第七章非线性系统分析方法
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自动控制原理__(13)
x0 e t , 其中x0 x(0) t 1 x0 x 0 e
江南大学物联网工程学院——自动控制原理
（2）会产生自激振荡 非线性系统即使无外界作用，往往也会产生具有一定振幅 和频率的稳定性振荡，称为自激（自持）振荡。在有的非线性 系统中，还可能产生不止一种振幅和频率的自激振荡。自激振 荡是非线性系统一种特有的运动形式，其振幅和频率由系统本 身特性决定。 说明：
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2. 典型的非线性特性
常见的非线性特性有饱和、死区、间隙（回环）、继电等。 (1)饱和特性 特点：当输入信号超过某一范围后，输出信号不再随输 入信号而变化，将保持某一常数值不变。可将饱和非线性元 件看作为一个变增益的比例环节。
x2 f ( x1 ) tan , x1 ＜s 如图： x2 f ( x1 ) K x1 x1 0, x1 ＞s
作用：饱和特性将使系 统等效增益减小，因此可用 来改善系统的稳定性，但会 降低稳态精度。在有些系统 中利用饱和特性起信号限幅 作用。
（a）理想饱和特性
（b）实际饱和特性
图7-2 理想与实际饱和特性
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（2）死区（不灵敏区）特性 特点：是当输入信号在零值附近的某一小范围之内变化 时，没有相应的输出信号，只有当输入信号大于此范围时， 才有信号输出。 常见于测量、放大、变换元件中，执行机构中静摩擦的 影响往往也可用死区来表示。 影响：控制系统中死区特性的存 在，将导致系统稳态误差增大，而测 量元件死区的影响尤为显著。摩擦死 区会造成系统低速运动的不均匀，导 致随动系统不能准确地跟踪目标。
3. 非线性系统的分析方法
目前，对于非线性系统的分析与设计，工程上常用的近似方法有：小 偏差线性化法、分段线性化法、反馈线性化法、描述函数法、相平面法及 计算机仿真等。本章将重点介绍应用较多的相平面法和描述函数法。 （1） 相平面法 相平面法是基于时域的图解分析方法。特点是保留非线性特性，将高 阶的线性部分近似地化为二阶，利用二阶系统的状态方程，绘制由状态变 量所构成的的相轨迹图。可用来分析系统的稳定性及运动特性。 只适用于一、二阶的简单非线性系统分析。
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（2）会产生自激振荡 非线性系统即使无外界作用，往往也会产生具有一定振幅 和频率的稳定性振荡，称为自激（自持）振荡。在有的非线性 系统中，还可能产生不止一种振幅和频率的自激振荡。自激振 荡是非线性系统一种特有的运动形式，其振幅和频率由系统本 身特性决定。 说明：
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2. 典型的非线性特性
常见的非线性特性有饱和、死区、间隙（回环）、继电等。 (1)饱和特性 特点：当输入信号超过某一范围后，输出信号不再随输 入信号而变化，将保持某一常数值不变。可将饱和非线性元 件看作为一个变增益的比例环节。
x2 f ( x1 ) tan , x1 ＜s 如图： x2 f ( x1 ) K x1 x1 0, x1 ＞s
作用：饱和特性将使系 统等效增益减小，因此可用 来改善系统的稳定性，但会 降低稳态精度。在有些系统 中利用饱和特性起信号限幅 作用。
（a）理想饱和特性
（b）实际饱和特性
图7-2 理想与实际饱和特性
