重庆市杨家坪中学2014-2015学年高二上学期第一次月考数学试题
重庆一中2014-2015学年高二数学上学期期中试题 理
俯视图侧视图正视图重庆一中2014-2015学年高二数学上学期期中试题理数学试题共4页。
总分为150 分。
考试时间120 分钟。
须知事项：1.答题前，务必将自己的姓名、某某号填写在答题卡规定的位置上。
2.答选择题时，必须使用2B铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦擦干净后，再选涂其他答案标号。
3.答非选择题时，必须使用0.5毫米黑色签字笔，将答案书写在答题卡规定的位置上。
4.所有题目必须在答题卡上作答，在试题卷上答题无效。
一、选择题：本大题共10小题，每一小题5分，共50分.在每一小题给出的四个选项中，只有一项为哪一项符合题目要求的.1.直线0122:=+-yxl的倾斜角为( )A.30°B.45°C.60°D.90°2.如下四条直线中, 哪一条是双曲线1422=-yx的渐近线?( )A.xy21-= B.xy41-=C.xy2= D.xy4=3.如图1,一个几何体的三视图是由两个矩形和一个圆所组成,如此该几何体的外表积是( )A.π7B.π8C.π10 D.12+π(图1)4.设x、y、z是空间中不同的直线或平面，对如下四种情形：①x、y、z均为直线；②x、y是直线，z是平面；③x、y是平面，z是直线；④x、y、z均为平面。
其中能使“yxzyzx//⇒⊥⊥且〞为真命题的是( )A.③④B.①③C.②③D.①②5.直线l不经过坐标原点O, 且与椭圆1222=+yx交于A、B两点，M是线段AB的中点．那么,直线AB与直线OM的斜率之积为 ( )BCDCABA.1- B.1 C.21- D.26.命题:p直线2+=xy与双曲线122=-yx有且仅有一个交点；命题:q假设直线l垂直于直线m,且,//α平面m如此α⊥l.如下命题中为真命题的是( )A.()()p q⌝∨⌝ B.()p q⌝∨ C.()()p q⌝∧⌝ D.p q∧7.如下有关命题的说法错误的答案是．．．．．． ( )A.对于命题p：x R∃∈，使得210x x++<. 如此⌝p：x R∀∈，均有210x x++≥.B.“1=x〞是“0232=+-xx〞的充分不必要条件.C.命题“假设12=x, 如此1=x〞的否命题为：“假设12≠x,如此1≠x〞.D.命题“假设5≠+yx，如此32≠≠yx或〞是假命题.8.(原创)如如下图2, 在平行四边形ABCD中, AD=2AB=2, ∠BA C=90°. 将△A CD沿AC折起,使得BD=5. 在三棱锥D-ABC的四个面中,如下关于垂直关系的表示错误的答案是．．．．．．( )A.面ABD⊥面BCDB.面ABD⊥面ACDC.面ABC⊥面ACDD.面ABC⊥面BCD(图2) (图3)9.(原创)如上图3, 四棱锥P-ABCD的底面ABCD是边长为1的正方形, 面PAB⊥面ABCD. 在面PAB内的有一个动点M, 记M到面PAD的距离为d. 假设1||22=-dMC, 如此动点M在面PAB内的轨迹是( )A.圆的一局部B.椭圆的一局部C.双曲线的一局部D.抛物线的一局部10.设椭圆22221(0)x ya ba b+=>>的离心率为12e=,右焦点为F〔c, 0〕，方程20ax bx c+-=的两个实根分别为x1和x2，如此点P(x1, x2)的位置( )俯视图侧视图A.必在圆222x y +=内B.必在圆222x y +=上C.必在圆222x y +=外D.以上三种情形都有可能二、填空题：本大题共5小题，每一小题5分，共25分，把答案写在答题卡相应位置上. 11.过点P(3,1)向圆012222=+--+y x y x 作一条切线, 切点为A, 如此切线段PA 的长为.12.椭圆1002x +362y =1上一点P 到它的右准线的距离是10,那么P 点到左焦点的距离是.13.一个几何体的三视图如图4, 如此这个几何体的体积为. 14.半径为5的球内包含有一个圆台, 圆台的上、下两个底面都是 球的截面圆, 半径分别为3和4. 如此该圆台体积的最大值为.15.(原创)设A 为椭圆12222=+b y a x (0>>b a )上一点, 点A 关于原点的对称点为B, F 为椭圆的右焦点, 且AF⊥BF . 假设∠ABF∈[12π,4π], (图4) 如此该椭圆离心率的取值范围为.三、解答题：本大题共6小题，共75分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤16.(本小题13分)双曲线2222:1(0,0)x y C ab a b-=>>2。
重庆市杨家坪中学高二数学上学期期中试题 理(含解析)
2015-2016学年重庆市杨家坪中学高二（上）期中数学试卷（理科）一、选择题（每小题5分，共60分）1．直线x﹣y﹣1=0不通过( )A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限2．已知圆C：x2+y2+mx﹣4=0上存在两点关于直线x﹣y+3=0对称，则实数m的值( ) A．8 B．﹣4 C．6 D．无法确定3．直线x+y+1=0被圆x2+y2=1所截得的弦长为( )A．B．1 C．D．4．已知底面边长为1，侧棱长为的正四棱柱的各顶点均在同一个球面上，则该球的表面积为( )A．B．C．2πD．4π5．如图，某几何体的正视图（主视图），侧视图（左视图）和俯视图分别是等边三角形，等腰三角形和菱形，则该几何体体积为( )A．B．4 C．D．26．在正三棱柱ABC﹣A1B1C1中，若AB=2，AA1=1，则点A到平面A1BC的距离为( ) A．B．C．D．7．已知四棱锥S﹣ABCD的所有棱长都相等，E是SB的中点，则AE，SD所成的角的正弦值为( )A．B．C．D．8．设a、b、c分别是△ABC中∠A、∠B、∠C所对边的边长，则直线xsinA+ay+c=0与bx﹣ysinB+sinC=0的位置关系是( )A．垂直 B．平行 C．重合 D．相交但不垂直9．直线ax+by+c=0与圆x2+y2=9相交于两点M，N，若c2=a2+b2，则•（O为坐标原点）等于( )A．﹣7 B．﹣14 C．7 D．1410．曲线y=+1（﹣2≤x≤2）与直线y=kx﹣2k+4有两个不同的交点时实数k的范围是( )A．（，] B．（，+∞）C．（，） D．（﹣∞，）∪（，+∞）11．如图，正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，点P为线段AD1上一动点，点Q为底面ABCD内（含边界）一动点，M为PQ的中点，点M构成的点集是一个空间几何体，则该几何体为( )A．棱柱 B．棱锥 C．棱台 D．球12．如果直线2ax﹣by+14=0（a＞0，b＞0）和函数f（x）=m x+1+1（m＞0，m≠1）的图象恒过同一个定点，且该定点始终落在圆（x﹣a+1）2+（y+b﹣2）2=25的内部或圆上，那么的取值范围是( )A． C． D．（，）二、填空题（每小题5分，共20分）13．直线x﹣y+1=0的倾斜角是__________．14．已知正△ABC的边长为1，那么在斜二侧画法中它的直观图△A′B′C′的面积为__________．15．已知点A（﹣2，0），B（0，2），若点C是圆x2﹣2x+y2=0上的动点，则△ABC面积的最小值是__________．16．在三棱锥P﹣ABC中，侧棱PA，PB，PC两两垂直，Q为底面ABC内一点，若点Q到三个侧面的距离分别为3、4、5，则过点P和Q的所有球中，表面积最小的球的表面积为__________．三、解答题（70分）17．已知直线l1：3x+4y﹣2=0和l2：2x﹣5y+14=0的相交于点P．求：（Ⅰ）过点P且平行于直线2x﹣y+7=0的直线方程；（Ⅱ）过点P且垂直于直线2x﹣y+7=0的直线方程．18．如图，三棱柱ABC﹣A1B1C1的侧棱AA1⊥底面ABC，∠ACB=90°，E是棱CC1上中点，F是AB 中点，AC=1，BC=2，AA1=4．（1）求证：CF∥平面AEB1；（2）求三棱锥C﹣AB1E的体积．19．已知圆C：x2+y2+2x﹣4y+3=0．（1）若圆C的切线在x轴、y轴上的截距相等，求切线方程；（2）从圆C外一点P（x1，y1）向该圆引一条切线，切点为M且有|PM|=|PO|（O为原点），求使|PM|取得最小值时点P的坐标．20．如图，在三棱锥S﹣ABC中，SB⊥底面ABC，且SB=AB=2，BC=，D、E分别是SA、SC的中点．（I）求证：平面ACD⊥平面BCD；（II）求二面角S﹣BD﹣E的平面角的大小．21．如图，直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AC⊥AB，AB=2AA1，M是AB的中点，△A1MC1是等腰三角形，D为CC1的中点，E为BC上一点．（1）若DE∥平面A1MC1，求；（2）求直线BC和平面A1MC1所成角的余弦值．22．已知⊙C过点P（1，1），且与⊙M：（x+2）2+（y+2）2=r2（r＞0）关于直线x+y+2=0对称．（Ⅰ）求⊙C的方程；（Ⅱ）设Q为⊙C上的一个动点，求的最小值；（Ⅲ）过点P作两条相异直线分别与⊙C相交于A，B，且直线PA和直线PB的倾斜角互补，O 为坐标原点，试判断直线OP和AB是否平行？请说明理由．2015-2016学年重庆市杨家坪中学高二（上）期中数学试卷（理科）一、选择题（每小题5分，共60分）1．直线x﹣y﹣1=0不通过( )A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限【考点】确定直线位置的几何要素．【专题】直线与圆．【分析】把直线的方程化为斜截式，可得直线的倾斜角为90°，在y轴上的截距等于﹣1，故直线经过第一、三、四象限．【解答】解：直线x﹣y﹣1=0即 y=x﹣1，它的斜率等于1，倾斜角为90°，在y轴上的截距等于﹣1，故直线经过第一、三、四象限，不经过第二象限，故选 B．【点评】本题主要考查直线的斜截式方程，确定直线位置的几何要素，属于基础题．2．已知圆C：x2+y2+mx﹣4=0上存在两点关于直线x﹣y+3=0对称，则实数m的值( ) A．8 B．﹣4 C．6 D．无法确定【考点】直线和圆的方程的应用；恒过定点的直线．【专题】计算题．【分析】因为圆上两点A、B关于直线x﹣y+3=0对称，所以直线x﹣y+3=0过圆心（﹣，0），由此可求出m的值．【解答】解：因为圆上两点A、B关于直线x﹣y+3=0对称，所以直线x﹣y+3=0过圆心（﹣，0），从而﹣+3=0，即m=6．故选C．【点评】本题考查圆的性质和应用，解题时要认真审题，仔细解答．3．直线x+y+1=0被圆x2+y2=1所截得的弦长为( )A．B．1 C．D．【考点】直线与圆的位置关系．【专题】直线与圆．【分析】由圆的方程可得圆心坐标和半径，再利用点到直线的距离公式求出圆心到直线x+y+1=0的距离d，即可求出弦长为2，运算求得结果．【解答】解：圆x2+y2=1的圆心O（0，0），半径等于1，圆心到直线x+y+1=0的距离d=，故直线x+y+1=0被圆x2+y2=1所截得的弦长为 2=，故选 D．【点评】本题主要考查直线和圆的位置关系，点到直线的距离公式，弦长公式的应用，属于中档题．4．已知底面边长为1，侧棱长为的正四棱柱的各顶点均在同一个球面上，则该球的表面积为( )A．B．C．2πD．4π【考点】球的体积和表面积．【专题】计算题；数形结合；空间位置关系与距离；立体几何；球．【分析】画出图形，正四棱锥P﹣ABCD的外接球的球心在它的高PO1上，记为O，求出PO1，OO1，解出球的半径，求出球的表面积即可．【解答】解：正四棱锥P﹣ABCD的外接球的球心在它的高PO1上，记为O，PO=AO=R，PO1=1，OO1=R﹣1，或OO1=1﹣R（此时O在PO1的延长线上），在Rt△AO1O中，R2=1+（R﹣1）2得R=1，∴球的表面积S=4πR2=4π．故选：D．【点评】本题考查了球的表面积，球的内接体问题，考查计算能力，是基础题．5．如图，某几何体的正视图（主视图），侧视图（左视图）和俯视图分别是等边三角形，等腰三角形和菱形，则该几何体体积为( )A．B．4 C．D．2【考点】由三视图求面积、体积．【专题】立体几何．【分析】根据已知中的三视图及相关视图边的长度，我们易判断出该几何体的形状及底面积和高的值，代入棱锥体积公式即可求出答案．【解答】解：由已知中该几何中的三视图中有两个三角形一个菱形可得这个几何体是一个四棱锥由图可知，底面两条对角线的长分别为2，2，底面边长为2故底面棱形的面积为=2侧棱为2，则棱锥的高h==3故V==2故选C【点评】本题考查的知识点是由三视图求面积、体积其中根据已知求出满足条件的几何体的形状及底面面积和棱锥的高是解答本题的关键．6．在正三棱柱ABC﹣A1B1C1中，若AB=2，AA1=1，则点A到平面A1BC的距离为( )A．B．C．D．【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积；棱柱的结构特征．【专题】计算题．【分析】要求点A到平面A1BC的距离，可以求三棱锥底面A1BC上的高，由三棱锥的体积相等，容易求得高，即是点到平面的距离．【解答】解：设点A到平面A1BC的距离为h，则三棱锥的体积为即∴∴．故选：B．【点评】本题求点到平面的距离，可以转化为三棱锥底面上的高，用体积相等法，容易求得．“等积法”是常用的求点到平面的距离的方法．7．已知四棱锥S﹣ABCD的所有棱长都相等，E是SB的中点，则AE，SD所成的角的正弦值为( )A．B．C．D．【考点】异面直线及其所成的角．【专题】空间角．【分析】作SO⊥平面ABCD，交平面ABCD于点O，以O为原点，OS为z轴，建立如图所示的空间直角坐标系，利用向量法能求出AE，SD所成的角的正弦值．【解答】解：作SO⊥平面ABCD，交平面ABCD于点O，以O为原点，OS为z轴，建立如图所示的空间直角坐标系，令四棱锥的棱长为2，则A（1，﹣1，0），D（﹣1，﹣1，0），S（0，0，），E（），∴=（﹣，，），=（﹣1，﹣1，﹣），∴设AE，SD所成的角为θ，cosθ=|cos＜＞|==，sinθ==．∴AE，SD所成的角的正弦值为．故选：B．【点评】本题考查异面直线所成角的求法，是基础题，解题时要注意线线、线面、面面间的位置关系和性质的合理运用，注意空间思维能力的培养．8．设a、b、c分别是△ABC中∠A、∠B、∠C所对边的边长，则直线xsinA+ay+c=0与bx﹣ysinB+sinC=0的位置关系是( )A．垂直 B．平行 C．重合 D．相交但不垂直【考点】直线的一般式方程与直线的垂直关系．【专题】计算题．【分析】先由直线方程求出两直线的斜率，再利用正弦定理化简斜率之积等于﹣1，故两直线垂直．【解答】解：两直线的斜率分别为和，△ABC中，由正弦定理得=2R，R为三角形的外接圆半径，∴斜率之积等于，故两直线垂直，故选A．【点评】本题考查由直线方程求出两直线的斜率，正弦定理得应用，两直线垂直的条件．9．直线ax+by+c=0与圆x2+y2=9相交于两点M，N，若c2=a2+b2，则•（O为坐标原点）等于( )A．﹣7 B．﹣14 C．7 D．14【考点】直线与圆相交的性质；平面向量数量积的运算．【专题】计算题．【分析】由题意，直线ax+by+c=0与圆x2+y2=9组成方程组，消去y，得到x的一元二次方程，求得x1x2；同理，可求得y1y2；从而求出•的值．【解答】解：设M（x1，y1），N（x2，y2），则由方程组，消去y，得（a2+b2）x2+2acx+（c2﹣9b2）=0，∴x1x2=；消去x，得（a2+b2）y2+2bcy+（c2﹣9a2）=0，∴y1y2=；∴•=x1x2+y1y2====﹣7；故选A．【点评】本题通过平面向量数量积的坐标表示，考查了直线与圆组成方程组的问题，是常见的基础题．10．曲线y=+1（﹣2≤x≤2）与直线y=kx﹣2k+4有两个不同的交点时实数k的范围是( )A．（，] B．（，+∞）C．（，） D．（﹣∞，）∪（，+∞）【考点】直线与圆相交的性质．【专题】直线与圆．【分析】根据直线过定点，以及直线和圆的位置关系即可得到结论．利用数形结合作出图象进行研究即可．【解答】解：由y=k（x﹣2）+4知直线l过定点（2，4），将y=1+，两边平方得x2+（y﹣1）2=4，则曲线是以（0，1）为圆心，2为半径，且位于直线y=1上方的半圆．当直线l过点（﹣2，1）时，直线l与曲线有两个不同的交点，此时1=﹣2k+4﹣2k，解得k=，当直线l与曲线相切时，直线和圆有一个交点，圆心（0，1）到直线kx﹣y+4﹣2k=0的距离d=，解得k=，要使直线l：y=kx+4﹣2k与曲线y=1+有两个交点时，则直线l夹在两条直线之间，因此＜k≤，故选：A．【点评】本题主要考查直线和圆的位置关系的应用，利用数形结合是解决本题的关键，考查学生的计算能力．11．如图，正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，点P为线段AD1上一动点，点Q为底面ABCD内（含边界）一动点，M为PQ的中点，点M构成的点集是一个空间几何体，则该几何体为( )A．