高等几何试卷答案
高等几何试题及答案
高等几何试题及答案一、选择题（每题5分，共20分）1. 以下哪个选项是欧几里得几何的公理？A. 两点之间线段最短B. 过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行C. 任意两条直线都相交D. 圆的周长与直径的比值是一个常数答案：B2. 球面上的最短路径是：A. 直线B. 曲线C. 大圆D. 任意路径答案：C3. 以下哪个定理是球面几何中的定理？A. 勾股定理B. 泰勒斯定理C. 球面三角形的内角和大于180度D. 三角形内角和等于180度答案：C4. 以下哪个选项是双曲几何的特征？A. 过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行B. 过直线外一点有无数条直线与已知直线平行C. 过直线外一点没有直线与已知直线平行D. 过直线外一点有一条直线与已知直线平行答案：B二、填空题（每题5分，共20分）1. 在欧几里得几何中，一个平面上任意两个点确定一条________。
答案：直线2. 球面几何中，球面上的两点之间的最短路径称为________。
答案：大圆3. 在双曲几何中，过直线外一点可以画出________条直线与已知直线平行。
答案：无数4. 根据球面几何的性质，球面上的三角形内角和________180度。
答案：大于三、解答题（每题15分，共30分）1. 证明：在球面几何中，任意两个大圆的交点最多有两个。
证明：假设球面上有两个大圆A和B，它们相交于点P和Q。
如果存在第三个交点R，则R必须位于大圆A和B上。
由于大圆A和B是球面上的最短路径，它们在球面上的交点必须是球面上的最短路径的端点，因此R不可能存在。
因此，任意两个大圆的交点最多有两个。
答案：证明完毕。
2. 已知球面上的三角形ABC，其内角分别为α、β、γ，且α+β+γ=180°+ε，其中ε为正数。
求证：三角形ABC的边长之和小于球面上的任意其他三角形的边长之和。
证明：设球面上的任意其他三角形为DEF，其内角分别为α'、β'、γ'。
最完整高等几何习题解答(最全版)
高等几何习题解答习题一1．0设A ，B 为二定点，xy 为定直线。
于xy 上任取P ，Q ，又AP 与BQ 交于L ，AQ 与BP 交于M ，求证：LM 通过AB 上一定点。
解：把直线xy 射影为无穷远直线，则点P ，Q ，2P ，2Q 变为无穷远点1P ∞，1Q ∞，2P ∞，2Q ∞，所以1A L B M ''''∥，22A L B M ''''∥，11A M B L ''''∥，22A M B L ''''∥，得两个平行四边形。
11L B M ''''中，11L M ''，A B ''是对角线，交于1S ，且1S 是A B ''的中点。
22L B M ''''中，22L M ''，A B ''是对角线，交于点1S ，且1S 是A B ''的中点，∴1S '≡2S '＝S '，从而，LM通过AB 上一定点S 。
1.1 写出下列各直线的绝对坐标：（1）123320x x -= （2）23230x x -= （3）30x =答：（1）(3,-；（2）(0,2,3)-；（3）(0,0,1) 1.2 写出下列个点的方程(3,5,1)a =- (0,1,0)b = 1,0)c =-答：123:350a ξξξ-+= 2:0b ξ= 120c ξ-=1.3 求下列三点中每两点连线的方程和坐标：(1,4,1)x =，(2,0,1)y =，(1,1,2)z =- 答：),8,1,4(=⨯y x 084321=++x x x ),2,3,1(--=⨯z y 023321=--x x x ),5,1,9(--=⨯x z 059321=--x x x1.4 求下列三直线中每两条的交点的方程和坐标：),4,1,0(=ξ),3,1,2(=η)0,1,1(-=ζ 答：),2,8,1(-=⨯ηξ028321=+-ξξξ ),1,1,1(-=⨯ξη0321=-+ξξξ),1,4,4(-=⨯ξζ044321=-+ξξξ1.5 如果直线,ξ,η,ζϕ的方程分别是：,031=-x x ,032=-x x ,02321=-+x x x,0321=++x x x 求直线)()(ϕζηξ⨯⨯⨯的方程和坐标。
