固体物理学3晶格振动

第三章 晶格振动与晶体热力学性质3-1 一维晶格的振动一、 一维单原子链(简单格子)的振动 1. 振动方程及其解(1)模型：一维无限长的单原子链，原子间距(晶格常量)为a ，原子质量为m 。

用xn 和xk 分别表示序号为n 和k 的原子在t 时刻偏离平衡位置的位移，用x nk = x n -x k 表示在t 时刻第n 个和第k 个原子的相对位移。

(2)振动方程和解平衡时，第k 个原子与第n 个原子相距0r a k n =-)(r u 为两个原子间的互作用势能，平衡时为)(0r u ，t 时刻为)()(0r r u r u δ+=)()(0r r u r u δ+=⋅⋅⋅+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛+=3332220)(d d 61)(d d 21d d )(000r r u r r u r r u r u r r r δδδ ⋅⋅⋅+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎭⎫⎝⎛+=3332220000d d 61d d 21d d )()(nk r nk r nk r x r u x r u x r u r u r u 第 n 个与第 k 个原子间的相互作用力:⋅⋅⋅+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=-=2332200d d 21d d d d nk r nk r nkx r u x r u r u f 振动很微弱时，势能展开式中忽略掉（δr ）二次方以上的高次项---简谐近似。

(忽略掉作用力中非线性项的近似---简谐近似。

) 得: nk nk r nkx x r u f β-=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=022d d 022d d r r u ⎪⎪⎭⎫⎝⎛=β()k n kn x x f --=∑β原子的振动方程: ()k n knx x mx--=∑β..只考虑最近邻原子间的相互作用，且恢复力系数相等：()()11..+-----=n n n n x x x x n m x ββ ()11..2+----=n n n x x x nm x β给出试探解：()naq t i n A x --=ωe ])1([1e aq n t i n A x +--+=ω原子都以同一频率ω，同一振幅A 振动,其中naq 表示第n 个原子在t=0时刻的振动相位，相邻原子间的位相差为aq 。

晶格中各个原子间的振动相互间都存在着固定的位相关系,即原子的振动形成了波，这种波称为格波。

qπλ2=波长，q 实际上就是格波的波矢。

将试探解代入振动方程()11..2+----=n n nx x xn m x β得 : ()()[]2sin 41122aqm e em iaqiaqββω=-+-=-2sin2aq mβω= 色散关系 λπβπλλπωωamq v s i n/2===波速 2.色散关系;2,max maq βωωπ==±=当0,0min ===ωωq 当由色散关系式可画图如下:ω是波矢q 的周期性函数。

(-q)= (q)：格波频率ω在波矢空间具有反演对称性。

),(π2,为整数当l l aq q +=(q))q (ωω='且)(e )()π2(q x A q x n l a q na t i n =='⎪⎭⎫ ⎝⎛+--ω故取aq a ππ≤<-简约布里渊区 3. 玻恩---卡门周期性边界条件及波矢q 的取值 (1)玻恩---卡门周期性边界条件设在实际晶体外，仍然有无限多个完全相同的晶体相连接，各晶体中相对应的原子的运动情况都一样。

晶体中任一个原子，当其原胞标数增加N （N 为晶体中原胞的个数 ）后，其振动情况复原。

由N 个原胞组成的单原子链，由玻恩---卡门周期性边界条件: N n n x x += (2)波矢q 的取值对于一维布喇菲晶格(原胞标数与原子标数相同): N n n x x +=()])([e e aq N n t i naq t i A A +----=ωω 1e =iNaq l Naq ⋅=π2 l Naq π2=a q a ππ≤<-22N l N ≤<- 2,,2,1,0,1,),32(),22(),12(NN N N l ⋅⋅⋅-⋅⋅⋅------= (共N 个值) 波矢l Naq π2=也只能取N 个不同的值 晶格振动波矢只能取分立的值 波矢的数目(个数)=晶体原胞的数目 4. 长波极限: 0π2→=λqq ma aq m aq mβββω=≈=222sin2q V p ⋅=ω mav p β=在长波近似的情况下，晶体可视为连续介质，格波可视为弹性波。

二、一维双原子链(复式格)的 1. 运动方程和解(1) 模型:一维无限长原子链，原子质量为m 和M ，且m<M 。

设一个分子内两原子平衡位置的距离为b ，恢复力系数为β1，分子间两原子间的恢复力系数为β2，晶格常量为a 。

质量为M 的原子编号为2n-2 、2n 、2n+2、··· 质量为m 的原子编号为2n-1 、2n+1、2n+3、··· 若只考虑最近邻原子的相互作用，则有：()()122212212..-+----=n n n n nx x x x Mxββ()()n n n n n x x x x m x 21212212212..----=++++ββ(2)方程和解其他原子位移可按下列原则得出:(1)同种原子周围情况都相同，其振幅相同；原子不同，其振幅不同。

