高二上重点学校四校联考文科数学试题【答案】
-高二期中教学质量调研考试数学（文科）试题 .11本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分．满分150分．测试时间120分钟．第Ⅰ卷1至2页，第Ⅱ卷3至4页. 注意事项：1．答第Ⅰ卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号、考试科目涂在答题卡上．2．每小题选出答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选择其它答案标号．不能答在试题卷上．第Ⅰ卷（选择题 共50分）一、选择题：本大题共10小题；每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的，把正确选项的代号涂在答题卡上．1.若 a b >, 则下列不等式正确的是A ．22a b >B ．ac bc >C ．a c b c ->-D ． 22ac bc >2.在△ABC 中，a ，b ，c 分别为角A 、B 、C 的对边，a ＝4，b ＝34，∠A ＝30°，则∠B 等于 A ．30°B ．30°或150°C ．60°D ．60°或120°.3.以下说法错误的是A ．命题“若x 2-3x +2=0，则x =1”的逆否命题是“若x ≠ 1，则x 2-3x +2 ≠ 0”B ．“x =1”是“x 2-3x +2=0”的充分不必要条件C ．若p ∧q 为假命题，则p ,q 均为假命题D ．若命题p ：0R x ∃∈，使得20x +x 0+1 < 0，则﹁p ：R x ∀∈，都有x 2+x +1 ≥ 04.已知{}n a 是等比数列，0>n a ，且242+a a 1446453=+a a a a ，则53a a +等于 A ．6 B ．12 C ．18 D ．245.在数列}{n a 中，若11=a ，)2(1≥=--n n a a n n ，，则该数列的通项n a =（ ） A ．2)1(+n n B ．2)1(-n n C ．2)2)(1(++n n D ．12)1(-+n n 6.函数34)(++=xx x f 在)0,(-∞上A ．有最大值1-，无最小值B ．无最大值，有最小值1-C ． 有最大值7，有最小值1-D ．无最大值，有最小值77.已知p : [1,2]x ∀∈，20x a -≥，q ：0R x ∃∈，200220x ax a ++-=，若“p q ∧”为真命题，则实数a 的取值范围是 A ．21a -≤≤B ．212a a ≤-≤≤或C ．1a ≥-D ．12a a =≤-或8.在数列{}n x 中，11211(2)n n n n x x x -+=+≥，且52,3242==x x ，则10x 等于 A ．121 B ．61C ．112D ．51 9.在△ABC 中，a ，b ，c 分别为角A 、B 、C 的对边，已知∠A = 60°，1=b ，面积3=S ，则sin aA 等于 A ．3392B ．338C ．3326D ．263910.在△ABC 中，a ，b ，c 分别为角A 、B 、C 的对边，若边c b a 、、成等差数列，则∠B 的范围是 A ．60π≤<B B ．30π≤<B C ．20π≤<B D ．ππ<<B 2第Ⅱ卷（非选择题 共100分）注意事项：1．用蓝黑钢笔或圆珠笔答在答题纸上，直接答在试题卷上无效． 2．答题前将答题纸密封线内的项目填写清楚． 二、填空题：本大题共5个小题.每小题5分；共25分．11.若0R x ∃∈，200(1)10x a x +-+<是真命题，则实数a 的取值范围是 .12．等差数列{}n a 前项和n S 满足2040S S =，则60S = .13. 不等式ax 2＋bx ＋2＞0的解集是11(,)23-，则a ＋b 的值是 . 14.已知函数())24f παα=-+，在锐角三角形ABC 中，A 、B 、C 的对边分别为a ，b ，c ，()6f A =，且△ABC 的面积为3，b +c=2+a 的值为 . 15.已知x ，y 为正实数，且满足22282x y xy ++=，则2x y +的最大值是 . 三、解答题：本大题共6个小题. 共75分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 16.（本小题满分12分）已知锐角△ABC 中，内角A ,B ,C 的对边分别是c b a ,,，且︒==60,3C a ，△ABC 的面积等于233，求边长b 和c . 17. （本小题满分12分）已知p ：实数x 满足22430x ax a -+<，其中0a <；q :实数x 满足260x x --≤或2280x x +->，若p ⌝是q ⌝的必要不充分条件，求a 的取值范围.18.（本题满分12分）等差数列{}n a 的各项均为正数，11a =，前n 项和为n S ；数列{}n b 为等比数列，11b =，且226b S =，238b S +=．（1）求数列{}n a 与{}n b 的通项公式； （2）求12111nS S S +++. 19. （本小题满分12分）设2z x y =+，变量x,y 满足条件43,3525,1.x y x y x -≤-⎧⎪+≤⎨⎪≥⎩（1）求z 的最大值max z 与最小值min z ； （2）已知min 0,0,2a b a b z >>+=，求11a b+的最小值及此时a ，b 的值. 20．(本小题满分13分)已知点),(y x 是区域⎪⎩⎪⎨⎧≥≥≤+0022y x n y x ,(*N n ∈)内的点，目标函数z x y =+，z 的最大值记作n z .若数列}{n a 的前n 项和为n S ，11=a ，且点（,n n S a ）在直线y x z n +=上. （1）证明：数列{2}n a -为等比数列； （2）求数列{}n S 的前n 项和n T .21. (本小题满分14分)小王在年初用50万元购买一辆大货车.车辆运营，第一年需支出各种费用6万元，从第二年起，以后每年的费用都比上一年的费用增加支出2万元，假定该车每年的运输收入均为25万元.小王在该车运输累计收入超过总支出后，考虑将大货车作为二手车出售，若该车在第n 年的年底出售，其销售价格为25-n 万元（国家规定大货车的报废年限为10年）.（1）大货车运输到第几年年底，该车运输累计收入超过总支出？（2）在第几年年底将大货车出售，能使小王获得的年利润最大？（利润=累计收入+销售收入-总支出）2014-2015学年度高二期中教学质量调研考试数学（文科）试题参考答案 2014.11一、选择题: CDCBA ADCAB 二、填空题：11.3a >或1a <- 12.0 13. -14 14. 15.43三、解答题：16.解：△ 60=C ，△23sin =C .…………………………………………………2分 又233sin 21==C ab S ，代入23sin ,3==C a 得2=b .……………………6分 由余弦定理得72123249cos 2222=⨯⨯⨯-+=-+=C ab b a c ，…………………………10分 △7,2==c b .……………………………………………………………………..12分17.解：设A={}22|430,0x x ax a a -+<<={}|3,0x a x a a <<<，…………3分B={}22|60280x x x x x --≤+->或={}|42x x x <-≥-或.………………….6分因为q p ⌝⇒⌝， ，所以p q ⇒，，即，…………………………………………….8分所以32,0a a ≥-⎧⎨<⎩ 或4,a a ≤-⎧⎨<⎩，……………10分即203a -≤<或4a ≤-，所以a 的取值范围为2[,0)(,4]3-⋃-∞-.…………..12分 18.解：（１）设等差数列{}n a 的公差为d ，0d >，{}n b 的等比为q ，则11(1),n n n a n d b q -=+-=，依题意有(2)6338q d q d +=⎧⎨++=⎩，解得12d q =⎧⎨=⎩，或439d q ⎧=-⎪⎨⎪=⎩（舍去），……4分 故n a n =，12n n b -=．…………………………………………………..6分（2）112(1)2n S n n n =+++=+， 12112()(1)1n S n n n n ==-++……………………………………………8分 12111111112[(1)()()]2231n S S S n n +++=-+-++-+…………10分 122(1)11nn n =-=++． ………………… ……………………………12分 19.解：（1）满足条件43,3525,1.x y x y x -≤-⎧⎪+≤⎨⎪≥⎩的可行域如图……………………………………………2分将目标函数2z x y =+变形为2y x z =-+，它表示斜率为-2的直线，观察图形，可知当直线过点A 时，z 取得最大值，当直线过点B 时，z 取得最小值.由430,35250x y x y -+=⎧⎨+-=⎩解得(5,2)A ，所以max 12z =.………………………..4分由430,1x y x -+=⎧⎨=⎩解得(1,1)B ，所以min 3z =.……………………………6分（2）△2a +b =3, △11111(2)()3a b a b a b +=++=2133a bb a++…………………………………8分113≥+=+，…………………………………………………10分 当且仅当233a bb a=，即632a b -==时，等号成立. △11a b+的最小值为13+，此时6,32a b -==.……………12分 20. 解：（1）由已知当直线过点(2,0)n 时，目标函数取得最大值，故n z n 2=.…2分∴方程为2x y n +=，∵（,n n S a ）在直线y x z n +=上， ∴2n n S a n +=，① △112(1),2n n S a n n --+=-≥， ② …………………………………………4分 由①－②得，122,2n n a a n --=≥ △122,2n n a a n -=-≥，……………6分 又△12221,222222(2)2n n n n n n a a a n a a a ----===≥---- ，121a -=-，△数列{2}n a -是以1-为首项，12为公比的等比数列.…………………………8分 （2）由（1）得112()2n n a --=-，△112()2n n a -=- ，△2n n S a n +=， △11222()2n n n S n a n -=-=-+ .……………………10分△01111[0()][2()][22()]222n n T n -=++++⋅⋅⋅+-+01111[02(22)][()()()]222n n -=++⋅⋅⋅+-+++⋅⋅⋅+=2111()(22)122()12212nn n n n n ---=+=-+--.…………………………………13分 21.解：（1）设大货车到第n 年年底的运输累计收入与总支出的差为y 万元，则(1)25[62]50,(010,N)2n n y n n n n -=-+⨯-<≤∈………………………4分 即22050,y n n =-+-(010,N)n n <≤∈由220500n n -+->，解得1010n -<<+……………………6分而2103<-<，故从第3年开始运输累计收入超过总支出.………………………………………7分 （2）因为利润=累计收入+销售收入-总支出， 所以销售二手货车后，小王的年平均利润为1[(25)]w y n n =+-21(1925)n n n =-+-2519()n n=-+…………………..11分而2519()19n n -+≤-，……………………………………………13分 当且仅当n=5时取等号.即小王应在第5年年底将大货车出售，才能使年平均利润最大.………………14分。
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2019 届高三水平测试·数学（文科）答案一、选择题：本大题共 10 小题，每小题 5 分，共 50 分 . 在每小题的 4 个选项中 , 只有一项是符合题目要求的 .题次 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案BCBDCDCACD二、填空题：本大题共 5 小题 , 考生作答４小题，每小题 5 分 , 共 20 分 .11. 0 或2 ； 12.30 ；13. (0, 1)(2, ) ；14. 4 ；15. x y3 0 ．32三、解答题：本大题共 6 小题 , 共 80 分 . 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.16. （本小题满分 12 分）已知向量 acos x 3 sin x,1 , bfx ,cosx ，其中＞ 0，且 a / /b ，又函数 f ( x) 的图像两相邻对称轴之间的距离为3 π.2(1) 求 的值；(2) 求函数 f ( x) 在区间,5 上的最大值与最小值及相应的x 值．2解 .(1) 由题意 a / / b ，f (x)cos x(cos x 3 sin1 cos2 x3 sin 2 x1sin(2 πx)222x ) ．6⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 4 分 由题意，函数的最小正周期为3π，又＞ 0，π 2π1 ；⋯⋯⋯⋯⋯⋯6 分3 =32(2) 由 (１ )知 f ( x)1 sin(2 x) ， x, 5，2x65 , 11 ,2 3 62366当 2 x65 , 即 x 时， f ( x) 取得最大值 1,⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯9 分3 6当2x69 , 即 x 2 时， f ( x) 取得最小值 1 .⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 12 分3 6217．（本小题满分12 分）为了让学生更多的了解“数学史”知识，某中学高二年级举办了一次“追寻先哲的足迹，倾听数学的声音” 的数学史知识竞赛活动，共有 800 名学生参加了这次竞赛．为了解本次竞赛的成绩情况，从中抽取了部分学生的成绩（得分均为整数，满分为 100 分）进行统计．