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（2）死区（不灵敏区）特性 特点：是当输入信号在零值附近的某一小范围之内变化 时，没有相应的输出信号，只有当输入信号大于此范围时， 才有信号输出。 常见于测量、放大、变换元件中，执行机构中静摩擦的 影响往往也可用死区来表示。 影响：控制系统中死区特性的存 在，将导致系统稳态误差增大，而测 量元件死区的影响尤为显著。摩擦死 区会造成系统低速运动的不均匀，导 致随动系统不能准确地跟踪目标。
3. 非线性系统的分析方法
目前，对于非线性系统的分析与设计，工程上常用的近似方法有：小 偏差线性化法、分段线性化法、反馈线性化法、描述函数法、相平面法及 计算机仿真等。本章将重点介绍应用较多的相平面法和描述函数法。 （1） 相平面法 相平面法是基于时域的图解分析方法。特点是保留非线性特性，将高 阶的线性部分近似地化为二阶，利用二阶系统的状态方程，绘制由状态变 量所构成的的相轨迹图。可用来分析系统的稳定性及运动特性。 只适用于一、二阶的简单非线性系统分析。
第七章非线性系统
第七章非线性系统第一节，非线性的大体概念一，非线性模型组成：非线性环节+线性环节二，分类从形状特性上分：饱和、死区、回环、继电器a,饱和x三，特点：稳固性与结构，初始条件有关；响应不能用叠加原理四，分析方式相平面法（实际限于二阶非线性系统）较精准，因高阶作用太复杂描述函数法：近似性，高阶系统也很方便1，2四，滞环特性（间隙）7—2 二阶线性和非线性系统相平面法分析一、相平面法大体概念要完全地描述二阶的系统时域行为，至少要用两个变量（状态变量）。
可选x(t) 和)(t x作为状态变量。
1． 相平面：以横坐标表示X ，以纵坐标x组成一个直角坐标系， 2． 相轨迹：相平面上的点随时刻转变刻画出来的曲线称为相轨迹。
3． 相平面图：相平面和想轨迹曲线簇组成相平面图。
4． 想平面法：用相图表示非线性二阶系统进程的方式成相平面法，5． 相平面发局限性在于只适用在定常系统，系统输入只适限于阶跃和斜坡。
举例：例8—1 某弹簧——质量运动系统。
m —质量，k —弹性系数解：描述系统运动的微分方程为：直接微分法。
方程x ∙∙+x=0 可写成 x ∙dx ∙/dx=--x分离变量x ∙dx=--xdx 代入初始条件∫x ∙dx ∙=--∫xdx即 x+x=Xo 与上法结果相同。
分析：等幅振荡特性能够用相轨迹表征 ，相轨迹为闭合曲线。
一. 奇点1. 概念:相轨迹方程dx`/dx 为不定值的点dy/dx=0/04.奇点类型1) 稳固核心(-1<ζ<0) 相轨迹从原点向外发散,自由运动不收敛平稳点,是周期性增幅振荡二. 极限环分类相平面上孤点的闭和曲线称为极限环,与初始条件无关. 极限环表示对应于时域中有确信振幅和频率的振荡，极限环包括 稳固极限环 不稳固极限环 半稳固极限环稳固极限环：极限环外部和内部起始的相轨迹都渐进趋向于那个极限环,任何较小的扰动使系统离开极限环后,最后回到环上。
不稳固极限环、半稳固极限环不能产生自振荡,环内相轨迹发散、极限环外相轨迹收拢极限环7—3非线性系统的相平面分析第一依照非线性特性的分段情形,用几条分界限将相 划分为几个现行区域1) 然后依照系统的结构图别离列写各区域的线性微分方程式2) 并应用线性系统相平面分析的方式和结论,绘出各区域的相轨迹3) 依照系统状态转变的持续性,在各区域的交壤限上,将响轨迹彼此衔接成持续曲线,即组成完整的线性系统相图实奇点：每一个区域内有一个奇点,若是那个奇点在本区域之内,这种奇点称实奇点 虚奇点：若是奇点落在本区域之外,称虚奇点说明该区域相轨迹不可能聚集于虚奇点. 二阶非线性系统中,只可能有一个实奇点,而与那个实奇点所在区域邻接的所有其它区域都可能有虚奇点操纵系统分析例: 饱和特性的非线性操纵系统，用相平面法分析系统的阶跃响应和斜坡响应解：系统线性部份c(s)/x(s)=s+1) ``+c`\ e=r-c非线性部份：10e |e|<1x= 10 e>1-10 e<-1阶跃响应r=Rx1(t)，当t>0+时r``(t)=r`(t), r=R e`=-c`, e``=-c``描述系统误差的方程为``+e`+=0x=10e |e|<=1x=10 e>1x=-10 e>1即为方程线性方程，在相平面上，e=+-1的两条直线把相平面划分为三个区域，1) 关于1区，系统线性微分方程为``+e`+=0de`/de=-e` 相轨迹方程。
