特殊三角形复习
图2
A 特殊三角形
(一)等腰三角形的性质与判定
1.性质 (1)：等腰三角形的两腰相等、两个底角相等。
(2)：等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高互相重合。
2.判定 定义：有两边相等的三角形是等腰三角形。
判定定理：有两个角相等的三角形是等腰三角形
3.等边三角形: 性质:三边相等,三内角都是60度
判定 1 . 三个角都相等的三角形是等边三角形。
2 . 有一个角等于60°的等腰三角形是等边三角形。
(二)直角三角形的性质与判定
C D B E
F A
典型例题
1．如图2，已知∠BAC=30°，AD=BD ，AB ⊥BC ，AD ⊥DB ，求（1）AD 、AC 、AB 的长度。
（2）求四边形ADBC 的面积。
2．如图，AC 与BD 相交于点O ，已知AD ⊥BD ，BC ⊥AC ，AC=BD ，则OA=OB ，请说明理由。
3．如图，已知一个四边形的四条边AB ，BC ，CD 和DA 的长分别是3，4，13和12，其中∠B=90°，求这个四边形的面积。
如图，已知AB=AC=CE,BD=CD ,∠E=25°，则∠BAD=＿＿＿＿。
E C D B A
4.△ABC 中，AB=AC,若一个外角为150°，则∠A 等于（ ）
A 、30°
B 、120°
C 、30°或120°
D 、30°或75°
5、如图，在△ABC 内一点，∠ABP =∠BCP ，则∠BPC 的度数为( )
A 、125°
B 、105°
C 、110°
D 、145°
C B P
A
6、如图，在四边形ABCD 中，AD ∥BC ，AB=AD,BD=BC,若∠A=120°，则∠ADC=（ ）
A 、120°
B 、105°
C 、100°
D 、90°
D
C
B A
7、等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为35°，则顶角为( )
A 、55°
B 、125°
C 、50°或130°
D 、55°或125°
8、如图，△ABC 中，AB=AC ，D 、E 为B 、C 上两点，且AD=AE ，求证：∠1=∠2. k
12
1E D C
A
9、如图，AB=AC,AD=AE,AO 的延长线交BC 于D ，求证：AO ⊥BC 。
O
E
D C B A
10、如图，已知AF=AC,AD⊥FC，FG∥BC,求证：∠1=∠2
B
C
E
D
G
F
A
11、如图，AB=AE,∠ABC=∠AED,BC=ED,点F是CD的中点，求证：AF⊥CD.
D
F
C E
B
A
12、如图，延长△ABC的边BC至D，使CD=CA,CE平分∠ACB，CF⊥CE交AD于F，试判断AF和DF的大小关系，并证明你的结论。
F
E
D
C
A
1、如图，在△ABC中，B D⊥AC,∠A=50°，∠CBD=25°，若AC=5cm，则AB=＿
2、△ABC中，∠B=∠C，AD⊥BC于D，若△ABC的周长为42CM，△ABD的周长为36cm,则AD的长为（）
A、6cm
B、10cm
C、12cm
D、15cm
图1
C
B D
A
3、如图，△ABC 中，BD 、CE 为高，且BD=CE,BD 、CE 相交于O ，求证：BO=CO.
4、如图，已知△ABC 中，AB=AC ，D 、E 分别是AB 和BC 上的点，连接DE
并延长AC 的延长线于点F ，若DE=EF ，求证;BD=CF.
5、如图，△ABC 中，AB=AC ，D 为BA 延长线上任意一点，D F ⊥BC 于F,交直
线AC 于E,（1）求证：AD=AE;(2)若垂足F 落在C 点或BC 得延长线上时，（1）中的结论是否成立？若成立，请选F 在BC 延长线这种情形予以证明，若不成立，请说明理由。
D
A
E C
F B
6、△ABC 中，AB=AC ，∠C=90°，AD 平分∠BAC 交BC 于D ，求证：AB=AC+CD.
B
D
A
C
7、△ABC 中，∠B=2∠C ，AD 平分∠BAC 交BC 于D,求证：AB+BD=AC.
8．如图，∠B=2∠C，AD 平分∠BAC，AB=AE 。试找出图中的等腰三角形，并说明理由。
9．如图1，已知∠BAC=30°，AB=BD DC ，AB=5，
求AD 、BC 、AC 的长度。
10．在直线l 上依次摆放着七个正方形(如图所示)。已知斜放置的三个正方形的面积分别是1、2、3，正放置的四个正方形的面积依次是S 1、S 2、S 3、S 4，则S 1＋S 2＋S 3＋S 4等于（ ）
A ． 4 B. 5
C ． 6 D. 14 l
321S 4S 3S 2S 1
特殊三角形复习
特殊三角形复习 一：等腰三角形 例1：如图1，点B 、C 、E 在同一条直线上，△ABC 与△CDE 都是等边三角形，则下列结论中正确的有（ ） ①△ACE ≌△BCD ，②BG=AF ，③△DCG ≌△ECF ，④△ADB ≌△CEA ，⑤DE=DG ，⑥∠AOB=60°． A ． ①②③⑤ B ． ①②④⑤ C ． ①②③⑥ D ． ①②③④⑤⑥ 图1 图3 二：等腰三角形的性质 例2：如图2，△ABC 是等边三角形，D 是AB 边上的一点，以CD 为边作等边三角形CDE ，使点E 、A 在直线DC 的同侧，连结AE ． （1）求证：AE ∥BC ； （2）当AD=AE 时，求∠BCE 的度数． 图2 例3： 如图钢架中，焊上等长的13根钢条来加固钢架，若AP 1=P 1P 2=P 2P 3=…=P 13P 14=P 14A ，则∠A 的度数是 _________ ． 例4：如图，在等腰三角形ABC 中，AB=AC ，AD 是BC 边上的中线，∠ABC 的平分线BG ，交AD 于点E ，EF ⊥AB ，垂足为F ．求证：EF=ED ． 拓展：如图，在△ABC 中，AC=BC ，∠C=90°，BD 为∠ABC 的平分线，若A 点到直线BD 的距离为a ，则BE 的长为 _________ ．
