+b,且过点A（3,4）,点H（﹣7,0）, ∴,解得：∴直线AH解析式为：y＝x+；（3）如图2,过点Q作QE⊥OB,∵以同样地速度运动,∴BQ＝OP,∵一次函数y＝﹣x+7与y轴交于点D,∴点D（0,7）,∴OD＝OB＝7,且∠DOB＝90°,∴∠DBO＝45°,且QE⊥OB,∴∠QBE＝∠EQB＝45°,∴QE＝BE,∴QB＝QE＝EB,若PB＝QB,且OP＝BQ,∴OP＝PB＝＝BQ,∴BE＝EQ＝,∴OE＝7﹣,∴点Q（7﹣,）,若QP＝QB,且QE⊥OB,∴PE＝BE,∵OB＝7＝OP+PE+BE,∴7＝BE+2BE,∴BE＝＝QE,∴OE＝∴点Q（,）,如图3,若BP＝PQ,过点P作PF⊥BQ,∴BF＝FQ＝BQ,∵∠ABO＝45°,PF⊥AB,∴∠FPB＝∠ABO＝45°,∴PF＝BF,∴PB＝BF,∴7﹣BQ＝∴BQ＝,∴BE＝QE＝,∴点Q坐标为（7﹣,）．11、一边长为4正方形OACB放在平面直角坐标系中,其中O为原点,点A、B分别在x轴、y轴上,D为射线OB上任意一点．（1）如图1,若点D坐标为（0,2）,连接AD交OC于点E,则△AOE地面积为；（2）如图2,将△AOD沿AD翻折得△AED,若点E在直线y＝x图象上,求出E点坐标；（3）如图3,将△AOD沿AD翻折得△AED,DE和射线BC交于点F,连接AF,若∠DAO＝75°,平面内是否存在点Q,使得△AFQ是以AF为直角边地等腰直角三角形,若存在,请求出所有点Q坐标；若不存在,请说明理由．解：（1）∵边长为4正方形OACB放在平面直角坐标系中,∴点A坐标（4,0）,点C（4,4）,∴直线OC解析式为：y＝x,∵点D坐标为（0,2）,点A坐标（4,0）,∴直线AD解析式为：y＝﹣x+2,∴解得：∴点E坐标（,）∴△AOE地面积＝×4×＝,故答案为：；（2）如图2,过点E作EH⊥OA,∵将△AOD沿AD翻折得△AED,∴AO＝AE＝4,设点E（a,a）,∴OH＝a,EH＝a,∴AH＝4﹣a,∵AE2＝EH2+AH2,∴16＝a2+（4﹣a）2,∴a＝0（舍去）,a＝,∴点E（,）（3）∵将△AOD沿AD翻折得△AED,∴∠DAO＝∠DAE＝75°,OA＝AE,∠DOA＝∠DEA＝90°, ∴∠OAE＝150°,AE＝AC,∠ACF＝∠AED＝90°,∴∠CAE＝60°,∵AE＝AC,AF＝AF,∴Rt△AEF≌Rt△ACF（HL）∴∠CAF＝∠EAF＝30°,且AC＝4,∴CF＝,∵△AFQ是以AF为直角边地等腰直角三角形,∴若∠AFQ＝90°,AF＝FQ,如图3,过点Q作QN⊥BF,∴∠NQF+∠QFN＝90°,且∠QFN+∠AFC＝90°,∴∠NQF＝∠AFC,且∠ACF＝∠QNF＝90°,QF＝AF, ∴△QNF≌△FCA（AAS）∴QN＝CF＝,AC＝NF＝4,∴点Q（,4+）同理可求：Q'（8+,4﹣）,若∠FAQ＝90°,AF＝AQ时,同样方法可求,Q''（0,）,Q'''（8,﹣）。
专题55 一次函数背景下的图形存在性问题(解析版)-中考数学解题大招复习讲义
例题精讲考点一：一次函数中等腰三角形存在性问题【例1】．如果一次函数y＝﹣x+6的图象与x轴、y轴分别交于A、B两点，M点在x轴上，并且使得以点A、B、M为定点的三角形是等腰三角形，则M点的坐标为（﹣8，0）或（﹣2，0）或（18，0）或（﹣，0）．解：一次函数y＝﹣x+6中令x＝0，解得y＝6；令y＝0，解得x＝8，∴A（8，0），B（0，6），即OA＝8，OB＝6，在直角三角形AOB中，根据勾股定理得：AB＝10，分四种情况考虑，当BM＝BA时，由BO⊥AM，根据三线合一得到O为MA的中点，此时M1（﹣8，0）；当AB＝AM时，由AB＝10，得到OM＝﹣2或18，此时M2（﹣2，0），M3（18，0）；当MA＝MB时，∵A（8，0），B（0，6），∴AB的中点的坐标为（4，3），设直线AB的垂直平分线的解析式为y＝x+b，代入（4，3）得3＝+b，解得b＝﹣，∴直线AB的垂直平分线的解析式为y＝x﹣，令y＝0，解得x＝，此时M4（，0）．综上，这样的M点有4个，分别为（﹣8，0）或（﹣2，0）或（18，0）或（，0）．故答案为（﹣8，0）或（﹣2，0）或（18，0）或（，0）．变式训练【变1-1】．如图，在平面直角坐标系中，直线MN的函数解析式为y＝﹣x+3，点A在线段MN上且满足AN＝2AM，B点是x轴上一点，当△AOB是以OA为腰的等腰三角形时，则B点的坐标为（2，0）或（，0）或（，0）．解：∵在y＝﹣x+3中，令x＝0，则y＝3；令y＝0，则﹣x+3＝0，解得x＝3，∴N（3，0），M（0，3），∴OM＝ON＝3，∵AN＝2AM，∴A（1，2），∴OA＝＝，当AO＝OB时，则OB＝，∴点B的坐标为（﹣，0）或（，0）；②当AO＝AB时，设点B的坐标为（m，0），则＝，整理得，（1﹣m）2＝1，解得m＝2或m＝0（舍去），∴点B的坐标为（2，0）．综上所述：点B的坐标为（2，0）或（，0）或（，0）．【变1-2】．如图，在平面直角坐标系中，直线y＝﹣2x+12与x轴交于点A，与y轴交于点B，与直线y＝x交于点C．（1）求点C的坐标．（2）若P是x轴上的一个动点，直接写出当△OPC是等腰三角形时P的坐标．解：（1）联立两直线解析式成方程组，得，解得：，∴点C的坐标为（4，4）；（2）设点P（m，0），而点C（4，4），点O（0，0）；PC2＝（m﹣4）2+16，PO2＝m2，OC2＝42+42＝32；当PC＝PO时，（m﹣4）2+16＝m2，解得：m＝4；当PC＝OC时，同理可得：m＝0（舍去）或8；当PO＝OC时，同理可得：m＝±4；故点P的坐标为（4，0）或（8，0）或（4，0）或（﹣4，0）．考点二：一次函数中直角三角形存在性问题【例2】．已知点A、B的坐标分别为（2，2）、（5，1），试在x轴上找一点C，使△ABC为直角三角形．解：当△ABC为直角三角形时，设点C坐标为（x，0），分三种情况：①如果A为直角顶点，则AB2+AC2＝BC2，即（2﹣5）2+（2﹣1）2+（2﹣x）2+22＝（5﹣x）2+1，解得：x＝，②如果B为直角顶点，那么AB2BC2＝AC2，即（2﹣5）2+（2﹣1）2+（5﹣x）2+1＝（2﹣x）2+22，解得x＝，③如果C为直角顶点，那么AB2＝AC2+BC2，即（2﹣5）2+（2﹣1）2＝（2﹣x）2+22+（5﹣x）2+1，解得x＝3或4，综上可知，使△PAB为直角三角形的点C坐标为（，0）或（，0）或（3，0）或（4，0）．变式训练【变2-1】．如图，一次函数y＝kx+1的图象过点A（1，2），且与x轴相交于点B．若点P 是x轴上的一点，且满足△ABP是直角三角形，则点P的坐标是（1，0）或（3，0）．解：∵一次函数y＝kx+1的图象过点A（1，2），∴2＝k+1，解得k＝1，∴一次函数的解析式为y＝x+1．∴当∠APB＝90°时，P1（1，0）；当∠BAP＝90°时，∵一次函数的解析式为y＝x+1，∴设直线AP的解析式为y＝﹣x+b，∵A（1，2），∴2＝﹣1+b，解得b＝3，∴直线AP的解析式为y＝﹣x+3，∴当y＝0时，x＝3，∴P2（3，0）．综上所述，点P的坐标是（1，0）或（3，0）．【变2-2】．如图，已知一次函数y＝x﹣2的图象与y轴交于点A，一次函数y＝4x+b的图象与y轴交于点B，且与x轴以及一次函数y＝x﹣2的图象分别交于点C、D，点D的坐标为（﹣2，﹣4）．（1）关于x、y的方程组的解为．（2）求△ABD的面积；（3）在x轴上是否存在点E，使得以点C，D，E为顶点的三角形是直角三角形？若存在，求出点E的坐标；若不存在，请说明理由．