自动控制原理第七章非线性控制系统的分析
X X
这里，M=3，h=1
负倒描述函数为
N 1 X
X
12 1 1 2
X
X 1
X 1, N 1 X , N 1
必有极值
d N 1X 令
0 dX
得 X 2
N 1 2
2
0.523
12
1
1 2
2
6
X： 1 2
-N-1(X)： 0.523
2.自振的稳定性分析
在A点，振幅XA，频率A。
扰动：
X : A点 C点 C点被G(j)轨迹包围，不稳定，
振幅 ，工作点由C点向B点运动；
A点一个不稳 定的极限环。
X : A点 D点 D点不被G(j)轨迹包围，稳定，
振幅 ，工作点由D点左移。
在B点，振幅XB，频率B 。 扰动：
X : B点 E点 E点不被G(j) 轨迹包围，稳定，
振幅 ，工作点由E点到B点；
X : B点 F点 F点被G(j)轨迹包围，不稳定，
振幅 ，工作点由F回到B点。
B点呈现稳定的自激振荡:振幅XB ,频率B。
3.闭环系统稳定性判别步骤
1）绘制非线性部分的负倒描述函数曲线和线 性部分的频率特性曲线。
2）若G(j)曲线不包围“-N-1(X)”曲线，则系统稳定。 若G(j)曲线包围“-N-1(X) ”曲线，系统不稳定。 若G(j)曲线与“-N-1(X)”曲线相交，系统出现自振。
3）若G(j )曲线与“-N-1(X)”曲线有交点，做以 下性能分析：
（1）不稳定的极限环
（2）稳定的极限环 计算自振频率和幅值。
例1：非线性系统如图所示,其中非线性特性为 具有死区的继电器,分析系统的稳定性。
0e
这里，M=3，h=1
负倒描述函数为
N 1 X
X
12 1 1 2
X
X 1
X 1, N 1 X , N 1
必有极值
d N 1X 令
0 dX
得 X 2
N 1 2
2
0.523
12
1
1 2
2
6
X： 1 2
-N-1(X)： 0.523
2.自振的稳定性分析
在A点，振幅XA，频率A。
扰动：
X : A点 C点 C点被G(j)轨迹包围，不稳定，
振幅 ，工作点由C点向B点运动；
A点一个不稳 定的极限环。
X : A点 D点 D点不被G(j)轨迹包围，稳定，
振幅 ，工作点由D点左移。
在B点，振幅XB，频率B 。 扰动：
X : B点 E点 E点不被G(j) 轨迹包围，稳定，
振幅 ，工作点由E点到B点；
X : B点 F点 F点被G(j)轨迹包围，不稳定，
振幅 ，工作点由F回到B点。
B点呈现稳定的自激振荡:振幅XB ,频率B。
3.闭环系统稳定性判别步骤
1）绘制非线性部分的负倒描述函数曲线和线 性部分的频率特性曲线。
2）若G(j)曲线不包围“-N-1(X)”曲线，则系统稳定。 若G(j)曲线包围“-N-1(X) ”曲线，系统不稳定。 若G(j)曲线与“-N-1(X)”曲线相交，系统出现自振。
3）若G(j )曲线与“-N-1(X)”曲线有交点，做以 下性能分析：
（1）不稳定的极限环
（2）稳定的极限环 计算自振频率和幅值。
例1：非线性系统如图所示,其中非线性特性为 具有死区的继电器,分析系统的稳定性。
0e
第7章非线性系统
振幅和频率的振荡，称为自持振荡（或自激振荡）。 There is self excited oscillation in the nonlinear
system。
例 7-1-2 范德波尔方程是
••
x(t)
2
1
x2
(t
)x(•t)
x(t
)
0
0
或
••
x(t
)
2
x
2
(t)
1
•
x(t)
x(t
)
0
0
现分析其响应的特征。
(2)相平面法 (phase plane analysis) 用相平面图研究非线性系统的动态特性(dynamic character) ,
只适用于二阶系统.
