用单调性优化动态规划
1D1D动态规划优化初步word精品文档9页
1D/1D 动态规划优化初步所谓1D/1D 动态规划，指的是状态数为O(n)，每一个状态决策量为O(n)的动态规划方程。
直接求解的时间复杂度为O(n 2)，但是，绝大多数这样的方程通过合理的组织与优化都是可以优化到O(nlogn)乃至O(n)的时间复杂度的。
这里就想讲一讲我对一些比较初步的经典的优化方法的认识。
本文中不想进行过多的证明与推导，主要想说明经典模型的建立、转化与求解方法。
由于本人认识与水平相当有限，如果出现什么错误与疏漏，还请大牛多多指正。
另外，也希望大牛们更多地向我们介绍一下有关动态规划优化的更深入的东西。
本文中使用两种方式表示一个函数：f(x)与f[x]，用方括号表示的函数值可以在规划之前全部算出（常量），而用圆括号表示的函数值必须在规划过程中计算得到（变量）。
无论是什么函数值一经确定，在以后的计算中就不会更改。
经典模型一：11()min{()[,]}x i f x f i w i x -==+ 相信这个方程大家一定是不陌生的。
另外，肯定也知道一个关于决策单调性的性质： 假如用k(x)表示状态x 取到最优值时的决策，则决策单调性表述为： ,()()i j k i k j ∀≤≤，当且仅当：,[,][1,1][1,][,1]i j w i j w i j w i j w i j ∀≤+++≤+++，对于这个性质的证明读者可以在任意一篇讲述四边形不等式的文章中找到，所以这里不再重复。
而且，从实战的角度来看，我们甚至都不需要验证w 函数的这个性质，最经济也是最可靠的方法是写一个朴素算法打出决策表来观察（反正你总还是要对拍）。
当然，有的时候题目要求你做一点准备工作，去掉一些明显不可能的决策，然后在应用决策单调性。
这是上述性质也许会有点用处。
正如前文中所述，我们关注的重点是怎样实现决策单调性。
有了决策单调性，怎样高效地实现它呢？很容易想到在枚举决策的时候，不需要从1开始，只要从k(x-1)开始就可以了，但这只能降低常数，不可能起到实质性的优化。
ACM算法分类
经过我初步的整理,一个比较完整的归类已经完成,现在发布给大家,希望可以方便大家练习,如有不足,还请大家见谅,这个可能会随时有更新,请大家注意.如果有什么要求或补充的可以跟贴提出,勿水!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!OJ上的一些水题(可用来练手和增加自信)(poj3299,poj2159,poj2739,poj1083,poj2262,poj1503,poj3006,poj2255,poj3094)初期:一.基本算法:(1)枚举. (poj1753,poj2965)(2)贪心(poj1328,poj2109,poj2586)(3)递归和分治法.(4)递推.(5)构造法.(poj3295)(6)模拟法.(poj1068,poj2632,poj1573,poj2993,poj2996)二.图算法:(1)图的深度优先遍历和广度优先遍历.(2)最短路径算法(dijkstra,bellman-ford,floyd,heap+dijkstra)(poj1860,poj3259,poj1062,poj2253,poj1125,poj2240)(3)最小生成树算法(prim,kruskal)(poj1789,poj2485,poj1258,poj3026)(4)拓扑排序(poj1094)(5)二分图的最大匹配(匈牙利算法) (poj3041,poj3020)(6)最大流的增广路算法(KM算法). (poj1459,poj3436)三.数据结构.(1)串(poj1035,poj3080,poj1936)(2)排序(快排、归并排(与逆序数有关)、堆排) (poj2388,poj2299)(3)简单并查集的应用.(4)哈希表和二分查找等高效查找法(数的Hash,串的Hash)(poj3349,poj3274,POJ2151,poj1840,poj2002,poj2503)(5)哈夫曼树(poj3253)(6)堆(7)trie树(静态建树、动态建树) (poj2513)四.简单搜索(1)深度优先搜索(poj2488,poj3083,poj3009,poj1321,poj2251)(2)广度优先搜索(poj3278,poj1426,poj3126,poj3087.poj3414)(3)简单搜索技巧和剪枝(poj2531,poj1416,poj2676,1129)五.动态规划(1)背包问题. (poj1837,poj1276)(2)型如下表的简单DP(可参考lrj的书page149):1.E[j]=opt{D[i]+w(i,j)} (poj3267,poj1836,poj1260,poj2533)2.E[i,j]=opt{D[i-1,j]+xi,D[i,j-1]+yj,D[i-1][j-1]+zij} (最长公共子序列)(poj3176,poj1080,poj1159)3.C[i,j]=w[i,j]+opt{C[i,k-1]+C[k,j]}.(最优二分检索树问题)六.数学(1)组合数学:1.加法原理和乘法原理.2.排列组合.3.递推关系.(POJ3252,poj1850,poj1019,poj1942)(2)数论.1.素数与整除问题2.进制位.3.同余模运算.(poj2635, poj3292,poj1845,poj2115)(3)计算方法.1.二分法求解单调函数相关知识.(poj3273,poj3258,poj1905,poj3122)七.计算几何学.(1)几何公式.(2)叉积和点积的运用(如线段相交的判定,点到线段的距离等). (poj2031,poj1039)(3)多边型的简单算法(求面积)和相关判定(点在多边型内,多边型是否相交)(poj1408,poj1584)(4)凸包. (poj2187,poj1113)中级:一.基本算法:(1)C++的标准模版库的应用. (poj3096,poj3007)(2)较为复杂的模拟题的训练(poj3393,poj1472,poj3371,poj1027,poj2706)二.图算法:(1)差分约束系统的建立和求解. (poj1201,poj2983)(2)最小费用最大流(poj2516,poj2516,poj2195)(3)双连通分量(poj2942)(4)强连通分支及其缩点.(poj2186)(5)图的割边和割点(poj3352)(6)最小割模型、网络流规约(poj3308, )三.数据结构.(1)线段树. (poj2528,poj2828,poj2777,poj2886,poj2750)(2)静态二叉检索树. (poj2482,poj2352)(3)树状树组(poj1195,poj3321)(4)RMQ. (poj3264,poj3368)(5)并查集的高级应用. (poj1703,2492)(6)KMP算法. (poj1961,poj2406)四.搜索(1)最优化剪枝和可行性剪枝(2)搜索的技巧和优化(poj3411,poj1724)(3)记忆化搜索(poj3373,poj1691)五.动态规划(1)较为复杂的动态规划(如动态规划解特别的施行商问题等)(poj1191,poj1054,poj3280,poj2029,poj2948,poj1925,poj3034)(2)记录状态的动态规划. (POJ3254,poj2411,poj1185)(3)树型动态规划(poj2057,poj1947,poj2486,poj3140)六.数学(1)组合数学:1.容斥原理.2.抽屉原理.3.置换群与Polya定理(poj1286,poj2409,poj3270,poj1026).4.递推关系和母函数.(2)数学.1.高斯消元法(poj2947,poj1487, poj2065,poj1166,poj1222)2.概率问题. (poj3071,poj3440)3.GCD、扩展的欧几里德(中国剩余定理) (poj3101)(3)计算方法.1.0/1分数规划. (poj2976)2.三分法求解单峰(单谷)的极值.3.矩阵法(poj3150,poj3422,poj3070)4.迭代逼近(poj3301)(4)随机化算法(poj3318,poj2454)(5)杂题.(poj1870,poj3296,poj3286,poj1095)七.计算几何学.(1)坐标离散化.(2)扫描线算法(例如求矩形的面积和周长并,常和线段树或堆一起使用).(poj1765,poj1177,poj1151,poj3277,poj2280,poj3004)(3)多边形的内核(半平面交)(poj3130,poj3335)(4)几何工具的综合应用.(poj1819,poj1066,poj2043,poj3227,poj2165,poj3429)高级:一.基本算法要求:(1)代码快速写成,精简但不失风格(poj2525,poj1684,poj1421,poj1048,poj2050,poj3306)(2)保证正确性和高效性. poj3434二.图算法:(1)度限制最小生成树和第K最短路. (poj1639)(2)最短路,最小生成树,二分图,最大流问题的相关理论(主要是模型建立和求解)(poj3155, poj2112,poj1966,poj3281,poj1087,poj2289,poj3216,poj2446(3)最优比率生成树. (poj2728)(4)最小树形图(poj3164)(5)次小生成树.(6)无向图、有向图的最小环三.数据结构.(1)trie图的建立和应用. (poj2778)(2)LCA和RMQ问题(LCA(最近公共祖先问题) 有离线算法(并查集+dfs) 和在线算法(RMQ+dfs)).(poj1330)(3)双端队列和它的应用(维护一个单调的队列,常常在动态规划中起到优化状态转移的目的). (poj2823)(4)左偏树(可合并堆).(5)后缀树(非常有用的数据结构,也是赛区考题的热点).(poj3415,poj3294)四.