《运筹学》胡运权清华版-5-05指派问题
运筹学基础及应用第五版 胡运权第四章
率通常用表格形式表示为效率表，表格中数字组成效率 矩阵。
例2. 有一份说明书，要分别翻译成英、日、德、俄 四种文字，交甲、乙、丙、丁四个人去完成。因各人专长 不同，使这四个人分别完成四项任务总的时间为最小。效 率表如下：
效率矩阵用[aij] 表示，为
2 10 9 7
这样松弛问题 L0 变为了求解下述两个问题：
L1 : m ax z 3 x1 2 x2 L2 : m ax z 3 x1 2 x2
2 x1 3 x2 14
x1 x2
0.5 x2 2
4 .5
x1 , x 2 0
2 x1 3 x2 14
x1 x2
0.5 3
x2
4 .5
③矩阵中所有零元素或被划去，或打上括号，但打括 号的零元素少于 m ，这时转入第四步。
第四步：按定理 1 进行如下变换
1. 从矩阵未被直线覆盖的数字中找出一个最小的 k ；
2. 对矩阵中的每行，当该行有直线覆盖时，令 ui= 0， 无直线覆盖的，令 ui= k ；
3. 对矩阵中有直线覆盖的列，令 vj= -k，对无直线覆 盖的列，令 vj= 0 ；
现在还没有任何整数解，可以令（0，0）作为初始整
数解，因此有 z =0 。
（3）分枝
将线性规划问题 L0分为两枝。 在 L0的最优解中，任选一个非整数变量，如 x2=2.5 ； 因 x2 的最优整数解只可能是 x2≤2 或 x2≥3 ，故在 L0中分 别增加约束条件： L0加上约束条件 x2≤2 ，记为 L1； L0加 上约束条件 x2≥3 ，记为 L2 。这样，将分解成两个子问题 L1 和 L2（即两枝）。
x1
,
运筹学完整版胡运权
运筹学简述
运筹学的历史
“运作研究(Operational Research)小组”:解决复 杂的战略和战术问题。例如：
1. 如何合理运用雷达有效地对付德军德空袭 2. 对商船如何进行编队护航，使船队遭受德国潜
艇攻击时损失最少； 3. 在各种情况下如何调整反潜深水炸弹的爆炸深
度，才能增加对德国潜艇的杀伤力等。
线性规划问题的数学模型
Page 16
2. 线性规划的数学模型由三个要素构成 决策变量 Decision variables 目标函数 Objective function 约束条件 Constraints
怎样辨别一个模型是线性规划模型？
其特征是： （1）问题的目标函数是多个决策变量的线性函数， 通常是求最大值或最小值； （2）问题的约束条件是一组多个决策变量的线性不 等式或等式。
x3) x3)
x5 2 5
x1 , x2 , x3 , x3, x4 , x5 0
Page 25
线性规划问题的数学模型
Page 26
4. 线性规划问题的解
线性规划问题
n
max Z c j x j (1) j1
s.t
n j1
aij x j
bi
(i 1,2,, m)
每年节约成本600万美元 每年节约成本7000万
优化商业用户的电话销售中心选址
控制成本库存（制定最优再定购点和定购 量确保安全库存） 制定最优铁路时刻表并调整铁路日运营量
优化员工安排，以最低成本服务客户
每年节约成本4.06亿美元，销 售额大幅增加 每年节约成本380万美元
每年节约成本1500万美元， 年收入大幅增加。 每年节约成本1300万美元
绪论
运筹学教程（第二版）（胡运权）课后答案（清华大学出版社）
运筹学教程（第⼆版）（胡运权）课后答案（清华⼤学出版社）运筹学教程（第⼆版）习题解答第⼀章习题解答运筹学教程1.1 ⽤图解法求解下列线性规划问题。
并指出问题具有惟⼀最优解、⽆穷多最优解、⽆界解还是⽆可⾏解。