(3)李雅普诺夫第二方法(直接法)(Lyapunov second method) 用李雅普诺夫函数V(x)来研究, 但V(x)难确定.
7-2 二阶线性和非线性系统的 相平面分析
通常情况下，可以将构成系统的环节分为线性与 非线性两部分。用框图表示如图7-1-2所示。
图7-1-2 非线性系统框图的基本形式
式(7-1-1)描述的系统，也可以用图7-1-3所示的 框图表示。
图7-1-3 质量、弹簧、阻尼系统的框图
当用框图作为非线性系统的数学模型时，只需将 系统的线性部分用传递函数或脉冲响应表示，非 线性部分用非线性等效增益或描述函数表示。
Chapter 7 Nonlinear Control system
7-1 The Basic notion of Nonlinear Control System 7-2 Phase Plane analysis of second order linear system and nonlinear system
system。
例 7-1-2 范德波尔方程是
••
x(t)
2
1
x2
(t
)x(•t)
x(t
)
0
0
或
••
x(t
)
2
x
2
(t)
1
•
x(t)
x(t
)
0
0
现分析其响应的特征。
(2)相平面法 (phase plane analysis) 用相平面图研究非线性系统的动态特性(dynamic character) ,
只适用于二阶系统.
(3)李雅普诺夫第二方法(直接法)(Lyapunov second method) 用李雅普诺夫函数V(x)来研究, 但V(x)难确定.
7-2 二阶线性和非线性系统的 相平面分析
通常情况下，可以将构成系统的环节分为线性与 非线性两部分。用框图表示如图7-1-2所示。
图7-1-2 非线性系统框图的基本形式
式(7-1-1)描述的系统，也可以用图7-1-3所示的 框图表示。
图7-1-3 质量、弹簧、阻尼系统的框图
当用框图作为非线性系统的数学模型时，只需将 系统的线性部分用传递函数或脉冲响应表示，非 线性部分用非线性等效增益或描述函数表示。
Chapter 7 Nonlinear Control system
7-1 The Basic notion of Nonlinear Control System 7-2 Phase Plane analysis of second order linear system and nonlinear system
第7章非线性系统-精品文档
N ( A ) N ( A ) e
j N ( A )
Y B jA 1j 1 1 1 e A A
2. 描述函数的求取步骤 （1） 取输入信号为，根据非线性环节的静态特性绘
制出输出非正弦周期信号的曲线形式，根据曲线形式 写出输出y(t)在一周期内的数学表达式。 （2）据非线性环节的静态特性及输出y(t)的数学表达 式，求相关系数A1、B1。 （3）用式(7-8)计算描述函数。
设非线性环节输入输出描述为
当其输入信号为正弦函数
