第五章统计量及其分布

次序统计量及其分布

, X n )T 的次序统计量，样本的极差定义为 R X ( n ) X (1) max X i min X i
1 i n 1 i n
xi min xi 其观测值为 r x( n ) x(1) max 1 i n 1 i n
4、样本极差的意义样本极差主要用来描述样本变化幅度以及离散程度的特征，具有和样本方差类似的含义，但它受样本异常值的影响较小，同时也容易计算，也可以作为总体均方差的估计. 在实际中应用比较广泛. 例3(p32例1.20) 从总体中抽取容量为6的样本，测得样本值为 32, 65, 28, 35, 30, 29 试求,样本中位数、样本均值、样本极差、样本方差、以及样本标准差。
1、样本中位数定义设(X (1) , X ( 2 ) ,
, X ( n ) )T 为样本( X1 , X 2 ,
n为奇数， n为偶数，
, X n )T 的次序统计量，样本的中位数定义为
X n 1 ， ( ) 2 X 1 [ X n X n1 ], ( ) 2 (2) 2
说明 (1) 最大次序统计量X ( n )的分布密度为
f X( n ) ( x ) n[ F ( x )]n1 f ( x )
( 2) 最小次序统计量X (1)的分布密度为 f X(1) ( x ) n[1 F ( x )]
n 1
f ( x)
例1(p30例1.18) 设总体X 服从区间 [0,1] 上的均
证
根据分布函数的定义可得
F( X(1) , X( n ) ) ( x, y ) P{ X (1) x, X ( n) y}
以下分两种情形讨论：
(1)当x y时，

概率论与数理统计教程(茆诗松)

2004年7月第1版2008年4月第10次印刷第一章随机事件与概率1.1 随机事件及其运算1.1.1 随机现象在一定的条件下，并不总是出现相同结果的现象称为随机现象.在相同条件下可以重复的随机现象又称为随机试验.1.1.2 样本空间随机现象的一切可能基本结果组成的集合称为样本空间，记为，其中表示基本结果，又称为样本点.样本点是今后抽样的最基本单元.1.1.3 随机事件随机现象的某些样本点组成的集合称为随机事件，简称事件.1.1.4 随机变量用来表示随机现象结果的变量称为随机变量.1.1.7 事件域定义1.1.1 设为一样本空间，为的某些子集所组成的集合类.如果满足：(1)；(2)若，则对立事件；(3)若，则可列并.则称为一个事件域，又称为代数.在概率论中，又称为可测空间.1.2 概率的定义及其确定方法1.2.1 概率的公理化定义定义1.2.1设为一样本空间，为的某些子集所组成的一个事件域.若对任一事件，定义在上的一个实值函数满足：(1)非负性公理若，则；(2)正则性公理；(3)可列可加性公理若互不相容，有则称为事件的概率，称三元素为概率空间.第二章随机变量及其分布2.1 随机变量及其分布2.1.1 随机变量的概念定义2.1.1 定义在样本空间上的实值函数称为随机变量.2.1.2 随机变量的分布函数定义2.1.2 设是一个随机变量，对任意实数，称为随机变量的分布函数.且称服从，记为.2.1.4 连续随机变量的概率密度函数定义2.1.4 设随机变量的分布函数为，如果存在实数轴上的一个非负可积函数，使得对任意实数有则称为连续随机变量，称为的概率密度函数，简称为密度函数.密度函数的基本性质(1)非负性；(2)正则性.第三章多维随机变量及其分布3.1 多维随机变量及其联合分布3.1.1 多维随机变量定义3.1.1 如果定义在同一个样本空间上的个随机变量，则称为维(或元)随机变量或随机向量.3.1.2 联合分布函数定义3.1.2 对任意的个实数，则个事件同时发生的概率称为维随机变量的联合分布函数.3.4 多维随机变量的特征数3.4.5 随机向量的数学期望与协方差阵定义3.4.3 记维随机向量为，若其每个分量的数学期望都存在，则称为维随机向量的数学期望向量，简称为的数学期望，而称为该随机向量的方差—协方差阵，简称协方差阵，记为.例3.4.12(元正态分布) 设维随机变量的协方差阵为，数学期望向量为.又记，则由密度函数定义的分布称为元正态分布，记为.第四章大数定律与中心极限定理4.1 特征函数4.1.1 特征函数的定义定义4.1.1 设是一个随机变量，称为的特征函数.设是随机变量的密度函数，则4.2 大数定律4.2.1伯努利大数定律定理 4.2.1(伯努利大数定律) 设为重伯努利试验中事件发生的次数，为每次试验中出现的概率，则对任意的，有4.2.2 常用的几个大数定律4.3 随机变量序列的两种收敛性4.3.1 依概率收敛定义4.3.1(依概率收敛) 设为一随机变量序列，为一随机变量，如果对任意的，有则称依概率收敛于，记作.4.4 中心极限定理4.4.2 独立同分布下的中心极限定理定理 4.4.1(林德贝格—勒维中心极限定理) 设是独立同分布的随机变量序列，且.记则对任意实数有第五章统计量及其分布第六章参数估计第七章假设检验第八章方差分析与回归分析。