三，等腰三角形的判定 例5：等边△ABC中，点P在△ABC内，点Q在△ABC外，且∠ABP=∠ACQ，BP=CQ，问△APQ是什么形状的三角形？试说明你的结论． 例6：如图，A、B两点在正方形网格的格点上，每个方格都是边长为1的正方形、点C也在格点上，且△ABC为等腰三角形，则符合条件的点C共有_________ 个． 例7：如图，△ABC中，AD平分∠BAC，∠B=2∠C，求证：AB+BD=AC． 四，直角三角形的性质 例8：如图，已知：△ABC中，AD是高，CE是中线，DC=BE，DG⊥CE，G是垂足．求证：（1）G是CE的中点；（2）∠B=2∠BCE． 例9：已知∠BAC=90°，AB=AC，M是AC边的中点，AD⊥BM交BC于D，交BM于E，求证：∠AMB=∠DMC．
初中二年级数学上册第2章 特殊三角形单元复习
第2章特殊三角形单元复习 1.掌握图形的对称及轴对称图形的定义，会作一个图形关于直线的对称图形，理解轴对称的性质. 2.了解等腰三角形的定义，掌握等腰三角形的性质与判定；了解直角三角形的定义，掌握直角三角形的性质与判定；理解中垂线、角平分线的性质与判定. 3.理解等腰三角形和直角三角形这两个基本图形在几何中的地位和作用，能将复杂的几何问题转化为基本图形解决. 考点一：轴对称与轴对称图形 例1 （湖州市吴兴区）下列图形中,属于轴对称图形的是() A. B. C. D. 例2 （宁波市北仑区）“白日登山望烽火，黄昏饮马傍交河.”诗中隐含着一个有趣的数学问题：如图所示，将军在观望烽火之后从山脚上的点A出发，奔向小河旁边的点P饮马，饮马后再到点B宿营，若点A,B到水平直线l（l表示小河）的距离分别是3，1，A，B两点之间水平距离是3，则AP+PB的最小值为. 如果两个图形关于某条直线对称，那么对称轴是任何一组对应点所连线段的垂直平分线.由轴对称的性质可以得到以下结论：①如果两个图形的对应点的连线被同一条直线垂直平分，那么这两个图形关于这条直线对称；②如果两个图形是轴对称图形，我们只要找到一组对应点，作出连结它们的线段的垂直平分线，就可以得到这两个图形的对称轴；③轴对称图形的对称轴是任何一组对应点所连线段的垂直平分线. 1.（台州市椒江区）如图所示，P是直线l外一个定点，A为直线l上一个定点，点P关于直线l的对称点记为P1，将直线l绕点A顺时针旋转30°得到直线l′，此时点P2与点P关于直线l′对称，则∠P1AP2等于() A.30° B.45° C.60° D.75° 2.（宁波市北仑区）如图所示为由5个边长为单位1的小正方形拼成的图形，请你在图上添加一个小正方形，使添加后的图形是一个轴对称图形，要求画出三种. 考点二：等腰三角形的性质与判定 例3 （杭州市江干区）一个等腰三角形的一个内角是另一个内角的2倍，则这个三角形底角为(A) A.72°或45° B.45°或36 C.36°或90° D.72°或90° 例4 （宁波市镇海区）如图所示，AB∠CD，CE平分∠ACD交AB于点E.
特殊三角形复习学案
特殊三角形复习 课标要求 （1）了解等腰三角形的概念，探索并证明等腰三角形的性质定理：等腰三角形的两底角相等；底边上的高线、中线及顶角平分线重合。探索并掌握等腰三角形的判定定理：有两个角相等的三角形是等腰三角形。探索等边三角形的性质定理：等边三角形的各角都等于60°，及等边三角形的判定定理：三个角都相等的三角形（或有一个角是60°的等腰三角形）是等边三角形。 （2）了解直角三角形的概念，探索并掌握直角三角形的性质定理：直角三角形的两个锐角互余，直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半。掌握有两个角互余的三角形是直角三角形。 （3）探索勾股定理及其逆定理，并能运用它们解决一些简单的实际问题。 课标分析 从知识与技能、数学思考、问题解决、情感与态度等四个方面阐述 （1）、知识与技能 掌握基本的证明方法和基本的作图等技能；掌握基本的推理技能。 (2)、数学思考在研究图形性质和运动、确定物体位置等过程中，进一步发展空间观念；经历借助图形思考问题的过程，初步建立几何直观。体会通过合情推理探索数学结论，运用演绎推理加以证明的过程，在多种形式的数学活动中，发展合情推理与演绎推理的能力。能独立思考，体会数学的基本思想和思维方式（3）、问题解决 尝试从不同角度寻求解决问题的方法并能有效地解决问题；在与他人合作和交流过程中，能较好地理解他人的思考方法和结论。经历借助图形思考问题的过程，
初步建立几何直观。 （4）、情感与态度 感受成功的快乐，体验独自克服困难、解决数学问题的过程，有克服困难的勇气，具备学好数学的信心。在运用数学表述和解决问题的过程中，认识数学具有抽象、严谨和应用广泛的特点，体会数学的价值。 教学目标： 1、知道等腰三角形的轴对称性及对称轴； 2、掌握等腰三角形和等边三角形的有关性质和判定，能运用这些性质及判定进行有关计算和证明。 3、掌握直角三角形的性质和判定，能运用这些性质及判定进行有关计算和证明。 4、掌握勾股定理及其逆定理，进一步理解数形之间的联系。 教学重点： 等腰三角形的性质和判定，直角三角形的性质和判定，勾股定理。 教学难点： 灵活运用等腰三角形、直角三角形的性质和判定，进行有关计算和证明。 教学过程 【自主练习】 自主完成课件“自主尝试”环节。 【知识回顾】 1．等腰三角形： (1)性质：相等，相等，底边上的高线、中线、 顶角的角平分线“三线合一”；
中考数学专题复习27特殊三角形(解析版)
特殊三角形 考点1：等腰三角形的性质与判定 1．（2021·江苏苏州市）如图．在Rt ABC △中.90C ∠=︒.AF EF =．若72CFE ∠=︒.则B ∠=______． 【答案】54° 【分析】 首先根据等腰三角形的性质得出∠A =∠AEF .再根据三角形的外角和定理得出∠A +∠AEF =∠CFE .求出∠A 的度数.最后根据三角形的内角和定理求出∠B 的度数即可． 【详解】 ∠ AF =EF . ∠ ∠A =∠AEF . ∠∠A +∠AEF =∠CFE=72°. ∠ ∠A =36°. ∠ ∠C =90°.∠A +∠B +∠C =180°. ∠ ∠B =180°-∠A -∠C =54°． 故答案为：54°． 2．（2021·江苏南京市·中考真题）如图.在四边形ABCD 中.AB BC BD ==．设ABC α∠=.则ADC ∠=______（用含α的代数式表示）．