1 2x , x ≥ 0 ? ≤ 2 2 1 ? .? 2 x 1 - x 2 ≥ 2st- 2 x + 3x (4) max Z = 5 x 1 + 6 x 2≤ 82 5 ≤ x ? 1 ? 5 ≤ x ≤ 10 .?max Z = x 1 + x 26 x 1 + 10 x 2 ≤ 120st ?(3) 1 2 x , x ≥ 0 ? 2 1 ? ? ? 4 x 1 + 6 x 2 ≥ 6st .?2 x + 2 x ≥ 4 (1) min Z = 2 x 1 +3 x 21 2 ? ≥ 12 2 1 ? x , x ≥ 0 .? ?2 x 1 + x 2 ≤ 2st ?3x + 4 x (2) max Z = 3x 1 + 2 x 2x , x ≥ 0 1 2该问题⽆解≥ 12 2 1 ? ? 2 x 1 + x 2 ≤ 2st .?3 x +4 x ( 2 ) max Z = 3 x 1 + 2 x 2第⼀章习题解答3 2 1x = 1, x = 1, Z = 3是⼀个最优解⽆穷多最优解，1 2x , x ≥ 0 ? 2 1 ? ? ? 4 x 1 + 6 x 2 ≥ 6st .?2 x + 2 x ≥ 4 (1) min Z = 2 x 1 +3 x 2该问题有⽆界解1 2x , x ≥ 0 ? ≤ 2 2 1 ? .? 2 x 1 - x 2 ≥ 2st- 2 x + 3x (4) max Z = 5x 1 + 6 x 2第⼀章习题解答唯⼀最优解， x 1 = 10, x 2 = 6, Z = 16 ≤ 82 5 ≤ x ?1 ? 5 ≤ x ≤ 10 .?max Z = x 1 + x 26 x 1 + 10 x 2 ≤ 120st ?(3)第⼀章习题解答运筹学教程1.2 将下述线性规划问题化成标准形式。
胡运权《运筹学教程》(第5版)配套题库-考研真题精选及课后习题(第一~三章)【圣才出品】
2．μ是关于可行流 f 的一条增广链，则在μ上有：对一切（i，j）∈μ－，有 fij＞0。（ ） [暨南大学 2019 研]
【答案】√ 【解析】由增广链定义可知，当边（i，j）属于μ的反向边集时，该条边的流量大于 0。
3．事件 j 的最早时间 TE（j）是指以事件 j 为开工事件的工序最迟必须开工时间。（ ） [暨南大学 2019 研]
零元素的最少直线数目的集合。结果如下：
4 / 113
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（4）在未被覆盖的元素中找最小元素，未被覆盖的行分别减去该最小元素，在出现负
数的列上整列加上最小元素，得到新矩阵 C′：
0 2 6 1 0 0 4
表 1-1-1
解：（1）先对各行减去本行的最小元素，再对各列减去本列最小元素，得到矩阵 C 如
下：
0 2 6 9
C 1 4 4 0 1 0 0 3 2 3 6 0
（2）确定独立零元素，对 C 加圈，得到
◎ 2 6 9
C
1
1
4 ◎
4
◎ 3
2
3
6
（3）由于只有 3 个独立零元素，少于系数矩阵阶数 n＝4，故需要确定能够覆盖所有
A．没有无穷多最优解 B．没有最优解 C．有无界解 D．有最优解 【答案】B 【解析】有最优解的前提是有可行解，该题无可行解，则也无最优解。
2．如果某种资源的影子价格大于其市场价格，则说明（ ）。[暨南大学 2019 研] A．该资源稀缺 B．该资源过剩 C．企业应尽快处理该资源 D．企业应充分利用该资源，开辟新的生产途径 【答案】A 【解析】当资源的影子价格不为 0 时，表明该种资源在生产中已耗费完毕；且若影子 价格大于其市场价格，说明企业应买进该种资源，该种资源稀缺。
运筹学清华大学出版社胡运权着课后答案
�12 x1 � 3 x2 � 6 x3 � 3 x4 � 9
(1)
st
��8 ��3
x1 x1
� �
x2 x6
� 4 x3 �0
�
2 x5
� 10
�� x j � 0�, j � 1,� ,6�
