高一不等式(10)利用基本不等式求最值
利用基本不等式求最值的类型及方法
1利用基本不等式求最值的类型及方法1解析：y x2(x 1) (x2(x 1)1)芳 1(x 1)-1 〜」1(x1)2 2 2(x 1)、几个重要的基本不等式:① a 2 b 2 2aba 2b 2ab（a 、b R ）,当且仅当a = b 时，"=”号成立;2122(x 1)② a b 2 ab2a b ab（a 、b R ），当且仅当a = b 时，“=”号成立;2当且仅当1)即x 2时，“ 5”号成立，故此函数最小值是 -。
2③ a 3 b 3 c 33abc 3abc ―b 3 33c ( (a 、立；④ a b c 3v abc abc ab 3c (a abc3a 、b 、c R ），当且仅当a = b = c 时，“=”号成b 、c R ）,当且仅当a = b = c 时，“=”号成立• 注：①注意运用均值不等式求最值时的条件：一 “正”、二“定”、三“等”； 评析：利用均值不等式求几个正数和的最小值时，关键在于构造条件，使其积为常数。
通常 要通过添加常数、拆项（常常是拆底次的式子）等方式进行构造。
类型n ：求几个正数积的最大值。
例2、求下列函数的最大值：①yx 2(3 2x)(0 x2② y sin xcosx(0 x ) 2② 熟悉一个重要的不等式链: b 22解析：①Q 0x - ,• 32 2x•- y当且仅当 (3 2x)(0x 3 2x 即 x,•• sin x23x x (3 2x) 3 )x x (3 2x) [ ]1 ,231时，“=”号成立，故此函数最大值是 1。
0,cos x 0，则y 0 ,欲求y 的最大值，可先求y 2的最大值。
二、函数 f(x) ax Xb 0）图象及性质 （1）函数f(x) ax b a、 Xb 0图象如图： ⑵函数 f(x) ax ba 、 Xb 0性质： ①值域：（J 2 ab] [2 一ab,)；②单调递增区间：（ 2. 42y sin x cos x当且仅当 故此函数最大值是sin 2x sin 2x coSx 1 2 2 2(sin x sin x 2cosx)21 sin2 x sin 2x 2co^ x3 4「 -------- —)刃.2sin x 2cos x (0tan x 2，即x arctan^^ 时“=”号成立,）;单调递减区间:b ], a ，［(0,,0) •评析：利用均值不等式求几个正数积的最大值，关键在于构造条件，使其和为常数。
利用基本不等式求最值
∴
x
＋
4 x－2
＝
x
－
2
＋
4 x－2
＋
2
＝
－
2－x＋2－4 x
＋
2≤
－
2
2－x·2－4 x＋2＝－2.
当且仅当 2－x＝2－4 x，即 x＝0 时，
x＋x－4 2取最大值－2.
第二章 2.2 第2课时
课标A版·数学·必修第一册
(2)x2－x－2x2＋4＝x－22＋x－22x－2＋4 ＝x－2＋x－4 2＋2≥2 x－2·x－4 2＋2＝6 当且仅当 x－2＝x－4 2，即 x＝4 时，原式有最小值 6.
第二章 2.2 第2课时
课标A版·数学·必修第一册
(4)∵x>0，y>0，1x＋9y＝1， ∴x＋y＝(x＋y)1x＋9y＝10＋yx＋9yx ≥10＋2 9＝16. 当且仅当yx＝9yx且1x＋9y＝1 时等号成立， 即 x＝4，y＝12 时等号成立． ∴当 x＝4，y＝12 时，x＋y 有最小值 16.
课标A版·数学·必修第一册
第
二
一元二次函数、方程和不等式
章
第二章 一元二次函数、方程和不等式
课标A版·数学·必修第一册
2.2
基本不等式
第二章 2.2 第2课时
课标A版·数学·必修第一册
第 2 课时
利用基本不等式求最值
第二章 2.2 第2课时
课标A版·数学·必修第一册
课前自主预习
第二章 2.2 第2课时
第二章 2.2 第2课时
课标A版·数学·必修第一册
[变式] (1)本例(3)中，把“x>2”改为“x<2”，则 x＋x－4 2的最 值又如何？
利用基本不等式求代数式的最值问题
)(a b)
ab
ab
b 4a 7 2 b 4a 7 11
ab
ab
当且仅当
b a
4a b
，即a
1 3
,b
2 3
取"="
2a2 1 2b2 4 的最小值为11.
a
b
题组二：直接配凑或换元
4.若 a 0, b 2 ，且 a b 3，则使得
4 a
b
1
2
取得最小值的实数
a
______．
利用基本不等式求代数式的最值问题
一、知识梳理
1、基本不等式：
ab
a
2
b
(a
0,
b
0)
(1)不等式成立的条件；
(2)等号取得的条件.