精算师考试__数学内容提要

3、事件两两独立不一定相互独立第二章随机变量与分布函数1、帕斯卡分布：（得到r 次成功时所需要的“等待时间”的分布）r 1r k r k 1P(x k)C P (1p),k r,r 1---==-=+2、二维条件分布：11,2T=~()(,){():}ni i n X P n N n n W x x x T C λλλ==≤∑（1）离散：iji i i i i jP P{X=x ,Y=y }P{Y=y |X=x }=P{X=x }P =（2）连续：yx f (x,v)P{Y<y|X=x}=dv f (x)-∞⎰ 因此在给定的X=x 的条件下，Y 的分布密度函数为：x f (x,y)f (y |x)f (x)=其中x f (x)f (x,y)dy +∞-∞=⎰ 在给定Y=y 的条件下，X 的分布密度函数为：Y f (x,y)f (x |y)f (y)=其中Y f (y)f (x,y)dx +∞-∞=⎰ 3、如果随机变量X 与Y 相互独立，则他们各自的函数g(x)h(y)与也相互独立4、卷积公式： z X Y f (z)f (z y)f (y)dy +∞-∞=-⎰z Y X f (z)f (z x)f (x)dx +∞-∞=-⎰或者：5、极大值极小值分布：（1）极大值：n max (n)n 1max F p(X x)[F(x)]f n[F(x)]f (x)-=≤==（2）极小值：n min (1)(1)n 1max F p(X x)1P(X x)1[1F(x)]f n[1F(x)]f (x)-=≤=->=--=-第三章随机变量的数字特征1、注意例题3-16（P64）及课后3、7题（P83）2、柯西-施瓦茨不等式：222[E(XY)]E(X )E(Y )≤3、方差：222Var(X)E[X E(X)]E(X )E (X)=-=-4、协方差：Cov(X,Y)E[X E(X)][Y E(Y)]E(XY)E(X)E(Y)=--=- 5、相关系数：XY Corr==ρρ=6、相互独立⇒不相关，反之则不一定；但是对于二维正态分布，相互独立⇔不相关7、条件期望：（1）离散：xE(X |Y y)xP{X x |Y y}====∑（2）连续：()()x y E X Y=y xf x y dx ∞-∞=⎰ 8、条件方差222Var(X |Y y)E[(X E(X |Y y))|Y y]E(X |Y y)(E(X |Y y))==-====-=9全期望公式（1）对所有随机变量X 和Y ：()()()E X E E X Y = 若Y 是离散随机变量则()yE X E(X |Y y)p{Y y}===∑若Y 是密度为Y f y （）的连续随机变量则：()Y E X E(X |Y y)f (y)dy ∞-∞==⎰ 10、两个特殊形式的全概率公式：xY P(E |Y y}P(Y y)Y P(E)P(E |Y y}f (y)dy Y +∞-∞⎧==⎪=⎨⎪=⎩∑⎰是离散的是的连续 11、矩X 分布关于c 的k 阶矩k E(X c)-；c=0时为k 阶原点距k k u E(X)=；若c=E(X),则称k E(X E(X))-为K 阶中心矩k ν 前四阶中心矩用原点矩表示为12221333211244312110u u u 3u u 2u u 4u u 6u u 3u νννν=⎧⎪=-⎪⎨=-+⎪⎪=-+-⎩ 12、变异系数：（无单位的量，取值大的方差也较大）13、分位数：若x α满足x F(x )f (x)dx ααα-∞==⎰，则称x α为X 分布的α分位数，或下侧分位数。