高等几何试卷及答案
《高等几何》考试试题A 卷(120分钟)一、填空题(2分⨯12=24分)1平行四边形 ;2、直线0521=+x x 上无穷远点坐标为: (5,-1,0)3、已知3),(4321=l l l l ,则=),(1234l l l l 3 =),(4231l l l l -24、过点A(1,i - ,2)的实直线的齐次方程为: 0231=-x x5、方程065222121=+-u u u u 表示的图形坐标 (1,2,0) (1,3,0) 6、已知OX 轴上的射影变换式为312'+-=x x x ,则原点的对应点 -317、求点)0,1,1(-关于二阶曲线054753323121232221=+++++x x x x x x x x x 的极线方程063321=++x x x8、ABCD 为平行四边形,过A 引AE 与对角线BD 平行,则),(DE BC A = -19、一点列到自身的两射影变换a):21→,32→,43→; b):10→,32→,01→ 其中为对合的就是: b10、求射影变换012'=+-λλλ的自对应元素的参数 1 11、两个线束点列成透视的充要条件就是 底的交点自对应12、直线02321=+-x x x 上的三点)1,3,1(A ,)1,5,2(B ,)0,2,1(C 的单比)(ABC = 1 二、求二阶曲线的方程,它就是由下列两个射影线束所决定的:130x x λ-=与23'0x x λ-= 且 '2'10λλλλ-++=。
解:射影对应式为'2'10λλλλ-++=。
由两线束的方程有:1233,'x xx x λλ==。
将它们代入射影对应式并化简得,2122313320x x x x x x x +-+=此即为所求二阶曲线的方程。
三、证明:如果两个三点形内接于同一条二次曲线,则它们也同时外切于一条二次曲线。
(10分)证明:三点形ABC 与三点形C B A '''内接于二次曲线(C),设 AB I C B ''=D AB I C A ''=E B A ''I BC=D ' B A ''I AC=E ',则),,,(B A B A C '''∧),,,(B A B A C ''所以,),E ,D ,(B A ∧),,,(B A B A C '''∧),,,(B A B A C ''∧)D ,,,E (''''A B 即),E ,D ,(B A ∧)D ,,,E (''''A B这两个点列对应点的连线AC,B C '',A C '',BC 连同这两个点列的底AB,B A ''属于同一条二级曲线(C '),亦即三点形ABC 与三点形C B A '''的边外切一条二次曲线。
4月浙江自考高等几何试题及答案解析
1浙江省2018年4月自学考试高等几何试题课程代码：10027一、填空题(本大题共10小题，每小题2分，共20分)请在每小题的空格中填上正确答案。
错填、不填均无分。
1.简比(ABC)__________，则点C 在AB 上.2.对合的表达式是__________.3.欧氏几何的基本不变量是__________、__________.4.已知共线四点A 、B 、C 、D 的交比(AB ，CD)=2，则(DA ，BC)=__________.5.两个线束成透视的充要条件是__________.6.平面内两点I(1,i,0)和J(1,-i,0)称为平面内的__________点.7.几何公理体系的三个基本问题是__________，__________，__________.8.罗氏几何的一个重要定理：任何三角形的内角和__________两直角.9.欧几里得在前人的基础上写成的《__________》是仅存的古代数学名著之一.10.射影平面上，__________线不存在.二、计算题(本大题共5小题，每小题6分，共30分)1.求连接点(1，2，-1)与二直线(2，1，3)，(1，-1，0)之交点的直线方程.2.