请你根据频率分布表，解答下列问题：序号分组组中值频数频率（人数）（ i ）（分数）G i F i1 60,70 65 ①0.162 70,80 75 22 ②3 80,90 85 14 0.284 90,100 95 ③④合计50 1开始S=0i=1i=i ＋1S=S＋G i·F i输入 G i， F ii ≤4YN输出 S结束（ 1）填充频率分布表中的空格（在解答中直接写出对应空格序号的答案）；（2）为鼓励更多的学生了解“数学史”知识，成绩不低于80 分的同学能获奖，请估计在参加的 800 名学生中大概有多少同学获奖？（ 3）在上述统计数据的分析中有一项计算见算法流程图，求输出S 的值．解：（ 1）①为8 ，②为 0.44 ，③为 6 ，④为 0.12 ．⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 4 分（ 2）0.28 0.12 800，320即在参加的 800 名学生中大概有 320 名同学获奖．⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯8 分（ 3）由流程图S G1F1 G 2 F2 G 3 F3 G 4 F465 0.16 75 0.44 85 0.28 95 0.12 78.6 ．⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯12 分18．（本小题满分14 分）如图，在四棱锥 P ABCD 中， PD平面ABCD，ADPC 的中点，AD CD 1, BC PC ,DB2 2 .（1）求证：PA∥平面BDE；（2）求证： : AC平面PBD；（3）求四棱锥P ABCD的体积 .（1）证明 : 设AC BD H，连结EH，在ADC中，AD CD , 且DB平分ADC ，CD ，且 BD 平分ADC ， E 为PEBAHD CH 为 AC 的中点， E 为 PC 的中点， EH ∥ PA.HE 平面 BDE ， PA 平面 BDE ，PA ∥平面 BDE ；⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 5 分（ 2）证明 : PD 平面 ABCD ， AC 平面 ABCD ，PD AC ， 由（Ⅰ）知 BD AC,PD BD D, PD 平面 PBD ， BD 平面 PBD ，AC 平面 PBD ; ⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 9 分另证： PD 平面 ABCD ， PD 平面 PBD ，平面 PBD 平面 ABCD ， 由（Ⅰ）知 AC BD, 平面 PBD 平面 ABCD BD, AC 平面 ABCD ，AC 平面 PBD ． ⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 9 分（ ）解：在△ BCD 中， DC1, DB 2 2, BDC45 ，得3BC 2 12 (2 2) 2 2 1 2 2 cos 455, BC 5.在 Rt △ PDC 中， PCBC 5, DC 1, 从而 PD 2, ⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯11 分SABCD2SBCD2,⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 13 分故四棱锥 P1 2 2414 分ABCD 的体积 V P ABCD．⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯3319．（本小题满分 14 分）如图，在直角梯形 ABCD 中， ADAB, BCAB, AD 3, AB 4, BC3 ，点 E 在线段 AB 的延长线上 . 曲线段 DE 上任一点到 A 、 B 两点的距离之和都相等．（１）建立适当的直角坐标系，求曲线段 DE 的方程；（２）试问：过点 C 能否作一条直线 l 与曲线段 DE 相交于两点 M 、 N ，使得线段 MN 以C 为中点？若能，则求直线l 的方程；若不能，则说明理由．解：（ 1）以直线 AB 为 x 轴，线段 AB 的中点为原点， y建立如图所示的平面直角坐标系，则 A( 2,0), B(2,0), C (2,3), D ( 2,3). ⋯⋯⋯⋯⋯1 分DCAD BD 3 5 8AB ，依题意，曲线段 DE 是以 A 、 B 为左、右焦点，AOBEx长轴长为 8 的椭圆的一部分． ⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 4 分故曲线段DE 的方程为x 2y 2 1(x2, y 0).⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 6 分16 12（ 2）设这样的直线l 存在，由直线 x 2 与曲线段DE 只有一个交点(0,3) ，知直线 l 存在斜率，设直线 l 的方程为y 3 k ( x 2), 即 y k( x 2) 3,将其代入 x2 y2 1 得16 12(3 4k 2 ) x2 (8 3k 16k 2 ) x 16k 2 16 3k 36 0 ① ⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯9 分设M ( x1 , y1 ), N ( x2 , y2 ) ，则由x1 x2 2, 知 x1 x2 4, 8 3k 16k 2 4, 解得 k 3. ⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯12分2 3 4k 2 2当 k 3 时，方程①化为：x2 4x 0 ，解得 x1 0, x2 4.2即M (0, 2 3), N (4,0) ，适合条件．故直线 l 存在，其方程为y 3 x 2 3, 即3x 2 y 4 3 0. ⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯14 分220．（本小题满分14 分）设函数 f x x3 ax2 a2 x 1,二次函数 g x ax2 x 1 ，其中常数a R．（ 1）若函数f x 与g x 在区间 a 2, a 内均为增函数，求实数 a 的取值范围；（ 2）当函数y f x 与 y g x 的图象只有一个公共点且g x 存在最大值时，记 g x 的最大值为 h(a) ，求函数 h(a) 的解析式．解：（1）由题意a 0. f x 3x2 2ax a2 3 x a x a ， g x 2ax 1.3⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 2 分1 当 a 0 时，f x 0 x a,或x a, 函数f ( x)的增区间为, a 、a,.3 3g x 0 x 1 , 函数g x 的增区间为1 ,.2a 2a函数 f x 与 g x 在区间 a 2, a 内均为增函数，a 0a 2a 解得 a 3 .⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯5 分3 a 212a2 当 a0 时， f x 0xa a,,或 x3函数 fx 的增区间为,a、 a,.3g x0 1 , 函数 g x,1.x的增区间为2a2a函数 f x 与 g x 在区间 a2, a 内均为增函数函数，a 0aa，解得 a2 . ⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯8 分3 2a12a综上所述，实数 a 的取值范围是 (,23,.⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 9 分]2（2）∵二次函数 g xax 2 x 1 有最大值， a 0 ，由 f x g x 得 x x 2 a 21 0 ，即 x 0 ,或 x 2a 2 1.∵函数 yfx 与 y g x 的图象只有一个公共点， a 2 1 0 ，又 a0 ，1 a0 ．⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 12 分1 2111又 gxa x1 ，当 x时 , g x有最大值2a4a2a 1 ,4ah a11, 1 a 0 ．⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 14 分4a21．（本小题满分 14 分）已知数列 a n 满足： a 1 3, a n a n 1 2n 1( n 2, n N ) ．（１）求数列a n 的通项公式及前 n 项和 S n ；（２）令 b na n1 ， T n b 1 2b2 2n 1b n ( n N ) ,求证： T n1(n N ) ．an 16解 :（ 1）解法一：a n a n12n 1 n 2 ,∴当 n 2 时， a na 1 ( a 2 a 1) a 3 a 2an 1an 2a nan 13 2 222n 2 2n 1 2 1 2n2n 1．1 2检验知当 n1 时，结论也成立，故 a n 2n 1 (n N ) ．⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯5 分S n (2 2 22 n 12 n) n2(1 2n )n 2 n 1n 2 (nN ) ．⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 7 分12解法二：a a2n 1n 2 , a n 2na n 12n 1n2 ,⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 3 分nn 1数列 a n 2 是首项为 a 12 1,公差为 0 的等差数列 ,a n 2n 1 , a n2n 1 (n N ) ．⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 5 分S n(2 22 2 n 12 n)n 2(1 2n ) n 2 n 1n 2 (nN ) ．⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 7 分12解法三：a nan 12n 1 n 2 ,a n 1 a n 1 1 ，2n 2 2n 1 2a n11 a n 11) n2 ．⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯３分2 n(n 12 2a 1 11 0 ，数列 a n 是首项与公比均为 1 的等比数列 ,122 n122a n 1( 1)n ,a n 2n 1 (n N ) ． ⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯5 分2n2S n (2 22 2n 1 2n ) n 2(1 2n ) n 2n 1 n 2 (n N)．⋯⋯⋯⋯⋯⋯7分1 2证明 :（ 2）2n 1b n 2n 112n 1 2n 12n 1 1 2n 1 1 1 1(n N)．2 2n 1 2n 1 1 2 2n 1 2n 1 1⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯11 分T n b12b22n 1b n1 1 1 1 1 1 12 1 2 1 222231 2n n 11 2 11 21 1 1 1 1 1 ．⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯14 分2 1 2 2n 1 1 2 1 2 6。
吉林省吉林市朝鲜族四校2019-2020学年高二上学期期末联考试题数学(文)【含答案】
求点 G横坐标的取值范围．
选择题： 1-12 BBAAC ADCBB AA
填空题： 13. 11 14.
( ,0) 和 (2, ) 15.
π
16.
6
①②④
17
．
解
：
由
9x2
＋
5y 2
＝
45
y2 x2
1 . ----------------------------------------------------------1
A．非 p 是特称命题，且是真命题
B ．非 p 是全称命题，且是假命题
C．非 p 是全称命题，且是真命题
D ．非 p 是特称命题，且是假命题
7. 不等式 2 x2 x 1 0 的解集是
A． (
1 ,1)
B
．（1， +
） C ．（ - ， 1）∪（ 2， + ） D． (
1 , ) (1,
)
2
2
8．已知 { an} 为等差数列， a2＋ a8＝ 12，则 a5 等于
C．充要条件
D
．既不充分也不必要条件
4. △ ABC 中，已知 b 5, A 60 , S△ ABC 5 3 ，则 c 等于
A． 4
B
． 16 C ． 21 D ． 21
5．双曲线
x2 4－
y2＝
1
的离心率是
1
A.
B.
2
3 C.
2
5
D.
3
2
6．已知命题 p： ? x∈ R， sin x≥0，则下列说法正确的是
6) 在椭圆上，∴
6 a2
4 b2
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浙江省杭州市2023学年第一学期高二年级10月四校联考数学试卷 参考答案
