全称量词和存在量词简称
1.4全称量词与存在量词
a sin a b sin b
2
例3 指出下列命题哪些是全称命题，哪些是特称命题，
。
c sin c
.
2 至 少 有 一 个 实 数 x， 使 x 1 0. 3 有 的 四 面 体 是 正 四 面 体 。 4长方体的体对角线交于一点。
3.如何判断全称命题与特称命题的真 假？ 真命题 假命题
x∈M, 对任意x∈M
"
p(x) p(x0)
存在x0∈M使 都有p(x)成立 得p(x0)不成立 对任意x∈M 使得p(x0)成立 p(x)不成立
x 0∈M, 存在x0∈M
思考5：下列命题是特称命题吗？其真假 如何？ 真 （1）有的平行四边形是菱形； 2 （2）有一个实数x0,使 x0 2 x0 3 0 ;假 真 （3）有一个素数不是奇数； （4）存在两个相交平面垂直于同一条直 假 线； 真 （5）有些整数只有两个正因数； （6）有些实数的平方小于0. 假
2
恒成立，
所 以 f x x-1 -2-a可 转 化 为
2
x 2, 8 ， f x m in 0 成 立 ， 即
f
x m in
f 2 1 a 0, a 1
变式2
若 全 称 命 题 “ x 2, 8 时 ， x - 2 x - 1 - a 0
x M , p(x)
含有全称量词的命题叫做全称命题， 如“对所有的x∈R，x＞3”，“对任意 一个x∈Z，2x+1是整数”等。 思考3：将含有变量x的语句用p(x)、q(x) 、r(x)等表示，变量x的取值范围用M表 示，符号语言“ x M , p ( x ) ”所表 达的数学意义是什么？ “对M中任意一个x，有p(x)成立”
全称量词与存在量词
1．5全称量词与存在量词1．5.1全称量词与存在量词学习目标 1.理解全称量词、全称量词命题的定义.2.理解存在量词、存在量词命题的定义.3.会判断一个命题是全称量词命题还是存在量词命题，并会判断它们的真假．知识点全称量词和存在量词全称量词存在量词量词所有的、任意一个存在一个、至少有一个符号∀∃命题含有全称量词的命题是全称量词命题含有存在量词的命题是存在量词命题命题形式“对M中任意一个x，p(x)成立”，可用符号简记为“∀x∈M，p(x)”“存在M中的元素x，p(x)成立”，可用符号简记为“∃x∈M，p(x)”1．“有些”“某个”“有的”等短语不是存在量词．(×)2．全称量词的含义是“任意性”，存在量词的含义是“存在性”．(√)3．“三角形内角和是180°”是全称量词命题．(√)一、全称量词命题与存在量词命题的辨析例1(1)下列语句不是存在量词命题的是()A．有的无理数的平方是有理数B．有的无理数的平方不是有理数C．对于任意x∈Z,2x＋1是奇数D．存在x∈R,2x＋1是奇数答案 C解析因为“有的”“存在”为存在量词，“任意”为全称量词，所以选项A，B，D均为存在量词命题，选项C为全称量词命题．(2)给出下列几个命题：①至少有一个x，使x2＋2x＋1＝0成立；②对任意的x，都有x2＋2x＋1＝0成立；③对任意的x，都有x2＋2x＋1＝0不成立；④存在x，使x2＋2x＋1＝0成立．其中是全称量词命题的个数为()A．1 B．2 C．3 D．0答案 B解析因为“至少有一个”、“存在”是存在量词，“任意的”为全称量词，所以①④为存在量词命题，②③为全称量词命题，所以全称量词命题的个数为2.反思感悟全称量词命题或存在量词命题的判断注意：全称量词命题可以省略全称量词，存在量词命题的存在量词一般不能省略．跟踪训练1下列命题中全称量词命题的个数为()①平行四边形的对角线互相平分；②梯形有两边平行；③存在一个菱形，它的四条边不相等．A．0 B．1 C．2 D．3答案 C解析①②是全称量词命题，③是存在量词命题．二、全称量词命题与存在量词命题的真假判断例2判断下列命题的真假．(1)∃x∈Z，x3<1；(2)存在一个四边形不是平行四边形；(3)在平面直角坐标系中，任意有序实数对(x，y)都对应一点P；(4)∀x∈N，x2>0.解(1)因为－1∈Z，且(－1)3＝－1<1，所以“∃x∈Z，x3<1”是真命题．(2)真命题，如梯形．