一、知识梳理
2、常用的几个重要不等式：
（1） a2 b2 2ab(a, b R) ； （2） b a 2(a, b同号）
ab
一、知识梳理
2、常用的几个重要不等式：
分析：结合条件和所求式子中两个 二次之间的结构关系入手变形.
2 x2 xy y2 ( x y)(2 x y) 1
5 x2 2 xy 2 y2 ( x y)2 (2 x y)2
(2 x y) ( x y)2 2 ( x 2 y)2 2
原式
(x
x2y 2 y)2
3 2
当u 0时, u 5 6 (u 5 ) 6
u
u
2 5 6(当且仅当u 5)
原式
3 2
2
2 5
6
3
4
5
3 4
5
3 2
a2
3a b 的最小值是 3
2ab 3b2
高考基本不等式求最值教案
高考基本不等式求最值教案一、教学目标1.理解基本不等式的定义和性质。
2.熟练掌握常见的基本不等式及其证明方法。
3.学会灵活运用基本不等式求解最值的方法。
二、教学内容1.基本不等式的概念和性质。
2.常见的基本不等式及其证明方法。
3.利用基本不等式求解最值问题。
三、教学步骤第一步：导入新知1.通过举例子或是提问的方式，引发学生对不等式最值问题的思考。
2.提出问题：如何通过基础不等式求解最值问题？第二步：学习基本不等式的定义和性质1.讲解基本不等式的定义和性质。
2.写出常见的基本不等式的形式，并讲解其证明方法。
第三步：实例分析1.分析并讲解一些常见的基础不等式的实例。
2.引导学生思考如何通过基础不等式求解最值问题。
第四步：练习和巩固1.教师出示一些基础不等式的练习题，可以分组抢答或是个人作答。
2.针对不同的题型，提供不同的解题思路和方法。
第五步：拓展1.提供一些拓展题目，要求学生通过灵活运用基础不等式来求解最值问题。
2.鼓励学生多思考、多尝试，加强解题的技巧和策略。
第六步：总结与归纳1.和学生一起总结基本不等式的性质和求最值的方法。
2.强调对基础不等式的熟练掌握和灵活运用的重要性。
四、教学重难点1.教学重点：基本不等式的定义和性质。
2.教学难点：灵活运用基本不等式求解最值问题。
五、教学方法1.演示法：通过例子的演示，引导学生掌握基本不等式的性质和求解最值的方法。
2.提问法：通过提问的方式，激发学生的思考和解题的兴趣。
六、教学工具1.教学PPT。
2.黑板、粉笔。
七、教学评价1.教师可以通过观察学生的课堂表现和解题情况来进行评价。
2.学生可以通过课堂练习和作业完成情况来进行自我评价。
通过以上教学设计，学生可以在课堂上系统地学习和巩固基本不等式的概念、性质和求解最值的方法。
在教学过程中，充分发挥学生的主体性，通过提问和解题活动，激发学生的思考和兴趣，确保学生能够真正理解和掌握基本不等式的相关知识，并能够熟练运用解题技巧解决最值问题。
10基本不等式求函数值域
利用基本不等式 （ ），求函数的最值，其题型特征解析式是和式时要求积为定值，解析式是积时要求和为定值，不过有时需要用到拆项、添项和两边平方等技巧。
【例1】函数 的值域为。
【答案】
【解析】 ，当且仅当 取等号，故函数 值域为 。
【例2】若函数 的值域为 ,则函数 的值域是。
， ， ，从而 ，即 ，当且仅当 ，即 时“ ”成立，即 。
法二：利用双勾函数求最值
， ， ，
，当且仅当 时取等号。
【例5】函数 的最小值为。
【答案】
【解析】 ,当且仅当 ,即 时 .