高二数学参考答案一、选择题BCDA C B DC二、多选题9.BC 10.ACD 11.BC 12.AC三、填空题13.714.)5,3[15.216.17417.答案：17.解：（1）取PD的中点E,连接AE,NE,又N为PC的中点，M为AB的中点∴,EN=12CD 又∴,AM=12EN所以四边形AMNE为平行四边形，所以2分平面∴PA CD 又CD AD∴CD平面PAD ∴CD AE又PA=AD,E为PD的中点，∴AE PD∴AE平面PCD ∴MN平面PCD 5分（2）以A为原点，分别以AB,AD,AP为x轴，y轴,z轴建立空间坐标系则P(0，0，2)，C(2，2，0)，M(1,0，0)平面PCM的法向量n1⃗⃗⃗⃗ =(2,−1,1)平面ABCD的法向量n2⃗⃗⃗⃗ =(0,0,1)8分COS<n1⃗⃗⃗⃗ ,n2⃗⃗⃗⃗ ≥√6×1=√66∴平面MPC与平面PAD所成锐二面角的余弦值为√6610分// EN CD1//,2 AM CD AM CD=//AM EN//MN AEPA⊥ABCD⊥⊥⊥⊥⊥⊥⊥18.18.19.20．（1）利用每组小矩形的面积之和为1可得，0.0050.0100.0200.0250.010101a ，解得0.030a =…………2分（2）成绩落在[)40,80内的频率为()0.0050.0100.0200.030100.65+++⨯=， 落在[)40,90内的频率为()0.0050.0100.0200.0300.025100.9++++⨯=，设第75百分位数为m ，由()0.65800.0250.75m +−⨯=，得84m =，故第75百分位数为84；………….4分（式子列出2分，答案2分）（3）由图可知，成绩在[)50,60的市民人数为1000.110⨯=， 成绩在[)60,70的市民人数为1000.220⨯=，故623065205610z =⨯+⨯=；……….2分由样本方差计算总体方差公式可得总方差为()()23420710301s 62656256222=⎭⎬⎫⎩⎨⎧⎥⎦⎤⎢⎣⎡++⎥⎦⎤⎢⎣⎡+=−−…………….4分（公式写对2分，答案2分）A21.22.(1)PE ⃗⃗⃗⃗ =34PD⃗⃗⃗⃗⃗ 时，PB //平面ACE ，证明如下： 连接BD ，BD 与AC 交于O 点，因为OD OB =DE EP =13，所以 PB //OE ，OE ⊂面ACE ，PB //平面ACE .(2)直线AD 与平面PBC 所成的角的正弦为23，取AF⃗⃗⃗⃗⃗ =13AB ⃗⃗⃗⃗⃗ 则AD //CF ，所以直线CF 与平面PBC 所成的角记作θ，则Sin θ=23易证AC ⊥BC ，结合PA ⊥BC ，得BC ⊥面PAC ，所以面PBC ⊥面作AH ⊥交线BC 于点H ，则AH ⊥面PBC ，设AH=3t ，则点F 到面PBC 的距离为2t Sin θ=2tCF =2√2=23，所以t=23√2，所以AH=2√2，cos ∠ACH =√33, 在锐角三角形PAC 中，PA=√PC 2+AC 2−2PC ⋅AC ⋅cos ∠ACP =2√3y 法二：如图所示，∠ATH即为所求法三：如图建系DA⃗⃗⃗⃗⃗ =(2√63,4√33,0)，面PBC的法向量为(0,−q,p)，直线AD与平面PBC所成的角记作θ，则Sinθ=4√33q2√2√p2+q2=23，得q2=2p2，PC=4，q2+p2=16解得p=4√33，q=4√63，所以PA=2√3。
2025届浙江省衢州四校高二上数学期末统考试题含解析
2025届浙江省衢州四校高二上数学期末统考试题注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。
回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效。
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．已知函数()31f x ax cx =++的导函数()f x '满足()13f '=，则()1f '-=（） A.3-B.2-C.3D.42．命题“∃x 0∈（0，+∞），0020x sinx +＜”的否定是（ ）A.∀x ∈（﹣∞，0），2x +sin x ≥0B.∀x ∈（0，+∞），2x +sin x ≥0C.∃x 0∈（0，+∞），0020xsinx +≥D.∃x 0∈（﹣∞，0），0020x sinx +＞ 3．已知双曲线()222210,0x y a b a b-=>>的焦点为1F ，2F ，其渐近线上横坐标为12的点P 满足120PF PF ⋅=，则=a （ ） A.14 B.12C.2D.44．曲线y ＝ln x 在点M 处的切线过原点，则该切线的斜率为（ ）A.1B.eC.－1D.1e5．若函数()()cos f x x ωϕ=+，x ∈R （其中0>ω，0ϕπ<<）的最小正周期是4π，且()02f =，则（） A.1,26πωϕ== B.1,24πωϕ== C.2,6πωϕ== D.2,4πωϕ== 6．不等式2230x x -++>的解集为（）A.(1,3)-B.(3,1)-C.(,1)(3,)-∞-+∞D.(,3)(1,)-∞-⋃+∞7．设等差数列{}n a ，{}n b 的前n 项和分别是,n n S T ，若237n n S n T n =+，则64a b =（） A.1B.34-C.1114D.28．已知2log x ，2log y ,2成等差数列，则在平面直角坐标系中，点M (x ，y )的轨迹为( )A. B.C. D.9．设命题甲：2a =，命题乙：直线1:(1)20l a x y ---=与直线2:20l x ay -=平行，则（）A.甲是乙的充分不必要条件B.甲是乙的必要不充分条件C.甲是乙的充要条件D.甲是乙的既不充分也不必要条件10．已知函数()2()e x f x x ax b =++，当1b <时，函数()f x 在(),2-∞-，()1,+∞上均为增函数，则2a b a +-的取值范围是A.22,3⎛⎤- ⎥⎝⎦ B.1,23⎡⎫-⎪⎢⎣⎭ C.2,3⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦ D.2,23⎡⎤-⎢⎥⎣⎦11．平行六面体1111ABCD A B C D -中，若1123AC xAB yBC zCC =++，则x y z ++=（ ）A.56B.1C.76D.11612．已知向量123,,e e e 是两两垂直的单位向量，且1231332,2a e e e b e e =+-=+，则a b ⋅=（）A.5B.1C.-1D.7二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
2019-2020年四校联考文科数学参考答案及说明
2019-2020年四校联考文科数学参考答案及说明一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分. 在每小题的4个选项中,只有一项是符合题目要求的.二、填空题：本大题共5小题, 考生作答４小题，每小题5分,共20分. 11. 0或23-； 12. 30； 13. 1(0,)(2,)2+∞； 14. 4； 15. 30x y --=．三、解答题：本大题共6小题,共80分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.16.（本小题满分12分）已知向量()()()cos 3sin ,1,,cos a x x b f x x ωωω=+=，其中ω＞0，且//a b ，又函数()f x 的图像两相邻对称轴之间的距离为3π2. (1) 求ω的值；(2) 求函数()f x 在区间5,2π⎡⎤π⎢⎥⎣⎦上的最大值与最小值及相应的x 值． 解.(1) 由题意//a b ，()cos (cos )f x x x x ωωω∴=+1cos 2222x x ωω+=+1πsin(2)26x ω=++．…………………………………………… 4分由题意，函数的最小正周期为3π，又ω＞0，2π3π=2ω∴13ω∴=； ………………6分 (2) 由(１)知12()sin()236f x x π=++，5,2x π⎡⎤∈π⎢⎥⎣⎦，2511,,3666x πππ⎡⎤+∈⎢⎥⎣⎦∴当25,366x ππ+=即x =π时，()f x 取得最大值1, ……………………………… 9分 当29,366x ππ+=即2x =π时，()f x 取得最小值1.2- ………………………12分HPA BCDE 17．（本小题满分12分）为了让学生更多的了解“数学史”知识，某中学高二年级举办了一次“追寻先哲的足迹，倾听数学的声音”的数学史知识竞赛活动，共有800名学生参加了这次竞赛．为了解本次竞赛的成绩情况，从中抽取了部分学生的成绩（得分均为整数，满分为100分）进行统计．请你根据频率分布表，解答下列问题：（1）填充频率分布表中的空格（在解答中直接写出对应空格序号的答案）；（2）为鼓励更多的学生了解“数学史”知识，成绩不低于80分的同学能获奖，请估计在参加的800名学生中大概有多少同学获奖？（3）在上述统计数据的分析中有一项计算见算法流程图，求输出S 的值． 解：（1）①为8，②为0.44，③为6，④为0.12． …………………………………4分（2）()0.280.12800320+⨯=，即在参加的800名学生中大概有320名同学获奖． ………………………………8分 （3）由流程图11223344S G F G F G F G F =+++650.16750.44850.28950.12=⨯+⨯+⨯+⨯78.6=．……………………12分 18．（本小题满分14分）如图，在四棱锥P ABCD -中，PD ⊥平面ABCD ，AD CD ⊥，且BD 平分ADC ∠，E 为PC 的中点， 1==CD AD ,PC BC =,22=DB . （1）求证：PA ∥平面BDE ； （2）求证：AC ⊥平面PBD ； （3）求四棱锥ABCD P -的体积.（1）证明:设AC BD H =，连结EH ，在ADC ∆中，,AD CD =且DB 平分ADC ∠，H ∴为AC 的中点， E 为PC 的中点， EH ∴∥.PAHE ⊂平面BDE ，PA ⊄平面BDE ，PA ∴∥平面BDE ； ………………………………………………………………5分 （2）证明: PD ⊥平面ABCD ，AC ⊂平面ABCD ，PD AC ∴⊥，由（Ⅰ）知BD AC,⊥PD BD D,=PD ⊂平面PBD ，BD ⊂平面PBD ，AC ∴⊥平面PBD ; …………………………………………………………………9分 另证：PD ⊥平面ABCD ，PD ⊂平面PBD ，∴平面PBD ⊥平面ABCD ， 由（Ⅰ）知AC BD,⊥平面PBD 平面ABCD BD,=AC ⊂平面ABCD ，AC ∴⊥平面PBD ． ……………………………………………………………………9分（3）解：在△BCD中，1,45DC DB BDC ==∠=︒，得222121455,BC BC =+-⨯⨯︒==在Rt △PDC中，1,PC BC DC ===从而2,PD =…………………………11分22,ABCD BCD S S ∆== ………………………………………………13分故四棱锥ABCD P -的体积142233P ABCD V -=⋅⋅=．………………………………14分 19．（本小题满分14分）如图，在直角梯形ABCD中，,,3,4,AD AB BC AB AD AB BC ⊥⊥===点E 在线段AB 的延长线上.曲线段DE 上任一点到A 、B 两点的距离之和都相等． （１）建立适当的直角坐标系，求曲线段DE 的方程； （２）试问：过点C 能否作一条直线l 与曲线段DE 相交于两点M 、N ，使得线段MN 以C 为中点？若能，则求直线l 的方程；若不能，则说明理由． 解：（1）以直线AB 为x 轴，线段AB 的中点为原点， 建立如图所示的平面直角坐标系，则(2,0),(2,0),(2,3).A B C D -- …………… 1分358AD BD AB +=+=>，∴依题意，曲线段DE 是以A 、B 为左、右焦点，长轴长为8的椭圆的一部分． ……………… 4分故曲线段DE 的方程为221(2,0).1612x y x y +=≥-≥ …………………………………… 6分（2）设这样的直线l 存在，由直线2x =与曲线段DE 只有一个交点(0,3)，知直线l 存在斜率，设直线l 的方程为(2),y k x =-即 (2)y k x =-将其代入2211612x y +=得2222(34)16)16360k x k x k ++-+--= ① ……………………………… 9分设1122(,),(,)M x y N x y ，则由122,2x x +=知124,4,x x +==解得k = …………………………12分当2k =-时，方程①化为：240x x -=，解得120, 4.x x ==即(0,(4,0)M N ，适合条件．故直线l 存在，其方程为2y x =-+20.y +-= ………………… 14分 20．（本小题满分14分）设函数()3221f x x ax a x =+--,二次函数()21g x ax x =--，其中常数a R ∈．（1）若函数()f x 与()g x 在区间()2,a a -内均为增函数，求实数a 的取值范围； （2）当函数()y f x =与()y g x =的图象只有一个公共点且()g x 存在最大值时，记()g x 的最大值为()h a ，求函数()h a 的解析式．解：（1）由题意0.a ≠()()223233a f x x ax a x x a ⎛⎫'=+-=-+ ⎪⎝⎭，()21g x ax '=-. ……………………………………………………………………………………………2分 1︒ 当0a >时，()03a f x x '>⇔>,或,x a <-函数()f x 的增区间为(),a -∞-、,3a ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭. ()10,2g x x a '>⇔>函数()g x 的增区间为1,2a ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭.函数()f x 与()g x 在区间()2,a a -内均为增函数，023122a a a a a ⎧⎪>⎪⎪∴-≥⎨⎪⎪-≥⎪⎩解得3a ≥. ……………………………………………………………5分2︒ 当0a <时，()03af x x '>⇔<,或,x a >- 函数()f x 的增区间为,3a ⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭、(),a -+∞. ()10,2g x x a '>⇔<函数()g x 的增区间为1,2a ⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭.函数()f x 与()g x 在区间()2,a a -内均为增函数函数，0312a a a a a ⎧⎪<⎪⎪∴≤⎨⎪⎪≤⎪⎩，解得a ≤. ……………………………………………………………8分综上所述，实数a的取值范围是[)(,3,-∞+∞. ………………………………9分（2）∵二次函数()21g x ax x =--有最大值，0a ∴<， 由()()f x g x =得()2210x x a -+=，即0x =,或221.x a =-∵函数()y f x =与()y g x =的图象只有一个公共点，210a ∴-≤，又0a <，10a ∴-≤<． ……………………………………………12分又()211124g x a x a a ⎛⎫=--- ⎪⎝⎭，当12x a =时, ()g x 有最大值114a --, ()11,104h a a a∴=---≤<． …………………………………………………………14分 21．