高中数学2.2几种常见的平面变换2.2.4逆变换与逆矩阵旋转变换教学案苏教选修4-2
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2．2.4 旋转变换
[对应学生用书P14]
1．旋转变换
将一个图形F 绕某个定点O 旋转角度θ所得图形F ′的变换称为旋转变换．其中点O 称为旋转中心，角度θ称为旋转角．
2．旋转变换矩阵
像⎣⎢⎡⎦
⎥⎤cos θ －sin θsin θ cos θ这样的矩阵，称为旋转变换矩阵． 旋转变换只改变几何图形的相对位置，不会改变几何图形的形状．
[对应学生用书P14]
点在旋转变换作用下的象
[例1] 在直角坐标系xOy 内，将每个点绕原点O 按逆时针方向旋转135°的变换称为旋转角是135°的旋转变换．
(1)试写出这个旋转变换的坐标变换公式和相应的矩阵； (2)求点A (4,8)在这个旋转变换作用下的象A ′.
[思路点拨] 根据其坐标变换公式写出旋转变换对应的矩阵后求解． [精解详析] (1)该变换的坐标变换公式为：
⎩
⎪⎨
⎪⎧
x ′＝x cos 135°－y sin 135°y ′＝x sin 135°＋y cos 135°，该变换对应的矩阵为：
⎣⎢⎡⎦⎥⎤cos 135° －sin 135°sin 135° cos 135°＝
⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤－22
－2
2 22 －
22. (2)由(1)知，当x ＝4，y ＝8时，
x ′＝－62，y ′＝－22，
所以点A (4,8)在这个旋转变换作用下的象为
A
′(－62，－22)．
由旋转角θ的大小，写出旋转变换矩阵⎣⎢⎡⎦
⎥⎤
cos θ －sin θsin θ cos θ是解决这类问题的关键．
逆时针旋转时，θ为正值，顺时针方向旋转时，θ为负值．
1．求出△ABC 分别在M 1
＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤－1 0 0 －1，M 2
＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤0 －11 0，M 3
＝
⎣⎢⎢⎡⎦
⎥
⎥⎤22 －2222 22对应的变换作用下的图形这里A (0,0)，B (2,0)，C (1,1)．
解析：在M 1下，A →A ′(0,0)，B →B ′(－2,0)，C →C ′(－1，－1)． 在M 2下，A →A ″(0,0)，B →B ″(0,2)，C →C ″(－1,1)． 在M 3下，A →A (0,0)，B →B (2，2)，C →C
(0，2)．
图形分别为
2．在直角坐标系xOy 内，将每个点绕坐标原点O 按顺时针方向旋转60°的变换称为旋转角为－60°的旋转变换，求点A (－1,0)在这个旋转变换作用下得到的点A ′的坐标．
解：由题意得旋转变换矩阵为
⎣⎢
⎡⎦⎥⎤cos －60° －sin －60°sin －60° cos －60°
＝⎣⎢⎢⎡⎦
⎥⎥⎤ 12
32－32 12，
故对应的坐标变换公式为⎩⎪⎨
⎪⎧
x ′＝12x ＋3
2
y y ′＝－32x ＋1
2y .
令x ＝－1，y ＝0得⎩⎪⎨
⎪
⎧
x ′＝－12y ′＝3
2
.
所以所求的点A ′的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫－1
2，32.
曲线在旋转变换作用下的象
[例2] 已知曲线C ：x 2
＋y 2
＝2，将曲线C 绕坐标原点逆时针旋转60°后，求得到的曲线C ′的方程．
[思路点拨] 先求出旋转变换矩阵，再根据变换公式求曲线方程． [精解详析] 旋转变换对应的矩阵
M ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤cos 60° －sin 60°sin 60° cos 60°＝⎣⎢⎢⎡⎦
⎥⎥⎤12
－3232
12， 设P (x 0，y 0)为曲线C 上任意的一点，它在矩阵M 对应的变换作用下变为P ′(x ′
0，y ′
0)． 则有⎣⎢⎢⎡⎦
⎥⎥⎤12 －3
232 12 ⎣⎢⎡⎦⎥⎤x 0y 0
＝⎣⎢⎡⎦
⎥⎤x ′0y ′0
， 故⎩⎪⎨⎪⎧
x 0＝12x ′0＋
3y ′
0，y 0
＝1
2
y ′0－
3x ′0.
因为点P (x 0，y 0)在曲线C ：x 2＋y 2
＝2上， 所以x 2
0＋y 2
0＝2，
即
⎣⎢⎡⎦⎥⎤12x ′0＋3y ′02
＋⎣⎢⎡⎦⎥⎤12y ′0－3x ′02＝2， ∴x ′ 2
0＋y ′ 20＝2.
从而曲线C ′的方程为x 2
＋y 2
＝2.
理解与掌握旋转变换对应的变换矩阵和坐标变换公式是解答该类问题的关键，对于特殊图形的旋转变换，也可根据数形结合直接得出，如本例中，曲线C 是以原点为圆心的圆，所以它不管旋转多少度，所得的图形仍是其自身．
3．将双曲线C ：x 2
－y 2
＝1上的点绕原点逆时针旋转45°，得到新图形C ′，试求C ′的方程．
解：根据题意，得旋转变换矩阵
M ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤cos 45° －sin 45°sin 45° cos 45°＝⎣⎢⎢⎡⎦
⎥⎥⎤22
－2
222
22， 任意选取双曲线x 2
－y 2
＝1上的一点P (x 0，y 0)，它在变换作用下变为P ′(x ，y )， 则有⎩⎪⎨
⎪⎧ x ＝22x 0
－2
2y 0
，y ＝22x 0
＋22
y 0，
那么⎩⎪⎨
⎪⎧
x 0＝22x ＋y ，y 0
＝22y －x ，
又因为点P 在曲线x 2
－y 2
＝1上， 所以x 2
0－y 2
0＝1，
即有12(x ＋y )2－12
(y －x )2
＝1，