第五章《概率论与数理统计教程》课件

试决定常数 3.
X ,Y
C
使得随机变量 cY 服从分布

2
分布。
相互独立，都与 N ( 0 , 9 ) 有相同分布， X 分别是来自总体
X ,Y
1
, X 2 , , X 9和
Y1 ,Y 2 , ,Y 9
的样本，

Z
9
X
i
i1
6 - 23
Y
i1
9
则Z 服从—— ，自由度为——。
2 i
4.
X1, X 2, X 3, X 4
是来自总体
X ~ N ( , )
2
的样本，则随机变
量 Y
X3 X4
服从——分布，其自由度为———。
2
(X i )
i1
2
5.
设
X 1 , X 2 , , X 10
是来自总体 X
~ N ( ,4 )
2
的样本， ( S 2 P
a ) 0 .1
一. 单个正态总体的统计量的分布
X 1 , X 2 , X n是来自正态总体 ~ N ( , 2 )的样本, X
X , S 分别是样本均值和样本方差
2
定理1
X
n
1
n
X i ~ N ( ,

n
2
);
i1
定理2 U
1
X
/
~ N ( 0 ,1 );
n
定理3
6 - 18
定理7
当 1
2
2 2
2 2 时, 令 S w
( n1 1) S 1 ( n 2 1) S 2
2

概率统计课程复习要点(茆诗松)

茆诗松概率统计课程复习要点第一章随机事件与概率：1、事件的表示、关系与运算性质，P11题3，8，9。

2、概率的定义及其确定方法，尤其是排列组合在古典方法中的应用以及几何方法，即要熟练掌握古典方法和几何方法求事件发生的概率问题，P30，题6，7，8，11，18，21。

3、概率的运算性质（可加性、单调性、加法公式）及其应用，P39题1，4，6，17，18。

4、重点掌握条件概率计算，乘法公式，全概率公式（重点）以及贝叶斯公式，P51题1，2，5，8，9，12，13，16，18。

5、事件的独立性，掌握独立性定义，伯努利概型定义，P59题1，3，4，6，9，15。

第二章随机变量及其分布：1、掌握随机变量的分布函数定义及其性质，离散型随机变量及其分布列，连续型随机变量的概率密度函数。

已知分布列或概率密度函数会求分布函数，或者已知分布函数求分布列或概率密度函数（重点）。

P75题4，8，12，13，15，16。

2、掌握数学期望的定义及其性质，会计算离散型和连续型随机变量的数学期望，会利用数学期望的性质计算复杂随机变量的数学期望。

P84题1，2，11，12，13，14，17。

3、掌握方差的定义及其性质，会计算离散型和连续型随机变量的方差或标准差（简便计算公式），会利用方差的性质计算复杂随机变量的方差（重点），掌握切比雪夫不等式，会应用这个不等式来估计某事件发生的概率大小（重点）。