搜索(1)较麻烦的搜索题目训练(poj1069,poj3322,poj1475,poj1924,poj2049,poj3426)(2)广搜的状态优化:利用M进制数存储状态、转化为串用hash表判重、按位压缩存储状态、双向广搜、A*算法. (poj1768,poj1184,poj1872,poj1324,poj2046,poj1482)(3)深搜的优化:尽量用位运算、一定要加剪枝、函数参数尽可能少、层数不易过大、可以考虑双向搜索或者是轮换搜索、IDA*算法. (poj3131,poj2870,poj2286)五.动态规划(1)需要用数据结构优化的动态规划.(poj2754,poj3378,poj3017)(2)四边形不等式理论.(3)较难的状态DP(poj3133)六.数学(1)组合数学.1.MoBius反演(poj2888,poj2154)2.偏序关系理论.(2)博奕论.1.极大极小过程(poj3317,poj1085)2.Nim问题.七.计算几何学.(1)半平面求交(poj3384,poj2540)(2)可视图的建立(poj2966)(3)点集最小圆覆盖.(4)对踵点(poj2079)八.综合题.(poj3109,poj1478,poj1462,poj2729,poj2048,poj3336,poj3315,poj2148,poj1263)同时由于个人练习的时候可能有些偏向性,可能上面的总结不是很全,还请大家提出和指正,而且由于ACM 的题目中专门针对某个算法的题目可能比较少出现,所以上面的分类中的题有可能有多种解法或者是一些算法的综合,这都不会影响大家做题,希望练习的同学能够认真,扎实地训练,做到真正的理解算法,掌握算法.同时在论坛上还有许多前辈的分类,总结,大家也可以按自己的情况采用.注意FTP上有很多的资料,希望大家好好地利用.如果同学能在明年暑假前能掌握上面大部分算法,那你也基本上达到了训练的目的,到暑假的时候你就可以选择自己比较喜欢的方面进行加深和强化,而且同学们不要觉得看算法的证明是很麻烦的事,这可以加强你的思维能力,这在ACM中也很重要.同时也希望老队员能帮助我整理习题和题目分类.同时ACM的题目是没有范围的,只能在平时中多积累多练习,多比别人多努力一点,你就会比别人多一线希望.动态规划、搜索方面的资料Dp状态设计与方程总结1.不完全状态记录<1>青蛙过河问题<2>利用区间dp2.背包类问题<1> 0-1背包，经典问题<2>无限背包，经典问题<3>判定性背包问题<4>带附属关系的背包问题<5> + -1背包问题<6>双背包求最优值<7>构造三角形问题<8>带上下界限制的背包问题(012背包)3.线性的动态规划问题<1>积木游戏问题<2>决斗（判定性问题）<3>圆的最大多边形问题<4>统计单词个数问题<5>棋盘分割<6>日程安排问题<7>最小逼近问题(求出两数之比最接近某数/两数之和等于某数等等)<8>方块消除游戏(某区间可以连续消去求最大效益)<9>资源分配问题<10>数字三角形问题<11>漂亮的打印<12>邮局问题与构造答案<13>最高积木问题<14>两段连续和最大<15>2次幂和问题<16>N个数的最大M段子段和<17>交叉最大数问题4.判定性问题的dp(如判定整除、判定可达性等)<1>模K问题的dp<2>特殊的模K问题，求最大(最小)模K的数<3>变换数问题5.单调性优化的动态规划<1>1-SUM问题<2>2-SUM问题<3>序列划分问题(单调队列优化)6.剖分问题(多边形剖分/石子合并/圆的剖分/乘积最大)<1>凸多边形的三角剖分问题<2>乘积最大问题<3>多边形游戏(多边形边上是操作符,顶点有权值)<4>石子合并(N^3/N^2/NLogN各种优化)7.贪心的动态规划<1>最优装载问题<2>部分背包问题<3>乘船问题<4>贪心策略<5>双机调度问题Johnson算法8.状态dp<1>牛仔射击问题(博弈类)<2>哈密顿路径的状态dp<3>两支点天平平衡问题<4>一个有向图的最接近二部图9.树型dp<1>完美服务器问题(每个节点有3种状态)<2>小胖守皇宫问题<3>网络收费问题<4>树中漫游问题<5>树上的博弈<6>树的最大独立集问题<7>树的最大平衡值问题<8>构造树的最小环1001 1037 1048 1049 1051 1067 1115 1151 1201 1205 1216 1240 1241 1242 1251 1292 1331 1334 1337 1338 1350 1365 1382 1383 1394 1402 1405 1414 1494 1514 1622 1715 1730 1755 1760 1763 1796 1813 1879 1889 1904 1915 1949 2001 2022 2099 2104 2108 2172 2176 2201 2208 2321 2345 2351 2376 2388 2405 2417 2433模拟问题：1006 1009 1012 1016 1019 1023 1026 1028 1038 1042 1045 1051 1056 1057 1058 1061 1065 1066 1068 1072 1073 1078 1087 1088 1097 1098 1099 1103 1111 1121 1124 1126 1128 1133 1138 1146 1152 1154 1160 1175 1178 1187 1194 1207 1222 1224 1244 1259 1267 1274 1275 1277 1278 1279 1281 1282 1294 1295 1300 1308 1317 1324 1339 1351 1362 1392 1393 1397 1398 1399 1400 1402 1432 1434 1444 1452 1475 1487 1493 1497 1517 1526 1527 1530 1531 1552 1569 1573 1592 1601 1610 1623 1631 1641 1652 1657 1659 1682 1692 1700 1702 1707 1708 1712 1728 1732 1737 1746 1747 1750 1752 1754 1758 1764 1768 1774 1797 1799 1804 1807 1811 1822 1824 1831 1834 1837 1838 1842 1844 1845 1854 1858 1862 1870 1881 1884 1889 1896 1906 1921 1951 1969 1978 2000 2022 2040 2046 2047 2051 2072 2084 2101 2112 2131 2133 2138 2148 2153 2156 2160 2164 2172 2178 2184 2185 2187 2189 21932196 2201 2204 2208 2211 2212 2220 2229 2233 2239 2240 2261 2262 2269 2277 2288 2301 2309 2311 2312 2316 2320 2321 2322 2328 2330 2350 2389 2405 2410 2414 2420 2421 2483 2508 2560 2569 2572 2593 2613 2617 2680 2681 2731 2732 2743动态规划：1013 1022 1025 1027 1074 1076 1093 1094 1100 1107 1108 1136 1149 1183 1196 1200 1206 1227 1234 1245 1249 1250 1276 1303 1346 1353 1366 1368 1387 1424 1425 1428 1446 1448 1449 1454 1459 1462 1463 1470 1474 1475 1483 1484 1490 1499 1503 1512 1515 1520 1524 1539 1540 1554 1563 1567 1579 1602 1607 1611 1629 1638 1642 1651 1666 1695 1713 1717 1731 1733 1736 1738 1743 1756 1757 1787 1792 1800 1819 1853 1864 1877 1880 1893 1913 1918 1925 1953 1985 1986 1988 1991 1995 2002 2014 2025 2042 2058 2059 2067 2068 2069 2081 2096 2127 2136 2142 2144 2156 2180 2189 2202 2206 2213 2224 2227 2242 2244 2254 2255 2264 2271 2278 2280 2281 2283 2284 2297 2319 2337 2338 2341 2349 2353 2354 2366 2372 2374 2397 2401 2402 2414 2422 2424 2432 2498 2501 2521 2522 2527 2536 2547 2561 2563 2565 2568 2581 2591 2598 2604 2621 2624 2625 2626 2641 2642 2667 2673 2683 2685 2692 2702 2710 2711 2734 2739 2744 2745字符串处理问题：1002 1004 1005 1008 1016 1019 1046 1048 1049 1050 1051 1052 1053 1054 1055 1056 1061 1063 1086 1089 1091 1094 1099 1101 1103 1111 1115 1117 1118 1120 1123 1125 1126 1129 1130 1136 1139 1143 1150 1151 1152 1154 1159 1160 1168 1170 1177 1178 1179 1180 1181 1184 1188 