特殊三角形复习
初中二年级数学上册第2章 特殊三角形单元复习
第2章特殊三角形单元复习1.掌握图形的对称及轴对称图形的定义，会作一个图形关于直线的对称图形，理解轴对称的性质.2.了解等腰三角形的定义，掌握等腰三角形的性质与判定；了解直角三角形的定义，掌握直角三角形的性质与判定；理解中垂线、角平分线的性质与判定.3.理解等腰三角形和直角三角形这两个基本图形在几何中的地位和作用，能将复杂的几何问题转化为基本图形解决.考点一：轴对称与轴对称图形例1 （湖州市吴兴区）下列图形中,属于轴对称图形的是()A. B. C. D.例2 （宁波市北仑区）“白日登山望烽火，黄昏饮马傍交河.”诗中隐含着一个有趣的数学问题：如图所示，将军在观望烽火之后从山脚上的点A出发，奔向小河旁边的点P饮马，饮马后再到点B宿营，若点A,B到水平直线l（l表示小河）的距离分别是3，1，A，B两点之间水平距离是3，则AP+PB的最小值为.如果两个图形关于某条直线对称，那么对称轴是任何一组对应点所连线段的垂直平分线.由轴对称的性质可以得到以下结论：①如果两个图形的对应点的连线被同一条直线垂直平分，那么这两个图形关于这条直线对称；②如果两个图形是轴对称图形，我们只要找到一组对应点，作出连结它们的线段的垂直平分线，就可以得到这两个图形的对称轴；③轴对称图形的对称轴是任何一组对应点所连线段的垂直平分线.1.（台州市椒江区）如图所示，P是直线l外一个定点，A为直线l上一个定点，点P关于直线l的对称点记为P1，将直线l绕点A顺时针旋转30°得到直线l′，此时点P2与点P关于直线l′对称，则∠P1AP2等于()A.30°B.45°C.60°D.75°2.（宁波市北仑区）如图所示为由5个边长为单位1的小正方形拼成的图形，请你在图上添加一个小正方形，使添加后的图形是一个轴对称图形，要求画出三种.考点二：等腰三角形的性质与判定例3 （杭州市江干区）一个等腰三角形的一个内角是另一个内角的2倍，则这个三角形底角为(A)A.72°或45°B.45°或36C.36°或90°D.72°或90°例4 （宁波市镇海区）如图所示，AB∠CD，CE平分∠ACD交AB于点E.（1）求证：∠ACE是等腰三角形.（2）若AC＝13cm，CE＝24cm，求∠ACE的面积.1.等腰三角形的性质：①等腰三角形的两腰相等；②等腰三角形的两个底角相等(等边对等角)；③等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高相互重合(三线合一).2.等腰三角形的判定定理：如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等(等角对等边).3.在①等腰、②底边上的高、③底边上的中线、④顶角平分线四个元素中，从中任意取出两个元素当成条件，就可以得到另外两个元素为结论.3.（绍兴市柯桥区）在∠ABC中，与∠A相邻的外角是140°，要使∠ABC是等腰三角形，则∠B的度数是.4.（嘉兴市）如图所示，∠ABC内有一点D，且DA＝DB＝DC，若∠DAB＝20°，∠DAC＝30°，则∠BDC＝.(第4题）5.（杭州市江干区）证明命题“等腰三角形底边上的中点到两腰的距离相等”是真命题.考点三：直角三角形的性质与判定例5 （杭州市余杭区）如图所示，在∠ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝26°，BC＝BD，则∠ACD的度数是(C)A.64B.42°C.32°D.26°例6 （天台县）如图所示，在Rt∠ABC中，CM平分∠ACB交AB于点M，过点M作MN∠BC交AC于点N，且MN平分∠AMC，若AN＝1.（1）求∠B的度数.（2）求CN的长.直角三角形是一种特殊的三角形，它除了具有一般三角形的性质外，还具有一些特殊的性质：①直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方（勾股定理）；②在直角三角形中，两个锐角互余；③在直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的一半；④直角三角形的两直角边的乘积等于斜边与斜边上高的乘积；⑤在直角三角形中，如果有一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半；如果有一条直角边等于斜边的一半，那么这条直角边所对的锐角等于30°.6.（杭州市拱墅区）在Rt∠ABC中，∠C＝90°，∠A-∠B＝70°，则∠A的度数为()A.80°B.70°C.60°D.50°7.（绍兴市越城区）如图所示，在∠ABC中，∠ACB＝90°，点D在BC上，E是AB的中点，AD,CE相交于点F，且AD＝DB.若∠B＝20°，则∠DFE等于()A.30°B.40°C.50°D.60°8.（嘉善县）如图所示，在∠ABC中，D是BC中点，E是AB上一点，F是AC上一点.若∠EDF＝90°，且BE2+FC2＝EF2，求证：∠BAC＝90°.考点四：线段的中垂线与角平分线例7 （德清县）如图所示，已知∠AOE＝∠BOE＝15°，EF∠OB，EC∠OB于点C，EG∠OA于点G，若EC=√3，则OF的长度是()A.2√3B.