棱柱 B．棱锥 C．棱台 D．球【考点】棱柱的结构特征．【专题】空间位置关系与距离．【分析】先讨论P点与A点重合时，M点的轨迹，再分析把P点从A点向上沿线段AD1移动，在移动过程中M点轨迹，最后结合棱柱的几何特征可得答案．【解答】解：∵Q点不能超过边界，若P点与A点重合，设AB中点E、AD中点F，移动Q点，则此时M点的轨迹为：以AE、AF为邻边的正方形；下面把P点从A点向上沿线段AD1移动，在移动过程中可得M点轨迹为正方形，…，最后当P点与D1点重合时，得到最后一个正方形，故所得几何体为棱柱，故选：A【点评】本题考查的知识点是棱柱的几何特征，解答的关键是分析出P点从A点向上沿线段AD1移动，在移动过程中M点轨迹．12．如果直线2ax﹣by+14=0（a＞0，b＞0）和函数f（x）=m x+1+1（m＞0，m≠1）的图象恒过同一个定点，且该定点始终落在圆（x﹣a+1）2+（y+b﹣2）2=25的内部或圆上，那么的取值范围是( )A． C． D．（，）【考点】点与圆的位置关系；指数函数的单调性与特殊点．【专题】直线与圆．【分析】由幂函数求出定点坐标，把定点坐标代入直线和圆的方程，求出a的取值范围，从而求出的取值范围．【解答】解：∵当x+1=0，即x=﹣1时，y=f（x）=m x+1+1=1+1=2，∴函数f（x）的图象恒过一个定点（﹣1，2）；又直线2ax﹣by+14=0过定点（﹣1，2），∴a+b=7①；又定点（﹣1，2）在圆（x﹣a+1）2+（y+b﹣2）2=25的内部或圆上，∴（﹣1﹣a+1）2+（2+b﹣2）2≤25，即a2+b2≤25②；由①②得，3≤a≤4，∴≤≤，∴==﹣1∈；故选：C．【点评】本题考查了直线与圆的方程以及函数与不等式的应用问题，是一道简单的综合试题．二、填空题（每小题5分，共20分）13．直线x﹣y+1=0的倾斜角是45°．【考点】直线的倾斜角．【分析】把已知直线的方程变形后，找出直线的斜率，根据直线斜率与倾斜角的关系，即直线的斜率等于倾斜角的正切值，得到倾斜角的正切值，由倾斜角的范围，利用特殊角的三角函数值即可求出倾斜角的度数．【解答】解：由直线x﹣y+1=0变形得：y=x+1所以该直线的斜率k=1，设直线的倾斜角为α，即tanα=1，∵α∈（0，180°），∴α=45°．故答案为：45°．【点评】此题考查了直线的倾斜角，以及特殊角的三角函数值．熟练掌握直线倾斜角与斜率的关系是解本题的关键，同时注意直线倾斜角的范围．14．已知正△ABC的边长为1，那么在斜二侧画法中它的直观图△A′B′C′的面积为．【考点】斜二测法画直观图．【专题】数形结合；定义法；空间位置关系与距离．【分析】由直观图和原图的面积之间的关系，直接求解即可．【解答】解：正三角形的高OA=，底BC=1，在斜二侧画法中，B′C′=BC=1，0′A′==，则△A′B′C′的高A′D′=0′A′sin45°=×=，则△A′B′C′的面积为S=×1×=，故答案为：．【点评】本题考查斜二测画法中原图和直观图面积之间的关系，属基本运算的考查15．已知点A（﹣2，0），B（0，2），若点C是圆x2﹣2x+y2=0上的动点，则△ABC面积的最小值是．【考点】点到直线的距离公式．【专题】计算题．【分析】将圆的方程整理为标准方程，找出圆心坐标与半径r，由A和B的坐标求出直线AB 的解析式，利用点到直线的距离公式求出圆心到直线AB的距离d，用d﹣r求出△ABC中AB 边上高的最小值，在等腰直角三角形AOB中，由OA=OB=2，利用勾股定理求出AB的长，利用三角形的面积公式即可求出△ABC面积的最小值．【解答】解：将圆的方程整理为标准方程得：（x﹣1）2+y2=1，∴圆心坐标为（1，0），半径r=1，∵A（﹣2，0），B（0，2），∴直线AB解析式为y=x+2，∵圆心到直线AB的距离d==，∴△ABC中AB边上高的最小值为d﹣r=﹣1，又OA=OB=2，∴根据勾股定理得AB=2，则△ABC面积的最小值为×AB×（d﹣r）=3﹣．故答案为：3﹣【点评】此题考查了点到直线的距离公式，圆的标准方程，勾股定理，以及直线的两点式方程，其中求出△ABC中AB边上高的最小值是解本题的关键．16．在三棱锥P﹣ABC中，侧棱PA，PB，PC两两垂直，Q为底面ABC内一点，若点Q到三个侧面的距离分别为3、4、5，则过点P和Q的所有球中，表面积最小的球的表面积为50π．【考点】球的体积和表面积．【专题】球．【分析】根据题意，点Q到三个侧面的垂线与侧棱PA、PB、PC围成一个棱长为3、4、5的长方体，分析可知以PQ为直径的球是它的外接球，此时过点P和Q的所有球中，表面积最小的球，即可求解．【解答】解：根据题意：点Q到三个侧面的垂线与侧棱PA、PB、PC围成一个棱长为3、4、5的长方体，内部图形如图．则其外接球的直径即为PQ且为长方体的体对角线，过点P和Q的所有球中，此时外接球的表面积最小．∴2r==．∴r=由球的表面积公式得：S=4πr2=50π故答案为：50π．【点评】本题主要考查空间几何体的构造和组合体的基本关系．判断长方体的对角线是过P 和Q的所有球中，最小的球是解题的关键．三、解答题（70分）17．已知直线l1：3x+4y﹣2=0和l2：2x﹣5y+14=0的相交于点P．求：（Ⅰ）过点P且平行于直线2x﹣y+7=0的直线方程；（Ⅱ）过点P且垂直于直线2x﹣y+7=0的直线方程．【考点】直线的点斜式方程．【专题】计算题．【分析】（Ⅰ）联立两直线的方程即可求出交点P的坐标，求出直线2x﹣y+7=0的斜率为2，所求直线与直线2x﹣y+7=0平行得到斜率相等都为2，根据P的坐标和斜率2写出直线方程即可；（Ⅱ）根据两直线垂直时斜率乘积为﹣1求出所求直线的斜率，根据P和斜率写出直线方程即可．【解答】解：由解得，即点P坐标为P（﹣2，2），直线2x﹣y+7=0的斜率为2（Ⅰ）过点P且平行于直线2x﹣y+7=0的直线方程为y﹣2=2（x+2）即2x﹣y+6=0；（Ⅱ）过点P且垂直于直线2x﹣y+7=0的直线方程为即x+2y﹣2=0．【点评】此题考查学生会利用两直线的方程求两直线的交点坐标，掌握两直线平行及垂直时斜率的关系，会根据一点和斜率写出直线的点斜式方程，是一道综合题．18．如图，三棱柱ABC﹣A1B1C1的侧棱AA1⊥底面ABC，∠ACB=90°，E是棱CC1上中点，F是AB 中点，AC=1，BC=2，AA1=4．（1）求证：CF∥平面AEB1；（2）求三棱锥C﹣AB1E的体积．【考点】直线与平面平行的判定；棱柱、棱锥、棱台的体积．【专题】空间位置关系与距离．【分析】（1）取AB1的中点G，联结EG，FG，由已知条件推导出四边形FGEC是平行四边形，由此能证明CF∥平面AB1E．（2）由=，利用等积法能求出三棱锥C﹣AB1E的体积．【解答】（1）证明：取AB1的中点G，联结EG，FG∵F，G分别是棱AB、AB1的中点，∴又∵∴四边形FGEC是平行四边形，∴CF∥EG，∵CF不包含于平面AB1E，EG⊂平面AB1E，∴CF∥平面AB1E．（2）解：∵AA1⊥底面ABC，∴CC1⊥底面ABC，∴CC1⊥CB，又∠ACB=90°，∴BC⊥AC，∴BC⊥平面ACC1A1，即BC⊥面ACE，∴点B到平面AEB1的距离为BC=2，又∵BB1∥平面ACE，∴B1到平面ACE的距离等于点B到平面ACE的距离，即为2，∴===．【点评】本题考查直线与平面平行的证明，考查三棱锥的体积的求法，解题时要认真审题，注意空间思维能力的培养．19．已知圆C：x2+y2+2x﹣4y+3=0．（1）若圆C的切线在x轴、y轴上的截距相等，求切线方程；（2）从圆C外一点P（x1，y1）向该圆引一条切线，切点为M且有|PM|=|PO|（O为原点），求使|PM|取得最小值时点P的坐标．【考点】直线与圆相交的性质．【专题】综合题；直线与圆．【分析】（1）分类讨论，利用待定系数法给出切线方程，然后再利用圆心到切线的距离等于半径列方程求系数即可；（2）可先利用PM（PM可用P点到圆心的距离与半径来表示）=PO，求出P点的轨迹（求出后是一条直线），然后再将求PM的最小值转化为求直线上的点到原点的距离PO之最小值．【解答】解：（ 1）将圆C配方得（x+1）2+（y﹣2）2=2．①当直线在两坐标轴上的截距为零时，设直线方程为y=kx，由直线与圆相切得=，即k=2±，从而切线方程为y=（2±）x．…②当直线在两坐标轴上的截距不为零时，设直线方程为x+y﹣a=0，由直线与圆相切得x+y+1=0，或x+y﹣3=0．∴所求切线的方程为y=（2±）xx+y+1=0或x+y﹣3=0．…（2）由|PO|=|PM|得，x12+y12=（x1+1）2+（y1﹣2）2﹣2⇒2x1﹣4y1+3=0..…即点P在直线l：2x﹣4y+3=0上，|PM|取最小值时即|OP|取得最小值，直线OP⊥l，∴直线OP的方程为2x+y=0．…解方程组得P点坐标为（﹣，）．…【点评】本题重点考查了直线与圆的位置关系，切线长问题一般会考虑到点到圆心距、切线长、半径满足勾股定理列方程；弦长问题一般会利用垂径定理求解．20．如图，在三棱锥S﹣ABC中，SB⊥底面ABC，且SB=AB=2，BC=，D、E分别是SA、SC的中点．（I）求证：平面ACD⊥平面BCD；（II）求二面角S﹣BD﹣E的平面角的大小．【考点】用空间向量求平面间的夹角；平面与平面垂直的判定．【专题】空间位置关系与距离；空间角．【分析】（Ⅰ）根据面面垂直的判定定理证明AD⊥平面BCD即可证明平面ACD⊥平面BCD．（Ⅱ）建立空间直角坐标系，利用向量法即可求二面角S﹣BD﹣E的余弦值．【解答】证明：（I）∵∠ABC=，∴BA⊥BC，建立如图所示的坐标系，则C（0，，0），A（2，0，0），D（1，0，1），E（0，，1），S（0，0，2），则=（﹣1，0，1），=（0，，0），=（1，0，1），则•=（﹣1，0，1）•（0，，0）=0，•=（﹣1，0，1）•（1，0，1）=﹣1+1=0，则⊥，⊥，即AD⊥BC，AD⊥BD，∵BC∩BD=B，∴AD⊥平面BCD；∵AD⊂平面BCD；∴平面ACD⊥平面BCD；（II）=（0，，1），则设平面BDE的法向量=（x，y，1），则，即，解得x=﹣1，y=，即=（﹣1，，1），又平面SBD的法向量=（0，，0），∴cos＜，＞==，则＜，＞=，即二面角S﹣BD﹣E的平面角的大小为．【点评】本题主要考查空间面面垂直的判定，以及二面角的求解，利用向量法是解决二面角的常用方法．21．如图，直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AC⊥AB，AB=2AA1，M是AB的中点，△A1MC1是等腰三角形，D为CC1的中点，E为BC上一点．（1）若DE∥平面A1MC1，求；（2）求直线BC和平面A1MC1所成角的余弦值．【考点】直线与平面所成的角；直线与平面平行的性质．【专题】空间角．【分析】（1）取BC中点N，连结MN，C1N，由已知得A1，M，N，C1四点共面，由已知条件推导出DE∥C1N，从而求出．（2）连结B1M，由已知条件得四边形ABB1A1为矩形，B1C1与平面A1MC1所成的角为∠B1C1M，由此能求出直线BC和平面A1MC1所成的角的余弦值．【解答】解：（1）取BC中点N，连结MN，C1N，…∵M，N分别为AB，CB中点∴MN∥AC∥A1C1，∴A1，M，N，C1四点共面，…且平面BCC1B1∩平面A1MNC1=C1N，又DE∩平面BCC1B1，且DE∥平面A1MC1，∴DE∥C1N，∵D为CC1的中点，∴E是CN的中点，…∴．…（2）连结B1M，…因为三棱柱ABC﹣A1B1C1为直三棱柱，∴AA1⊥平面ABC，∴AA1⊥AB，即四边形ABB1A1为矩形，且AB=2AA1，∵M是AB的中点，∴B1M⊥A1M，又A1C1⊥平面ABB1A1，∴A1C1⊥B1M，从而B1M⊥平面A1MC1，…∴MC1是B1C1在平面A1MC1内的射影，∴B1C1与平面A1MC1所成的角为∠B1C1M，又B1C1∥BC，∴直线BC和平面A1MC1所成的角即B1C1与平面A1MC1所成的角…设AB=2AA1=2，且三角形A1MC1是等腰三角形∴，则MC1=2，，∴cos=，∴直线BC和平面A1MC1所成的角的余弦值为．…【点评】本题考查两条线段的比值的求法，考查角的余弦值的求法，解题时要认真审题，注意空间思维能力的培养．22．已知⊙C过点P（1，1），且与⊙M：（x+2）2+（y+2）2=r2（r＞0）关于直线x+y+2=0对称．（Ⅰ）求⊙C的方程；（Ⅱ）设Q为⊙C上的一个动点，求的最小值；（Ⅲ）过点P作两条相异直线分别与⊙C相交于A，B，且直线PA和直线PB的倾斜角互补，O 为坐标原点，试判断直线OP和AB是否平行？请说明理由．【考点】圆与圆的位置关系及其判定．【专题】计算题；压轴题．【分析】（Ⅰ）设圆心的坐标，利用对称的特征：①点与对称点连线的中点在对称轴上；②点与对称点连线的斜率与对称轴的斜率之积等于﹣1，求出圆心坐标，又⊙C过点P（1，1），可得半径，从而写出⊙C方程．（Ⅱ）设Q的坐标，用坐标表示两个向量的数量积，化简后再进行三角代换，可得其最小值．（Ⅲ）设出直线PA和直线PB的方程，将它们分别与⊙C的方程联立方程组，并化为关于x的一元二次方程，由x=1一定是该方程的解，可求得A，B的横坐标（用k表示的），化简直线AB的斜率，将此斜率与直线OP的斜率作对比，得出结论．【解答】解：（Ⅰ）设圆心C（a，b），则，解得则圆C的方程为x2+y2=r2，将点P的坐标代入得r2=2，故圆C的方程为x2+y2=2（Ⅱ）设Q（x，y），则x2+y2=2，=x2+y2+x+y﹣4=x+y﹣2，令x=cosθ，y=sinθ，∴=cosθ+sinθ﹣2=2sin（θ+）﹣2，∴（θ+）=2kπ﹣时，2sin（θ+）=﹣2，所以的最小值为﹣2﹣2=﹣4．（Ⅲ）由题意知，直线PA和直线PB的斜率存在，且互为相反数，故可设PA：y﹣1=k（x﹣1），PB：y﹣1=﹣k（x﹣1），由，得（1+k2）x2+2k（1﹣k）x+（1﹣k）2﹣2=0因为点P的横坐标x=1一定是该方程的解，故可得（13分）同理，，所以=k OP ，所以，直线AB和OP一定平行【点评】本题考查圆的标准方程的求法，两个向量的数量积公式的应用，直线与圆的位置关系的应用．。
重庆市杨家坪2024-2025学年高二上学期11月月考数学试题含答案
重庆市杨家坪2024-2025学年高二上学期11月月考数学试题一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.（答案在最后）1.直线0x y m -+=的倾斜角为（）A.π6B.π4 C.π3D.3π4【答案】B 【解析】【分析】将直线的一般式改成斜截式，根据倾斜角和斜率的关系，即可求出结果【详解】根据题意可知直线0x y m -+=可可变形为y x m =+故直线0x y m -+=的斜率为1，设直线0x y m -+=倾斜角为θ，由tan 1θ=可得π4θ=.故选：B2.圆221:(x 2)4C y -+=与圆222:2880C x y x y ++-+=的位置关系为（）A.相交 B.内切 C.外切D.外离【答案】C 【解析】【分析】求出圆心距与两圆半径的和、差比较可得．【详解】由题意圆2C 标准方程为22(1)(4)9x y ++-=，所以12(2,0),(1,4)C C -，半径分别为2，3，12523C C ===+，因此两圆外切，故选：C ．3.已知两条直线：1212:(2)42,:3(3)6,//l t x y t l x t y l l ++=-++=-，则t =（）A.1或6-B.6- C.1- D.1【答案】D 【解析】【分析】根据两直线平行充要条件即可判断，【详解】由题意知12l l //，则23432643t tt t +⎧=⎪⎪+⎨--⎪≠⎪+⎩，解之可得1t =或6t =-（舍）.故选：D4.正四面体ABCD 的棱长为1，点M 为CD 的中点，点O 为AM 的中点，则BO 的长为（）A.114B.1116C.4D.4【答案】A 【解析】【分析】设,,AB a AC b AD c === ，将BO用基底,,AB a AC b AD c === 表达出来，再求向量模即可求解.【详解】设,,AB a AC b AD c ===，因为正四面体ABCD 的棱长为1，由题意可知1cos 2a b a b BAC ⋅=⋅∠=12a cbc ⋅=⋅= ，因为点M 为CD 的中点，点O 为AM 的中点，所以()()111244AO AM AC AD b c ==+=+，1144BO AO AB a b c =-=-++，因为1144BO a b c =-++，所以114BO === .故选：A5.椭圆C 的左、右焦点分别记为12F F 、，过左焦点1F 的直线交椭圆C 于A 、B 两点.若弦长|AB |的最小值为3，且2ABF △的周长为8，则椭圆C 的焦距等于（）A.1 B.2C.D.【答案】B 【解析】【分析】过焦点的弦长最小时，弦所在直线与x 轴（长轴）垂直，此时弦长为22ba，焦点2ABF △（弦AB边另一个焦点）的周长为4a ，由此求得,,a b c ，得结论．【详解】由题意可知223,48,2,3,12b a a bc a ==∴==∴=，焦距等于2故选：B ．6.