min Z � 5 x1 � 2 x2 � 3 x3 � 2 x4
� x1 � 2 x2 � 3 x3 � 4 x4 � 7
运筹学教程�第二版� 习题解答
运筹学教程
1.1 用图解法求解下列线性规划问题。并指出问 题具有惟一最优解、无穷多最优解、无界解还是无可 行解。
min Z � 2 x1 � 3 x2 � 4 x1 � 6 x2 � 6
(1) st .�� 2 x1 � 2 x2 � 4 �� x1 , x2 � 0
Z
0
0.5
2
0
5
0
0
1
1
5
2/5
0
11/5
0
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School of Management
运筹学教程
1.4 分别用图解法和单纯形法求解下述线性规划 问题�并对照指出单纯形表中的各基可行解对应图解 法中可行域的哪一顶点。
max Z � 10 x1 � 5 x2 �3 x1 � 4 x2 � 9
max Z � x1 � x2 �6 x1 � 10 x2 � 120 (3) st.�� 5 � x1 � 10 �� 5 � x2 � 8
max Z � 3x1 � 2 x2 �2 x1 � x2 � 2
(2) st.��3x1 � 4 x2 � 12 �� x1, x2 � 0
运筹学胡运权第五版课件
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添加目录项标题 运筹学基础知识 整数规划 图论与网络优化
课件概览 线性规划 动态规划
01
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02
课件概览
课件简介
课程名称：运筹学胡运权第五版课件 课程内容：包括线性规划、非线性规划、整数规划、动态规划、图与网络优化等 课程目标：帮助学生掌握运筹学的基本理论和方法提高分析和解决问题的能力 课程特点：理论与实践相结合注重案例分析和实际问题的解决
最小生成树问题：在无向图中寻找最小生 成树
最大流问题：在流网络中寻找最大流
最小费用流问题：在流网络中寻找最小费 用流
网络可靠性问题：评估网络可靠性提高网 络稳定性
网络优化算法：如Dijkstr算法、Floyd算 法、Kruskl算法等
网络优化算法
最短路径算 法：Dijkstr
算法、 Floyd算法
等
图论与网络优化应用案例
物流网络优化：通过图论方 法优化物流网络降低物流成 本
社交网络优化：通过图论方 法优化社交网络提高社交网
络的稳定性和可靠性
交通网络优化：通过图论方 法优化交通网络提高交通效 率
电力网络优化：通过图论方 法优化电力网络提高电力系
统的稳定性和可靠性
感谢观看
汇报人：
课件结构
• 运筹学概述 • 线性规划 • 非线性规划 • 动态规划 • 随机规划 • 决策分析 • 网络规划 • 排队论 • 库存论 • 博弈论 • 运筹学应用案例 • 运筹学发展前景 • 运筹学与其他学科的关系 • 运筹学学习方法与技巧
课件特点
内容全面：涵盖了运筹学的基本概念、理论和方法 结构清晰：按照章节进行划分便于理解和掌握 实例丰富：提供了大量的实例和案例便于理解和应用 习题丰富：提供了大量的习题和练习便于巩固和提高
清华大学《运筹学教程》胡运权主编课后习题答案
3 x1 x2 x5 3
st
4 x1 3 x2 x3 x6
x1
2 x2
x4
4
6
x j 0（, j 1,,4）
cj
CB
xB
b
-M x5 3
-M
x6
6
0
x4
4
cj zj
-4 x1 1
-M x6 2
0
x4
3
cj zj
-4
-1 0
x1
x2
x3
3
1
0
4
3 -1
1
20
7M-4 4M-1 -M
小于0 ,因此已经得到唯一最优解，最优解为：