（本小题满分14分）已知数列{}n a 满足：1113,2(2,n n n a a a n n --==+≥)*∈N ．（１）求数列{}n a 的通项公式及前n 项和n S ； （２）令11n n n b a a +=⋅，11222(n n n T b b b n -=+++)*∈N ,求证：16n T <(n )*∈N ． 解:（1）解法一：()1122,n n n a a n --≥-=∴当2n ≥时，()()()12132121()n n n n n a a a a a a a a a a ---=+-+-++-+-221123222222112nn n n ---=+++++=+=+-．检验知当1n =时，结论也成立，故21n n a =+ (n )*∈N ．…………………………………5分2112(12)(2222)2212n n nn n S n n n -+-=+++++=+=+--(n )*∈N ．………………7分解法二：()1122,n n n a a n --≥-=1122n n n n a a --∴-=- ()2n ≥, ……………………3分∴数列{}2n a -是首项为121a -=,公差为0的等差数列,21n n a ∴-=,21n n a =+ (n )*∈N ． ………………………………………………5分2112(12)(2222)2212n n nn n S n n n -+-=+++++=+=+--(n )*∈N ．………………7分解法三：()1122,n n n a a n --≥-=11112222n n n n a a --∴=⋅+，()11211(1)222n n n n a a n --≥-=-． ……………………………………………………………３分 1111022a -=≠， ∴数列12n n a ⎧⎫-⎨⎬⎩⎭是首项与公比均为12的等比数列, 11(),2122nn n n n a a ∴-==+(n )*∈N ． …………………………………………5分2112(12)(2222)2212n n nn n S n n n -+-=+++++=+=+--(n )*∈N ．………………7分证明:（2）()()111222121n n n n n b --+=++ ()()()()11121211112212122121n n n n n n ++++-+⎛⎫==- ⎪++++⎝⎭(n )*∈N ． ……………………………………………………………………11分11222n n n T b b b -∴=+++223111111112121212122121nn +⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+-++-⎪ ⎪ ⎪⎢⎥++++++⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦ 1111111212212126n +⎛⎫=-<⋅= ⎪+++⎝⎭． ……………………………………………14分。
广东省广州市执信、广雅、二中、六中四校联考高二数学上学期期末试卷 文(含解析)-人教版高二全册数学试
2015-2016学年某某省某某市执信、广雅、二中、六中四校联考高二（上）期末数学试卷（文科）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．若集合A={y|y=2x}，B={x|x2﹣2x﹣3＞0，x∈R}，那么A∩B=（）A．（0，3] B．[﹣1，3] C．（3，+∞）D．（0，﹣1）∪（3，+∞）2．已知命题p：∀x∈R，x2﹣2x+4≤0，则¬p为（）A．∀x∈R，x2﹣2x+4≥0B．C．∀x∉R，x2﹣2x+4≤0D．3．已知向量=（﹣1，0），=（，），则向量与的夹角为（）A．B．C．D．4．已知函数f（x）=x2+a（b+1）x+a+b（a，b∈R），则“a=0”是“f（x）为偶函数”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件5．已知函数f（x）=sin（ωx+φ）（其中）的图象如图所示，为了得到f（x）的图象，则只需将g（x）=sin2x的图象（）A．向左平移个单位长度B．向右平移个单位长度C．向左平移个单位长度D．向右平移个单位长度6．关于x的方程x2+x+q=0（q∈[0，1]）有实根的概率为（）A．B．C．D．7．如图所示，程序框图的输出结果是s=，那么判断框中应填入的关于n的判断条件是（）A．n≤8？B．n＜8？C．n≤10？D．n＜10？8．直线x+2y﹣5+=0被圆x2+y2﹣2x﹣4y=0截得的弦长为（）A．1 B．2 C．4 D．49．设椭圆的两个焦点分别为F1、F2，过F2作椭圆长轴的垂线交椭圆于点P，若△F1PF2为等腰直角三角形，则椭圆的离心率是（）A．B．C．D．10．一个四棱锥的底面为菱形，其三视图如图所示，则这个四棱锥的体积是（）A．2 B．4 C．8 D．1211．数列{a n}满足a1=2，，则a2016=（）A．﹣2 B．﹣1 C．2 D．12．已知函数f（x）=，函数g（x）=3﹣f（2﹣x），则函数y=f（x）﹣g（x）的零点个数为（）A．2 B．3 C．4 D．5二．填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．13．已知变量x，y满足约束条件，则z=x﹣2y的最大值为．14．已知倾斜角为α的直线l与直线x+2y﹣3=0垂直，则=．15．已知双曲线C与双曲线有共同的渐近线，且C经过点，则双曲线C的实轴长为．16．已知直线l1：4x﹣3y+16=0和直线l2：x=﹣1，抛物线y2=4x上一动点P到直线l1的距离为d1，动点P到直线l2的距离为d2，则d1+d2的最小值为．三．解答题：本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．17．在△ABC中，已知A=45°，．（Ⅰ）求cosC的值；（Ⅱ）若BC=10，D为AB的中点，求CD的长．18．已知等差数列{a n}的首项a1=1，公差d＞0，且a2，a5，a14成等比数列．（Ⅰ）求数列{a n}的通项公式；（Ⅱ）令，求数列{b n}的前n项和S n．19．某中学高三年级从甲、乙两个班级各选出7名学生参加数学竞赛，他们取得的成绩（满分100分）的茎叶图如图，其中甲班学生的平均分是85．（Ⅰ）计算甲班7位学生成绩的方差s2；（Ⅱ）从成绩在90分以上的学生中随机抽取两名学生，求甲班至少有一名学生的概率．参考公式：方差，其中．20．如图所示，在长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，AB=BC=2，AA1=4，P为线段B1D1上一点．（Ⅰ）求证：AC⊥BP；（Ⅱ）当P为线段B1D1的中点时，求点A到平面PBC的距离．21．已知二次函数f（x）=ax2+bx+c，满足f（0）=2，f（x+1）﹣f（x）=2x﹣1．（Ⅰ）求函数f（x）的解析式；（Ⅱ）若关于x的不等式f（x）﹣t＞0在[﹣1，2]上有解，某某数t的取值X围；（Ⅲ）若函数g（x）=f（x）﹣mx的两个零点分别在区间（﹣1，2）和（2，4）内，某某数m的取值X围．22．已知椭圆E：过点（0，﹣1），且离心率为．（1）求椭圆E的方程；（2）如图，A，B，D是椭圆E的顶点，M是椭圆E上除顶点外的任意一点，直线DM交x轴于点Q，直线AD交BM于点P，设BM的斜率为k，PQ的斜率为m，则点N（m，k）是否在定直线上，若是，求出该直线方程，若不是，说明理由．2015-2016学年某某省某某市执信、广雅、二中、六中四校联考高二（上）期末数学试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．若集合A={y|y=2x}，B={x|x2﹣2x﹣3＞0，x∈R}，那么A∩B=（）A．（0，3] B．[﹣1，3] C．（3，+∞）D．（0，﹣1）∪（3，+∞）【考点】交集及其运算．【专题】计算题；集合思想；定义法；集合．【分析】根据指数函数的性质求出函数的值域化简集合A，求解一元二次不等式化简集合B，然后直接利用交集运算求解．【解答】解：集合A={y|y=2x}=（0，+∞），B={x|x2﹣2x﹣3＞0，x∈R}=（﹣∞，﹣1）∪（3，+∞），∴A∩B=（3，+∞）故选C．【点评】本题考查了交集及其运算，考查了不等式的解法，是基础题．2．已知命题p：∀x∈R，x2﹣2x+4≤0，则¬p为（）A．∀x∈R，x2﹣2x+4≥0B．C．∀x∉R，x2﹣2x+4≤0D．【考点】命题的否定．【专题】计算题；规律型；简易逻辑．【分析】利用全称命题的否定是特称命题写出结果即可．【解答】解：因为全称命题的否定是特称命题，所以，命题p：∀x∈R，x2﹣2x+4≤0，则¬p 为：．故选：B．【点评】本题考查命题的否定，特称命题与全称命题的否定关系，是基础题．3．已知向量=（﹣1，0），=（，），则向量与的夹角为（）A．B．C．D．【考点】数量积表示两个向量的夹角．【专题】转化思想；综合法；平面向量及应用．【分析】由条件利用两个向量的数量积公式，两个向量的夹角公式，求得向量与的夹角．【解答】解：∵向量=（﹣1，0），=（，），设向量与的夹角为θ，则由cosθ===﹣，θ∈[0，π]，∴θ=，故选：D．【点评】本题主要考查两个向量的数量积公式，两个向量的夹角公式的应用，属于基础题．4．已知函数f（x）=x2+a（b+1）x+a+b（a，b∈R），则“a=0”是“f（x）为偶函数”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断．【专题】函数思想；转化法；简易逻辑．【分析】根据充分条件和必要条件的定义，结合函数奇偶性的定义和性质进行判断即可．【解答】解：若a=0，则f（x）=x2+b为偶函数，当b=﹣1，a≠0时，f（x）=x2+a﹣1为偶函数，但a=0不成立，即“a=0”是“f（x）为偶函数”的充分不必要条件，故选：A【点评】本题主要考查充分条件和必要条件的判断，根据函数奇偶性的性质和定义是解决本题的关键．5．已知函数f（x）=sin（ωx+φ）（其中）的图象如图所示，为了得到f（x）的图象，则只需将g（x）=sin2x的图象（）A．向左平移个单位长度B．向右平移个单位长度C．向左平移个单位长度D．向右平移个单位长度【考点】函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换．【专题】计算题；数形结合；数形结合法；三角函数的图像与性质．【分析】由函数的最值求出A，由周期求出ω，由五点法作图求出φ的值，从而得到函数f（x）的解析式．再根据y=Asin（ωx+φ）的图象变换规律得出结论．【解答】解：由函数f（x）=sin（ωx+φ）的图象可得：•=﹣，解得ω=2．再由五点法作图可得2×+φ=π，解得φ=，故函数f（x）=sin（2x+）=sin2（x+），故把g（x）=sin2x的图象向左平移个长度单位可得f（x）的图象，故选：C．【点评】本题主要考查由函数y=Asin（ωx+∅）的部分图象求解析式，由函数的最值求出A，由周期求出ω，由五点法作图求出φ的值，y=Asin（ωx+∅）的图象变换规律，属于中档题．6．关于x的方程x2+x+q=0（q∈[0，1]）有实根的概率为（）A．B．C．D．【考点】几何概型．【专题】计算题；方程思想；运动思想；概率与统计．【分析】由题意知本题是一个几何概型，试验包含的所有事件是q∈[0，1]，而满足条件的事件是使得方程x2+x+q=0有实根的b的值，根据一元二次方程根与系数的关系得到满足条件的q的值，得到结果．【解答】解：由题意知本题是一个几何概型，试验包含的所有事件是q∈[0，1]，而满足条件的事件是使得方程x2+x+q=0有实根的q的值，要使方程x2+x+q=0有实根，△=1﹣4bq≥0∴b≤，∴在基本事件包含的X围之内q∈[0，]，由几何概型公式得到P=，故选：C．【点评】古典概型和几何概型是我们学习的两大概型，古典概型要求能够列举出所有事件和发生事件的个数，而不能列举的就是几何概型，几何概型的概率的值是通过长度、面积、和体积、的比值得到．7．如图所示，程序框图的输出结果是s=，那么判断框中应填入的关于n的判断条件是（）A．n≤8？B．n＜8？C．n≤10？D．n＜10？【考点】程序框图．【专题】图表型；算法和程序框图．【分析】首先判断循环结构类型，得到判断框内的语句性质．然后对循环体进行分析，找出循环规律．判断输出结果与循环次数以及i的关系．最终得出选项【解答】解：模拟执行程序框图，可得s=0，n=2满足条件，s=，n=4满足条件，s=，n=6满足条件，s=+=，n=8由题意可得，此时应该满足条件，退出循环，输出s的值为．结合选项，判断框中应填入的关于n的判断条件是：n＜8？故选：B．【点评】本题考查程序框图，尤其考查循环结构．对循环体每次循环需要进行分析并找出内在规律．本题属于基础题．8．直线x+2y﹣5+=0被圆x2+y2﹣2x﹣4y=0截得的弦长为（）A．1 B．2 C．4 D．4【考点】直线与圆的位置关系．【专题】直线与圆．【分析】化圆的方程为标准方程，求出圆的圆心坐标和半径，由点到直线距离公式求出圆心到直线的距离，利用勾股定理求出半弦长，则弦长可求．【解答】解：由x2+y2﹣2x﹣4y=0，得（x﹣1）2+（y﹣2）2=5，所以圆的圆心坐标是C（1，2），半径r=．圆心C到直线x+2y﹣5+=0的距离为d=．所以直线直线x+2y﹣5+=0被圆x2+y2﹣2x﹣4y=0截得的弦长为．故选C．【点评】本题考查了直线与圆的位置关系，考查了弦心距、圆的半径及半弦长之间的关系，是基础题．9．设椭圆的两个焦点分别为F1、F2，过F2作椭圆长轴的垂线交椭圆于点P，若△F1PF2为等腰直角三角形，则椭圆的离心率是（）A．B．C．D．【考点】椭圆的简单性质．【专题】计算题．【分析】设点P在x轴上方，坐标为，根据题意可知|PF2|=，|PF2|=|F1F2|，进而根据求得a和c的关系，求得离心率．【解答】解：设点P在x轴上方，坐标为，∵△F1PF2为等腰直角三角形∴|PF2|=|F1F2|，即，即故椭圆的离心率e=故选D【点评】本题主要考查了椭圆的简单性质．椭圆的离心率是高考中选择填空题常考的题目．应熟练掌握圆锥曲线中a，b，c和e的关系．10．一个四棱锥的底面为菱形，其三视图如图所示，则这个四棱锥的体积是（）A．2 B．4 C．8 D．