设共线三点P 1、P 2、P 3在留氏坐标系下，已知P 1,P 2的非齐次坐标顺次为(x 1,y 1),(x 2,y 2)，且简比(P 1P 2P 3)=λ(λ≠1)，求P 3的坐标(x,y).3.已知线束中三直线a,b,c 的方程依次是3x-2=0,-x+2y+2=0，5x-y-4=0，它们与第四直线d 的交比为32，求d 的方程. 4.试求点(-1，2)关于二阶曲线x 2-3xy+y 2-2x-y-1=0的极线.5.试求二次曲线x 2+3xy-4y 2+2x-10y=0的中心.三、作图题(本大题共3小题，每小题6分，共18分)1.给定透视仿射的对应轴g 和一对对应点A 、A′，求作已知正方形PQRS 的对应图形.作法：2.已知一直线上三点A、B、C，求作第四点D使交比(AB，CD)=-1. 作法：3.如图，求作直线p关于二次曲线Γ的极点(如图).作法：四、证明题(本大题共2小题，每小题10分，共20分)1.△ABC和△A′B′C′的六个顶点在二次曲线Γ′上，证明CA、AB、BC、C′A′、A′B′，C′B′切于另一个二次曲线Γ上.证明：22.以四条迷向直线为边作一个四边形ABCD(如图)，其中对边属于同类迷向直线，试证其对角线AC，BD互相垂直.证明：五、综合应用题(本大题共12分)△ABC内接于椭圆，过A，B，C作椭圆的切线，交成△A1B1C1(图甲)，若AB∥A1B1，BC∥B1C1，求证：CA∥C1A1证明：(按以下程序作业)第一步：经某仿射变换将椭圆变成圆(图乙)为什么这样的变换是存在的?第二步：在图乙中画出图甲的对应点和线段，叙述原来的命题对应地变成怎样的命题?第三步：证明经变换后相应的命题成立，这样原来的命题也就成立，为什么?3。
成人教育高等几何复习题及参考答案
山东师范大学成人高等教育《高等几何》课程复习题A参考答案在试卷后一、 填空题（每小题 2 分，共 20 分）1、平行四边形的仿射对应图形为： ；2、直线0521=+x x 上无穷远点坐标为： ;3、已知3),(4321=l l l l ,则=),(1234l l l l =),(4231l l l l4、过点A(1,i - ,2)的实直线的齐次方程为：5、方程065222121=+-u u u u 表示的图形坐标 6、已知OX 轴上的射影变换式为312'+-=x x x ，则原点的对应点 7、求点)0,1,1(-关于二阶曲线054753323121232221=+++++x x x x x x x x x 的极线方程 8、两个线束点列成透视的充要条件是 .9、直线02321=+-x x x 上的三点)1,3,1(A ，)1,5,2(B ，)0,2,1(C 的单比)(ABC =10. 两点决定一条直线的对偶命题为二、判断题（每小题2分，共10分）1、两全等三角形经仿射对应后得两全等三角形 （ ）2、射影对应保持交比不变，也保持单比不变 （ ）3、一个角的内外角平分线调和分离角的两边 （ ）4、欧氏几何是射影几何的子几何，所以对应内容是射影几何对应内容的子集 （ ）5、共线点的极线必共点，共点线的极点必共线 （ ）三、解答题（共50 分）1. 求一仿射变换，它使直线210x y +-=上的每个点都不变，且使点（1,-1）变为（-1，2）(7分)2. 求证:点 (1,2,1),(1,1,2),(3,0,5)A B C --三点共线，并求,t s ，使,(1,2,3)i i i c ta sb i =+=（8分）3. 求通过两直线[1,3,1],[1,5,1]a b -交点且属于二级曲线 222123420u u u +-=的直线。
（10分）4.（1）求点（5，1，7）关于二阶曲线222123121323236240x x x x x x x x x ++---=的极线（2）已知二阶曲线外一点P 求作其极线。
学历自考模拟试卷(专升本)《高等几何》期末考试试卷【附答案】