y f (x )
x ( t ) A sin t
一般情况下，其输出y(t)为非正弦的周期信号。将y(t) 按傅里叶级数展开为
y ( t ) A ( A cos n t B sin n t ) A Y sin n t ( ) 0 n n 0 n n
死区特性对系统产生的主要影响有： （１）使系统存在稳态误差 系统受死区的影响，导致输出在时间 上的滞后，降低了系统的跟踪精度；而在另一方面，在系统动态 过程的稳态值附近，当系统输入端存在小扰动信号时，死区的作 用可减小扰动信号的影响。
（２）对系统动态性能影响的利弊由具体系统的结构和参数确定 例如，对某些系统死区的存在，会使系统动态过程超调量较大， 甚至导致其产生自激振荡；而对另一些系统死区的存在会抑制其 振荡，降低系统的超调量。
５.摩擦特性
摩擦特性是机械传动机构中普遍存在的非线性特性。摩擦力 阻挠系统的运动，即表现为与物体运动方向相反的制动力。
为改善系统跟踪过程的平稳性，可采取如下措施： １）取良好的润滑或外加高频颤振信号的办法以减小静动摩擦 力矩的差值。 ２）采取干扰补偿的办法，校正抵消摩擦力矩的影响。 ３）采取增加系统阻尼的办法，减小转速脉动，提高平稳性
第7章 非线性系统
24
25
【步骤5】在系统中加入滞环非线性环节，系统框图 如图所示：
26
结论： 随着滞环宽度 的增加，系统 振荡加剧，变 得越来越不稳 定。
27
分析： 对比以上各图，可分析出非线性环节对控制系统稳定 性的影响: 当系统中存在饱和非线性环节时，响应较 慢，但超调减小；死区环节对0附近小范围的输入信号 无影响，而当输入超过这个“不灵敏区”后，输出与输 入呈现出线性；滞环环节会引起系统的振荡，使系统 变得不稳定。
31
相平面分析方法: 由于相平面图表示了系统在各种初始条件下的运动过 程，因而，只要绘出了系统的相平面图，就可以用它来分 析： 1）系统的稳定性； 2）瞬态响应性能； 3）稳态误差。 下面举二个例子进行说明：
32
例7-2.设系统的微分方程为：
x
x+ x+ x =0
其相平面图如右图所示 图中的箭头表示系统的状 态沿相轨迹的移动方向。 由图可知： （1）在各种初始条件下（任意一 条相轨迹），系统都趋向原点 （0,0）,说明原点是系统的平衡点，
39
2、非线性系统的奇点 设非线性系统的方程为：
x + f ( x, x ) = 0
(7-7)
只要 f ( x, x ) 是解析的，总可以将方程在奇点附近线性化。 设：奇点为 ( xi , xi ) ， f ( x, x ) 线性化为 g ( x, x) 即：
∂f ∂f g ( x, x ) = ( x − xi ) + ( x − xi ) ∂x xi ∂x xi
⎧ 0 ⎪ y=⎨ ⎪k ( x − Δsignx ) ⎩
x ≤Δ x >Δ
(7-2)
对系统的影响： （1）使系统产生稳态误差（尤其是测 量元件）。 （2）可能会提高系统的抗干扰能力或 减少振荡性。 来源： （1）测量元件的不灵敏区; （2）弹簧的预张力; （3）执行机构的静摩擦.