X * 2 5 ,9 / 5,1,0T
max Z 10x1 15x2 12x3
5x1 3x2 x3 9
(4)
st
5x1 2x1
6x2 x2 x3
15x3 5
15
x j 0（, j 1,,3）
39
1.8 已知某线性规划问题的初始单纯形
表和用单纯形法迭代后得到下面表格,试求括
弧中未知数a∼l值。
项目
X1 X2 X3 X4 X5
X4 6 (b) (c) (d) 1 0
X5 1 -1 3 (e) 0 1
Cj－Zj
a -1 2 0 0
X1 (f) (g) 2 -1 1/2 0
X5 4 (h) (i) 1 1/2 1
Cj－Zj
0 -7 (j) (k) (l)
6 4
x1 , x2 0
无穷多最优解
(蓝 色 线 段 上 的 点 都 是 最优 解 ）
x1
6 5
,
x2
《运筹学》胡运权清华版-5-05指派问题
任务 A
B
C
D
人员
甲
9
17 16
7
乙
12
7
14 16
丙
8
17 14 17
丁
7
9
11
9
解：设决策变量xij,i＝1,2,3,4; j＝1,2,3,4
xij 01
表示分派第i人做第j项工作 表示不分派第i人做第j项工作
任务 A
B
C
D
人员
甲
x11
x12
x13
x14
乙
x21
x22
x23
x24
丙
x31
③反复进行①、 ②两步，直到所有0元素都被圈出 或划掉为止。
注：若遇到在所有的行和列中，0元素都不止一个 时，可任选其中一个0元素加O；然后作一直线覆盖该 列元素（或该行元素）。
对于本例
用一直线覆 盖所在列
第一行只有 一个0元素
2 10 5 0
c'ij
5 0
0 9
3 9 2 9
0 2 0 2
x11
x21
...
xn1
1
...
x1n x2n ... xnn 1
若C=(cij)n×n的第一行各元素分别加上一个常数k， 得到一个新矩阵C’=(c’ij) n×n
c11 k
C'
c21
cn1
c12 k c22 ... cn2
... c1n k
17 7 17
16 14 14
7 16
-7 -7
17 -8
运筹学教案胡运权版)
《绪论》（2课时）【教学流程图】举例引入，绪论运筹学运筹学与数学模型的基本概念管理学课堂练习课堂小结布置作业【教学方法】本课主要采用任务驱动和程序式思维相结合的教学方法，过程当中辅以案例讲解、启发提问、自主学习和协作学习等方式。
任务驱动是实现本课教学目标和完成教学内容的主要方法，任务是师生活动内容的核心，在教学过程中，任务驱动被多次利用。
自主学习能提高学生的自主探究能力，竞赛和协作学习调动学生的积极性，激发学生参与的热情。
学生之间互帮互助，共同分享劳动果实，从而激发了学生的团队意识，达到理想的教学效果。
【教学内容】一、教学过程：（一）举例引入：（5分钟）（1）齐王赛马的故事（2）两个囚犯的故事导入提问：什么叫运筹学？（二）新课：绪论一、运筹学的基本概念（用实例引入）例1-1战国初期，齐国的国王要求田忌和他赛马，规定各人从自己的上马、中马、下马中各选一匹马来比赛，并且说好每输一匹马就得支付一千两银子给予获胜者。
当时齐王的马比田忌的马强，结果每年田忌都要输掉三千两银子。
但孙膑给田忌出主意，可使田忌反输为赢。
试问：如果双方都不对自己的策略保密，当齐王先行动时，哪一方会赢？赢多少？反之呢？例1-2有甲乙两个囚犯正被隔离审讯，若两人都坦白，则每人判入狱8年；若两个人都抵赖，则每人判入狱1年；若只有一人坦白，则他初释放，但另一罪犯被判刑10年。
求双方的最优策略。
乙囚犯抵赖坦白甲囚犯抵赖 -1，-1 -10，0坦白 0，-10 -8，-8定义：运筹学（Operation Research）是运用系统化的方法，通过建成立数学模型及其测试，协助达成最佳决策的一门科学。
