误差理论 PPT
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第5章 误差理论
49 8
多次观测中寻找偶然误差的规律：
对358个三角形在相同的观测条件下观测了全部内角, 三角形内角之和的真值为180°，观测值为三个内角之和 (i +i+ i)，因此其真误差(三角形闭合差)为：
i = 180°– ( i + i+ i)
观测数据统计结果列于 表5-1,据此分析三角形 内角和的真误差 i 的 分布规律。
算术平均值为何是该量最可靠的数值？可以用偶然 误差的特性来证明：
49 19
证明算术平均值是最或然值
按真值计算各个 观测值的真误差： 将上列等式相加， 并除以n,得到：
[] X [l ] n n 根据偶然误差特性： [ ] 0 lim n n
[l ] X lim n n
49
10
偶然误差的特性
1.有界性：在有限次观测
中，偶然误差不超过一定 数值； 2.趋向性：误差绝对值小 的出现的频率大，误差绝 对值大的出现的频率小； 3.对称性：绝对值相等的 正负误差频率大致相等； 4.抵偿性：当观测次数无 限增大时，由于正负相消， 偶然误差的平均值趋近于 零。用公式表示为：
按观测值的改正值计算中误差
Δ 9 4 4 16 1 0 16 9 4 9 72
2
第一组观测 观测值 l Δ -3 180°00ˊ03" -2 180°00ˊ02" +2 179°59ˊ58" +4 179°59ˊ56" -1 180°00ˊ01" 180°00ˊ00" 180°00ˊ04" 179°59ˊ57"
2
lim
n
Δ12 Δ22 Δn2 n
多次观测中寻找偶然误差的规律：
对358个三角形在相同的观测条件下观测了全部内角, 三角形内角之和的真值为180°，观测值为三个内角之和 (i +i+ i)，因此其真误差(三角形闭合差)为：
i = 180°– ( i + i+ i)
观测数据统计结果列于 表5-1,据此分析三角形 内角和的真误差 i 的 分布规律。
算术平均值为何是该量最可靠的数值？可以用偶然 误差的特性来证明：
49 19
证明算术平均值是最或然值
按真值计算各个 观测值的真误差： 将上列等式相加， 并除以n,得到：
[] X [l ] n n 根据偶然误差特性： [ ] 0 lim n n
[l ] X lim n n
49
10
偶然误差的特性
1.有界性：在有限次观测
中，偶然误差不超过一定 数值； 2.趋向性：误差绝对值小 的出现的频率大，误差绝 对值大的出现的频率小； 3.对称性：绝对值相等的 正负误差频率大致相等； 4.抵偿性：当观测次数无 限增大时，由于正负相消， 偶然误差的平均值趋近于 零。用公式表示为：
按观测值的改正值计算中误差
Δ 9 4 4 16 1 0 16 9 4 9 72
2
第一组观测 观测值 l Δ -3 180°00ˊ03" -2 180°00ˊ02" +2 179°59ˊ58" +4 179°59ˊ56" -1 180°00ˊ01" 180°00ˊ00" 180°00ˊ04" 179°59ˊ57"
2
lim
n
Δ12 Δ22 Δn2 n
《误差理论》课件第二章 误差的基本性质与处理
11
vi li 11x 22000.74mm 22000.737mm 0.003mm
i 1
用第二种规则校核，则有：
n 11 0.5 0.5 5, A 0.001mm 2 2 11 n vi 0.003mm 0.5 A 0.005mm 2 i 1
第一节 随机误差（P11-P12）
（二）算术平均值的计算校核 算术平均值及其残余误差的计算是否正确，可用求得的残余 误差代数和来校核。 由 i l i x v l nx，式中的 x 是直接计算得到的， 当求得的 为未经凑整的准确数时，则有： x
n n i 1 i i 1 i
x0
vi li x
0 +0.05 -0.04 +0.05 -0.07 -0.02 0 +0.01 0 +0.01
x 1879.65 0.01 ＝ 1879.64
l
i 1
10
i
10
0.01
v
i 1
n
i
0.01
解：任选参考值 l 0 =1879.65，计算差值 l i 和 x 0 列于表中,很容易求 得算术平均值: x ＝ 1879.64 (mm)
第二章 误差的基本性质与处理
教学目标
本章分别详细阐述随机误差、系统误 差、粗大误差三类误差的来源、性质、数 据处理的方法以及消除或减小的措施。特 别是在随机误差的数据处理中，掌握等精 度测量和了解不等精度测量的不同数据处 理方法。通过学习本章内容，使学生能够 根据不同性质的误差选取正确的数据处理 方法并进行合理的数据处理。