1189 1190 1191 1192 1195 1197 1243 1295 1315 1325 1392 1582 1698 1707 1720 1729 1808 1831 1854 1858 1905 1963 1969 1970 1984搜索问题：1002 1003 1008 1031 1038 1039 1041 1060 1063 1069 1080 1083 1088 1089 1103 1144 1155 1190 1204 1217 1229 1249 1297 1301 1344 1355 1361 1412 1415 1435 1443 1457 1479 1505 1518 1530 1593 1649 1671 1675 1686 1709 1711 1719 1742 1832 1909 1935 1940 1977 1984 2031 2033 2043 2053 2093 2103 2110 2128 2165 2233 2241 2252 2276 2288 2355 2372 2374 2412 2416 2418 2437 2440 2442 2466 2471 2475 2477 2509 2515 2531 2534 2580 2588 2594 2631 2633 2688数论问题：1007 1028 1088 1113 1133 1160 1222 1278 1284 1312 1314 1385 1489 1526 1530 1569 1577 1596 1601 1652 1657 1712 1797 1842 1889 1906 1951 20002022 2028 2060 2095 2105 2156 2189 2212 2233 2277 2288 2305 2316 2320 2330 2360 2371 2400 2410 2414几何问题：1010 1032 1037 1041 1081 1090 1104 1123 1139 1165 1199 1426 1439 1460 1472 1597 1608 1648 1683 1910 2015 2102 2107 2157 2228 2234 2318 2335 2347 2352 2361 2370 2375 2394 2403树型结构问题：1011 1038 1043 1062 1141 1159 1167 1203 1319 1335 1387 1406 1481 1511 1542 1586 1610 1635 1674 1700 1752 1788 1805 1809 1900 1944 1955 1959 1965 1990 2243 2425图表问题：1015 1030 1082 1084 1085 1105 1119 1127 1130 1140 1203 1311 1377 1420 1453 1465 1492 1589 1798 1802 1919 1935 2016 2236 2238 2281 2326匹配问题：1002 1059 1077 1137 1140 1157 1197 1231 1364 1516 1525 1576 1626 1654 1882 2067 2192 2221 2223 2333 2362 2404pku题目分类麻烦题：1697, 1712, 1713, 1720, 1729, 1765, 1772, 1858, 1872, 1960, 1963, 2050, 2122, 2162, 2219, 2237,简单题目：1000, 1003, 1004, 1005, 1007, 1046, 1207, 1226, 1401, 1504, 1552, 1607, 1657, 1658, 1674, 1799, 1862, 1906, 1922, 1929, 1931, 1969, 1976, 2000, 2005, 2017, 2027, 2070, 2101, 2105, 2109, 2116, 2136, 2160, 2190, 2232, 2234, 2275, 2301, 2350, 2363, 2389, 2393, 2413, 2419,推荐：1063, 1064, 1131, 1140, 1715, 2163,杂题：1014, 1218, 1316, 1455, 1517, 1547, 1580, 1604, 1663, 1678, 1749, 1804, 2013, 2014, 2056, 2059, 2100, 2188, 2189, 2218, 2229, 2249, 2290, 2302, 2304, 2309, 2313, 2316, 2323, 2326, 2368, 2369, 2371, 2402, 2405, 2407,推荐：1146, 1147, 1148, 1171, 1389, 1433, 1468, 1519, 1631, 1646, 1672, 1681, 1700, 1701, 1705, 1728, 1735, 1736, 1752, 1754, 1755, 1769, 1781, 1787, 1796, 1797, 1833, 1844, 1882, 1933, 1941, 1978, 2128, 2166, 2328, 2383, 2420,高精度：1001, 1220, 1405, 1503,排序：1002, 1318, 1877, 1928, 1971, 1974, 1990, 2001, 2002, 2092, 2379, 2388, 2418, 推荐：1423, 1694, 1723, 1727, 1763, 1788, 1828, 1838, 1840, 2201, 2376, 2377, 2380,搜索容易：1128, 1166, 1176, 1231, 1256, 1270, 1321, 1543, 1606, 1664, 1731, 1742, 1745, 1847, 1915, 1950, 2038, 2157, 2182, 2183, 2381, 2386, 2426,不易：1024, 1054, 1117, 1167, 1708, 1746, 1775, 1878, 1903, 1966, 2046, 2197, 2349, 推荐：1011, 1190, 1191, 1416, 1579, 1632, 1639, 1659, 1680, 1683, 1691, 1709, 1714, 1753, 1771, 1826, 1855, 1856, 1890, 1924, 1935, 1948, 1979, 1980, 2170, 2288, 2331, 2339, 2340,数据结构容易：1182, 1656, 2021, 2023, 2051, 2153, 2227, 2236, 2247, 2352, 2395,不易：1145, 1177, 1195, 1227, 1661, 1834,推荐：1330, 1338, 1451, 1470, 1634, 1689, 1693, 1703, 1724, 1988, 2004, 2010, 2119, 2274,动态规划容易：1018, 1050, 1083, 1088, 1125, 1143, 1157, 1163, 1178, 1179, 1189, 1208, 1276, 1322, 1414, 1456, 1458, 1609, 1644, 1664, 1690, 1699, 1740, 1742, 1887, 1926, 1936, 1952, 1953, 1958, 1959, 1962, 1975, 1989, 2018, 2029, 2033, 2063, 2081, 2082, 2181, 2184, 2192, 2231, 2279, 2329, 2336, 2346, 2353, 2355, 2356, 2385, 2392, 2424,不易：1019, 1037, 1080, 1112, 1141, 1170, 1192, 1239, 1655, 1695, 1707, 1733, 1737, 1837, 1850, 1920, 1934, 1937, 1964, 2039, 2138, 2151, 2161, 2178,推荐：1015, 1635, 1636, 1671, 1682, 1692, 1704, 1717, 1722, 1726, 1732, 1770, 1821,1853, 1949, 2019, 2127, 2176, 2228, 2287, 2342, 2374, 2378, 2384, 2411,字符串：1488, 1598, 1686, 1706, 1747, 1748, 1750, 1760, 1782, 1790, 1866, 1888, 1896, 1951, 2003, 2121, 2141, 2145, 2159, 2337, 2359, 2372, 2406, 2408,贪心：1042, 1065, 1230, 1323, 1477, 1716, 1784,图论容易：1161, 1164, 1258, 1175, 1308, 1364, 1776, 1789, 1861, 1939, 1940, 1943, 2075, 2139, 2387, 2394, 2421,不易：1041, 1062, 1158, 1172, 1201, 1275, 1718, 1734, 1751, 1904, 1932, 2173, 2175, 2296,网络流：1087, 1273, 1698, 1815, 2195,匹配：1274, 1422, 1469, 1719, 2060, 2239,Euler：1237, 1637, 1394, 2230,推荐：2049, 2186,计算几何容易：1319, 1654, 1673, 1675, 1836, 2074, 2137, 2318,不易：1685, 1687, 1696, 1873, 1901, 2172, 2333,凸包：1113, 1228, 1794, 2007, 2187,模拟容易：1006, 1008, 1013, 1016, 1017, 1169, 1298, 1326, 1350, 1363, 1676, 1786, 1791, 1835, 1970, 2317, 2325, 2390,不易：1012, 1082, 1099, 1114, 1642, 1677, 1684, 1886,数学容易：1061, 1091, 1142, 1289, 1305, 1306, 1320, 1565, 1665, 1666, 1730, 1894, 1914, 2006, 2042, 2142, 2158, 2174, 2262, 2305, 2321, 2348,不易：1067, 1183, 1430, 1759, 1868, 1942, 2167, 2171, 2327,推荐：1423, 1450, 1640, 1702, 1710, 1721, 1761, 1830, 1930, 2140,。