它主要研究经济活动和军事活动中能用数学的分析和运算来有效地配置人力、物力、财力等筹划和管理方面的问题。
二、学习运筹学的方法1、读懂教材上的文字；2、多练习做题，多动脑筋思考；3、作业8次；4、考试；5、EXCEL操作与手动操作结合。
二、学生练习（20分钟）三、课堂小结（5分钟）《线性规划及单纯形法》（2课时）【教学流程图】运筹学运筹学与线性规划的基本概念线性规划（结合例题讲解）线性规划的标准型目标函数结合例题讲解线性规划标准型的转化方法约束条件的右端常数约束条件为不等式课堂练习课堂小结布置作业【教学方法】本课主要采用任务驱动和程序式思维相结合的教学方法，过程当中辅以案例讲解、启发提问、自主学习和协作学习等方式。
《运筹学》教学大纲
《运筹学》教学大纲一、基本信息课程代码：2060241课程学分：3面向专业：物流管理课程性质：院级必修课开课院系：商学院物流管理系使用教材：教材《运筹学教程（第5版），胡运权，清华大学出版社，2018年》参考书目《运筹学习题集（第5版），胡运权，清华大学出版社，2019年》《管理运筹学（第2版），茹少峰，北京交通大学出版社，2017年》《运筹学（第3版），熊伟，机械工业出版社，2016年》《线性代数（第6版），同济大学数学系，高教出版社，2014年》《运筹学（第4版），运筹学教材组编写，清华大学出版社，2012年》先修课程：《高等数学（1）2100012（5）；高等数学（2）2100014（4）》二、课程简介运筹学是软科学中“硬度”较大的一门学科，兼有逻辑的数学和数学的逻辑的性质，是系统工程学和现代管理科学中的一种基础理论和不可缺少的方法、手段和工具；它是抽象的数学理论和丰富多彩的实践相结合的“桥梁”；它为学生未来从事生产社会实践和应用科学研究的工作人员提供了完整的数学方法和广阔的应用领域。
通过课程学习，培养学生的逻辑思维能力、定量分析能力，使学生系统掌握运筹学的基本理论与方法，能够针对实际问题运用所学的知识建立运筹学的数学模型，并能够求解常用的运筹学数学模型，进而给出可行性解决方案。
同时，引导学生运用运筹学方法分析和解决在生产社会实践、企业运作管理以及规划等过程中面临的问题，启发学生将运筹学的理论方法与各自的专业知识结合起来，也为进一步学习其他专业课程提供必要的基础。
三、选课建议学习该课程前学生应该具有一定的高等数学及线性代数基础，同时对管理和经济学知识有所了解。
本课程适合商学院经管类专业，建议学生在第四至第七学期期间安排开设。
四、课程与专业毕业要求的关联性六、课程内容（一）第1单元绪论1.教学内容：1.1运筹学释义与发展简史1.2运筹学研究的基本特征与基方法1.3运筹学主要分支简介1.4运筹学与管理科学1.5运筹学算法与应用软件简介2.知识要求：2.1理论课时2①理解运筹学研究的基本特征。
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assignment problem
• 指派问题的数学模型 • 指派问题解的特点 • 指派问题的求解方法——匈牙利法 • 非标准形式的指派问题
一、指派问题的数学模型
例、有四项任务需分派给甲、乙、丙、丁四个人去
做，这四个人都能承担上述四项任务，但完成各项任 务所需时间如下表所示。问应如何分派任务可使完成 任务的总工时最少？
②从第一列开始，若该列只有一个0元素，则给这个 0元素加O；同时作一直线覆盖该行元素。若该列无0元 素或者有两个及以上0元素（已被覆盖的不计在内）， 则转下列，直到最后一列为止；
③反复进行①、 ②两步，直到所有0元素都被圈出 或划掉为止。
若出现圈出的0元素个数<矩阵的阶数n，转步骤3。
3 对矩阵变换，使矩阵出现新的0元素。 ① 在未被直线覆盖的元素中，找最小元素k ② 无直线覆盖的行 -k 有直线覆盖的列 +k
cn1
cn2
...