√3C.3D.2例8 （杭州市西湖区）在∠ABC中，∠BAC＝α，边AB的垂直平分线交边BC于点D，边AC的垂直平分线交边BC于点E，连结AD，AE，则∠DAE的度数为.（用含α的代数式表示）1.角平分线的性质：角的平分线上的点到角的两边的距离相等.注意：①这里的距离是指点到角的两边垂线段的长；②该性质可以独立作为证明两条线段相等的依据，不必证明全等.2.线段垂直平分线的性质：①垂直平分线垂直且平分其所在线段；②垂直平分线上任意一点，到线段两端点的距离相等；③三角形三条边的垂直平分线相交于一点，这一点到三个顶点的距离相等.9.（宁波市江北区）如图所示，在∠ABC中，∠C＝90°，∠A＝30°，AB的垂直平分线交AC于点D，交AB于点E，CD＝2，则AC＝.(第9题）(第10题）10.（杭州市临安区）如图所示，AB∠CD，∠ABC和∠DCB的平分线BP，CP交于点P，过点P作PA∠AB于点A，交CD于点D.若AD＝10，则点P到BC的距离是，∠BPC＝.考点五：勾股定理例9 （嘉兴市）如图所示的图案由赵爽弦图变化得到，它是由八个全等的直角三角形拼接而成，记图中正方形ABCD、正方形EFGH、正方形MNKT的面积分别为S1，S2，S3，若S1+S2+S3＝27，S3＝1，则S1的值是.例10 （慈溪市）如图所示，在Rt∠ABC中，∠ACB＝90°，BC＝6，AB的垂直平分线交AB于点D，交AC 于点E，若CD＝5，则AE＝.1.勾股定理：在任何一个直角三角形中，两条直角边长的平方之和一定等于斜边长的平方.如果直角三角形的两条直角边长分别是a，b，斜边长为c，那么a2+b2＝c2.2.勾股定理公式a2+b2＝c2的变形有a=√c2−b2，b=√c2−a2及c=√a2+b2.3.勾股定理的逆定理：如果三角形的三边长a，b，c满足a2+b2＝c2，那么这个三角形就是直角三角形.运用勾股定理的逆定理解决问题的实质就是判断一个角是不是直角.然后进一步结合其他已知条件来解决问题.11.（湖州市南浔区）如图1所示，以直角三角形ABC的各边为边分别向外作正方形，再把较小的两张正方形纸片按如图2所示的方式放置在最大的正方形内，三个阴影部分面积分别记为S1，S2，S3，若S1＝1，S2＝2，S3＝3，则两个较小正方形纸片的重叠部分（四边形DEFG）的面积为()图1 图2A.5B.5.5C.5.8D.612.（临海市）如图所示，在∠ABC中，AB＝4，BC＝2，AC＝2√3.(第12题）（1）求证：∠ABC是直角三角形.（2）D是AC上的中点，求BD的长.考点六：等边三角形与直角三角形例11 （杭州市临安区）在直线上顺次取A，B，C三点，分别以AB，BC为边长在直线的同侧作等边三角形，作得两个等边三角形的另一顶点分别为D，E.（1）如图1所示，连结CD，AE，求证：CD＝AE.（2）如图2所示，若AB＝1，BC＝2，求DE的长.（3）如图3所示，将图2中的等边三角形BEC绕点B作适当的旋转，连结AE，若有DE2+BE2＝AE2，试求∠DEB的度数.图1 图2 图31.等边三角形是特殊的等腰三角形；等边三角形的三条边都相等，三个内角都相等，且都等于60°；等边三角形是轴对称图形，它有三条对称轴；等边三角形的任意一角的平分线都垂直平分对边，三边的垂直平分线都是对称轴.2.等腰直角三角形是另一种特殊的三角形，具备等腰三角形和直角三角形的所有性质.即两个锐角相等且都是45°；斜边上的中线、斜边所对角的角平分线、斜边上的高三线合一.13.（余姚市）如图所示，∠BAC＝90°，B是射线AM上的一个动点，C是射线AN上一个动点，且线段BC 的长度不变，点D是点A关于直线BC的对称点，连结AD.若2AD＝BC，则∠ABD的度数是.(第13题）14.（杭州市余杭区）如图所示，∠ABC和∠DCE都是等腰直角三角形，∠ACB＝∠DCE＝90°.(第14题）（1）求证：BD＝AE.（2）若∠ABD＝∠DAE，AB＝8，AD＝6，求四边形ABED的面积.本章主要易错点1.注意轴对称与轴对称图形的区别，轴对称是指两个图形的关系，而轴对称图形是指一个图形本身的特征.2.“等边对等角”“等角对等边”指的是同一个三角形中边角之间的转化关系，不能与全等混淆.3.等腰三角形“三线合一”的“三线”是指底边的中线、高线和顶角平分线.4.勾股定理描述直角三角形边之间的关系，主要应用于线段长度的计算，注意其前提条件是在直角三角形中，因此构造直角三角形是应用勾股定理最重要的一个步骤.5.等腰三角形中按边分类、直角三角形中按直角分类是特殊三角形问题中常见的分类讨论，要注意合理分类. 练习1.（杭州市江干区）用反证法证明“三角形中必有一个内角不小于60°”时，应当假设这个三角形中( )A.有一个内角小于60°B.每一个内角都小于60°C.有一个内角大于60°D.每一个内角都大于60°2.（湖州市吴兴区）如图所示，在∠ABC 中，AB ＝AC ＝5，BC ＝8，CD 是AB 边上的高，则线段AD 的长度为( )A. 125B. 245C. 135D. 75(第2题）(第3题）(第4题）(第5题）(第6题）3.