高等几何试题.
高等几何试题及答案
高等几何试题及答案一、选择题（每题5分，共20分）1. 以下哪个选项是欧几里得几何的公理？A. 两点之间线段最短B. 过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行C. 任意两条直线都相交D. 圆的周长与直径的比值是一个常数答案：B2. 球面上的最短路径是：A. 直线B. 曲线C. 大圆D. 任意路径答案：C3. 以下哪个定理是球面几何中的定理？A. 勾股定理B. 泰勒斯定理C. 球面三角形的内角和大于180度D. 三角形内角和等于180度答案：C4. 以下哪个选项是双曲几何的特征？A. 过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行B. 过直线外一点有无数条直线与已知直线平行C. 过直线外一点没有直线与已知直线平行D. 过直线外一点有一条直线与已知直线平行答案：B二、填空题（每题5分，共20分）1. 在欧几里得几何中，一个平面上任意两个点确定一条________。
答案：直线2. 球面几何中，球面上的两点之间的最短路径称为________。
答案：大圆3. 在双曲几何中，过直线外一点可以画出________条直线与已知直线平行。
答案：无数4. 根据球面几何的性质，球面上的三角形内角和________180度。
答案：大于三、解答题（每题15分，共30分）1. 证明：在球面几何中，任意两个大圆的交点最多有两个。
证明：假设球面上有两个大圆A和B，它们相交于点P和Q。
如果存在第三个交点R，则R必须位于大圆A和B上。
由于大圆A和B是球面上的最短路径，它们在球面上的交点必须是球面上的最短路径的端点，因此R不可能存在。
因此，任意两个大圆的交点最多有两个。
答案：证明完毕。
2. 已知球面上的三角形ABC，其内角分别为α、β、γ，且α+β+γ=180°+ε，其中ε为正数。
求证：三角形ABC的边长之和小于球面上的任意其他三角形的边长之和。
证明：设球面上的任意其他三角形为DEF，其内角分别为α'、β'、γ'。
高等几何试卷及答案
《高等几何》考试试题A 卷(120分钟)一、填空题(2分⨯12=24分)1平行四边形 ;2、直线0521=+x x 上无穷远点坐标为: (5,-1,0)3、已知3),(4321=l l l l ,则=),(1234l l l l 3 =),(4231l l l l -24、过点A(1,i - ,2)的实直线的齐次方程为: 0231=-x x5、方程065222121=+-u u u u 表示的图形坐标 (1,2,0) (1,3,0) 6、已知OX 轴上的射影变换式为312'+-=x x x ,则原点的对应点 -317、求点)0,1,1(-关于二阶曲线054753323121232221=+++++x x x x x x x x x 的极线方程063321=++x x x8、ABCD 为平行四边形,过A 引AE 与对角线BD 平行,则),(DE BC A = -19、一点列到自身的两射影变换a):21→,32→,43→; b):10→,32→,01→ 其中为对合的就是: b10、求射影变换012'=+-λλλ的自对应元素的参数 1 11、两个线束点列成透视的充要条件就是 底的交点自对应12、直线02321=+-x x x 上的三点)1,3,1(A ,)1,5,2(B ,)0,2,1(C 的单比)(ABC = 1 二、求二阶曲线的方程,它就是由下列两个射影线束所决定的:130x x λ-=与23'0x x λ-= 且 '2'10λλλλ-++=。
解:射影对应式为'2'10λλλλ-++=。
由两线束的方程有:1233,'x xx x λλ==。
将它们代入射影对应式并化简得,2122313320x x x x x x x +-+=此即为所求二阶曲线的方程。
三、证明:如果两个三点形内接于同一条二次曲线,则它们也同时外切于一条二次曲线。