…………○…………内…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○………5.（ B.1C.装订线内不许答题15.（）.A.B.C.D.16.（）.A. B.C.D.17.（）.A.B.C.D.18.（）.A.B.1C.D.19.()A. B.C.D.20.() A.B.C. D.二、填空题（本题共10小题，每题3分，共30.0分）21.直线=22.已知OX 轴上的射影变换式为，则原点的对应点为23.求射影变换的自对应元素的参数24.过点的实直线的齐次方程为25.ABCD 为平行四边形，过A 引AE 与对角线BD 平行，则A（BC,DE）=26.平行四边形的仿射对应图形为27.两个线束点列成透视的充要条件是28.已知29.求点（1，-1，0）关于二阶曲线的极线方程30.直线上无穷远点坐标为三、问答题（本题共3小题，每题10.0分，共30.0分）1.求通过平面4x－y＋3z－1＝0与x＋5y－z＋2＝0的交线且与平面垂直的平面方程(10.0分)2.（10分）3.试求L1与L2间的距离与它们的公垂线方程。
（10分）得分评卷人得分评卷人高等几何参考一、1-10 DACAD CACAD 11-20 BBBCB DDDDD二、填空1.答案：1.2.答案：-1/3. 3.答案：1.4.答案：.5.答案：-1.6.答案：平行四边形7.答案：底的交点自应8.答案：3,-29.答案：. 10.答案：(5,-1,0)三、1.2.3.。
华师《高等几何》在线作业答案
华师《高等几何》在线作业试卷总分:100 得分:100一、单选题(共20 道试题,共60 分)1.在中心射影下，如下哪种量不变A.角度B.交比C.面积D.长度答案:B2.（3,2,1）的非齐次坐标为（）A.(3,2)B.(3,1)C.(2,1)D.(1,3)答案:A3.若共点四直线a,b,c,d的交比为(ab,cd)=-1，则交比(ad,bc)=（）A.1B.2C.3D.4答案:B4.下列哪个名称或命题属于射影几何学A.三角形三条高线共点B.直角三角形C.Desargues定理D.梯形答案:C5.满足条件( )的一维射影变换必为对合变换A.有一个自对应点B.有两个自对应点C.有两个对合点D.有三个对合点.答案:C6.等腰梯形的仿射对应图形是（）A.等腰梯形B.梯形C.四边形D.三角形答案:B7.点（0，2）的齐次坐标为（）A.(2,0,1)B.(-2,0,1)C.(0,2,1)D.（0,-2,1）答案:C8.下列结论正确的是（）A.射影变换群是一个六维群B.仿射变换群是一个六维群C.相似变换群是一个六维群D.正交变换群是一个六维群答案:B9.仿射对应是平行射影的充分必要条件为（）A.象点与原象点的连线平行B.象点与原象点的连线交于一点C.不可判定D.象点与原象点不平行答案:A10.（-2,2,1）的非齐次坐标为（）A.(-2,1)B.(2,1)C.(-1,1)D.(-2,2)答案:D11.（2,4，-3）的非齐次坐标为（）A.(-2,4)B.(2,4)C.(-2/3,4/3)D.（-2/3,-4/3）答案:D12.（0,0,1）的非齐次坐标为（）A.(0,0)B.(0,1)C.(1,0)D.不存在答案:A13.若（P1P2, P3P4）=4,则（P2P3, P4P1）=（）。
高等几何试题及答案
高等几何试题及答案一、选择题（每题5分，共20分）1. 已知直线l的方程为Ax+By+C=0，直线m的方程为Dx+Ey+F=0，若l与m平行，则以下哪个条件成立？A. A/D = B/E ≠ C/FB. A/D = B/E = C/FC. A/D = B/E ≠ C/FD. A/D ≠ B/E = C/F答案：A2. 已知平面α的方程为Ax+By+Cz+D=0，平面β的方程为Ex+Fy+Gz+H=0，若α与β垂直，则以下哪个条件成立？A. AE + BF + CG = 0B. AE + BF + CG ≠ 0C. AE + BF + CG = D + HD. AE + BF + CG = D - H答案：A3. 已知点P(x1, y1, z1)在平面α：Ax+By+Cz+D=0上，则以下哪个条件成立？A. Ax1+By1+Cz1+D=0B. Ax1+By1+Cz1+D≠0C. Ax1+By1+Cz1+D>0D. Ax1+By1+Cz1+D<0答案：A4. 已知直线l的参数方程为x=x0+at，y=y0+bt，z=z0+ct，其中a、b、c为直线的方向向量，若直线l与平面α：Ax+By+Cz+D=0平行，则以下哪个条件成立？A. Aa+Bb+Cc=0B. Aa+Bb+Cc≠0C. Aa+Bb+Cc=DD. Aa+Bb+Cc=-D答案：A二、填空题（每题5分，共20分）5. 已知直线l的方程为Ax+By+Cz+D=0，直线m的方程为Ex+Fy+Gz+H=0，若l与m相交，则它们的交点坐标为__________。