算法合集之《从一类单调性问题看算法的优化》
单调优化问题
总结词
单调优化问题是指在一组约束条件下，寻找 一个满足单调递增或单调递减要求的解。
详细描述
在解决单调优化问题时，可以采用一些特殊 的优化算法，如梯度上升、分支定界等。这 些算法通过利用问题的单调性特点，能够更 快地找到满足要求的解。此外，也可以使用 一些智能优化算法，如粒子群优化、蚁群优 化等，对问题进行全局搜索，以找到更好的 解。
线性搜索法的缺点是时间复杂度较高， 在最坏情况下需要检查整个数组。
线性搜索法的优点是实现简单，适用 于任何类型的数组。
二分搜索法
二分搜索法是一种高效的搜索算 法，它通过将数组分成两半来缩
小搜索范围。
二分搜索法的优点是时间复杂度 较低，在最坏情况下只需要检查
数组的一半。
适用于已排序的数组，如果数组 未排序，需要先进行排序操作。
单调回归问题
总结词
单调回归问题是指通过回归分析预测一个变量的值，并要求预测结果满足单调递增或单 调递减的要求。
详细描述
在解决单调回归问题时，可以采用一些特殊的回归模型，如多项式回归、指数回归等， 通过选择合适的模型参数，使得预测结果满足单调性要求。此外，也可以使用一些启发 式算法，如模拟退火、遗传算法等，对回归参数进行优化，以提高预测的准确性和单调
05
总结与展望
算法优化的重要性
提高计算效率
01
优化算法可以显著提高计算效率，减少计算时间和资源消耗，
从而加快问题解决的速度。
提升精度和稳定性
02
优化算法可以改进计算的精度和稳定性，减少误差和不确定性，
提高结果的可靠性和准确性。
促进科技创新
03
算法优化是科技创新的重要推动力，它可以促进各领域的技术
动态规划及其在算法优化中的应用
动态规划及其在算法优化中的应用1. 简介动态规划（Dynamic Programming）是一种求解类似于递归问题的优化算法。
它是将一个问题分解成较小的子问题，通过求解子问题的最优解来求解原问题。
动态规划最初用于解决一些经典的最短路径问题和背包问题，现在它已经成为了算法设计中的一种重要技术。
2. 原理动态规划的基本思想是将问题划分成多个子问题。
对于一个问题，如果能将它分解成多个子问题，并且每个子问题的解都能构成原问题的解，那么这个问题就具有最优子结构性质。
动态规划的核心是状态转移方程。
对于状态转移方程的求解，需要几个重要的步骤：（1）确定状态：将原问题分解成子问题时，需要定义状态，将每个子问题定义成一个状态。
（2）找到状态转移方程：状态转移方程通常是用来描述从一个状态到另一个状态的过程，其中包括状态的转移和状态转移的代价。
（3）计算最优解：使用初始状态和状态转移方程计算问题的最优解。
3. 应用动态规划的应用广泛，包括计算机科学、经济学、运筹学等领域。
下面是几个常见的应用。
（1）最短路径问题最短路径问题指的是在图中寻找从起点到终点的最短路径。
动态规划可以用来解决最短路径问题，通过定义状态为起点到其它节点的最短路径，然后使用状态转移方程来计算最短路径。
（2）背包问题背包问题是一种利用动态规划解决的经典问题。
给定一组物品和一个背包，每个物品都有一定的重量和价值，需要在不超过背包容量的前提下选取尽量多的物品。
动态规划通过定义状态为背包容量和物品数量，然后使用状态转移方程来计算背包中可以放置物品的最大价值。
（3）RNA序列匹配RNA序列匹配问题是生物信息学中的一个经典问题。
动态规划可以用来解决RNA序列匹配问题，通过定义状态为两个RNA序列的匹配状态，然后使用状态转移方程来计算两个RNA序列间的最佳匹配。
4. 优化动态规划在算法设计中的最大优点是可以将大问题分解成多个小问题，然后通过求解小问题的最优解来解决大问题。
poj刷题专题训练3
（一）：用的比较多的初期:一.基本算法:(1)枚举. (poj1753,poj2965)(2)贪心(poj1328,poj2109,poj2586)(3)递归和分治法.(4)递推.(5)构造法.(poj3295)(6)模拟法.(poj1068,poj2632,poj1573,poj2993,poj2996)二.图算法:(1)图的深度优先遍历和广度优先遍历.(2)最短路径算法(dijkstra,bellman-ford,floyd,heap+dijkstra)(poj1860,poj3259,poj1062,poj2253,poj1125,poj2240)(3)最小生成树算法(prim,kruskal)(poj1789,poj2485,poj1258,poj3026)(4)拓扑排序(poj1094)(5)二分图的最大匹配(匈牙利算法) (poj3041,poj3020)(6)最大流的增广路算法(KM算法). (poj1459,poj3436)三.数据结构.(1)串(poj1035,poj3080,poj1936)(2)排序(快排、归并排(与逆序数有关)、堆排) (poj2388,poj2299)(3)简单并查集的应用.(4)哈希表和二分查找等高效查找法(数的Hash,串的Hash)(poj3349,poj3274,POJ2151,poj1840,poj2002,poj2503)(5)哈夫曼树(poj3253)(6)堆(7)trie树(静态建树、动态建树) (poj2513)四.简单搜索(1)深度优先搜索(poj2488,poj3083,poj3009,poj1321,poj2251)(2)广度优先搜索(poj3278,poj1426,poj3126,poj3087.poj3414)(3)简单搜索技巧和剪枝(poj2531,poj1416,poj2676,1129)五.动态规划(1)背包问题. (poj1837,poj1276)(2)型如下表的简单DP(可参考lrj的书page149):1.E[j]=opt{D+w(i,j)} (poj3267,poj1836,poj1260,poj2533)2.E[i,j]=opt{D[i-1,j]+xi,D[i,j-1]+yj,D[i-1][j-1]+zij} (最长公共子序列) (poj3176,poj1080,poj1159)3.C[i,j]=w[i,j]+opt{C[i,k-1]+C[k,j]}.(最优二分检索树问题)六.数学(1)组合数学:1.加法原理和乘法原理.2.排列组合.3.递推关系.(POJ3252,poj1850,poj1019,poj1942)(2)数论.1.素数与整除问题2.进制位.3.同余模运算.(poj2635, poj3292,poj1845,poj2115)(3)计算方法.1.二分法求解单调函数相关知识.(poj3273,poj3258,poj1905,poj3122)七.计算几何学.(1)几何公式.(2)叉积和点积的运用(如线段相交的判定,点到线段的距离等). (poj2031,poj1039)(3)多边型的简单算法(求面积)和相关判定(点在多边型内,多边型是否相交) (poj1408,poj1584)(4)凸包. (poj2187,poj1113)中级:一.基本算法:(1)C++的标准模版库的应用. (poj3096,poj3007)(2)较为复杂的模拟题的训练(poj3393,poj1472,poj3371,poj1027,poj2706)二.图算法:(1)差分约束系统的建立和求解. (poj1201,poj2983)(2)最小费用最大流(poj2516,poj2516,poj2195)(3)双连通分量(poj2942)(4)强连通分支及其缩点.(poj2186)(5)图的割边和割点(poj3352)(6)最小割模型、网络流规约(poj3308, )三.数据结构.(1)线段树. (poj2528,poj2828,poj2777,poj2886,poj2750)(2)静态二叉检索树. (poj2482,poj2352)(3)树状树组(poj1195,poj3321)(4)RMQ. (poj3264,poj3368)(5)并查集的高级应用. (poj1703,2492)(6)KMP算法. (poj1961,poj2406)四.搜索(1)最优化剪枝和可行性剪枝(2)搜索的技巧和优化(poj3411,poj1724)(3)记忆化搜索(poj3373,poj1691)五.动态规划(1)较为复杂的动态规划(如动态规划解特别的施行商问题等)(poj1191,poj1054,poj3280,poj2029,poj2948,poj1925,poj3034)(2)记录状态的动态规划. (POJ3254,poj2411,poj1185)(3)树型动态规划(poj2057,poj1947,poj2486,poj3140)六.数学(1)组合数学:1.容斥原理.2.抽屉原理.3.置换群与Polya定理(poj1286,poj2409,poj3270,poj1026).4.递推关系和母函数.(2)数学.1.高斯消元法(poj2947,poj1487, poj2065,poj1166,poj1222)2.概率问题. (poj3071,poj3440)3.GCD、扩展的欧几里德(中国剩余定理) (poj3101)(3)计算方法.1.0/1分数规划. (poj2976)2.