(10分)证明:三点形ABC 与三点形C B A '''内接于二次曲线(C),设 AB I C B ''=D AB I C A ''=E B A ''I BC=D ' B A ''I AC=E ',则),,,(B A B A C '''∧),,,(B A B A C ''所以,),E ,D ,(B A ∧),,,(B A B A C '''∧),,,(B A B A C ''∧)D ,,,E (''''A B 即),E ,D ,(B A ∧)D ,,,E (''''A B这两个点列对应点的连线AC,B C '',A C '',BC 连同这两个点列的底AB,B A ''属于同一条二级曲线(C '),亦即三点形ABC 与三点形C B A '''的边外切一条二次曲线。
高等考试数学立体几何大题30题
立体几何大题1．如下图，一个等腰直角三角形的硬纸片ABC 中，∠ACB ＝90°，AC ＝4cm ，CD 是斜边上的高沿CD 把△ABC 折成直二面角．（1）如果你手中只有一把能度量长度的直尺，应该如何确定A ，B 的位置，使二面角A －CD －B 是直二面角？证明你的结论．（2）试在平面ABC 上确定一个P ，使DP 与平面ABC 内任意一条直线都垂直，证明你的结论．（3）如果在折成的三棱锥内有一个小球，求出小球半径的最大值．解：（1）用直尺度量折后的AB 长，若AB ＝4cm ，则二面角A －CD －B 为直二面角．∵ △ABC 是等腰直角三角形，(),cm 22DB AD ==∴又∵ AD ⊥DC ，BD ⊥DC ．∴ ∠ADC 是二面角A －CD －B 的平面角．ABC第1题图ABCD第1题图有时当,cm 4AB ,22DB AD === Θ.90ADB .AB DB AD 222︒=∠∴=+（2）取△ABC 的中心P ，连DP ，则DP 满足条件 ∵ △ABC 为正三角形，且 AD ＝BD ＝CD ．∴ 三棱锥D －ABC 是正三棱锥，由P 为△ABC 的中心，知DP ⊥平面ABC ， ∴ DP 与平面内任意一条直线都垂直．（3）当小球半径最大时，此小球与三棱锥的4个面都相切，设小球球心为0，半径为r ，连结OA ，OB ，OC ，OD ，三棱锥被分为4个小三棱锥，且每个小三棱锥中有一个面上的高都为r ，故有ABC O ABD O ADC O BCD O BCD A V V V V V -----+++=代入得3623r -=，即半径最大的小球半径为3623-．2．如图，已知正四棱柱ABCD —A 1B 1C 1D 1的底面边长为3，侧棱长为4，连结A 1B ，过A 作AF ⊥A 1B 垂足为F ，且AF 的延长线交B 1B 于E 。
（Ⅰ）求证：D 1B ⊥平面AEC ； （Ⅱ）求三棱锥B —AEC 的体积； （Ⅲ）求二面角B —AE —C 的大小. 证（Ⅰ）∵ABCD —A 1B 1C 1D 1是正四棱柱，∴D 1D ⊥ABCD .连AC ，又底面ABCD 是正方形， ∴AC ⊥BD ，.由三垂线定理知 D 1B ⊥AC . 同理，D 1B ⊥AE ，AE ∩AC = A ， ∴D 1B ⊥平面AEC .解（Ⅱ）V B －AEC = V E －ABC . ∵EB ⊥平面ABC ，∴EB 的长为E 点到平面ABC 的距离. ∵Rt △ABE ~ Rt △A 1AB ，∴EB =.4912=A A AB∴V B －AEC = V E －ABC =31S △ABC ·EB =31×21×3×3×49=.827 （10分）解（Ⅲ）连CF ，∵CB ⊥平面A 1B 1BA ，又BF ⊥AE ，由三垂线定理知，CF ⊥AE .于是，∠BFC 为二面角B —AE —C 的平面角， 在Rt △ABE 中，BF =59=⋅AE BE BA ， 在Rt △CBF 中，tg ∠BFC =35， ∴∠BFC = arctg 35..即二面角B —AE —C 的大小为arctg 35.3．如图，正三棱柱ABC —A 1B 1C 1的底面边长为1，点 M 在BC 上，△AMC 1是以M 为直角顶点的等腰直角三角形.（I ）求证：点M 为BC 的中点； （Ⅱ）求点B 到平面AMC 1的距离；（Ⅲ）求二面角M —AC 1—B 的正切值.答案：（I ）证明：∵△AMC 1是以点M 为直角 顶点的等腰直角三角形， ∴AM ⊥MC 1且AM=MC 1 ∵在正三棱柱ABC —A 1B 1C 1中， 有CC 1⊥底面ABC.∴C 1M 在底面内的射影为CM ， 由三垂线逆定理，得AM ⊥CM. ∵底面ABC 是边长为1的正三角形，∴点M 为BC 中点. （II ）解法（一）过点B 作BH ⊥C 1M 交其延长线于H. 