数列知识点总结

第二章：数列
1、数列：按照一定顺序排列着的一列数．
2、数列的项：数列中的每一个数．
3、有穷数列：项数有限的数列．
4、无穷数列：项数无限的数列．
5、递增数列：从第2项起，每一项都不小于它的前一项的数列．
6、递减数列：从第2项起，每一项都不大于它的前一项的数列．
7、常数列：各项相等的数列．
8、摆动数列：从第2项起，有些项大于它的前一项，有些项小于它的前一项的数列．

9、数列的通项公式：表示数列na的第n项与序号n之间的关系的公式． 10、数列的递推公式：表示任一项na与它的前一项1na（或前几项）间的关系的公式． 11、如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数，则这个数列称为等差数列，这个常数称为等差数列的公差． 12、由三个数a，，b组成的等差数列可以看成最简单的等差数列，则称为a与b的等差中项．若2acb，则称b为a与c的等差中项． 13、若等差数列na的首项是1a，公差是d，则11naand． 通项公式的变形：①nmaanmd；②11naand；③11naadn；④11naand；⑤nmaadnm． 14、若na是等差数列，且mnpq（m、n、p、*q），则mnpqaaaa；若na是等差数列，且2npq（n、p、*q），则2npqaaa；下角标成等差数列的项仍是等差数列；连续m项和构成的数列成等差数列。 15、等差数列的前n项和的公式：①12nnnaaS；②112nnnSnad． 16、等差数列的前n项和的性质：①若项数为*2nn，则21nnnSnaa，且SSnd偶奇，1nnSaSa奇偶．②若项数为*21nn，则2121nnSna，且nSSa奇偶，1SnSn奇偶（其中nSna奇，1nSna偶）． 17、如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比等于同一个常数，则这个数列称为等比数列，这个常数称为等比数列的公比． 18、在a与b中间插入一个数G，使a，G，b成等比数列，则G称为a与b的等比中项．若2Gab，则称G为a与b的等比中项． 19、若等比数列na的首项是1a，公比是q，则11nnaaq． 20、通项公式的变形：①nmnmaaq；②11nnaaq；③11nnaqa；④nmnmaqa． 21、若na是等比数列，且mnpq（m、n、p、*q），则mnpqaaaa；若na是等比数列，且2npq（n、p、*q），则2npqaaa；下角标成等差数列的项仍是等比数列；
连续m项和构成的数列成等比数列。

22、等比数列na的前n项和的公式：11111111nnnnaqSaqaaqqqq．

1q
时，1111nnaaSqqq，即常数项与nq项系数互为相反数。

23、等比数列的前n项和的性质：①若项数为*2nn，则SqS偶奇．
②nnmnmSSqS． ③nS，2nnSS，32nnSS成等比数列．

24、na与nS的关系：1121nnnSSnaSn
一些方法：
一、求通项公式的方法：
1、由数列的前几项求通项公式：待定系数法

①若相邻两项相减后为同一个常数设为bknan，列两个方程求解；

②若相邻两项相减两次后为同一个常数设为cbnanan2，列三个方程求解；
③若相邻两项相减后相除后为同一个常数设为baqann，q为相除后的常数，列两个方程求解；
2、由递推公式求通项公式：
①若化简后为daann1形式，可用等差数列的通项公式代入求解；
②若化简后为),(1nfaann形式，可用叠加法求解；
③若化简后为qaann1形式，可用等比数列的通项公式代入求解；
④若化简后为bkaann1形式，则可化为)()(1xakxann，从而新数列}{xan是等比
数列，用等比数列求解}{xan的通项公式，再反过来求原来那个。（其中x是用待定系数法来求
得）
3、由求和公式求通项公式：

①11Sa ② 1nnnSSa ③检验naa是否满足1，若满足则为na，不满足用分段函数写。
4、其他
（1）1nnaafn形式，fn便于求和，方法：迭加；
例如：11nnaan
有：11nnaan


21
32

111341413412nnnaaaaaannnaana










各式相加得
（2）11nnnnaaaa形式，同除以1nnaa，构造倒数为等差数列；
例如：112nnnnaaaa，则111112nnnnnnaaaaaa，即1na为以-2为公差的等差数列。
（3）1nnaqam形式，1q，方法：构造：1nnaxqax为等比数列；
例如：122nnaa，通过待定系数法求得：1222nnaa，即2na等比，公比为2。
（4）1nnaqapnr形式：构造：11nnaxnyqaxny为等比数列；
（5）1nnnaqap形式，同除np，转化为上面的几种情况进行构造；

因为1nnnaqap，则111nnnnaaqppp，若1qp转化为（1）的方法，若不为1，转化为（3）
的方法
二、等差数列的求和最值问题：（二次函数的配方法；通项公式求临界项法）
①若001da，则nS有最大值，当n=k时取到的最大值k满足001kkaa

②若001da，则nS有最小值，当n=k时取到的最大值k满足001kkaa

三、数列求和的方法：
①叠加法：倒序相加，具备等差数列的相关特点的，倒序之后和为定值；

②错位相减法：适用于通项公式为等差的一次函数乘以等比的数列形式，如：213nnan；
③分式时拆项累加相约法：适用于分式形式的通项公式，把一项拆成两个或多个的差的形式。如：


111
11nannnn
，1111212122121nannnn等；

④一项内含有多部分的拆开分别求和法：适用于通项中能分成两个或几个可以方便求和的部分，如：
21nnan
等；

四、综合性问题中
①等差数列中一些在加法和乘法中设一些数为dada和类型，这样可以相加约掉，相乘为平方
差；

②等比数列中一些在加法和乘法中设一些数为qaaq和类型，这样可以相乘约掉。