序号
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11
vi li 11x 22000.74mm 22000.737mm 0.003mm
i 1
用第二种规则校核，则有：
n 11 0.5 0.5 5, A 0.001mm 2 2 11 n vi 0.003mm 0.5 A 0.005mm 2 i 1
第一节 随机误差（P11-P12）
（二）算术平均值的计算校核 算术平均值及其残余误差的计算是否正确，可用求得的残余 误差代数和来校核。 由 i l i x v l nx，式中的 x 是直接计算得到的， 当求得的 为未经凑整的准确数时，则有： x
n n i 1 i i 1 i
x0
vi li x
0 +0.05 -0.04 +0.05 -0.07 -0.02 0 +0.01 0 +0.01
x 1879.65 0.01 ＝ 1879.64
l
i 1
10
i
10
0.01
v
i 1
n
i
0.01
解：任选参考值 l 0 =1879.65，计算差值 l i 和 x 0 列于表中,很容易求 得算术平均值: x ＝ 1879.64 (mm)
第二章 误差的基本性质与处理
教学目标
本章分别详细阐述随机误差、系统误 差、粗大误差三类误差的来源、性质、数 据处理的方法以及消除或减小的措施。特 别是在随机误差的数据处理中，掌握等精 度测量和了解不等精度测量的不同数据处 理方法。通过学习本章内容，使学生能够 根据不同性质的误差选取正确的数据处理 方法并进行合理的数据处理。
序号
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11
误差理论的基本知识PPT文档56页
23、一切节省，归根到底都归结为时间的节省。——马克思 24、意志命运往往背道而驰，决心到最后会全部推倒。——莎士比亚
25、学习是劳动，是充满思想的劳动。——乌申斯基
பைடு நூலகம்谢谢！
误差理论的基本知识
56、死去何所道，托体同山阿。 57、春秋多佳日，登高赋新诗。 58、种豆南山下，草盛豆苗稀。晨兴 理荒秽 ，带月 荷锄归 。道狭 草木长 ，夕露 沾我衣 。衣沾 不足惜 ，但使 愿无违 。 59、相见无杂言，但道桑麻长。 60、迢迢新秋夕，亭亭月将圆。
21、要知道对好事的称颂过于夸大，也会招来人们的反感轻蔑和嫉妒。——培根 22、业精于勤，荒于嬉；行成于思，毁于随。——韩愈
25、学习是劳动，是充满思想的劳动。——乌申斯基
பைடு நூலகம்谢谢！
误差理论的基本知识
56、死去何所道，托体同山阿。 57、春秋多佳日，登高赋新诗。 58、种豆南山下，草盛豆苗稀。晨兴 理荒秽 ，带月 荷锄归 。道狭 草木长 ，夕露 沾我衣 。衣沾 不足惜 ，但使 愿无违 。 59、相见无杂言，但道桑麻长。 60、迢迢新秋夕，亭亭月将圆。
21、要知道对好事的称颂过于夸大，也会招来人们的反感轻蔑和嫉妒。——培根 22、业精于勤，荒于嬉；行成于思，毁于随。——韩愈
误差理论第二章-1随机处理
一般被测量真值未知，则以算术平均值为真值，则随机误差 可认为是： vi li x 有
n n
( i 1 ~ n)
n n
则vi 称为残余误差（残差）
v l _ x l nx
i 1 i i 1 i i 1 i 1 i
7
可根据下面性质校核算术平均值及残差计算的正确性： 1) 当求出的x为未经凑整的准确数时，即x
i 1
另一校核规则为：由残余误差代数和绝对值计算, 即： 当n为偶数时， n vi A ； 2 i 1
n n
n 1 当n为奇数时， vi （ ）A 2 2 i 1 其中A为实际求得的算术平均值x 末位数的一个单位。
9
例1、 测量某直径10次，得到结果如下，求算术平均值 并校核。（单位mm） 1879.64, 1879.69, 1879.60, 1879.69, 1879.57, 1879.62, 1879.64, 1879.65, 1879.64, 1879.65。
4
因此，方差为：
2 f d
2
数学期望为：
平均误差为：
E f 0.7979
4 5
由
ρ
ρ
f d
1 2
2 得到或然误差为： 0.6745 3
平均误差为右边面积重心的横坐标，或然误差为平均右半 部面积的横坐标。 三、算术平均值 对某一量进行一系列等精度测量，以全部测得值的算术平均 值作为最后的测量结果。