【答案】
【解析】设 ， ， ， 在 时单调递减, 在 时单调递增, ， ， , ， ，综上所述，函数 的值域为 .
【例3】函数 的值域为。
【答案】
【解析】令 ，则 ,故
⑴当 时， ;
⑵当 时， ，当且仅当 ，即 时取等号，所以 。
综上所述，函数的值域为 。
【例4】若 ，则函数 的最大值为。
【答案】
【解析】法一：利用基本不等式求最值： ，
利用基本不等式求最值
思考
(3)若将例 1 中的条件变为 0＜x＜54时，求 y 的最大值． 【解析】 x∈(0，54)时，t∈(－5，0)． y＝t＋1t ＋3, y′＝1－t12. 令 y′＝0，得 t＝－1. t∈(－5，－1)时，y′＞0. t∈(－1，0)时，y′＜0. ∴t＝－1 时，ymax＝1.
注意：①各项皆为正数；
②和为定值或积为定值； ③注意等号成立的条件.
一“正”， 二“定”，
三“相等”.
二.典例分析
题型一:拼凑法求最值
1 例 1:在下列条件下，求 y＝4x－2＋4x－5的最值． ① 当 x>54时，求最小值；
5 ② 当 x<4时，求最大值；
典例分析
【解析】①∵x>54，∴4x－5>0. y＝4x－2＋4x1－5＝4x－5＋4x1－5＋3≥2＋3＝5. 当且仅当 4x－5＝4x1－5，即 x＝32时上式“＝”成立． 即 x＝32时，ymin＝5.
思考
(2)若将例 1 中的条件变为 x≤45，求 y 的最大值． 【解析】 设 4x－5＝t，则 x＝t＋4 5. ∵x≤45，∴t≤－95. ∴y＝t2＋3tt＋1＝t＋1t ＋3. 设 g(t)＝t＋1t ，∴g′(t)＝1－t12＞0. ∴g(t)在(－∞，－95]上为增函数． ∴ymax＝－95－59＋3＝2495.
此时a(1 b)取得最大值 9，a= 3，b= 1 . 842
典例分析
例3：(1) 已知a, b都是正数, 2a b 2, 求a(1 b) 的最值和此时a, b的值.
(2) 已知a, b都是正数, a2 2b2 2,
a (1 2b2 )的最值是
.
解析：(2)因为a,b都是正数, a2 2b2 2
利用不等式求最值
课题：利用不等式求最值主讲人：许昌高中 陈俊涛教学目标1. 掌握均值不等式定理，并会用此定理求最大、最小值.2. 掌握均值不等式定理及重要不等式a 2+b 2≥2ab ，使学生认清定理的结构特点和取“=”条件. 要在分析具体问题的特点的过程中寻求运用公式的适当形式和具体方法，提高学生分析问题和解决问题的能力.教学重点基本不等式a 2+b 2≥2ab 和2b a +≥ab （a ＞0，b ＞0）的灵活应用. 教学难点如何凑成两个数的和或积是定值.教学方法讲练结合法.教学设计一、课题导入对于基本不等式a 2+b 2≥2ab 和2b a +≥ab （a ＞0，b ＞0）的灵活应用，应注意：基本不等式中是“和”为定值还是“积”为定值，从而对公式采用“正用”还是“逆用”，对某些问题需进行拼凑、变形后，方可运用公式，并需注意公式中“等号”成立的条件，如果等号不能成立，则不能利用均值不等式，需借助于函数的单调性求最值.二、例题讲解例1 （1）已知x ＜45，则函数y=4x －1+541-x 的最大值为 . （2）函数y=4522++x x 最小值为 .（3）函数y=x(4－2x) (0＜x ＜2)的最大值为 .（4）已知a ＞0，b ＞0，且2a+3b=1，则ab 的最大值为 .（5）已知a ＞0，b ＞0，且a 2+22b =1，则a 21b +的最大值为 . 例2 已知x ＞0，y ＞0，且191=+yx ，求x+y 的最小值. 变式训练：已知x ＞0，y ＞0，且4x+y=21，求y x 11+的最小值. 例3 若正数a ，b 满足ab=a+b+3.（1）求ab 的最小值；（2）求a+b 的最小值.例4 求函数y=x+xa （a ＞0）在区间[1，+∞）上的最小值. 变式训练：求函数y= x+x9在区间[a ，+∞）（a ＞0）上的最小值. 三、课后小结四、课后作业1. 函数y=1)2)(5(+++x x x （x ＞－1）的最小值为 . 2. 函数y=812+-x x （x ＞1）的最大值为 . 3. 函数y=x 2+2x+3212++x x 的最小值为 . 4. 已在3a 2+2b 2=5，则(2a 2+1)(b 2+2)的最大值为 .5. 若正数a 、b 满足a 2+b 2=2，则a+b 最大值为 .。