在棱长为2的正方体1111ABCD A B C D -中，点E ，F 分别为棱1BC DD 、的中点，则点F 到直线AE 的距离为（）A.5B.215C.5D.1055【答案】D 【解析】【分析】以D 为原点，1,,DA DC DD 分别为x y z ，，轴建立如图所示的空间直角坐标系，用空间向量法求点线距．【详解】以D 为原点，1,,DA DC DD 分别为x y z ，，轴建立空间直角坐标系，如图，则(2,0,0)A ,(1,2,0)E ，(0,0,1)F ，(1,2,0)AE =- ，则AE方向的单位向量,(2,0,1)u AF ⎫==-⎪⎭，那么AF u ⋅= ，所以F 到直线AE的距离1055d ===，故选：D ．7.已知直线:10l x y ++=与圆22:(3)(4)1C x y -+-=，点P ，Q 在直线l 上，过点P 作圆C 的切线，切点分别为A ，B ，当PA 取最小值时，则||||QA QB +的最小值为（）A.31 B.2C.231D.233【答案】C 【解析】【分析】由切线长公式知当CP l ⊥时，PA 最小，结合点到直线距离公式求得PA PB =的最小值，然后作A 关于直线l 的对称点A '，可知当Q 点为直线A B '与l 的交点时，||||QA QB +最小，由对称知此时Q 与P 重合，从而易得最小值．【详解】2221PA CP CA CP =-=-CP l ⊥时，PA 最小，由点到直线的距离公式可得此时3412,2CP ++==||||PA PB ∴=2131PC =-=，过A 作直线l 的对称点A '，再连接A B '，A B '与直线l 的交点即为所找的Q 点，由于,PB PA 关于直线PC 对称，PC l ⊥，PA '与PA 关于直线l 对称，因此PA '与PB 就是同一条直线，即Q 点就是P 点，所以||||QA QB +的最小值等于231A B PB ='=，故选：C ．8.已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的焦点为12F F 、，直线3y x =与椭圆C 交于M 、N ，若110F M F N ⋅= ，则椭圆C 的离心率为（）A.31 B.31+ C.23D.312+【答案】A 【解析】【分析】由椭圆对称性知，原点O 为MN 的中点，进而可求得12OM OF OF c ===，由直线斜率可求得11230OMF MF F ︒∠=∠=，根据椭圆定义即可求出椭圆的离心率.【详解】由椭圆对称性知，原点O 为MN 的中点，因为110F M F N ⋅= ，所以190N MF ︒∠=，所以12OM OF OF c ===，则12MF MF ⊥，又直线MN 的倾斜角为60︒，260OMF ︒∠=，所以11230OMF MF F ︒∠=∠=则21,3MF c MF c ==，又122MF MF a +=，所以32c c a +=，所以3131c e a ==+.故选：A二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9.已知椭圆22:12516y x C +=，则椭圆C 的（）A.焦点在x 轴上B.长轴长为10C.短轴长为4D.离心率为35【答案】BD 【解析】【分析】求出椭圆C 的a 、b 、c 的值，结合椭圆的几何性质逐项判断即可.【详解】在椭圆22:12516y x C +=中，5a =，4b =，3c ===，对于A 选项，椭圆C 的焦点在y 轴上，A 错；对于B 选项，椭圆C 的长轴长为10，B 对；对于C 选项，椭圆C 的短轴长为8，C 错；对于D 选项，椭圆C 的离心率为35c e a ==，D 对.故选：BD.10.下列命题正确的有（）A.已知向量(2,1,3),(4,2,)a b t =-=-的夹角为钝角，则实数t 的取值范围为10,3⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭B.向量(2,1,2)a =--r在向量(1,2,1)b =-C.O 为空间任意一点，若1148AP OA OB tOC =-++ ，若A B C P ，，，四点共面，则18t =D.设直线l 的方程为)cos 30R (x y θθ++=∈，则直线l 的倾斜角α的取值范围是π3π,44⎡⎤⎢⎥⎣⎦【答案】BCD 【解析】【分析】由特殊情况判断A ，根据投影向量的求法判断B ，由空间四点共面的性质判断C ，根据直线斜率与倾斜角的关系判断D.【详解】对A ，当(4,2,)(2,1,3)b t ka k =-==-时，可得6t =-，此时2k =-，向量夹角为180︒，不符合题意，但106,3⎛⎫-∈-∞ ⎪⎝⎭，故A 错误；对B ，向量(2,1,2)a =--r在向量(1,2,1)b =-上的投影向量为a b b b b →→→→→⋅⋅，所以投影向量的模为2a b b b→→→→⋅⋅==，故B 正确；对C ，1148AP OA OB tOC =-++，可得3148OP OA OB tOC =++ ，若A B C P ，，，四点共面，则31148t ++=，解得18t =，故C 正确；对D ，由)cos 30R (x y θθ++=∈，当cos 0θ=时，直线方程为30x +=，倾斜角π2α=，当cos 0θ≠时，可得斜率1tan cos k αθ=-=，由1cos 0θ-≤<或0cos 1θ<≤，可得1tan α≤或tan 1α≤-，由0πα≤<，可得ππ42α≤<或π3π24<≤α，综上，可知π3π,44α⎡⎤∈⎢⎣⎦，故D 正确.故选：BCD11.已知点(,)P x y 在圆222440x y x y +-++=上运动，则（）A.2xy -的取值范围是[5+B.x y 的最小值是34-C.22421x y x y +--+3-D.若直线:6850l x y ++=，则满足(,)P x y 到直线l 的距离为12的点有3个【答案】AD 【解析】【分析】利用点到直线的距离公式列式求解判断AB ；利用两点间的距离求出最大值判断C ；求出圆心到直线距离判断D.【详解】圆22(1)(2)1x y -++=的圆心(1,2)C -，半径1r =，对于A ，令2x y d -=，由直线20x y d --=与圆C有公共点，1≤，解得55d -≤≤+，A 正确；对于B ，令x k y =，由直线0x ky -=与圆C1≤，解得403k -≤≤，B 错误；对于C ，2222421(2)(1)3x y x y x y +--+=-+--表示圆C 上的点P 与定点(2,1)M 距离的平方与3的差，而max ||||11PM CM =+=，则22421x y x y +--+的最大值为21)3-，C 错误；对于D ，点(1,2)C -到直线:6850l x y ++=的距离为12=，因此直线l 与圆C 相交，且经过圆C 的一条半径的中点，则P 到直线l 的距离为12的点有3个，D 正确.故选：AD三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.直线1:230l x y -+=关于点(1,2)对称的直线方程为______.【答案】230x y --=【解析】【分析】设直线1l 关于点(1,2)对称的直线任一点为(),m n ，根据点对称代入即可求解.【详解】设直线1l 上任一点1,1关于点(1,2)对称的直线任一点为(),m n ，可得111222x my n +⎧=⎪⎪⎨+⎪=⎪⎩，解之可得112,4x m y n =-=-，所以()2,4m n --在直线1l 上，代入即可得()()22430m n ---+=，化简的230m n --=，即230x y --=.故答案为：230x y --=13.直线:20l x y m -+=被圆22(1)(2)8x y ++-=截得的弦长为m =______________.【答案】0或10【解析】【分析】求出圆心到直线的距离后用勾股定理求得弦长，从而可得参数值．【详解】由题意圆心(1,2)C -到直线l 的距离为d ==，圆半径为弦长为=，解得0m =或10m =，故答案为：0或10.14.已知棱长为2的正方体1111ABCD A B C D -内有一内切球O ，点P 在球O 的表面上运动，则PA PC ⋅的取值范围为______________.【答案】[2,2]-【解析】【分析】建立空间直角坐标系，设(,,)P x y z ，即可表示出222(1)(1)2PA PC x y z ⋅=-+-+-，结合图象及球的性质求出PA PC ⋅的取值范围.【详解】以点D 为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系，则(2,0,0),(0,2,0)A C ，设点(,,)P x y z ，所以(2,,)PA x y z =--- ，(,2,)PC x y z =---，所以2(2)(2)PA PC x x y y z ⋅=----+22222222(1)(1)2x x y y z x y z =-+-+=-+-+-，因为222(1)(1)x y z -+-+表示点(,,)P x y z 与点(1,1,0)M 之间距离的平方，所以当点P 的坐标为(1,1,2)P 时，PA PC ⋅取得最大值为2222-=，当P 与点(1,1,0)M 重合时，PA PC ⋅ 取得最小值−2，所以PA PC ⋅的取值范围为[2,2]-.故答案为：[2,2]-四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15.已知直线12:10,:250l x y l x y -+=++=.（1）求过直线1l 与2l 的交点，且与直线3:2310l x y --=垂直的直线l 的方程；（2）求过点(0,0),(2,4)，且圆心在直线1l 上的圆C 的方程.【答案】（1）3280x y ++=（2）22240x y x y +--=【解析】【分析】（1）先求出交点坐标，由平行得直线斜率，由点斜式得直线方程并整理；（2）设出圆的一般方程，代入已知条件列方程组求解．【小问1详解】由10250x y x y -+=⎧⎨++=⎩解得，21x y =-⎧⎨=-⎩，即直线1l 与2l 的交点为(2,1)--，直线3:2310l x y --=的斜率为2,3∴直线l 的斜率32k =-，∴直线l 的方程为31(2)2y x +=-+，即：3280x y ++=.【小问2详解】设圆C 的方程为220x y Dx Ey F ++++=，则由题意有020*******F D E F D E⎧⎪=⎪+++=⎨⎪⎪-++=⎩，解得，24,0 D E F =-⎧⎪=-⎨⎪=⎩，所以，圆C 的方程为22240x y x y +--=.16.已知直线:2(1)310()l mx m y m m +++-=∈R ，椭圆22:142x y C +=.（1）求证：对于任意实数m ，直线l 过定点P ，并求出点P 坐标；（2）当1m =时，求直线l 被椭圆C 截得的弦长.【答案】（1）证明见解析，(2,1)P -（2）3【解析】【分析】（1）整理直线方程，建立方程组，可得答案；（2）联立直线方程与椭圆方程，写出韦达定理，利用弦长公式，可得答案.【小问1详解】因为2(1)310mx m y m +++-=，整理可得()2310x y m y +++-=，由23010x y y ++=⎧⎨-=⎩，解得21x y =-⎧⎨=⎩，此时，不管m 取何值，2(1)310mx m y m +++-=必成立.所以直线l 必过定点(2,1)P -.【小问2详解】当1m =时，直线l 的方程为10x y ++=，设直线l 与椭圆C 的交点为()()1122,,,A x y B x y ，由2210142x y x y ++=⎧⎪⎨+=⎪⎩，消去y 得：23420x x +-=，2443(2)400∆=-⨯⨯-=>，121242,33x x x x +=-=-，||AB ∴=3==.17.如图，正方形ABCD 与正三角形BCE 的边长均为2，平面BCE ⊥平面,ABCD FD ⊥平面ABCD，且FD =.（1）求证：//EF 平面ABCD ；（2）求平面ABF 与平面EBF 夹角的余弦值.【答案】（1）证明见解析（2）133【解析】【分析】（1）过点E 作EH BC ⊥于H ，连接HD ，先证明四边形EHDF 为平行四边形，从而可得EH HD ，利用直线与平面平面的判定定理证明即可；（2）建立空间直角坐标系，利用平面ABF 与平面EBF 夹角的余弦值的向量公式求解即可.【小问1详解】如图，过点E 作EH BC ⊥于H ，连接HD .正三角形BCE 的边长为2,EH ∴= 平面BCE ⊥平面ABCD ，EH ⊂平面BCE ，平面BCE 平面ABCD BCEH =⇒⊥平面ABCD ，又FD ⊥ 平面,,ABCD FD FD EH FD EH =∴= ，∴四边形EHDF 为平行四边形.EH HD ∴ ，EF ⊂/ 平面,ABCD HD ⊂平面,//ABCD EF ∴平面ABCD.【小问2详解】FD ⊥ 平面ABCD ，且ABCD 为正方形，∴以点D 坐标为原点，DC DA DF 、、所在的直线分别为x 轴、y 轴、z 轴建立空间直角坐标系D xyz -如图.则(0,2,0),(2,2,0),A B F E ，(2,(2,0,0),(0,BF BA BE =--=-=- .设平面ABF 的法向量为()111,,m x y z =r ，由00m BF m BA ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，得111122020x y x ⎧--+=⎪⎨-=⎪⎩ ，令1y =，则12z =，所以平面ABF的法向量m = .设平面EBF 的法向量为()222,,n x y z =r，由00n BF n BE ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，得222222200x y y ⎧--+=⎪⎨-+=⎪⎩ ，令2y =222x z ==，所以平面EBF 的法向量()2n = .设平面ABF 与平面EBF 的夹角为θ，则10133cos cos ,133m n m n m n θ⋅==== .所以平面ABF 与平面EBF 夹角的余弦值为10133133.18.如图1，在边长为4的菱形ABCD 中，60DAB ︒∠=，点M ，N 分别是边BC ，CD 的中点，AC ⋂1,BD O AC MN G =⋂=.沿MN 将CMN 翻折到PMN 的位置，连接PA ，PB ，PD ，得到如图2所示的五棱锥P ABMND -.（1）在翻转过程中是否总有平面PBD ⊥平面PAG ？证明你的结论；（2）设点E 为线段PA 的中点，点Q 在线段BE 上，且(01)BQ BE λλ=<< ，当四棱锥-P MNDB 的体积最大时，是否存在满足条件的实数λ，使直线MQ 与平面PAB 所成角的正弦值的最大值.若存在，求出λ的值；若不存在，请说明理由.【答案】（1）是，证明见解析（2）存在，111λ=【解析】【分析】（1）由菱形易得BD AG ⊥,再证BD PG ⊥,即可得BD ⊥平面PAG ，从而有平面PBD ⊥平面PAG .（2）四棱锥P MNDB -的体积最大，则点P 到平面MNDB 的距离最大.通过建立空间直角坐标系，求出平面PAB 的法向量，表示出MQ ，将直线MQ 与平面PAB 所成角为θ的正弦sin θ表示成λ的函数再求最大值及λ的值.【小问1详解】在翻转过程中总有平面PBD ⊥平面PAG .证明如下：点M ，N 分别是边BC ，CD 的中点，∴//BD MN又菱形ABCD 中，60DAB ︒∠=，∴PMN 是等边三角形，∴G 是MN 的中点，∴MN PG ⊥.∴BD PG⊥∵在菱形ABCD 中，BD AC ⊥，即BD AG⊥,AG PG G = ,AG PG ⊂平面PAG ，∴BD ⊥平面PAG ，BD ⊂Q 平面PBD ，∴平面PBD ⊥平面PAG .【小问2详解】由题意知，四边形MNDB 为等腰梯形，且14,2,DB MN O G ===，所以等腰梯形MNDB 的面积(24)2S +⨯==要使得四棱锥P MNDB -的体积最大，只要点P 到平面MNDB 的距离最大即可.以点G 为坐标原点，GA 、GM 、GP 所在的直线分别为x 轴、y 轴、z 轴建立空间直角坐标系G xyz -如图.则(0,1,0)A P B M ，点E 为线段PA的中点，,0,22E ⎛⎫∴ ⎪ ⎪⎝⎭，设(01)BQ BE λλ=≤≤，则,22,22Q λλλ⎫+-⎪⎪⎭，((AB AP =-=- ，设平面PAB 的法向量为(,,)n x y z =，由00n AB n AP ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，得200y ⎧-+=⎪⎨-+=⎪⎩，令1x =，则3y z ==，所以平面PAB的法向量n = .又,12,22MQ λλλ⎫=+-⎪⎪⎭，设直线MQ 与平面PAB 所成角为θ，则sin cos ,MQ n MQ n MQ n θ⋅=〈〉== 当且仅当111λ=时，sin θ取得最大值.19.古希腊数学家阿波罗尼斯的著作《圆锥曲线论》中给出圆的另一种定义：平面内，到两个定点的距离之比值为常数(0,1)λλλ>≠的点的轨迹是圆，我们称之为阿波罗尼斯圆.