解：（1）∵一次函数y＝x﹣2的图象与一次函数y＝4x+b的图象交于点D，且点D的坐标为（﹣2，﹣4），∴关于x、y的方程组的解是，∴关于x、y的方程组的解是，故答案为：；（2）把点D的坐标代入一次函数y＝4x+b中得：﹣8+b＝﹣4，解得：b＝4，∴B（0，4），∵A（0，﹣2），∴AB＝4﹣（﹣2）＝6，＝＝6；∴S△ABD（3）存在，如图1，当点E为直角顶点时，过点D作DE⊥x轴于E，∵D（﹣2，﹣4），∴E（﹣2，0）；当点C为直角顶点时，x轴上不存在点E；当点D为直角顶点时，过点D作DE⊥CD交x轴于点E，作DF⊥x轴于F，设E（t，0），当y＝0时，4x+4＝0，∴x＝﹣1，∴C（﹣1，0），∵F（﹣2，0），∴CE＝﹣1﹣t，EF＝﹣2﹣t，∵D（﹣2，﹣4），∴DF＝4，CF＝﹣1﹣（﹣2）＝1，在Rt△DEF中，DE2＝EF2+DF2＝42+（﹣2﹣t）2＝t2+4t+20，在Rt△CDF中，CD2＝12+42＝17，在Rt△CDE中，CE2＝DE2+CD2，∴（﹣1﹣t）2＝t2+4t+20+17，解得t＝﹣18，∴E（﹣18，0），综上，点E的坐标为：（﹣2，0）或（﹣18，0）．考点三：一次函数中平行四边形存在性问题【例3】．如图，已知一次函数y＝kx+b的图象经过A（1，3），B（﹣2，﹣1）两点，并且交x轴于点C，交y轴于点D．（1）求该一次函数的表达式；（2）求△AOB的面积；（3）平面内是否存在一点M，使以点M、C、O、B为顶点的四边形是平行四边形，若存在，请直接写出点M的坐标，若不存在，请说明理由．解：（1）将A（1，3）、B（﹣2，﹣1），代入y＝kx+b得：，解得，∴一次函数的表达式为y＝x+；（2）在y＝x+中，令x＝0得y＝，∴OD＝，＝OD•|x A|＝××1＝，∴S△AODS△BOD＝OD•|x B|＝××2＝，＝S△BOD+S△AOD＝；∴△AOB的面积S△AOB（3）存在，理由如下：在y＝x+中，令y＝0得y＝﹣，∴C（﹣，0），设M（m，n），而B（﹣2，﹣1），O（0，0），①以OB、CM为对角线，则OB的中点即是CM的中点，如图：∴，解得，∴M（﹣，﹣1）；②以BC、OM为对角线，则BC的中点即是OM的中点，如图：∴，解得，∴M（﹣，﹣1）；③以BM、CO为对角线，则BM的中点即是CO的中点，如图：∴，解得，∴M（，1）；综上所述，M的坐标为：（﹣，﹣1）或（﹣，﹣1）；或（，1）．变式训练【变3-1】．如图1，在平面直角坐标系中，直线y＝﹣x+3与x轴、y轴相交于A、B两点，点C在线段OA上，将线段CB绕着点C顺时针旋转90°得到CD，此时点D恰好落在直线AB上，过点D作DE⊥x轴于点E．（1）求证：△BOC≌△CED；（2）如图2，将△BCD沿x轴正方向平移得△B'C'D'，当B'C'经过点D时，求△BCD平移的距离及点D的坐标；（3）若点P在y轴上，点Q在直线AB上，是否存在以C、D、P、Q为顶点的四边形是平行四边形？若存在，直接写出所有满足条件的P点的坐标；若不存在，请说明理由．（1）证明：∵∠BOC＝∠BCD＝∠CED＝90°，∴∠OCB+∠OBC＝90°，∠OCB+∠ECD＝90°，∴∠OBC＝∠ECD．∵将线段CB绕着点C顺时针旋转90°得到CD，∴BC＝CD．在△BOC和△CED中，，∴△BOC≌△CED（AAS）．（2）解：∵直线y＝﹣x+3与x轴、y轴相交于A、B两点，∴点B的坐标为（0，3），点A的坐标为（6，0）．设OC＝m，∵△BOC≌△CED，∴OC＝ED＝m，BO＝CE＝3，∴点D的坐标为（m+3，m）．∵点D在直线y＝﹣x+3上，∴m＝﹣（m+3）+3，解得：m＝1，∴点D的坐标为（4，1），点C的坐标为（1，0）．∵点B的坐标为（0，3），点C的坐标为（1，0），∴直线BC的解析式为y＝﹣3x+3．设直线B′C′的解析式为y＝﹣3x+b，将D（4，1）代入y＝﹣3x+b，得：1＝﹣3×4+b，解得：b＝13，∴直线B′C′的解析式为y＝﹣3x+13，∴点C′的坐标为（，0），∴CC′＝﹣1＝，∴△BCD平移的距离为．（3）解：设点P的坐标为（0，m），点Q的坐标为（n，﹣n+3）．分两种情况考虑，如图3所示：①若CD为边，当四边形CDQP为平行四边形时，∵C（1，0），D（4，1），P（0，m），Q（n，﹣n+3），∴，解得：，∴点P1的坐标为（0，）；当四边形CDPQ为平行四边形时，∵C（1，0），D（4，1），P（0，m），Q（n，﹣n+3），∴，解得：，∴点P2的坐标为（0，）；②若CD为对角线，∵C（1，0），D（4，1），P（0，m），Q（n，﹣n+3），∴，解得：，∴点P的坐标为（0，）．综上所述：存在，点P的坐标为（0，）或（0，）．考点四：一次函数中矩形存在性问题【例4】．Rt△AOB的两直角边OA、OB分别在x轴的负半轴和y轴的正半轴上，且OA、OB的长满足|OA﹣8|+（OB﹣6）2＝0，∠ABO的平分线交x轴于点C过点C作AB的垂线，垂足为点D，交y轴于点E．（1）求线段AB的长；（2）求直线CE的解析式；（3）若M是射线BC上的一个动点，在坐标平面内是否存在点P，使以A、B、M、P为顶点的四边形是矩形？若存在，请直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由．解：（1）∵|OA﹣8|+（OB﹣6）2＝0，∴OA＝8，OB＝6，在直角△AOB中，AB＝＝＝10；（2）∵BC平分∠ABO，CD⊥AB，AO⊥BO，∴OC＝CD，设OC＝x，则AC＝8﹣x，CD＝x．∵△ACD和△ABO中，∠CAD＝∠BAO，∠ADC＝∠AOB＝90°，∴△ACD相似于△ABO，∴，即，解得：x＝3．即OC＝3，则C的坐标是（﹣3，0）．设AB的解析式是y＝kx+b，根据题意得解得：则直线AB的解析式是y＝x+6，设CD的解析式是y＝﹣x+m，则4+m＝0，则m＝﹣4．则直线CE的解析式是y＝﹣x﹣4；（3）①当AB为矩形的边时，如图所示矩形AM1P1B，易知BC的直线方程为y＝2x+6，设M1（m，2m+6），P1（x，y），因为A（﹣8，0），B（0，6），则AM12＝（m+8）2+（2m+6）2，＝5m2+40m+100，BM12＝m2+（2m+6﹣6）2＝5m2，AB＝10，根据AB2+AM12＝BM12得100+5m2+40m+100＝5m2，m＝﹣5，∴M1（﹣5，﹣4），根据平移规律可以解得P1（3，2）②当AB为矩形的对角线时，此时有AB2＝AM22+BM22，即100＝5m2+40m+100+5m2，m ＝﹣4或m＝0（舍去），∴M2（﹣4，﹣2），根据平移规律可以解得P2（﹣4，8）综上可得，满足条件的P点的坐标为P1（3，2）或P2（﹣4，8）．变式训练【变4-1】．如图，四边形OABC是矩形，点A、C在坐标轴上，△ODE是△OCB绕点O顺时针旋转90°得到的，点D在x轴上，直线BD交y轴于点F，交OE于点H，线段BC、OC的长是方程x2﹣4x+3＝0的两个根，且OC＞BC．（1）求直线BD的解析式；（2）求点H到x轴的距离；（3）点M在坐标轴上，平面内是否存在点N，使以点D、F、M、N为顶点的四边形是矩形？若存在，请直接写出点N的坐标；若不存在，请说明理由．解：（1）x2﹣4x+3＝0，解得：x＝3或1，故BC＝1，OC＝3，即点C（0，3）、点A（﹣1，0），则点B（﹣1，3），点D（3，0），点E（3，1），将B、D点的坐标代入一次函数表达式：y＝kx+b得：，解得：，故直线BD的表达式为：y＝﹣x+…①；（2）同理可得：直线OE的表达式为：y＝x…②，联立①②并解得：y＝，即点H到x轴的距离为：；（3）直线BD的表达式为：y＝﹣x+，则点F（0，），①当FD是矩形的一条边时，当点M在x轴上时，∵MF⊥BD，则直线MF的表达式为：y＝x+，当y＝0，x＝﹣，即点M（﹣，0），点F向右平移3个单位向下平移单位得到D，则点M向右平移3个单位向下平移单位得到N，则点N（，﹣）；当点M在y轴上时，同理可得：点N（﹣3，﹣）；②当FD是矩形的对角线时，此时点M在原点O，则点N（3，）；综上，点N的坐标为：（，﹣）或（﹣3，﹣）或（3，）．