用基本不等式求函数的最值
一、 在用基本不等式求函数的最值时，应具备三个条件：一正二定三取等。
① 一正：函数的解析式中，各项均为正数；② 二定：函数的解析式中，含变数的各项的和或积必须有一个为定值；③ 三取等：函数的解析式中，含变数的各项均相等，取得最值。
二、，且，为定值，则，等号当且仅当时成立.，且，为定值，则，等号当且仅当时成立.练习题：1. 已知a ，b 都是正数，则 a ＋b 2、a 2＋b 22的大小关系是 。
3.若,求的最大值.4 设1->x ，则函数461y x x =+++的最小值是 。
5.已知正数x y 、满足3xy x y =++，则xy 的范围是 。
6. 给出下列命题：①a,b 都为正数时,不等式a+b ≥才成立。
②y=x+1x的最小值为2。
③y=sinx+2sin x(02x π<≤)的最小值为.④当x>0时，y=x 2+16x ≥,当x 2＝16x 时，即x=16,y 取最小值512。
其中错误的命题是 。
7.已知正数y x ,满足12=+y x ,求yx11+的最小值有如下解法：解：∵12=+y x 且0,0>>y x . ∴242212)2)(11(11=⋅≥++=+xy xyy x yxy x∴24)11(min =+yx.判断以上解法是否正确？说明理由；若不正确，请给出正确解法． 8.已知141ab+=，且a>0，b>0,求a+b 最小值。
9.已知x ＞0，函数y ＝2－3x －4x 有 值是 .10．已知：226x y +=， 则2x y+的最大值是＿＿＿11.函数xx y4+=的值域是 。
12．某单位决定投资3 200元建一仓库（长方体状），高度恒定，它的后墙利用旧墙不花钱，正面用铁栅，每米长造价40元，两侧墙砌砖，每米造价45元，屋顶每平方米造价20元，试计算： （1）仓库面积S 的最大允许值是多少？（2）为使S 达到最大，而实际投资又不超过预算，那么正面铁栅应设计为多长？13、若实数x ，y 满足224x y +=，求xy 的最大值14、若x>0,求9()4f x x x=+的最小值; 15、若0x <，求1y x x=+的最大值16、若x<0,求9()4f x x x=+的最大值 17、求9()45f x x x =+-(x>5)的最小值.18、若x ，y R +∈，x+y=5，求xy 的最值 19、若x ，y R +∈，2x+y=5，求xy 的最值20、已知直角三角形的面积为4平方厘米，求该三角形周长的最小值 21、求1 (3)3y x x x =+>-的最小值.22、求(5) (05)y x x x =-<<的最大值. 23、求1(14)(0)4y x x x =-<<的最大值。
基本不等式最值问题
基本不等式最值问题在数学中，基本不等式是解决最值问题的常用工具。
最值问题可以简单理解为在一定条件下，求一个函数的最大值或最小值。
而基本不等式是通过确定函数的上界或下界，从而确定函数的最值。
本文将介绍基本不等式的概念、应用以及解决最值问题的步骤。
一、基本不等式的概念基本不等式是指一些常见的不等式模式，通过这些模式，可以直接得到函数的上界或下界，从而确定函数的最值。
常见的基本不等式有以下几种：1. 平方不等式：对于任意实数a，有a^2≥0，即任意实数的平方都大于等于0。
这个不等式模式可以用于求解二次函数的最值问题。
2. 三角不等式：对于任意实数a和b，有|a+b|≤|a|+|b|，即两个数的绝对值之和不大于这两个数的绝对值之和。
这个不等式模式可以用于求解绝对值函数的最值问题。
3. 柯西-施瓦茨不等式：对于任意n个实数a1、a2、...、an和b1、b2、...、bn，有|(a1b1+a2b2+...+anbn)|≤√(a1^2+a2^2+...+an^2)√(b1^2+b2^2+ ...+bn^2)，即两个向量的内积的绝对值不大于它们的模的乘积。
这个不等式模式可以用于求解向量函数的最值问题。
二、解决最值问题的步骤解决最值问题的一般步骤如下：1. 确定问题：明确要求求解的最值是函数的最大值还是最小值。