三分法求解单峰(单谷)的极值.3.矩阵法(poj3150,poj3422,poj3070)4.迭代逼近(poj3301)(4)随机化算法(poj3318,poj2454)(5)杂题.(poj1870,poj3296,poj3286,poj1095)七.计算几何学.(1)坐标离散化.(2)扫描线算法(例如求矩形的面积和周长并,常和线段树或堆一起使用).(poj1765,poj1177,poj1151,poj3277,poj2280,poj3004)(3)多边形的内核(半平面交)(poj3130,poj3335)(4)几何工具的综合应用.(poj1819,poj1066,poj2043,poj3227,poj2165,poj3429)高级:一.基本算法要求:(1)代码快速写成,精简但不失风格(poj2525,poj1684,poj1421,poj1048,poj2050,poj3306)(2)保证正确性和高效性. poj3434二.图算法:(1)度限制最小生成树和第K最短路. (poj1639)(2)最短路,最小生成树,二分图,最大流问题的相关理论(主要是模型建立和求解)(poj3155, poj2112,poj1966,poj3281,poj1087,poj2289,poj3216,poj2446(3)最优比率生成树. (poj2728)(4)最小树形图(poj3164)(5)次小生成树.(6)无向图、有向图的最小环三.数据结构.(1)trie图的建立和应用. (poj2778)(2)LCA和RMQ问题(LCA(最近公共祖先问题) 有离线算法(并查集+dfs) 和在线算法(RMQ+dfs)).(poj1330)(3)双端队列和它的应用(维护一个单调的队列,常常在动态规划中起到优化状态转移的目的). (poj2823)(4)左偏树(可合并堆).(5)后缀树(非常有用的数据结构,也是赛区考题的热点).(poj3415,poj3294)四.搜索(1)较麻烦的搜索题目训练(poj1069,poj3322,poj1475,poj1924,poj2049,poj3426)(2)广搜的状态优化:利用M进制数存储状态、转化为串用hash表判重、按位压缩存储状态、双向广搜、A*算法. (poj1768,poj1184,poj1872,poj1324,poj2046,poj1482)(3)深搜的优化:尽量用位运算、一定要加剪枝、函数参数尽可能少、层数不易过大、可以考虑双向搜索或者是轮换搜索、IDA*算法. (poj3131,poj2870,poj2286)五.动态规划(1)需要用数据结构优化的动态规划.(poj2754,poj3378,poj3017)(2)四边形不等式理论.(3)较难的状态DP(poj3133)六.数学(1)组合数学.1.MoBius反演(poj2888,poj2154)2.偏序关系理论.(2)博奕论.1.极大极小过程(poj3317,poj1085)2.Nim问题.七.计算几何学.(1)半平面求交(poj3384,poj2540)(2)可视图的建立(poj2966)(3)点集最小圆覆盖.(4)对踵点(poj2079)八.综合题.(poj3109,poj1478,poj1462,poj2729,poj2048,poj3336,poj3315,poj2148,poj1263)----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------以及补充Dp状态设计与方程总结1.不完全状态记录<1>青蛙过河问题<2>利用区间dp2.背包类问题<1> 0-1背包，经典问题<2>无限背包，经典问题<3>判定性背包问题<4>带附属关系的背包问题<5> + -1背包问题<6>双背包求最优值<7>构造三角形问题<8>带上下界限制的背包问题(012背包)3.线性的动态规划问题<1>积木游戏问题<2>决斗（判定性问题）<3>圆的最大多边形问题<4>统计单词个数问题<5>棋盘分割<6>日程安排问题<7>最小逼近问题(求出两数之比最接近某数/两数之和等于某数等等)<8>方块消除游戏(某区间可以连续消去求最大效益)<9>资源分配问题<10>数字三角形问题<11>漂亮的打印<12>邮局问题与构造答案<13>最高积木问题<14>两段连续和最大<15>2次幂和问题<16>N个数的最大M段子段和<17>交叉最大数问题4.判定性问题的dp(如判定整除、判定可达性等)<1>模K问题的dp<2>特殊的模K问题，求最大(最小)模K的数<3>变换数问题5.单调性优化的动态规划<1>1-SUM问题<2>2-SUM问题<3>序列划分问题(单调队列优化)6.剖分问题(多边形剖分/石子合并/圆的剖分/乘积最大)<1>凸多边形的三角剖分问题<2>乘积最大问题<3>多边形游戏(多边形边上是操作符,顶点有权值)<4>石子合并(N^3/N^2/NLogN各种优化)7.贪心的动态规划<1>最优装载问题<2>部分背包问题<3>乘船问题<4>贪心策略<5>双机调度问题Johnson算法8.状态dp<1>牛仔射击问题(博弈类)<2>哈密顿路径的状态dp<3>两支点天平平衡问题<4>一个有向图的最接近二部图9.树型dp<1>完美服务器问题(每个节点有3种状态)<2>小胖守皇宫问题<3>网络收费问题<4>树中漫游问题<5>树上的博弈<6>树的最大独立集问题<7>树的最大平衡值问题<8>构造树的最小环（二）：麻烦题：1697, 1712, 1713, 1720, 1729, 1765, 1772, 1858, 1872, 1960, 1963, 2050, 2122, 2162, 22 19, 2237,简单题目：1000, 1003, 1004, 1005, 1007, 1046, 1207, 1226, 1401, 1504, 1552, 1607, 1657, 1658, 16 74, 1799, 1862, 1906, 1922, 1929, 1931, 1969, 1976, 2000, 2005, 2017, 2027, 2070, 2101, 2105, 2109, 2116, 2136, 2160, 2190, 2232, 2234, 2275, 2301, 2350, 2363, 2389, 2393, 2 413, 2419,推荐：1063, 1064, 1131, 1140, 1715, 2163,杂题：1014, 1218, 1316, 1455, 1517, 1547, 1580, 1604, 1663, 1678, 1749, 1804, 2013, 2014, 20 56, 2059, 2100, 2188, 2189, 2218, 2229, 2249, 2290, 2302, 2304, 2309, 2313, 2316, 2323, 2326, 2368, 2369, 2371, 2402, 2405, 2407,推荐：1146, 1147, 1148, 1171, 1389, 1433, 1468, 1519, 1631, 1646, 1672, 1681, 1700, 1701, 17 05, 1728, 1735, 1736, 1752, 1754, 1755, 1769, 1781, 1787, 1796, 1797, 1833, 1844, 1882, 1933, 1941, 1978, 2128, 2166, 2328, 2383, 2420,高精度：1001, 1220, 1405, 1503,排序：1002, 1318, 1877, 1928, 1971, 1974, 1990, 2001, 2002, 2092, 2379, 2388, 2418,推荐：1423, 1694, 1723, 1727, 1763, 1788, 1828, 1838, 1840, 2201, 2376, 2377, 2380,搜索1676,1376,@3009,容易：1128, 1166, @1176, 1231, 1256, @1270, 1321, @1543, 1606, @1664, 1731, 1742, @174 5, 1847, 1915, 1950, 2038, 2157, 2182, 2183, 2381, 2386, 2426,不易：1024, 1054, 1117, 1167, 1708, 1746, 1775, 1878, 1903, 1966, 2046, 2197, 2349,推荐：1011, 1190, 1191, 1416, 1579, 1632, 1639, 1659, 1680, 1683, 1691, 1709, 1714, 1753, 17 71, 1826, 1855, 1856, 1890, 1924, 1935, 1948, 1979, 1980, 2170, 2288, 2331, 2339, 2340,数据结构容易：1182, 1656, 2021, 2023, 2051, 2153, 2227, 2236, 2247, 2352, 2395,不易：1145, 1177, 1195, 1227, 1661, 1834,推荐：1330, @1338, 1451, 1470, 1634, 1689, 1693, @1703, 1724, 1988, 2004, 2010(堆), 2119, 2274,动态规划容易：1018, 1050, 1083, 1088, 1125, 1143（博弈树）, 1157, @1163, 1178, 1179, @1189, 1208, 1276, 1322, 1414, 1456, 1458, 1609, 1644, 1664, 1690, 1699, 1740, 1742, 1887, 1926, 19 36, 1952, 1953, 1958, 1959, 1962, 1975, 1989, 2018, 2029, 2033, 2063, 2081, 2082, 2181, 2184, 2192, 2231, 2279, 2329, 2336, 2346, 