第七章 非线性控制系统的分析
2 2
6
(7.3)
式中：
N 为非线性环节的描述函数； 描述函数 A 为正弦输入信号的幅值； y1 为输出信号基波分量的幅值；
ϕ1 为输出信号基波分量的相移角。
7.1.1 描述函数
若非线性环节中不含储能元件 N = N( A ) 若非线性环节中含有储能元件 N = N( A,ω )
7
7.1.2 典型非线性特性的描述函数
14
为与输入振幅A有关的复函数，输出的基波分量的相角 滞后于输入信号的相角。
7.1.2 典型非线性特性的描述函数
(7.5)式中, b=0, 为理想继电型特性的描述函数： 理想继电型特性
N ( A) = 4M πA
15
(7.6)
7.1.2 典型非线性特性的描述函数
(7.5)式中, m = 1, 为具有死区的三位置继电型特性
−1 N (A -− N -1(A )) 稳定区域
24
G ( jω )
d
G ( jω )
7.2 非线性控制系统的描述函数分析
(若非线性系统的线性部分G(s) 是非最小相位系 统，则系统闭环稳定的条件为N = -P. ) 自持振荡可用一个正弦振荡来近似，振荡的 频率和振幅，分别由交点处的 G(jω) 曲线上的 ω 值和 “-N-1(A)” 曲线上的 A 值来确定。 正弦振荡存在表明非线性系统存在周期解， 可用Nyquist判据分析其稳定性。只有稳定的正弦 振荡才能近似表示非线性系统实际存在的自持振 荡：稳定的自持振荡(极限环)可通过试验观察到， 而不稳定的自持振荡却观察不到。
22
7.2 非线性控制系统的描述函数分析
推广的Nyquist判据： 判据
23
设非线性系统的线性部分 G(s) 是最小相位的，于是，闭 环系统稳定的条件为 N = 0。 当 s 在 s平面上顺时针方向沿D型围线变化一周时: 2) 若 G(jω) 曲线包围 “-N-1(A)” 曲线 (图b所示) 则非线性系统是不稳定的 不稳定
6
(7.3)
式中：
N 为非线性环节的描述函数； 描述函数 A 为正弦输入信号的幅值； y1 为输出信号基波分量的幅值；
ϕ1 为输出信号基波分量的相移角。
7.1.1 描述函数
若非线性环节中不含储能元件 N = N( A ) 若非线性环节中含有储能元件 N = N( A,ω )
7
7.1.2 典型非线性特性的描述函数
14
为与输入振幅A有关的复函数，输出的基波分量的相角 滞后于输入信号的相角。
7.1.2 典型非线性特性的描述函数
(7.5)式中, b=0, 为理想继电型特性的描述函数： 理想继电型特性
N ( A) = 4M πA
15
(7.6)
7.1.2 典型非线性特性的描述函数
(7.5)式中, m = 1, 为具有死区的三位置继电型特性
−1 N (A -− N -1(A )) 稳定区域
24
G ( jω )
d
G ( jω )
7.2 非线性控制系统的描述函数分析
(若非线性系统的线性部分G(s) 是非最小相位系 统，则系统闭环稳定的条件为N = -P. ) 自持振荡可用一个正弦振荡来近似，振荡的 频率和振幅，分别由交点处的 G(jω) 曲线上的 ω 值和 “-N-1(A)” 曲线上的 A 值来确定。 正弦振荡存在表明非线性系统存在周期解， 可用Nyquist判据分析其稳定性。只有稳定的正弦 振荡才能近似表示非线性系统实际存在的自持振 荡：稳定的自持振荡(极限环)可通过试验观察到， 而不稳定的自持振荡却观察不到。
22
7.2 非线性控制系统的描述函数分析
推广的Nyquist判据： 判据
23
设非线性系统的线性部分 G(s) 是最小相位的，于是，闭 环系统稳定的条件为 N = 0。 当 s 在 s平面上顺时针方向沿D型围线变化一周时: 2) 若 G(jω) 曲线包围 “-N-1(A)” 曲线 (图b所示) 则非线性系统是不稳定的 不稳定
第7章 非线性控制系统分析(《自动控制原理》课件)
