2018年全国2卷理科数学十年真题分类汇编6 数列

6 数列

一．基础题组

1. 【2013课标全国Ⅱ，理3】等比数列{a n }的前n 项和为S n .已知S 3＝a 2＋10a 1，a 5＝9，则a 1＝( )． A ．

B ．

C ．

D ． 【答案】：C

2. 【2012全国，理5】已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ，a 5＝5，S 5＝15，则数列{}的前100项和为( ) A ．

B ．

C ．

D ． 【答案】 A 【解析】，∴a 1＝1. ∴. ∴a n ＝1＋(n －1)×1＝n .∴

. 设的前n 项和为T n ，

则 ＝ ＝. 3. 【2010全国2，理4】如果等差数列{a n }中，a 3＋a 4＋a 5＝12，那么a 1＋a 2＋…＋a 7等于( )

1313-1919

-1

1

n n a a +1001019910199100101

100

15155()5(5)

1522

a a a S ++===515115151

a a d --=

==--111

(1)

n n a a n n +=+11n n a a +⎧⎫⎨⎬⎩⎭

100111

1223100101

T =+++

⨯⨯⨯ (11111)

1223100101-+-++-

(1100)

1101101

-

=

A ．14

B ．21

C ．28

D ．35 【答案】：C

【解析】∵{a n }为等差数列，a 3＋a 4＋a 5＝12， ∴a 4＝4.

∴a 1＋a 2＋…＋a 7＝

＝7a 4＝28. 4. 【2006全国2，理14】已知△ABC 的三个内角A ,B ,C 成等差数列,且AB =1,BC =4,则边BC 上的中线AD 的长为 . 【答案】:

5.【2014新课标，理17】（本小题满分12分） 已知数列满足=1，.

（Ⅰ）证明是等比数列，并求的通项公式；

（Ⅱ）证明：.

【解析】：（Ⅰ）证明：由得，所以，所以是等比数列，首项为，公比为3，所以，解得.

（Ⅱ）由（Ⅰ）知：，所以， 因为当时，，所以

，于是=， 所以

. 6. 【2011新课标，理17】等比数列{a n }的各项均为正数，且2a 1＋3a 2＝1，.

(1)求数列{a n }的通项公式；

(2)设b n ＝log 3a 1＋log 3a 2＋…＋log 3a n ，求数列的前n 项和． 177()

2

a a +3

{}n a 1a 131n n a a +=+{

}

12

n a +{}n a 1231112

n

a a a ++<…+131n n a a +=+1113()22n n a a ++=+11

2312

n n a a ++

=+12n a ⎧⎫+⎨⎬

⎩⎭11322a +=12n a +=1

332n -⋅n a =312n -n a =312

n -12

31n n a =-1n ≥1

3123n n --≥⋅1113123n n -≤-⋅11a +21a +L 1n a 111133

n -≤+++L 31(1)23n -3

2

<11a +21a +L 1n a 3

2

<2

3239a a a =1

{

}n

b

7. 【2015高考新课标2，理16】设是数列的前n 项和，且，，则________． 【答案】 【解析】由已知得，两边同时除以，得

，故数列是以为首项，为公差的等差数列，则，所以． 【考点定位】等差数列和递推关系．

8. 【2017课标II ，理3】我国古代数学名著《算法统宗》中有如下问题：“远望巍巍塔七层，红光点点倍加增，共灯三百八十一，请问尖头几盏灯？”意思是：一座7层塔共挂了381盏灯，且相邻两层中的下一层灯数是上一层灯数的2倍，则塔的顶层共有灯 A ．1盏

B ．3盏

C ．5盏

D ．9盏

【答案】B

【考点】 等比数列的应用、等比数列的求和公式

【名师点睛】用数列知识解相关的实际问题，关键是列出相关信息，合理建立数学模型——数列模型，

n S {}n a 11a =-11n n n a S S ++=n S =1n

-

111n n n n n a S S S S +++=-=⋅1n n S S +⋅111

1n n

S S +=--1n S ⎧⎫⎨⎬⎩⎭

1-1-11(1)n S n n =---=-1n S n

=

-

判断是等差数列还是等比数列模型；求解时要明确目标，即搞清是求和、求通项、还是解递推关系问题，所求结论对应的是解方程问题、解不等式问题、还是最值问题，然后将经过数学推理与计算得出的结果放回到实际问题中，进行检验，最终得出结论． 二．能力题组

1. 【2013课标全国Ⅱ，理16】等差数列{a n }的前n 项和为S n ，已知S 10＝0，S 15＝25，则nS n 的最小值为__________． 【答案】：－49

【解析】：设数列{a n }的首项为a 1，公差为d ，则S 10＝＝10a 1＋45d ＝0，① S 15＝＝15a 1＋105d ＝25.② 联立①②，得a 1＝－3，， 所以S n ＝. 令f (n )＝nS n ，则，. 令f ′(n )＝0，得n ＝0或. 当时，f ′(n )＞0,时，f ′(n )＜0，所以当时，f (n )取最小值，而n ∈N ＋，则f (6)＝－48，f (7)＝－49，所以当n ＝7时，f (n )取最小值－49.

2.【2017课标II ，理15】等差数列的前项和为，，，则

____________． 【答案】

【考点】 等差数列前n 项和公式、裂项求和．

【名师点睛】等差数列的通项公式及前n 项和公式，共涉及五个量a 1，a n ，d ，n ，S n ，知其中三个就能求另外两个，体现了用方程的思想解决问题．数列的通项公式和前n 项和公式在解题中起到变量代换作用，而a 1和d 是等差数列的两个基本量，用它们表示已知和未知是常用得方法．使用裂项法求和时，要注意正、负项相消时消去了哪些项，保留了哪些项，切不可漏写未被消去的项，未被消去的项有前后对称的特点．

3. 【2005全国3，理20】(本小题满分12分)

1109

102

a d ⨯＋

11514

152

a d ⨯+

23

d =2(1)2110

32333

n n n n n --+

⨯=-32110()33f n n n =

-220

'()3

f n n n =-20

3

n =203n >

200<<3n 203

n ={}n a n n S 33a =410S =11

n

k k

S ==∑21

n

n +