【答案】11802α︒- 【分析】 由等腰的性质可得：∠ADB =1902ABD ︒-∠.∠BDC =1902CBD ︒-∠.两角相加即可得到结论． 【详解】 解：在∠ABD 中.AB =BD ∠∠A =∠ADB =11(180)9022ABD ABD ︒-∠=︒- ∠ 在∠BCD 中.BC =BD ∠∠C =∠BDC =11(180)9022CBD CBD ︒-∠=︒- ∠ ∠ABC ABD CBD α∠=∠+∠= ∠ADC ADB CBD ∠=∠+∠ =11909022 ABD CBD ︒-∠+︒-∠ =1180()2ABD CBD ︒- ∠+∠ =11802 ABC ︒-∠ =1 1802α︒- 故答案为：11802α︒-． 3．（2021·四川资阳市·中考真题）将一张圆形纸片（圆心为点O ）沿直径MN 对折后.按图1分成六等份折叠得到图2.将图2沿虚线AB 剪开.再将AOB 展开得到如图3的一个六角星．若75CDE ∠=︒.则OBA ∠的度数为______．
特殊三角形复习课
课题：特殊三角形复习课 一、地位和作用 特殊三角形主要是指等腰三角形和直角三角形，是全等三角形知识的延续和深化.它们的性质和判定在研究线段相等、角相等的问题中起着重要作用.特殊三角形作为一种载体，使轴对称与线段、角、全等三角形等几何图形紧密结合起来，它使线段、角的问题变得丰富多彩、扑朔迷离，往往给每一颗爱好几何的心灵以惊喜和顿悟.掌握特殊三角形的性质、判定，可以进一步培养提高学生逻辑思维和推理能力，是学习后续几何知识必不可少的基础,并且在生产和生活中也有着广泛应用. 特殊三角形是中考必考内容，可独立成题，亦可综合其它知识进行考察. 二、教学目标： 知识目标：掌握等腰三角形（含等边三角形）及直角三角形的性质和判定及其运用. 能力目标：引导学生参与解题思路的分析，掌握运用分类讨论思想和方程思想的解题方法. 情感目标：在领悟解题规律中感受成功，体验数学学习的快乐，以及同伴交流和互助的喜悦. 三、教学重点与难点： 重点：等腰三角形、直角三角形的性质与判定及其应用 难点：分类讨论思想及方程思想的运用 四、教学模式： 先学后教，利用启发式，引导探究法，小组活动相辅助的教学方法，激发全体学生积极参与课堂，引导学生通过猜想、思考、探索、小组活动等多样化的学习方式，掌握几何证题思路的分析方法，运用数学思想，领悟解题规律，体验数学学习的快乐. 五、教学过程： （一）目标展示 1.等腰三角形、等边三角形的性质和判定定理. 2.直角三角形的性质和判定定理. 3.会利用等腰三角形及直角三角形的性质、判定进行有关计算与推理. （二）知识展示 1.等腰三角形的性质和判定 1)等腰三角形是______对称图形，等腰三角形的两腰______,两_______相等. 2)等腰三角形的底边上的中线,_____________,__________互相重合.(三线合一) 3)两个角相等的相等的三角形是_______________. 2.等边三角形的性质和判定 1)等边三角形的每个角都等于______，同样具有“三线合一”的性质. 2)三个角相等的三角形是______________;三边相等的三角形是______________; 有一角为60°的______三角形是等边三角形. 3.直角三角形的性质和判定(c为斜边，a、b为直角边) 1）直角三角形的两锐角______. 2）直角三角形中，30°角所对的直角边等于斜边的______. 3）直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的______. 4)直角三角形的三条边满足_______________. 5）勾股定理的逆定理：若一个三角形有两边的_________等于第三边的平方，则这个三角形是_____________.
特殊三角形知识点
等腰三角形和直角三角形都是特殊三角形,具有一般三角形的性质,同时具有一般三角形所不具备的特殊性,这些特性在几何证明中有着极为重要的应用价值,也是研究其他三角形和多边形的基础. 利用等腰三角形的轴对称性,"三线合一"等性质探求解题途径。 一、直角三角形 1)直角三角形的定义:有一个角为90°的三角形，叫做直角三角形。 直角三角形是一种特殊的三角形，它除了具有一般三角形的性质外，具有一些特殊的性质。又叫Rt三角形。 2)直角三角形的性质: (1)直角三角形两个锐角互余; (2)直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半; (3)在直角三角形中，30度角所对的直角边是斜边的一半;且三边比为1比根号3比2; (4)在直角三角形中，如果有一条直角边等于斜边的一半，那么这条直角边所对的锐角等于30°; (5)在直角三角形中，两条直角边a、b的平方和等于斜边c的平方，即a^2+b^2=c^2 (勾股定理); (6)直角三角形斜边上的高h等于该直角三角形外接圆半径斜边上的中线等于该直角三角形内切圆半径. ( 7) 直角三角形的垂直平分线交于斜边的中点。 (8)直角三角形中，斜边上的高是两直角边在斜边上射影的比例中项。每一条直角边是这条直角边在斜边上的射影和斜边的比例中项。 3)直角三角形的判定: (1)有一个角为90°的三角形是直角三角形; (2)一个三角形,如果这个三角形一边上的中线等于这条边的一半,那么这个三角形是以这条边为斜边的直角三角形; (3)若a^2+b^2=c^2，则以a、b、c为边的三角形是以c为斜边直角三角形(勾股定理的逆定理); (4)若三角形30°内角所对的边是某一边的一半,那么这个三角形是以这条长边为斜边的直角三角形; (5)两个锐角互余的三角形是直角三角形. 4)直角三角形角的性质 若直角三角形ABC中∠C=90°，则 sinA=cosB，sinB=cosA，sinA=cos(90°-A)=sin(180°-A) cosA=sin(90°-A)=-cos(180°-A) tanA=-tan(180°-A) 对于特殊角30°，45°，60°，15°，75°，90° sin30°=cos60°=1/2 sin45°=cos45°=√2/2 sin60°=cos30°=√3/2 sin75°=cos15°=(根号6+根号2)/4 cos75°=sin15°=(根号6-根号2)/4 tan75°=2+根号3 tan15°=2-根号3 sin90°=1 cos90°=0 tan90°=无限大 二、等腰三角形 1)等腰三角形的定义: 有两边相等的三角形是等腰三角形 2)等腰三角形的性质:
第3讲特殊三角形专题复习
特殊三角形专题复习 【构造等腰三角形解题的常见途径】 一、利用角平分线+平行线，构造等腰三角形 当一个三角形中出现角平分线和平行线时，我们就可以寻找到等腰三角形．如图1①中，若AD 平分∠BAC ，AD ∥EC ，则△ACE 是等腰三角形；如图1②中，AD 平分∠BAC ，DE ∥AC ，则△ADE 是等腰三角形；如图1③中，AD 平分∠BAC ，CE ∥AB ，则△ACE 是等腰三角形；如图1④中，AD 平分∠BAC ，EF ∥AD ，则△AGE 是等腰三角形． 例1 如图2，△ABC 中，AB ＝AC ，在AC 上取点P ，过点P 作EF ⊥BC ，交 BA 的延长线于点E ，垂足为点F ．求证：AE ＝AP ． 例2 如图3，在△ABC 中，∠BAC 、∠BCA 的平分线相交于点O ，过点O 作DE ∥AC ，分别交AB 、BC 于点D 、E ．试猜想线段AD 、CE 、DE 的数量关系，并说明你的猜想理由． 例3 如图4，△ABC 中，AD 平分∠BAC ，E 、F 分别在BD 、AD 上，且DE ＝CD ，EF ＝AC ． 求证：EF ∥AB ． C A B E D O 图3 图4 F C D E B A 图2 F B A C P E 图1 ① A D C B E ② E C B D A B A C D E ③ ④ A B F C D E G
二、利用角平分线+垂线，构造等腰三角形 当一个三角形中出现角平分线和垂线时，我们就可以寻找到等腰三角形．如图5中，若AD 平分∠BAC ，AD ⊥DC ，则△AEC 是等腰三角形． 例4 如图6，已知等腰Rt △ABC 中，AB ＝AC ，∠BAC ＝90°，BF 平分∠ABC ，CD ⊥BD 交BF 的延长线于D ．求证：BF ＝2CD ． 三、利用转化倍角，构造等腰三角形 当一个三角形中出现一个角是另一个角的2倍时，我们就可以通过转化倍角寻找到等腰三角形．如图7①中，若∠ABC ＝2∠C ，如果作BD 平分∠ABC ，则△DBC 是等腰三角形；如图7②中，若∠ABC ＝2∠C ，如果延长线CB 到D ，使BD ＝BA ，连结AD ，则△ADC 是等腰三角形；如图7③中，若∠B ＝2∠ACB ，如果以C 为角的顶点，CA 为角的一边，在形外作∠ACD ＝∠ACB ，交BA 的延长线于点D ，则△DBC 是等腰三角形． 例5 如图8，在△ABC 中，∠ACB ＝2∠B ，BC ＝2AC ．求证：∠A ＝90°． 四、模拟画图 例6 已知在如图1的△ABC 中，AB =AC ，∠A =36°，仿照图1，请你再用两种不同的方法，将△ABC 分割成3个三角形，使每个三角形都是等腰三角形（图2、图3供画图用，作图工具不限，不要求写出作法，不要求证明，但要标出所分得每个等腰三角形的内角度数）． E 图5 A B C D 图6 B F D C A 图7 B C D A ① ② B C D A ③ B C D A 图8 C B A
特殊三角形复习课教学案
八年级数学《特殊三角形》复习学案（主备课教师：姚雅容） 一、复习目标 1、了解相关概念； 2、掌握等腰三角形、等边三角形和直角三角形的性质及其判定方法；并 会根据特殊三角形的有关知识进行简单的推理和计算； 3、掌握直角三角形全等的判定方法。 二、知识梳理 1、什么叫等腰三角形？什么是等边三角形？什么是直角三角形？ 2、等腰三角形的性质：（1）； （2）； （3）； 3、等腰三角形的判定：（1）； （2）。 4、等边三角形的性质：（1）； （2）； （3） 5、等边三角形的判定方法有哪些？ 6、直角三角形的性质：（1）； （2）； （3）直角三角形中，30°角所对的直角边等于斜边的； （4）勾股定理：。 7、直角三角形的判定： （1）有两个角的三角形是直角三角形； （2）如果三角形中两边的等于第三边的平方，那么这个三角形是直角三角形。 8、怎样判定两个直角三角形全等？
9、角的内部，到角两边距离相等的点，在这个角的上。 三、例题解析 例1 在△ABC中，AB＝AC，BD是AC边上的高，且∠ABD＝30°，则∠BAC ＝ 例2 如图，在△ABC中，DE∥BC，∠ADE ＝∠AED，G为BC的中点。试判断△DEG的形状，并说明你的理由。 例3 如图，在正方形ABCD中，E是AD的中点，点F在DC上，且DF＝¼DC，试判断BE与EF的位置关系，并说明理由。 四、课内练习
1、已知等腰三角形的两边长分别为4，9，则它的周长为（） A、17 B、22 C、17或22 D、13 2、如图，等腰△ABC的周长为21，底边BC＝5，AB的垂直平 分线DE 交AB于点D，交AC于点E，则△BEC的周长为（） A、13 B、14 C、15 D、16 3、直角三角形两条直角边长分别为8和6，则斜边上的高为（） A、2.4 B、4.8 C、10 D、5 4、如图，△ABC和△BDE都是等边三角形，已知CD＝5，AD＝4， BD＝3，则下列结论中错误的是（） A、△ABD≌△CBE B、∠DEC＝90° C、∠ADB＝150° D、∠ADC＝135° 5、判断以下命题：①斜边对应相等的两个直角三角形全等；②有两个锐角对应相等的两个直角三角形不一定全等；③一条直角边对应相等的两个等 腰直角三角形全等；④一锐角和一条直角边对应相等的两个直角三角 形全等。其中正确的有（） A、1个 B、2个 C、3个 D、4个 6、如图，△ABC中，AB＝AC，过AC上一点E作DE⊥AC，EF⊥BC，若∠BDE＝140°，则∠DEF＝ 7、如图，已知BD⊥AE于B，C是BD上一点，且BC＝BE，要使 Rt△ABC≌Rt△DBE，应补充的条件是∠A＝∠D或 或或 8、如图，在△ABC中，已知∠ABC＝∠ACB，BO平分∠B，CO平