由（I ）知AM ⊥C 1M ，AM ⊥CB ， ∴AM ⊥平面C 1CBB 1.∴AM ⊥BH. ∴BH ⊥平面AMC 1. ∴BH 为点B 到平面AMC 1的距离. ∵△BHM ∽△C 1CM.ABCA 1B 1C 1M第3题图AM=C 1M=,23 在Rt △CC 1M 中，可求出CC 1.22 .6623212211=⇒=⇒=∴BH BH M C BM CC BH 解法（二）设点B 到平面AMC 1的距离为h. 则11BMC A AMC B V V --=由（I ）知 AM ⊥C 1M ，AM ⊥CB ， ∴AM ⊥平面C 1CBB 1 ∵AB=1，BM=.22,23,2111===CC MC AM 可求出 AM S h S MB C AMC ⋅=⋅∆∆113131 232221213123232131⨯⨯⨯⨯=⨯⨯⨯h 66=h （III ）过点B 作BI ⊥AC 1于I ，连结HI.∵BH ⊥平面C 1AM ，HI 为BI 在平面C 1AM 内的射影. ∴HI ⊥AC 1，∠BIH 为二面角M —AC 1—B 的平面角. 在Rt △BHM 中，,21,66==BM BH ∵△AMC 1为等腰直角三角形，∠AC 1M=45°. ∴△C 1IH 也是等腰直角三角形.由C 1M=.332,63,23122==-=H C BH BM HM 有 ∴.36=HI .21==∠∴HI BH BIH tg 4．如图，已知多面体ABCDE 中，AB ⊥平面ACD ，DE ⊥平面ACD ，三角形ACD 是正三角形，且AD=DE=2，AB=1，F 是CD 的中点．（Ⅰ）求证：AF ∥平面BCE ； （Ⅱ）求多面体ABCDE 的体积； （Ⅲ）求二面角C-BE-D 的正切值．证：（Ⅰ）取CE 中点M ，连结FM ，BM ，则有AB DE FM //21//．∴四边形AFMB 是平行四边形． ∴AF//BM ， ∵⊂BM 平面BCE ，⊄AF 平面BCE ，∴AF//平面BCE ．（Ⅱ）由于DE ⊥平面ACD ， 则DE ⊥AF ．又△ACD 是等边三角形，则AF ⊥CD ．而CD ∩DE=D ，因此AF ⊥平面CDE ．又BM//AF ，则BM ⊥平面CDE ．BM AB V V V CDE B ACD B ABCDE ⋅⋅⋅⋅+⋅⋅=+=--22213124331232233233=⋅⋅+=． （Ⅲ）设G 为AD 中点，连结CG ，则CG ⊥AD ． 由DE ⊥平面ACD ，⊂CG 平面ACD ， 则DE ⊥CG ，又AD ∩DE=D ， ∴CG ⊥平面ADEB ．作GH ⊥BE 于H ，连结CH ，则CH ⊥BE ． ∴∠CHG 为二面角C-BE-D 的平面角． 由已知AB=1，DE=AD=2，则3=CG ，∴23122111212)21(21=⨯⨯-⨯⨯-⋅+=∆GBE S ．不难算出5=BE ．∴23521=⋅⋅=∆GH S GBE ，∴53=GH ． ∴315==∠GH CG CHG tg ． 5．已知：ABCD 是矩形，设PA=a ，PA ⊥平面ABCD.M 、N 分别是AB 、PC 的中点.（Ⅰ）求证：MN ⊥AB ；（Ⅱ）若PD=AB ，且平面MND ⊥平面PCD ，求二面角P —CD —A 的大小； （Ⅲ）在（Ⅱ）的条件下，求三棱锥D —AMN 的体积. （Ⅰ）连结AC ，AN. 由BC ⊥AB ，AB 是PB 在底面ABCD 上的射影. 则有BC ⊥PB. 又BN 是Rt △PBC 斜边PC 的中线， 即PC BN 21=. 由PA ⊥底面ABCD ，有PA ⊥AC ，则AN 是Rt △PAC 斜边PC 的中线，即PC AN 21=BN AN =∴又∵M 是AB 的中点，AB MN ⊥∴（也可由三垂线定理证明）（Ⅱ）由PA ⊥平面ABCD ，AD ⊥DC ，有PD ⊥DC.则∠PDA 为平面PCD 与平面ABCD 所成二面角的平面角由PA=a ，设AD=BC=b ，CD=AB=c ， 又由AB=PD=DC ，N 是PC 中点，则有DN ⊥PC又∵平面MND ⊥平面PCD 于ND ， ∴PC ⊥平面MND ∴PC ⊥MN ，而N 是PC 中点，则必有PM=MC.b ac b c a =∴+=+∴.41412222 此时4,1π=∠=∠PDA PDA tg .即二面角P —CD —A 的大小为4π（Ⅲ）AMD N AMN D V V --=，连结BD 交AC 于O ，连结NO ，则NO 21PA. 且NO ⊥平面AMD ，由PA=a324231a NO S V AMD AMD N =⋅=∴∆-. 6．如图，正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，P 、M 、N 分别为棱DD 1、AB 、BC 的中点。