•
• • •
••
•
得等倾线方程为: 令 d x/ dx = α , 得等倾线方程为 x = − x /(1 + α ) (15 ) • 若令 α = 1, x = − x / 2 , 则等倾线如下图所示 如 α = − 2 则等倾线如下图所示. • • x 则 x = x 等倾线如图中蓝线 等倾线如图中蓝线. α =1 依此类推, 依此类推 取不同的α 值, 由 x 式(15)画出足够密的一簇等倾 画出足够密的一簇等倾 0 线, 然后按各条等倾线所表示 的相轨迹在该条等倾线上的斜率将各点连 成一条光滑的曲线, 如左上图所示. 成一条光滑的曲线 如左上图所示 α = −2
•
•
设下图为式(1)在初始条件 设下图为式 在初始条件 x = x0 , x = x0 情况下的 x (t ) 与 x (t ) 的关系曲线. 平面上的点随时间的增大, 的关系曲线 当 t ∈ [ 0, ∞ ) 时, 平面上的点随时间的增大 • • 将沿曲线移动 当初始条件确定后 x A( x0 , x0 ) 将沿曲线移动. 当初始条件确定后, 曲线也确定, 曲线也确定 则曲线上任何一点的 • x 坐标也确定 当 x, x 的值确定后 由 的值确定后, 坐标也确定. 0 式(1)可知 x = f ( x , x ) 的值也唯一确 可知 从而系统的整个运动状态也完全确定. 定, 从而系统的整个运动状态也完全确定 整条曲线就清楚地描述了系统在某一初始条件下的运动 性质. 上图中的平面叫相平面, 性质 上图中的平面叫相平面 曲线叫系统在某一初始 条件下的相轨迹. 由于系统的初始条件可有无穷多个, 条件下的相轨迹 由于系统的初始条件可有无穷多个 因此相应的相轨迹也有无穷多条, 因此相应的相轨迹也有无穷多条 这无穷多条相轨迹构 成的相轨迹簇叫相平面图. 成的相轨迹簇叫相平面图 因为
• • •
••
•
得等倾线方程为: 令 d x/ dx = α , 得等倾线方程为 x = − x /(1 + α ) (15 ) • 若令 α = 1, x = − x / 2 , 则等倾线如下图所示 如 α = − 2 则等倾线如下图所示. • • x 则 x = x 等倾线如图中蓝线 等倾线如图中蓝线. α =1 依此类推, 依此类推 取不同的α 值, 由 x 式(15)画出足够密的一簇等倾 画出足够密的一簇等倾 0 线, 然后按各条等倾线所表示 的相轨迹在该条等倾线上的斜率将各点连 成一条光滑的曲线, 如左上图所示. 成一条光滑的曲线 如左上图所示 α = −2
•
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设下图为式(1)在初始条件 设下图为式 在初始条件 x = x0 , x = x0 情况下的 x (t ) 与 x (t ) 的关系曲线. 平面上的点随时间的增大, 的关系曲线 当 t ∈ [ 0, ∞ ) 时, 平面上的点随时间的增大 • • 将沿曲线移动 当初始条件确定后 x A( x0 , x0 ) 将沿曲线移动. 当初始条件确定后, 曲线也确定, 曲线也确定 则曲线上任何一点的 • x 坐标也确定 当 x, x 的值确定后 由 的值确定后, 坐标也确定. 0 式(1)可知 x = f ( x , x ) 的值也唯一确 可知 从而系统的整个运动状态也完全确定. 定, 从而系统的整个运动状态也完全确定 整条曲线就清楚地描述了系统在某一初始条件下的运动 性质. 上图中的平面叫相平面, 性质 上图中的平面叫相平面 曲线叫系统在某一初始 条件下的相轨迹. 由于系统的初始条件可有无穷多个, 条件下的相轨迹 由于系统的初始条件可有无穷多个 因此相应的相轨迹也有无穷多条, 因此相应的相轨迹也有无穷多条 这无穷多条相轨迹构 成的相轨迹簇叫相平面图. 成的相轨迹簇叫相平面图 因为
第七章非线性控制系统.