(3)由有序实数对与平面直角坐标系中的点的对应关系知，它是真命题．(4)因为0∈N,02＝0，所以命题“∀x∈N，x2>0”是假命题．反思感悟 全称量词命题和存在量词命题真假的判断(1)要判断一个全称量词命题为真，必须对于给定集合的每一个元素x ，命题p (x )为真；但要判断一个全称量词命题为假时，只要在给定的集合中找到一个元素x ，使命题p (x )为假． (2)要判断一个存在量词命题为真，只要在给定的集合中找到一个元素x ，使命题p (x )为真；要判断一个存在量词命题为假，必须对于给定集合的每一个元素x ，命题p (x )为假． 跟踪训练2 指出下列命题是全称量词命题还是存在量词命题，并判断它们的真假． (1)∀x ∈N,2x ＋1是奇数； (2)存在一个x ∈R ，使1x －1＝0.解 (1)是全称量词命题，因为∀x ∈N,2x ＋1都是奇数，所以该命题是真命题． (2)是存在量词命题．因为不存在x ∈R ，使1x －1＝0成立，所以该命题是假命题．三、由全称量词命题与存在量词命题的真假求参数例3 已知集合A ＝{x |－2≤x ≤5}，B ＝{x |m ＋1≤x ≤2m －1}，且B ≠∅. (1)若命题p ：“∀x ∈B ，x ∈A ”是真命题，求m 的取值范围； (2)命题q ：“∃x ∈A ，x ∈B ”是真命题，求m 的取值范围． 解 (1)由于命题p ：“∀x ∈B ，x ∈A ”是真命题， 所以B ⊆A ，B ≠∅， 所以⎩⎪⎨⎪⎧m ＋1≤2m －1，m ＋1≥－2，2m －1≤5，解得2≤m ≤3.(2)q 为真，则A ∩B ≠∅， 因为B ≠∅，所以m ≥2. 所以⎩⎪⎨⎪⎧m ＋1≤5，2m －1≥－2，m ≥2.解得2≤m ≤4.反思感悟 求解含有量词的命题中参数范围的策略对于全称(存在)量词命题为真的问题，实质就是不等式恒成立(能成立)问题，通常转化为求函数的最大值(或最小值)．跟踪训练3 若命题“对任意实数x,2x >m (x 2＋1)”是真命题，求实数m 的取值范围． 解 由题意知，不等式2x >m (x 2＋1)恒成立， 即不等式mx 2－2x ＋m <0恒成立．(1)当m ＝0时，不等式可化为－2x <0，显然不恒成立，不合题意．(2)当m ≠0时，要使不等式mx 2－2x ＋m <0恒成立，则⎩⎪⎨⎪⎧m <0，4－4m 2<0. 解得m <－1.综上可知，所求实数m 的取值范围是m <－1.1．下列语句不是全称量词命题的是( ) A ．任何一个实数乘以零都等于零 B ．自然数都是正整数C ．高二(一)班绝大多数同学是团员D ．每一个学生都充满阳光 答案 C解析 “高二(一)班绝大多数同学是团员”，即“高二(一)班有的同学不是团员”，是存在量词命题．2．下列命题中为全称量词命题的是( ) A ．有些实数没有倒数 B ．矩形都有外接圆C ．存在一个实数与它的相反数的和为0D ．过直线外一点有一条直线和已知直线平行 答案 B3．下列命题中是全称量词命题并且是真命题的是( ) A ．每个二次函数的图象都开口向上 B ．存在一条直线与已知直线不平行 C ．对任意实数a ，b ，若a －b ≤0，则a ≤b D ．存在一个实数x ，使等式x 2－2x ＋1＝0成立 答案 C解析 B ，D 是存在量词命题，故应排除；对于A ，二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c (a <0)的图象开口向下，也应排除，故应选C.4．下列命题，是全称量词命题的是________，是存在量词命题的是________(填序号)． ①正方形的四条边相等；②有两个角是45°的三角形是等腰直角三角形； ③正数的平方根不等于0； ④至少有一个正整数是偶数．答案 ①②③ ④解析 ①②③是全称量词命题，④是存在量词命题．5．若对任意x >3，x >a 恒成立，则a 的取值范围是______________． 答案 a ≤3解析 对于任意x >3，x >a 恒成立，即大于3的数恒大于a ，所以a ≤3.1．知识清单：(1)全称量词命题、存在量词命题的概念． (2)含量词的命题的真假判断． (3)通过含量词的命题的真假求参数．