高校《高等几何》期末考试试卷含答案
某高校高等几何期末考试试卷120分钟一、填空题2分⨯12=24分1平行四边形 ；2、直线0521=+x x 上无穷远点坐标为： 5,-1,03、已知3),(4321=l l l l ,则=),(1234l l l l 3 =),(4231l l l l -24、过点A1,i - ,2的实直线的齐次方程为： 0231=-x x5、方程065222121=+-u u u u 表示的图形坐标 1,2,0 1,3,0 6、已知OX 轴上的射影变换式为312'+-=x x x ,则原点的对应点 -317、求点)0,1,1(-关于二阶曲线054753323121232221=+++++x x x x x x x x x 的极线方程063321=++x x x8、ABCD 为平行四边形,过A 引AE 与对角线BD 平行,则),(DE BC A = -1 9、一点列到自身的两射影变换a ：21→,32→,43→； b ：10→,32→,01→ 其中为对合的是： b10、求射影变换012'=+-λλλ的自对应元素的参数 1 11、两个线束点列成透视的充要条件是 底的交点自对应12、直线02321=+-x x x 上的三点)1,3,1(A ,)1,5,2(B ,)0,2,1(C 的单比)(ABC = 1 二、求二阶曲线的方程,它是由下列两个射影线束所决定的：130x x λ-=与23'0x x λ-= 且 '2'10λλλλ-++=;解：射影对应式为'2'10λλλλ-++=;由两线束的方程有：1233,'x xx x λλ==;将它们代入射影对应式并化简得, 此即为所求二阶曲线的方程;三、证明：如果两个三点形内接于同一条二次曲线,则它们也同时外切于一条二次曲线;10分证明：三点形ABC 和三点形C B A '''内接于二次曲线C,设AB C B ''=D AB C A ''=E B A '' BC=D 'B A '' AC=E ',则),,,(B A B AC '''∧),,,(B A B A C ''所以,),E ,D ,(B A ∧),,,(B A B A C '''∧),,,(B A B A C ''∧)D ,,,E (''''A B 即),E ,D ,(B A ∧)D ,,,E (''''A B这两个点列对应点的连线AC,B C '',A C '',BC 连同这两个点列的底AB,B A ''属于同一条二级曲线C ',亦即三点形ABC 和三点形C B A '''的边外切一条二次曲线; 四、已知四直线1l ,2l ,3l ,4l 的方程顺次为12x -2x +3x =0,13x +2x -32x =0,17x -2x =0,15x -3x =0, 求证四直线共点,并求1l 2l ,3l 4l 的值;10分解：因为17213112---=0且15017213---=0 所以1l ,2l ,3l ,4l 共点;四直线与x 轴2x =0的交点顺次为A1,0,-2,B2,0,3,C0,0,1,D1,0,5,非齐次坐标为A-21,0,B 32,0,C0,0,D 51,0, 所以 1l 2l ,3l 4l =AB,CD=)2151)(320()3251)(210(+--+=21 五、求两对对应元素,其参数为121→,0→2,所确定的对合方程;10分解 设所求为a λλ'+b λ+λ'+d=0 ① 将对应参数代入得：21a+1+21b+d=0 ②0+2b+d=0 ③从①②③中消去a,b,d 得120123211λλλλ'+'=0 即λλ'+λ+λ'-2=0为所求六、求直线32163x x x +-=0关于2122212x x x x -++231x x -632x x =0之极点;12分 解：设0p 030201,,x x x 