2353, 2355, 2356, 2385, 2392, 2424,不易：1019, 1037, 1080, 1112, 1141, 1170, 1192, 1239, 1655, 1695, 1707, 1733, 1737, 1837, 18 50, 1920, 1934, 1937, 1964, 2039, 2138, 2151, 2161, 2178,推荐：1015, 1635, 1636, 1671, 1682, 1692, 1704, 1717, 1722, 1726, 1732, 1770, 1821, 1853, 19 49, 2019, 2127, 2176, 2228, 2287, 2342, 2374, 2378, 2384, 2411,字符串：1488, ⊙1598, 1686, *1706, 1747, 1748, 1750, 1760, 1782, 1790, 1866, 1888, 1896, 1951, 2003, 2121, 2141, 2145, 2159, 2337, 2359, 2372, 2406, 2408,贪心：1042, 1065, 1230, 1323, 1477, 1716, 1784,图论容易：1161, 1164, 1258, 1175, 1308, 1364, 1776, 1789, 1861, 1939, 1940, 1943, 2075, 2139, 23 87, 2394, 2421,不易：1041, 1062, 1158, 1172, 1201, 1275, 1718, 1734, 1751, 1904, 1932, 2173, 2175, 2296,网络流：1087, 1273, 1698, 1815, 2195,匹配：1274, 1422, 1469, 1719, 2060, 2239,Euler：1237, 1637, 1394, 2230,推荐：2049, 2186,计算几何容易：@1319, @1654, @1673, @1675, 1836, 2074, 2137, 2318,不易：1685, 1687, 1696, 1873, 1901, 2172, 2333,凸包：1113, 1228, 1794, 2007, 2187,模拟容易：1006, 1008, 1013, 1016, 1017, 1169, 1298, 1326, 1350, 1363, 1676, 1786, 1791, 1835, 19 70, 2317, 2325, 2390,不易：1012, 1082, 1099, 1114, 1642, 1677, 1684, 1886,数学容易：@1061, @1091, @1142, 1289, @1305, @1306, 1320, @1565, @1665, 1666, @1730, @18 94, @1914, 2006, @2042, @2142, 2158, 2174, @2262, @2305, @2321, @2348,不易：@1067, @1183, 1430, 1759, 1868, 1942, 2167, 2171, 2327,推荐：@1423, 1450, 1640, @1702, 1710, 1721, 1761, 1830, @1930, @2140,（三）：1、排序1423, 1694, 1723, 1727, 1763, 1788, 1828, 1838, 1840, 2201, 2376, 2377, 2380, 1318, 18 77, 1928, 1971, 1974, 1990, 2001, 2002, 2092, 2379, 1002（需要字符处理，排序用快排即可）1007（稳定的排序）2159（题意较难懂）2231 2371（简单排序）2388（顺序统计算法）2418（二叉排序树）2、搜索、回溯、遍历1022 1111 1118 1129 1190 1562 1564 1573 1655 2184 2225 2243 2312 2362 2378 2386 1010,1011,1018,1020,1054,1062,1256,1321,1363,1501,1650,1659,1664,1753,2078,2083,2303,2 310,2329简单：1128, 1166, 1176, 1231, 1256, 1270, 1321, 1543, 1606, 1664, 1731, 1742, 1745, 18 47, 1915, 1950, 2038, 2157, 2182, 2183, 2381, 2386, 2426,不易：1024, 1054, 1117, 1167, 1708, 1746, 1775, 1878, 1903, 1966, 2046, 2197, 2349,推荐：1011, 1190, 1191, 1416, 1579, 1632, 1639, 1659, 1680, 1683, 1691, 1709, 1714, 17 53, 1771, 1826, 1855, 1856, 1890, 1924, 1935, 1948, 1979, 1980, 2170, 2288, 2331, 2339, 2340,1979（和迷宫类似）1980（对剪枝要求较高）3、历法1008 2080 （这种题要小心）4、枚举1012，1046，1387，1411，2245，2326，2363，2381，1054（剪枝要求较高），165 0 （小数的精度问题）5、数据结构的典型算法容易：1182, 1656, 2021, 2023, 2051, 2153, 2227, 2236, 2247, 2352, 2395,不易：1145, 1177, 1195, 1227, 1661, 1834,推荐：1330, 1338, 1451, 1470, 1634, 1689, 1693, 1703, 1724, 1988, 2004, 2010, 2119, 22 74,1125(弗洛伊德算法) ，2421（图的最小生成树）6、动态规划1037、1050、1088、1125、1141、1159、1160、1163、1458、1579 、1887 、1953 、2386 7、贪心1042, 1065, 1230, 1323, 1477, 1716, 1784,1328 1755（或用单纯形方法），2054，1017，1328，1862，1922 ，2209，2313，2325，2370。
从“k倍动态减法游戏”出发探究一类组合游戏问题
这是因为若正整数 m0、n0 使得 NP(m0,n0)=1，则对于任意 n>n0,m=m0 都有 NP(m,n)=1。这是因为，状态(m0,n0)时玩家可以完成的操作，在状态(m,n)也允许 操作（这利用了 n>n0） ，且到达相同的状态(这利用 m=m0)。
NOI2009 冬令营论文
从“k 倍动态减法游戏”出发探究一类组合游戏问题
摘
要
组合游戏是指，信息完全轮流操作的双人游戏。本文将从一个游戏——k 倍 动态减法游戏（k-based dynamic subtraction game）的解答出发，讨论游戏中的一 个重要分支——组合游戏， 并探讨解决这一类的问题的高效方法。探索的过程力 求兼顾游戏论中的普遍真理以及问题的独特性质。 作为一篇信息学的论文， 本文将着重讨论与组合游戏有关的相关算法和这些 算法时间复杂性分析， 而不是游戏论中的一些经典的理论、典型的游戏实例或者 一些存在性的证明。 “k 倍动态减法游戏”在 k 为一般正实数的情况，在 2002 年的国家集训队 论文中已经给出 O(S3)的算法，本文将在第 4．1 节给出一个优化到 O(S)的算法。 “Nim 积”运算是利用 SG 函数解决游戏论问题的必要工具之一。本文将在 第 4．4．5 节给出一个 O(log2x)的计算“Nim 积”的算法。 2008 年的 BOI（Baltic Olympiad in Informatics）中 knight 一题就是游戏论问 题，官方解答给出了 O(n3)的算法，但没有给出算法时间复杂度的证明。本文在 第 5 章提出了对这个 O(n3)的上界的质疑，并举出了质疑的确实依据，举出反例 证明了官方解答时间复杂度估计的错误之处。 同时， 本文经过对算法进一步优化， 得到了一个 O(n2)的算法。 上面这些内容都是原创的独立研究成果。
POJ 题目整理
初期:一.基本算法:(1)枚举. (poj1753,poj2965)(2)贪心(poj1328,poj2109,poj2586)(3)递归和分治法.(4)递推.(5)构造法.(poj3295)(6)模拟法.(poj1068,poj2632,poj1573,poj2993,poj2996)二.图算法:(1)图的深度优先遍历和广度优先遍历.(2)最短路径算法(dijkstra,bellman-ford,floyd,heap+dijkstra)(poj1860,poj3259,poj1062,poj2253,poj1125,poj2240)(3)最小生成树算法(prim,kruskal) (poj1789,poj2485,poj1258,poj3026)(4)拓扑排序 (poj1094)(5)二分图的最大匹配 (匈牙利算法) (poj3041,poj3020)(6)最大流的增广路算法(KM算法). (poj1459,poj3436)三.数据结构.(1)串 (poj1035,poj3080,poj1936)(2)排序(快排、归并排(与逆序数有关)、堆排) (poj2388,poj2299)(3)简单并查集的应用.(4)哈希表和二分查找等高效查找法(数的Hash,串的Hash)(poj3349,poj3274,POJ2151,poj1840,poj2002,poj2503)(5)哈夫曼树(poj3253)(6)堆(7)trie树(静态建树、动态建树) (poj2513)四.简单搜索(1)深度优先搜索 (poj2488,poj3083,poj3009,poj1321,poj2251)(2)广度优先搜索(poj3278,poj1426,poj3126,poj3087.poj3414)(3)简单搜索技巧和剪枝(poj2531,poj1416,poj2676,1129)五.