高等几何考试试卷

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高等几何试题
一、填空题(每空2分，共20分)
1._______，称为仿射不变性和仿射不变量.
2.共线三点的简比是_______不变量.
3.平面内三对对应点(原象不共线，映射也不共线)决定唯一_______.
4.点坐标为(1，0，0)的方程是_______.

5.uu1222 =0代表点_______的方程.
6.已知共线四点A、B、C、D的交比(AB，CD)=2，则(CA，BD)=_______.
7.对合由_______唯一决定.
8.二阶曲线就是_______的全体.
9.证明公理体系的和谐性常用_______法.
10.罗巴切夫斯基平面上既不相交，又不平行的两直线叫做_______直线.
二、计算题(每小题6分，共30分)
1.求直线x-2y+3=0上无穷远点的坐标。
2.求仿射变换


xxyyxy71
424

的不变点.
3.求四点(2，1，-1)，(1，-1，1)，(1，0，0)，(1，5，-5)顺这次序的交比.
4.试求二阶曲线的方程，它是由两个射影线束

x1-λx3=0与x2-x3=0 (=12)所决定的.
5.求二次曲线2x2+xy-3y2+x-y=0的渐近线.
三、作图题(每小题6分，共18分)
1.给定点A、B，作出点C，使(ABC)=4.
作法：

2.过定点P，作一条直线，使通过两条已知直线的不可到达的点.
作法：

3.如图，求作点P关于二次曲线Γ的极线
2

作法：
四、证明题(第1、2题各10分，第3小题12分，共32分)
1.设P、Q、R、S是完全四点形的顶点，A=PS×QR,B=PR×QS,C=PQ×RS,证明A1=BC×
QR,B1=CA×RP, C1=AB×PQ三点共线.
证明：

2.过二次曲线的焦点F，引两条共轭直线l,l′，证明l⊥l′.
证明：

3.将△ABC的每边分成三等份，每个分点跟三角形的对顶相连，这六条线构成一个六边形(图
甲)，求证它的三双对顶连线共点。
证明(按以下程序作业)：

第一步：将△ABC仿射变换为等边△A′B′C′(图乙)，为什么这样变换存在?
第二步：在图乙中，画出图甲的对应点和线段，并叙述原来命题对应地变成怎样的命题。
第三步：证明：变换后的相应命题成立。这样原来命题也就成立，为什么?
浙江省2002年4月自考
高等几何试题答案
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课程代码：10027
一、填空题(每空2分，共20分)
1. 经过一切透视仿射不改变的性质和数量
2. 仿射
3. 仿射变换
4. u1=0
5. (1，1，0)、(1，-1，0)
6. -1
7. 两对不同的对应元素
8. 两个射影线束对应直线交点
9. 模型
10. 分散
二、计算题(每小题6分，共30分)
1.解：化为齐次式
x1-2x2+3x3=0,以x3=0代入

得 x1-2x2=0， x1=2x2 或 x2=121x
∴ 无穷远点坐标为(2，1，0)

2.解：由 xxyyxy71424

得 610440xyxy
解此方程，得不变点为(,)122
3.解：以(2，1，-1)和(1，-1，1)为基底，
则(2，1，-1)+μ1(1,-1,1)相当于(1，0，0)

∴ 211010111
得 μ1=1
又 (2，1，-1)+μ2(1,-1,1)相当于(1，5，-5)

∴211515222

得 μ2=-32
所求交比为 1223

4.解：∵=12 (1)
将x1-λx3=0, x2-x3=0中的，λ，代入(1)
4

得 xxxxxxxxxx2313131313122
得 x2(x1+2x3)-x3(x1-x3)=0，
化简，即得所求的二阶曲线方程

xxxxxxx1223133220

5.解：∵ 系数行列式 212121231212120
∴ A31=54, A32=54, A33=-254,
因此中心坐标 ξ=-15,η=-15 .
由 2X2+XY-3Y2=0，
即 (2X+3Y)(X-Y)=0.
得 2X+3Y=0 X-Y=0. (1)

将 X=x+15 Y=y+15 代入(1)
得 2x+3y+1=0 x-y=0
即为所求的渐近线方程
三、作图题(每小题6分，共18分)
1.作法：

∵ (ABC)=ACBC41，

∴ ACBCBC31,
即 ABBC=3 .
在AB延长线上，作点C，使BC=13AB

2.作法：(利用代沙格定理)：
任取线束S，设束中两条直线交a于A，C，
交b于A′，C′；
5

连直线PC，PC′分别交线束S的第三条直线于B，B′；
直线BA和B′A′的交点Q与点P的连线，即为所求的直线.
注：1°文字，
2°也可利用巴卜斯定理；或完全四点形调和性质作图.
3.作法：过P点任引两直线，使与Γ分别交于A、B及C、D，
设Q=AC×BD，R=AD×BC，那么
直线QR即为所求的极线.

四、证明题(第1、2题各10分，第3小题12分，共32分)
1.证明：在△ABC及△PQR中，
∵AP、BQ、CR共点S.
∴对应边的交点
C1=AB×PQ， B1=CA×RP, A1=BC×RQ
三点共线
2.证明：已知F为焦点，l，l′为由F所引的二共轭直线，
按其点定义，两迷向直线FI，FJ是二次曲线的切线.
从而 (FI，FJ，l，l′)=-1，
所以 l⊥l′
3.第一步，∵任意两三角形，总存在仿射变换，使其中一
个三角形仿射变换为另一三角形.
第二步：正三角形的每边三等份，每一分点跟三角形的对顶相连，这六条线构成一个六边
形，求证它的三双对顶的连线共点.

第三步：由A′作B′C′边上的高线A′S，∵△A′B′C′是正三角形，由对称性可知
K′，N′在A′S上.同理J′、M′与P′L′也分别在过点B′、C′所作的高线上，因
为△A′B′C′的三高线共点，所以六边形J′K′L′M′N′P′的三对顶点的连线共点.
正三角形的垂心和重心是合一的，由于仿射变换构成变换群，且同素性和接合关系以及三
角形的重心是仿射不变性，所以原命题也成立.