答案：（(BF-CE)/(AF-CD), (AG-CF)/(AF-CD), (AE-BF)/(AF-CD)）6. 已知平面α的方程为Ax+By+Cz+D=0，平面β的方程为Ex+Fy+Gz+H=0，若α与β相交，则它们的交线方程为__________。
答案：(Ax+By+Cz+D)(EF-GH) - (Ex+Fy+Gz+H)(AF-CD) = 07. 已知点P(x1, y1, z1)到平面α：Ax+By+Cz+D=0的距离为d，则d=__________。
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数学与应用数学专业《高等几何》试卷B
一、 填空题（2分⨯12=24分）
1、仿射变换的基本不变性与不变量有 同素性、结合性、简比不变、保持平行性
2、直线0521=+x x 上无穷远点坐标为： （5，-1，0）
3、已知3),(4321=l l l l ,则=),(1234l l l l 3 =),(4231l l l l -2
4、过点A(1,i - ,2)的实直线的齐次方程为： 0231=-x x
5、方程0652
2
2121=+-u u u u 表示的图形坐标 （1,2,0） （1,3,0） 6、已知OX 轴上的射影变换式为312'+-=
x x x ，则原点的对应点 -3
1
7、求点)0,1,1(-关于二阶曲线0547533231212322
21=+++++x x x x x x x x x 的极线方程063321=++x x x
8、ABCD 为平行四边形，过A 引AE 与对角线BD 平行，则),(DE BC A = -1 9、一点列到自身的两射影变换a ）：21→，32→，43→； b ）：10→，32→，
01→ 其中为对合的是： b
10、求射影变换012'=+-λλλ的自对应元素的参数 1 11、两个线束点列成透视的充要条件是 底的交点自对应
12、直线02321=+-x x x 上的三点)1,3,1(A ，)1,5,2(B ，)0,2,1(C 的单比)(ABC = 1
二、求二阶曲线的方程，它是由下列两个射影线束所决定的：
130x x λ-=与23'0x x λ-= 且 '2'10λλλλ-++=。
解：射影对应式为'2'10λλλλ-++=。
由两线束的方程有：1233
,'x x x x λλ=
=。
将它们代入射影对应式并化简得，
2
122313320x x x x x x x +-+=
此即为所求二阶曲线的方程。
三、如果两个三点形内接于同一条二次曲线，则它们也同时外切于一条二次曲线。
（10分）
证明：三点形ABC 和三点形C B A '''内接于二次曲线（C ），设 AB C B ''=D AB C A ''=E B A '' BC=D '
B A '' AC=E '，则),,,(B A B A
C '''∧),,,(B A B A C ''所以，
),E ,
D ,(B A ∧),,,(B A B A C '''∧),,,(B A B A C ''∧)D ,,,
E (''''A B
即),E ,D ,(B A ∧)D ,,,E (''''A B
这两个点列对应点的连线AC ，B C ''，A C '',BC 连同这两个点列的底AB ，
B A ''属于同一条二级曲线
（C '），亦即三点形ABC 和三点形C B A '''的边外切一条二次曲线。
四、已知四直线1l ,2l ,3l ,4l 的方程顺次为12x -2x +3x =0，13x +2x -32x =0, 17x -2x =0，