2．常见误区：有些命题省略了量词，全称量词命题强调“整体、全部”，存在量词命题强调“个别、部分”．1．下列命题是“∀x ∈R ，x 2>3”的另一种表述方式的是( ) A ．有一个x ∈R ，使得x 2>3 B ．对有些x ∈R ，使得x 2>3 C ．任选一个x ∈R ，使得x 2>3 D ．至少有一个x ∈R ，使得x 2>3 答案 C2．存在量词命题“存在实数x ，使x 2＋1<0”可写成( ) A ．若x ∈R ，则x 2＋1>0 B ．∀x ∈R ，x 2＋1<0 C ．∃x ∈R ，x 2＋1<0 D ．以上都不正确答案 C解析 存在量词命题中“存在”可用符号“∃”表示，故选C. 3．以下四个命题既是存在量词命题又是真命题的是( ) A ．锐角三角形的内角是锐角或钝角 B ．至少有一个实数x ，使x 2≤0 C ．两个无理数的和必是无理数 D ．存在一个负数x ，使1x >2答案 B4．给出下列三个命题： ①对任意的x ∈R ，x 2>0； ②存在x ∈R ，使得x 2≤x 成立；③对于集合A ，B ，若x ∈A ∩B ，则x ∈A 且x ∈B . 其中真命题的个数是( ) A ．0 B ．1 C ．2 D ．3 答案 C解析 对于①，存在x ＝0，使得x 2＝0，故①是假命题；显然②③是真命题． 5．下列说法正确的是( ) A ．对所有的正实数t ，有t <t B ．存在实数x ，使x 2－3x －4＝0C ．不存在实数x ，使x <4且x 2＋5x －24＝0D ．任意实数x ，使得|x ＋1|≤1且x 2>4 答案 B解析 t ＝14时，t >t ，所以A 选项错；由x 2－3x －4＝0，得x ＝－1或x ＝4，因此当x ＝－1或x ＝4时，x 2－3x －4＝0，故B 选项正确；由x 2＋5x －24＝0，得x ＝－8或x ＝3，所以C 选项错；x ＝0时，不成立，所以D 选项错． 6．下列存在量词命题中真命题有________． ①有的实数是无限不循环小数； ②有些三角形不是等腰三角形； ③有的菱形是正方形． 答案 ①②③7．命题“有些负数满足不等式(1＋x )(1－9x )2>0”用“∃”写成存在量词命题为________． 答案 ∃x <0，(1＋x )(1－9x )2>0解析 存在量词命题“存在M 中的元素x ，使p (x )成立”可用符号简记为“∃x ∈M ，p (x )”． 8．下列命题中，是全称量词命题的有________．(填序号) ①有的实数是整数； ②三角形是多边形； ③矩形的对角线互相垂直； ④∀x ∈R ，x 2＋2>0；⑤有些素数是奇数． 答案 ②③④9．判断下列命题的真假．(1)每一条线段的长度都能用正有理数来表示； (2)存在一个实数x ，使得等式x 2＋x ＋8＝0成立．解(1)假命题，如边长为1的正方形，其对角线的长度为2， 2 就不能用正有理数表示．(2)假命题，方程x2＋x＋8＝0的判别式Δ＝－31<0，故方程无实数解．10．判断下列命题是全称量词命题还是存在量词命题，并判断其真假：(1)∃x，x－2≤0.(2)三角形两边之和大于第三边．(3)有些整数是偶数．解(1)存在量词命题．x＝1时，x－2＝－1≤0，故存在量词命题“∃x，x－2≤0”是真命题．(2)全称量词命题．三角形中，任意两边之和大于第三边．故全称量词命题“三角形两边之和大于第三边”是真命题．(3)存在量词命题.2是整数，2也是偶数．故存在量词命题“有些整数是偶数”是真命题．11．下列全称量词命题中真命题的个数为()①对任意的实数a，b，都有a2＋b2≥2ab；②二次函数y＝x2－ax－1与x轴恒有交点；③∀x∈R，y∈R，都有x2＋|y|>0.A．1 B．2 C．3 D．0答案 B12．已知命题p：∀x∈R，x2＋2x－a>0.若p为真命题，则实数a的取值范围是() A．a>－1 B．a<－1 C．a≥－1 D．a≤－1答案 B解析依题意不等式x2＋2x－a>0对x∈R恒成立，所以必有Δ＝4＋4a<0，解得a<－1. 13．若存在x∈R，使ax2＋2x＋a<0，则实数a的取值范围为________．