t
, 则上式变为：
2 2
t2 2
e
0
t
t2 2
dt 2 t
e
0
n n
( i 1 ~ n)
n n
则vi 称为残余误差（残差）
v l _ x l nx
i 1 i i 1 i i 1 i 1 i
7
可根据下面性质校核算术平均值及残差计算的正确性： 1) 当求出的x为未经凑整的准确数时，即x
i 1
另一校核规则为：由残余误差代数和绝对值计算, 即： 当n为偶数时， n vi A ； 2 i 1
n n
n 1 当n为奇数时， vi （ ）A 2 2 i 1 其中A为实际求得的算术平均值x 末位数的一个单位。
9
例1、 测量某直径10次，得到结果如下，求算术平均值 并校核。（单位mm） 1879.64, 1879.69, 1879.60, 1879.69, 1879.57, 1879.62, 1879.64, 1879.65, 1879.64, 1879.65。
4
因此，方差为：
2 f d
2
数学期望为：
平均误差为：
E f 0.7979
4 5
由
ρ
ρ
f d
1 2
2 得到或然误差为： 0.6745 3
平均误差为右边面积重心的横坐标，或然误差为平均右半 部面积的横坐标。 三、算术平均值 对某一量进行一系列等精度测量，以全部测得值的算术平均 值作为最后的测量结果。
t
, 则上式变为：
2 2
t2 2
e
0
t
t2 2
dt 2 t
e
0
第一章 误差理论
பைடு நூலகம்
解2：x*＝3.1415的绝对误差限0.0005，它是x的小数后第3位 的半个单位，故近似值x*=3.1415准确到小数点后第3位． 故近似值x*=3.1415只有4位有效数字
定理１
设近似数x * 表示为 x* 10 m ( a1 a2 10 1 an 10 ( n 1) ) (2.1) 其中a1 0 . 若x * 具有n位有效数字，则其相对误差限为
（介于0与x之间）
截断误差的大小直接影响计算结果的精度和计算 工作量，是数值计算中必须考虑的一类误差
舍入误差
• 在数值计算中只能对有限位字长的数值进行 运算 • 需要对参数、中间结果、最终结果作有限位 字长的处理工作，这种处理工作称作舍入处 理 • 用有限位数字代替精确数，这种误差叫做舍 入误差，是数值计算中必须考虑的一类误差
I 0 0.6321, ( A) I n 1 nI n1, n 1,2,. * 1 1 e1 I 9 0.0684, ( I 9 ( ) 0.0684) ( B) * 2 10 10 1 (1 I * ), n 9,8,,1. I n1 n n
一元函数f ( x)，x为准确值, x * 为近似值,由Taylor公式 f ( x) f ( x*) f ( x*)( x x*)
f ( ) ( x x*) 2 , 2
在x, x * 之间,
得f ( x*)的误差限 ( f ( x*)) | f ( x*) | ( x*).
In
1
0
xn dx x 10
(n 0,1, 2,,10)
容易得到递推公式
I0
1
0
1 dx ln( x 10 ) x 10
解2：x*＝3.1415的绝对误差限0.0005，它是x的小数后第3位 的半个单位，故近似值x*=3.1415准确到小数点后第3位． 故近似值x*=3.1415只有4位有效数字
定理１
设近似数x * 表示为 x* 10 m ( a1 a2 10 1 an 10 ( n 1) ) (2.1) 其中a1 0 . 若x * 具有n位有效数字，则其相对误差限为
（介于0与x之间）
截断误差的大小直接影响计算结果的精度和计算 工作量，是数值计算中必须考虑的一类误差
舍入误差
• 在数值计算中只能对有限位字长的数值进行 运算 • 需要对参数、中间结果、最终结果作有限位 字长的处理工作，这种处理工作称作舍入处 理 • 用有限位数字代替精确数，这种误差叫做舍 入误差，是数值计算中必须考虑的一类误差
I 0 0.6321, ( A) I n 1 nI n1, n 1,2,. * 1 1 e1 I 9 0.0684, ( I 9 ( ) 0.0684) ( B) * 2 10 10 1 (1 I * ), n 9,8,,1. I n1 n n
一元函数f ( x)，x为准确值, x * 为近似值,由Taylor公式 f ( x) f ( x*) f ( x*)( x x*)
f ( ) ( x x*) 2 , 2
在x, x * 之间,
得f ( x*)的误差限 ( f ( x*)) | f ( x*) | ( x*).