已知点P 到(0,2)A -的距离是点P 到(0,1)B 的距离的2倍.（1）求点P 的轨迹Ω的方程；（2）过点B 作直线1l ，交轨迹Ω于P ，Q 两点，P ，Q 不在y 轴上.（i ）过点B 作与直线1l 垂直的直线2l ，交轨迹Ω于E ，F 两点，记四边形EPFQ 的面积为S ，求S 的最大值；（ii ）设轨迹Ω与y 轴正半轴的交点为C ，直线OP ，CQ 相交于点N ，试证明点N 在定直线上，求出该直线方程.【答案】（1）22(2)4x y +-=（2）（i ）7（ii ）证明见解析，2y =-【解析】【分析】（1）设(,)P x y ，根据两点距离公式建立方程，整理即可求解；（2）易知直线1l 的斜率k 存在，设直线1l 方程为1y kx =+，利用点到直线的距离公式和几何法求弦长表示||PQ .（i ）结合点线距公式、基本不等式和三角形面积公式，分类讨论当0k =、0k ≠时S 的取值范围即可；（ii ）设1,1，2,2，直线1l 方程联立圆方程，利用韦达定理表示1212,x x x x +，同时表示OP 和CQ 的方程，求出交点N 的坐标即可证明.【小问1详解】设点(,)P x y ，由题意可得||2||PA PB =，=，化简得22(2)4x y +-=，所以点P 的轨迹Ω的方程为22(2)4x y +-=.【小问2详解】由题易知直线1l 的斜率k 存在，设直线1l 的方程为1y kx =+，即10kx y -+=，则圆心(0,2)到直线1l 的距离1d ==，所以||PQ ==，（i ）若0k =，则直线2l 的斜率不存在，易得||PQ =||4EF =，则1||||2S EF PQ =⋅=若0k ≠，则直线2l 的方程为11y x k =-+，即0x ky k +-=，则圆心(0,2)到直线2l的距离2d =，所以||EF ==，则12S EF PQ =⋅==7==≤=，当且仅当221k k=即1k =±时，取等号，综上所述，因为7=>S 的最大值为7.（ii ）(0,4)C ，设1,1，2,2，联立()2224,1,x y y kx ⎧+-=⎪⎨=+⎪⎩消y 得()221230k x kx +--=，则12221k x x k +=+，12231x x k -=+，所以直线OP 的方程为11y y x x =，直线CQ 的方程为2244y y x x -=+，联立1122,44,y y x x y y x x ⎧=⎪⎪⎨-⎪=+⎪⎩解得121243x x x x x =+，则()1211212122121121212121241444462233333kx x y x x y x kx x x x x y x x x x x x x x x x x ++--=⋅===-+++++，所以12124,23x x N x x ⎛⎫-⎪+⎝⎭，所以点N 在定直线2y =-上.【点睛】方法点睛：求定点、定值问题常见的方法有两种：（1）从特殊入手，求出定点（值），再证明这个点（值）与变量无关．（2）直接推理、计算，并在计算推理的过程中消去变量，从而得到定点（值）．。
重庆市杨家坪中学2015-2016学年高二下学期第一次月考数学试卷(文科)Word版含解析
2015-2016学年重庆市杨家坪中学高二（下）第一次月考数学试卷（文科）一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分．）1．设集合A={﹣1，0，1，2}，B={x|x2＞x}，则集合A∩B=（）A．{﹣1，0，1}B．{﹣1，2} C．{0，1，2}D．{﹣1，1，2}2．复数=（）A．﹣﹣i B． +i C．﹣+i D．﹣i3．演绎推理“因为对数函数y=log a x（a＞0且a≠1）是增函数，而函数是对数函数，所以是增函数”所得结论错误的原因是（）A．大前提错误B．小前提错误C．推理形式错误 D．大前提和小前提都错误4．如图所示，某人拨通了电话，准备手机充值须如下操作（）A．1﹣5﹣1﹣1 B．1﹣5﹣1﹣5 C．1﹣5﹣2﹣1 D．1﹣5﹣2﹣35．命题“∀x∈[1，2]，x2﹣a≤0”为真命题的一个充分不必要条件是（）A．a≥4 B．a≤4 C．a≥5 D．a≤56．函数f（x）=3x﹣4x3，x∈[0，1]的最小值是（）A．1 B．1.5 C．0 D．﹣17．下列三个命题中真命题的个数是（）（1）命题“∀x∈R，sinx≤1”的否定是“∃x∈R，sinx＞1”（2）“若am2＜bm2，则a＜b”的逆命题为真命题（3）命题p：∀x∈[1，+∞），lgx≥0，命题q：∃x∈R，x2+x+1＜0，则p∨q为真命题．A．0 B．1 C．2 D．38．下表为某班5位同学身高x（单位：cm）与体重y（单位kg）的数据，若两个量间的回归a9．若曲线（t为参数）与曲线ρ=2相交于B，C两点，则|BC|的值为（）A．2B． C．7D．10．给出命题：若a，b是正常数，且a≠b，x，y∈（0，+∞），则（当且仅当时等号成立）．根据上面命题，可以得到函数f（x）=﹣5（）的最小值及取最小值时的x值分别为（）A．5+6，B．5+6，C．20，D．20，11．已知函数f（x）在R上可导，其导函数为f′（x），且函数F（x）=（1﹣x）f′（x）的图象如图所示，零点分别为﹣1，1，2，则f（﹣1），f（1），f（2）的大小关系正确的是（）A．f（﹣1）=f（1）=f（2）B．f（﹣1）＜f（1）＜f（2）C．f（﹣1）＞f（1）＞f（2）D．f（﹣1）＜f（2）＜f（1）12．已知函数f（x）满足f（x）=f（）且当x∈[，1]时，f（x）=lnx，若当x∈[]时，函数g（x）=f（x）﹣ax与x轴有交点，则实数a的取值范围是（）A．[﹣，0] B．[﹣πlnπ，0]C．[﹣，]D．[﹣，﹣]二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共25分.）13．设复数z满足i（z+1）=﹣3+2i（i是虚数单位），则z的虚部是．14．按流程图的程序计算，若开始输入的值为x=3，则输出的x的值是15．已知f1（x）=sin x+cos x，f n（x）是f n（x）的导函数，即f2（x）=f1′（x），f3（x）=f2′+1（x）=f n′（x），n∈N*，则f2014（x）=．（x），…，f n+116．古希腊数学家把1，3，6，10，15，21…叫做三角数，它有一定的规律性，则第30个三角数减去第28个三角数的值为．三、解答题（本大题共6小题，共75分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.）17．复数z=（1﹣i）a2﹣3a+2+i（a∈R），（1）若z=，求|z|；（2）若在复平面内复数z对应的点在第一象限，求a的范围．18．在某校对30名女生与80名男生进行是否有懒惰习惯进行调查，发现女生中有15人有懒惰习惯，男生中有50人有懒惰习惯．（2）能否判断懒惰是否与性别有关．（参考公式：k=）19．已知函数f（x）=lnx﹣ax2﹣2x+1，a∈R（Ⅰ）若f（x）在x=2处的切线与直线2x+y=0垂直，求a的值；（Ⅱ）若f（x）存在单调递减区间，求a的取值范围．20．已知：正方体ABCD﹣A1B1C1D1，AA1=2，E为棱CC1的中点．（Ⅰ）求证：AC∥平面B1DE；（Ⅱ）求三棱锥A﹣BDE的体积．21．在直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为（t为参数）若以O点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，则曲线C的极坐标方程为ρ=4cos θ．（1）求曲线C的直角坐标方程及直线l的普通方程；（2）将曲线C上各点的横坐标缩短为原来的，再将所得曲线向左平移1个单位，得到曲线C1，求曲线C1上的点到直线l的距离的最小值．22．已知函数f（x）=ax3+bx2+cx+d为奇函数，且在x=﹣1处取得极大值2．（Ⅰ）求f（x）解析式；（Ⅱ）过点A（1，t）（t≠﹣2）可作函数f（x）象的三条切线，求实数t的取值范围；（Ⅲ）若f（x）+（m+2）x≤x2（e x﹣1）对于任意的x∈[0，+∞）恒成立，求实数m取值范围．2015-2016学年重庆市杨家坪中学高二（下）第一次月考数学试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分．）1．设集合A={﹣1，0，1，2}，B={x|x2＞x}，则集合A∩B=（）A．{﹣1，0，1}B．{﹣1，2} C．{0，1，2}D．{﹣1，1，2}【考点】交集及其运算．【分析】根据集合的基本运算即可得到结论．【解答】解：B={x|x2＞x}={x|x＞1或x＜0}，则A∩B={2，﹣1}，故选：B2．复数=（）A．﹣﹣i B． +i C．﹣+i D．﹣i【考点】复数代数形式的乘除运算．【分析】利用复数的运算法则、共轭复数的定义即可得出．【解答】解：复数===．故选：C．3．演绎推理“因为对数函数y=log a x（a＞0且a≠1）是增函数，而函数是对数函数，所以是增函数”所得结论错误的原因是（）A．大前提错误B．小前提错误C．推理形式错误 D．大前提和小前提都错误【考点】演绎推理的基本方法．【分析】对于对数函数来说，底数的范围不同，则函数的增减性不同，当a＞1时，函数是一个增函数，当0＜a＜1时，对数函数是一个减函数，对数函数y=log a x（a＞0且a≠1）是增函数这个大前提是错误的．【解答】解：∵当a＞1时，函数y=log a x（a＞0且a≠1）是一个增函数，当0＜a＜1时，此函数是一个减函数∴y=log a x（a＞0且a≠1）是增函数这个大前提是错误的，从而导致结论错．故选A．4．如图所示，某人拨通了电话，准备手机充值须如下操作（）A．1﹣5﹣1﹣1 B．1﹣5﹣1﹣5 C．1﹣5﹣2﹣1 D．1﹣5﹣2﹣3【考点】绘制简单实际问题的流程图．【分析】根据已知的流程图，我们可以分析出准备手机充值须进行的操作，按先后顺序排列按键，可得答案【解答】解：准备手机充值须如下操作：①注册客户服务1②代缴费用5③手机充值缴费2④手机充值费1即1﹣5﹣2﹣1故选C5．命题“∀x∈[1，2]，x2﹣a≤0”为真命题的一个充分不必要条件是（）A．a≥4 B．a≤4 C．a≥5 D．a≤5【考点】命题的真假判断与应用．【分析】本题先要找出命题为真命题的充要条件{a|a≥4}，从集合的角度充分不必要条件应为{a|a≥4}的真子集，由选择项不难得出答案．【解答】解：命题“∀x∈[1，2]，x2﹣a≤0”为真命题，可化为∀x∈[1，2]，a≥x2，恒成立即只需a≥（x2）max=4，即“∀x∈[1，2]，x2﹣a≤0”为真命题的充要条件为a≥4，而要找的一个充分不必要条件即为集合{a|a≥4}的真子集，由选择项可知C符合题意．故选C6．函数f（x）=3x﹣4x3，x∈[0，1]的最小值是（）A．1 B．1.5 C．0 D．﹣1【考点】利用导数求闭区间上函数的最值．【分析】由f（x）=3x﹣4x3，知f′（x）=3﹣12x2，令f′（x）=3﹣12x2=0，得x=±．由此能求出函数f（x）=3x﹣4x3，x∈[0，1]的最小值．【解答】解：∵f（x）=3x﹣4x3，∴f′（x）=3﹣12x2，令f′（x）=3﹣12x2=0，得x=±．∵，∴x=﹣（舍）．∵f（0）=0，f（）==1，f（1）=3﹣4=﹣1．∴函数f（x）=3x﹣4x3，x∈[0，1]的最小值是﹣1．故选D．7．下列三个命题中真命题的个数是（）（1）命题“∀x∈R，sinx≤1”的否定是“∃x∈R，sinx＞1”（2）“若am2＜bm2，则a＜b”的逆命题为真命题（3）命题p：∀x∈[1，+∞），lgx≥0，命题q：∃x∈R，x2+x+1＜0，则p∨q为真命题．A．0 B．1 C．2 D．3【考点】命题的真假判断与应用．【分析】利用命题的真假判断（1）的正误；写出逆命题，判断真假即可判断（2）的正误；复合命题的真假判断（3）的正误．【解答】解：对于（1）满足命题的否定形式，所以（1）是真命题；对于（2）若am2＜bm2，则a＜b”的逆命题：若a＜b，则am2＜bm2，m=0时不成立，所以（2）是假命题；对于（3）命题p：∀x∈[1，+∞），lgx≥0，正确，命题q：∃x∈R，x2+x+1＜0错误，因为x2+x+1=（x+）2+＞0恒成立，p∨q为真，故（3）是真命题．故选：C．8．下表为某班5位同学身高x（单位：cm）与体重y（单位kg）的数据，若两个量间的回归a【考点】线性回归方程．【分析】首先做出这组数据的横标和纵标的平均数，写出这组数据的样本中心点，根据所给的线性回归方程，把样本中心点代入求出字母系数的值．【解答】解：∵=169=75，∴这组数据的样本中心点是∵两个量间的回归直线方程为，∴75=1.16×169+a∴a=﹣121.04故选A．9．若曲线（t为参数）与曲线ρ=2相交于B，C两点，则|BC|的值为（）A．2B． C．7D．【考点】参数方程化成普通方程．【分析】根据极坐标和直角坐标的互化公式，参数方程与普通方程的互化方法，即可得出结论．【解答】解：曲线（t为参数），化为普通方程y=1﹣x，曲线ρ=2的直角坐标为x2+y2=8，y=1﹣x代入x2+y2=8，可得2x2﹣2x﹣7=0，∴|BC|=•=．故选：D．10．给出命题：若a，b是正常数，且a≠b，x，y∈（0，+∞），则（当且仅当时等号成立）．根据上面命题，可以得到函数f（x）=﹣5（）的最小值及取最小值时的x值分别为（）A．5+6，B．5+6，C．20，D．20，【考点】函数的最值及其几何意义．【分析】依据题设中的条件的形式，将条件修改为f（x）=+﹣5形式，根据条件进行求解即可．【解答】解：依题意可知﹣5=+﹣5=+﹣5≥﹣5=25﹣5=20，当且仅当=时，即x=时上式取等号，最小值为20，故选：C11．已知函数f（x）在R上可导，其导函数为f′（x），且函数F（x）=（1﹣x）f′（x）的图象如图所示，零点分别为﹣1，1，2，则f（﹣1），f（1），f（2）的大小关系正确的是（）A．f（﹣1）=f（1）=f（2）B．f（﹣1）＜f（1）＜f（2）C．f（﹣1）＞f（1）＞f（2）D．f（﹣1）＜f（2）＜f（1）【考点】导数的运算；函数的图象．【分析】由图象进行分类讨论，判断函数f（x）的单调区间，再判断出函数的极值点，继而得到答案．【解答】解：当x＜﹣1时，f'（x）＜0，f（x）递减，当﹣1＜x＜1时，f'（x）＞0，f（x）递增，当1＜x＜2时，f'（x）＞0，f（x）递增，当x＞2时，f'（x）＜0，f（x）递减，故当=﹣1时，函数f（x）有极小值，故当=﹣2时，函数f（x）有极大值，故所以f（﹣1）＜f（1）＜f（2），故选：B12．已知函数f（x）满足f（x）=f（）且当x∈[，1]时，f（x）=lnx，若当x∈[]时，函数g（x）=f（x）﹣ax与x轴有交点，则实数a的取值范围是（）A．[﹣，0] B．[﹣πlnπ，0]C．[﹣，]D．[﹣，﹣]【考点】抽象函数及其应用．【分析】由题意先求出设x∈[1，π]上的解析式，再用分段函数表示出函数f（x），根据对数函数的图象画出函数f（x）的图象，根据图象求出函数g（x）=f（x）﹣ax与x轴有交点时实数a的取值范围．【解答】解：设x∈[1，π]，则∈[，1]，因为f（x）=f（）且当x∈[，1]时，f（x）=lnx，所以f（x）=f（）=ln=﹣lnx，则f（x）=，在坐标系中画出函数f（x）的图象如图：因为函数g（x）=f（x）﹣ax与x轴有交点，所以直线y=ax与函数f（x）的图象有交点，由图得，直线y=ax与y=f（x）的图象相交于点（，﹣lnπ），即有﹣lnπ=，解得a=﹣πlnπ．由图象可得，实数a的取值范围是：[﹣πlnπ，0]故选：B．二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共25分.）13．设复数z满足i（z+1）=﹣3+2i（i是虚数单位），则z的虚部是3．【考点】复数代数形式的乘除运算．【分析】把给出的等式两边同时乘以i﹣1，然后直接利用复数的除法运算化简，从而得到复数z的虚部．【解答】解：由i（z+1）=﹣3+2i，得z===1+3i．∴复数z的虚部为3．故答案为：3．14．按流程图的程序计算，若开始输入的值为x=3，则输出的x的值是231【考点】程序框图．【分析】根据程序可知，输入x，计算出的值，若≤100，然后再把作为x，输入，再计算的值，直到＞100，再输出x的值即可．【解答】解：∵x=3，∴=6，∵6＜100，∴当x=6时，=21＜100，∴当x=21时，=231＞100，停止循环则最后输出的结果是231，故答案为：231．15．已知f1（x）=sin x+cos x，f n（x）是f n（x）的导函数，即f2（x）=f1′（x），f3（x）=f2′+1（x）=f n′（x），n∈N*，则f2014（x）=cosx﹣sinx．（x），…，f n+1【考点】导数的运算．【分析】由题意求导，可知周期性变化，从而解得．