(2)相隔一个晶格常数2a 的同种原子，相位差为2aq 。

⎪⎭⎫ ⎝⎛--=aq n t i n A x 222eω()naq t i A --=ωe⎥⎦⎤⎢⎣⎡+--+'=q b a n t i n B x )22(12eω()naq t i B --=ωe2.色散关系)e ()(212iaq B A B A A M -----=-ββω )()e (122A B A B B m iaq ----=-ββω上式看成是以A 、B 为未知数的线性齐次方程；()()0e 21221=+--+-B A M iaq ββωββ()()0e 21221=-+++-B m A iaq ωββββ若A ，B 不全为零，必须其系数行列式为零，即:()()()()0e e 2212121221=-++-+--+-ωββββββωββm M iaqiaq()()02sin 42212212=+++-aq M m mM ββωββω ⎭⎬⎫⎩⎨⎧+-+±++=2sin )(16)()(22221212212aq mM M m M m mM ββββββω (1) 色散曲线⎭⎬⎫⎩⎨⎧+-++++=2sin )(16)()(22221212212aq mM M m M m mM oββββββω⎭⎬⎫⎩⎨⎧+-+-++=2sin )(16)()(22221212212aq mM M m M m mM Aββββββω⎭⎬⎫⎩⎨⎧+-++++=221212212omin)(16)()(2ββββββωmM M m M m mM ⎭⎬⎫⎩⎨⎧+-+-++=221212212max )(16)()(2ββββββωmM M m M m mM A)()(q q ωω=- ()q aq ωω=+)π((2)波矢q 的取值由玻恩----卡门边界条件，设晶体有N 个原胞，则：,)(22N n n x x +=()naq t i n A x --=ωe 2 ()()aq N n t i naq t i A A )(e e +----=ωω1e =iNaq l Naq π2= l Na q π2=a q a ππ≤<- 22N l N ≤<- (共有N 个值) 一维双原子链，每个原胞有两个原子，晶体的自由度数是2N 。

由N 个原胞组成的一维双原子链，波矢的数目为N ，频率的数目为2N ，格波(振动模式)数目为2N 。

晶格振动波矢的数目=晶体的原胞个数晶格振动频率(振动模式)的数目=晶体中原子的自由度数 3.声学波和光学波在长波近似的情况下，声学支格波与弹性波的情况类似。

(2)相邻原子的振幅之比对于声学支格波:声学支格波，相邻原子都是沿着同一方向振动的。

长声学波，相邻原子的位移相同，原胞内的不同原子以相同的振幅和位相作整体运动。

因此，可以说，长声学波代表了原胞质心的运动。

对于光学波:光学支格波，相邻原子振动方向是相反的。

长光学波，原胞的质心保持不动。

所以定性地说，长光学波代表原胞中两个原子的相对振动。

光学支格波，相邻原子振动方向是相反的。

声学支格波，相邻原子振动方向是相同的。

3-2 三维晶格的振动一、色散关系 1.模型设三维无限大的晶体,每个原胞中有n 个原子，各原子的质量分别为;,,,,321n m m m m ⋅⋅⋅ 原胞中这n 个原子平衡时的相对位矢分别为n r r r r ,,,,321⋅⋅⋅。

2.运动方程和解⋅⋅⋅=⎪⎪⎭⎫⎝⎛s l m u s α..(α=1,2,3；s=1,2,3,···,n 共有3n 个方程) 在简谐近似下，上式的右端是位移的线性代数式。

试探解：=⎪⎪⎭⎫⎝⎛s l u α()[]()q R t i s q r R t i s l s l A A ..e e --+--='ωαωα ⋅⋅⋅=-αωs s A m 2可得到3n 个线性齐次方程。

As 有非零解,必须其系数行列式为零在3n 个实根中，其中有3个当波矢q ——〉 0时, )3,2,1(,)(A A ==i q q v i i ω这3支格波称为声学波。

其余的(3n-3)支格波的频率比声学波的最高频率还要高称之为光学波。

3.2.2 波矢q 的取值和范围沿基矢方向各有N1、N2、N3个原胞,11a N R l +3322111)(a l a l a N l +++= 22a N R l +3322211)(a l a N l a l +++=根据玻恩---卡门周期性条件：⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫⎝⎛+=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛s N l l l u s l l l u s l u s l N l l u s l l l u s l u s l l N l u s l l l u s l u 33,213,21,3,2213,21,32113,21,,,,ααααααααα ()q R t i l A s l u .e --=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛ωαα ()q a N q R t i q R t i l l ⋅-⋅--⋅--=11e e )(ωω 111π2μ=⋅q a N π2111N q a μ=⋅()q a N q R t i q R t i l l ⋅-⋅--⋅--=22e e )(ωω 222π2μ=⋅q a N π2222N q a μ=⋅()q a N q R t i q R t i l l ⋅-⋅--⋅--=33e e )(ωω 333π2μ=⋅q a N π2333N q a μ=⋅波矢q 具有倒格矢的量纲，得出 333222111N b N b N b q μμμ++=三维格波的波矢不是连续的而是分立的，其中332211N b N b N b 、、为波矢的基矢，波矢的点阵亦具有周期性。