答案{a|a<1}解析当a≤0时，显然存在x∈R，使ax2＋2x＋a<0；当a>0时，需满足Δ＝4－4a2>0，得－1<a<1，故0<a<1.综上所述，实数a的取值范围是a<1.14．若任意x∈R，函数y＝mx2＋x－m－a的图象和x轴恒有公共点，求实数a的取值范围．解(1)当m＝0时，y＝x－a与x轴恒相交，所以a∈R.(2)当m≠0时，二次函数y＝mx2＋x－m－a的图象和x轴恒有公共点的充要条件是Δ＝1＋4m(m＋a)≥0恒成立，即4m2＋4am＋1≥0恒成立．又4m2＋4am＋1≥0是一个关于m的二次不等式，恒成立的充要条件是Δ＝(4a)2－16≤0，解得－1≤a≤1.综上所述，当m＝0时，a∈R；当m≠0时，－1≤a≤1.15．已知A＝{x|1≤x≤2}，命题“∀x∈A，x2－a≤0”是真命题的一个充分不必要条件是() A．a≥4 B．a≤4 C．a≥5 D．a≤5答案 C解析当该命题是真命题时，只需a≥(x2)max，x∈A＝{x|1≤x≤2}．又y＝x2在1≤x≤2上的最大值是4，所以a≥4.因为a≥4⇏a≥5，a≥5⇒a≥4，故选C.16．已知函数y1＝x21，y2＝－2x2－m，若对∀x1∈{x|－1≤x≤3}，∃x2∈{x|0≤x≤2}，使得y1≥y2，求实数m的取值范围．解因为x1∈{x|－1≤x≤3}，x2∈{x|0≤x≤2}，所以y1∈{y|0≤y≤9}，y2∈{y|－4－m≤y≤－m}，又因为对∀x1∈{x|－1≤x≤3}，∃x2∈{x|0≤x≤2}，使得y1≥y2，即y1的最小值大于等于y2的最小值，即－4－m≤0，所以m≥－4.。
充要条件、全称量词与存在量词
2021年新高考数学总复习：充要条件、全称量词与存在量词1．充分条件、必要条件与充要条件的概念若p⇒q，则p是q的充分条件，q是p的必要条件p是q的充分不必要条件p⇒q且q⇏pp是q的必要不充分条件p⇏q且q⇒pp是q的充要条件p⇔qp是q的既不充分也不必要条件p⇏q且q⇏p2.全称量词和存在量词(1)全称量词：短语“所有的”“任意一个”等在逻辑中通常叫做全称量词，用符号“∀”表示．(2)存在量词：短语“存在一个”“至少有一个”等在逻辑中通常叫做存在量词，用符号“∃”表示．3．全称命题、特称命题及含一个量词的命题的否定命题名称语言表示符号表示命题的否定全称命题对M中任意一个x，有p(x)成立∀x∈M，p(x)∃x0∈M，綈p(x0)特称命题存在M中的一个x0，使p(x0)成立∃x0∈M，p(x0)∀x∈M，綈p(x)概念方法微思考若条件p，q以集合的形式出现，即A＝{x|p(x)}，B＝{x|q(x)}，则由A⊆B可得，p是q的充分条件，请写出集合A，B的其他关系对应的条件p，q的关系．提示若A B，则p是q的充分不必要条件；若A⊇B，则p是q的必要条件；若A B，则p是q的必要不充分条件；若A＝B，则p是q的充要条件；若A⊈B且A⊉B，则p是q的既不充分也不必要条件．题组一思考辨析1．判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)q 是p 的必要条件时，p 是q 的充分条件．( √ )(2)若p 是q 的充要条件，则命题p 和q 是两个等价命题．( √ )(3)全称命题一定含有全称量词．( × )(4)∃x 0∈M ，p (x 0)与∀x ∈M ，綈p (x )的真假性相反．( √ )题组二 教材改编2．命题“正方形都是矩形”的否定是___________________________．答案 存在一个正方形，这个正方形不是矩形3．“x －3＝0”是“(x －3)(x －4)＝0”的______条件．(填“充分不必要”“必要不充分”“充要”“既不充分也不必要”)答案 充分不必要题组三 易错自纠4．(2020·模考)命题“∃x 0∈R ，x 20－x 0－1>0”的否定是( )A ．∀x ∈R ，x 2－x －1≤0B ．∀x ∈R ，x 2－x －1>0C ．∃x 0∈R ，x 20－x 0－1≤0D ．∃x 0∈R ，x 20－x 0－1≥0答案 A5．