P91题3，4，6，8，14。

4、熟练三个常用离散分布（0-1分布、二项分布、Poisson分布）及其数学期望和方差。

P104题5，8，16。

注意它们的记号表示。

5、熟练三个常用连续型分布（正态分布、均匀分布、指数分布）及其数学期望和方差，尤其是正态分布的概率密度函数的对称性，正态分布的标准化。

P120题1，2，3，4，9，10，12，20；注意它们的记号表示。

6、随机变量函数分布（重点），掌握离散型连续型随机变量函数的分布的计算，尤其熟练连续型的情形（分布函数定义法，定理法）。

概率论与数理统计课件第5章-PPT精品文档

PX Q 0 . 5 2
1
第三四分位数Q3： PX Q 0 . 7 5 3
例1
为对某小麦杂交组合F2代的株高X进行研究，抽
取容量为100的样本，测试的原始数据记录如下(单位：厘米)，试根据以上数据，画出它的频率直方图，求随
机变量X的分布状况。
87 99 86 87 84 85 96 90 103 88 91 94 94 91 88 109 83 89 111 98 102 92 82 80 91 84 88 91 110 99 86 94 83 80 91 85 73 98 89 102 99 81 80 87 95 70 97 104 88 102 69 94 95 92 92 90 94 75 91 95 102 76 104 98 83 94 90 96 80 80 90 92 105 92 92 90 94 97 86 91 95 94 88 96 80 94 92 91 77 83
样本方差( X X i n 1i 1

几个常用的统计量
设 (X ,X , 1 2 是总体 X 的一个样本， ,X n) 样本均方差或标准差
2 1 n S X i X n 1i 1

它们的观测值用相应的小写字母表示.反映总体X取值的平均，或反映总体X取值的离散程度。
几个常用的统计量
设 (X ,X , 1 2 是总体 X 的一个样本， ,X n)
子样的K阶（原点）矩
1 n k Ak X i n i 1
子样的K阶中心矩
1 B k X i X n i1
n

k
数据的简单处理
为了研究随机现象，首要的工作是收集原始数据. 一般通过抽样调查或试验得到的数据往往是杂乱无章

正态总体统计量的分布

§5.5 正态总体统计量的分布1. 单个正态总体的统计量的分布从总体X 中抽取容量为n 的样本n X X X ,,,21 ，样本均值与样本方差分别是()212111,1∑∑==--==n i i n i i X X n S X n X . 定理1 设总体X 服从正态分布()2,σμN ，则样本均值X 服从正态分布⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛nN 2,σμ,即⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛n N X 2,~σμ证因为随机变量n X X X ,,,21 相互独立，并且与总体X 服从相同的正态分布()2,σμN ，所以由§4。

3中的定理知，它们的线性组合X 服从正态分布⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛nN 2,σμ。

定理2 设总体X 服从正态分布()2,σμN ，则统计量nX u σμ-=服从标准正态分布()1,0N ，即()1,0~N nX u σμ-=由定理1结论的标准化即得到定理2. 定理3 设总体X 服从正态分布()2,σμN ,则统计量()∑=-=ni iX X12221σχ服从自由度为n 的2χ分布，即()()n X Xni i21222~1χσχ∑=-=证注意到()2,~σμN X i ，则()n i N X i ,,2,1 ,1,0~ =-σμ又上述统计量相互独立，并按照2χ分布的定义可得结果。

定理4 设总体X 服从正态分布()2,σμN ，则（1）样本均值X 与样本方差2S 相互独立； (2）统计量()2221σχS n -=服从自由度为1-n 的2χ分布，即()()1~12222--=n S n χσχ证明略。

定理5 设总体X 服从正态分布()2,σμN ，则统计量nSX t μ-=服从自由度为1-n 的t 分布，即()1~--=n t nSX t μ证由定理2知，统计量()1,0~N nX u σμ-=又由定理4知，统计量()()1~12222--=n S n χσχ因为X 与2S 相互独立，所以u 与2χ也相互独立,于是根据t 分布的定义得结论。

5-4正态总体统计量的分布

i1
2
2
(n 1)S 2
2
1
2
n
Xi
i1
__
X
2
__
X
~
N
, 2
n
u ~ N0,1
t ~ t(n 1) .
2 ~ 2(n)
2 ~ 2(n 1)
概率论与数理统计教程（第四版）
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§5.4 正态总体统计量的分布
两个正态总体X ~ N
1 ,12
,Y ~ N
2
,
2 2
统计量及其分布
__
(X
__
Y)
1 n1
n1 i1
Xi
1 n2
n2
Yj
~
N (1
2
,
2 1
j 1
n1
2 2
n2 )
(1 2 )
__ __
U ( X Y ) (1 2) ~ N (0,1) 1 n1 1 n2
n1 Xi 12 (n112 )
F
i1 n2
Yj 2
2
~ F (n1 , n2 )
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§5.4 正态总体统计量的分布
__
[定理5] 设总体 X ~ N , 2 ,则 t X ~ t(n 1) . Sn
说明:
__
u X ~ N 0,1,
n
2
(n 1)S 2
2
~
2 (n 1).
由于u与 2相互独立,统计量
__
t u X ~ t(n 1) . 2 n 1 S n
16
__
(2)如果未知 ,求( Xi X )2 100的概率.