cnn
指派问题模型1：
nn
min z
cij xij
i1 j 1
x11 x12 ... x1n 1
...
xn1 xn2 ... xnn 1
x11
x21
...
xn1
1
...
x1n x2n ... xnn 1
若C=(cij)n×n的第一行各元素分别加上一个常数k， 得到一个新矩阵C’=(c’ij) n×n
9
cij
12 8
17 7 17
16 14 14
7 16
-7 -7
17 -8
7
9
11
9
-7
-4
(cij’)
2 10 9 0 2 10 5 0
5 0 7 9 5 0 3 9
0 0
9 2
6 9 4 2
0 0
9 2
2 9 0 2
2 寻找独立0元素
表示对这行所代表的人 ， 只有一种任务可分派。
①从第一行开始，若该行只有一个0元素，则给这个 0元素加O；同时作一直线覆盖该列元素。若该行无0元 素或者有两个及以上0元素（已被覆盖的不计在内）， 则转下行，直到最后一行为止
min z＝7＋9＋6＋6＋6＝34
匈牙利法求解指派问题步骤总结
1. 变换系数矩阵，使其每行每列都出现0元素。首先 每行减去该行最小数，再每列减去该列最小数。
2. 寻找独立0元素
①从第一行开始，若该行只有一个0元素，则给这个 0元素加O；同时作一直线覆盖该列元素。若该行无0元 素或者有两个及以上0元素（已被覆盖的不计在内）， 则转下行，直到最后一行为止；
7 0 9 2 C＝0 8 7 0
8 7 1 0 4 0 0 2
1
最优解：
X＝1
1
1
即甲安排做第二项工作、乙做第一项、丙做第四项、丁做第三项。 总分为：Z＝92＋95＋90＋80＝357
15 20 10 9
6
5
4
7
10 13 16 17
15 20 10 9
6
5
4
7
10 13 16 17
0
0
0
0
求最大值的指派问题 匈牙利法的条件是：模型求最小值、效率cij≥0
设C=(cij)m×m 对应的模型是求最大值 max z
cij xij
ij
将其变换为求最小值
令
M
max i, j
表示这列所代表的任务已分 派完，不必再考虑别人了。
②从第一列开始，若该列只有一个0元素，则给这个 0元素加O；同时作一直线覆盖该行元素。若该列无0元 素或者有两个及以上0元素（已被覆盖的不计在内）， 则转下列，直到最后一列为止
③反复进行①、 ②两步，直到所有0元素都被圈出 或划掉为止。
注：若遇到在所有的行和列中，0元素都不止一个 时，可任选其中一个0元素加O；然后作一直线覆盖该 列元素（或该行元素）。
c11 k
C'
c21
cn1
c12 k c22 ... cn2
... c1n k
...
c2n
...
...
cnn
效率矩阵C’
指派问题模型2：
nn
min z
cij xij
i1 j1
c11 k
C'
c21
cn1
c12 k c22 ... cn2
... c1n k
...