已知p ：x >a 是q ：2<x <3的必要不充分条件，则实数a 的取值范围是________． 答案 (－∞，2]解析 由已知，可得{x |2<x <3}{x |x >a }，∴a ≤2.6．若“∀x ∈⎣⎡⎦⎤0，π4，tan x ≤m ”是真命题，则实数m 的最小值为________． 答案 1解析 ∵函数y ＝tan x 在⎣⎡⎦⎤0，π4上是增函数， ∴y max ＝tan π4＝1.依题意知，m ≥y max ，即m ≥1. ∴m 的最小值为1.题型一 充分、必要条件的判定例1 (1)已知α，β均为第一象限角，那么“α>β”是“sin α>sin β”的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件。
全称量词与存在量词 课件
2．存在量词 特称命题
(1)短语“ 存在一个 ”、“至少有一个”在逻辑中通常
叫做存在量词，用符号∃表示，含有存在量词的命题叫做
特称命题 ．
(2) 常 见 的 存 在 量 词 有 ： “ 存 在 一 个 ” “ 至 少 有 一
个”“有些”“有一个”“某个”“有的”．
(3)特称命题的形式：存在M中的一个x0，使p(x0)成立，
[例2] 给出下列四个命题： ①∀x∈R，x2＋2>0； ②∀x∈N，x4≥1； ③∃x0∈Z，x<1； ④∃x0∈Q，x＝3. 其中是真命题的是________(把所有真命题的序号都填 上)．
[答案] ①③ [分析] 由题目可获取以下主要信息： ①四个命题中有两个全称命题，两个特称命题； ②要求判断命题的真假．解答本题首先正确理解命题 的含义，再采用举反例等方法给予判断． [解析] ①由于∀x∈R，都有x2≥0， 因而有x2＋2≥2>0，即x2＋2>0. 所以命题“∀x∈R，x2＋2>0”是真命题． ②由于0∈N，当x＝0时，x4≥1不成立． 所以命题“∀x∈N，x4≥1”是假命题．
(1)有一个实数α，tanα无意义； (2)任何一条直线都有斜率吗？ (3)所有圆的圆心到其切线的距离都等于半径； (4)圆内接四边形，其对角互补； (5)对数函数都是单调函数．
[分析] → 判断真假
判断含有量词类型 → 判断命题类型
[解析] (1)特称命题．α＝π2时，tanα 不存在，所 以，特称命题“有一个实数 α，tanα 无意义”是真命题．
③由于－1∈Z，当 x＝－1 时，x3<1 成立． 所以命题“∃x0∈Z，x30<1”是真命题． ④由于使 x2＝3 成立的数只有± 3，而它们都不是有理 数． 因此，没有任何一个有理数的平方等于 3. 所以命题“∃x0∈Q，x20＝3”是假命题．
1.5全称量词与存在量词
全称量词与存在量词【要点梳理】要点一、全称量词与全称命题 全称量词全称量词：在指定范围内，表示整体或者全部的含义的量词称为全称量词.常见全称量词：“所有的”、“任意一个”、“每一个”、“一切”、“任给”等.通常用符号“∀”表示，读作“对任意”. 全称命题全称命题：含有全称量词的命题，叫做全称命题. 一般形式：“对M 中任意一个x ，有()p x 成立”，记作：x M ∀∈，()p x （其中M 为给定的集合，()p x 是关于x 的语句）. 要点诠释：有些全称命题在文字叙述上可能会省略了全称量词， 例如：（1）“末位是0的整数，可以被5整除”；（2）“线段的垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等”； （3）“负数的平方是正数”；都是全称命题.要点二、存在量词与特称命题 存在量词定义：表示个别或一部分的含义的量词称为存在量词.常见存在量词：“有一个”，“存在一个”,“至少有一个”，“有的”,“有些”等.通常用符号“∃”表示，读作“存在”. 特称命题特称命题：含有存在量词的命题，叫做特称命题. 一般形式：“存在M 中一个元素0x ，有0()p x 成立”，记作：0x M ∃∈，0()p x （其中M 为给定的集合，()p x 是关于x 的语句）. 要点诠释：（1）一个特称命题中也可以包含多个变量，例如：存在,R R αβ∈∈使sin()sin sin αβαβ+=+. （2）有些特称命题也可能省略了存在量词.