为所求,则⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡----031311111⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡030201x x x =⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-613 解线性方程组得即,1,1,3030201-=-==x x x 3,-1,-1为所求极点的坐标七、叙述帕萨卡定理的内容并证明其定理;12分定理：内接于二阶曲线的简单六点形,三对对应边的交点在同一直线上; 证明：设简单六点形654321A A A A A A ,其三对对边的交点分别为L,M,N, L= 21A A 54A A ,M=32A A 65A A ,N=43A A 16A A 以1A ,3A 为中心,分别连接其他四点,则由定理得到()65421A A A A A ∧()65423A A A A A设P A A A A =5421 , Q A A A A =4365则()65421A A A A A ∧()P A A L 54,,,()65423A A A A A ∧()65,,A A Q M所以,()P A A L 54,,∧()65,,A A Q M 由于两个点列底的交点5A →5A ,故有 所以LM,Q A 4,5PA 三点共点,但Q A 4 5PA =N, 即L,M,N 三点共线; 八、用两种方法求双曲线0423222=-+-+y x xy y x 的渐近线方程;12分解：方法一设渐近线的方程为 根据公式得解之,得31,121-==k k ,所以渐近线方程为和化简,得所求为2x-2y-1=0 和2x+6y+5=0 方法二先求出中心,因为131=A ,332=A ,433-=A所以中心为⎪⎭⎫⎝⎛--43,41C 代入公式得渐近线方程分解因式得⎪⎭⎫ ⎝⎛+41x -⎪⎭⎫ ⎝⎛+43y =0⎪⎭⎫ ⎝⎛+41x +⎪⎭⎫ ⎝⎛+433y =0化简,得所求为2x-2y-1=0 和2x+6y+5=0。
高等几何试题及答案
高等几何试题及答案一、选择题（每题5分，共20分）1. 已知直线l的方程为Ax+By+C=0，直线m的方程为Dx+Ey+F=0，若l与m平行，则以下哪个条件成立？A. A/D = B/E ≠ C/FB. A/D = B/E = C/FC. A/D = B/E ≠ C/FD. A/D ≠ B/E = C/F答案：A2. 已知平面α的方程为Ax+By+Cz+D=0，平面β的方程为Ex+Fy+Gz+H=0，若α与β垂直，则以下哪个条件成立？A. AE + BF + CG = 0B. AE + BF + CG ≠ 0C. AE + BF + CG = D + HD. AE + BF + CG = D - H答案：A3. 已知点P(x1, y1, z1)在平面α：Ax+By+Cz+D=0上，则以下哪个条件成立？A. Ax1+By1+Cz1+D=0B. Ax1+By1+Cz1+D≠0C. Ax1+By1+Cz1+D>0D. Ax1+By1+Cz1+D<0答案：A4. 已知直线l的参数方程为x=x0+at，y=y0+bt，z=z0+ct，其中a、b、c为直线的方向向量，若直线l与平面α：Ax+By+Cz+D=0平行，则以下哪个条件成立？A. Aa+Bb+Cc=0B. Aa+Bb+Cc≠0C. Aa+Bb+Cc=DD. Aa+Bb+Cc=-D答案：A二、填空题（每题5分，共20分）5. 已知直线l的方程为Ax+By+Cz+D=0，直线m的方程为Ex+Fy+Gz+H=0，若l与m相交，则它们的交点坐标为__________。
答案：（(BF-CE)/(AF-CD), (AG-CF)/(AF-CD), (AE-BF)/(AF-CD)）6. 已知平面α的方程为Ax+By+Cz+D=0，平面β的方程为Ex+Fy+Gz+H=0，若α与β相交，则它们的交线方程为__________。
答案：(Ax+By+Cz+D)(EF-GH) - (Ex+Fy+Gz+H)(AF-CD) = 07. 已知点P(x1, y1, z1)到平面α：Ax+By+Cz+D=0的距离为d，则d=__________。
高等几何试题.