（杭州市江干区）如图所示，在Rt∠ABC 中，∠C ＝90°，BC ＝6，DE 是斜边AB 的中垂线，交AC 于点E ，∠EBC 的周长为14，则AB ＝ .4.（嘉兴市）如图所示，已知正方形ABCD 的边长是2cm ，E 是CD 边的中点，点F 在BC 边上移动，当AE 恰好平分∠FAD 时，CF ＝ cm.5.（杭州市萧山区）如图所示，在∠ABC 中，AB ＝AC ，∠BAC ＝120°，S ∠ABC ＝8√3，M ，P ，N 分别是边AB ，BC ，AC 上任意一点. （1）AB 的长为 .（2）PM+PN 的最小值为 .6.（嵊州市）如图所示，∠ABC 是边长为12的等边三角形，点D ，E 分别在AB ，BC 上，且BE ＝BD ＝10，P 是线段DE 上的一个动点，分别作点P 关于AB ，AC ，BC 的对称点P 1，P 2，P 3，若连结P 1，P 2，P 3所得的三角形是等腰三角形，则DP ＝ .。
特殊三角形复习学案
特殊三角形复习课标要求（1）了解等腰三角形的概念，探索并证明等腰三角形的性质定理：等腰三角形的两底角相等；底边上的高线、中线及顶角平分线重合。
探索并掌握等腰三角形的判定定理：有两个角相等的三角形是等腰三角形。
探索等边三角形的性质定理：等边三角形的各角都等于60°，及等边三角形的判定定理：三个角都相等的三角形（或有一个角是60°的等腰三角形）是等边三角形。
（2）了解直角三角形的概念，探索并掌握直角三角形的性质定理：直角三角形的两个锐角互余，直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半。
掌握有两个角互余的三角形是直角三角形。
（3）探索勾股定理及其逆定理，并能运用它们解决一些简单的实际问题。
课标分析从知识与技能、数学思考、问题解决、情感与态度等四个方面阐述（1）、知识与技能掌握基本的证明方法和基本的作图等技能；掌握基本的推理技能。
(2)、数学思考在研究图形性质和运动、确定物体位置等过程中，进一步发展空间观念；经历借助图形思考问题的过程，初步建立几何直观。
体会通过合情推理探索数学结论，运用演绎推理加以证明的过程，在多种形式的数学活动中，发展合情推理与演绎推理的能力。
能独立思考，体会数学的基本思想和思维方式（3）、问题解决尝试从不同角度寻求解决问题的方法并能有效地解决问题；在与他人合作和交流过程中，能较好地理解他人的思考方法和结论。
经历借助图形思考问题的过程，初步建立几何直观。
（4）、情感与态度感受成功的快乐，体验独自克服困难、解决数学问题的过程，有克服困难的勇气，具备学好数学的信心。
在运用数学表述和解决问题的过程中，认识数学具有抽象、严谨和应用广泛的特点，体会数学的价值。
教学目标：1、知道等腰三角形的轴对称性及对称轴；2、掌握等腰三角形和等边三角形的有关性质和判定，能运用这些性质及判定进行有关计算和证明。
3、掌握直角三角形的性质和判定，能运用这些性质及判定进行有关计算和证明。
4、掌握勾股定理及其逆定理，进一步理解数形之间的联系。
中考总复习：特殊三角形--知识讲解(基础)
中考总复习：特殊三角形—知识讲解（基础）【考纲要求】【高清课堂：等腰三角形与直角三角形考纲要求】1.了解等腰三角形、等边三角形、直角三角形的概念，会识别这三种图形；理解等腰三角形、等边三角形、直角三角形的性质和判定；2.能用等腰三角形、等边三角形、直角三角形的性质和判定解决简单问题；3.会运用等腰三角形、等边三角形、直角三角形的知识解决有关问题．【知识网络】【考点梳理】考点一、等腰三角形1.等腰三角形：有两条边相等的三角形叫做等腰三角形.2.性质：(1)具有三角形的一切性质.(2)两底角相等(等边对等角)(3)顶角的平分线，底边中线，底边上的高互相重合(三线合一)(4)等边三角形的各角都相等，且都等于60°.3.判定：(1)如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等(等角对等边)；(2)三个角都相等的三角形是等边三角形；(3)有一个角为60°的等腰三角形是等边三角形.要点诠释：(1)腰、底、顶角、底角是等腰三角形特有的概念；(2)等边三角形是特殊的等腰三角形.考点二、直角三角形1.直角三角形：有一个角是直角的三角形叫做直角三角形.2性质：(1)直角三角形中两锐角互余.(2)直角三角形中，30°锐角所对的直角边等于斜边的一半.(3)在直角三角形中，如果有一条直角边等于斜边的一半，那么这条直角边所对的锐角等于30°.(4)勾股定理：直角三角形中，两条直角边的平方和等于斜边的平方.(5)勾股定理逆定理：如果三角形的三边长a，b，c满足a2+b2=c2，那么这个三角形是直角三角形.(6)直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的一半.3．判定：(1)有两内角互余的三角形是直角三角形.(2)一条边上的中线等于该边的一半，则这条边所对的角是直角，这个三角形是直角三角形.(3)如果三角形两边的平方和等于第三边的平方，则这个三角形是直角三角形，第三边为斜边. 