（3）同一个全称命题或特称命题，可以有不同的表述要点三、 含有量词的命题的否定 对含有一个量词的全称命题的否定 全称命题p ：x M ∀∈，()p xp 的否定p ⌝：0x M ∃∈，0()p x ⌝；从一般形式来看，全称命题“对M 中任意一个x ，有p （x ）成立”，它的否定并不是简单地对结论部分p(x)进行否定，还需对全称量词进行否定，使之成为存在量词，也即“任意,()x M p x ∈”的否定为“0x M ∃∈，0()p x ⌝”.对含有一个量词的特称命题的否定 特称命题p ：0x M ∃∈，0()p xp 的否定p ⌝：x M ∀∈，()p x ⌝；从一般形式来看，特称命题“0x M ∃∈，0()p x ”，它的否定并不是简单地对结论部分0()p x 进行否定，还需对存在量词进行否定，使之成为全称量词，也即“0x M ∃∈，0()p x ”的否定为“x M ∀∈，()p x ⌝”. 要点诠释：(1) 全称命题的否定是特称命题，特称命题的否定是全称命题； (2) 命题的否定与命题的否命题是不同的.(3) 正面词：等于 、 大于 、小于、 是、 都是、 至少一个 、至多一个 否定词：不等于、不大于、不小于、不是、不都是、 一个也没有、 至少两个要点四、全称命题和特称命题的真假判断①要判定全称命题“x M ∀∈，()p x ”是真命题，必须对集合M 中的每一个元素x ，证明()p x 成立；要判定全称命题“x M ∀∈，()p x ”是假命题，只需在集合M 中找到一个元素x 0，使得0()p x 不成立，即举一反例即可.②要判定特称命题“0x M ∃∈，0()p x ”是真命题，只需在集合M 中找到一个元素x 0，使得0()p x 成立即可；要判定特称命题“0x M ∃∈，0()p x ”是假命题，必须证明在集合M 中，使 ()p x 成立得元素不存在.【典型例题】类型一：量词与全称命题、特称命题 例1.判断下列命题是全称命题还是特称命题： （1）任何一个实数除以1仍等于这个数； （2）等边三角形的三边相等； （3）存在实数0x ，使2030x ->。
全称量词-存在量词
探究点2 存在量词
下列语句是命题吗？(1)与(3)，(2)与(4)之间 有什么关系？ (1)2x+1=3； (2)x能被2和3整除； (3)存在一个x0∈R，使2x+1=3； (4)至少有一个x0∈Z，x能被2和3整除。 语句(1)(2)不能判断真假，不是命题； 语句(3)(4)可以判断真假，是命题。
2．下列全称命题中真命题的个数为( C )
①末位是0的整数，可以被2整除．
②角平分线上的点到这个角的两边的距离相等．
③正四面体中两侧面的夹角相等．
A．1
B．2
C．3
D．0
3．在下列特称命题中假命题的个数是( A )
①有的实数是无限不循环小数
②有些三角形不是等腰三角形
③有的菱形是正方形
A．0
B．1
例1 判断下列全称命题的真假： （1）所有的素数都是奇数；
（2）x R, x2 1 1;
（3）对每一个无理数x，x2也是无理数。
解：（1）2是素数，但2不是奇数，所以为假命题. （2）真命题. （3） 是2 无理数，但 （=22）是2 有理数.所以
为假命题.
【变式练习】
判断下列全称命题的真假： （1）每个指数函数都是单调函数； （2）任何实数都有算术平方根； （3） x { x |x 是 有 理 数 } ， x 2 是 有 理 数 。
(3)对所有的x∈R，x>3； (4)对任意一个x∈Z，2x+1是整数。
短语“所有的”“任意一个”在逻辑中通常叫做
全称量词，并用符号“ ”表示
含有全称量词的命题，
叫做全称命题。
常见的全称量词还有 “一切” “每一个” “任给” “所有的”等
1.5.1全称量词与存在量词
4 存在量词的真假判断
思
考
如何判断命题“∃x∈M, p(x)”的真假？
1.要判定存在量词命题“∃x∈M, p(x)”是真命题，
只需要在集合M中找到一个x，使得p(x)成立即可；
2.如果在集合M中使p(x)成立的x不存在，那么这个存在
量词命题就是假命题.