高等几何试题一、填空题（每题 3 分，共 27分）1、两个三角形面积之比是（）。
2、相交于影消线的二直线必射影成（）。
3、如果两个三点形的对应顶点连线共点，则这个点叫做（）。
4 、一点x （x1,x2,x3）在一直线u u1,u2,u3 上的充要条件是（）。
5、已知（p1p2, p3p4） 3,则（p4p3,p2 p1）=（），（p1p3,p2 p4）=（）。
6、如果四直线p1, p2 , p3 , p4满足（ p1 p2 , p3 p4 ） 1 ，则称线偶p3,p4和p1,p2（）。
7、两个点列间的一一对应是射线对应的充要条件是（）。
8、不在二阶曲线上的两个点 P（p1p2p3），Q（q1q2q3）关于二阶曲线S aij xixj0 成共轭点的充要条件是（）。
9、仿射变换成为相似变换的充要条件是（）。
二、计算题（每题 8 分，共 56分）221、计算椭圆的面积（椭圆方程：x2 y2 1 a,b 0 ）ab2、求共点四线l1:y k1x，l2: y k2x，l3:y k3x，l4: y k4x的交比。
x1 x13、求射影变换x2x2 的不变元素。
x3 x34、求二阶曲线6x12x22 24x32 11x2x3 0经过点P (1,2,1)的切线方程。
5、求双曲线x2 2xy 3y2 2x 4y 0 的渐近线方程。
6、求抛物线2x2 4xy 2y2 4x 1 0 的主轴和顶点。
7、求使三点O(0, )，E(1,1)，P(1, 1)顺次变到点O (2,3) ，E(2,5) ，P(3, 7) 的仿射变换。
三、已知A(1,2,3) ，B(5, 1,2) ， C (11,0,7) ，D(6,1,5) ，验证它们共线并求(AB,CD) 的值。
(8 分)四、求证：两个不同中心的射影对应线束对应直线的交点构成一条二阶曲线。
(9 分)答案1、仿射不变量2、平行直线3、透视中心4、u1x1 u2x2 u3x3 05、3 26、调和分离7、任何四个对应点的交比相等8、S pq 0221、解：设在笛氏直角坐标系下椭圆的方程为x2y21 abxx经过仿射变换其对应图形为2 2 2 xya在仿射变换①之下， A A ， B B ，O O ，所以VAOB对应VAOB ，其中 A A ，根据定理 3.6 推论 2，有椭圆面积圆面积S V AOB S V AOB所以椭圆面积1ab12 a 2因此所给椭圆的面积为ab 。
高中几何试题及答案
高中几何试题及答案一、选择题（每题3分，共15分）1. 已知圆的半径为5，点P到圆心的距离为8，则点P与圆的位置关系是：A. 点P在圆内B. 点P在圆上B. 点P在圆外D. 不能确定2. 三角形ABC中，若∠A=60°，AB=AC=6，求BC的长度：A. 4√3B. 6C. 8D. 103. 已知直线l的斜率为2，且经过点(1,3)，求直线l的方程：A. y = 2x - 1B. y = 2x + 1C. y = -2x + 3D. y = -2x - 14. 一个正方体的体积为27，求其表面积：A. 54B. 27C. 9D. 365. 已知椭圆的长轴为2a，短轴为2b，且a=6，b=4，求椭圆的焦点坐标：A. (±2,0)B. (0,±2)C. (±3,0)D. (0,±3)二、填空题（每题2分，共10分）6. 已知三角形ABC的三边分别为a, b, c，且a² + b² = c²，根据勾股定理，三角形ABC是_________三角形。
7. 已知点A(-3,4)和点B(0,-1)，线段AB的中点坐标为_________。
8. 已知圆锥的底面半径为r，高为h，圆锥的体积公式为V =1/3πr²h，若r=3，h=4，则圆锥的体积为_________。
9. 已知平面直角坐标系中，点P(x,y)到原点O(0,0)的距离公式为d = √(x² + y²)，若P(3,4)，则d =_________。
10. 已知圆的标准方程为(x-a)² + (y-b)² = r²，若圆心在(2,-3)，半径为5，则圆的方程为_________。
三、解答题（共75分）11. 已知圆的方程为(x-3)² + (y+2)² = 25，求圆上任意一点到直线4x - 3y + 6 = 0的距离的最大值和最小值。
某高校《高等几何》期末考试试卷