考点五：一次函数中菱形存在性问题【例5】．如图1，直线y＝x+6与x，y轴分别交于A，B两点，∠ABO的角平分线与x轴相交于点C．（1）求点C的坐标；（2）在直线BC上有两点M，N，△AMN是等腰直角三角形，∠MAN＝90°，求点M 的坐标；（3）点P在y轴上，在平面上是否存在点Q，使以点A、B、P、Q为顶点的四边形为菱形？若存在，请直接写出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．解：（1）对于直线y＝x+6，令x＝0，得到y＝6，∴B（0，6），令y＝0，得到x＝﹣8，∴A（﹣8，0）．∵A（﹣8，0），B（0，6），∴OA＝8，OB＝6，∵∠AOB＝90°，∴AB＝＝10，过点C作CH⊥AB于H，设OC＝t，∵BC平分∠ABO，∠AOB＝90°，∴CH＝OC＝t，＝S△ABC+S△BCO，∵S△ABO∴OA•OB＝AB•CH+OC•OB，∴6×8＝10t+6t，∴t＝3，∴OC＝3，∴C（﹣3，0）；（2）设线BC的表达式为：y＝kx+b，∵B（0，6），C（﹣3，0），∴直线BC的表达式为：y＝2x+6，设点M（m，2m+6）、N（n，2n+6），过点M作MF⊥x轴于点F，过点N作NE⊥x轴于点E，∵△AMN为等腰直角三角形，故AM＝AN，∵∠NAE+∠MAF＝90°，∠MAF+∠AMF＝90°，∴∠NAE＝∠AMF，∵∠AFM＝∠NEA＝90°，AM＝AN，∴△FMA≌△EAN（AAS），∴EN＝AF，MF＝AE，即﹣2n﹣6＝m+8，2m+6＝8+n，解得：m＝﹣2，n＝﹣6，故点M的坐标为（﹣2，2）、点N（﹣6，﹣6）；由于M，N的位置可能互换，故点N的坐标为（﹣2，2）、点M（﹣6，﹣6）；综上所述，点M的坐标为（﹣2，2）或（﹣6，﹣6）；（3）设点P（0，p），∴BP2＝（p﹣6）2，AP2＝82+p2，①当AB是边时，如图，∵点A、B、P、Q为顶点的四边形为菱形，∴BP＝AB＝10，BP′＝AB＝10，OB＝OP″，∵B（0，6），∴P（0，16），P′（0，﹣4），P″（0，﹣6），∵A（﹣8，0），∴Q（﹣8，10），Q′（﹣8，﹣10），Q″（8，0）；②当AB是对角线时，如图，∵点A、B、P、Q为顶点的四边形为菱形，∴AP＝BP，∴BP2＝AP2，∴（p﹣6）2＝82+p2，解得p＝﹣，∴P（0，﹣），∵A（﹣8，0），B（0，6），∴Q（﹣8，）；综上所述，点Q的坐标为（﹣8，10）或（﹣8，﹣10）或（8，0）或（﹣8，）．变式训练【变5-1】．如图，在平面直角坐标系中，直线y＝x+4与x轴、y轴分别交于点D、C，直线AB与y轴交于点B（0，﹣2），与直线CD交于点A（m，2）．（1）求直线AB的解析式；（2）点E是射线CD上一动点，过点E作EF∥y轴，交直线AB于点F，若以O、C、E、F为顶点的四边形是平行四边形，请求出点E的坐标；（3）设P是射线CD上一点，在平面内是否存在点Q，使以B、C、P、Q为顶点的四边形是菱形？若存在，请直接写出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．解：（1）∵点A（m，2）在直线y＝x+4上∴m+4＝2解得m＝﹣2∴点A的坐标为（﹣2，2）设直线AB的解析式为y＝kx+b∴解得∴直线AB的解析式为y＝﹣2x﹣2；（2）如图1，由题意设点E的坐标为（a，a+4），则∵EF∥y轴，点F在直线y＝﹣2x﹣2上∴点F的坐标为（a，﹣2a﹣2）∴EF＝|a+4﹣（﹣2a﹣2）|＝|3a+6|，∵以点O、C、E、F为顶点的四边形是平行四边形，且EF∥OC∴EF＝OC∵直线y＝x+4与y轴交于点C∴点C的坐标为（0，4）∴OC＝4，即|3a+6|＝4解得：a＝﹣或a＝﹣∴点E的坐标为（﹣，）或（﹣，）；（3）如图2，当BC为对角线时，点P，Q都是BC的垂直平分线，且点P和点Q关于BC对称，∵B（0，﹣2），C（0，4），∴点P的纵坐标为1，将y＝1代入y＝x+4中，得x+4＝1，∴x＝﹣3，∴P''（﹣3，1），∴Q''（3，1）当CP是对角线时，CP是BQ的垂直平分线，设Q（m，n），∴BQ的中点坐标为（，），代入直线y＝x+4中，得+4＝①，∵CQ＝CB，∴m2+（n﹣4）2＝36②，联立①②得，（舍）或，∴Q'（﹣6，4），当PB是对角线时，PC＝BC＝6，设P（c，c+4），∴c2+（c+4﹣4）2＝36，∴c＝3（舍）或c＝﹣3，∴P（﹣3，﹣3+4），设Q（d，e）∴（﹣3+0）＝（0+d），（﹣3+4﹣2）＝（e+4），∴d＝﹣3，e＝﹣3﹣2，∴Q（﹣3，﹣3﹣2），即：点Q的坐标为（3，1），（﹣6，4）或（﹣3，﹣3﹣2）．1．一次函数y＝x+4分别交x轴、y轴于A、B两点，在x轴上取一点C，使△ABC为等腰三角形，则这样的点C的坐标为（﹣8，0）（3，0）（2，0）（，0）．解：当x＝0时，y＝4，当y＝0时，x＝﹣3，即A（﹣3，0），B（0，4），OA＝3，OB＝4，由勾股定理得：AB＝5，有三种情况：①以A为圆心，以AB为半径交x轴于两点，此时AC＝AB＝5，C的坐标是（2，0）和（﹣8，0）；②以B为圆心，以AB为半径交x轴于一点（A除外），此时AB＝BC，OA＝OC＝3，C的坐标是（3，0）；③作AB的垂直平分线交x轴于C，设C的坐标是（a，0），A（﹣3，0），B（0，4），∵AC＝BC，由勾股定理得：（a+3）2＝a2+42，解得：a＝，∴C的坐标是（，0），故答案为：（﹣8，0）（3，0）（2，0）（，0）．2．如图，在平面直角坐标系中，点A坐标为（2，1），连接OA，点P是x轴上的一动点，如果△OAP是等腰三角形，请你写出符合条件的点P坐标P1（4，0），P2（，0），P3（﹣，0），P4（，0）．解：设P（x，0），当OA＝AP时，∵A（2，1），∴P1（4，0）；当OA＝OP时，∵A（2，1），∴OA＝＝，∴P2（，0），P3（﹣，0）；当AP＝OP时，∵P（x，0），（2，1），∴（2﹣x）2+12＝x2，解得x＝，∴P4（，0）．综上所述，P点坐标为：P1（4，0），P2（，0），P3（﹣，0），P4（，0）．故答案为：P1（4，0），P2（，0），P3（﹣，0），P4（，0）．3．如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标为（1，0），点B的坐标为（4，0），点C在y 的正半轴上，且OB＝2OC，在直角坐标平面内确定点D，使得以点D、A、B、C为顶点的四边形是平行四边形，请写出点D的坐标为（3，2）（﹣3，2）（5，﹣2）．解：如图，①当BC为对角线时，易求M1（3，2）；②当AC为对角线时，CM∥AB，且CM＝AB．所以M2（﹣3，2）；③当AB为对角线时，AC∥BM，且AC＝BM．则|M y|＝OC＝2，|M x|＝OB+OA＝5，所以M3（5，﹣2）．综上所述，符合条件的点D的坐标是M1（3，2），M2（﹣3，2），M3（5，﹣2）．故答案为：（3，2）（﹣3，2）（5，﹣2）．4．如图，一次函数y＝k2x+b的图象与y轴交于点B，与正比例函数y＝k1x的图象相交于点A（3，4），且OA＝OB．（1）分别求出这两个函数的解析式；（2）求△AOB的面积；（3）点P在x轴上，且△POA是等腰三角形，请直接写出点P的坐标．解：（1）∵正比例函数y＝k1x的图象经过点A（3，4），∴3k1＝4，∴k1＝，∴正比例函数解析式为y＝x．如图1中，过A作AC⊥x轴于C，在Rt△AOC中，OC＝3，AC＝4，∴AO＝＝5，∴OB＝OA＝5，∴B（0，﹣5），∴，解得，∴一次函数的解析式为y＝3x﹣5．