12【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积．【专题】数形结合；数形结合法；空间位置关系与距离．【分析】根据三视图得出底面积和棱锥的高，代入体积计算．【解答】解：由三视图的数量关系可知俯视图菱形的对角线长分别为4和2，∴棱锥的底面菱形的面积为S=．由主视图可知棱锥的高为h=．∴棱锥的体积V==．故选B．【点评】本题考查了棱锥的结构特征，三视图，体积计算，属于基础题．11．数列{a n}满足a1=2，，则a2016=（）A．﹣2 B．﹣1 C．2 D．【考点】数列递推式．【专题】方程思想；转化思想；等差数列与等比数列．【分析】数列{a n}满足a1=2，，求出前4项即可得出周期性．【解答】解：∵数列{a n}满足a1=2，，∴a2==﹣1，a3==，a4==2，…，∴a n+3=a n．则a2016=a3×672=a3=．故选：D．【点评】本题考查了递推关系、数列的周期性，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．12．已知函数f（x）=，函数g（x）=3﹣f（2﹣x），则函数y=f（x）﹣g（x）的零点个数为（）A．2 B．3 C．4 D．5【考点】根的存在性及根的个数判断．【专题】开放型；函数的性质及应用．【分析】求出函数y=f（x）﹣g（x）的表达式，构造函数h（x）=f（x）+f（2﹣x），作出函数h（x）的图象，利用数形结合进行求解即可．【解答】解：∵g（x）=3﹣f（2﹣x），∴y=f（x）﹣g（x）=f（x）﹣3+f（2﹣x），由f（x）﹣3+f（2﹣x）=0，得f（x）+f（2﹣x）=3，设h（x）=f（x）+f（2﹣x），若x≤0，则﹣x≥0，2﹣x≥2，则h（x）=f（x）+f（2﹣x）=2+x+x2，若0≤x≤2，则﹣2≤﹣x≤0，0≤2﹣x≤2，则h（x）=f（x）+f（2﹣x）=2﹣x+2﹣|2﹣x|=2﹣x+2﹣2+x=2，若x＞2，﹣x＜0，2﹣x＜0，则h（x）=f（x）+f（2﹣x）=（x﹣2）2+2﹣|2﹣x|=x2﹣5x+8．即h（x）=，作出函数h（x）的图象如图：当y=3时，两个函数有2个交点，故函数y=f（x）﹣g（x）的零点个数为2个，故选：A．【点评】本题主要考查函数零点个数的判断，根据条件求出函数的解析式，利用数形结合是解决本题的关键．二．填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．13．已知变量x，y满足约束条件，则z=x﹣2y的最大值为 1 ．【考点】简单线性规划．【专题】不等式的解法及应用．【分析】作出不等式组对应的平面区域，利用目标函数的几何意义，进行求最值即可．【解答】解：由z=x﹣2y得y=，作出不等式组对应的平面区域如图（阴影部分）：平移直线y=，由图象可知当直线y=，过点A（1，0）时，直线y=的截距最小，此时z最大，代入目标函数z=x﹣2y，得z=1∴目标函数z=x﹣2y的最大值是1．故答案为：1【点评】本题主要考查线性规划的基本应用，利用目标函数的几何意义是解决问题的关键，利用数形结合是解决问题的基本方法．14．已知倾斜角为α的直线l与直线x+2y﹣3=0垂直，则=．【考点】三角函数的化简求值．【专题】计算题；转化思想；综合法；三角函数的求值．【分析】由直线垂直的性质求出tanα=2，由此利用同角三角函数关系式能求出的值．【解答】解：∵倾斜角为α的直线l与直线x+2y﹣3=0垂直，∴tanα=2，∴===．故答案为：．【点评】本题考查三角函数值的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意三角函数性质的合理运用．15．已知双曲线C与双曲线有共同的渐近线，且C经过点，则双曲线C的实轴长为 3 ．【考点】双曲线的简单性质．【专题】计算题；规律型；方程思想；转化思想；圆锥曲线的定义、性质与方程．【分析】由双曲线C与双曲线有共同的渐近线，设出方程，把点，代入求出λ再化简即可．【解答】解：由题意双曲线C与双曲线有共同的渐近线，设所求的双曲线的方程为（λ≠0），因为且C经过点，所以1﹣=λ，即λ=，代入方程化简得，，双曲线C的实轴长为：3．故答案为：3．【点评】本题考查双曲线特有的性质：渐近线，熟练掌握双曲线有共同渐近线的方程特点是解题的关键．16．已知直线l1：4x﹣3y+16=0和直线l2：x=﹣1，抛物线y2=4x上一动点P到直线l1的距离为d1，动点P到直线l2的距离为d2，则d1+d2的最小值为 4 ．【考点】点到直线的距离公式．【专题】数形结合；转化思想；空间位置关系与距离．【分析】抛物线y2=4x的焦点F（1，0），由抛物线的定义可得：|PF|=d2，可得d1+d2的最小值为点F到直线l1的距离．【解答】解：抛物线y2=4x的焦点F（1，0），由抛物线的定义可得：|PF|=d2，∴d1+d2的最小值为点F到直线l1的距离．∴d1+d2的最小值==4，故答案为：4．【点评】本题考查了抛物线的定义及其性质、点到直线的距离公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．三．解答题：本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．17．在△ABC中，已知A=45°，．（Ⅰ）求cosC的值；（Ⅱ）若BC=10，D为AB的中点，求CD的长．【考点】正弦定理；同角三角函数基本关系的运用．【专题】综合题．【分析】（I）利用三角函数的平方故选求出角B的正弦；利用三角形的内角和为180°将角C用角B表示；利用两角差的余弦公式求出cosC．（II）利用三角函数的平方关系求出角C的正弦；利用三角函数的正弦定理求出边AB的长；利用三角形的余弦定理求出CD的长【解答】解：（Ⅰ）∵，且B∈（0°，180°），∴．cosC=cos=cos==．（Ⅱ）由（Ⅰ）可得由正弦定理得，即，解得AB=14．在△BCD中，BD=7，，所以．【点评】本题考查三角函数的平方关系、考查两角和的余弦公式、考查三角形中的正弦定理、余弦定理．18．已知等差数列{a n}的首项a1=1，公差d＞0，且a2，a5，a14成等比数列．（Ⅰ）求数列{a n}的通项公式；（Ⅱ）令，求数列{b n}的前n项和S n．【考点】数列的求和．【专题】计算题；规律型；转化思想；等差数列与等比数列．【分析】（Ⅰ）利用已知条件求出数列的公差，然后求数列{a n}的通项公式；（Ⅱ）化简，通过裂项消项法求数列{b n}的前n项和S n．【解答】（本小题满分12分）解：（Ⅰ）∵等差数列{a n}的首项a1=1，公差d＞0，a2=1+d，a5=1+4d，a14=1+13d，…且a2，a5，a14成等比数列，∴（1+4d）2=（1+d）（1+13d），…即d=2，…∴a n=1+2（n﹣1）=2n﹣1．…（Ⅱ）∵，…∴…=．…【点评】本题考查数列的通项公式的求法，数列求和的简单方法的应用，考查计算能力．19．某中学高三年级从甲、乙两个班级各选出7名学生参加数学竞赛，他们取得的成绩（满分100分）的茎叶图如图，其中甲班学生的平均分是85．（Ⅰ）计算甲班7位学生成绩的方差s2；（Ⅱ）从成绩在90分以上的学生中随机抽取两名学生，求甲班至少有一名学生的概率．参考公式：方差，其中．【考点】极差、方差与标准差；茎叶图．【专题】概率与统计．【分析】（Ⅰ）利用平均数求出x的值，根据所给的茎叶图，得出甲班7位学生成绩，做出这7次成绩的平均数，把7次成绩和平均数代入方差的计算公式，求出这组数据的方差．（Ⅱ）设甲班至少有一名学生为事件A，其对立事件为从成绩在90分以上的学生中随机抽取两名学生，甲班没有一名学生；先计算出从成绩在90分以上的学生中随机抽取两名学生的所有抽取方法总数，和没有甲班一名学生的方法数目，先求出从成绩在90分以上的学生中随机抽取两名学生，甲班没有一名学生的概率，进而结合对立事件的概率性质求得答案【解答】解：（ I）∵甲班学生的平均分是85，∴．…∴x=5．…则甲班7位学生成绩的方差为s2==40．…（ II）甲班成绩在90（分）以上的学生有两名，分别记为A，B，…乙班成绩在90（分）以上的学生有三名，分别记为C，D，E．…从这五名学生任意抽取两名学生共有10种情况：（A，B），（A，C），（A，D），（A，E），（B，C），（B，D），（B，E），（C，D），（C，E），（D，E）．…其中甲班至少有一名学生共有7种情况：（A，B），（A，C），（A，D），（A，E），（B，C），（B，D），（B，E）．…记“甲班至少有一名学生”为事件M，则，即从成绩在90（分）以上的学生中随机抽取两名学生，甲校至少有一名学生的概率为．…【点评】本小题主要考查茎叶图、样本均值、样本方差、概率等知识，考查或然与必然的数学思想方法，以及数据处理能力、运算求解能力和应用意识．20．如图所示，在长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，AB=BC=2，AA1=4，P为线段B1D1上一点．（Ⅰ）求证：AC⊥BP；（Ⅱ）当P为线段B1D1的中点时，求点A到平面PBC的距离．【考点】点、线、面间的距离计算．【专题】计算题；规律型；转化思想；空间位置关系与距离．【分析】（Ⅰ）连结BD，证明AC⊥BD，AC⊥BB1，说明AC⊥平面BB1D1D，即可证明AC⊥BP．（Ⅱ）求出V P﹣ABC，l设三棱锥A﹣PBC的高为h，利用V A﹣PBC=V P﹣ABC，即可求解三棱锥A﹣PBC 的高．【解答】（本小题满分12分）解：（Ⅰ）证明：连结BD，因为ABCD﹣A1B1C1D1是长方体，且AB=BC=2，所以四边形ABCD是正方形，所以AC⊥BD，…因为在长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，BB1⊥平面ABCD，AC⊂平面ABCD，所以AC⊥BB1，…因为BD⊂平面BB1D1D，BB1⊂平面BB1D1D，且BD∩BB1=B，…所以AC⊥平面BB1D1D，…因为BP⊂平面BB1D1D，所以AC⊥BP．…（Ⅱ）点P到平面ABC的距离AA1=4，…△ABC的面积，…所以，…在Rt△BB1P中，，所以，同理．又BC=2，所以△PBC的面积．…设三棱锥A﹣PBC的高为h，则因为V A﹣PBC=V P﹣ABC，所以，…所以，解得，即三棱锥A﹣PBC的高为．…【点评】本题考查几何体的体积的求法，直线与平面垂直的判定定理的应用，考查空间想象能力以及转化思想的应用．21．已知二次函数f（x）=ax2+bx+c，满足f（0）=2，f（x+1）﹣f（x）=2x﹣1．（Ⅰ）求函数f（x）的解析式；（Ⅱ）若关于x的不等式f（x）﹣t＞0在[﹣1，2]上有解，某某数t的取值X围；（Ⅲ）若函数g（x）=f（x）﹣mx的两个零点分别在区间（﹣1，2）和（2，4）内，某某数m的取值X围．【考点】函数的零点与方程根的关系；抽象函数及其应用．【专题】计算题；规律型；转化思想；解题方法；函数的性质及应用．【分析】（Ⅰ）通过f（0）=2，求出c，利用f（x+1）﹣f（x）=2x﹣1，求出a，b，得到函数的解析式．（Ⅱ）求出函数f（x）的对称轴，然后求解f max（x），列出关系式即可求解实数t的取值X 围为（﹣∞，5）．（Ⅲ）g（x）=x2﹣（2+m）x+2，若g（x）的两个零点分别在区间（﹣1，2）和（2，4）内，利用零点存在定理列出不等式组求解即可．【解答】（本小题满分12分）解：（Ⅰ）由f（0）=2，得c=2，…又f（x+1）﹣f（x）=2x﹣1，得2ax+a+b=2x﹣1，…故，解得：a=1，b=﹣2，…所以f（x）=x2﹣2x+2．…（Ⅱ）f（x）=x2﹣2x+2=（x﹣1）2+1，对称轴为x=1∈[﹣1，2]，…又f（﹣1）=5，f（2）=2，所以f max（x）=f（﹣1）=5．…关于x的不等式f（x）﹣t＞0在[﹣1，2]有解，则t＜f（x）max=5，所以实数t的取值X围为（﹣∞，5）．…（Ⅲ）g（x）=x2﹣（2+m）x+2，若g（x）的两个零点分别在区间（﹣1，2）和（2，4）内，则满足…解得：，所以实数m的取值X围为．…【点评】本题考查二次函数的最值的求法，零点存在定理的应用，考查分析问题解决问题的能力．22．已知椭圆E：过点（0，﹣1），且离心率为．（1）求椭圆E的方程；（2）如图，A，B，D是椭圆E的顶点，M是椭圆E上除顶点外的任意一点，直线DM交x轴于点Q，直线AD交BM于点P，设BM的斜率为k，PQ的斜率为m，则点N（m，k）是否在定直线上，若是，求出该直线方程，若不是，说明理由．【考点】椭圆的简单性质．【专题】圆锥曲线的定义、性质与方程．【分析】（1）由已知得b和，结合隐含条件a2=b2+c2求得a，b的值，则椭圆方程可求；（2）由题意求出A，B，D的坐标，得到直线AD的方程，再设出直线BP方程，联立两直线方程求得P的坐标，联立直线BP的方程与椭圆方程求得M的坐标，再由M，D，Q三点共线求得Q的坐标，代入两点求斜率公式得到直线PQ的斜率，整理后即可得到关于k，m的等式，则可求得点N（m，k）所在定直线方程．【解答】解：（1）依题意，b=1，，又a2=b2+c2，∴3a2=4c2=4（a2﹣b2）=4a2﹣4，即a2=4．∴椭圆E的方程为：；（2）由（1）知，A（﹣2，0），B（2，0），D（0，1），∴直线AD的方程为y=，由题意，直线BP的方程为y=k（x﹣2），k≠0且k，由，解得P（），设M（x1，y1），则由，消去y整理得（4k2+1）x2﹣16k2x+16k2﹣4=0．∴，即，．即M（），设Q（x2，0），则由M，D，Q三点共线得：k DM=k DQ，即，∴，则，∴PQ的斜率m=．∴2k+1=4m，即点N（m，k）在定直线4x﹣2y﹣1=0上．【点评】本题考查了椭圆方程的求法，考查了椭圆的简单性质，训练了直线和圆锥曲线位置关系的应用，（2）的求解着重体现了“舍而不求”和整体运算思想方法，属中高档题．。
2021-2022学年湖北省重点中学四校高二上学期12月联考数学试题及解析