动态规划(1)背包问题. (poj1837,poj1276)(2)型如下表的简单DP(可参考lrj的书 page149):1.E[j]=opt{D+w(i,j)} (poj3267,poj1836,poj1260,poj2533)2.E[i,j]=opt{D[i-1,j]+xi,D[i,j-1]+yj,D[i-1][j-1]+zij} (最长公共子序列) (poj3176,poj1080,poj1159)3.C[i,j]=w[i,j]+opt{C[i,k-1]+C[k,j]}.(最优二分检索树问题)六.数学(1)组合数学:1.加法原理和乘法原理.2.排列组合.3.递推关系.(POJ3252,poj1850,poj1019,poj1942)(2)数论.1.素数与整除问题2.进制位.3.同余模运算.(poj2635, poj3292,poj1845,poj2115)(3)计算方法.1.二分法求解单调函数相关知识.(poj3273,poj3258,poj1905,poj3122)七.计算几何学.(1)几何公式.(2)叉积和点积的运用(如线段相交的判定,点到线段的距离等). (poj2031,poj1039)(3)多边型的简单算法(求面积)和相关判定(点在多边型内,多边型是否相交)(poj1408,poj1584)(4)凸包. (poj2187,poj1113)中级:一.基本算法:(1)C++的标准模版库的应用. (poj3096,poj3007)(2)较为复杂的模拟题的训练(poj3393,poj1472,poj3371,poj1027,poj2706)二.图算法:(1)差分约束系统的建立和求解. (poj1201,poj2983)(2)最小费用最大流(poj2516,poj2516,poj2195)(3)双连通分量(poj2942)(4)强连通分支及其缩点.(poj2186)(5)图的割边和割点(poj3352)(6)最小割模型、网络流规约(poj3308, )三.数据结构.(1)线段树. (poj2528,poj2828,poj2777,poj2886,poj2750)(2)静态二叉检索树. (poj2482,poj2352)(3)树状树组(poj1195,poj3321)(4)RMQ. (poj3264,poj3368)(5)并查集的高级应用. (poj1703,2492)(6)KMP算法. (poj1961,poj2406)四.搜索(1)最优化剪枝和可行性剪枝(2)搜索的技巧和优化 (poj3411,poj1724)(3)记忆化搜索(poj3373,poj1691)五.动态规划(1)较为复杂的动态规划(如动态规划解特别的施行商问题等) (poj1191,poj1054,poj3280,poj2029,poj2948,poj1925,poj3034)(2)记录状态的动态规划. (POJ3254,poj2411,poj1185)(3)树型动态规划(poj2057,poj1947,poj2486,poj3140)六.数学(1)组合数学:1.容斥原理.2.抽屉原理.3.置换群与Polya定理(poj1286,poj2409,poj3270,poj1026).4.递推关系和母函数.(2)数学.1.高斯消元法(poj2947,poj1487, poj2065,poj1166,poj1222)2.概率问题. (poj3071,poj3440)3.GCD、扩展的欧几里德(中国剩余定理) (poj3101)(3)计算方法.1.0/1分数规划. (poj2976)2.三分法求解单峰(单谷)的极值.3.矩阵法(poj3150,poj3422,poj3070)4.迭代逼近(poj3301)(4)随机化算法(poj3318,poj2454)(5)杂题. (poj1870,poj3296,poj3286,poj1095)七.计算几何学.(1)坐标离散化.(2)扫描线算法(例如求矩形的面积和周长并,常和线段树或堆一起使用).(poj1765,poj1177,poj1151,poj3277,poj2280,poj3004)(3)多边形的内核(半平面交)(poj3130,poj3335)(4)几何工具的综合应用.(poj1819,poj1066,poj2043,poj3227,poj2165,poj3429)高级:一.基本算法要求:(1)代码快速写成,精简但不失风格(poj2525,poj1684,poj1421,poj1048,poj2050,poj3306)(2)保证正确性和高效性. poj3434二.图算法:(1)度限制最小生成树和第K最短路. (poj1639)(2)最短路,最小生成树,二分图,最大流问题的相关理论(主要是模型建立和求解) (poj3155, poj2112,poj1966,poj3281,poj1087,poj2289,poj3216,poj2446) (3)最优比率生成树. (poj2728)(4)最小树形图(poj3164)(5)次小生成树.(6)无向图、有向图的最小环三.数据结构.(1)trie图的建立和应用. (poj2778)(2)LCA和RMQ问题(LCA(最近公共祖先问题) 有离线算法(并查集+dfs) 和在线算法(RMQ+dfs)).(poj1330)(3)双端队列和它的应用(维护一个单调的队列,常常在动态规划中起到优化状态转移的目的).(poj2823)(4)左偏树(可合并堆).(5)后缀树(非常有用的数据结构,也是赛区考题的热点). (poj3415,poj3294)四.搜索(1)较麻烦的搜索题目训练(poj1069,poj3322,poj1475,poj1924,poj2049,poj3426)(2)广搜的状态优化:利用M进制数存储状态、转化为串用hash表判重、按位压缩存储状态、双向广搜、A*算法. (poj1768,poj1184,poj1872,poj1324,poj2046,poj1482)(3)深搜的优化:尽量用位运算、一定要加剪枝、函数参数尽可能少、层数不易过大、可以考虑双向搜索或者是轮换搜索、IDA*算法.(poj3131,poj2870,poj2286)五.动态规划(1)需要用数据结构优化的动态规划. (poj2754,poj3378,poj3017)(2)四边形不等式理论.(3)较难的状态DP(poj3133)六.数学(1)组合数学.1.MoBius反演(poj2888,poj2154)2.偏序关系理论.(2)博奕论.1.极大极小过程(poj3317,poj1085)2.Nim问题.七.计算几何学.(1)半平面求交(poj3384,poj2540)(2)可视图的建立(poj2966)(3)点集最小圆覆盖.(4)对踵点(poj2079)八.综合题.(poj3109,poj1478,poj1462,poj2729,poj2048,poj3336,poj3315,poj2148,poj1263) 以及补充Dp状态设计与方程总结1.不完全状态记录<1>青蛙过河问题<2>利用区间dp2.背包类问题<1> 0-1背包，经典问题<2>无限背包，经典问题<3>判定性背包问题<4>带附属关系的背包问题<5> + -1背包问题<6>双背包求最优值<7>构造三角形问题<8>带上下界限制的背包问题(012背包)3.线性的动态规划问题<1>积木游戏问题<2>决斗（判定性问题）<3>圆的最大多边形问题<4>统计单词个数问题<5>棋盘分割<6>日程安排问题<7>最小逼近问题(求出两数之比最接近某数/两数之和等于某数等等)<8>方块消除游戏(某区间可以连续消去求最大效益)<9>资源分配问题<10>数字三角形问题<11>漂亮的打印<12>邮局问题与构造答案<13>最高积木问题<14>两段连续和最大<15>2次幂和问题<16>N个数的最大M段子段和<17>交叉最大数问题4.判定性问题的dp(如判定整除、判定可达性等)<1>模K问题的dp<2>特殊的模K问题，求最大(最小)模K的数<3>变换数问题5.单调性优化的动态规划<1>1-SUM问题<2>2-SUM问题<3>序列划分问题(单调队列优化)6.剖分问题(多边形剖分/石子合并/圆的剖分/乘积最大)<1>凸多边形的三角剖分问题<2>乘积最大问题<3>多边形游戏(多边形边上是操作符,顶点有权值)<4>石子合并(N^3/N^2/NLogN各种优化)7.贪心的动态规划<1>最优装载问题<2>部分背包问题<3>乘船问题<4>贪心策略<5>双机调度问题Johnson算法8.状态dp<1>牛仔射击问题(博弈类)<2>哈密顿路径的状态dp<3>两支点天平平衡问题<4>一个有向图的最接近二部图9.树型dp<1>完美服务器问题(每个节点有3种状态)<2>小胖守皇宫问题<3>网络收费问题<4>树中漫游问题<5>树上的博弈<6>树的最大独立集问题<7>树的最大平衡值问题<8>构造树的最小环转一个搞ACM需要的掌握的算法.要注意,ACM的竞赛性强,因此自己应该和自己的实际应用联系起来.适合自己的才是好的,有的人不适合搞算法,喜欢系统架构,因此不要看到别人什么就眼红, 发挥自己的长处,这才是重要的.第一阶段：练经典常用算法，下面的每个算法给我打上十到二十遍，同时自己精简代码，因为太常用，所以要练到写时不用想，10-15分钟内打完，甚至关掉显示器都可以把程序打出来.1.最短路(Floyd、Dijstra,BellmanFord)2.最小生成树(先写个prim,kruscal要用并查集，不好写)3.大数（高精度）加减乘除4.二分查找. (代码可在五行以内)5.叉乘、判线段相交、然后写个凸包.6.BFS、DFS,同时熟练hash表(要熟，要灵活,代码要简)7.数学上的有：辗转相除（两行内），线段交点、多角形面积公式.8. 调用系统的qsort, 技巧很多，慢慢掌握.9. 任意进制间的转换第二阶段：练习复杂一点，但也较常用的算法。
用单调队列优化DP，写给自己
⽤单调队列优化DP，写给⾃⼰单调队列是⼀种严格单调的队列，可以单调递增，也可以单调递减。