【典型例题】类型一、等腰三角形1．如图，等腰三角形一腰上的高与底边所成的角等于( )A.顶角的2倍B.顶角的一半C.顶角D.底角的一半【思路点拨】等角的余角相等.【答案】B.【解析】如图，△ABC中，AB=AC，BD⊥AC于D，所以∠ABC=∠C，∠BDC=90°，所以∠DBC=90°-∠C= 90°-(180-∠A)= ∠A，【总结升华】本题适用于任何一种等腰三角形,可以试着证明在钝角三角形中结论一样成立；总结规律，等腰三角形一腰上的高与底边所成的角等于顶角的一半.举一反三：【变式】如图，在△ABC中，AB＝AC，∠A＝36°，BD、CE分别是△ABC、△BCD的角平分线，则图中的等腰三角形有（）A．5个B．4个 C．3个 D．2个【答案】A．2．（2015秋•南通校级月考）如图，在△ABC中，AB=AC，D、E是△ABC内两点，AD平分∠BAC，∠EBC=∠E=60°，若BE=30cm，DE=2cm，则BC= cm．【思路点拨】作出辅助线后根据等腰三角形的性质得出BE=30，DE=2，进而得出△BEM为等边三角形，△EFD为等边三角形，从而得出BN的长，进而求出答案．【答案】32;【解析】解：延长ED交BC于M，延长AD交BC于N，作DF∥BC，∵AB=AC，AD平分∠BAC，∴AN⊥BC，BN=CN，∵∠EBC=∠E=60°，∴△BEM为等边三角形，∴△EFD为等边三角形，∵BE=30，DE=2，∴DM=28，∵△BEM为等边三角形，∴∠EMB=60°，∵AN⊥BC，∴∠DNM=90°，∴∠NDM=30°，∴NM=14，∴BN=16，∴BC=2BN=32，故答案为32．【总结升华】本题主要考查了等腰三角形的性质和等边三角形的性质，能求出MN的长是解决问题的关键．类型二、直角三角形3．将一张矩形纸片如图所示折叠，使顶点落在点.已知，，则折痕的长为( )A. B. C. D.【思路点拨】直角三角形是常见的几何图形，在习题中比较多的利用数形结合解决相应的问题.常用的是两锐角互余，三边满足勾股定理和直角三角形中，30°角所对的边等于斜边的一半.【答案】C.【解析】由折叠可知，∠CED=∠C′ED =30°，因为在矩形ABCD中，∠C等于90°，CD=AB=2，所以在Rt△DCE中，DE=2CD=4.故选C.【总结升华】折叠题型一定要注意对应的边相等，对应的角相等.【变式】如图，一张直角三角形纸片，两直角边AC=4cm，BC=8cm，将△ABC折叠，点B与点A重合，折痕为DE，则DE的长为( )．A. B. C. D.5【答案】B.解析：由折叠可知，AD=BD，DE⊥AB，∴BE=AB设BD为x，则CD=8-x∵∠C=90°，AC=4，BC=8，∴AC2+BC2=AB2∴AB2=42+82=80，∴AB=，∴BE=在Rt△ACD中，AC2+CD2=AD2 ，∴42+(8-x)2=x2，解得x=5在Rt△BDE中，BE2+DE2=BD2，即()2+DE2=52，∴DE=，故选B.4．已知：在直角△ABC中，∠C=90°，BD平分∠ABC且交AC于D.(1)若∠BAC=30°，求证: AD=BD；(2)若AP平分∠BAC且交BD于P，求∠BPA的度数.图1 图2【思路点拨】(1)利用直角三角形两锐角互余，求得∠ABD=∠A=30°，得出AD=BD.(2)利用三角形内角和及角平分线定义或利用三角形外角性质.【答案与解析】(1)证明：∵∠BAC=30°，∠C=90°，∴∠ABC=60°又∵ BD平分∠ABC，∴∠ABD=30°，∴∠BAC =∠ABD，∴BD=AD；(2)解法一：∵∠C=90°，∴∠BAC+∠ABC=90°∴=45°∵ BD 平分∠ABC ，AP 平分∠BAC∠BAP=，∠ABP=即∠BAP+∠ABP=45°∴∠APB=180°-45°=135°解法二： ∵∠C=90°，∴∠BAC+∠ABC=90°∴=45°∵BD 平分∠ABC ，AP 平分∠BAC∠DBC=，∠PAC=∴∠DBC+∠PAD=45°∴∠APB=∠PDA+∠PAD =∠DBC+∠C+∠PAD=∠DBC+∠PAD+∠C=45°+90°=135°. 【总结升华】本题利用了：1、直角三角形的性质，两锐角互余，2、角的平分线的性质，3、三角形的外角与内角的关系．类型三、综合运用5 . 已知ABC 的两边AB 、AC 的长是关于x 的一元二次方程x 2-(2k+3)x+k 2+3k+2=0的两个实数根，第三边BC 的长为5.（1）k 为何值时，ΔABC 是以BC 为斜边的直角三角形？ （2）k 为何值时，ΔABC 是等腰三角形？并求出ΔABC 的周长。
九年级中考复习 特殊三角形 专题复习训练题及答案