（2）如图1中，过A作AD⊥y轴于D，∵A（3，4），∴AD＝3，＝；∴S△AOB（3）当OP＝OA时，P1（﹣5，0），P2（5，0），当AO＝AP时，P3（6，0），当PA＝PO时，线段OA的垂直平分线为y＝﹣，∴，满足条件的点P的坐标（﹣5，0）或（5，0）或（6，0）或．5．直线l1交x轴于点A（6，），交y轴于B（0，6）．（1）如图，折叠△AOB，使BA落在y轴上，折痕所在直线为l2，直线l2与x轴交于C 点，求C点坐标及l2的解析式；（2）在直线l1上找点M，使得以M、A、C为顶点的三角形是等腰三角形，求出所有满足条件的M点的坐标．解：∵点A（6，0），交y轴于B（0，6）．∴OA＝6，OB＝6，∴tan∠OAB＝＝，∴∠OAB＝30°，∴∠OBA＝60°，∵折叠△AOB，∴∠OBC＝∠ABC＝30°，∴BC＝2OC，BO＝OC＝6，∴OC＝2，∴点C（2，0），设直线BC解析式为：y＝kx+b，解得：∴直线BC解析式为：y＝﹣x+6；（2）当点M与点B重合时，由（1）可知：∠AMC＝∠MAC＝30°，∴CM＝AC，∴△ACM是等腰三角形，∴当M为（0，6）时，△ACM是等腰三角形，∵OC＝2，OA＝6，∴AC＝4，若AM＝AC＝4，如图1：过点M作MH⊥AC，∵∠MAH＝30°，∴MH＝AM＝2，AH＝2MH＝6，∴OH＝6﹣6或6+6，∴点M（6﹣6，2）或（6+6，﹣2）若AM＝MC，如图2，过点M作MH⊥AC，∵AM＝MC，MH⊥AC，∴AH＝CH＝2，∴OC＝4，∵∠MAH＝30°，∴AH＝MH，∴MH＝2，∴点M（4，2），综上所述：点M（6﹣6，2）或（6+6，﹣2）或（4，2）或（0，6）．6．在平面直角坐标系中，直线y＝kx+8k（k是常数，k≠0）与坐标轴分别交于点A，点B，且点B的坐标为（0，6）．（1）求点A的坐标；（2）如图1，将直线AB绕点B逆时针旋转45°交x轴于点C，求直线BC的解析式；（3）在（2）的条件下，直线BC上有一点M，坐标平面内有一点P，若以A、B、M、P 为顶点的四边形是菱形，请直接写出点P的坐标．解：（1）令y＝kx+8k＝0，解得x＝﹣8，故点A的坐标为（﹣8，0）；（2）过点A作AD⊥AB交BC于点D，过点A作y轴的平行线交过点B与x轴的平行线于点M，交过点D与x轴的平行线于点N，∵∠ABC＝45°，故△ABD为等腰直角三角形，则AD＝AB，∵∠BAM+∠DAN＝90°，∠DAN+∠ADN＝90°，∴∠BAM＝∠ADN，∵∠BMA＝∠AND＝90°，∴△BMA≌△AND（AAS），∴AN＝BM＝8，ND＝AM＝6，故点D的坐标为（﹣2，﹣8），设直线BC的表达式为y＝kx+b，则，解得，故直线BC的表达式为y＝7x+6；（3）设点M的坐标为（m，7m+6），点P（s，t），而点A、B的坐标分别为（﹣8，0）、（0，6），①当AB是边时，点A向右8个单位向上6个单位得到点B，同样，点M（P）向右8个单位向上6个单位得到点P（M），且AB＝BP（AB＝BM），则或，解得或或（不合题意的值已舍去）；故点P的坐标为（﹣8，7）或（﹣﹣8，﹣7）或（6，﹣2）；②当AB是对角线时，由中点坐标公式和AM＝BM得：，解得，故点P的坐标为（﹣7，7）；综上，点P的坐标为（﹣8，7）或（﹣﹣8，﹣7）或（6，﹣2）或（﹣7，7）．7．如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与x轴交于点A（﹣4，0），与y轴交于点B，且与正比例函数y＝x的图象交于点C（m，6）．（1）求一次函数的解析式；（2）求△BOC的面积；（3）在x轴上是否存在一点P，使得△ABP是等腰三角形？若存在，请直接写出符合条件的所有点P的坐标；若不存在，请说明理由．解：（1）∵将点C（m，6）代入y＝x，∴6＝m，∴m＝4，∴C（4，6），设一次函数的解析式为y＝kx+b，∴，∴，∴y＝x+3；（2）在y＝x+3中，令x＝0得y＝3，∴B（0，3），＝OB•|x C|＝×3×4＝6；∴S△BOC（3）在x轴上存在一点P，使得△ABP是等腰三角形，理由如下：∵A（﹣4，0），B（0，3），∴AB＝5，OA＝4，当B为等腰三角形顶角顶点时，P点与A点关于y轴对称，∴P（4，0）；当A为等腰三角形顶角顶点时，AP＝AB＝5，∴P（﹣9，0）或P（1，0）；当P为等腰三角形顶角顶点时，设P（t，0），∵PA＝PB，∴（t+4）2＝t2+9，解得t＝﹣，∴P（﹣，0），综上所述：P点坐标为（﹣9，0）或（1，0）或（4，0）或（﹣，0）．8．如图，已知一次函数y＝x+m的图象与x轴交于点A（﹣6，0），交y轴于点B．（1）求m的值与点B的坐标（2）问在x轴上是否存在点C，使得△ABC的面积为16？若存在，求出点C的坐标；若不存在，说明理由．（3）问在x轴是否存在点P，使得△ABP为等腰三角形，求出点P坐标．（4）一条经过点D（0，2）和直线AB上的一点的直线将△AOB分成面积相等的两部分，请求出这条直线的函数表达式．解：（1）把点A（﹣6，0）代入y＝x+m，得m＝8，∴点B坐标为（0，8）．（2）存在，设点C坐标为（a，0），由题意•|a+6|•8＝16，解得a＝﹣2或﹣10，∴点C坐标（﹣2，0）或（﹣10，0）．（3）如图1中，①当AB＝AP时，AP＝AB＝＝10，可得P1（﹣16，0），P2（4，0）．②当BA＝BP时，OA＝OP，可得P3（6，0）．③当PA＝PB时，∵线段AB的垂直平分线为y＝﹣x+，可得P4（，0），综上所述，满足条件的点P坐标为（﹣16，0）或（4，0）或（6，0）或（，0）．（4）如图2中，设过点D的直线交AB于E，设E（b，），由题意BD•（﹣b）＝××6×8，∴b＝﹣4，∴点E坐标（﹣4，），设直线DE的解析式为y＝kx+b则有，解得，∴这条直线的函数表达式y＝﹣x+2．9．在平面直角坐标系中，一次函数y＝﹣x+2的图象交x轴、y轴分别于A、B两点，交直线y＝kx于P（2，a）．（1）求点A、B的坐标；（2）若Q为x轴上一动点，△APQ为等腰三角形，直接写出Q点坐标；（3）点C在直线AB上，过C作CE⊥x轴于E，交直线OP于D，我们规定若C，D，E 中恰好有一点是其他两点所连线段的中点，则称C，D，E三点为“和谐点”，求出C，D，E三点为“和谐点”时C点的坐标．解：（1）当x＝0时，y＝﹣x+2＝2，∴点B的坐标为（0，2）；当y＝0时，有﹣x+2＝0，解得：x＝4，∴点A的坐标为（4，0）；（2）∵一次函数y＝﹣x+2的图象交直线y＝kx于P（2，a）．∴a＝﹣×2+2＝1，∴点P的坐标为（2，1），设点Q（m，0），而点A、P的坐标分别为：（4，0）、（2，1），则AP＝＝，AQ＝|4﹣m|，PQ＝，当AP＝AQ时，则＝|4﹣m|，解得m＝4±，∴点Q（4±，0）；当AP＝PQ时，＝，解得m＝0或4（舍去），∴点Q（0，0）；当PQ＝AQ时，即＝|4﹣m|，解得：m＝，∴点Q（，0）；综上，点Q的坐标为（4±，0）或（0，0）或（，0）；（3）∵y＝kx过P（2，1）．∴2k＝1，解得k＝，∴y＝x，设点C的坐标为（n，﹣n+2），则点D的坐标为（n，n），点E的坐标为（n，0），∴CD＝|﹣n+2﹣n|＝|2﹣n|，DE＝|n|，CE＝|﹣n+2|＝|n﹣2|，当D为CE的中点时，CD＝DE，∴|2﹣n|＝|n|，解得n＝或4（舍去），∴点C的坐标为（，）；当C为DE的中点时，CD＝CE，∴|2﹣n|＝|n﹣2|，解得n＝或0（舍去），∴点C的坐标为（，）；当E为CD的中点时，DE＝CE，∴|n|＝|n﹣2|，无解；综上，C，D，E三点为“和谐点”时C点的坐标为（，）或（，）．10．如图所示，直线l：y＝﹣x+2与x轴、y轴分别交于A、B两点，在y轴上有一点C（0，4）．（1）求△AOB的面积；（2）动点M从A点以每秒1个单位的速度沿x轴向左移动，求△COM的面积S与M的移动时间t之间的函数关系式；（3）当动点M在x轴上移动的过程中，在平面直角坐标系中是否存在点N，使以点A，C，N，M为顶点的四边形为菱形，若存在，请直接写出点N的坐标；若不存在，请说明理由．