i 1
第i人做一项工
作
n
xij 1
j 1
( i 1, ,n )
xij 0或1 (i 1, ,n; j 1, ,n)
二、指派问题的解的特点
可行解：
每行有且仅有一个1；
每列有且仅有一个1；
其余均为0。
例
0 1 0 0
xij
0 1
0 0
1 0
0 0
0 0 0 1
三、指派问题的求解方法——匈牙利法 源于Konig 的两个定理
问：定理1有什么用处？
一个特例—— 设某个指派问题的效率矩阵
0 8 13 15
C 24 6 0 12 15 0 14 10
14
9 12
0
1 0 0 0
xij
0 0
0 1
1 0
0 0
0 0 0 1
特点：0元素位于 不同行不同列
目标值z＝0。因cij≥0， 它必为最优解
定理1的用处——
尽管一般的效率矩阵中不会有这样的位于不同 行不同列的0元素，而定理1则给出了可以将一般的 效率矩阵转化成这样矩阵的理论依据。
对于本例
用一直线覆 盖所在列
第一行只有 一个0元素
2 10 5 0
c'ij
5 0
0 9
3 9 2 9
0 2 0 2
已出现4个独 立0元素
最优解
0 0 0 1
xij
0 1
1 0
0 0
0 0
0 0 1 0
匈牙利法求解指派问题举例2：
例12：求解指派问题，效率矩阵
4 8 7 15 12 7 9 17 14 10 C 6 9 12 8 7 6 7 14 6 10 6 9 12 10 6
+1
1 3 0 11 8 0 0 6 6 2 0 1 2 1 0 1 0 5 0 4 1 2 3 4 0
最优解
0 0 1 0 0
0 1 0 0 0
xij
1 0
0 0
0 0
0 1
0 0
0 0 0 0 1
cij
4 8 7 15 12 7 9 17 14 10 6 9 12 8 7 6 7 14 6 10 6 9 12 10 6
例 1 9 14 16 -1
C 26 8 2 14 -2 18 3 17 13 -3
18 13 16
4
-4
0 8 13 15
C ' 24 6 0 12 15 0 14 10
14 9 12
0
问：如何寻找位于不同行不同列的0元素？
又称独立0元素
定理2—— 若矩阵A中的元素可分为“0”和“非0”两部
i1
xij 0,1
i 1,2, ,4 j 1,2, ,4
目标：min （总时间）
总时间
任务 人员
甲 乙 丙 丁
A
B
C
D
9 x11
12x21 8 x31
17x12 7 x22 17x32
16x13 14x23 14x33
7 x41 9 x42 11x43
7 x14 16x24 17x34 9 x44
0 3 0 11 8 0 1 7 7 3 0 2 3 2 1 0 0 5 0 4 0 2 3 4 0
2 寻找独立0元素
若看作第三列 上的惟一0元素
用一直线覆 盖所在行
0 3 0 11 8 0 1 7 7 3 0 2 3 2 1 0 0 5 0 4 0 2 3 4 0
只圈出4个0， 即：只有4个独 立的0元素，少 于系数矩阵的 阶数5。
第二列只有惟 一0元素
若看作第五列 上的惟一0元素
3 对矩阵变换，使矩阵出现新的0元素。 ① 在未被直线覆盖的元素中，找最小元素k ② 无直线覆盖的行 -k 有直线覆盖的列 +k
转步骤2
k=1
0 3 0 11 8 0 1 7 7 3 -1 0 2 3 2 1 -1 0 0 5 0 4 0 2 3 4 0
推广——指派问题的数学模型
有n项任务，恰好n个人承担，第i 人完成第j 项
任务的花费(时间或费用等)为cij，如何分派使总花
费最省？ nn
min z cij xij
i1 j1
x ij
1 0
分派第i人做第j项工作 不分派第i人做第j项工作
第j项工作由一 n
个人做
xij 1 ( j 1 , ,n)
任务 E
J
G
R
F
人
甲
12
7
9
7
9
乙
8
9
6
6
6
丙
7
17
12
14
9
丁
15
14
6
6
10
戊
4
10
7
10
9
解为：
0 1 0 0 0
0
0
0
1
0
1 0 0 0 0
或：
0 1 0 0 0
0
0
0
1
0
0 0 0 0 1
0
01
0
0
1 0 0 0 0