中考复习 特殊三角形(含答案)-
特殊三角形 ◆考点链接 1．等腰（等边）三角形的判定定理与性质定理． 2．直角三角形的判定与性质． 3．勾股定理的应用． ◆典例精析 【例题1】判断题：（正确的画“∨”，错误的画“×”） （1）若三角形中最大的内角是60°，那么这个三角形是等边三角形；（） （2）等腰三角形一腰上的中线把这个等腰三角形分成两个等腰三角形；（） （3）等腰三角形两腰上的高相等；（） （4）等边三角形的三条高相等；（） （5）等腰三角形的角平分线垂直且平分对边；（） （6）顶角相等的两个等腰三角形全等．（） 评析：本题主要考查等腰三角形的性质与判定．（1）三角形有一角为60°时，另两角和是120°，若其中之一小于60°，必有另一个大于60°，与最大角为60°相矛盾．（2）等腰三角形一腰上的中线不一定等于腰长的一半．（3）（4）应用等腰（等边）三角形的性质，通过三角形面积的不同表示方法可证明．（5）当等腰三角形腰和底不相等时，底角的平分线不垂直平分对边．（6）•和等腰三角形底边平行的直线截得的等腰三角形与原三角形顶角相等，但不全等． 答案：（1）∨ （2）× （3）∨ （4）∨ （5）× （6）× 评析：有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形，等腰三角形的“三线合一”在等边三角形中就都成立，这是因为在等边三角形中，每个顶点都可以视作等腰三角形的顶点．
【例题2】（1）已知：a、b、c为△ABC三边，且满足a2+b2+c2+50=60a+8b+10c，试判断 △ABC的形状． （2）如图，△ABC中，CD⊥AB，垂中为D点，且CD2=AD·BD，求证：△ABC 为直角三角 形． 解题思路：由三角形的三边的数量关系来判断三角形是否是直角三角形，或用于构造直角三角形证明两直线垂直，一般与勾股定理和代数式、方程相结合，综合运用．特别是由一个等式求三角形的三边长时，往往把等式化为A2+B2+C2=0的形式，再由 A=0，B=0，C=0，求得三角形三边的长，再用于计算或判断．（1）解： ∵a2+b2+c2+50=6a+8b+10c， ∴a2-6a+9+b2-8b+16+c2-10c+25=0， ∴（a-3）2+（b-4）2+（c-5）2=0， ∴a-3=0，b-4=0，c-5=0， ∴a=3，b=4，c=5，∴a2+b2=c2， ∴△ABC为直角三角形． （2）证明：∵CD⊥AB， ∴AD2+DC2=AC2，DB2+DC2=BC2． ∴AC2+BC2=AD2+DB2+2DC2，∵DC2=AD·DB， ∴AC2+BC2=AD2+DB2+2AD·DB=（AD+DB）2=AB2． ∴△ABC为直角三角形．
八上第二章特殊三角形知识点复习
八年级上册第二章《特殊三角形》复习 一、知识结构 本章主要学习了等腰三角形的性质与判定、直角三角形的性质与判定以及勾股定理、HL 定理等知识，这些知识点之间的结构如下图所示： 等腰Rt 两直角三角形全等的判定 直角三角形的性质和判定 等边三角形的性质和判定等腰三角形的性质和判定直角三角形 等边三角形 等腰三角形特殊三角形 二、重点回顾 1．等腰三角形的性质： 等腰三角形两腰_______；等腰三角形两底角______(即在同一个三角形中，等边对_____)；等腰三角形三线合一，这三线是指__________、__________、__________，也就是说一条线段充当三种身份；等腰三角形是________图形，它的对称轴有_________条。 2．等腰三角形的判定： 有____边相等的三角形是等腰三角形；有_____相等的三角形是等腰三角形（即在同一个三角形中，等角对_____）。 注意：有两腰相等的三角形是等腰三角形，这句话对吗？ 3．等边三角形的性质： 等边三角形各条边______，各内角_______，且都等于_____；等边三角形是______图形，它有____条对称轴。 4．等边三角形的判定： 有____边相等的三角形是等边三角形；有三个角都是______的三角形是等边三角形；有两个角都是______的三角形是等边三角形；有一个角是______的______ 三角形是等边三角形。 5．直角三角形的性质： 直角三角形两锐角_______；直角三角形斜边上的中线等于_______；直角三角形两直角边的平方和等于________（即勾股定理）。30°角所对的直角边等于斜边的________ 6．直角三角形的判定： 有一个角是______的三角形是直角三角形；有两个角_______的三角形是直角三角形；两边的平方和等于_______的三角形是直角三角形。 一条边上的中线等于该边长度的一半，那么该三角形是直角三角形，但不能直接拿来判断某三角形是直角三角形，但有助于解题。 7．直角三角形全等的判定： 斜边和___________ 对应相等的两个直角三角形全等。 8．角平分线的性质： 在角内部到角两边___________在这个角的平分线上。 三、重点解读 1．学习特殊三角形，应重点分清性质与判定的区别，两者不能混淆。一般而言，根据边角关系判断一个图形形状通常用的是判定，而根据图形形状得到边角关系那就是性质； 2．等腰三角形的腰是在已知一个三角形是等腰三角形的情况下才给出的名称，即先有等腰三角形，后
第二章特殊三角形(期中复习)