解：（1）令y＝0，，解得x＝．令x＝0，y＝．∴A（，0），B（0，）．＝．∴△AOB的面积为12．（2）∵动点M从A点以每秒1个单位的速度沿x轴向左移动，∴AM＝t．当0≤t≤时，OM＝，OC＝．∴＝＝．当t＞时，OM＝t﹣．∴＝＝．综上，△COM的面积S与M的移动时间t之间的函数关系式：S＝．（3）在平面直角坐标系中存在点N，使以点A，C，N，M为顶点的四边形为菱形．①当AC，AM为菱形的边时，情况一：如图1，当点M在点A的左侧时，Rt△AOC中，＝，∴NC＝AC＝．∵NC∥AM，∴点N（，）．情况二，如图1′，当点M在点A的右侧时，由情况一同理可得点N的坐标为．②当AC为菱形的对角线时，如图2，此时M，O重合，四边形OANC为正方形，则点N（，）．③如图3，当AC为菱形的边，AM为菱形的对角线时，此时点C，N关于x轴对称，∴点N（0，﹣）．综上，在平面直角坐标系中存在点N，使以点A，C，N，M为顶点的四边形为菱形，此时点N的坐标为：（，），，（，），（0，﹣）．11．如图，直线y＝﹣x+4与x轴、y轴分别交于A、B两点，直线BC与x轴、y轴分别交于C、B两点，连接BC，且OC＝OB．（1）求点A的坐标及直线BC的函数关系式；（2）点M在x轴上，连接MB，当∠MBA+∠CBO＝45°时，求点M的坐标；（3）若点P在x轴上，平面内是否存在点Q，使点B、C、P、Q为顶点的四边形是菱形？若存在，请直接写出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．解：（1）对于直线y＝﹣x+4，令x＝0的y＝4，令y＝0得x＝4，∴A（4，0），B（0，4），∴OB＝OA＝4，∵OC＝OB，∴OC＝3，∴C（﹣3，0），设直线BC的解析式为y＝kx+b，则有，解得，∴直线BC的解析式为y＝x+4．（2）如图1中，当点M在点A的左边时，∵OB＝OA＝4，∠AOB＝90°，∴∠ABO＝45°，∴∠CBO+∠MBA＝∠MBA+∠MBO＝45°，∴∠CBO＝∠OBM，∵∠CBO+∠BCO＝90°，∠BMO+∠OBM＝90°，∴∠BCO＝∠BMO，∴BC＝BM，OC＝OM＝3，∴M（3，0），作点M关于直线AB的对称点N，作直线BN交x轴于M1，则∠M1BA＝∠MBA，点M1满足条件．∵N（4，1），B（0，4），∴直线BN的解析式为y＝﹣x+4，令y＝0，得x＝，∴M1（，0），综上所述，满足条件的点M的坐标为（3，0）或（，0）．（3）如图2中，∵BC＝＝5，当BC为菱形的边时，四边形CP1Q1B，四边形CP3Q3B，四边形BCQ2P2是菱形，此时Q1（﹣5，4），Q3（5，4），Q2（0，4），当BC是菱形的对角线时，四边形CP4BQ4是菱形，可得Q4（﹣，4）．综上所述，满足条件的点Q的坐标为（﹣5，4）或（5，4）或（0，﹣4）或．12．已知，一次函数y＝的图象与x轴、y轴分别交于点A、点B，与直线y＝相交于点C．过点B作x轴的平行线l．点P是直线l上的一个动点．（1）求点A，点B的坐标．（2）求点C到直线l的距离．＝S△BCP，求点P的坐标．（3）若S△AOC（4）若点E是直线y＝上的一个动点，当△APE是以AP为直角边的等腰直角三角形时，请直接写出点E的坐标．解：（1）∵一次函数y＝的图象与x轴、y轴分别交于点A、点B，∴令y＝0，则＝0，∴x＝8，令x＝0，则y＝6，∴点A、B的坐标分别为：（8，0）、（0，6）；（2）解：得，，∴点C（3，），则C到直线l的距离为6﹣＝；＝×8×＝15＝S△BCP＝×BP×（y P﹣y C）＝BP×，（3）∵S△AOC解得：BP＝，故点P（，6）或（﹣，6）；（4）设点E（m，m）、点P（n，6）；①当∠EPA＝90°时，当点P在y轴右侧时，当点P在点E的左侧时，如图1，∵∠MEP+∠MPE＝90°，∠MPE+∠NPA＝90°，∴∠MEP＝∠NPA，AP＝PE，∵△EMP≌△PNA（AAS），则ME＝PN＝6，MP＝AN，即m﹣n＝6，m﹣6＝8﹣n，解得：m＝，当点P在点E的右侧时，如图，同理可得m＝16，当∠EAP＝90°时，当点P在y轴左侧时，如图2，同理可得：m﹣8＝6，m＝8﹣n，解得：m＝14，故点E（14，）；故点E（，）或（14，）或（16，20）；如图3，同理可得：△AMP≌△ANE（AAS），故MP＝EN，AM＝AN＝6，即m＝n﹣8，|8﹣m|＝6，解得：m＝2或14（不合题意舍去），故点E（2，）；综上，E（，）或（16，20）或（2，）或（14，）．13．如图，在平面直角坐标系xOy中，直线y＝﹣x+与y＝x相交于点A，与x轴交于点B．（1）求点A，B的坐标；（2）在平面直角坐标系xOy中，是否存在一点C，使得以O，A，B，C为顶点的四边形是平行四边形？如果存在，试求出所有符合条件的点C的坐标；如果不存在，请说明理由；（3）在直线OA上，是否存在一点D，使得△DOB是等腰三角形？如果存在，试求出所有符合条件的点D的坐标，如果不存在，请说明理由．解：（1）∵直线y＝﹣x+与y＝x相交于点A，∴联立得，解得，∴点A（1，1），∵直线y＝﹣x+与x轴交于点B，∴令y＝0，得﹣x+＝0，解得x＝3，∴B（3，0），（2）存在一点C，使得以O，A，B，C为顶点的四边形是平行四边形．①如图1，过点A作平行于x轴的直线，过点O作平行于AB的直线，两直线交于点C，∵AC∥x轴，OC∥AB，∴四边形CABO是平行四边形，∵A（1，1），B（3，0），∴AC＝OB＝3，∴C（﹣2，1），②如图2，过点A作平行于x轴的直线，过点B作平行于AO的直线，两直线交于点C，∵AC∥x轴，BC∥AO，∴四边形CAOB是平行四边形，∵A（1，1），B（3，0），∴AC＝OB＝3，∴C（4，1），③如图3，过点O作平行于AB轴的直线，过点B作平行于AO的直线，两直线交于点C，∵OC∥AB，BC∥AO，∴四边形CBAO是平行四边形，∵A（1，1），B（3，0），∴AO＝BC，OC＝AB，作AE⊥OB，CF⊥OB，易得OE＝EF＝FB＝1，∴C（2，﹣1），（3）在直线OA上，存在一点D，使得△DOB是等腰三角形，①如图4，当OB＝OD时，作DE⊥x轴，交x轴于点E∵OB＝3，点D在OA上，∠DOE＝45°∴DE＝OE＝，∴D（﹣，﹣），②如图5，当OD＝OB时，作DE⊥x轴，交x轴于点E∵OB＝3，点D在OA上，∠DOE＝45°∴DE＝OE＝，∴D（，），③如图6，当OB＝DB时，∵∠AOB＝∠ODB＝45°，∴DB⊥OB，∵OB＝3，∴D（3，3），④如图7，当DO＝DB时，作DE⊥x轴，交x轴于点E∵∠AOB＝∠OBD＝45°，∴OD⊥DB，∵OB＝3，∴OE＝，AE＝，∴D（，）．综上所述，在直线OA上，存在点D（﹣，﹣），D（，），D（3，3）或D（，），使得△DOB是等腰三角形，14．如图，经过点B（0，2）的直线y＝kx+b与x轴交于点C，与正比例函数y＝ax的图象交于点A（﹣1，3）（1）求直线AB的函数的表达式；（2）直接写出不等式（kx+b）﹣ax＜0的解集；（3）求△AOC的面积；（4）点P是直线AB上的一点，且知△OCP是等腰三角形，写出所有符合条件的点P的坐标．解：（1）依题意得：，解得，∴所求的一次函数的解析式是y＝﹣x+2．（2）观察图形可知：不等式（kx+b）﹣ax＜0的解集；x＜﹣1．（3）对于y＝﹣x+2，令y＝0，得x＝2∴C（1，0），∴OC＝2．＝×2×3＝3．∴S△AOC（4）①当点P与B重合时，OP1＝OC，此时P1（0，2）；②当PO＝PC时，此时P2在线段OC的垂直平分线上，P2（1，1）；③当PC＝OC＝2时，设P（m．﹣m+2），∴（m﹣2）2+（﹣m+2）2＝4，∴m＝2±，可得P3（2﹣，），P4（2+，﹣），综上所述，满足条件的点P坐标为：（1，1）或（0，2）或P（2+，﹣）或（2﹣，）．