【解答】解：∵f1（x）=sin x+cos x，∴f2（x）=（sin x+cos x）′=cosx﹣sinx，∴f3（x）=﹣sin x﹣cos x，∴f4（x）=sin x﹣cos x，∴f5（x）=sin x+cos x；（x）故f2014（x）=f2012+2=f2（x）=cosx﹣sinx，故答案为：cosx﹣sinx．16．古希腊数学家把1，3，6，10，15，21…叫做三角数，它有一定的规律性，则第30个三角数减去第28个三角数的值为59．【考点】数列的应用．【分析】观察图中点数，可知每一项中后一项比前一项多的点数为后一项最底层的点数，而第29项比第28项多29个，根据以上两项即可求出第30个三角数比第28个三角数多的点数，从而总结出规律求解．【解答】解：观察图中各项的点数，可知三角数的每一项中后一项比前一项多的点数为后一项最底层的点数，因而可知第30项比第29个项点数多30个，而第29项比第28项多29个，故可求出第30个三角数比第28个三角数多的点数59个．故答案为：59．三、解答题（本大题共6小题，共75分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.）17．复数z=（1﹣i）a2﹣3a+2+i（a∈R），（1）若z=，求|z|；（2）若在复平面内复数z对应的点在第一象限，求a的范围．【考点】复数求模；复数的基本概念．【分析】（1）根据z=，确定方程即可求|z|；（2）利用复数的几何意义，即可得到结论．【解答】解z=（1﹣i）a2﹣3a+2+i=a2﹣3a+2+（1﹣a2）i，（1）由知，1﹣a2=0，故a=±1．当a=1时，z=0；当a=﹣1时，z=6．（2）由已知得，复数的实部和虚部皆大于0，即，即，所以﹣1＜a＜1．18．在某校对30名女生与80名男生进行是否有懒惰习惯进行调查，发现女生中有15人有懒惰习惯，男生中有50人有懒惰习惯．122（2）能否判断懒惰是否与性别有关．（参考公式：k=）【分析】（1）某校对30名女生与80名男生进行是否有懒惰习惯进行调查，发现女生中有15人有懒惰习惯，男生中有50人有懒惰习惯，即可得到列联表；（2）利用公式求得K2，与临界值比较，即可得到结论．122（2）由列联表的数据可得：，∴没有充分的证据显示，懒惰与性别有关．19．已知函数f（x）=lnx﹣ax2﹣2x+1，a∈R（Ⅰ）若f（x）在x=2处的切线与直线2x+y=0垂直，求a的值；（Ⅱ）若f（x）存在单调递减区间，求a的取值范围．【考点】利用导数研究函数的单调性；利用导数研究曲线上某点切线方程．【分析】（Ⅰ）求函数的导数，根据导数的几何意义，建立条件故选即可求出a的值；（Ⅱ）根据函数单调性和导数之间的故选即可求出a的取值范围．【解答】解：（Ⅰ）直线2x+y=0的斜率k=﹣2，若f（x）在x=2处的切线与直线2x+y=0垂直，则f′（2）=，∵f（x）=lnx﹣ax2﹣2x+1，∴f′（x）=﹣ax﹣2，则f′（2）=﹣2a﹣2=，解得a=﹣1；（Ⅱ）若f（x）存在单调递减区间，即f′（x）=﹣ax﹣2＜0在（0，+∞）上有解，即﹣2＜ax，则a＞，设g（x）=，则g（x）=（）2﹣2•=（﹣1）2﹣1≥﹣1，则a＞﹣1．20．已知：正方体ABCD﹣A1B1C1D1，AA1=2，E为棱CC1的中点．（Ⅰ）求证：AC∥平面B1DE；（Ⅱ）求三棱锥A﹣BDE的体积．【考点】直线与平面平行的判定；棱柱、棱锥、棱台的体积．【分析】（1）作BB1的中点F，连接AF、CF、EF，由三角形中位线定理，我们易证明AF∥ED，CF∥B1E．结合面面垂直的判定定理可得平面ACF∥面B1DE，再由面面平行的性质得到AC∥平面B1DE；（Ⅱ）由（1）的结论，由三棱锥的几何特征，我们可得三棱锥A﹣BDE的体积，计算出底面面积及棱锥的高，代入体积公式即可得到答案．【解答】解：（Ⅰ）证明：作BB1的中点F，连接AF、CF、EF．∵E、F是CC1、BB1的中点，∴CE∥B1F，且CE=B1F，∴四边形B1FCE是平行四边形，∴CF∥B1E．∵E，F是CC1、BB1的中点，∴，又，∴．∴四边形ADEF是平行四边形，∴AF∥ED，∵AF∩CF=F，B1E∩ED=E，∴平面ACF∥面B1DE．又AC⊂平面ACF，∴AC∥面B1DE．（Ⅱ）．．21．在直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为（t为参数）若以O点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，则曲线C的极坐标方程为ρ=4cos θ．（1）求曲线C的直角坐标方程及直线l的普通方程；（2）将曲线C上各点的横坐标缩短为原来的，再将所得曲线向左平移1个单位，得到曲线C1，求曲线C1上的点到直线l的距离的最小值．【考点】直线的参数方程；简单曲线的极坐标方程．【分析】（1）利用直角坐标与极坐标间的关系：ρcosθ=x，ρsinθ=y，ρ2=x2+y2，进行代换即得C的直角坐标方程，将直线l的参数消去得出直线l的普通方程．（2）曲线C1的方程为4x2+y2=4，设曲线C1上的任意点（cosθ，2sinθ），利用点到直线距离公式，建立关于θ的三角函数式求解．【解答】解：（1）由ρ=4cosθ，得出ρ2=4ρcosθ，化为直角坐标方程：x2+y2=4x即曲线C的方程为（x﹣2）2+y2=4，直线l的方程是：x+y=0…（2）将曲线C横坐标缩短为原来的，再向左平移1个单位，得到曲线C1的方程为4x2+y2=4，设曲线C1上的任意点（cosθ，2sinθ）到直线l距离d==．当sin（θ+α）=0时到直线l 距离的最小值为0．22．已知函数f （x ）=ax 3+bx 2+cx +d 为奇函数，且在x=﹣1处取得极大值2．（Ⅰ）求f （x ）解析式；（Ⅱ）过点A （1，t ）（t ≠﹣2）可作函数f （x ）象的三条切线，求实数t 的取值范围；（Ⅲ）若f （x ）+（m +2）x ≤x 2（e x ﹣1）对于任意的x ∈[0，+∞）恒成立，求实数m 取值范围．【考点】利用导数求闭区间上函数的最值；利用导数研究曲线上某点切线方程．【分析】（Ⅰ）由已知得f ′（x ）=3ax 2+c ，，由此能求出f （x ）解析式．（Ⅱ）设切点为（x 1，y 1），则，消去y 1得t=﹣2x 13+3x 12﹣3，设h （x ）=﹣2x 3+3x 2﹣3，由此利用导数性质能求出实数t 的取值范围）．（Ⅲ）由已知得x 3﹣3x +（m +2）x ≤x 2（e x ﹣1），（m +2）x ≤x 2（e x ﹣1）﹣x 3+3x ，由此利用构造法和导数性质能求出实数m 的取值范围．【解答】解：（Ⅰ）∵f （x ）=ax 3+bx 2+cx +d 为奇函数，∴b=d=0，∴f ′（x ）=3ax 2+c ，∵f （x ）在x=﹣1处取得极大值2，∴，解得a=1，c=﹣3，∴f （x ）解析式为f （x ）=x 3﹣3x ．（Ⅱ）设切点为（x 1，y 1），则，消去y 1得t=﹣2x 13+3x 12﹣3，设h （x ）=﹣2x 3+3x 2﹣3，则h ′（x ）=﹣6x 2+6x=﹣6x （x ﹣1），由h ′（x ）＞0，得0＜x ＜1，由h ′（x ）＜0，得x ＜0或x ＞1，∴h （x ）在（﹣∞，0），（1，+∞）递减，（0，1）递增，∴h （x ）极小值=h （0）=﹣3，h （x ）极大值=h （1）=﹣2，要使过点A （1，t ）可作函数y=f （x ）图象的三条切线，则实数t 的取值范围为（﹣3，﹣2）．（Ⅲ）∵f （x ）+（m +2）x ≤x 2（e 2﹣1），∴x 3﹣3x +（m +2）x ≤x 2（e x ﹣1），从而（m +2）x ≤x 2（e x ﹣1）﹣x 3+3x ，当x=0时，m ∈R ，当x ＞0时，∴m +2≤xe x ﹣x ﹣x 2+3，∴m ≤x （e x ﹣x ﹣1）+1，设t （x ）=e x ﹣x ﹣1，则t ′（x ）=e x ﹣1＞0，∴t （x ）在（0，+∞）递增，t （x ）＞t （0）=0，∴g （x ）=x （e x ﹣x ﹣1）+1＞1，从而m≤1，∴实数m的取值范围为（﹣∞，1]．2016年10月19日。
2015-2016年重庆市杨家坪中学高二上学期期中数学试卷及答案(理科)
2015-2016学年重庆市杨家坪中学高二（上）期中数学试卷（理科）一、选择题（每小题5分，共60分）1．（5分）直线x﹣y﹣1=0不通过（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限2．（5分）已知圆C：x2+y2+mx﹣4=0上存在两点关于直线x﹣y+3=0对称，则实数m的值（）A．8 B．﹣4 C．6 D．无法确定3．（5分）直线x+y+1=0被圆x2+y2=1所截得的弦长为（）A．B．1 C．D．4．（5分）已知底面边长为1，侧棱长为的正四棱柱的各顶点均在同一个球面上，则该球的表面积为（）A．B． C．2πD．4π5．（5分）如图，某几何体的正视图（主视图），侧视图（左视图）和俯视图分别是等边三角形，等腰三角形和菱形，则该几何体体积为（）A．B．4 C．D．26．（5分）正三棱柱ABC﹣A1B1C1中，若AB=2，AA1=1，若则点A到平面A1BC的距离为（）A．B．C．D．7．（5分）已知四棱锥S﹣ABCD的所有棱长都相等，E是SB的中点，则AE，SD 所成的角的正弦值为（）A．B．C．D．8．（5分）设a、b、c分别是△ABC中∠A、∠B、∠C所对边的边长，则直线xsinA+ay+c=0与bx﹣ysinB+sinC=0的位置关系是（）A．垂直B．平行C．重合D．相交但不垂直9．（5分）直线ax+by+c=0与圆x2+y2=9相交于两点M，N，若c2=a2+b2，则•（O为坐标原点）等于（）A．﹣7 B．﹣14 C．7 D．1410．（5分）曲线y=+1（﹣2≤x≤2）与直线y=kx﹣2k+4有两个不同的交点时实数k的范围是（）A．（，]B．（，+∞） C．（，）D．（﹣∞，）∪（，+∞）11．（5分）如图，正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，点P为线段AD1上一动点，点Q 为底面ABCD内（含边界）一动点，M为PQ的中点，点M构成的点集是一个空间几何体，则该几何体为（）A．棱柱B．棱锥C．棱台D．球12．（5分）如果直线2ax﹣by+14=0（a＞0，b＞0）和函数f（x）=m x+1+1（m＞0，m≠1）的图象恒过同一个定点，且该定点始终落在圆（x﹣a+1）2+（y+b﹣2）2=25的内部或圆上，那么的取值范围是（）A．[，）B．（，]C．[，]D．（，）二、填空题（每小题5分，共20分）13．（5分）直线x﹣y+1=0的倾斜角是．14．（5分）已知正△ABC的边长为1，那么在斜二侧画法中它的直观图△A′B′C′的面积为．15．（5分）已知点A（﹣2，0），B（0，2），若点C是圆x2﹣2x+y2=0上的动点，则△ABC面积的最小值是．16．（5分）在三棱锥P﹣ABC中，侧棱PA，PB，PC两两垂直，Q为底面ABC内一点，若点Q到三个侧面的距离分别为3、4、5，则过点P和Q的所有球中，表面积最小的球的表面积为．三、解答题（70分）17．（10分）已知直线l 1：3x+4y﹣2=0和l2：2x﹣5y+14=0的相交于点P．求：（Ⅰ）过点P且平行于直线2x﹣y+7=0的直线方程；（Ⅱ）过点P且垂直于直线2x﹣y+7=0的直线方程．18．（12分）如图，三棱柱ABC﹣A1B1C1的侧棱AA1⊥底面ABC，∠ACB=90°，E 是棱CC1上中点，F是AB中点，AC=1，BC=2，AA1=4．（1）求证：CF∥平面AEB1；（2）求三棱锥C﹣AB1E的体积．19．（12分）已知圆C：x2+y2+2x﹣4y+3=0．（1）若圆C的切线在x轴、y轴上的截距相等，求切线方程；（2）从圆C外一点P（x1，y1）向该圆引一条切线，切点为M且有|PM|=|PO|（O为原点），求使|PM|取得最小值时点P的坐标．20．（12分）如图，在三棱锥S﹣ABC中，SB⊥底面ABC，且SB=AB=2，BC=，D、E分别是SA、SC的中点．（I）求证：平面ACD⊥平面BCD；（II）求二面角S﹣BD﹣E的平面角的大小．21．（12分）如图，直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AC⊥AB，AB=2AA1，M是AB的中点，△A1MC1是等腰三角形，D为CC1的中点，E为BC上一点．（1）若DE∥平面A1MC1，求；（2）求直线BC和平面A1MC1所成角的余弦值．22．（12分）已知⊙C过点P（1，1），且与⊙M：（x+2）2+（y+2）2=r2（r＞0）关于直线x+y+2=0对称．（Ⅰ）求⊙C的方程；（Ⅱ）设Q为⊙C上的一个动点，求的最小值；（Ⅲ）过点P作两条相异直线分别与⊙C相交于A，B，且直线PA和直线PB的倾斜角互补，O为坐标原点，试判断直线OP和AB是否平行？请说明理由．2015-2016学年重庆市杨家坪中学高二（上）期中数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题（每小题5分，共60分）1．（5分）直线x﹣y﹣1=0不通过（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限【解答】解：直线x﹣y﹣1=0即y=x﹣1，它的斜率等于1，倾斜角为90°，在y 轴上的截距等于﹣1，故直线经过第一、三、四象限，不经过第二象限，故选：B．2．（5分）已知圆C：x2+y2+mx﹣4=0上存在两点关于直线x﹣y+3=0对称，则实数m的值（）A．8 B．﹣4 C．6 D．无法确定【解答】解：因为圆上两点A、B关于直线x﹣y+3=0对称，所以直线x﹣y+3=0过圆心（﹣，0），从而﹣+3=0，即m=6．故选：C．3．（5分）直线x+y+1=0被圆x2+y2=1所截得的弦长为（）A．B．1 C．D．【解答】解：圆x2+y2=1的圆心O（0，0），半径等于1，圆心到直线x+y+1=0的距离d=，故直线x+y+1=0被圆x2+y2=1所截得的弦长为2=，故选：D．4．（5分）已知底面边长为1，侧棱长为的正四棱柱的各顶点均在同一个球面上，则该球的表面积为（）A．B． C．2πD．4π【解答】解：∵正四棱柱的各顶点均在同一个球面上，∴正四棱柱的外接球的直径2R=，则R=1．∴球的表面积为4π×12=4π．故选：D．5．（5分）如图，某几何体的正视图（主视图），侧视图（左视图）和俯视图分别是等边三角形，等腰三角形和菱形，则该几何体体积为（）A．B．4 C．D．2【解答】解：由已知中该几何中的三视图中有两个三角形一个菱形可得这个几何体是一个四棱锥由图可知，底面两条对角线的长分别为2，2，底面边长为2故底面菱形的面积为=2侧棱为2，则棱锥的高h==3故V==2故选：C．6．（5分）正三棱柱ABC﹣A1B1C1中，若AB=2，AA1=1，若则点A到平面A1BC的距离为（）A．B．C．D．【解答】解：设点A到平面A1BC的距离为h，∵=，∴，∴，解得h=，故选：B．7．（5分）已知四棱锥S﹣ABCD的所有棱长都相等，E是SB的中点，则AE，SD 所成的角的正弦值为（）A．B．C．D．【解答】解：作SO⊥平面ABCD，交平面ABCD于点O，以O为原点，OS为z轴，建立如图所示的空间直角坐标系，令四棱锥的棱长为2，则A（1，﹣1，0），D（﹣1，﹣1，0），S（0，0，），E（），∴=（﹣，，），=（﹣1，﹣1，﹣），∴设AE，SD所成的角为θ，cosθ=|cos＜＞|==，sinθ==．∴AE，SD所成的角的正弦值为．故选：B．8．（5分）设a、b、c分别是△ABC中∠A、∠B、∠C所对边的边长，则直线xsinA+ay+c=0与bx﹣ysinB+sinC=0的位置关系是（）A．垂直B．平行C．重合D．相交但不垂直【解答】解：两直线的斜率分别为和，△ABC中，由正弦定理得=2R，R为三角形的外接圆半径，∴斜率之积等于，故两直线垂直，故选：A．9．（5分）直线ax+by+c=0与圆x2+y2=9相交于两点M，N，若c2=a2+b2，则•（O为坐标原点）等于（）A．﹣7 B．﹣14 C．7 D．14【解答】解：设M（x1，y1），N（x2，y2），则由方程组，消去y，得（a2+b2）x2+2acx+（c2﹣9b2）=0，∴x1x2=；消去x，得（a2+b2）y2+2bcy+（c2﹣9a2）=0，∴y1y2=；∴•=x1x2+y1y2====﹣7；故选：A．10．（5分）曲线y=+1（﹣2≤x≤2）与直线y=kx﹣2k+4有两个不同的交点时实数k的范围是（）A．（，]B．（，+∞） C．（，）D．（﹣∞，）∪（，+∞）【解答】解：由y=k（x﹣2）+4知直线l过定点（2，4），将y=1+，两边平方得x2+（y﹣1）2=4，则曲线是以（0，1）为圆心，2为半径，且位于直线y=1上方的半圆．当直线l过点（﹣2，1）时，直线l与曲线有两个不同的交点，此时1=﹣2k+4﹣2k，解得k=，当直线l与曲线相切时，直线和圆有一个交点，圆心（0，1）到直线kx﹣y+4﹣2k=0的距离d=，解得k=，要使直线l：y=kx+4﹣2k与曲线y=1+有两个交点时，则直线l夹在两条直线之间，因此＜k≤，故选：A．