In
1
0
xn dx x 10
(n 0,1, 2,,10)
容易得到递推公式
I0
1
0
1 dx ln( x 10 ) x 10
第三章误差理论
各类误差之间随着考察条件的变化可以相互转化，并 不存在绝对的界限。
按一定基本尺寸制造的量块，存在制造误差，对某一块量块 的制造误差是确定数值，可认为是系统误差；但对一批量块 而言，制造误差是变化的，又称为随机误差。
以度盘偏心误差为例，在固定地使用度盘的同一刻度进行测 量时，带入测量结果的误差是恒定不变的系统误差；若按顺 时针或逆时针顺次考察各刻度时，其示值误差是按正弦规律 变化的系统误差。
第二版，1993：国际计量局（BIPM）、国际电工委员会（ IEC）、国际标准化组织（ISO）、国际法制计量组织（ OIML）、国际临床化学联合会（IFCC）、国际理论和应用 化学联合会（IUPAC）和国际理论和应用物理联合会（ IUPAP）共同制定
①
随机误差：在重复测量中按不可预见方式变化的测量误 差的分量。
1、随机测量误差的参考量值是对同一被测量由无穷多次重复测 量得到的平均值。
2、一组重复测量的随机测量误差形成一种分布，该分布可用期 望和方差描述。
3、随机测量误差等于测量误差减系统测量误差。
随机误差一般来源于影响量的变化，这种变化在时间上 和空间上是不可预知的或随机的，它会引起被测量重复 观测值的变化，故称之为“随机效应”
称
指定值、最佳 估计值、约定 值或参考值
误差是针对真值而言 的，真值一般都是指约定 真值。
绝对误差（absolute error）
定义
x x x0
被测量的真 值，常用约 定真值代替
测得值 绝对误差
特点
① 绝对误差是一个具 有确定的大小、符号 及单位的量。单位给 出了被测量的量纲， 其单位与测得值相同。
/en/publications/guides/vim.html
按一定基本尺寸制造的量块，存在制造误差，对某一块量块 的制造误差是确定数值，可认为是系统误差；但对一批量块 而言，制造误差是变化的，又称为随机误差。
以度盘偏心误差为例，在固定地使用度盘的同一刻度进行测 量时，带入测量结果的误差是恒定不变的系统误差；若按顺 时针或逆时针顺次考察各刻度时，其示值误差是按正弦规律 变化的系统误差。
第二版，1993：国际计量局（BIPM）、国际电工委员会（ IEC）、国际标准化组织（ISO）、国际法制计量组织（ OIML）、国际临床化学联合会（IFCC）、国际理论和应用 化学联合会（IUPAC）和国际理论和应用物理联合会（ IUPAP）共同制定
①
随机误差：在重复测量中按不可预见方式变化的测量误 差的分量。
1、随机测量误差的参考量值是对同一被测量由无穷多次重复测 量得到的平均值。
2、一组重复测量的随机测量误差形成一种分布，该分布可用期 望和方差描述。
3、随机测量误差等于测量误差减系统测量误差。
随机误差一般来源于影响量的变化，这种变化在时间上 和空间上是不可预知的或随机的，它会引起被测量重复 观测值的变化，故称之为“随机效应”
称
指定值、最佳 估计值、约定 值或参考值
误差是针对真值而言 的，真值一般都是指约定 真值。
绝对误差（absolute error）
定义
x x x0
被测量的真 值，常用约 定真值代替
测得值 绝对误差
特点
① 绝对误差是一个具 有确定的大小、符号 及单位的量。单位给 出了被测量的量纲， 其单位与测得值相同。
/en/publications/guides/vim.html
误差理论与数据处理 第7间接测量不确定度评定PPT
D
l2 4h
h
不考虑测量值的系统误差，可求出在 h 50mm l 500mm
处的直径测量值
l2 D0 4h h 1300mm
计算结果
车间工人测量弓高 h 、弦长 l 的系统误差 h 50 50.1 0.1mm l 500 499 1mm
误差传播系数为
f h
l2 4h2
1
系统误差公式 y a1x1 a2x2 ... anxn
当 ai 1 y x1 x2 ... xn
▪当函数为各测量值之和时，其函数系统误差亦为各个测
量值系统误差之和
（2）三角函数形式
sin f x1, x2,..., xn
1
cos
n i 1
f xi
xi