ACDB2021-2022学年湖北省重点中学四校高二上学期12月联考数学试题★祝考试顺利★ (含答案)本试卷22小题,满分150分,考试用时120分钟一、选择题：本题共8小题,每小题5分,共40分．1．如图所示,若直线l 1,l 2,l 3的斜率分别为k 1,k 2,k 3, ） A ．k 2＜k 1＜k 3 B ．k 1＜k 2＜k 3C ．k 3＜k 2＜k 1D ．k 3＜k 1＜k 22．已知抛物线2:2021C y x =,则( ) A ．它的焦点坐标为2021(,0)4B ．它的焦点坐标为1(0,)8084 C ．它的准线方程是18084x =- D ．它的准线方程是20214x =-3．将襄阳五中、钟祥一中、夷陵中学、随州一中校徽各1枚随机地分发给甲、乙、丙、丁,每人分得1枚,事件“甲分得钟祥一中校徽”与事件“乙分得钟祥一中校徽”是（ ） A. 不可能事件 B. 对立事件 C. 相互独立事件 D. 互斥事件4．已知双曲线的焦点在y 轴上,焦距为4,且一条渐近线方程为3y x =,则双曲线的标准方程是( )A ．2213y x -=B ．2213x y -= C ．221124y x -= D ．221412y x -=5．高斯,德国著名数学家、物理学家、天文学家、大地测量学家,近代数学奠基者之一,享有“数学王子”之称．高斯在幼年时首先使用了倒序相加法,人们因此受到启发,创造了等差数列前n 项和公式．已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ,43S =,412n S -=,17n S =,则n 的值为( )A ．8B ．11C ．13D ．176．如图,在60︒二面角的棱上有两点A 、B ,线段AC 、BD 分别在该二面角的两个面内,且都垂直于棱AB ,若4AB AC BD ===,则线段CD 的长为( )Oxyl 3l 1l 2A ．8B ．16C ．．7．等差数列{}n a 满足：202120201a a <-,且它的前n 项和n S 有最大值,则( ) A ．2019S 是n S 中最大值,且使0>n S 的n 的最大值为2019 B ．2020S 是n S 中最大值,且使0>n S 的n 的最大值为2020 C ．2020S 是n S 中最大值,且使0>n S 的n 的最大值为4039 D ．2020S 是n S 中最大值,且使0>n S 的n 的最大值为40408．椭圆与双曲线共焦点1F ,2F ,它们的交点P 对两公共焦点1F ,2F 的张角为122F PF θ∠=,椭圆与双曲线的离心率分别为1e ,2e ,则( )A ．222212cos sin 1e e θθ+=B ．222212sin cos 1e e θθ+=C ．2212221cos sin e eθθ+=D ．2212221sin cos e e θθ+= 二、选择题：本题共4小题,每小题5分,共20分．在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求．全部选对的得5分,部分选对的得2分,有选错的得0分. 9．已知数列{}n a 是等比数列,公比为q ,前n 项和为n S ,则( ) A ．1{}na 为等比数列B ．{}n a 也可能为等差数列C ．若1q >,则{}n a 为递增数列D ．若13n n S r -=+,则13r =-10．已知直线1:0l x ay a +-=和直线2:(23)20l ax a y a --+-=,则( )A ．2l 始终过定点12(,)33B ．若2l 在x 轴和y 轴上的截距相等,则1a =C ．若12l l ⊥,则0a =或2D ．若12//l l ,则1a =或3-11．平面内与两定点(5,0)A -,(5,0)B 连线的斜率之积等于常数(0)m m ≠的点的轨迹,加上,A B 两点构成曲线C ,则下列说法正确是( )A ．当0m <时,曲线C 是椭圆B ．当0m >时,曲线C 是焦点在x 轴上的双曲线 C ．当1m <-时,曲线C 的离心率随着m 的增大而增大D ．当(1,0)(0,)m ∈-+∞时,曲线C 的焦点坐标为(-,12．在棱长为1的正方体1111ABCD A B C D -中,已知E 为线段1B C 的中点,点F 和点P 分别满足。
福建省四校20162017学年高二上学期期中联考文科数学试卷Word版含答案
“上杭、武平、漳平、长汀一中”四校联考2016-2017学年第一学期半期考高二数学(文)试题（考试时间：120分钟 总分：150分）一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1. ABC ∆中，角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，若060,3,2===B b a ，则角A 为（ ）A ．0135B ．0135或045C ．045D ．0302.设n s 是等差数列}{n a 的前n 项和，若9876=++a a a ，则=13s （ ） A ．38B ．39C ．36D ．153.不等式022>--x x 的解集是（ ） A ．)2,1(-B ．),2()1,(+∞--∞C ．),1()2(+∞⋃--∞D ．)1,2(-4.下列命题中，正确的是（ ） A ．若d c b a >>,，则bd ac > B ．若bc ac <，则b a < C ．若d c b a >>,，则d b c a ->-D ．若22bc ac <， 则b a <5.函数)1(2x x y -=)10(<<x 其中的最大值是（ ） A ．41B ．21 C ．1 D ．26.数列}{n a 满足211=a ，)111*+∈-=N n a a n n （，则=2017a （ ） A ．21B ．2C ．-1D ．17.ABC ∆中，角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，若2cos cos ==abB A ，则该三角形的形状是（ ）A ．直角三角形B ．等腰三角形C ．等腰直角三角形D ．等边三角形8.若实数y x ,满足⎪⎩⎪⎨⎧≤-≥-+≤--03204202y y x y x ，则x y 的取值范围是（ ）A ．]23,41[B ．]73,41[C ．]23,73[D ．],23[]41,0(+∞⋃9.已知各项均为正数的等比数列{}n a 中，21a =，则其前3项的和3S 的取值范围是( ) A ． (],1-∞- B ．[)3,+∞C ．()(),01,-∞+∞D ．(][),13,-∞-+∞10.数列}{n a 前n 项和为nS ，若21=a ， )2(121*-∈≥-=N n n a a n n ，，则=10S （ ）A ．513B ．1023C ．1026D ．103311. ABC ∆中，角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，若满足ab c b a c 22222+=+=，的ABC ∆ 有两个，则边长BC 的取值范围是（ ） A ．)2,1(B ．)3,1(C ．)2,2(D ． )2,3(12.已知数列{}n a 满足11=a ，且对任意的*∈N n m ,，都有mn a a a n m n m ++=+，则=++++20173211111a a a a （ ） A ．20164032B ．20174034C ．20184032D ．20184034二、填空题(本大题共4个小题，每小题5分，共20分，把答案填在题中的横线上)13.若1,0,0=+>>b a b a ，则ba 11+的最小值为 ______ 14. 如图，嵩山上原有一条笔直的山路BC ，现在又新架设了 一条索道AC ，小李在山脚B 处看索道AC ，发现张角120=∠ABC ；从B 处攀登4千米到达D 处，回头看索道AC ，发现张角 150=∠ADC ；从D 处再攀登8千米方到达C 处，则索道AC 的长为________千米．15.若,x y 满足3010x y x y x k -+≥⎧⎪++≥⎨⎪≤⎩，且2z x y =+的最大值为6，则k 的值为_______.16.已知数列{}n a 是各项均不为零的等差数列，前n 项和为n S ，且)*21n n a S n N -=∈．若不等式8nn a nλ+≤对任意*n N ∈恒成立，则实数λ的最大值为 _． 三、解答题(本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明, 证明过程或演算步骤.) 17.（本题满分10分）在锐角ABC ∆中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且2sin 3a B b =．（1）求角A 的大小；（2）若6a =，8b c +=，求ABC ∆的面积．18.（本题满分12分）已知等差数列{}n a 中，n S 为其前n 项和，2614a a +=，，525S =. （1）求{}n a 的通项公式； （2）设11+=n n n a a b ，求数列{}n b 的前n 项和n T .19．（本题满分12分）（1）已知不等式220ax x c ++>的解集为11{|}32x x -<<,解不等式220cx x a -+<．（2）已知当0>x 时，不等式042>+-mx x 恒成立，求m 的取值范围；20. （本题满分12分）设△ABC 的内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且 b c C a =+21cos （1）求角A 的大小；（2）若1=a ，求周长P 的取值范围；21. （本题满分12分）某人为增加家庭收入，年初用49万元购买了一辆货车用于长途运输，第一年各种费用支出为6万元，以后每年都增加2万元，而每年的运输收益为25万元； （1）求车主前n 年的利润)(n f 关于年数n 的函数关系式，并判断他第几年开始获利超过15万元；（注：利润=总收入-总成本）（2）若干年后，车主准备处理这辆货车，有两种方案： 方案一：利润)(n f 最多时，以4万元出售这辆车；方案二：年平均利润最大时，以13万元出售这辆车； 请你利用所学知识帮他做出决策。
四校联考文科数学参考答案及说明
高三水平测试·数学（文科）答案及说明说明：一、本解答给出了一种或几种解法供参考，如果考生的解法与本解答不同，可根据试题的主要考查内容比照评分标准制订相应的评分细则．二、对计算题当考生的解答在某一步出现错误时，如果后续部分的解答未改变该题的内容和难度，可视影响的程度决定给分，但不得超过该部分正确解答应得分数的一半；如果后续部分的解答有较严重的错误，就不再给分．三、解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数． 四、只给整数分数，选择题和填空题不给中间分数．一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分. 在每小题的4个选项中,只有一项是符合题目要求的. 题次1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 B C B D C D C A C D 二、填空题：本大题共5小题, 考生作答４小题，每小题5分,共20分. 11. 0或23-； 12. 30； 13. 1(0,)(2,)2+∞； 14. 4； 15. 30x y --=．三、解答题：本大题共6小题,共80分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.16.（本小题满分12分）已知向量()()()cos 3sin ,1,,cos a x x b f x x ωωω=+=，其中ω＞0，且//a b ，又函数()f x 的图像两相邻对称轴之间的距离为3π2. (1) 求ω的值；(2) 求函数()f x 在区间5,2π⎡⎤π⎢⎥⎣⎦上的最大值与最小值及相应的x 值． 解.(1) 由题意//a b ，()cos (cos 3)f x x x x ωωω∴=+1cos 23222x x ωω+=+1πsin(2)26x ω=++．…………………………………………… 4分由题意，函数的最小正周期为3π，又ω＞0，2π3π=2ω∴13ω∴=； ………………6分 (2) 由(１)知12()sin()236f x x π=++，5,2x π⎡⎤∈π⎢⎥⎣⎦，2511,,3666x πππ⎡⎤+∈⎢⎥⎣⎦∴当25,366x ππ+=即x =π时，()f x 取得最大值1, ……………………………… 9分 当29,366x ππ+=即2x =π时，()f x 取得最小值1.2- ………………………12分17．（本小题满分12分）为了让学生更多的了解“数学史”知识，某中学高二年级举办了一次“追寻先哲的足迹，倾听数学的声音”的数学史知识竞赛活动，共有800名学生参加了这次竞赛．为了解本次竞赛的成绩情况，从中抽取了部分学生的成绩（得分均为整数，满分为100分）进行统计．请你根据频率分布表，解答下列问题：（1）填充频率分布表中的空格（在解答中直接写出对应空格序号的答案）；（2）为鼓励更多的学生了解“数学史”知识，成绩不低于80分的同学能获奖，请估计在参加的800名学生中大概有多少同学获奖？（3）在上述统计数据的分析中有一项计算见算法流程图，求输出S 的值．解：（1）①为8，②为0.44，③为6，④为0.12． …………………………………4分（2）()0.280.12800320+⨯=，即在参加的800名学生中大概有320名同学获奖． ………………………………8分 （3）由流程图11223344S G F G F G F G F =+++650.16750.44850.28950.12=⨯+⨯+⨯+⨯78.6=．……………………12分18．（本小题满分14分）序号 （i ） 分组（分数）组中值 ()i G 频数 （人数） 频率 ()i F 1[)60,70 65 ① 0.16 2 [)70,80 75 22 ②3[)80,90 85 140.284[]90,10095③④合 计50 1开始 S=0 输入G i ，F ii =1 S=S ＋G i ·F ii ≤4 i =i ＋1NY输出S结束HP A BCDE 如图，在四棱锥P ABCD -中，PD ⊥平面ABCD ，AD CD ⊥，且BD 平分ADC ∠，E为PC 的中点， 1==CD AD ,PC BC =,22=DB .（1）求证：PA ∥平面BDE ；（2）求证：AC ⊥平面PBD ； （3）求四棱锥ABCD P -的体积.（1）证明:设AC BD H =，连结EH ，在ADC ∆中，,AD CD =且DB 平分ADC ∠，H ∴为AC 的中点， E 为PC 的中点， EH ∴∥.PAHE ⊂平面BDE ，PA ⊄平面BDE ，PA ∴∥平面BDE ； (5)分（2）证明:PD ⊥平面ABCD ，AC ⊂平面ABCD ，PD AC ∴⊥，由（Ⅰ）知BD AC,⊥PD BD D,=PD ⊂平面PBD ，BD ⊂平面PBD ，AC ∴⊥平面PBD ; …………………………………………………………………9分 另证：PD ⊥平面ABCD ，PD ⊂平面PBD ，∴平面PBD ⊥平面ABCD ， 由（Ⅰ）知AC BD,⊥平面PBD 平面ABCD BD,=AC ⊂平面ABCD ，AC ∴⊥平面PBD ． ……………………………………………………………………9分（3）解：在△BCD 中，1,22,45DC DB BDC ==∠=︒，得2221(22)2122455, 5.BC BC =+-⨯⨯︒==在Rt △PDC 中，5,1,PC BC DC ===从而2,PD =…………………………11分22,ABCD BCD S S ∆== ………………………………………………13分故四棱锥ABCD P -的体积142233P ABCD V -=⋅⋅=．