15x -3x =0, 求证四直线共点，并求（1l 2l ,3l 4l ）的值。
解：因为
1
7213
112---=0且1
5
01
7213---=0
所以1l ,2l ,3l ,4l 共点。
四直线与x 轴（2x =0）的交点顺次为
A(1,0,-2),B(2,0,3),C(0,0,1),D(1,0,5),非齐次坐标为A(-21,0),B(32,0),C(0,0),D(51
,0)， 所以 （1l 2l ,3l 4l ）=（AB ，CD ）=
)
2
151)(320()
3251)(210(+--+=21 五、求两对对应元素，其参数为12
1
→，0→2，所确定的对合方程。
（10分）
解 设所求为 a λλ'+b(λ+λ')+d=0
①
将对应参数代入得：
21a+（1+2
1
）b+d=0 ②
（0+2）b+d=0 ③ 从①②③中消去a,b,d 得
1
2
012321
1
λλλλ'+'=0 即λλ'+λ+λ'-2=0为所求
六、求直线32163x x x +-=0关于212
2212x x x x -++231x x -632x x =0之极点。
（12分）
解：设0p （0
30201,,x x x ）为所求，则
⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡----031311111⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡03020
1x x x =⎥⎥
⎥⎦⎤
⎢
⎢⎢⎣⎡-613 解线性方程组
⎪⎪⎩
⎪⎪⎨⎧=--=-+-=+-6133020103020
10
30201x x x x x x x x
得即,1,1,30
30201-=-==x x x （3，-1，-1）为所求极点的坐标
七、叙述帕萨卡定理的内容并证明其定理。
（12分）
定理：内接于二阶曲线的简单六点形，三对对应边的交点在同一直线上。
证明：设简单六点形654321A A A A A A ，其三对对边的交点分别为L ，M ，N ， L= 21A A 54A A ，M=32A A 65A A ，N=43A A 16A A 以1A ,3A 为中心，分别连接其他四点，则由定理得到()65421A A A A A ∧()65423A A A A A
设P A A A A =5421 ， Q A A A A =4365
则()65421A A A A A ∧()P A A L 54,,，()65423A A A A A ∧()65,,A A Q M
所以，()P A A L 54,,∧()65,,A A Q M 由于两个点列底的交点5A →5A ，故有 ()P A A L 54,,∧()65,,A A Q M
所以LM ，Q A 4，5PA 三点共点，但Q A 4 5PA =N, 即L ，M ，N 三点共线。
八、用两种方法求双曲线042322
2
=-+-+y x xy y x 的渐近线方程。
（12分）
解：方法一
设渐近线的方程为
0)3
23
2
22
1
12
3
13
2
12
1
11
(=+++++x a x a x a k x a x a x a
根据公式得 01232=++-k k
解之，得31
,121-==k k ，所以渐近线方程为
0)23(1=--+++y x y x 和
0)23(3
1
1=---++y x y x
化简，得所求为
2x-2y-1=0 和2x+6y+5=0
方法二
先求出中心，因为
131=A ，332=A ，433-=A
所以中心为⎪⎭
⎫
⎝⎛--43,41C 代入公式得渐近线方程
03433434124
3412
2
=-⎪⎭⎫ ⎝⎛+-⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛
++⎪⎭
⎫ ⎝
⎛+⎪⎭
⎫ ⎝⎛+y x y y x
分解因式得
⎪⎭⎫ ⎝
⎛
+41x -⎪⎭⎫ ⎝⎛+43y =0
⎪⎭⎫ ⎝⎛
+41x +⎪⎭
⎫
⎝⎛+
433y =0 化简，得所求为
2x-2y-1=0 和2x+6y+5=0。