第三章特殊三角形（期中复习） 班级姓名 一、基本性质及判定 1、等腰三角形的性质： ①等腰三角形的两底角相等； ②等腰三角形的两腰相等； ③等腰三角形顶角的平分线，底边上的中线及底边上的高线互相重合； 2、等腰三角形的判定： ①如果一个三角形有两条边相等，那么这个三角形是等腰三角形； ②如果一个三角形有两个角相等，那么这个三角形是等腰三角形； ③如果一个角的平分线垂直于对边，那么这个三角形是等腰三角形； ④如果一个角的平分线平分对边，那么这个三角形是等腰三角形； ⑤线段中垂线上的点到线段两端点的距离相等；（即由中垂线可得出等腰三角形） 3、等边三角形的性质： ①等边三角形的三条边相等，三个角都等于60o； ②等边三角形的“三线合一”； ③等边三角形的边长若是a ，那么它的高是 2 ，面积是2 4 a 4、等边三角形的判定： ①三条边都相等的三角形是等边三角形； ②有两个角是60o的三角形是等边三角形； ③有一个角是60o的等腰三角形是等边三角形； 5、直角三角形的性质： ①直角三角形的两锐角互余； ②勾股定理； ③直角三角形中30o角所对的直角边等于斜边的一半； ④直角三角形中，如果一条直角边是斜边的一半，那么这条直角边所对的角是30o； ⑤直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半； ⑥在一个直角三角形中，在斜边上所画的任何图形的面积，等于在两条直角边上所画的与其相似的图形面积之和 ⑦若等腰直角三角形的直角边为a， 一、基础题 1、等腰三角形有条对称轴，对称轴是，等腰三角形腰上的高与底边所夹的角等于 2.已知等腰三角形一腰上的中线将它的周长分成15cm和6cm两部分，求等腰三角形的底边长。 3.如图，正方形上给定8个点，以这些点为顶点，能构成多少个三角形。 4. 如图已知∠ACB＝90°, BD＝BC, AE＝AC, 则∠DCE＝__________度. 4.如图，Rt△ABC中，CF是斜边AB上的高，角平分线BD交CF于G，DE⊥AB于E，则下列结论①∠A=∠BCF , ② CD=CG=DE, ③AD=BD , ④ BC=BE中正确的个数是（） A.1 B.2 C.3 D. 4 第4题
浙教版八年级上册数学第二章特殊三角形全部知识点考点及练习
浙教版数学八年级上册第二章?特殊三角形?复习 一、知识构造 本章主要学习了等腰三角形的性质与判定、直角三角形的性质与判定以及勾股定理、定理等知识，这些知识点之间的构造如以下图所示： 等腰Rt 两直角三角形全等的判定 直角三角形的性质和判定 等边三角形的性质和判定等腰三角形的性质和判定直角三角形 等边三角形 等腰三角形特殊三角形 二、重点回忆 1．等腰三角形的性质： 等腰三角形两腰；等腰三角形两底角(即在同一个三角形中，等边对)；等腰三角形三线合一，这三线是指、、，也就是说一条线段充当三种身份；等腰三角形是图形，它的对称轴有条。 2．等腰三角形的判定： 有边相等的三角形是等腰三角形；有相等的三角形是等腰三角形〔即在同一个三角形中，等角对〕。 注意：有两腰相等的三角形是等腰三角形，这句话对吗？ 3．等边三角形的性质： 等边三角形各条边，各内角，且都等于；等边三角形是图形，它有条对称轴。 4．等边三角形的判定： 有边相等的三角形是等边三角形；有三个角都是的三角形是等边三角形；有两个角都是的三角形是等边三角形；有一个角是的 三角形是等边三
角形。 5．直角三角形的性质： 直角三角形两锐角；直角三角形斜边上的中线等于；直角三角形两直角边的平方和等于〔即勾股定理〕。 30°角所对的直角边等于斜边的 6．直角三角形的判定： 有一个角是的三角形是直角三角形；有两个角的三角形是直角三角形；两边的平方和等于的三角形是直角三角形。 一条边上的中线等于该边长度的一半，那么该三角形是直角三角形，但不能直接拿来判断某三角形是直角三角形，但有助于解题。 7．直角三角形全等的判定： 斜边和对应相等的两个直角三角形全等。 8．角平分线的性质： 在角内部到角两边在这个角的平分线上。 三、重点解读 1．学习特殊三角形，应重点分清性质与判定的区别，两者不能混淆。一般而言，根据边角关系判断一个图形形状通常用的是判定，而根据图形形状得到边角关系那就是性质； 2．等腰三角形的腰是在一个三角形是等腰三角形的情况下才给出的名称，即先有等腰三角形，后有腰，因此在判定一个三角形是等腰三角形时千万不能将理由说成是“有两腰相等的三角形是等腰三角形〞； 3．直角三角形斜边上的中线不仅可以用来证明线段之间的相等关系，
2020年上海中考数学·一轮复习 第13讲 特殊三角形
第13讲特殊三角形 [基础篇] 一、等腰三角形 1、等腰三角形的概念：两条边相等的三角形叫做等腰三角形； 等腰三角形中，相等的两条边都叫做腰，另一边叫做底边，两腰的夹角叫做顶角，腰和底边的夹角叫做底角。 底边 2、等腰三角形的性质： 2.1 等腰三角形的两个底角相等.(简写成“等边对等角”)； 2.2 等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高互相重合，简称“等腰三角形的三线合一”； 2.3 等腰三角形是轴对称图形，顶角平分线所在的直线为对称轴。 3、等腰三角形的证明方法： 3.1 有两个角相等的三角形是等腰三角形； 3.2 “两线合一”可证“三线合一” 二、等边三角形 1、等边三角形的性质 1）三条边相等； 2）等边三角形的内角都相等,且等于60 °； 3）等边三角形各边上中线,高和所对角的平分线都三线合一； 4）等边三角形是轴对称图形，有三条对称轴。 2、等边三角形的判定 1）三边相等的三角形是等边三角形； 2）三个内角都等于60 °的三角形是等边三角形； 3）有一个内角等于60 °的等腰三角形是等边三角形。