11．（5分）如图，正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，点P为线段AD1上一动点，点Q 为底面ABCD内（含边界）一动点，M为PQ的中点，点M构成的点集是一个空间几何体，则该几何体为（）A．棱柱B．棱锥C．棱台D．球【解答】解：∵Q点不能超过边界，若P点与A点重合，设AB中点E、AD中点F，移动Q点，则此时M点的轨迹为：以AE、AF为邻边的正方形；下面把P点从A点向上沿线段AD1移动，在移动过程中可得M点轨迹为正方形，…，最后当P点与D1点重合时，得到最后一个正方形，故所得几何体为棱柱，故选：A．12．（5分）如果直线2ax﹣by+14=0（a＞0，b＞0）和函数f（x）=m x+1+1（m＞0，m≠1）的图象恒过同一个定点，且该定点始终落在圆（x﹣a+1）2+（y+b﹣2）2=25的内部或圆上，那么的取值范围是（）A．[，）B．（，]C．[，]D．（，）【解答】解：∵当x+1=0，即x=﹣1时，y=f（x）=m x+1+1=1+1=2，∴函数f（x）的图象恒过一个定点（﹣1，2）；又直线2ax﹣by+14=0过定点（﹣1，2），∴a+b=7①；又定点（﹣1，2）在圆（x﹣a+1）2+（y+b﹣2）2=25的内部或圆上，∴（﹣1﹣a+1）2+（2+b﹣2）2≤25，即a2+b2≤25②；由①②得，3≤a≤4，∴≤≤，∴==﹣1∈[，]；故选：C．二、填空题（每小题5分，共20分）13．（5分）直线x﹣y+1=0的倾斜角是45°．【解答】解：由直线x﹣y+1=0变形得：y=x+1所以该直线的斜率k=1，设直线的倾斜角为α，即tanα=1，∵α∈[0，180°），∴α=45°．故答案为：45°．14．（5分）已知正△ABC的边长为1，那么在斜二侧画法中它的直观图△A′B′C′的面积为．【解答】解：正三角形的高OA=，底BC=1，在斜二侧画法中，B′C′=BC=1，0′A′==，则△A′B′C′的高A′D′=0′A′sin45°=×=，则△A′B′C′的面积为S=×1×=，故答案为：．15．（5分）已知点A（﹣2，0），B（0，2），若点C是圆x2﹣2x+y2=0上的动点，则△ABC面积的最小值是．【解答】解：将圆的方程整理为标准方程得：（x﹣1）2+y2=1，∴圆心坐标为（1，0），半径r=1，∵A（﹣2，0），B（0，2），∴直线AB解析式为y=x+2，∵圆心到直线AB的距离d==，∴△ABC中AB边上高的最小值为d﹣r=﹣1，又OA=OB=2，∴根据勾股定理得AB=2，则△ABC面积的最小值为×AB×（d﹣r）=3﹣．故答案为：3﹣16．（5分）在三棱锥P﹣ABC中，侧棱PA，PB，PC两两垂直，Q为底面ABC内一点，若点Q到三个侧面的距离分别为3、4、5，则过点P和Q的所有球中，表面积最小的球的表面积为50π．【解答】解：根据题意：点Q到三个侧面的垂线与侧棱PA、PB、PC围成一个棱长为3、4、5的长方体，内部图形如图．则其外接球的直径即为PQ且为长方体的体对角线，过点P和Q的所有球中，此时外接球的表面积最小．∴2r==．∴r=由球的表面积公式得：S=4πr2=50π故答案为：50π．三、解答题（70分）17．（10分）已知直线l1：3x+4y﹣2=0和l2：2x﹣5y+14=0的相交于点P．求：（Ⅰ）过点P且平行于直线2x﹣y+7=0的直线方程；（Ⅱ）过点P且垂直于直线2x﹣y+7=0的直线方程．【解答】解：由解得，即点P坐标为P（﹣2，2），直线2x ﹣y+7=0的斜率为2（Ⅰ）过点P且平行于直线2x﹣y+7=0的直线方程为y﹣2=2（x+2）即2x﹣y+6=0；（Ⅱ）过点P且垂直于直线2x﹣y+7=0的直线方程为即x+2y﹣2=0．18．（12分）如图，三棱柱ABC﹣A1B1C1的侧棱AA1⊥底面ABC，∠ACB=90°，E 是棱CC1上中点，F是AB中点，AC=1，BC=2，AA1=4．（1）求证：CF∥平面AEB1；（2）求三棱锥C﹣AB1E的体积．【解答】（1）证明：取AB1的中点G，联结EG，FG∵F，G分别是棱AB、AB1的中点，∴又∵∴四边形FGEC是平行四边形，∴CF∥EG，∵CF不包含于平面AB1E，EG⊂平面AB1E，∴CF∥平面AB1E．（2）解：∵AA1⊥底面ABC，∴CC1⊥底面ABC，∴CC1⊥CB，又∠ACB=90°，∴BC⊥AC，∴BC⊥平面ACC1A1，即BC⊥面ACE，∴点B到平面AEB1的距离为BC=2，又∵BB1∥平面ACE，∴B1到平面ACE的距离等于点B到平面ACE的距离，即为2，∴===．19．（12分）已知圆C：x2+y2+2x﹣4y+3=0．（1）若圆C的切线在x轴、y轴上的截距相等，求切线方程；（2）从圆C外一点P（x1，y1）向该圆引一条切线，切点为M且有|PM|=|PO|（O为原点），求使|PM|取得最小值时点P的坐标．【解答】解：（1）将圆C配方得（x+1）2+（y﹣2）2=2．①当直线在两坐标轴上的截距为零时，设直线方程为y=kx，由直线与圆相切得=，即k=2±，从而切线方程为y=（2±）x．…（3分）②当直线在两坐标轴上的截距不为零时，设直线方程为x+y﹣a=0，由直线与圆相切得x+y+1=0，或x+y﹣3=0．∴所求切线的方程为y=（2±）x x+y+1=0或x+y﹣3=0．…（6分）（2）由|PO|=|PM|得，x12+y12=（x1+1）2+（y1﹣2）2﹣2⇒2x1﹣4y1+3=0..…（8分）即点P在直线l：2x﹣4y+3=0上，|PM|取最小值时即|OP|取得最小值，直线OP⊥l，∴直线OP的方程为2x+y=0．…（10分）解方程组得P点坐标为（﹣，）．…（12分）20．（12分）如图，在三棱锥S﹣ABC中，SB⊥底面ABC，且SB=AB=2，BC=，D、E分别是SA、SC的中点．（I）求证：平面ACD⊥平面BCD；（II）求二面角S﹣BD﹣E的平面角的大小．【解答】证明：（I）∵∠ABC=，∴BA⊥BC，建立如图所示的坐标系，则C（0，，0），A（2，0，0），D（1，0，1），E（0，，1），S（0，0，2），则=（﹣1，0，1），=（0，，0），=（1，0，1），则•=（﹣1，0，1）•（0，，0）=0，•=（﹣1，0，1）•（1，0，1）=﹣1+1=0，则⊥，⊥，即AD⊥BC，AD⊥BD，∵BC∩BD=B，∴AD⊥平面BCD；∵AD⊂平面BCD；∴平面ACD⊥平面BCD；（II）=（0，，1），则设平面BDE的法向量=（x，y，1），则，即，解得x=﹣1，y=，即=（﹣1，，1），又平面SBD的法向量=（0，，0），∴cos＜，＞==，则＜，＞=，即二面角S﹣BD﹣E的平面角的大小为．21．（12分）如图，直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AC⊥AB，AB=2AA1，M是AB的中点，△A1MC1是等腰三角形，D为CC1的中点，E为BC上一点．（1）若DE∥平面A1MC1，求；（2）求直线BC和平面A1MC1所成角的余弦值．【解答】解：（1）取BC中点N，连结MN，C1N，…（1分）∵M，N分别为AB，CB中点∴MN∥AC∥A1C1，∴A1，M，N，C1四点共面，…（3分）且平面BCC1B1∩平面A1MNC1=C1N，又DE∩平面BCC1B1，且DE∥平面A1MC1，∴DE∥C1N，∵D为CC1的中点，∴E是CN的中点，…（5分）∴．…（6分）（2）连结B1M，…（7分）因为三棱柱ABC﹣A1B1C1为直三棱柱，∴AA1⊥平面ABC，∴AA1⊥AB，即四边形ABB1A1为矩形，且AB=2AA1，∵M是AB的中点，∴B1M⊥A1M，又A1C1⊥平面ABB1A1，∴A1C1⊥B1M，从而B1M⊥平面A1MC1，…（9分）∴MC1是B1C1在平面A1MC1内的射影，∴B1C1与平面A1MC1所成的角为∠B1C1M，又B1C1∥BC，∴直线BC和平面A1MC1所成的角即B1C1与平面A1MC1所成的角…（10分）设AB=2AA1=2，且三角形A1MC1是等腰三角形∴，则MC 1=2，，∴cos=，∴直线BC和平面A1MC1所成的角的余弦值为．…（12分）22．（12分）已知⊙C过点P（1，1），且与⊙M：（x+2）2+（y+2）2=r2（r＞0）关于直线x+y+2=0对称．（Ⅰ）求⊙C的方程；（Ⅱ）设Q 为⊙C 上的一个动点，求的最小值；（Ⅲ）过点P 作两条相异直线分别与⊙C 相交于A ，B ，且直线PA 和直线PB 的倾斜角互补，O 为坐标原点，试判断直线OP 和AB 是否平行？请说明理由．【解答】解：（Ⅰ）设圆心C （a ，b ），则，解得（3分）则圆C 的方程为x 2+y 2=r 2，将点P 的坐标代入得r 2=2， 故圆C 的方程为x 2+y 2=2（5分） （Ⅱ）设Q （x ，y ），则x 2+y 2=2，（7分）=x 2+y 2+x +y ﹣4=x +y ﹣2，令x=cosθ，y=sinθ， ∴=cosθ+sinθ﹣2=2sin （θ+）﹣2，∴（θ+）=2kπ﹣时，2sin（θ+）=﹣2，所以的最小值为﹣2﹣2=﹣4． （10分）（Ⅲ）由题意知，直线PA 和直线PB 的斜率存在，且互为相反数， 故可设PA ：y ﹣1=k （x ﹣1），PB ：y ﹣1=﹣k （x ﹣1），由，得（1+k 2）x 2+2k （1﹣k ）x +（1﹣k ）2﹣2=0（11分） 因为点P 的横坐标x=1一定是该方程的解，故可得（13分）同理，，所以=k OP ，所以，直线AB 和OP 一定平行（15分）赠送初中数学几何模型【模型一】“一线三等角”模型：图形特征：运用举例：1.如图，若点B 在x 轴正半轴上，点A (4，4)、C (1，－1)，且AB ＝BC ，AB ⊥BC ，求点B 的坐标；2.如图，在直线l 上依次摆放着七个正方形（如图所示），已知斜放置的三个正方形的面积分别是1、2、3，正放置的四个正方形的面积依次是1S 、2S 、3S 、4S ，则14S S += ．ls 4s 3s 2s 13213. 如图，Rt △ABC 中，∠BAC =90°，AB =AC =2，点D 在BC 上运动（不与点B ，C 重合），过D 作∠ADE =45°，DE 交AC 于E ． （1）求证：△ABD ∽△DCE ；（2）设BD =x ，AE =y ，求y 关于x 的函数关系式，并写出自变量x 的取值范围； （3）当△ADE 是等腰三角形时，求AE 的长．B4.如图，已知直线112y x =+与y 轴交于点A ，与x 轴交于点D ，抛物线212y x bx c =++与直线交于A 、E 两点，与x 轴交于B 、C 两点，且B 点坐标为 (1，0)。
重庆市示范性中学2014-2015学年高二下学期第一次月考数学(理科)试题 Word版含答案
i2(,)1ia bi ab i +=+∈+R a b +01212重庆市示范性中学2014-2015学年高二下学期第一次月考数学（理科）试题考试范围：xxx ；考试时间：100分钟；命题人：xxx 姓名：__________班级：__________考号：__________注意事项：1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2．请将答案正确填写在答题卡上一、单项选择1. 是虚数单位，若，则的值是（ ）A ．B ．C． D ． 2. 已知函数32()1f x x ax =++的导函数为偶函数，则a =（ ） A ．0 B ．1 C ．2 D ．33. 已知f(x)＝则f(x)dx 的值为( )．A.B.C. D ．－4. 由集合{a 1}，{a 1，a 2}，{a 1，a 2，a 3}，…的子集个数归纳出集合{a 1，a 2，a 3，…，a n }的子集个数为 ( )． A ．n B ．n ＋1 C ．2n D ．2n －15. 定义在R 上的函数()y f x =，满足1(1)(),()'()02f x f x x f x -=->,若12x x <且121x x +>,则有( )A. 12()()f x f x <B. 12()()f x f x >C. 12()()f x f x =D.不能确定 6. 等差数列{}n a 中的1a ，4031a 是函数321()41213f x x x x =-++的极值点，则20162log a （ ）A ．3B ．2C ．4D ．57. 某人进行了如下的“三段论”推理：如果0)('0=x f ，则0x x =是函数)(x f 的极值点，因为函数3)(x x f =在0=x 处的导数值0)0('=f ，所以0=x 是函数3)(x x f =的极值点.你认为以上推理的（ ）A. 小前提错误B.大前提错误C. 推理形式错误D. 结论正确8. 关于x 的不等式m x x x ≥+--29323对]2,2[-∈∀x 恒成立，则m 的取值范围（ ）． A ．]7,(-∞ B ．]20,(--∞ C ．]0,(-∞ D ．[-12，7]9. 设函数f(x)的导函数为f '(x)，对任意x ∈R 都有f(x) >f '(x)成立，则（ ） A. 3f(ln2）＞2f(ln3) B ．3f( 1n2）＝2f( 1n3）C. 3f(ln2）＜2f(ln3）D. 3f(ln2）与2f( 1n3）的大小不确定10. 已知函数32()1()32x mx m n x f x +++=+的两个极值点分别为12,x x ，且1(0,1)x ∈，2(1,)x ∈+∞，点),(n m P 表示的平面区域为D ，若函数log (4)(1)a y x a =+>的图像上存在区域D 内的点，则实数a 的取值范围是（ ）A. 1,3]（B. 3+∞（，）C. [3+∞，）D. 1,3（）二、填空题 11.观察下表 12 3 43 4 5 6 74 5 6 7 8 9 10 …………则第_______行的个数和等于20152.12.抛物线22y x x ==在处的切线与抛物线以及x 轴所围成的曲边图形的面积为13.已知z1＝23a ＋(a ＋1)i ，z2＝－33b ＋(b ＋2)i(a ，b ∈R)．若z1－z2＝43，则a ＋b ＝__________.14.函数323()62f x x x x m =+-+的图象不过第Ⅱ象限，则m 的取值范围是15.已知定义域为R 的函数()f x 满足(1)3f =，且()f x 的导数()21f x x '<+，则不等式2(2)421f x x x <++的解集为： .三、解答题16. 函数d cx bx ax x f +++=23)(（R x ∈）的图象经过原点,且2)1(=-f 和2)1(-=f 分别是函数)(x f 的极大值和极小值. （Ⅰ）求,,,a b c d ;（Ⅱ）过点(1,3)A -作曲线)(x f y =的切线,求所得切线方程.17. 已知函数22()2ln (0)f x x a x a =->． （Ⅰ）当1a =时，求函数()f x 的极值；（Ⅱ）若函数()f x 在定义域上没有零点，求实数a 的取值范围.18. 已知3z t =++，其中t ∈C ，且33t t +-为纯虚数． （1）求t 的对应点的轨迹； （2）求z 的最大值和最小值．19. 设a ＞0，b ＞0,2c ＞a ＋b ，求证： (1)c 2＞ab ； (2)c －＜a ＜c ＋.20. 由下列各个不等式：1＞21，1＋21＋31＞1,1＋21＋31＋41＋…＋71＞23，1＋21＋31＋41＋…＋151＞2，…，你能得到一个怎样的一般不等式？并加以证明．21. 已知函数()ln(1)(1)f x x x x =+- >-. （I ）求()f x 的单调区间；（II ）已知数列{}n a 的通项公式为2111()2n n a n N n+=++ ∈，求证：54234n a a a a e⋅⋅<（e 为自然对数的底数）；（III ）若k Z ∈，且2(1)1xf x x k x -+<-对任意1x >恒成立，求k 的最大值.参考答案三、解答题17.【答案】（Ⅰ）极小值1,无极大值;（Ⅱ）0a <<.（Ⅱ）()()2/22()2x a x a a f x x x x -+=-=令()0f x '=，解得x a =或x a =-（舍）. 当x 在(0)+∞，内变化时， ()()f x f x '，的变化情况如下：由上表知()f x 的单调递增区间为()a +∞，，单调递减区间为(0)a ，. 2min ()()(12ln )0f x f a a a ==->要使()f x 在(0)+∞，上没有零点，只min ()0f x >或max ()0f x <， 又(1)10f =>，只须min ()0f x >.2min ()()(12ln )0f x f a a a ==->，解得0a <<所以0a <<.考点：用导数研究函数的性质.18.【答案】解：（1）设()t x yi x y =+∈R ，，则3333t x yi t x yi +++=--+22[(3)][(3)](3)x yi x yi x y ++--=-+2222(9)6(3)x y yix y +--=-+， 33t t +-∵为纯虚数，22900x y y ⎧+-=⎨≠⎩，，∴即2290x y y ⎧+=⎨≠⎩，， t ∴的对应点的轨迹是以原点为圆心，3为半径的圆，并除去(30)(30)-，，，两点；20.【答案】根据给出的几个不等式可以猜测第n 个不等式，即一般不等式为1＋＋＋＋…＋＞ (n ∈N *)． 用数学归纳法证明如下：(1)当n ＝1时，1＞，猜想成立．(2)假设当n ＝k(k ∈N *)时，猜想成立，即1＋＋＋＋…＋＞， 则当n ＝k ＋1时，1＋＋＋＋…＋＋＋＋…＋＞＋＋＋…＋＞＋＋＋…＋＝＋＝，即当n ＝k ＋1时，猜想也正确．由(1)(2)知，不等式对一切n ∈N *都成立．21.【答案】（1）因()ln(1)f x x x =+-，所以1()111xf x x x '=-=-++. 当(1,0)x ∈-时，()0f x '>；当(0,)x ∈+∞时，()0f x '<. 所以()f x 的单调递增区间是(1,0)-，单调递减区间是(0,)+∞.。