x (t)
两个平衡状态：x=0和x=1，
x=0这个平衡状态是稳定的，因 1
为它对x0<1的扰动具有恢复原
状态的能力；而x=1这个平衡状 0
t
态是不稳定的，稍加扰动不是收
敛到零，就是发散到无穷，不可
能再回到这个平衡状态。
图7-3
由此可见，非线性系统可能存在多个平衡状态，其中某些 平衡状态是稳定的，另一些平衡状态是不稳定的。初始条 件不同，系统的运动可能趋于不同的平衡状态，运动的稳 定性就不同。所以说，非线性系统的稳定性不仅与系统的 结构和参数有关，而且与运动的初始条件、输入信号有直 接关系。
从非线性环节的输入与输出之间存在的函数关系划分，非线 性特性可分为单值函数与多值函数两类。例如死区特性、饱 和特性及理想继电特性属于输入与输出间为单值函数关系的 非线性特性。间隙特性和一般继电特性则属于输入与输出之 间为多值函数关系的非线性特性。
下面从物理概念上对包含这些非线性特性的系统进行一些 分析，有时为了说明问题，仍运用线性系统的某些概念和 方法。虽然分析不够严谨，但便于了解，而且所得出的一 些概念和结论对于从事实际系统的调试工作是具有参考价 值的。
2：时间响应 线性系统时间 响应的一些基本特征（如振 荡性和收敛性）与输入信号
y (t) 线性系统 非线性系统
的大小及初始条件无关。图 R 2 7-4中的虚线表明，对于线性
系统，阶跃输入信号的大小 R 1 只影响响应的幅值，而不会
改变响应曲线的形状。非线
性系统的时间响应与输入信 0
t
号的大小和初始条件有关。
有些非线性系统在没有外界周期变化信号的作用下，系统中就 能产生具有固定振幅和频率的稳定周期运动。如振荡发散的线 性系统中引入饱和特性时就会产生等幅振荡，这种固定振幅和 频率的稳定周期运动称为自持振荡，其振幅和频率由系统本身 的特性所决定。自持振荡具有一定的稳定性，当受到某种扰动 之后，只要扰动的振幅在一定的范围之内，这种振荡状态仍能 恢复。在多数情况下，不希望系统有自持振荡。长时间大幅度 的振荡会造成机械磨损、能量消耗，并带来控制误差。但是有 时又故意引入高频小幅度的颤振，来克服间隙、摩擦等非线性 因素给系统带来的不利影响。因此必须对自持振荡产生的条件、 自持振荡振幅和频率的确定，以及自持振荡的抑制等问题进行 研究。所以说自持振荡是非线性系统一个十分重要的特征，也 是研究非线性系统的一个重要内容。
自动控制理论 第7章非线性系统的分析
7-2 典型非线性环节
1、饱和非线性
kx1 x 2 ka x 2 m ka x 2m x1 a x1 a x1 a
x2m
x2
a
0
k
a
x1
此处：
x1 输入 x2 输出 k 比例系数
x2m
饱和非线性对系统的影响： • 饱和非线性使系统在大信号作用下的等 效增益下降，严重的可以使系统丧失闭 环控制作用。
• 利用描述函数判断非线性系统稳定性 时，非线性环节的负倒特性 1 N ( A) 相 当于线性系统的 (1, j 0) 点； • 因此可以类似的得到当线性系统为最 小相位系统时的非线性系统的乃氏判据。
• 如非线性部分的负倒特性 1 N ( A) 没 G 有被线性部分 ( j) 的乃氏曲线包围， 则系统是稳定的。反之，如果非线性部 1 分的负倒特性 N ( A) 被线性部分( j) G 的乃氏曲线包围，则系统为不稳定的。
Im
Im
Im
G j
G N
0
Re
0
Re
B
Re
1 N A
1 N A 1 N A
A
G j
G j
a)
b)
c)
描述函数法分析非线性系统稳定性
二、非线性系统自持振荡分析
• 如果 1 N ( A) 与 G( j) 曲线相交，则可能产生自 持振荡。 • 严格地讲，自持振荡不是正弦的，但可以用正弦 来近似。 • 自持振荡的幅值是由交点处 1 N ( A) 曲线上的A 值决定的，而频率是由交点处 G( j)曲线上的频 率 决定的。
x1
非线性
x2
G2