2. 建立模型：根据题目中的条件，建立函数模型。
根据问题的特点，可以选择适合的基本不等式。
3. 求解过程：根据建立的模型，利用基本不等式求解函数的上界或下界。
具体的求解过程要根据问题的具体条件进行分析和推导。
4. 检验答案：将求解得到的值代入原函数，验证其是否为最大值或最小值。
同时，还要检查是否存在其他的极值点。
三、应用举例下面通过两个具体的例子来说明基本不等式的应用。
例1：求函数y=x^2+2x+3在定义域内的最小值。
解：首先，我们可以求出函数的导数为y'=2x+2，令其等于0，得到x=-1。
由于这是一个二次函数，且a>0，所以函数在x=-1处取得最小值。
基本不等式求最值问题
＝1，
并且x＋2y>m2＋2m恒成立，则实数m的取值范围是( ) A．(－∞，－2)∪[4，＋∞) B．(－∞，－4]∪[2，＋∞) C．(－2,4) D．(－4,2)
练习：
x
若对于任意x>0， x 2 3 x 1 ≤a恒成立，
则a的取值范围是________．
2021/8/6
7
基本不等式求最值问题
纳雍一中
王昊
2021/8/6
1
基本定理及推论
定 理 1:如 果 a ,b R ,那 么 a 2b 22 a b (当 且 仅 当 ab 时 取 号 )
定 理 2:如 果 a,b是 正 数 ,那 么 ab ab 2
(当 且 仅 当 ab时 取 号 )
常见推论：
(1) b + a 2(a,b同号) ， b a 2(a,b异号)；
2021/8/6
5
构造和为定值，利用基本不等式求最大值
练习：
1.已知0<x<1，则x(3－3x)取得最大值时x的值为
2、设0<x<2，求函数y＝ x(4 2x) 的最大值。
3、
求函数
yx2(13x)在(0,
1) 3
上的最大值.
2021/8/6
6
恒成立问题
例、若两个正实数x，y满足 2 x
+
1 y
ab
ab
（2） 1
2 1
ab a b 2
a2 b2 (a、bR+)。 2
2021/8/6 a b
2
推论
a 3 b 3 c 3 3 a b c (a ,b ,c R )
a3 bc3abc(a,b,cR).
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专题1 利用基本不等式求最值必考点1 和与乘积1. 如果1a b +=，那么ab 的最大值是（ ） A ．18 B ．14 C. 12D ．12. 若x ，y ∈R ＋，且x ＋4y ＝1，且x ·y 的最大值为________．3. 已知0<x <1，则x (3－3x )取得最大值时x 的值为( ) A.13B.12 C.34 D.234. 已知0<x <12，求y ＝12x (1－2x )的最大值．5. 函数的最小值为( ) A. 1 B. 2C. D. 46. 已知函数()()4>0>0af x x x a x=+，在3x =时取得最小值，则a = .7. 已知：x >0，y >0且3x ＋4y ＝12.求lg x ＋lg y 的最大值及相应的x ，y 值．222xxy =+8. 求下列函数的最值： （1）已知0x >，求42y x x=--的最大值； （2）已知2x >，求12y x x =+-的最小值9. 设a +b =2，0b >， 则1||2||a a b+的最小值为 .10. 求函数()23311x x y x x ++=>-+的最小值．11. ,0,()(0)()_____.1,0.x a x f x f f x a x x x -+≤⎧⎪=⎨+>⎪⎩设若是的最小值，则的取值范围为12. 如果log 3m ＋log 3n ＝4，那么m ＋n 的最小值是( ) A ．B ．4C ．9D ．1813. 已知x >0，y >0，lg x ＋lg y ＝1，求2x＋5y 的最小值．14. 若x >0，求函数24xy x =+的取值范围. 若x <0，求函数24xy x =+的取值范围.15. 求函数2241y x x =++的最小值，并求出取得最小值时的x 值．16. 求函数()23311x x y x x ++=>-+的最小值.17. 求函数2y =的最小值.18. 若－4<x <1，22222x x x -+-的最大值为________．19. 