………………………………14分19．（本小题满分14分）如图，在直角梯形ABCD 中，,,3,4,3AD AB BC AB AD AB BC ⊥⊥===E 在线段AB 的延长线上.曲线段DE 上任一点到A 、B 两点的距离之和都相等． （１）建立适当的直角坐标系，求曲线段DE 的方程；（２）试问：过点C 能否作一条直线l 与曲线段DE 相交于两点M 、N ，使得线段MN 以C 为中点？若能，则求直线l 的方程；若不能，则说明理由．yxODCEBA解：（1）以直线AB 为x 轴，线段AB 的中点为原点， 建立如图所示的平面直角坐标系，则(2,0),(2,0),3),(2,3).A B C D -- …………… 1分358AD BD AB +=+=>，∴依题意，曲线段DE 是以A 、B 为左、右焦点， 长轴长为8的椭圆的一部分． ……………… 4分故曲线段DE 的方程为221(2,0).1612x y x y +=≥-≥ …………………………………… 6分 （2）设这样的直线l 存在，由直线2x =与曲线段DE 只有一个交点(0,3)， 知直线l 存在斜率，设直线l 的方程为3(2),y k x =-即 (2)3,y k x =-将其代入2211612x y +=得 2222(34)(8316)16163360k x k k x k k ++-+--= ① ……………………………… 9分设1122(,),(,)M x y N x y ，则由122,2x x +=知21283164,4,k k x x -+==解得3k = …………………………12分 当32k =-时，方程①化为：240x x -=，解得120, 4.x x == 即(0,23),(4,0)M N ，适合条件．故直线l 存在，其方程为323,2y x =-+3230.x y +-= ………………… 14分20．（本小题满分14分）设函数()3221f x x ax a x =+--,二次函数()21g x ax x =--，其中常数a R ∈．（1）若函数()f x 与()g x 在区间()2,a a -内均为增函数，求实数a 的取值范围； （2）当函数()y f x =与()y g x =的图象只有一个公共点且()g x 存在最大值时，记()g x 的最大值为()h a ，求函数()h a 的解析式．解：（1）由题意0.a ≠()()223233a f x x ax a x x a ⎛⎫'=+-=-+ ⎪⎝⎭，()21g x ax '=-. ……………………………………………………………………………………………2分 1︒ 当0a >时，()03a f x x '>⇔>,或,x a <-函数()f x 的增区间为(),a -∞-、,3a ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭. ()10,2g x x a '>⇔>函数()g x 的增区间为1,2a ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭. 函数()f x 与()g x 在区间()2,a a -内均为增函数，023122a a a a a ⎧⎪>⎪⎪∴-≥⎨⎪⎪-≥⎪⎩解得3a ≥. ……………………………………………………………5分2︒ 当0a <时，()03af x x '>⇔<,或,x a >- 函数()f x 的增区间为,3a ⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭、(),a -+∞. ()10,2g x x a '>⇔<函数()g x 的增区间为1,2a ⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭.函数()f x 与()g x 在区间()2,a a -内均为增函数函数，0312a a a a a ⎧⎪<⎪⎪∴≤⎨⎪⎪≤⎪⎩，解得22a ≤-. ……………………………………………………………8分综上所述，实数a 的取值范围是[)2(,3,2-∞-+∞. ………………………………9分（2）∵二次函数()21g x ax x =--有最大值，0a ∴<，由()()f x g x =得()2210x x a -+=，即0x =,或221.x a =-∵函数()y f x =与()y g x =的图象只有一个公共点，210a ∴-≤，又0a <，10a ∴-≤<． ……………………………………………12分又()211124g x a x a a ⎛⎫=--- ⎪⎝⎭，当12x a =时, ()g x 有最大值114a --, ()11,104h a a a∴=---≤<． …………………………………………………………14分21．（本小题满分14分）已知数列{}n a 满足：1113,2(2,n n n a a a n n --==+≥)*∈N ．（１）求数列{}n a 的通项公式及前n 项和n S ； （２）令11n n n b a a +=⋅，11222(n n n T b b b n -=+++)*∈N ,求证：16n T <(n )*∈N ． 解:（1）解法一：()1122,n n n a a n --≥-=∴当2n ≥时，()()()12132121()n n n n n a a a a a a a a a a ---=+-+-++-+-221123222222112nn n n ---=+++++=+=+-．检验知当1n =时，结论也成立，故21n n a =+ (n )*∈N ．…………………………………5分2112(12)(2222)2212n n nn n S n n n -+-=+++++=+=+--(n )*∈N ．………………7分解法二：()1122,n n n a a n --≥-=1122n n n n a a --∴-=- ()2n ≥, ……………………3分∴数列{}2n a -是首项为121a -=,公差为0的等差数列,21n n a ∴-=,21n n a =+ (n )*∈N ． ………………………………………………5分2112(12)(2222)2212n n nn n S n n n -+-=+++++=+=+--(n )*∈N ．………………7分解法三：()1122,n n n a a n --≥-=11112222n n n n a a --∴=⋅+，()11211(1)222n n n n a a n --≥-=-． ……………………………………………………………３分 1111022a -=≠， ∴数列12n n a ⎧⎫-⎨⎬⎩⎭是首项与公比均为12的等比数列, 11(),2122n nn n na a ∴-==+(n )*∈N ． …………………………………………5分 2112(12)(2222)2212n n nn n S n n n -+-=+++++=+=+--(n )*∈N ．………………7分证明:（2）()()111222121n n n n n b --+=++ ()()()()11121211112212122121n n n n n n ++++-+⎛⎫==- ⎪++++⎝⎭(n )*∈N ． ……………………………………………………………………11分11222n n n T b b b -∴=+++223111111112121212122121n n +⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+-++- ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥++++++⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦1111111212212126n +⎛⎫=-<⋅= ⎪+++⎝⎭． ……………………………………………14分。
吉林省四校联考2023-2024学年高二上学期10月月考数学试题含解析
2023-2024学年度上学期第一次月考高二数学试题（答案在最后）本试卷满分150分，共4页。
考试时间为120分钟。
考试结束后，只交答题卡。
一、单选题（本题共8小题，每小题5分，共40分）1．焦点在x 轴上，短轴长为8，离心率为35的椭圆的标准方程是（）A ．22110036x y +=B ．22110064x y +=C ．2212516x y +=D ．221259x y +=2．若直线1l ：2y kx k =++与直线2l ：24y x =-+的交点在第一象限内，则实数k 的取值范围是（）A ．23k >-B ．2k <C ．223k -<<D ．23k <-或2k >3．若平面内两条平行线1l ：()120x a y +-+=，2l ：210ax y ++=间的距离为4，则实数a =（）A ．2B ．-2或1C ．-1D ．-1或24．当点()2,3M -到直线()()411210m x m y m ---++=的距离取得最大值时，m =（）A ．2B ．47C ．-2D ．-45．已知三棱柱111ABC A B C -的侧棱长为2，底面ABC 是边长为2的正三角形，1160A AB A AC ∠=∠=︒，若1B C 和1BC 相交于点M ．则AM =（）A B ．2C D 6．已知x 、y 满足224240x y x y +--+=，则22x y +的最大值为（）A 1-B ．6+C 1D ．67．直线1y kx =+与圆()()22214x y -+-=相交于P ，Q 两点．若PQ ≥则实数k 的取值范围是（）A ．3,04⎡⎤-⎢⎥⎣⎦B ．33,33⎡-⎢⎣⎦C ．[]1,1-D ．⎡⎤⎣⎦8．已知F 是椭圆()222210x y a b a b+=>>的一个焦点，若直线y kx =与椭圆相交于A ，B 两点，且60AFB ∠=︒，则椭圆离心率的取值范围是（）A ．,12⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭B ．0,2⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭C ．10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭D ．1,12⎛⎫⎪⎝⎭二、多选题（本题共4小题，每小题5分，共20分．每小题共给出四个选项，有多项符合题目要求．全部选对得5分，有选错的得0分，部分选对得2分．）9．已知空间向量()2,1,3a =-，()4,2,b x =- ，下列说法正确的是（）A ．若a b ⊥ ，则103x =B ．若()32,1,10a b +=-，则1x =C ．若a 在b 上的投影向量为13b，则4x =D ．若a 与b 夹角为锐角，则10,3x ⎛⎫∈+∞ ⎪⎝⎭10．已知点()3,1A ，()1,3B -，且点P 在直线l ：10x y -+=上，则（）A ．存在点P ，使得PA PB ⊥B ．存在点P PA PB =C ．PA PB +的最小值为D ．PA PB +的最大值为11．设直线l ：()3y kx k =+∈R 与圆C ：224x y +=，则下列结论正确的为（）A ．l 可能将C 的周长平分B ．若圆C 上存在两个点到直线l 的距离为1，则k 的取值范围为()(0,- C ．若直线l 与圆C 交于A ，B 两点，则ABC △面积的最大值为2D ．若直线l 与圆C 交于A ，B 两点，则AB 中点M 的轨迹方程为223924x y ⎛⎫+-=⎪⎝⎭12．画法几何的创始人——法国数学家加斯帕尔·蒙口发现：与椭圆相切的两条垂直切线的交点的轨迹是以椭圆中心为圆心的圆，我们通常把这个圆称为该椭圆的蒙日圆．已知椭圆C ：2212x y +=，1F ，2F 分别为椭圆的左、右焦点，直线l 的方程为30x -=，M 为椭圆C 的蒙日圆上一动点，MA ，MB 分别与椭圆相切于A ，B 两点，O 为坐标原点，下列说法正确的是（）A ．椭圆C 的蒙日圆方程为223x y +=B ．记点A 到直线l 的距离为d ，则2d AF -的最小值为433C ．一矩形四条边与椭圆C 相切，则此矩形面积最大值为6D ．椭圆C 的蒙日圆方程为225x y +=三、填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分．）13．已知经过椭圆2212516x y +=的右焦点2F 的直线AB 交椭圆于A ，B 两点，1F 是椭圆的左焦点，则1AF B △的周长为______．14．已知A ，B 为圆O ：221x y +=上的两点，AB =，M 为AB 的中点，则M 到直线l ：20x +=距离的最小值为______．15．已知点()4,0A ，()2,2B 是椭圆221259x y +=内的两个点，M 是椭圆上的动点，则MA MB +的最大值为______．16．已知椭圆C ：()222210x y a b a b +=>>的离心率为5，F 是左焦点，过F 且倾斜角为45°的直线交C 于点A ，B ．设M ，N 分别是AF 和BF 的中点，O 为坐标原点，若509OM ON +=，则OMN △的面积为______．四、解答题（本题共6小题，共70分）17．（本小题满分10分）已知()1,4,2a =-，()2,2,4b =- ．（1）若12c b =，求cos ,a c 值；（2）若()()3ka b a b +⊥-，求实数k 的值．18．（本小题满分12分）椭圆C 的中心在坐标原点O ，焦点在x 轴上，椭圆C 经过点)且短轴长为2．（1）求椭圆C 的标准方程；（2）过点()2,1且倾斜角为π4的直线l 与椭圆C 交于A ，B 两点，求线段AB 的长．19．（本小题满分12分）已知圆M 过()1,1C -，()1,1D -两点，且圆心M 在20x y +-=上，（1）求圆M 的方程；（2）设P 是直线3480x y ++=上的动点，PA 、PB 是圆M 的两条切线，A ，B 为切点，求四边形PAMB 面积的最小值．20．