队⾸位置保存的是最优解，第⼆个位置保存的是次优解，ect。
单调队列可以有两个操作：1、插⼊⼀个新的元素，该元素从队尾开始向队⾸进⾏搜索，找到合适的位置插⼊之，如果该位置原本有元素，则替换它。
2、在过程中从队⾸删除不符合当前要求的元素。
单调队列实现起来可简单，可复杂。
简单的⼀个数组，⼀个head，⼀个tail指针就搞定。
复杂的⽤双向链表实现。
⽤处：1、保存最优解，次优解，ect。
2、利⽤单调队列对dp⽅程进⾏优化，可将O(n)复杂度降⾄O(1)。
也就是说，将原本会超时的N 维dp降优化⾄N-1维，以求通过。
这也是我想记录的重点是不是任何DP都可以利⽤单调队列进⾏优化呢？答案是否定的。
记住！只有形如 dp[i]=max/min (f[k]) + g[i] （k<i && g[i]是与k⽆关的变量）才能⽤到单调队列进⾏优化。
优化的对象就是f[k]。
通过例题来加深感受 我要长⾼Description韩⽗有N个⼉⼦，分别是韩⼀，韩⼆…韩N。
由于韩家演技功底深厚，加上他们间的密切配合，演出获得了巨⼤成功，票房甚⾄⾼达2000万。
⾈⼦是名很有威望的公知，可是他表⾯上两袖清风实则内⼼阴暗，看到韩家红红⽕⽕，嫉妒⼼遂起，便发微薄调侃韩⼆们站成⼀列时⾝⾼参差不齐。
由于⾈⼦的影响⼒，随⼝⼀句便会造成韩家的巨⼤损失，具体亏损是这样计算的，韩⼀，韩⼆…韩N站成⼀排，损失即为C*（韩i与韩i+1的⾼度差（1<=i<N））之和，搞不好连⼥⼉都赔了.韩⽗苦苦思索，决定给韩⼦们内增⾼（注意韩⼦们变矮是不科学的只能增⾼或什么也不做），增⾼1cm是很容易的，可是增⾼10cm花费就很⼤了，对任意韩i，增⾼Hcm的花费是H^2.请你帮助韩⽗让韩家损失最⼩。
Input有若⼲组数据，⼀直处理到⽂件结束。
每组数据第⼀⾏为两个整数：韩⼦数量N(1<=N<=50000)和⾈⼦系数C(1<=C<=100) 接下来N⾏分别是韩i的⾼度(1<=hi<=100)。
动态规划算法时间效率的优化
动态规划算法时间效率的优化动态规划是一种用于解决优化问题的算法思想，在很多实际场景中都有广泛的应用。
然而，动态规划算法在处理问题的过程中，可能会面临一些时间效率的优化问题。
为了提高动态规划算法的时间效率，可以从以下几个方面进行优化。
1.减少重复计算：动态规划算法通常需要计算大量的子问题，但有些子问题可能会被重复计算。
这会导致算法效率下降。
可以通过使用备忘录或者动态规划表来记录已经计算过的子问题的结果，以避免重复计算。
这样可以大幅提高算法的效率。
2.剪枝策略：在动态规划算法中，可以通过剪枝策略来减少不必要的计算。
剪枝策略可以是其中一种条件限制，当不满足该条件时，直接跳过计算，这样可以极大地减少计算量。
3.优化状态转移方程：动态规划算法的核心是状态转移方程。
优化状态转移方程可以通过寻找问题的规律，减少计算量。
可以尝试化简状态转移方程，将复杂的问题转化为简单的问题，这样可以减少计算时间。
4.按需计算：动态规划算法通常需要计算所有的子问题，然后根据子问题的结果来求解最终问题。
但实际上，并不是所有的子问题都必须计算。
可以根据问题的特点，在需要的时候再进行计算，避免不必要的计算，提高算法效率。
5.并行计算：在一些情况下，可以采用并行计算的方式来提高动态规划算法的效率。
通过将问题分解成多个子问题，分别计算，然后将结果合并，可以加速算法的执行。
6.优化空间复杂度：动态规划算法通常需要使用额外的内存空间来存储计算过程中的中间结果。
优化空间复杂度可以使用状态压缩技术，将中间结果压缩成一个变量，从而减少内存的使用。
7.选择合适的数据结构：对于一些特殊的问题，可以根据问题的特点选择合适的数据结构来优化算法效率。
比如，对于一维数组问题，可以使用队列或者堆来进行优化；对于二维数组问题，可以使用矩阵来进行优化。
8.分治思想：有一些问题可以使用分治思想来优化动态规划算法。
将问题分解成多个子问题，分别求解，然后将子问题的结果合并，可以提高算法的效率。
动态规划算法在任务调度中的应用效果与优化方法
动态规划算法在任务调度中的应用效果与优化方法动态规划（Dynamic Programming）算法是一种针对多阶段决策问题的优化算法，该算法通过将问题分解成多个相互联系的子问题，并依次求解这些子问题的最优解来得到整体问题的最优解。
在任务调度领域，动态规划算法具有广泛的应用，能够有效地提高任务调度的效率与质量。
一、动态规划算法在任务调度中的应用效果1. 任务相互依赖性考虑：在任务调度中，任务之间通常存在着相互依赖的关系。
动态规划算法通过将问题拆分为多个子问题，再通过子问题之间的关系来求解整体问题，可以很好地考虑到任务之间的相互依赖，确保任务调度的合理性。
2. 最优解保证：动态规划算法能够通过求解子问题的最优解来得到整体问题的最优解。
在任务调度中，通过动态规划算法可以找到使得调度质量最优的调度方案，保证任务能够按照最优的方式被分配和执行。
3. 资源利用率最大化：在任务调度中，资源的利用率是一个重要的指标。
动态规划算法通过对任务执行过程进行建模，并结合任务之间资源的使用情况，可以最大化资源的利用率，提高系统的整体效率。
4. 可扩展性：动态规划算法具有较强的可扩展性，可以应对不同规模的任务调度问题。
通过将问题拆分为多个子问题，并通过动态规划算法进行求解，可以很好地应对复杂的任务调度场景，满足不同任务规模下的需求。
二、动态规划算法在任务调度中的优化方法1. 状态空间的优化：在动态规划算法中，状态空间的大小直接影响算法的复杂度。
因此，对于任务调度问题，可以通过定义合适的状态来减少状态空间的大小，从而减少算法的计算量。
2. 子问题的划分策略优化：在任务调度问题中，合理地划分子问题对于算法的效率至关重要。
可以通过合理地定义子问题的范围和划分策略，将任务调度问题转化为适合动态规划算法求解的形式，提高算法的效率。
3. 限制条件的引入：任务调度问题通常会受到一些限制条件的约束，如任务执行时间、资源消耗等。
通过引入这些限制条件，可以对动态规划算法进行约束，从而缩小问题的解空间，提高算法的求解效率。
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用单调性优化动态规划
单调性优化动态规划是一种常用的算法优化技术，它通过利用问题的单调性质
来减少计算量，从而提高算法的效率。在本文中，我们将介绍单调性优化动态规划
的基本原理、应用场景和实现方法，并通过一个具体的例子来说明其具体应用。
一、基本原理
单调性优化动态规划是在传统的动态规划算法基础上进行的优化。传统的动态
规划算法通常是通过填表的方式来求解问题的最优解，而单调性优化动态规划则利
用问题的单调性质，将原问题分解为若干个子问题，并根据子问题的单调性质进行
计算，从而减少计算量。
具体来说，单调性优化动态规划通常包括以下几个步骤：
1. 确定问题的状态和状态转移方程：首先需要确定问题的状态，即问题的子问
题的定义。然后根据子问题之间的关系，建立状态转移方程，描述子问题之间的转
移关系。
2. 确定问题的单调性：根据问题的性质，确定问题是否具有单调性。如果问题
具有单调性，那么可以通过问题的单调性质来优化算法。
3. 优化算法的实现：根据问题的单调性质，对算法进行优化。通常的优化方法
包括剪枝、二分查找等。
二、应用场景
单调性优化动态规划广泛应用于各种求解最优解的问题中，特别适用于具有单
调性质的问题。以下是一些常见的应用场景：
1. 最长递增子序列：给定一个序列，求解其中最长的递增子序列的长度。该问
题具有单调性质，可以通过单调性优化动态规划来解决。
2. 最大连续子数组和：给定一个数组，求解其中最大的连续子数组的和。该问
题具有单调性质，可以通过单调性优化动态规划来解决。
3. 背包问题：给定一组物品和一个背包的容量，求解如何选择物品放入背包中，
使得总价值最大。该问题具有单调性质，可以通过单调性优化动态规划来解决。
三、实现方法
单调性优化动态规划的实现方法通常包括以下几个步骤：
1. 确定问题的状态和状态转移方程：首先需要确定问题的状态，即问题的子问
题的定义。然后根据子问题之间的关系，建立状态转移方程，描述子问题之间的转
移关系。
2. 确定问题的单调性：根据问题的性质，确定问题是否具有单调性。如果问题
具有单调性，那么可以通过问题的单调性质来优化算法。
3. 优化算法的实现：根据问题的单调性质，对算法进行优化。通常的优化方法
包括剪枝、二分查找等。
具体来说，可以按照以下步骤来实现单调性优化动态规划算法：
1. 初始化动态规划数组：根据问题的状态定义，初始化动态规划数组，将初始
状态的值填入数组中。
2. 递推计算动态规划数组：根据状态转移方程，逐步计算动态规划数组中的值，
直到计算得到最终状态的值。
3. 根据问题的单调性质进行优化：根据问题的单调性质，对动态规划数组进行
剪枝或二分查找等优化操作，减少计算量。
4. 返回最优解：根据动态规划数组中的值，返回最优解。
四、例子说明
为了更好地理解单调性优化动态规划的应用，我们以最长递增子序列问题为例
进行说明。
问题描述：给定一个序列，求解其中最长的递增子序列的长度。
解决方法：
1. 确定问题的状态和状态转移方程：设dp[i]表示以第i个元素结尾的最长递增
子序列的长度，状态转移方程为dp[i] = max(dp[j] + 1)，其中j < i且nums[j] <
nums[i]。
2. 确定问题的单调性：问题中的状态dp[i]具有单调性，即dp[i]随着i的增大而
增大。
3. 优化算法的实现：在计算dp[i]时，可以利用dp[0]到dp[i-1]的值进行剪枝，
减少计算量。
4. 返回最优解：返回dp数组中的最大值，即为最长递增子序列的长度。
通过以上步骤，我们可以得到最长递增子序列的长度，从而解决了该问题。
总结：
单调性优化动态规划是一种常用的算法优化技术，通过利用问题的单调性质来
减少计算量，提高算法的效率。在实际应用中，可以根据问题的性质确定问题是否
具有单调性，并根据单调性质进行算法的优化。通过合理地应用单调性优化动态规
划，可以有效地解决各种求解最优解的问题。