15．如图1，已知直线l1：y＝kx+4交x轴于A（4，0），交y轴于B．（1）直接写出k的值为﹣1；（2）如图2，C为x轴负半轴上一点，过C点的直线l2：经过AB的中点P，点Q（t，0）为x轴上一动点，过Q作QM⊥x轴分别交直线l1、l2于M、N，且MN＝2MQ，求t的值；（3）如图3，已知点M（﹣1，0），点N（5m，3m+2）为直线AB右侧一点，且满足∠OBM＝∠ABN，求点N坐标．解：（1）把A（4，0）代入y＝kx+4，得0＝4k+4．解得k＝﹣1．故答案是：﹣1；（2）∵在直线y＝﹣x+4中，令x＝0，得y＝4，∴B（0，4），∵A（4，0），∴线段AB的中点P的坐标为（2，2），代入，得n＝1，∴直线l2为，∵QM⊥x轴分别交直线l1、l2于M、N，Q（t，0），∴M（t，﹣t+4），，∴，MQ＝|﹣t+4|＝|t﹣4|，∵MN＝2MQ，∴，分情况讨论：①当t≥4时，，解得：t＝10．②当2≤t＜4时，，解得：．③当t＜2时，，解得：t＝10＞2，舍去．综上所述：或t＝10．（3）在x轴上取一点P（1，0），连接BP，作PQ⊥PB交直线BN于Q，作QR⊥x轴于R，∴∠BOP＝∠BPQ＝∠PRQ＝90°，∴∠BPO＝∠PQR，∵OA＝OB＝4，∴∠OBA＝∠OAB＝45°，∵M（﹣1，0），∴OP＝OM＝1，∴BP＝BM，∴∠OBP＝∠OBM＝∠ABN，∴∠PBQ＝∠OBA＝45°，∴PB＝PQ，∴△OBP≌△RPQ（AAS），∴RQ＝OP＝1，PR＝OB＝4，∴OR＝5，∴Q（5，1），∴直线BN的解析式为，将N（5m，3m+2）代入，得3m+2＝﹣×5m+4解得，∴．16．如图，平面直角坐标系中，直线l分别交x轴、y轴于A、B两点（OA＜OB）且OA、OB的长分别是一元二次方程x2﹣（+1）x+＝0的两个根，点C在x轴负半轴上，且AB：AC＝1：2（1）求A、C两点的坐标；（2）若点M从C点出发，以每秒1个单位的速度沿射线CB运动，连接AM，设△ABM 的面积为S，点M的运动时间为t，写出S关于t的函数关系式，并写出自变量的取值范围；（3）点P是y轴上的点，在坐标平面内是否存在点Q，使以A、B、P、Q为顶点的四边形是菱形？若存在，请直接写出Q点的坐标；若不存在，请说明理由．解：（1）x2﹣（+1）x+＝0，（x﹣）（x﹣1）＝0，解得x1＝，x2＝1，∵OA＜OB，∴OA＝1，OB＝，∴A（1，0），B（0，），∴AB＝2，又∵AB：AC＝1：2，∴AC＝4，∴C（﹣3，0）；（2）∵AB＝2，AC＝4，BC＝2，∴AB2+BC2＝AC2，即∠ABC＝90°，由题意得：CM＝t，CB＝2．①当点M在CB边上时，S＝2﹣t（0≤t）；②当点M在CB边的延长线上时，S＝t﹣2（t＞2）；（3）存在．①当AB是菱形的边时，如图所示，在菱形AP1Q1B中，Q1O＝AO＝1，所以Q1点的坐标为（﹣1，0），在菱形ABP2Q2中，AQ2＝AB＝2，所以Q2点的坐标为（1，2），在菱形ABP3Q3中，AQ3＝AB＝2，所以Q3点的坐标为（1，﹣2），②当AB为菱形的对角线时，如图所示的菱形AP4BQ4，设菱形的边长为x，则在Rt△AP4O中，AP42＝AO2+P4O2，即x2＝12+（﹣x）2，解得x＝，所以Q4（1，）．综上可得，平面内满足条件的Q点的坐标为：Q1（﹣1，0），Q2（1，2），Q3（1，﹣2），Q4（1，）．17．如图1，在平面直角坐标系中．直线与x轴、y轴相交于A、B两点，动点C 在线段OA上，将线段CB绕着点C顺时针旋转90°得到CD，此时点D恰好落在直线AB上时，过点D作DE⊥x轴于点E．（1）求证：△BOC≌△CED；（2）如图2，将△BCD沿x轴正方向平移得△B'C'D'，当直线B′C′经过点D时，求点D的坐标；（3）若点P在y轴上，点Q在直线AB上．是否存在以C、D、P、Q为顶点的四边形是平行四边形？若存在，直接写出所有满足条件的Q点坐标；若不存在，请说明理由．（1）证明：∵∠BOC＝∠BCD＝∠CED＝90°，∴∠OCB+∠DCE＝90°，∠DCE+∠CDE＝90°，∴∠BCO＝∠CDE，在△BOC和△CED中，。
一次函数与三角形
【说明】
①若为顶角，则点在以点【说明】
①若为直角，则点在经过点18/06/12
∠A P ∠A P
【说明】
①若为直角，则点在经过点垂直于线段的直线上，且；
②若为直角，则点在经过点垂直于线段的直线上，且；
③若为直角，则点在线段的垂直平分线上，且．
【方法】
①在平面直角坐标系中需要计算线段长度时，通常作轴或轴的平行线（或垂线），目的是实现坐标与线段长度之
间的相互转换．
②等腰直角三角形中通常通过构造“一线三垂直”模型来解题．
爱
智
康
2
1
8
/
6
/
1
2
∠A P A AB AP=AB
∠B P B AB AP=AB
∠P P AB∠AP B=90∘
x y
已知点和点，点在轴上，若以，，三点为顶点的三角形是等腰直角三角形，求点
的坐标．
A(0 , 1)B(1 , 3)P y A B P
P。
(完整版)一次函数与等腰三角形的存在性问题
一次函数与等腰三角形的存在性问题一．选择题（共3小题)1．在平面直角坐标系中有两点：A（﹣2,3），B（4，3),C是坐标轴x轴上一点，若△ABC是直角三角形,则满足条件的点C共有（)A．2个B．3个C．4个D．6个2．(2008•天津）在平面直角坐标系中，已知点A（﹣4,0),B(2，0)，若点C在一次函数y=﹣x+2的图象上,且△ABC为直角三角形，则满足条件的点C有( ）A．1个B．2个C．3个D．4个3．（2016•江宁区一模)已知点A，B的坐标分别为（﹣4，0）和(2,0)，在直线y=﹣x+2上取一点C，若△ABC是直角三角形，则满足条件的点C有（）A．1个B．2个C．3个D．4个二．填空题（共4小题）4．（2015•杭州模拟）在平面直角坐标系xOy中,点A（﹣4，0)，B（2，0）,设点C是函数y=﹣（x+1)图象上的一个动点，若△ABC是直角三角形,则点C的坐标是．5．（2009秋•南昌校级期末）在直角坐标系中,点A、B、C的坐标分别为(1，2）、（0，0）、（3，0)，若以点A、B、C、D为顶点构成平行四边形，则点D的坐标应为．6．（2009秋•扬州校级期中）在平面直角坐标系中若△ABC的顶点坐标分别为：A（3，0）、B（﹣1，0）、C(2，3）、若以点A、B、C、D为顶点的四边形是平行四边形，则点D的坐标为．7．（2010春•江岸区期中)一个平行四边形在平面直角坐标系中三个顶点的坐标分别是（﹣1，﹣1），（﹣2，3)，(3，﹣1)，则第四个顶点的坐标为．三．解答题(共14小题）8．四边形ABCD中，BD，AC相交于O，且BD⊥AC,求证：AB2+CD2=AD2+BC2．9．如图，直线y=﹣x+3与x轴、y轴分别交于点A，点B,在第一象限是否存在点P，使以A,B，P为顶点的三角形是等腰直角三角形?若存在,求出点P的坐标；若不存在,请说明理由．10．(2012秋•中山区期末）已知，如图，在平面直角坐标系中，A、B两点坐标分别为A（4，0），B（0，8）,直线y=2与直线AB交于点C，与y轴交于点D；(1）求直线AB的解析式；(2）点E是直线AB上的一个动点，问：在y轴上是否存在点F，使得△DEF为等腰直角三角形？若存在，请求出点E及对应的点F的坐标;若不存在，请说明理由．11．(2011秋•东城区期末）如图，四边形OABC的顶点A（0,4），B（﹣2,4），C(﹣4，0）．过作B、C直线l，将直线l平移,平移后的直线l与x轴交于D，与y轴交于点E．探究:当直线l向左或向右平移时（包括直线l与BC直线重合),在直线AB上是否存在P,使△PDE为等腰直角三角形？若存在，请求出所有满足条件的P点的坐标;若不存在，请说明理由．12．