cos f x1, x2,..., xn
间接测量不确定度评定研究的内容 1、间接测量不确定度的（合成）评定， 2、间接测量不确定度的分配、合成以及最佳测量
方案的选择等问题加以讨论。 3、间接测量不确定度的最佳测量方案的选择
第一节 间接测量不确定度的评定
间接测量的概念
间接测量是通过直接测量与被测量之间有一定的函 数关系的其他量，再按照一定的函数关系计算出被 测量的测量方法。因此，间接测量的量是直接测量 所得到的各个测量值的函数。而间接测量的不确定 度则是各个直接测量不确定度的合成不确定度。
▪ Dij ij第xii个xj 测量值和第j个测量值之间的协方差
▪ x第fi i个直接测得量 对x间i 接量 在该y 测量点
处的误差传播系数
(x1, x2, , xn )
(2)相互独立的函数标准差计算
若各测量值的随机误差是相互独立的，相关项 Dij ij 0
2 y
误差理论和数据处理 第三章系统误差-PPT文档资料
n n n i 1 i 0 i 1 i i 1 i z
v x x ( ) i i i i
i 0 由上式可看出，因 i 且其数值不易确定，故变值系统误差 直接影响 残差 的数值，因此也必然要影响标准误差 σ的计算，且其影响难于确定， vi 即变值系统误差不仅使随机误差的分布密度曲线的形状和分布范围发生变 化 ，也使曲线的位置产生平移。
二、系统误差产生的原因
系统误差是有固定不变的或按确定规律变化的因素造成，这些因素是 可以掌握的。 计量校准后发现的偏差、仪器 ① 测量装置方面的因素 设计原理缺陷、仪器制造和安 装的不正确等。 ② 环境方面的因素 测量时的实际温度对标准温度 的偏差、测量过程中的温度、 湿度按一定规律变化的误差等。
如对于刻度盘或标尺的刻度误差，就全量程而言，属复杂规
律性的系统误差。因为虽然对各刻度点的误差的大小和符号 是确定的，但对整个量程的误差变化规律只能用实验曲线表 出，属复杂变化规律。
各类特征系统误差图示
b a c
e d t
1
t t2
3
t
4
t
已定系统误差和未定系统误差
指误差的大小和符号均已确切掌握了的，因此在 处理和表征测量结果时，是属于可修正的系统误差。
第三章 系统误差
教学目的和要求
通过本章内容的教学，使学生对系统误差的
产生原因、特征和消除方法，有一个整体的 认识。要求学生清楚系统误差的产生原因、 特点和分类方法；了解系统误差处理的原则，
了解系统误差的发现方法；初步掌握定值系
统误差和变值系统误差的减弱和消除方法。
主要内容
第一节 系统误差概述
四、系统误差的分类
① 线性变化的系统误差：在整个测量过程中，随某因素而线
v x x ( ) i i i i
i 0 由上式可看出，因 i 且其数值不易确定，故变值系统误差 直接影响 残差 的数值，因此也必然要影响标准误差 σ的计算，且其影响难于确定， vi 即变值系统误差不仅使随机误差的分布密度曲线的形状和分布范围发生变 化 ，也使曲线的位置产生平移。
二、系统误差产生的原因
系统误差是有固定不变的或按确定规律变化的因素造成，这些因素是 可以掌握的。 计量校准后发现的偏差、仪器 ① 测量装置方面的因素 设计原理缺陷、仪器制造和安 装的不正确等。 ② 环境方面的因素 测量时的实际温度对标准温度 的偏差、测量过程中的温度、 湿度按一定规律变化的误差等。
如对于刻度盘或标尺的刻度误差，就全量程而言，属复杂规
律性的系统误差。因为虽然对各刻度点的误差的大小和符号 是确定的，但对整个量程的误差变化规律只能用实验曲线表 出，属复杂变化规律。
各类特征系统误差图示
b a c
e d t
1
t t2
3
t
4
t
已定系统误差和未定系统误差
指误差的大小和符号均已确切掌握了的，因此在 处理和表征测量结果时，是属于可修正的系统误差。
第三章 系统误差
教学目的和要求
通过本章内容的教学，使学生对系统误差的
产生原因、特征和消除方法，有一个整体的 认识。要求学生清楚系统误差的产生原因、 特点和分类方法；了解系统误差处理的原则，
了解系统误差的发现方法；初步掌握定值系
统误差和变值系统误差的减弱和消除方法。
主要内容
第一节 系统误差概述
四、系统误差的分类
① 线性变化的系统误差：在整个测量过程中，随某因素而线