（本小题满分12分）已知点()11,0F -，圆2F ：()22116x y -+=，点Q 在圆2F 上运动，1QF 的垂直平分线交2QF 于点P ．（1）求动点P 的轨迹C 的方程；（2）直线l 与曲线C 交于M 、N 两点，且MN 中点为()1,1，求直线l 的方程．21．（本小题满分12分）如图，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 为菱形，60ABC ∠=︒，PB PC =，E 为线段BC 的中点，F 为线段PA 上的一点．（1）证明：平面PAE ⊥平面BCP ．（2）若22PA AB PB ==，二面角A BD F --的余弦值为35，求PD 与平面BDF 所成角的正弦值．22．（本小题满分12分）已知椭圆E ；()222210x y a b a b +=>>的离心率为32，记E 的右顶点和上顶点分别为A ，B ，OAB △的面积为1（O 为坐标原点）（1）求E 的方程；（2）已知()2,1D ，过点D 的直线1l 与椭圆E 交于点M ，N （点M 在第一象限）过点M 垂直于y 轴的直线2l 分别交BA ，BN 于P ，Q ，求MP PQ的值．2023-2024学年度上学期第一次月考高二数学答案1．【答案】C 【详解】由题意知椭圆的标准方程为()222210x y a b a b+=>>，且28b =，所以4b =，所以22216a c b -==，又35c e a ==，所以可得3c =，5a =，因此椭圆的标准方程为2212516x y +=．2．【答案】C 【详解】由题意知，直线1l ：()21y k x -=+过定点()1,2P -，斜率为k ，直线2l 与x 轴、y 轴分别交于点()2,0A ，()0,4B ．若直线l ₁与l ₂的交点在第一象限内，则1l 必过线段AB 上的点（不包括点A ，B ）．因为23PA k =-，2PB k =，所以223k -<<．故A ，B ，D 错误．故选：C ．3．【答案】A 【详解】因为两直线1l ：()120x a y +-+=，2l ：210ax y ++=平行，可得()121a a⨯=-⨯且112a ⨯≠，解得2a =或1a =-，当2a =时，1l ：20x y ++=，2l ：2210x y ++=，即1l ：2240x y ++=，可得两平行线间的距离为4d ==，符合题意；当1a =-时，1l ：220x y -+=，2l ：210x y -++=，即2l ：210x y --=，可得两平行线间的距离为5d ==，不符合题意，舍去．故选：A ．4．【答案】C 【详解】将直线()()411210m x m y m ---++=转化为()4210x y m x y -+-++=，联立方程组42010x y x y -+=⎧⎨-++=⎩，解得12x y =-⎧⎨=-⎩，所以直线经过定点()1,2N --，当直线MN 与该直线垂直时，点M 到该直线的距离取得最大值，此时()()32411121m m ----⨯=----，解得2m =-．故选：C ．5．【答案】D 【详解】依题意可知M 是1BC 的中点，所以()()11111111111122222222AM AC AB AC AB AC AA AB AC AA AB =+=+=++=++所以AM =====．故选：D6．【答案】B 【详解】圆224240x y x y +--+=的标准方程为()()22211x y -+-=，圆心为()2,1C ，半径为1，记点(),P x y，则222OP x y =+，如下图所示：当点P 为直线OC 与圆C 的交点，且点C 在线段OP 上时，OP取最大值，即max 11OP OC =+=+，因此，22x y +的最大值为)216+=+B ．7．【答案】C【详解】若PQ ≥则圆心()2,1到直线1y kx =+的距离d ≤=，即≤，解得[]1,1k ∈-，故选：C ．8．【答案】A 【详解】如图设1F ，F 分别为椭圆的左、右焦点，设直线y kx =与椭圆相交于A ，B ，连接1AF ，AF ，1BF ，BF ．根据椭圆的对称性可得：四边形1AF BF 为平行四边形．由椭圆的定义有：12AF AF a +=，12FF c =，1120F AF ∠︒=，由余弦定理有：222111||2cos120FF AF AF AF AF ︒=+-⋅即()()222121142AF AF c AF AFAF AF AF AF⎛⎫+=+-+≥+- ⎪⎝⎭∣所以()2212221443AF AF c AF AFa a a⎛⎫+≥+-=-= ⎪⎝⎭当且仅当1AF AF =时取等号，又y kx =的斜率存在，故A ，B 不可能在y 轴上．所以等号不能成立，即即2234c a >，所以312e >>，故选：A9．【答案】ABD 【详解】对于A ：∵a b ⊥ ，∴0a b ⋅=，即：()()2,1,34,2,8230a b x x ⋅=-⋅-=--+=，解得：103x =．故A 选项正确；对于B ：∵()32,1,10a b +=-，∴()()()()332,1,34,2,2,1,92,1,10a b x x +=-+-=-+=-∴910x +=，解得：1x =．故B 选项正确；对于C ：a 在b上的投影向量为：a b b b b⋅⋅ ，即13a b b b b b⋅⋅= ，代入坐标化简可得：29500x x -+=，x 无解，故C 选项错误；对于D ：∵a 与b夹角为锐角，∴1030a b x ⋅=-+> ，解得：103x >；且a 与b 不共线，即423x -≠，213x ≠-，解得：6x ≠-，所以a 与b 夹角为锐角时，解得：103x >．故D 选项正确；故选：ABD ．10．【答案】BCD 【详解】对于A，由AB ==AB 的中点坐标为()2,1-，所以以AB 为直径的圆的方程为()()22215x y -++=，而该圆心到直线l ：10x y -+=的距离d ==>，故A错误；对于B ，设(),P x y ，PA PB =的动点P=化简得()()224315x y -+-=，则圆心()4,3到直线l的距离d ==，故B 正确；对于C ，因为()3,1A 关于10x y -+=的对称点为(),A a b '，所以有1113311022b a a b -⎧⋅=-⎪⎪-⎨++⎪-+=⎪⎩，解得0a =，4b =，即()0,4A '，所以PA PB A B +≥='C 正确；对于D，PA PB AB -≤=A ，P ，B 三点共线时，等号成立），故D 正确．故选：BCD 11．【答案】BC【详解】对于A ，若直线l 将圆C 的周长平分，则直线l 过原点，此时直线l 的斜率不存在，Ａ错误；对于B ，若圆C 上存在两个点到直线l 的距离为1，则C 到直线l 的距离d 满足13d <<，所以13<<，解得0k -<<或0k <<，B 正确；对于C ，1sin 2sin 2ABC S CA CB ACB ACB =⋅⋅∠=∠△，当90ACB ∠=︒时，ABC △的面积有最大值2，C 正确；对于D ，易知直线l 经过定点()0,3P ，所以OM PM ⊥，所以M 点的轨迹以OP 为直径的圆，其方程为223924x y ⎛⎫+-= ⎪⎝⎭，又因为M 点在圆C 内，由222243924x y x y ⎧+=⎪⎨⎛⎫+-=⎪ ⎪⎝⎭⎩，解得43y =，所以M 点的轨迹方程为223940243x y y ⎛⎫⎛⎫+-=<<⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，D 错误．故选：BC ．12．【答案】AC【详解】对于A ，当直线MA ，MB 一条斜率为0，另一条斜率不存在时，则()1M ±；当直线MA ，MB 斜率均存在时，设()00,M x y ，切线方程为：()00y k x x y =-+，由()002212y k x x y x y ⎧=-+⎪⎨+=⎪⎩得：()()()2220000124220k x k kx y x kx y +--+--=，由Δ0=整理可得：()22200002210x k x y k y --+-=，∴202012MA MBy k k x -⋅=-，又MA MB ⊥，∴1MA MBk k ⋅=-，即2020112y x -=--，∴2203x y +=，∴M 点轨迹为223x y +=；将检验，()1M ±满足223x y +=，∴蒙日圆的方程为223x y +=，A 正确；D 错误．对于B ，∵A 为椭圆C 上的点，∴122AF AF a +==，∴()211d AF d AF d AF -=--=+-；∵1d AF +的最小值为点1F 到直线l 的距离，又()11,0F -，∴()1min433d AF +=，∴()2min433d AF -=-，B 错误；对于C ，∵矩形四条边均与C 相切，∴该矩形为蒙日圆的内接矩形，设矩形的长为m ，宽为n ，蒙日圆的半径r =，∴(222m n +=，∴2262m n mn +≤=（当且仅当m n ==时取等号），∴此矩形面积最大值为6，C 正确；故选：AC ．13．【答案】20【详解】如图所示：12210AF AF a +==，12210BF BF a +==，所以1AF B △的周长为420a =故答案为：2014．【答案】1/0.52【详解】由垂径定理可知=，∴12OM =，∴M 的轨迹是以O 为圆心，12为半径的圆，O 到l 的距离1d ==，∴M 到直线l 距离的最小值为1122d -=．故答案为：1215．【答案】10+或10+【详解】依题意，椭圆方程为221259x y +=，所以5a =，3b =，4c =，所以()4,0A 是椭圆的右焦点，设左焦点为()4,0C -，根据椭圆的定义可知210MA MB a MC MB MB MC +=-+=+-，MB MC BC -≤=，所以MA MB +的最大值为10+．故答案为：10+16．【答案】10109【详解】设右焦点为2F ，连接2AF ，2BF ，∵M 为AF 的中点，O 为2FF 中点，∴212OM AF =，2OM AF ∥，同理212ON BF =，2ON BF ∥，∴()2215029OM ON AF BF +=+=，∴221009AF BF +=，∵5c e a ==，∴a =，225a c =，∵222a b c =+，∴224b c =，∴椭圆方程可化为2222154x y c c+=，设直线AB ：y x c =+，()11,A x y ，()22,B x y ，由2222154x y c c y x c ⎧+=⎪⎨⎪=+⎩得22910150x cx c +-=，()()22Δ1049150c c =-⨯⨯->，∴12109x x c +=-，221215593x x c c =-=-，∴12AB x =-=，∵224AB AF BF a ++=，∴165100499c a +==，∴c =，809AB =，14029MN AB ==，原点到直线AB ：y x c=+的距离为2d ==，所以114022929MON S MN d ==⨯⨯=△，故答案为：917．【答案】（1）1442-；（2）7427．【详解】（1）由已知得：()11,1,22c b ==- ，()1,4,2a =- …1分∴114122cos ,42a c a c a c ⨯-+⨯+-⨯⋅==- …5分（2）由()()3ka b a b +⊥- ，即()()30ka b a b +⋅-= ，∴()()()7224214240k k k --+--+=，解得7427k =…10分18．【答案】（1）2212x y +=（2）3【详解】（1）由题意设椭圆C 的方程为()222210xy a b a b+=>>，因为椭圆经过点)且短轴长为2，所以a =1b =…2分所以椭圆C 的标准方程为2212x y +=…5分（2）由已知得直线l 的方程为1y x =-，…6分设()11,A x y ，()22,B x y ，将直线1y x =-代入2212x y +=，得2340x x -=，易得Δ0>，所以1243x x +=，120x x =…8分所以423AB ===…12分19．【答案】（1）()()22114x y -+-=；（2）【详解】解：（1）设圆M 的方程为：()()()2220x a y b r r -+-=>，…1分根据题意得()()()()222222*********a b r a a b r b a b r ⎧-+--==⎧⎪⎪⎪--+-=⇒=⎨⎨⎪⎪+-==⎩⎪⎩…4分故所求圆M 的方程为：()()22114x y -+-=；…5分（2）如图，四边形PAMB 的面积为PAM PBM S S S =+△△，即()12S AM PA BM PB =+…6分又2AM BM ==，PA PB =，所以2S PA =，而PA =，即S =．因此要求S 的最小值，只需求PM 的最小值即可，…9分PM 的最小值即为点M 到直线3480x y ++=的距离所以min 3PM ==，四边形PAMB面积的最小值为=…12分20．【答案】（1）22143x y +=（2）3470x y +-=【详解】（1）由题可知，1PF PQ=则122212422PF PF PQ PF QF F F +=+==>=…2分由椭圆定义知P 的轨迹是以1F 、2F 为焦点，且长轴长为4的椭圆，∴2a =，1c =，∴2223b a c =-=…4分∴P 的轨迹方程为C ：22143x y +=…5分（2）设()11,M x y ，()22,N x y ，∵M ，N 都在椭圆22143x y +=上，∴2211143x y +=，2222143x y +=，相减可得()()()()12121212043x x x x y y y y -+-++=…8分又MN 中点为()1,1，∴122x x +=，122y y +=，∴121234y y x x -=--，即直线l 的斜率为34-，∴直线l 的方程为()3114y x -=--，即3470x y +-=…12分21．【答案】（1）见解析；（2）10【详解】（1）证明：连接AC ，因为PB PC =，E 为线段BC 的中点，所以PE BC ⊥．．．．．2分又AB BC =，60ABC ∠=︒，所以ABC △为等边三角形，BC AE ⊥…3分因为AE PE E = ，所以BC ⊥平面PAE ，又BC ⊂平面BCP ，所以平面PAE ⊥平面BCP …4分（2）解：设AB PA a ==，则PB PC ==，因为222PA AB PB +=，所以PA AB ⊥，同理可证PA AC ⊥，所以PA ⊥平面ABCD …5分如图，设AC BD O = ，以O 为坐标原点，OB 的方向为x 轴正方向，建立空间直角坐标系O xyz -。