九年级数学中考复习特殊三角形专题复习训练题1. 在下列长度的各组线段中，能组成直角三角形的是( )A．5，6，7 B．1，4，8 C．5，12，13 D．5，11，122．一个等腰三角形一边长为4 cm，另一边长为5 cm，那么这个等腰三角形的周长是( )A．13 cm B．14 cm C．13 cm或14 cm D．以上都不对3．如图，△ABC中，D为AB上一点，E为BC上一点，且AC＝CD＝BD＝BE，∠A ＝50°，则∠CDE的度数为( )A．50° B．51° C．51.5° D．52.5°4．如图，在△ABC中，∠A＝36°，AB＝AC，BD是△ABC的角平分线．若在边AB上截取BE＝BC，连接DE，则图中等腰三角形共有( )A．2个 B．3个 C．4个 D．5个5．已知等边三角形的边长为3，点P为等边三角形内任意一点，则点P到三边的距离之和为( )A.32B.332C.32D．不能确定6. 一个等腰三角形的两边长分别为4，8，则它的周长为( ) A．12 B．16 C．20 D．16或207. 如图，△ABC中，∠C＝90°，∠A＝30°，AB＝12，则BC＝( )A．6 B．6 2 C．6 3 D．128. 如图，在△ABC中，AB＝AD＝DC，∠B＝70°，则∠C的度数为( )A．35°B．40°C．45°D．50°9. 如图，公路AC，BC互相垂直，公路AB的中点M与点C被湖隔开．若测得AM 的长为1.2 km，则M，C两点间的距离为( )A．0.5 km B．0.6 km C．0.9 km D．1.2 km10. 下列各组线段能构成直角三角形的一组是( )A．30，40，50 B．7，12，13C．5，9，12 D．3，4，611. 在等腰直角三角形ABC中，∠ACB＝90°，AC＝3，点P为边BC的三等分点，连接AP，则AP的长为____________．12. 如图，AB∥CE，BF交CE于点D，DE＝DF，∠F＝20°，则∠B的度数为__°．13. ．如图，在Rt△ABC中，E是斜边AB的中点，若AB＝10，则CE＝____．14．已知实数x，y满足|x－4|＋y－8＝0，则以x，y的值为两边长的等腰三角形的周长是__20__.15．如图，△ABC是等边三角形，BD平分∠ABC，点E在BC的延长线上，且CE ＝1，∠E＝30°，则BC＝__2__.16．如图，O为数轴原点，A，B两点分别对应－3，3，作腰长为4的等腰△ABC，连接OC，以O为圆心，CO长为半径画弧交数轴于点M，则点M对应的实数为____．17. 如图，已知正方形ABCD的边长为4，对角线AC与BD相交于点O，点E在DC边的延长线上．若∠CAE＝15°，则AE＝____18. 在等边△ABC中，点D，E分别在边BC，AC上，若CD＝2，过点D作DE∥AB，过点E作EF⊥DE，交BC的延长线于点F，求EF的长．19. 如图，在△ABC中，D为AC边的中点，且DB⊥BC，BC＝4，CD＝5.(1)求DB的长；(2)在△ABC中，求BC边上高的长．20. 已知：如图，在△ABC中，AB＝AC. 求证：∠B＝∠C.参考答案： 1---10 CCDDBCAADA11. 13或10 12. 40 13. 5 14. 20 15. 2 16. 7 17. 818. 解：∵△ABC 是等边三角形，∴∠B ＝∠ACB ＝60°，∵DE ∥AB ，∴∠EDC ＝∠B ＝60°，∴△EDC 是等边三角形，∴DE ＝DC ＝2，在Rt △DEF 中，∵∠DEF ＝90°，DE ＝2，∴DF ＝2DE ＝4，∴EF ＝DF 2－DE 2＝42－22＝2 319. 解：(1)∵DB ⊥BC ，BC ＝4，CD ＝5，∴BD ＝52－42＝3 (2)延长CB ，过点A 作AE ⊥CB 延长线于点E ，∵DB ⊥BC ，AE ⊥BC ，∴AE ∥DB ，∵D 为AC 边的中点，∴BD ＝12AE ，∴AE ＝6，即BC 边上高的长为620. 证明：如解图，过点A 作∠BAC 的平分线AD ，交BC 于点D ，则∠BAD＝∠CAD，在△ABD 和△ACD中，⎩⎪⎨⎪⎧AB ＝AC ，∠BAD ＝∠CAD，AD ＝AD ，∴△ABD ≌△ACD(SAS )，∴∠B ＝∠C(也可过点A 作BC 边上的中线，证△ABD≌△AC D)。
浙教版八年级上第二章特殊三角形复习课件
浙教版八年级上第二章特殊三角形复习课件一、教学内容本节课我们将复习浙教版八年级上第二章特殊三角形的内容。
具体包括：等腰三角形的性质与判定（2.1节）、等边三角形的性质与判定（2.2节）、直角三角形的性质与判定（2.3节）以及特殊三角形在实际问题中的应用（2.4节）。
二、教学目标1. 熟练掌握等腰三角形、等边三角形和直角三角形的性质与判定方法。
2. 能够运用特殊三角形的性质解决实际问题。
3. 培养学生的空间想象能力、逻辑思维能力和团队合作能力。
三、教学难点与重点教学难点：特殊三角形性质的理解与运用。
教学重点：等腰三角形、等边三角形和直角三角形的性质与判定。
四、教具与学具准备教具：多媒体课件、三角板、量角器。
学具：练习本、铅笔、直尺。
五、教学过程1. 实践情景引入（5分钟）利用多媒体课件展示特殊三角形在实际生活中的应用，如等腰三角形屋顶、等边三角形装饰等，引导学生发现生活中的特殊三角形。
2. 例题讲解（15分钟）例题1：已知△ABC中，AB=AC，∠BAC=50°，求∠ABC和∠ACB 的度数。
例题2：已知△DEF中，DE=DF=EF，求∠EDF的度数。
3. 随堂练习（10分钟）练习题1：已知△GHJ中，GH=HJ，∠G=40°，求∠J的度数。
练习题2：已知△KLM中，KL=LM=MK，求∠KLM的度数。