[技能篇] 类型一：等腰三角形概念 例1-1 等腰三角形顶角是84°，则一腰上的高与底边所成的角的度数是（ ） （A ）42°； （B ）60°； （C ）36°； （D ）46° 例1-2 ABC ∆中，AB AC =，BD 平分ABC ∠交AC 边于点D ，75BDC ∠=︒，则A ∠的度数是（ ） （A ）35°； （B ）40°； （C ）70 °； （D ）110° 例1-3 等腰三角形的对称轴是（ ） （A ）顶角的平分线； （B ）底边上的高； （C ）底边上的中线； （D ）底边上的高所在的直线 例1-4 如图，ABC ∠中，AD BC ⊥，AB AC =，30BAD ∠=︒，且AD AE =，则EDC ∠等于（ ） （A ）10； （B ）125︒．； （C ）15° （D ）20° 例1-5 ABC ∆中AB AC =，36A ∠=︒，BD 平分ABC ∠交AC 于D ，则图中的等腰三角形有（ ） （A ）1个； （B ）2个； （C ）3个； （D ）4个 例1-6 如图，已知OC 平分AOB ∠，//CD OB ，若3OD cm =，则CD 等于（ ） （A ）3cm ； （B ）4cm ； （C ）1.5cm ； （D ）2cm 例1-7 如图，ABC ∆中，ABC ∠与ACB ∠的平分线交于点F ， 过点F 作//DE BC 交AB 于点D ，交AC 于点E ，那么下列结论：①BDF ∆和CEF ∆都是等腰三角形；②DE BD CE =+；•③ADE ∆的周长等于AB 与AC 的和；④BF CF =．其中正确的有（ ）． （A ）①②③； （B ）①②③④； （C ）①②； （D ）① C B E D C A B 0B D E F
特殊三角形知识点归纳及练习
【概念梳理】 ▲特殊三角形：等腰三角形、等边三角形、直角三角形 一、等腰三角形 1．等腰三角形的性质： ①等腰三角形两腰_____ ；等腰三角形两底角（即在同一个三角形中，等边对 _________ ）； ② 等腰三角形三线合一，这三线是指__ 、 ___________ ______________ ，也就是说这三线为同一条线段； ③等腰三角形是______ 图形，它的对称轴有条。 2．等腰三角形的判定： ①有__ 边相等的三角形是等腰三角形； ②有__ 相等的三角形是等腰三角形（即在同一个三角形中，等角对_ ）。 二、等边三角形 1 ．等边三角形的性质： ①等边三角形各条边___ ，各内角____ ，且都等于； ②等边三角形是____ 图形，它有条对称轴。 2．等边三角形的判定： ①有__ 边相等的三角形是等边三角形； ②有三个角都是____ 的三角形是等边三角形；
③有两个角都是____ 的三角形是等边三角形； ④有一个角是____ ______ 的三角形是等边三角形。 三、直角三角形 1．直角三角形的性质： ①直角三角形两锐角_____ ； ②直角三角形斜边上的中线等于____ ； ③直角三角形两直角边的平方和等于_____ （即勾股定理）。 ④ 30°角所对的直角边等于斜边的___ 2．直角三角形的判定： ①有一个角是____ 的三角形是直角三角形； ②有两个角______ 的三角形是直角三角形； ③两边的平方和等于_____ 的三角形是直角三角形。 四、常用方法（数学思维） 1.分类讨论思想（特别是在语言模糊的等 腰三角形中）； 2.方程思想：主要用在折叠之后产生直角三角形时，运用勾股定理列方程；还有 就是在等 腰三角形中求角度，求边长； 3.等面积法。 【例题精讲】 一、等腰三角形的性质及判定 例1 ：已知等腰三角形一腰上的中线把周长分 18cm 和 21cm 两部分，则它的三边长为为
数学人教版八年级上册特殊三角形复习课
特殊三角形复习课 一、知识点回顾 （一）等腰三角形的性质与判定 1.性质 (1)等腰三角形的两个底角相等。 (2)等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高互相重合。 2.判定 定义：有两边相等的三角形是等腰三角形。 判定定理：有两个角相等的三角形是等腰三角形。 等腰三角形: 1 , 三个角都相等的三角形是等边三角形。 2 , 有一个角等于60°的等腰三角形是等边三角形。 3 , 在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半 （二）等腰三角形性质与判定的应用 1、计算角的度数 利用等腰三角形的性质，结合三角形内角和定理及推论计算角的度数，是等腰三角形性质的重要应用。 （1）已知角的度数，求其它角的度数 （2）已知条件中有较多的等腰三角形（此时往往设法用未
知数表示图中的角，从中得到含这些未知数的方程或方程组） 2、证明线段或角相等 以等腰三角形为条件时的常用辅助线: 如图：若AB=AC A 12 B C D （1）作AD⊥BC于D，必有结论:∠1=∠2，BD=DC （2）若BD=DC，连结AD，必有结论：∠1=∠2，AD⊥BC （3）作AD平分∠BAC必有结论：AD⊥BC，BD=DC 作辅助线时，一定要作满足其中一个性质的辅助线，然后证出其它两个性质，不能这样作：作AD⊥BC，使∠1=∠2. 二、例题分析 例1 已知一腰和底边上的高，求作等腰三角形。 分析：我们首先在草稿上画好一个示意图，然后对照此图写出已知和求作并构思整个作图过程…… 已知：线段a、h
求作：△ABC ，使AB=AC=a ，高AD=h 作法： 1、作PQ ⊥MN ，垂足为D A B C D a h A B C D M N h a P Q 2、在DM 上截取DA=h 3、以点A 为圆心，以a 为半径作弧，交PQ 于点B 、C 4、连结AB 、AC 则△ABC 为所求的三角形。 例2.如图，已知在△ABC 中，AB=AC ，BD ⊥AC 于D ，CE ⊥AB 于E ，BD 与CE 相交于M 点。求证：BM=CM 。 证明：
特殊三角形知识点总结
特殊三角形知识点总结 特殊三角形是指在三角形中具有特殊性质的三角形，包括等边三角形、等腰三角形和直角三角形。这些特殊三角形在数学中具有重要的地位和应用，在几何学、三角学等学科中都有广泛的运用。 我们来看等边三角形。等边三角形是指三条边的长度相等的三角形，也可以理解为三个角都是60度的三角形。等边三角形具有以下特点：三个内角都是60度；三个边长相等；三条高线、中线和角平分线重合；等边三角形的外接圆和内切圆都与三角形的边相切。等边三角形在几何学中常用于建筑设计、工程测量等领域，具有稳定性和对称性。 接下来，我们探讨等腰三角形。等腰三角形是指两条边的长度相等的三角形，也可以理解为两个角相等的三角形。等腰三角形具有以下特点：两个底角相等；两条底边相等；两条底边上的高线相等；等腰三角形的顶角是两个底角的平分角。等腰三角形在几何学中经常出现，并且具有许多重要的性质和应用。例如，在三角函数中，等腰三角形可以用于计算三角函数值；在三角形的相似性质中，等腰三角形是常用的模型。 我们研究直角三角形。直角三角形是指其中一个角是90度的三角形。直角三角形具有以下特点：一个角是直角；两个直角边的平方和等于斜边的平方（即勾股定理）；直角三角形的高线、中线和角平