2015-2016学年重庆市杨家坪中学高二(上)数学期中试卷带解析答案(理科)
2015-2016学年重庆市杨家坪中学高二（上）期中数学试卷（理科）一、选择题（每小题5分，共60分）1．（5分）直线x﹣y﹣1=0不通过（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限2．（5分）已知圆C：x2+y2+mx﹣4=0上存在两点关于直线x﹣y+3=0对称，则实数m的值（）A．8 B．﹣4 C．6 D．无法确定3．（5分）直线x+y+1=0被圆x2+y2=1所截得的弦长为（）A．B．1 C．D．4．（5分）已知底面边长为1，侧棱长为的正四棱柱的各顶点均在同一个球面上，则该球的表面积为（）A．B． C．2πD．4π5．（5分）如图，某几何体的正视图（主视图），侧视图（左视图）和俯视图分别是等边三角形，等腰三角形和菱形，则该几何体体积为（）A．B．4 C．D．26．（5分）正三棱柱ABC﹣A1B1C1中，若AB=2，AA1=1，若则点A到平面A1BC的距离为（）A．B．C．D．7．（5分）已知四棱锥S﹣ABCD的所有棱长都相等，E是SB的中点，则AE，SD 所成的角的正弦值为（）A．B．C．D．8．（5分）设a、b、c分别是△ABC中∠A、∠B、∠C所对边的边长，则直线xsinA+ay+c=0与bx﹣ysinB+sinC=0的位置关系是（）A．垂直B．平行C．重合D．相交但不垂直9．（5分）直线ax+by+c=0与圆x2+y2=9相交于两点M，N，若c2=a2+b2，则•（O为坐标原点）等于（）A．﹣7 B．﹣14 C．7 D．1410．（5分）曲线y=+1（﹣2≤x≤2）与直线y=kx﹣2k+4有两个不同的交点时实数k的范围是（）A．（，]B．（，+∞） C．（，）D．（﹣∞，）∪（，+∞）11．（5分）如图，正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，点P为线段AD1上一动点，点Q 为底面ABCD内（含边界）一动点，M为PQ的中点，点M构成的点集是一个空间几何体，则该几何体为（）A．棱柱B．棱锥C．棱台D．球12．（5分）如果直线2ax﹣by+14=0（a＞0，b＞0）和函数f（x）=m x+1+1（m＞0，m≠1）的图象恒过同一个定点，且该定点始终落在圆（x﹣a+1）2+（y+b﹣2）2=25的内部或圆上，那么的取值范围是（）A．[，）B．（，]C．[，]D．（，）二、填空题（每小题5分，共20分）13．（5分）直线x﹣y+1=0的倾斜角是．14．（5分）已知正△ABC的边长为1，那么在斜二侧画法中它的直观图△A′B′C′的面积为．15．（5分）已知点A（﹣2，0），B（0，2），若点C是圆x2﹣2x+y2=0上的动点，则△ABC面积的最小值是．16．（5分）在三棱锥P﹣ABC中，侧棱PA，PB，PC两两垂直，Q为底面ABC内一点，若点Q到三个侧面的距离分别为3、4、5，则过点P和Q的所有球中，表面积最小的球的表面积为．三、解答题（70分）17．（10分）已知直线l1：3x+4y﹣2=0和l2：2x﹣5y+14=0的相交于点P．求：（Ⅰ）过点P且平行于直线2x﹣y+7=0的直线方程；（Ⅱ）过点P且垂直于直线2x﹣y+7=0的直线方程．18．（12分）如图，三棱柱ABC﹣A1B1C1的侧棱AA1⊥底面ABC，∠ACB=90°，E 是棱CC1上中点，F是AB中点，AC=1，BC=2，AA1=4．（1）求证：CF∥平面AEB1；（2）求三棱锥C﹣AB1E的体积．19．（12分）已知圆C：x2+y2+2x﹣4y+3=0．（1）若圆C的切线在x轴、y轴上的截距相等，求切线方程；（2）从圆C外一点P（x1，y1）向该圆引一条切线，切点为M且有|PM|=|PO|（O为原点），求使|PM|取得最小值时点P的坐标．20．（12分）如图，在三棱锥S﹣ABC中，SB⊥底面ABC，且SB=AB=2，BC=，D、E分别是SA、SC的中点．（I）求证：平面ACD⊥平面BCD；（II）求二面角S﹣BD﹣E的平面角的大小．21．（12分）如图，直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AC⊥AB，AB=2AA1，M是AB的中点，△A1MC1是等腰三角形，D为CC1的中点，E为BC上一点．（1）若DE∥平面A1MC1，求；（2）求直线BC和平面A 1MC1所成角的余弦值．22．（12分）已知⊙C过点P（1，1），且与⊙M：（x+2）2+（y+2）2=r2（r＞0）关于直线x+y+2=0对称．（Ⅰ）求⊙C的方程；（Ⅱ）设Q为⊙C上的一个动点，求的最小值；（Ⅲ）过点P作两条相异直线分别与⊙C相交于A，B，且直线PA和直线PB的倾斜角互补，O为坐标原点，试判断直线OP和AB是否平行？请说明理由．2015-2016学年重庆市杨家坪中学高二（上）期中数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题（每小题5分，共60分）1．（5分）直线x﹣y﹣1=0不通过（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限【解答】解：直线x﹣y﹣1=0即y=x﹣1，它的斜率等于1，倾斜角为90°，在y 轴上的截距等于﹣1，故直线经过第一、三、四象限，不经过第二象限，故选：B．2．（5分）已知圆C：x2+y2+mx﹣4=0上存在两点关于直线x﹣y+3=0对称，则实数m的值（）A．8 B．﹣4 C．6 D．无法确定【解答】解：因为圆上两点A、B关于直线x﹣y+3=0对称，所以直线x﹣y+3=0过圆心（﹣，0），从而﹣+3=0，即m=6．故选：C．3．（5分）直线x+y+1=0被圆x2+y2=1所截得的弦长为（）A．B．1 C．D．【解答】解：圆x2+y2=1的圆心O（0，0），半径等于1，圆心到直线x+y+1=0的距离d=，故直线x+y+1=0被圆x2+y2=1所截得的弦长为2=，故选：D．4．（5分）已知底面边长为1，侧棱长为的正四棱柱的各顶点均在同一个球面上，则该球的表面积为（）A．B． C．2πD．4π【解答】解：∵正四棱柱的各顶点均在同一个球面上，∴正四棱柱的外接球的直径2R=，则R=1．∴球的表面积为4π×12=4π．故选：D．5．（5分）如图，某几何体的正视图（主视图），侧视图（左视图）和俯视图分别是等边三角形，等腰三角形和菱形，则该几何体体积为（）A．B．4 C．D．2【解答】解：由已知中该几何中的三视图中有两个三角形一个菱形可得这个几何体是一个四棱锥由图可知，底面两条对角线的长分别为2，2，底面边长为2故底面菱形的面积为=2侧棱为2，则棱锥的高h==3故V==2故选：C．6．（5分）正三棱柱ABC﹣A1B1C1中，若AB=2，AA1=1，若则点A到平面A1BC的距离为（）A．B．C．D．【解答】解：设点A到平面A1BC的距离为h，∵=，∴，∴，解得h=，故选：B．7．（5分）已知四棱锥S﹣ABCD的所有棱长都相等，E是SB的中点，则AE，SD 所成的角的正弦值为（）A．B．C．D．【解答】解：作SO⊥平面ABCD，交平面ABCD于点O，以O为原点，OS为z轴，建立如图所示的空间直角坐标系，令四棱锥的棱长为2，则A（1，﹣1，0），D（﹣1，﹣1，0），S（0，0，），E（），∴=（﹣，，），=（﹣1，﹣1，﹣），∴设AE，SD所成的角为θ，cosθ=|cos＜＞|==，sinθ==．∴AE，SD所成的角的正弦值为．故选：B．8．（5分）设a、b、c分别是△ABC中∠A、∠B、∠C所对边的边长，则直线xsinA+ay+c=0与bx﹣ysinB+sinC=0的位置关系是（）A．垂直B．平行C．重合D．相交但不垂直【解答】解：两直线的斜率分别为和，△ABC中，由正弦定理得=2R，R为三角形的外接圆半径，∴斜率之积等于，故两直线垂直，故选：A．9．（5分）直线ax+by+c=0与圆x2+y2=9相交于两点M，N，若c2=a2+b2，则•（O为坐标原点）等于（）A．﹣7 B．﹣14 C．7 D．14【解答】解：设M（x1，y1），N（x2，y2），则由方程组，消去y，得（a2+b2）x2+2acx+（c2﹣9b2）=0，∴x1x2=；消去x，得（a2+b2）y2+2bcy+（c2﹣9a2）=0，∴y1y2=；∴•=x1x2+y1y2====﹣7；故选：A．10．（5分）曲线y=+1（﹣2≤x≤2）与直线y=kx﹣2k+4有两个不同的交点时实数k的范围是（）A．（，]B．（，+∞） C．（，）D．（﹣∞，）∪（，+∞）【解答】解：由y=k（x﹣2）+4知直线l过定点（2，4），将y=1+，两边平方得x2+（y﹣1）2=4，则曲线是以（0，1）为圆心，2为半径，且位于直线y=1上方的半圆．当直线l过点（﹣2，1）时，直线l与曲线有两个不同的交点，此时1=﹣2k+4﹣2k，解得k=，当直线l与曲线相切时，直线和圆有一个交点，圆心（0，1）到直线kx﹣y+4﹣2k=0的距离d=，解得k=，要使直线l：y=kx+4﹣2k与曲线y=1+有两个交点时，则直线l夹在两条直线之间，因此＜k≤，故选：A．11．（5分）如图，正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，点P为线段AD1上一动点，点Q 为底面ABCD内（含边界）一动点，M为PQ的中点，点M构成的点集是一个空间几何体，则该几何体为（）A．棱柱B．棱锥C．棱台D．球【解答】解：∵Q点不能超过边界，若P点与A点重合，设AB中点E、AD中点F，移动Q点，则此时M点的轨迹为：以AE、AF为邻边的正方形；下面把P点从A点向上沿线段AD1移动，在移动过程中可得M点轨迹为正方形，…，最后当P点与D1点重合时，得到最后一个正方形，故所得几何体为棱柱，故选：A．12．（5分）如果直线2ax﹣by+14=0（a＞0，b＞0）和函数f（x）=m x+1+1（m＞0，m≠1）的图象恒过同一个定点，且该定点始终落在圆（x﹣a+1）2+（y+b﹣2）2=25的内部或圆上，那么的取值范围是（）A．[，）B．（，]C．[，]D．（，）【解答】解：∵当x+1=0，即x=﹣1时，y=f（x）=m x+1+1=1+1=2，∴函数f（x）的图象恒过一个定点（﹣1，2）；又直线2ax﹣by+14=0过定点（﹣1，2），∴a+b=7①；又定点（﹣1，2）在圆（x﹣a+1）2+（y+b﹣2）2=25的内部或圆上，∴（﹣1﹣a+1）2+（2+b﹣2）2≤25，即a2+b2≤25②；由①②得，3≤a≤4，∴≤≤，∴==﹣1∈[，]；故选：C．二、填空题（每小题5分，共20分）13．（5分）直线x﹣y+1=0的倾斜角是45°．【解答】解：由直线x﹣y+1=0变形得：y=x+1所以该直线的斜率k=1，设直线的倾斜角为α，即tanα=1，∵α∈[0，180°），∴α=45°．故答案为：45°．14．（5分）已知正△ABC的边长为1，那么在斜二侧画法中它的直观图△A′B′C′的面积为．【解答】解：正三角形的高OA=，底BC=1，在斜二侧画法中，B′C′=BC=1，0′A′==，则△A′B′C′的高A′D′=0′A′sin45°=×=，则△A′B′C′的面积为S=×1×=，故答案为：．15．（5分）已知点A（﹣2，0），B（0，2），若点C是圆x2﹣2x+y2=0上的动点，则△ABC面积的最小值是．【解答】解：将圆的方程整理为标准方程得：（x﹣1）2+y2=1，∴圆心坐标为（1，0），半径r=1，∵A（﹣2，0），B（0，2），∴直线AB解析式为y=x+2，∵圆心到直线AB的距离d==，∴△ABC中AB边上高的最小值为d﹣r=﹣1，又OA=OB=2，∴根据勾股定理得AB=2，则△ABC面积的最小值为×AB×（d﹣r）=3﹣．故答案为：3﹣16．（5分）在三棱锥P﹣ABC中，侧棱PA，PB，PC两两垂直，Q为底面ABC内一点，若点Q到三个侧面的距离分别为3、4、5，则过点P和Q的所有球中，表面积最小的球的表面积为50π．【解答】解：根据题意：点Q到三个侧面的垂线与侧棱PA、PB、PC围成一个棱长为3、4、5的长方体，内部图形如图．则其外接球的直径即为PQ且为长方体的体对角线，过点P和Q的所有球中，此时外接球的表面积最小．∴2r==．∴r=由球的表面积公式得：S=4πr2=50π故答案为：50π．三、解答题（70分）17．（10分）已知直线l1：3x+4y﹣2=0和l2：2x﹣5y+14=0的相交于点P．求：（Ⅰ）过点P且平行于直线2x﹣y+7=0的直线方程；（Ⅱ）过点P且垂直于直线2x﹣y+7=0的直线方程．【解答】解：由解得，即点P坐标为P（﹣2，2），直线2x ﹣y+7=0的斜率为2（Ⅰ）过点P且平行于直线2x﹣y+7=0的直线方程为y﹣2=2（x+2）即2x﹣y+6=0；（Ⅱ）过点P且垂直于直线2x﹣y+7=0的直线方程为即x+2y﹣2=0．18．（12分）如图，三棱柱ABC﹣A1B1C1的侧棱AA1⊥底面ABC，∠ACB=90°，E 是棱CC1上中点，F是AB中点，AC=1，BC=2，AA1=4．（1）求证：CF∥平面AEB1；（2）求三棱锥C﹣AB1E的体积．【解答】（1）证明：取AB1的中点G，联结EG，FG∵F，G分别是棱AB、AB1的中点，∴又∵∴四边形FGEC是平行四边形，∴CF∥EG，∵CF不包含于平面AB1E，EG⊂平面AB1E，∴CF∥平面AB1E．（2）解：∵AA1⊥底面ABC，∴CC1⊥底面ABC，∴CC1⊥CB，又∠ACB=90°，∴BC⊥AC，∴BC⊥平面ACC 1A1，即BC⊥面ACE，∴点B到平面AEB1的距离为BC=2，又∵BB1∥平面ACE，∴B1到平面ACE的距离等于点B到平面ACE的距离，即为2，∴===．19．（12分）已知圆C：x2+y2+2x﹣4y+3=0．（1）若圆C的切线在x轴、y轴上的截距相等，求切线方程；（2）从圆C外一点P（x1，y1）向该圆引一条切线，切点为M且有|PM|=|PO|（O为原点），求使|PM|取得最小值时点P的坐标．【解答】解：（1）将圆C配方得（x+1）2+（y﹣2）2=2．①当直线在两坐标轴上的截距为零时，设直线方程为y=kx，由直线与圆相切得=，即k=2±，从而切线方程为y=（2±）x．…（3分）②当直线在两坐标轴上的截距不为零时，设直线方程为x+y﹣a=0，由直线与圆相切得x+y+1=0，或x+y﹣3=0．∴所求切线的方程为y=（2±）x x+y+1=0或x+y﹣3=0．…（6分）（2）由|PO|=|PM|得，x12+y12=（x1+1）2+（y1﹣2）2﹣2⇒2x1﹣4y1+3=0..…（8分）即点P在直线l：2x﹣4y+3=0上，|PM|取最小值时即|OP|取得最小值，直线OP⊥l，∴直线OP的方程为2x+y=0．…（10分）解方程组得P点坐标为（﹣，）．…（12分）20．（12分）如图，在三棱锥S﹣ABC中，SB⊥底面ABC，且SB=AB=2，BC=，D、E分别是SA、SC的中点．（I）求证：平面ACD⊥平面BCD；（II）求二面角S﹣BD﹣E的平面角的大小．【解答】证明：（I）∵∠ABC=，∴BA⊥BC，建立如图所示的坐标系，则C（0，，0），A（2，0，0），D（1，0，1），E（0，，1），S（0，0，2），则=（﹣1，0，1），=（0，，0），=（1，0，1），则•=（﹣1，0，1）•（0，，0）=0，•=（﹣1，0，1）•（1，0，1）=﹣1+1=0，则⊥，⊥，即AD⊥BC，AD⊥BD，∵BC∩BD=B，∴AD⊥平面BCD；∵AD⊂平面BCD；∴平面ACD⊥平面BCD；（II）=（0，，1），则设平面BDE的法向量=（x，y，1），则，即，解得x=﹣1，y=，即=（﹣1，，1），又平面SBD的法向量=（0，，0），∴cos＜，＞==，则＜，＞=，即二面角S﹣BD﹣E的平面角的大小为．21．（12分）如图，直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AC⊥AB，AB=2AA1，M是AB的中点，△A1MC1是等腰三角形，D为CC1的中点，E为BC上一点．（1）若DE∥平面A1MC1，求；（2）求直线BC和平面A1MC1所成角的余弦值．【解答】解：（1）取BC中点N，连结MN，C1N，…（1分）∵M，N分别为AB，CB中点∴MN∥AC∥A1C1，∴A1，M，N，C1四点共面，…（3分）且平面BCC1B1∩平面A1MNC1=C1N，又DE∩平面BCC1B1，且DE∥平面A1MC1，∴DE∥C1N，∵D为CC1的中点，∴E是CN的中点，…（5分）∴．…（6分）（2）连结B1M，…（7分）因为三棱柱ABC﹣A1B1C1为直三棱柱，∴AA1⊥平面ABC，∴AA 1⊥AB，即四边形ABB1A1为矩形，且AB=2AA1，∵M是AB的中点，∴B1M⊥A1M，又A1C1⊥平面ABB1A1，∴A1C1⊥B1M，从而B1M⊥平面A1MC1，…（9分）∴MC1是B1C1在平面A1MC1内的射影，∴B1C1与平面A1MC1所成的角为∠B1C1M，又B1C1∥BC，∴直线BC和平面A1MC1所成的角即B1C1与平面A1MC1所成的角…（10分）设AB=2AA1=2，且三角形A1MC1是等腰三角形∴，则MC 1=2，，∴cos=，∴直线BC和平面A1MC1所成的角的余弦值为．…（12分）22．（12分）已知⊙C过点P（1，1），且与⊙M：（x+2）2+（y+2）2=r2（r＞0）关于直线x+y+2=0对称．（Ⅰ）求⊙C的方程；（Ⅱ）设Q为⊙C上的一个动点，求的最小值；（Ⅲ）过点P作两条相异直线分别与⊙C相交于A，B，且直线PA和直线PB的倾斜角互补，O为坐标原点，试判断直线OP和AB是否平行？请说明理由．【解答】解：（Ⅰ）设圆心C（a，b），则，解得（3分）则圆C的方程为x2+y2=r2，将点P的坐标代入得r2=2，故圆C的方程为x2+y2=2（5分）（Ⅱ）设Q（x，y），则x2+y2=2，（7分）=x2+y2+x+y﹣4=x+y﹣2，令x=cosθ，y=sinθ，∴=cosθ+sinθ﹣2=2sin（θ+）﹣2，∴（θ+）=2kπ﹣时，2sin （θ+）=﹣2，所以的最小值为﹣2﹣2=﹣4．（10分）（Ⅲ）由题意知，直线PA和直线PB的斜率存在，且互为相反数，故可设PA：y﹣1=k（x﹣1），PB：y﹣1=﹣k（x﹣1），由，得（1+k2）x2+2k（1﹣k）x+（1﹣k）2﹣2=0（11分）因为点P的横坐标x=1一定是该方程的解，故可得（13分）同理，，所以=k OP ，所以，直线AB和OP一定平行（15分）。