（2005•大连）如图,P是y轴上一动点，是否存在平行于y轴的直线x=t，使它与直线y=x和直线y=﹣x+2分别交于点D、E（E在D的上方），且△PDE为等腰直角三角形？若存在，求t的值及点P的坐标；若不存在，请说明原因．13．（2014春•曲靖期末）如图，直线y=﹣x+6与坐标轴分别相交于点A、B．（1）求A、B两点坐标；（2）以AB为边在第一象限内作等边三角形ABC，求△ABC的面积；（3）在坐标系中是否存在点M，使得以M、O、A、B为顶点的四边形为平行四边形?若存在，请直接写出M的坐标；若不存在，请说明理由．17．（2014秋•长兴县期末)如图，在平面平面直角坐标系中,直线y=﹣2x+4交x轴于点A，交y轴与点B,点C是AB的中点，过点C作直线CD⊥x轴于点D，点P是直线CD上的动点．（1）填空：线段OA的长为;线段OB的长为；(2）求点C的坐标；（3）是否存在这样的点P，使△POB为等腰三角形？若存在,请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．20．（2012秋•淮安校级期末）在直角坐标系中，有A(﹣1，1)，B（3，1)，C(2，4）三点，另有一点D与点A、B、C构成平行四边形的顶点，求点D的坐标．21．（2013秋•丽水期末)如图，在平面直角坐标系中，直线l经过点A（，0），点B（0，)．（1）求直线l的函数解析式；（2）若给定点M（5，0)，存在直线l上的两点P,Q，使得以O，P，Q为顶点的三角形与△OMP 全等，请求出所有符合条件的点P的坐标．参考答案一．选择题(共3小题）1．B; 2．D；3．D;二．填空题（共4小题）4．(-4,3），（2，-3），（-，），（，—）；5．（4，2）或（-2,2）或(2，—2）；6．（-2,3）或（6，3）或（0，—3）；7．(2，3）或(-6，3）或（4，—5)；。
一次函数与等腰三角形存在性问题
每日一题 079一次函数与等腰三角形武穴市百汇学校徐国纲解题技巧如果△ABC是等腰三角形，那么存在①AB＝AC，②BA＝BC，③CA＝CB三种情况．已知腰长画等腰三角形用圆规画圆，已知底边画等腰三角形用刻度尺画垂直平分线．如图，已知线段AB作等腰三角形，则符合要求的点都在以A、B为圆心，AB长为半径的圆和AB的垂直平分线上，这就是传说中的“两圆一线”.解等腰三角形的存在性问题，有几何法和代数法，把几何法和代数法相结合，可以使得解题又好又快．几何法一般分三步：分类、画图、计算．代数法一般也分三步：表示三边长，分类列方程，解方程并检验．例题解析例❶ 如图1-1，在平面直角坐标系xOy中，已知点D的坐标为(3, 4)，点P是x轴正半轴上的一个动点，如果△DOP是等腰三角形，求点P的坐标．图1-1【解析】分三种情况讨论等腰三角形△DOP：①DO＝DP，②OD＝OP，③PO＝PD．①当DO＝DP时，以D为圆心、DO为半径画圆，与x轴的正半轴交于点P，此时点D 在OP的垂直平分线上，所以点P的坐标为(6, 0)（如图1-2）．②当OD＝OP＝5时，以O为圆心、OD为半径画圆，与x轴的正半轴交于点P(5, 0) （如图1-3）．③当PO＝PD时，画OD的垂直平分线与x轴的正半轴交于点P，设垂足为E（如图1-4）．可求325:48PEl y x=-+，∴25(,0)6P．图1-2 图1-3 图1-4上面是几何法的解题过程，我们可以看到，画图可以帮助我们快速找到目标P ，其中①和②画好图就知道答案了，只需要对③进行计算．代数法先设点P 的坐标为(x , 0)，其中x ＞0，然后表达△DOP 的三边长（的平方）． DO 2＝52，OP 2＝x 2，PD 2＝(x －3)2+42．①当DO ＝DP 时，52＝(x －3)2+42．解得x ＝6，或x ＝0．当x ＝0时既不符合点P 在x 轴的正半轴上，也不存在△DOP ．②当OD ＝OP 时，52＝x 2．解得x ＝±5．当x ＝－5时等腰三角形DOP 是存在的，但是点P 此时不在x 轴的正半轴上（如图1-5）．③当PO ＝PD 时，x 2＝(x －3)2+42．这是一个一元一次方程，有唯一解，它的几何意义是两条直线（x 轴和OD 的垂直平分线）有且只有一个交点．代数法不需要画三种情况的示意图，但是计算量比较大，而且要进行检验．图1-5例❷ 如图2-1，直线3y x =+与y 、x 轴相交于点A 、C ，动点P 以1个单位/秒的速度从点A 出发，沿AC 向点C 移动，同时动点Q 以1个单位/秒的速度从点C 出发，沿CO 向点O 移动，当P 、Q 两点中其中一点到达终点时则停止运动．在P 、Q 两点移动的过程中，当△PCQ 为等腰三角形时，求t 的值．图2-1【解析】在P 、Q 两点移动的过程中，△PCQ 的6个元素（3个角和3条边）中，唯一不变的就是∠PCQ 的大小，夹∠PCQ 的两条边CQ ＝t ，CP ＝6－t .因此△PQC 符合“边角边”的解题条件，我们只需要在∠PCQ 的边上取点P 或Q 画圆．图2-2 图2-3 图2-4①如图2-2，当CP ＝CQ 时，t ＝6－t ，解得3t =(秒).②如图2-3，当QP ＝QC 时，过点Q 作QM ⊥AC 于M ，则CM 1622t PC -==. 在Rt △QMC 中，∵30PCQ =︒∠，∴2CQ =，62tt -=，解得3t =-(秒). ③如图2-4，当PQ ＝PC 时，过点P 作PN ⊥BC 于N ，则1122CN CQ t ==. 在Rt △PNC 中，∵30PCQ =︒∠，∴2CP =，62tt -=，解得9t =-秒).例❸ 如图3-1，已知正方形OABC 的边长为2，顶点A 、C 分别在x 、y 轴的正半轴上，M 是BC 的中点．P(0, m)是线段OC 上一动点（C 点除外），直线PM 交AB 的延长线于点D ．当△APD 是等腰三角形时，求m 的值．图3-1【解析】点P(0, m)在运动的过程中，△APD 的三个角都在变化，因此不符合几何法“边角边”的解题条件，我们用代数法来解．因为PC//DB ，M 是BC 的中点，所以BD ＝CP ＝2－m ．所以D(2, 4－m)．于是我们可以表达出△APD 的三边长（的平方）：22(4)AD m =-，224AP m =+，2222(42)PD m =+-．①当AP ＝AD 时，22(4)4m m -=+．解得32m =（如图3-2）． ②当P A ＝PD 时，22242(42)m m +=+-． 解得43m =（如图3-3）或4m =（不合题意，舍去）． ③当DA ＝DP 时，222(4)2(42)m m -=+-．解得23m=（如图3-4）或2m=（不合题意，舍去）．综上所述，当△APD为等腰三角形时，m的值为32，43或23．图3-2 图3-3 图3-4其实①、②两种情况，可以用几何说理的方法，计算更简单：①如图3-2，当AP＝AD时，AM垂直平分PD，那么△PCM∽△MBA．所以12PC MBCM BA==．因此12PC=，32m=．②如图3-3，当P A＝PD时，P在AD的垂直平分线上．所以DA＝2PO．因此42m m-=．解得43m=．小结：1、等腰三角形的存在性问题，又可以细分为两个定点一个动点，或一个定点一个定角，或只有一个定点，甚至三个点都是动点等几种类型；2、当条件中有定线段时，可以利用“两圆一线”来画图，再计算；在有定角时，可以借助特殊三角形三边比的特征或相似来建立方程；对于既无定线又无定角的问题，可以用代数法来解，即先表达三边，再分类列方程求解，要注意根据题目条件进行检验.对于不同类型的等腰三角形，我们可以灵活选用几何法或代数法，有时候将两种方法结合起来使用，可以使得解题又快又好；3、在进行有关等腰三角形的计算时，常用到勾股定理、三线合一、特殊角的三角函数、相似、一元二次方程等知识；在这个过程中，贯穿了分类讨论、数形结合、方程等数学思想方法.。
一次函数之存在性问题(一)(讲义及答案).