分线有特殊性质。直角三角形是最基本的三角形之一，在三角函数中有重要的应用。例如，正弦、余弦和正切等三角函数是通过直角三角形的边长比值来定义的。直角三角形也在物理学和工程学中有广泛的应用，例如用于测量高度、计算力的分解等。 特殊三角形在数学中具有重要的地位和应用，不仅有丰富的性质和特点，还在实际问题中有广泛的应用。通过研究特殊三角形，可以帮助我们深入理解三角形的性质和三角函数的应用，为解决实际问题提供数学工具和方法。因此，我们应该加强对特殊三角形的学习和理解，提高数学应用能力和解决问题的能力。
九年级数学中考复习练习：课时14 特殊三角形
课时14 特殊三角形 一、基础知识 1.如图，在△ABC中，∠A＝36°，∠C＝72°，BD平分∠ABC，DE∥BC，则图中等腰三角形的个数为( ) A．2 B．3 C．4 D．5 2.如图，在△ABC中，AB＝AC，AD⊥BC于点D， 若BC＝6，则CD＝_______. 3．如图，在△ABC中，AB＝BC，∠C＝60°，AD是BC边上的高，DE∥AC．若AE ＝3，则BC的长为( ) A．3 B．4 C．5 D．6 4．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠B＝56°，则∠A的度数为( ) A．34° B．44° C．124° D．134° 5．如图，在△ABC中，∠C＝90°，∠A＝15°，D是AC上一点，连接BD，∠DBC ＝60°，BC＝4，则AD的长是( ) A．4 B．6 C．8 D．10 6．在Rt△ABC中，∠C＝90°，如果∠A＝45°，AB＝12，那么BC＝_________. 7.在△ABC中，AB＝AC． (1)在图①中，若BD是∠ABC的平分线，∠A＝36°， 则∠DBC＝______；
(2)在图①中，若E是BC延长线上一点，CD＝CE，BD⊥AC于点D，∠ABD＝50°，则∠E＝______； (3)在图②中，若AD是BC边上的中线，BC＝6，AB＝5，则AD＝____； (4)在图②中，若∠C＝60°，AB＝4，AD，BE是△ABC的高， 则S△ABC＝_____，∠AOB＝_______，△BOD的周长为________. 8在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，D为斜边AB的中点． (1)若AC＝2，BC＝4，则AB＝_______，△ABC的周长为_________. (2)连接CD，若AB＝5，则CD＝________； (3)若CE⊥AB，∠B＝30°，AC＝4，则CE＝_____， ∠DCE＝________； (3)在(3)的条件下，若DF⊥BC，则S△BCD＝______. 9.定义：一个三角形的一边长是另一边长的2倍，这样的三角形叫做“倍长三角形”．若等腰三角形ABC是“倍长三角形”，底边BC的长为3，则腰AB的长为_______. 10.如图①是第七届国际数学教育大会(ICME)会徽，在其主体图案中选择两个相邻的直角三角形，恰好能组合得到如图② 所示的四边形OABC．若AB＝BC＝1，∠AOB＝30°，则点B到OC的距离为
特殊三角形知识点
特殊三角形知识点 在高中数学学习的过程中，特殊三角形是一个重要的知识点。特殊 三角形包括等腰三角形、等边三角形和直角三角形。本文将对这些特 殊三角形的定义、性质以及相关的定理进行详细介绍。 一、等腰三角形 等腰三角形是指两边边长相等的三角形。根据等腰三角形的定义， 我们可以得到以下性质： 1. 等腰三角形的底角两个夹角相等； 2. 等腰三角形的两个底角相等。 根据这些性质，我们可以推导出以下定理： 定理1：等腰三角形的高、中线、角平分线相等。 证明：以等腰三角形ABC为例，连接顶点A与底边BC的高AD， 连接两边的中点E和F，以及顶点A与底边BC的角平分线AG。 根据性质1，我们知道∠EAD = ∠FAD。再根据性质2，我们知道 ∠DAC = ∠DAB。因此，根据角平分线的定义，AG是∠BAC的角平 分线，所以∠EAG = ∠FAG。 根据三角形内角和定理，我们知道∠AGE + ∠AGF + ∠EAF = 180°。由于∠EAG = ∠FAG，所以∠AGE = ∠AGF，代入上述等式得到 2∠AGE + ∠EAF = 180°。
再根据等腰三角形的定义，我们知道AE = AF，所以∠EAF = ∠EFA。代入上述等式得到2∠AGE + ∠EFA = 180°。由于∠AGE = ∠AGF，所以3∠AGE = 180°，即∠AGE = 60°。 综上所述，我们得出结论：等腰三角形的高、中线、角平分线相等。 二、等边三角形 等边三角形是指三边边长相等的三角形。根据等边三角形的定义， 我们可以得到以下性质： 1. 等边三角形的三个内角都是60°； 2. 等边三角形的高、中线、角平分线重合，且均为对称轴。 根据这些性质，我们可以推导出以下定理： 定理2：等边三角形的高、中线、角平分线相等。 证明：以等边三角形ABC为例，连接顶点A与底边BC的高AD， 连接两边的中点E和F，以及顶点A与底边BC的角平分线AG。 根据性质1，我们知道∠ADE = ∠ADF = 90°。又根据性质2，我们 知道AE = AF。 根据三角形内角和定理，我们知道∠EAF + ∠FAE + ∠EAE = 180°。代入上述等式，我们得到∠EAF + ∠FAE + 60° = 180°。 由此可得∠EAF + ∠FAE = 120°。再根据等边三角形的定义，我们 知道∠EAF = ∠FAE。代入上述等式，我们得到2∠EAF = 120°，即 ∠EAF = ∠FAE = 60°。