求y =20. 平面向量，a b 的夹角为120，且1⋅=-a b ，则||-a b 的最小值为（ ） AB C D ．121. 如果正数a b c d ，，，满足4,a b cd +==那么（ ） A ．ab c d ≤+且等号成立时a b c d ，，，的取值唯一 B ．ab c d ≥+且等号成立时a b c d ，，，的取值唯一 C ．ab c d ≤+且等号成立时a b c d ，，，的取值不唯一 D ．ab c d ≥+且等号成立时a b c d ，，，的取值不唯一22. 已知0,0a b >>，则11a b++的最小值是（ ）A ．2B ．C ．4D ．523. 设0a b >>，则()211a ab a a b ++-的最小值是（ ） A ．1 B ．2 C ．3 D ．424. 不等式x 2＋2x <a b ＋16ba 对任意a ，b ∈(0，＋∞)恒成立，则实数x 的取值范围是( )A ．(－2,0)B ．(－∞，－2)∪(0，＋∞)C ．(－4,2)D ．(－∞，－4)∪(2，＋∞)必考点2 乘积与平方和1. 如果实数x ，y 满足x 2＋y 2=1，则(1－xy ) (1＋xy )有 （ ） A. 最小值和最大值1 B. 最小值而无最大值C. 最大值1和最小值D. 最大值1而无最小值2. 若实数x ，y 满足xy ＝1，则x 2＋2y 2的最小值为________．3. 已知x >0,y >0,且2212y x +=，求的最大值.4. 设,若,且,则的取值范围为__________.5. 已知x ＞y ＞0，求的最小值及取最小值时的x 、y 的值.必考点3 和与平方和1. 函数y ＝＋的最大值为 .2. 设,0a b >，5a b += ________.3. 函数y =的最大值是_________.4. 若x 、y 且x +3y =1，则的最大值5. 若，且.当时，c 的最大值是（ ）A. B. C.D.参考答案利用基本不等式求最值必考点31、和与乘积 1. B2. 【解析】 x ·y ＝14(x ·4y )≤14·42x y +⎛⎫ ⎪⎝⎭2＝14·14＝116.当且仅当114==28x y x y =即，时等号成立3. 解析：选B ∵0<x <1，∴x (3－3x )＝3x (1－x )≤3⎣⎡⎦⎤x ＋1－x 22＝34.当且仅当x ＝1－x ，即x ＝12时，“＝”成立．4. 【解析】(1)∵0<x <12，∴1－2x >0. y ＝14·2x ·(1－2x )≤14·2122x x +-⎛⎫ ⎪⎝⎭2＝14×14＝116.∴当且仅当2x ＝1－2x ，即x ＝14时，y 最大值＝116. 5. 因为2x＞0，所以，有222222222xx x x y =+≥=，当且仅当222xx =，即12x =时取得最小值。
选C 。
6. 分析 借助基本不等式求最值的条件求解． 解析 ())440,0a af x x x a x ax x=+⋅=≥，当且仅当4a x x=，即ax =时等号成立，此时()f x 取得最小值4a 又由已知3x =时，()min 4f x a =所以32a=，即36a =.7. ∵x >0，y >0，且3x ＋4y ＝12.∴xy ＝112(3x )·(4y )≤112342x y +⎛⎫ ⎪⎝⎭2＝3.∴lg x ＋lg y ＝lg xy ≤lg 3. 当且仅当3x ＝4y ＝6，即x ＝2，y ＝32时等号成立． ∴当x ＝2，y ＝32时，lg x ＋lg y 取最大值lg 3. 8. 【解析】（1）44422222y x x x x x x ⎛⎫=--=-+≤-⋅=- ⎪⎝⎭，max 2y ∴=-． （2）()()112222422y x x x x =-++≥-⋅=--，min 4y =．9. 分析 分0a >和0a <，去掉绝对值符号，用均值不等式求解. 解析 当0a >时，1122a a a b a b +=+=15;4444a b a b a a b a b +⎛⎫+=++ ⎪⎝⎭≥ 当0a <，12a a b +=124a a b a a ba b -+-+=+=--1131.4444b a a b -⎛⎫-+++= ⎪-⎝⎭≥-综上所述，12a a b+的最小值是3.410. 