某高校《高等几何》期末考试试卷(含答案)(共4页)-本页仅作为预览文档封面，使用时请删除本页-某高校《高等几何》期末考试试卷（120分钟）一、填空题（2分⨯12=24分）1、平行四边形的仿射对应图形为： 平行四边形 ；2、直线0521=+x x 上无穷远点坐标为： （5，-1，0）3、已知3),(4321=l l l l ,则=),(1234l l l l 3 =),(4231l l l l -24、过点A(1,i - ,2)的实直线的齐次方程为： 0231=-x x5、方程065222121=+-u u u u 表示的图形坐标 （1,2,0） （1,3,0）6、已知OX 轴上的射影变换式为312'+-=x x x ，则原点的对应点 -317、求点)0,1,1(-关于二阶曲线054753323121232221=+++++x x x x x x x x x 的极线方程063321=++x x x8、ABCD 为平行四边形，过A 引AE 与对角线BD 平行，则),(DE BC A = -1 9、一点列到自身的两射影变换a ）：21→，32→，43→； b ）：10→，32→，01→ 其中为对合的是： b10、求射影变换012'=+-λλλ的自对应元素的参数 1 11、两个线束点列成透视的充要条件是 底的交点自对应12、直线02321=+-x x x 上的三点)1,3,1(A ，)1,5,2(B ，)0,2,1(C 的单比)(ABC = 1二、求二阶曲线的方程，它是由下列两个射影线束所决定的：130x x λ-=与23'0x x λ-= 且 '2'10λλλλ-++=。
解：射影对应式为'2'10λλλλ-++=。
由两线束的方程有：1233,'x x x x λλ==。
将它们代入射影对应式并化简得，2122313320x x x x x x x +-+=此即为所求二阶曲线的方程。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
高等几何试题
一、填空题（每题3分，共27分） 1、 两个三角形面积之比是（ ）。
2、 相交于影消线的二直线必射影成（ ）。
3、 如果两个三点形的对应顶点连线共点，则这个点叫做（ ）。
4、一点123(,,)x x x x =在一直线[]123,,u u u u =上的充要条件是
（ ）。
5、 已知1234(,)3p p p p =,则4321(,)p p p p =（ ），1324(,)p p p p =（ ）。
6、 如果四直线1234,,,p p p p 满足1234(,)1p p p p =-，则称线偶34,p p 和12,p p
（ ）。
7、两个点列间的一一对应是射线对应的充要条件是
（ ）。
8、 不在二阶曲线上的两个点P 123()p p p ，Q 123()q q q 关于二阶曲线
0ij i j S a x x ≡=∑成共轭点的充要条件是（ ）。
9、 仿射变换成为相似变换的充要条件是（ ）。
二、计算题（每题8分，共56分）
1、 计算椭圆的面积（椭圆方程：22
221x y a b
+= ,0a b >）
2、 求共点四线11:l y k x =，22:l y k x =，33:l y k x =，44:l y k x =的交比。
3、 求射影变换11
2233x x
x x x x ρρρ⎧'=-⎪⎪
'=⎨⎪
'=⎪⎩
的不变元素。
4、 求二阶曲线22212323624110x x x x x --+=经过点(1,2,1)P 的切线方程。
5、 求双曲线2223240x xy y x y +-+-=的渐近线方程。
6、 求抛物线22242410x xy y x ++-+=的主轴和顶点。
7、 求使三点(0,)O ∞，(1,1)E ，(1,1)P -顺次变到点(2,3)O '，(2,5)E '，
(3,7)P '- 的仿射变换。
三、已知(1,2,3)A ，(5,1,2)B -，(11,0,7)C ，(6,1,5)D ，验证它们共线并求
(,)AB CD 的值。
（8分） 四、 求证：两个不同中心的射影对应线束对应直线的交点构成一条
二阶曲线。
（9分）
答案 一、
1、仿射不变量
2、平行直线
3、透视中心
4、1122330u x u x u x ++=
5、3 2
6、调和分离
7、任何四个对应点的交比相等
8、0pq S =
9、这个变换使圆点保持不变 二、
1、解：设在笛氏直角坐标系下椭圆的方程为22
221x y a b
+=
经过仿射变换 x x
a y y