4. 小组讨论（5分钟）将学生分成小组，讨论特殊三角形在实际问题中的应用，如建筑、艺术等。
六、板书设计1. 等腰三角形的性质与判定2. 等边三角形的性质与判定3. 直角三角形的性质与判定4. 特殊三角形在实际问题中的应用七、作业设计1. 作业题目：（1）已知△NOP中，NO=NP，∠N=70°，求∠O和∠P的度数。
（2）已知△QRS中，QR=QS=RS，求∠QRS的度数。
（3）在生活或艺术作品中，寻找特殊三角形的应用，并说明其特点。
2. 答案：（1）∠O=∠P=55°（2）∠QRS=60°八、课后反思及拓展延伸1. 反思：本节课学生对特殊三角形的性质与判定掌握情况较好，但在实际问题中的应用方面还需加强。
2015届安徽中考数学总复习课件：第21讲 特殊三角形
AB＝AD＝DC，∠B＝80°，则∠C的度数为( B )
A．30° B．40°
C．45°
D．60°
2．(2014· 黔南州)如图，在△ABC 中，∠ACB＝90°，
BE 平分∠ABC，ED⊥AB 于 D.如果∠A＝30°，AE＝6
cm，那么 CE 等于( C )
A. 3 cm C．3 cm
B．2 cm D．4 cm
∠BPE＝∠CPF， ∠PBE＝∠PCF，∴△BEP≌△CFP(AAS)， 在△BEP 和△CFP 中， BE＝CF，
∴PB＝PC， ∵BF＝CE， ∴PE＝PF， ∴图中相等的线段为 PE＝PF，
BE＝CF，BF＝CE
【点评】
在证明线段相等时，利用全等三角形的
对应角相等向两腰转化构造等腰三角形是常用的解 题方法之一．
三个防范
(1)在解有关等腰三角形的问题时，有一种习惯上
的认识，总认为腰大于底，这是造成错解的原因．
实际上底也可以大于腰，此时也能构成三角形．
(2)有关等腰三角形的问题，若条件中没有明确底和
腰时，一般应从某一边是底还是腰这两个方面进行
讨论，还要特别注意构成三角形的条件；同时，在
底角没有被指定的等腰三角形中，应就某角是顶角
E，F分别在AB，AC上，AE＝AF，BF与CE相交
于点P.求证：PB＝PC，并直接写出图中其他相等
的线段．
AB＝AC， 解：在 △ABF 和 △ACE 中 ， ∠BAF＝∠CAE， ∴△ ABF ≌△ AF＝AE，
ACE(SAS)，∴∠ABF＝∠ACE(全等三角形的对应角相等)，∴BF＝ CE(全等三角形的对应边相等)，∵AB＝AC，AE＝AF，∴BE＝CF，
等腰三角形有关边角的讨论 【例1】 (1)(2014·盐城)若等腰三角形的顶角为40° ) D C．60° D．70°
《特殊三角形》全章复习与巩固 知识讲解(提高)
《特殊三角形》全章复习与巩固（提高）【学习目标】1．认识轴对称图形的基本特征；掌握判断轴对称图形的方法，并能正确画出简单的轴对称图形；2. 了解等腰三角形、等边三角形的有关概念，并掌握它们的性质以及判定方法；3．理解命题与逆命题、定理与逆定理的意义，并能判断命题的真假；4．了解尺规作图的常用工具；理解并掌握线段垂直平分线定理的逆定理、角平分线性质的第二个定理，并能够熟练地应用它们；5．理解直角三角形的概念及性质的广泛应用，掌握直角三角形斜边上中线性质，并能灵活应用. 领会直角三角形中常规辅助线的添加方法．6．掌握勾股定理及其勾股定理的逆定理的内容及应用，学会用勾股定理解决简单的几何问题，应用勾股定理的逆定理来判断直角三角形．7.理解并能熟练地用判定一般三角形全等的方法及判定直角三角形的特殊方法“斜边，直角边”（即“HL”）判定两个直角三角形全等；【知识网络】【要点梳理】要点一、图形的轴对称1.图形轴对称的定义及其性质如果把一个图形沿着一条直线折叠后，直线两侧的部分能够互相重合，那么这两个图形叫做轴对称图形.这条直线叫做对称轴.性质：对称轴垂直平分连结两个对称点的线段.图形的轴对称：一般的，由一个图形变为另一个图形，并使这两个图形沿某一条直线折叠后能够互相重合，这样的图形改变叫做图形的轴对称，这条直线叫做对称轴.成轴对称的两个图形是全等形.2.利用轴对称的性质求两点之间的最短距离已知点A,B（A,B）在直线的同侧，和直线a,在直线上求作一点C，使AC+BC的距离和最小.作法：1.作点A关于直线a的对称点A′；2.连接A′B,交直线a与点C;3.连接AC.点C就是所求作的点.下面给出证明：设P是直线a上任意一点，连结AP，A′P．由作图知，直线a垂直平分AA′，则AC=A′C，AP=A′P（线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等）．．．．AP+BP=A′P+BP≥A′B，A′B=A ′C+BC=AC+BC，即AP十BP≥AC+BC，所以沿折线A-C-B的路线行走时路程最短．要点诠释：1.轴对称图形与图形的轴对称是两个不同的概念，轴对称图形是指一个图形的两个部分，也就是说，一条直线把一个图形（一个等腰三角形）分成两个部分，这两个部分之间的关系；而图形的轴对称是指两个图形之间的关系，比如两个全等的等腰直角三角形.2.对称轴的实质是一条直线，向两方无限延伸的.3.两点之间的最短距离要分情况讨论，看这两点是否在某一条直线的同侧还是异侧. 