浙江大学浙大卢兴江版微积分答案

6 定积分及其应用

习题6.1

1. （1）e 1- （2）

13 （3）12

2. （1）24R p （2）7

2

（3）0

3. （1）

1

2

01

d 1x x +ò （2）10ò （3）（i ）1

0d ()x a b a x +-ò 或 11d b a

x b a x

-ò （ii ）[]1

ln ()d e a b a x x +-ò 或 1ln d e b

a x x

b a -ò 习题6.2

1. （1）1

1

2

3

00

d d x x x x >蝌 （2）5

5

3

2

33(ln )d (ln )d x x x x >蝌 （3）2222

00

sin

sin d d x

x x x x p

p >蝌 2. （1[]22

2,0,1

x x ?

（2）提示：分析函数2

()1x

f x x

=

+在[]0,2上的最大（小）值. 3. 提示：取()()g x f x = 4. 提示：利用积分中值定理或定积分的定义证明.

5. 提示：令()()F x xf x =对()F x 在1

0,2

轾犏犏臌上用罗尔定理。 6. 提示：证明在[]

0,p 内至少存在两点12,x x 使12()()0f f x x ==.

习题6.3

1. （1）(2)sin 2x x - （2）6

233e cos()x x x -

（3）[][]

sin ln 1sincos cos 1sinsin x x x x -+-+ （4）2

221

()d 2()x f t t x f x +ò

（5）

1

()d x

f t t ò

2. （1）2

3

（2）1 （3）1 （4）24p （5）1

3. 提示：利用夹逼定理.

4. 4

()sin 21

f x x p =--. 5. 提示：2()y f x ⅱ

= 6. 提示：利用

2

[()()]d 0b

a

f x t

g x x -?ò，其中t 为任意常数.

7.（1

）

741)1)33p -++ （2）2 （3）143p - （4

）26p （5）14 （6）12

（7）2

4e --

8. 提示：利用泰勒公式()()22a b a b f x f f x x 骣骣++¢琪琪=+-琪

琪

桫桫

，x 位于x 与2a b

+之间. 习题6.4

1. （1

）

15 （2）2 （3）16 （4）p （5

3

p

（6）121e

骣琪-琪

桫 （7）24p （8）34 （9）352

e 2727- （10

）1ln 32- （11）3p -

（12）8

p

（13

）43p - （14

）(ln 2-

+ （15）()

3e 15p - （16）1

3

（提示：222101110111x

x x x x x x e dx dx dx e e e ----=++++⎰⎰⎰） （17）1 （18）

4

π

（提示：作变换2x t π=-） （19

）2 （20）13

（21）34p （22）当n 为偶数时：131222n n n n p ---g g L g g ；当n 为奇数时：131

123n n n n ---g g L g g （23）ln 28p

2. 713e

-

3. 提示：

22

()d ()d ()d a b

b

b a b a

a

f x x f x x f x x ++=+蝌?，对2

()d b

a b f x x +ò作变换()x a b t =+-.

4. 若f 是连续偶函数，()()d x

a

F x f t t =ò

不一定为奇函数. 例如：2311

()d 13

x F x x x x ==-ò

5.

1n （提示：对10()d x n n n t f x t t --ò作变换n n

x t u -=，用洛必达法则或导数的定义.） 6. ()1

cos113

-（提示：用分部积分法） 7. 提示：用分部积分法 8. (0)2f =. 9.（1）210

1, 1321

d , 10323

1

, 023p p p p x x p x p p p ì骣ï琪-+<-琪ï桫ïï+=-++-?íïïï+?ïïî

ò （2）411,01()221, 12x x x F x x x ì-+-?ï=íï-＃î

10. 提示：利用()tan f x x =在0,4p 轾犏犏臌

的单调性. 习题6.5

1.（1）

2565 （2）1 （3）2p

（4）163 （5）12442,633S S p p =+=- （6）92 （7）238a p （8）1ln 22 （9）112

2.（1）a （2）43

p

3.（1）2R p （2）1

ln(224

+ （3）6a （4）22p 4. 1ln 32-

5. 4 7. 3163

a 8. （1）22x V p =，22y V p = （2）56p （3）2

4p （4）,33

p p

（5）23

33

23

25,6,7x y y a V a V a V a p p p ==== 9.

2

p

10. 44815p

11. （1）21)p （2）33

211113ln 93222π⎡⎛+⎛⎫

⎢ ⎪ ⎢⎥⎝⎭

⎝⎭⎣⎦

12. 2

2arcsin a a 骣+ 13. 2560g r （焦） 14. 0.5625 kg/m 2. 15. 3.675（焦） 16. 1674.667 g （焦） 17.

22503h pr （焦） 18. ()343R H R H p w w +- 19. 21

2

Mgh mgh +（焦）

20.

21.

2

22

k ph R k p ++ 22.

()kmM a a l +，其中k 为万有引力常数 23. 22

ln 12kM a

l a l

骣琪+琪+桫，其中k 为万有引力常数 习题6.6

1.

2

1

1=-ò

用矩形公式，梯形公式和抛物线公式计算(8)n = 2. 3.141592 （可利用抛物线公式计算

1

20d 1x

x +ò）