3一次函数之存在性问题（一）（讲义）➢课前预习1.如图，在平面直角坐标系中，O 为坐标原点，点A 的坐标为( ，1)，P 为y 轴上一点，且△POA 为等腰三角形，则满足条件的点P 的坐标为．2.如图是乐乐的五子棋棋盘的一部分（5×5 的正方形网格），以点D，E 为两个顶点作位置不同的格点三角形，使所作的格点三角形与△ABC 全等，这样的格点三角形最多可以画出个．1➢知识点睛1.存在性问题：通常是在变化的过程中，根据已知条件，探索某种状态是否存在的题目，主要考查．2.存在性问题的处理思路：①分析不变特征分析背景图形中的定点、定线及不变特征，结合图形形成因素（判定，定义等）考虑分类．②分类画图求解分析各种状态的可能性，画出符合题意的图形．通常先尝试画出其中一种情形，分析解决后，再类比解决其他情形．③结果验证回归点的运动范围，画图或推理，验证结果．注：复杂背景下的存在性问题往往需要研究背景图形，几何背景往往研究点、线、图形；函数背景往往研究点坐标、表达式等．3.等腰三角形存在性的不变特征及特征下操作要点举例：两定一动连接两个定点得定线段，定线段在等腰三角形中作腰或底进行分类（两圆一线），通常借助腰相等或者“三线合一”进行求解．4.全等三角形存在性的特征分析及特征下操作要点：分析两三角形的不变特征及对应关系，根据不确定的对应关系进行分类，通常借助边、角的对应相等进行求解．➢精讲精练1.如图，直线y=kx-4 与x 轴、y 轴分别交于点A，B，且OB4．OA 3点 C 在第一象限，且在直线y=kx-4 上，△AOC 的面积是6．（1）求点C 的坐标．（2）x 轴上是否存在点P，使△POC 是等腰三角形？若存在，求出点P 的坐标；若不存在，请说明理由．2.如图，直线y=2x+3 与y 轴交于点A，与直线x=1 交于点B．（1）求点A，B 的坐标．（2）在直线x=1 上是否存在点P，使△ABP 是等腰三角形？若存在，求出点P 的坐标；若不存在，请说明理由．2 3.如图，在平面直角坐标系中，四边形 OABC 的边 OC ，OA 分 别与 x 轴、y 轴重合，AB ∥OC ，∠BCO =45°，BC = 4 ，点 C 的坐标为(-6，0)，直线 BD 交 y 轴正半轴于点 D ，且 OD =2．（1） 求直线 BD 的表达式．（2） 若 P 是直线 BD 上的一个动点，是否存在点 P ，使以O ，D ，P 为顶点的三角形是等腰三角形？若存在，求出点 P 的坐标；若不存在，请说明理由．4.如图，直线y =1x + 2 与x 轴、y 轴分别交于点A，B，点P 是2直线y =1x + 2 上的一个动点，过点P 作直线AB 的垂线，分2别交x 轴、y 轴于点E，F，是否存在点P，使△EOF≌△BOA？若存在，求出点P 的坐标；若不存在，请说明理由．5.如图，直线y=-x+2 与x 轴、y 轴分别交于点A，B，点C 是直线y=-x+2 上的一个动点（不与点A 重合）．过点C 的另一直线CD 与y 轴相交于点D，是否存在点C，使△BCD 与△AOB 全等？若存在，求出点C 的坐标；若不存在，请说明理由．5 5 2 2 2 2 2 【参考答案】➢ 课前预习 1. (0，2)或(0，-2) 2. 4➢ 知识点睛1. 运动的结果 ➢ 精讲精练1. （1）点 C 的坐标为(6，4)；（2）存在，点 P 的坐标为( -2 0)或( 13，0).3，0)，( 2，0)，(12，2. （1）点 A 的坐标为(0，3)，点 B 的坐标为(1，5)； （2）存在，点 P 的坐标为(1，5 + )，(1，5 - )，(1，1)或(1， 15).43. （1）直线 BD 的表达式为 y = -x + 4 ；（2）存在，点 P 的坐标为(2，0)，( ，2 - )，( - ， 2 + 2 )或(1，1).4. 存在，点 P 的坐标为( - 12 ， 4 )或( 4 ， 12)5 5 5 55. 存在，点 C 的坐标为( - ，2 + )，( 2 ，2 - )或(-2，4).13 13 2。
第四章一次函数-一次函数与等腰三角形(教案)
（3）培养学生的空间想象力和几何直观。
举例：在教学过程中，通过画图、举例子等方式，帮助学生建立空间观念，提高对等腰三角形和一次函数图像的理解。
（4）指导学生掌握合作交流、自主探究的学习方法。
3.成果展示：每个小组将向全班展示他们的讨论成果和实验操作的结果。
（四）学生小组讨论（用时10分钟）
1.讨论主题：学生将围绕“一次函数与等腰三角形在实际生活中的应用”这一主题展开讨论。他们将被鼓励提出自己的观点和想法，并与其他小组成员进行交流。
2.引导与启发：在讨论过程中，我将作为一个引导者，帮助学生发现问题、分析问题并解决问题。我会提出一些开放性的问题来启发他们的思考。
2.在实践活动和小组讨论中，关注学生的个体差异，给予他们更多的指导和鼓励，使每个学生都能参与到课堂讨论中来。
3.课后及时进行教学反思，调整教学策略，以提高教学效果。
五、教学反思
在今天的教学过程中，我发现学生们对一次函数与等腰三角形的联系表现出浓厚的兴趣。在导入新课环节，通过提问方式引起学生的好奇心，他们能够积极参与课堂讨论，这是一个很好的开始。
在讲授新课内容时，我尽量用简单明了的语言解释一次函数与等腰三角形的内在联系，让学生们能够更好地理解这两个概念。同时，通过案例分析，让学生们看到一次函数在解决实际问题时的重要作用。在此过程中，我发现有些学生对一次函数图像的对称性质掌握不够牢固，需要我在课堂上进一步强调和解释。
举例：讲解一次函数y=kx+b（k≠0）的图像在坐标系中的对称性，引导学生发现等腰三角形的轴对称性质。
（2）运用一次函数解决与等腰三角形相关的实际问题，如求解等腰三角形的面积、周长等。
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一次函数之等腰三角形的存在性（讲义）➢课前预习
1.如图，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，点A的坐标为
1)，P为
y轴上一点，且△POA为等腰三角形，则满足条件的点P的坐标为______________．
➢知识点睛
1.存在性问题：通常是在变化的过程中，根据已知条件，探索某种状态是否存
在的题目，主要考查运动的结果．
2.存在性问题的处理思路
①分析不变特征
分析所求图形中的定点、定线、定角等不变特征．
②分类、画图
结合所求图形的形成因素，依据其判定、定义等确定分类，并画出符合题意的图形．
通常先尝试画出其中一种情形，分析解决后，再类比解决其他情形．
③求解、验证
围绕不变特征、画图依据来设计方案进行求解；验证时，要回归点的运动范围，画图或推理，判断是否符合题意．
注：复杂背景下的存在性问题往往需要研究背景图形，几何背景往往研究点，线，角；函数背景研究点坐标，表达式等．
3.等腰三角形的存在性特征分析及特征下操作要点举例：
两定点一动点
连接两个定点得定线段，定线段在等腰三角形中作腰或底进行分类（两圆一线），通常借助腰相等或者“三线合一”进行求解．
➢精讲精练
1.如图，直线y=kx-4与x轴、y轴分别交于点A，B，且
4
3 OB
OA
．
点C在第一象限，且在直线y=kx-4上，△AOC的面积是6．
（1）求点C的坐标．
（2）x轴上是否存在点P，使△POC是等腰三角形？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．
2.如图，长方形OABC在平面直角坐标系内，其中A(0，10)，C(6，0)，点D
在线段OC上，将△OAD沿AD翻折，点O的对应点E恰好落在线段BC上．（1）求点D，E的坐标．
（2）若直线AE与x轴交于点F，求点F的坐标．
（3）在（2）的条件下，x轴上是否存在点P，使△APF是等腰三角形？若存在，直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由．
3.如图，直线y=2x+3与y轴交于点A，与直线x=1交于点B．
（1）求点A，B的坐标．
（2）在直线x=1上是否存在点P，使△ABP是等腰三角形？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．
4.如图，直线
4
4
3
y x
=+与x轴、y轴分别交于点A，B，在直线y=3上是否存
在点P，使△ABP是等腰三角形？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．
5.如图，在平面直角坐标系中，四边形OABC的边OC，OA分别与x轴、y轴
重合，AB∥OC，∠BCO=45°，BC
=，点C的坐标为(-6，0)，直线BD
交y轴正半轴于点D，且OD=2．
（1）求直线BD的表达式．
（2）若P是直线BD上的一个动点，是否存在点P，使以O，D，P为顶点的三角形是等腰三角形？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．
【参考答案】
➢课前预习
1.(0，2)或(0，-2)
➢精讲精练
1.（1）点C的坐标为(6，4)；
（2）存在，点P的坐标为(-0)，(0)，(12，0)，(13
3
，0)．
2.（1）D (10
3
，0)，E (6，2)；
（2）F (15
2
，0)．
（3）存在，点P的坐标为(
15
2
-，0)，(-5，0)，(20，0)，(
35
12
-，0)．
3.（1）A (0，3)，B (1，5)；
（2）存在，点P的坐标为(1，5+，(1，5，(1，1)，(1，15
4
)．
4.存在，点P的坐标为(-7，3)，(1，
3)，(-3)，(，3)，(
17
6
-，3).
5.（1）直线BD的表达式为y=-x+2；
（2）存在，点P的坐标为(2，0)，，2，(，2+，(1，
1).。