重庆市杨家坪中学2014-2015学年高二上学期第三次月考数学(理科)试题
重庆市杨家坪中学2014-2015学年高二上学期第三次月考数学（理科）试题总分：150分 时间：120分钟备用公式：rl S π2=圆柱侧面积；334r S π=球体积；Sh S =柱体体积。
一：选择题（本大题10个小题 ，共50分）1：下列五个命题：①“若xy=0，则x=0且y=0”的逆否命题；②“正方形是菱形”的否命题；③“若22,ac bc a b >>则”的逆命题；④若“m>2,220x x m R -+>则不等式的解集为”；⑤命题p ：“∀x ∈R ，221x x+-≥0”的否定是命题q ：“∃x ∈R ，2210x x +-<”，且命题q 为假命题.其中真命题的个数为( )A. 0个B. 1个C. 2个D. 3个2：过点（－1，3）且垂直于直线x －2y+3=0的直线方程为（ ）A. 2x+y －1=0B.2x+y －5=0C.x+2y －5=0D.x －2y+7=03：右图是一个几何体的三视图，根据图中数据，可得该几何体的体积是( ) A ．π310 B ．π311C ．π4D ．π3134：直线32-=x y 与双曲线1222=-y x 相交于B A ,两点，则AB =（ ） A ．75 4 B ．752 C ．753 D ．7545 椭圆5522=+ky x 的一个焦点是（0，2），那么k 等于 （ ）A.-1B. 5C.1D. 5-6：直线032=--y x 与圆9)3()2(22=++-y x 交于F E ,两点，则EOF ∆（O 为原点）的面积为（ ）C.32D.347：已知,m n 是两条不同直线，,,αβγ是三个不同平面，下列命题中正确的是（ ）A ．,,m n m n αα若则‖‖‖B ．,,αγβγαβ⊥⊥若则‖C ．,,m m αβαβ若则‖‖‖D ．,,m n m n αα⊥⊥若则‖8：如图长方体中，AB=AD=23，CC 1=2，则二面角C 1—BD —C 的大小为（ ） A ．300 B ．450 C ．600 D ．9009：直线b x y +=与曲线21y x -=有且只有一个交点，则b 的取值范围是 （ ）A. 2=bB. 11≤<-b 或2-=bC. 11≤≤-b 或2-=bD.11≤≤-b10：已知圆的方程422=+y x ，若抛物线过定点A （0，1）、B （0，-1）且以该圆的切线为准线，则抛物线焦点的轨迹方程是（ ） A.)0(13422≠=-x x y B.)0(13422≠=+x x y C.)0(13422≠=-x y x D.)0(13422≠=+x y x 二：填空题（本大题5个小题 ，共25分）11： 过椭圆x 2＋4y 2=16内一点P(1，1)作一直线l ，使直线l 被椭圆截得的线段恰好被点P 平分，则直线l 的方程为_ _。
重庆市杨家坪中学2015-2016学年高二数学下学期第一次月考试题 理
2015—2016学年杨家坪中学高二下第一次月考数学理试卷一、选择题1．i 是虚数单位，复数73ii-=+（ ） A ．2i + B ．2i - C ．2i -+ D ．2i --【答案】B 试题分析：()()()()7372010233310i i i ii i i i ----===-++- 2．已知积分1(1)kx dx k +=⎰，则实数k =（ ）A ．2B ．2-C ．1D ．1-【答案】A 试题分析：1210011(1)|1222kx dx kx x k k k ⎛⎫+=+=+=∴= ⎪⎝⎭⎰ 3．已知2121111)(nn n nn f ++++++=,则 ( )A.f(n)中共有n 项，当n=2时，f(2)＝3121+ B.f(n)中共有n+1项，当n=2时，f(2)＝413121++ C.f(n)中共有n 2-n 项，当n=2时，f(2)＝3121+ D.f(n)中共有n 2-n+1项，当n=2时，f(2)＝413121++【答案】D4．一质点做直线运动,由始点起经过ts 后的位移为234164_41=s t t t +,则速度为零的时刻是（ ）A.4s 末B.8s 末C.0s 与8s 末D.0s,4s,8s 末 【答案】D5.设函数()ln(23)f x x =-，则'1()3f = （ ）A ．13 B ．12C ．2-D ．3- 【答案】D 试题分析：()x x f 323--=',所以312331-=--=⎪⎭⎫ ⎝⎛'f6.函数2ln xy x=的图象大致为（ ）【答案】D试题分析：函数的定义域为()(0,1) 1.⋃+∞．求导()()()()22ln ln 'ln 1ln ln x x x x x y x x '⋅-⋅-'==，令0y '<可得0x e <<，结合定义域可知()(0,1) 1.e ⋃令0y '>可得x e >，即函数ln xy x=在()()0,1,1.e 上单调递减，在(),e +∞上单调递增，由图可知选D ．7.已知函数x x m x x f 2ln 21)(2-+=在定义域内是增函数，则实数m 的取值范围是（） A ．1≤m B ．1≥m C ．1<m D ．1>m【答案】B试题分析：由函数x x m x x f 2ln 21)(2-+=在定义域内是增函数，求导得()2mf x x x'=+-，则()0f x '≥在()0,+∞上恒成立，即220x x m -+≥在()0,+∞上恒成立，则22m x x ≥-在()0,+∞上恒成立，设()()220g x x x x =->，则()m i n m g x ≥，由二次函数()g x 当1x =时有最小值1，则1m ≥ 8．方程x 3﹣6x 2+9x ﹣4=0的实根的个数为（ ） A ．0 B ．1 C ．2D ．3 【答案】C试题分析：令()32694f x x x x =-+-，则()()()2'3129331f x x x x x =-+=--，令()'0f x =得1x =或3x =。
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重庆市杨家坪中学2014-2015学年高二上学期第一次月考数学试题 总分：150分 时间：150分钟
立体几何公式：32'''34,431,,31)(,2,RVRShssssVshVshVlrrSrlSrlS球球台体柱体锥体圆台侧圆柱侧圆锥侧）（ 一、选择题（每小题5分，总分50分） 1．将一个等腰梯形绕着它的较长的底边所在的直线旋转一周，所得的几何体包括（ ） A．一个圆台、两个圆锥 B．两个圆台、一个圆柱 C．两个圆台、一个圆锥 D．一个圆柱、两个圆锥 2．已知平面α和直线l，则α内至少有一条直线与l ( )
A．平行 B．相交 C．垂直 D．异面 3．一个三棱锥,如果它的底面是直角三角形,那么它的三个侧面( A.至多只能有一个直角三角形 B.至多只能有两个是直角三角形 C.可能都是直角三角形 D.必然都是非直角三角形 4． 长方体的一个顶点上三条棱的边长分别为3、4、5，且它的八个顶点都在同一球 面上，这个球的表面积是（ ）
A. B. C. D. 5．一水平放置的平面图形的直观图如下图所示，则此平面图形的形状是（ ）
6．如图是某几何体的三视图，则此几何体的体积是( ) A．36 B．108 C．72 D．180 、
xyO/ A B C D
200
50
2252207．一个正方体的展开图如右图所示，A、B、C、D为原正方体的顶点，则在原来的正方体中（ ） A．错误！未找到引用源。 B．错误！未找到引用源。与错误！未找到引用源。相交 C．错误！未找到引用源。 D．错误！未找到引用源。与错误！未找到引用源。所成的角为错误！未找到引用源。
8．正方体ABCD－A1B1C1D1中，E、F分别是AA1、AB的中点，则EF与对角面A1C1CA所成的角的度数是( ) A．30° B．45° C．60° D．150° 9．如图，过正方形ABCD的顶点A作PA⊥平面ABCD，设PA＝AB＝a，则 平面PAB和平面PCD所成二面角的大小为（ ）
A．30° B．45° C．60° D．150°0
C
10.如图所示，在棱长为1的正方体1111ABCDABCD的面 对角线1AB上存在一点P使得1APDP取得最小值，则此 最小值为 （ ） 对角线1AB上存在一点P使得1APDP取得最小值，则此 最小值为 （ ）
A．2 B．622
C．22 D．22 二、填空题（每小题5分，共25分）
BA P D 11．已知圆锥的底面半径为2cm，高为1cm，则圆锥的侧面积是 2cm． 12．下列四个命题： ①两个相交平面有不在同一直线上的三个公交点；②经过空间任意三点有且只有一个平面； ③过两平行直线有且只有一个平面；④在空间两两相交的三条直线必共面。 其中正确命题的序号是
13．已知三棱柱ABC－A1B1C1的体积为V，P、Q分别在侧棱A1A和C1C上，且AP＝C1Q，则四棱锥B－APQC的体积是______________（用含V的式子表示）
14．如图1，一个正四棱柱形的密闭容器底部镶嵌了同底的正四棱锥形实心装饰块，容器内盛有a升水时，水面恰好经过正四棱锥的顶点P。如果将容器倒置，水面也恰好过点P（图2）。有下列四个命题： A．正四棱锥的高等于正四棱柱高的一半 B．将容器侧面水平放置时，水面也恰好过点P C．任意摆放该容器，当水面静止时，水面都恰好经过点P D．若往容器内再注入a升水，则容器恰好能装满 其中真命题的代号是： （写出所有真命题的代号）。
15．如图，在长方形ABCD中，4AB，2BC．现将ACD沿AC折起，使平面ABD平面ABC，设E为AB中点，则异面直线AC和DE所成角的余弦值为 ．
三、解答题（共6个小题，总分75分） 16．（本小题满分14分）如图是从上下底面处在水平状态下的棱长为a的正
方体1111DCBAABCD中分离出来的：
（1）试判断1A是否在平面CDB1内；（回答是与否） （2）求异面直线11DB与DC1所成的角； （3）如果用图示中这样一个装置来盛水，那么最多可以盛多少体积
DC
BA
第15题
E
CDBAAEFMN
B
17．（本小题满分14分）下列三个图中，左边是一个正方体截去一个角后所得多面体的直观图。右边两个是正视图和侧视图. （1）请在正视图的下方，按照画三视图的要求画出该多面体的俯视图（不要求叙述作图过程）； （2）求该多面体的表面积（尺寸如图）.
18．（本题满分14分）如右图，四棱锥P－ABCD的底面是直角梯形，AB∥CD，AB⊥AD，△PAB和△PAD是两个边长为2的正三角形，DC＝4，O为BD的中点，E为PA的中点． (1)求证：PO⊥平面ABCD； (2)求证：OE∥平面PDC； (3)求二面角P－AB－D的平面角的余弦值．
19．（本小题满分12分）在边长为6cm的正方形ABCD中，E、F分别为BC、CD的中点，M、N分别为AB、CF的中点，现沿AE、AF、EF折叠，使B、C、D三点重合，构成一个三棱锥．
（I）判别MN与平面AEF的位置关系，并给出证明； （II）求多面体E-AFNM的体积．
20.（本小题满分12分）如右图，平面ABCD⊥平面ABEF，ABCD是正方形，ABEF是矩形，AF＝12AD＝a，G是EF的中点． (1)求证：平面AGC⊥平面BGC； (2)求GB与平面AGC所成角的正弦值．
MNF
EBC
AD 21．（本小题满分12分）如图所示，已知在圆锥SO中，底面半径r＝1，母线长l＝4，M为母线SA上的一个点，且SM＝x，从点M拉一根绳子，围绕圆锥侧面转到点A，求： (1)设f(x)为绳子最短长度的平方，求f(x)表达式； (2)绳子最短时，顶点到绳子的最短距离； (3)f(x)的最大值．DCCCCBAABD 11. 【答案】25 12. 【答案】③
13. 【答案】13V 14. 【答案】BD
15. 【答案】55 16. 解：（1）是 3分 （2）60 7分（补全正方体即得）
（3）3612131111111aaaaVVDCBCCDBC 12分 又∵AD平面1, ADEAF平面ADE，∴直线1//AF平面ADE 考点：空间的点线面的位置关系的运用 点评：解决的关键是利用角的定义以及几何体的体积来求解，属于基础题，考查了空间想象能力，以及计算能力。
17. 【答案】（1）（2）43521 【解析】 试题分析：（Ⅰ）作出俯视图如下左图所示
……………7分 俯视图 （若只画对外框，没有画对角线或对角线画错的,给3分）
（Ⅱ）43521表S ……………14分
18. 解：(1)证明：设F为DC的中点，连接BF，则DF＝AB. ∵AB⊥AD，AB＝AD，AB∥DC，∴四边形ABFD为正方形． ∵O为BD的中点，∴O为AF、BD的交点， ∵PD＝PB＝2，∴PO⊥BD， ∵BD＝AD2＋AB2＝22， ∴PO＝PB2－BO2＝2，AO＝12BD＝2， 又△PAB为等边三角形，∴PM＝2sin60°＝3， PM⊥AB， ∴∠PMO为二面角P－AB－D的平面角．
在Rt△POM中，cos∠POM＝OMPM＝13＝33.
∴ 二面角P－AB－D的平面角的余弦值为33.
19. [解析] (1)证明：正方形ABCD⇒CB⊥AB， ∵平面ABCD⊥平面ABEF且交于AB， ∴AB⊥平面ABEF， ∵AG，GB⊂平面ABEF， ∴CB⊥AG，CB⊥BG， 又AD＝2a，AF＝a，四边形ABEF是矩形， G是EF的中点，
∴AG＝BG＝2a，AB＝2a，AB2＝AG2＋BG2， ∴AG⊥BG，∵BC∩BG＝B， ∴AG⊥平面CBG，而AG⊂面AGC， 故平面AGC⊥平面BGC. (2)解：由(1)知平面AGC⊥平面BGC，且交于GC， 在平面BGC内作BH⊥GC，垂足为H， 则BH⊥平面AGC， ∴∠BGH是GB与平面AGC所成的角， ∴在Rt△CBG中，
BH＝BC·BGCG＝BC·BGBC2＋BG2＝233a，
又BG＝2a， ∴sin∠BGH＝BHBG＝63. 20. 【答案】（1）见解析；（2）274EAFMNV. 【解析】翻折问题常见的是把三角形、四边形等平面图形翻折起来，然后考查立体几何的常见问题：垂直、角度、距离、应用等问题.此类问题考查学生从二维到三维的升维能力，考查学生空间想象能力.解决该问题时，不仅要知道空间立体几何的有关概念，还要注意到在翻折的过程中那些量是不变的，那些量是变化的。 解：（1）因翻折后B、C、D重合（如图），
所以MN应是ABF的一条中位线，………………3分 则MNAFMNAEFMNAEFAFAEF平面平面平面．………6分
（2）因为ABBEABABAF平面BEF，……………8分 且6,3ABBEBF， ∴9ABEFV，………………………………………10分
又3,4EAFMNAFMNEABFABCVSVS ∴274EAFMNV．…………………………………12分
21. 【答案】（1）f(x)＝AM2＝x2＋16(0≤x≤4)（2）2416xx（3）32 【解析】 试题分析：将圆锥的侧面沿SA展开在平面上，如图，则该展开图为扇形，且弧AA′的长度
L就是⊙O的周长， ∴L＝2πr＝2π.∴∠ASA′＝2Ll×360°＝224×360°＝90°，
(1)由题意知，绳长的最小值为展开图中的AM，其值为AM＝216x (0≤x≤4)，
AEFMN
B