【答案】3【解析】()()22111331112131111x x x x y x x x x x ++++++===+++≥+=>-+++，当且仅当1101x x x +=⇒=+，时等号成立．11. 【解题提示】根据基本不等式可得x >0时的最小值，而a 要小于等于这个最小值. 【解析】(]10()2,(0)()(0) 2.-2.x f x x f f x f a x >=+≥=≤∞当时，若是的最小值，则答案：，12. 【解析】 ∵m >0，n >0，由log 3m ＋log 3n ＝log 3mn ＝4，∴mn ＝81.∴m ＋n ＝18.13. 【解析】由已知条件lg x ＋lg y ＝1可得：x >0，y >0，且xy ＝10， 2x＋5y ≥2 ＝＝2，当且仅当2510.x y xy ⎧=⎪⎨⎪=⎩即25x y =⎧⎨=⎩时取等号．14. 略15. 【解析】224101x x +>+，，222244(1)111y x x x x =+=++-++13≥=， y 的最小值为3，当且仅当22411x x =++，即1x =±时取到此最小值．16. 【解析】()()221113311121 3.1111x x x x y x x x x x ++++++===+++≥+=>-+++，当且仅当11,01x x x +=⇒=+时等号成立. 【答案】3.17.【解析】222142,y x y t t===+≥=+在[)2,+∞上递增，min 152.22y ∴=+=18.【解析】 22222x x x -+-＝12·()2111x x -+-＝12()111x x ⎡⎤-+⎢⎥-⎣⎦＝－12()111x x ⎡⎤-+⎢⎥-⎣⎦， ∵－4<x <1，∴1－x >0，11x->0， 从而()111x x ⎡⎤-+⎢⎥-⎣⎦≥2，－12()111x x⎡⎤-+⎢⎥-⎣⎦≤－1，即22222x x x ⎛⎫-+ ⎪-⎝⎭max ＝－1.19.0，y==63=，时，即22x =，x =y20. 【解析】平面向量a ，b的夹角为120︒，1cos12012a b a b a b ⋅=⋅︒=-⋅⋅=-，2a b ⋅=，则2222222()2242a b a b a a b ba b a b -=-=⋅+=+≥⋅+=-++=当且仅当2a b ==时取等号，故a b -的最小值为21. 【解析】a b c d +≥+≥可得()24c d a b cd ++=≤，当且仅当22a b c d ====，时等号成立，即2a b c d ====时取等号， 化简得4ab c d ≤≤+且等号成立时a b c d ，，，的取值唯一．22. 【答案】C23. 【解析】()()()()()211111122 4.a ab a a b ab a a b ab a a b ab a a b ab a a b ++=+-++=++-+≥+=---当且仅当()()11,ab a a b ab a a b =-=-时等号成立，即2a b ==.24. 不等式x 2＋2x <a b ＋16ba 对任意a ，b ∈(0，＋∞)恒成立，等价于x 2＋2x <⎝⎛⎭⎫a b ＋16b a min ，由于a b ＋16b a ≥2 a b ·16ba＝8(当且仅当a ＝4b 时等号成立)，∴x 2＋2x <8，解得－4<x <2.必考点32、乘积与平方和1. 【解析】∵x 2+y 2=1，x 2+y 2≥2xy ，∴xy ≤=（当且仅当x =y 时取等号），则xy 的最大值是，∵（1+xy ）（1-xy ）=1-（xy ）2，∴当xy =时，所求式子的最小值．又，∴1-（xy ）2当且仅当时取等号，所以所求式子最大值是1，故选C2. 【解析】∵x 2＋2y 2＝，当且仅当x 时，即x ＝214，y ＝2－14时或x ＝－214，y ＝－2－14时，取“＝”，∴x 2＋2y 2的最小值为3. 【解析】∵,∴，而，∴,当且仅当即时,等号成立.故.4. 【解析】本题考查函数的性质、基本不等式，意在考查考生的数形结合思想及运算求解能力.依题意，得即,故,又所以的取值范围为.故本题正确答案为5. 【解析】因为所以x －y ＞0， = 8，其中“=”当且仅当，解得，故当且仅当时所求的最小值是8。