次序统计量及其分布通用课件

3. 健康状况评估：通过对个体的多项生理指标进行监测，并利用次序统计量进行分析，可以对个体的健康状况进行综合评估。
环境科学领域应用案例
总结词：环境科学领域中，次序统计量可用于环境监测、污染物排放评估、气候变化研究等。
详细描述
1. 环境监测：通过在环境中布置传感器，并利用次序统计量分析传感器数据，可以实时监测环境的空气质量、水质等情况。
次序统计量的特点
次序统计量具有简单直观、可操作性强、易于理解等优点，是统计分析中常用的一种方法。
次序统计量的种类
简单次序统计量
只对总体或样本的视察值进行排序，不涉及其他数据处理。
加权次序统计量
将总体或样本的视察值进行加权处理后再进行排序，可以更准确地反应数据的散布特征。
次序统计量的应用场景
统计模型
参数统计模型
在这种模型中，次序统计量被视为一个随机变量，并假定其具有某种已知或可估计的散布情势（例如正态散布、泊疏松布等）。然后通过参数估计和假设检验等方法对总体参数进行推断。
非参数统计模型
在这种模型中，总体被视为非参数的，并不假定其具有某种特定的散布情势。然后通过核密度估计、分位数回归等方法对总体散布进行推断。
未来应用前景展望
金融风险管理
次序统计量在金融风险管理领域有着广泛的应用。例如，可以利用次序统计量分析股票市场的波动性，为投资决策提供支持。未来，随着金融数据的日益复杂化，次序统计量的应用将更加重要。
环境监测与保护
次序统计量可以用于环境监测和保护领域。例如，可以利用次序统计量分析空气质量、水质等环境指标的变化趋势，为制定环境保护政策提供根据。
07
参考文献
参考文献

生物统计学第五章 t分布

2 =4/16=1/4=(1/2)/2= / n
x 1/ 4 1 2 / 2
2 x
n
n=4时：
x
768 / 256 3
4
2 x 32 / 256 1 / 8 (1 / 2) / 4 2 / n
x 18 12
n
总体 X1 X2 ��1 X3 X4 ��2 f(x) X5 X6 …Xn ��3 …
样本统计量(如�� ) 函数(统计量）
1.3 抽样分布从一个总体中,按一定的样本容量随机抽取所有可能的样本，由这些样本计算出的统计量[样本函数f(x); ��, �� 2 ]必然形成一种分布(亦即一个新的总体),这种分布称为该统计量的随机抽样分布或抽样分布。 t分布&t检验
1.显著性检验的意义
饲喂相同饲料，随机抽测10尾甲品种鱼和10尾乙品种鱼增重情况（g/month），资料如下：甲型鱼：11，11，9，12，10，13，13，8，10，13 乙型鱼：8，11，12，10，9，8，8，9，10，7 甲型鱼平均增重=11，标准差S1=1.76；甲型鱼平均增重 =9.2，标准差S2=1.549。能否仅凭这两个平均数的差值 11-9.2=1.8，立即得出两品种鱼增重不同的结论呢？观测值x i 包含两部分，即x i = + i 。总体平均数反映了总体特征， i表示误差。
样本1 样本2（总体） … t检验、 F检验、 2检验
差异：本质差异（处理效应）or 试验误差？
t分布&t检验
3.统计假设无效假设( �� )：是直接检验的假设，是对总体提出的一个假想目标，又称为“零假设”。“无效” 意指处理效应与总体参数之间没有真实的差异，试验结果中的差异乃误差所致。无效假设的两原则：无效假设是有意义；据之可算出因抽样误差而获得样本结果的概率。备择假设( �� ) ：是和无效假设相反的一种假设，即认为试验结果中差异是由于总体参数不同所引起的。