b '=⎧⎪⎨
'=⎪⎩
① 其对应图形为圆。
222x y a ''+=
在仿射变换①之下，A A '→，B B '→，O O '→，所以AOB 对应A OB ''，其中A A '≡，根据定理3.6推论2，有
AOB A OB S S ''
=椭圆面积圆面积 所以 2
21122
a a
b a π=椭圆面积 因此所给椭圆的面积为ab π。
2、解：化为齐次方程： 1211:0l x k x -= 2221:0l x k x -=
3231:0l x k x -= 4241:0l x k x -=
取21:0,:0a x b x ==为基线，则有
11223344(),(),(),()l a k b l a k b l a k b l a k b ---- 由定理1.11的推论，得
132412342314()()
(,)()()
k k k k l l l l k k k k -+-+=
-+-+
3、解：由方程
10001000
1μ
μμ
---=-
得 (1)(1)(1)0μμμ+--= 所以 11μ=-， 21μ=（重根） 将1μ=代入（3.4.3）得
1231231
23(11)0000(11)0000(11)0
y y y y y y y y y --++=⎧⎪
+-+=⎨⎪++-=⎩
于是得10y =为不变点列（即y 轴），10y =这条直线上的点都是不变点，
因此这条直线是不变直线。
4、解：将P 点的坐标代入二阶曲线方程中得 0pq S = 所以P 点在二阶曲线上，故切线方程为 0p S =
即 12360011(1,2,1)010*******x x x ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪-= ⎪
⎪ ⎪ ⎪⎝⎭
-⎝⎭
亦即 123127260x x x +-= 为所求切线方程。
5、解：设渐近线的方程为
111122133121222323()0a x a x a x k a x a x a x +++++= 根据（2.9）有 23210k k -++=
解之，得1211,3
k k ==-，所以渐近线方程为
1(32)0x y x y +++--=和1
1(32)03
x y x y ++---=
化简，得所求为2210x y --=和2650x y ++=。
6、解：因为313222224,42
2
0A A --=
==-
=-
代入（4.11），得主轴为 4(222)4(22)0x y x y +-++= 即 2210x y +-=
解方程 222424102210x xy y x x y ⎧++-+=⎨+-=⎩
得顶点之坐标为31(,)88。
7、解：设所求仿射变换为
111213
212223
x a x a y a y a x a y a '=++⎧⎨
'=++⎩ 于是有 132a = 233a =
1112132a a a =++ 2122235a a a =++ 1112133a a a =-+ 2122237a a a -=-+
解此方程组，得
132a =，233a =，1112a =
，121
2
a =-，214a =-，226a = 故所求的仿射变换为
11222463
x x y y x y ⎧'=-+⎪
⎨
⎪'=-++⎩
三、解：因为
123512011
7
-= 且12351206
1
5
-=
所以,,,A B C D 共线。
设 12,C A B D A B λλ=+=+ 由 11125,022(1),7322=+⨯=+⨯-=+⨯ 得 12λ= 同理可得 21λ= 所以 1
2
(,)2AB CD λλ=
= 四、证明：射影平面上建立了射影坐标后，设两个线束的方程分别为：
0αλβ-= （1） 0αλβ'''-= （2）
由于它们是射影对应，所以,λλ'满足：
0a b c d λλλλ''+++= (0)ad bc -≠ （3）
从（1），（2），（3）中消去,λλ'得
()()()()0a b c d ααααββββ''
+++=''
即 0a b c d αααβαβββ''''+++= （1.3）
这里,,,αβαβ''都是关于1,23,x x x 的一次齐次式，所以（1.3）式表示一条二阶曲线。
由于0,0αβ==的交点坐标和0,0αβ''==的交点坐标都满足（1.3）。
所以形成二阶曲线的两个线束的中心也在这条二阶曲线上。