要点二、等腰三角形及等边三角形的性质与判定1.等腰三角形的定义及其对称性有相等两边的三角形叫做等腰三角形.三边相等的三角形叫做等边三角形.等腰三角形是轴对称图形，对称轴只有一条，就是顶角的平分线或是底边的高、中线.等边三角形也是轴对称图形，对称轴有三条，等边三角形是特殊的等腰三角形.2.等腰三角形的性质与判定定理性质1：等腰三角形的两个底角相等（简称“在同一三角形中，等边对等角”）．推论：等边三角形的各个内角都等于60°；性质2：等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线和高互相重合（简称“等腰三角形三线合一”）.等腰三角形的判定定理：如果一个三角形有两个角相等，那么这个三角形是等腰三角（简称“在同一三角形中，等角对等边”）.等边三角形的判定定理：三个角都相等的三角形是等边三角形；有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形.要点诠释：等腰三角形的性质与判定定理是三角形中边与角之间相互转化的重要依据，性质定理是由边的相等得出角的相等，判定定理是由角的相等得出边的相等..等腰三角形的性质定理和判定定理是互逆定理.要点三、尺规作图，命题、定理与逆命题、逆定理1.尺规作图的定义利用直尺（没有刻度）和圆规完成基本作图，称之为尺规作图.要点诠释：尺规作图时使用的直尺是不能用来进行测量长度的操作，它一般用来将两个点连在一起.圆规可以开至无限宽，但上面也不能有刻度.它只可以拉开成之前构造过的长度或一个任意的长度.2.命题与逆命题判断一件事件的句子叫命题.其判断为正确的命题叫做真命题；其判断为错误的命题叫做假命题.对于两个命题，如果一个命题的条件和结论分别是另外一个命题的结论和条件，那么这两个命题叫做互逆命题，其中一个命题叫做原命题，另外一个命题叫做原命题的逆命题.要点诠释：（1）对于命题的定义要正确理解，也即是通过这句话可以确定一件事是发生了还是没发生，如果这句话不能对于结果给予肯定或者否定的回答，那它就不是命题；（2）每一个命题都可以写成“如果…,那么…”的形式，“如果”后面为题设部分，“那么”后面为结论部分；（3）所有的命题都有逆命题.原命题正确，它的逆命题不一定是正确的.3.定理与逆定理如果一个命题是真命题（正确的命题），那就可以称它为定理.如果一个定理的逆命题也是真命题，那就称它为原定理的逆定理.要点诠释：一个命题是真命题，但是它的逆命题不一定是真命题的，所以不是每个定理都有逆定理.4.角平分线性质的第二个定理角的内部,到角两边的距离相等的点,在这个角平分线上.要点诠释：性质定理的前提条件是已经有角平分线了，即角被平分了；第二个性质定理则是在结论中确定角被平分，一定要注意着两者的区别，在使用这两个定理时不要混淆了.5.线段垂直平分线（也称中垂线）的性质定理的逆定理逆定理：到线段两端点距离相等的点，在线段的垂直平分线上．要点诠释：性质定理的前提条件是线段已经有了中垂线，从而可以得到线段相等；逆定理则是在结论中确定线段被垂直平分，一定要注意着两者的区别，前者在题设中说明，后者则在最终的结论中得到，所以在使用这两个定理时不要混淆了.要点四、直角三角形性质及判定直角三角形的性质性质定理1：直角三角形的两个锐角互余.性质定理2：在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半.判定定理：有两个角互余的三角形是直角三角形.要点诠释：这个定理的前提条件是“在直角三角形中”，是证明直角三角形中一边等于另一边（斜边）的一半的重要方法之一，通常用于证明边的倍数关系.性质定理2的逆命题也同样正确，在一个三角形中，如果一边的中线等于这边的一半，那么这个三角形是直角三角形.要点五、勾股定理及其逆定理1.勾股定理直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方.如果直角三角形的两直角边长分别为a、b，斜边长为c，那么.要点诠释：（1）勾股定理揭示了一个直角三角形三边之间的数量关系；（2）利用勾股定理，当设定一条直角边长为未知数后，根据题目已知的线段长可以建立方程求解，这样就将数与形有机地结合起来，达到了解决问题的目的.（3）理解勾股定理的一些变式：，，.2.勾股定理逆定理如果三角形中两边的平方和等于第三边的平方，那么这个三角形是直角三角形.要点诠释：（1）勾股定理的逆定理的作用是判定某一个三角形是否是直角三角形.（2）勾股定理的逆定理是把“数”转为“形”，是通过计算来判定一个三角形是否为直角三角形.要点六、判定直角三角形全等的一般方法和全等的特殊方法——斜边，直角边定理由三角形全等的条件可知，对于两个直角三角形，满足一边一锐角对应相等，或两直角边对应相等，这两个直角三角形就全等了。
期中复习--特殊三角形
E
D
C F 思路：找出不变量，分析问题的数量关系，通过 已知和未知的联系，建构方程，最后解出方程
B
试一试
如图，有一块直角三角形纸片，两直角边AC＝6 厘米，BC＝8厘米，现将直角边AC沿直线折叠， 使它落在斜边AB上，且与AE重合，则CD的长为 多少?
练一练
1、若a,b,c为△ABC的三边，且(a-b)(a2+b2-c2)=0,则 △ABC是等腰或直角或等腰直角三角形？
第二章 特殊三角形复习
热身练习
1、（1）在三角形ABC中，AB=AC, ∠A＝50°，则
∠B＝
65 °
， ∠C＝ 65 ° 。
变式1：在三角形ABC中，AB=AC, ∠B=50°，则∠
A=
80 °，
∠C=
50° 。
变式2：已知等腰三角形一个内角为50°，求另两个
角度数。
（2）等腰三角形顶角和一个底角之和为100°，则
D C
A
E
B
6、如图，已知AG⊥BD，AC⊥BG ，E是AB的中点，
F是CD的中点，则EF⊥CD，请说明理由。
G
D
F
C
A E
B
7、如图，AC与BD相交于点O，已知AD ⊥ BD，
BC ⊥AC,AC=BD,则OA=OB请说明理由。
C O A
D
B
等腰直角三角 形
性 质
两锐角互余， 边考虑: 直角三角形斜边上的中线等 且都为45度； 于斜边的一半； 两直角边相等， 直角三角形两直角边的平方 且三边之比为： 和等于斜边的平方. 1 :1 : 2 （勾股定理）
角考虑:
判 定 方 法
有一角为直角（或90°）的三角 形是直角三角形；
期中复习(二) 特殊三角形
第一次月考初二数学测试卷（满分120分） 一、填空题（每格3分，共54分） 1、如图，ΔABD≌ΔACE，则B的对应点是________，∠A的对应角是_________， AB的对应边是___________。 2、等腰三角形的两边长是4cm，6cm，那么三角形的周长为_______________。 3、“同位角相等”的题设是_____________________________，结论是_____________________. 4、“等腰三角形两腰上的高线相等”的逆命题是____________________________________ 5、如图，已知AB=AD，如果要判定ΔABC≌ΔADC，根据“SSS”只要增加条件__________________，或者根据“SAS”，则只要增加条件_______________。 6、用反证法证明命题“两条直线相交只有一个交点”时，应先假设_____________________________________。 7、角的对称轴是_______________________________. 8、如图，上午8时，一条船从A处出发以12海里/时的速度向正北航行，9时45分到达B处，从A处测得灯塔C在北偏西26°，从B处测得灯塔C在北偏西52°，则BC=_________ 。 9、木工师傅在做完门框后，为防止变形常常像图中所示那样钉上两条斜拉的木板条（即图中的AB、CD两个木条），这样做根据的数学道理是_______________________________。
10、如图：AB=AD，BC=CD，AC、BD相交于E，请写出由这些条件可得到的结论（不再添辅助线，不再标注字母，不写推理过程，只要求写出四个你认为正确的结论）①__________;②______________;③_______________;④__________________. 11、如图，∠AOB是一钢架，且∠AOB=20°，为使钢架更坚固，需要在其内部添加钢管EF、FG、 GH„„，添加的钢管的长度与OE相等，则最多能添加这样的钢管_________根。
中考总复习特殊三角形导学案
中考总复习《特殊三角形》导学案黄堡中学魏辉兰学习目标1、掌握等腰三角形和直角三角形的性质和判定;2、会用等腰三角形和直角三角形的性质和判定进行有关的计算和证明；3能用分类讨论的思想解决等腰三角形中的有关计算.重点会用等腰三角形和直角三角形的性质和判定进行有关证明和计算。
难点等腰三角形、直角三角形的判定及性质的综合应用。
过程学法指导问题导学知识扫描在自己回忆的基础上，通过查找资料或他人交流的方式快速完成知识点梳理1、等腰三角形的性质：（1）（）相等； (2)( )相等；（3）底边上的高、（）和（）三线合一；（4）等腰三角形是（）图形，对称轴是（）。
2、等腰三角形的判定：（1）（）相等的三角形；（2）（）相等的三角形。
3、等边三角形是特殊的等腰三角形，它除了具有等腰三角形的所有性质外，还具有特殊的性质，即三边（）；三个角（），并且都是（）4、等边三角形的判定：（1）（）相等的三角形；（2）（）相等的三角形；（3）有一个角是（）的等腰三角形。
5、直角三角形的性质：（1）若a、b是两直角边，c是斜边，则（）即勾股定理；（2）两锐角（）；（3）（）的角所对的直角边是斜边的一半；（4）斜边中线等于斜边的（）6、直角三角形的判定：（1）有一个角是（）的三角形；（（2）一边中线等于（）的三角形；（3）三边a、b、c满足（）的三角形。
基础训练先自学，然后两人对学，再组内交流，并选好中心发言人在班级进行展示1．如图(1)，等腰三角形一腰上的高与底边所成的角等于( )A.顶角的2倍B.顶角的一半C.顶角D.底角的一半变式①顶角是钝角，结论是否成立？变式②等腰三角形一腰上的高与腰长的比是1:2，则顶角是多少度？2.方程x－9x＋18＝0的两个根是等腰三角形的底和腰，则这个三角形的周长为 ( )A．12 B．12或15 C．15 D．不能确定3.如果等腰三角形的一个内角是80°，那么顶角是________度．4、如图（2）.将一张矩形纸片ABCD如图所示折叠，使顶点C落在C´点,已知AB=2，∠DEC´=30º则折痕DE 的长为( )A. 2B.C. 4D. 1ADB C图1 图2 图2能力提升1.先独立试做。