练一练
判断下列存在量词命题的真假:
（1）存在一个四边形，它的两条对角线互相垂直；
理
)
答
案
2n2+5n+2=(2n2+2+4n)+n, 括号内的数为偶数；
当n为偶数时，2n2+5n+2为偶数；
当n为奇数时，2n2+5n+2为奇数.
方 整除问题，先要作奇偶分析:对于部分整数n(偶数)，2n2+5n+2为偶数;
法
2
对于另一部分整数n(奇数)，2n +5n+2为奇数. 故选（3）.
1.5.1 全称量词与存在量词
4.下列结论中正确的是(
核
心
素
养
之
问
(1)“∀n∈N*，2n2+5n+2能被2整除”是真命题；
(2)“∀n∈N*，2n2+5n+2不能被2整除”是真命题；
题
数
据
分
析
(3)“∃n∈N*，2n2+5n+2不能被2整除”是真命题；
(4)“∃n∈N*，2n2+5n+2能被2整除”是假命题.
选（3）
+
逻
辑
推
3 存在量词
1.存在量词：短语“存在一个”“至少有一个”在逻辑用语中通
全称量词和存在量词2
x M , p( x ) x M , p( x )
特称命题的否定
对特称命题p : x0 M , p( x0 ), 它的否定p：x M，（x）. p
特称命题的否定是全称命题. 特称命题的否定: （两变） “存在”变“任意”，“p(x)”变“﹁p(x)”
否定形式：若两个三角形全等,则它们不相似. 若p, 则q 否命题: 若两个三角形不全等,则它们不相似.
原命题：若a>b，则a+c>b+c 否命题：若a≤b，则a+c≤b+c
若p, 则q
命题的否定形式 ：若a>b，则a+c≤b+c
学而时习之
1. 对下面含有量词的命题做否定：
所有的实数不是有理数。 存在某人的寿命是无限的。
全称量词和存在量词2
复习
全称量词（universal quantifier)
“任意”、 “所有”、 “每一个”等叫做“全称量词”，
数学上用符号
"" 表示。
含有全称量词的命题叫做全称命题 全称命题： （1）基本形式： x M , p( x ) （2）意义： 对于任意的属于M，使p(x)成立 （3）真假性的判断： 只要有一个x值不成立，即为假命题 一假即假
练习：若对于任意a [1,1], x 2 (a 1) x 2a恒成立，求x的取值范围。
x 2或 x 2
只要有一个x值成立，即为真命题 一真即真
例.若对于任意a [1,1], 函数f ( x) x 2 (a 4) x 4 2a的值恒大于零，求x的取值范围。
变式1: 若对于任意x ∈ [-1,1],函数f(x) = x 2 + (a - 4)x +4 - 2a的值恒大于零，求a的取值范围。 变式2 : 若对于存在a ∈ [-1,1],函数f(x) = x 2 + (a - 4)x +4 - 2a的值恒大于零，求x的取值范围。 变式3 : 若对于存在x ∈ [-1,1],函数f(x) = x 2 + (a - 4)x +4 - 2a的值恒大于零，求a的取值范围。
第四节 全称量词与存在量词
解：(1)是特称命题，其否定为：所有的素数都不是奇数，假命题． (2)是全称命题，其否定为：存在一个矩形，不是平行四边形，假命题． (3)是全称命题，其否定为：存在实数 m，使得 x2＋2x－m＝0 没有实数根， ∵∆＝4＋4m<0，即 m<－1 时，一元二次方程没有实根， ∴其否定是真命题． (4)是特称命题，其否定为：∀x∈R，x2＋2x＋5≤0， ∵x2＋2x＋5＝(x＋1)2＋4≥4，∴命题的否定是假命题．
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判定命题是全称命题还是特称命题，主要方法是看命题中是否含有全称量词 和存在量词；另外，有些全称命题并不含有全称量词，这时我们就要根据命题涉及的意义去 判断．
变式训练 11：用量词符号“∀”“∃”表达下列命题： (1)实数都能写成小数形式； (2)有一个实数 α，tan α 无意义； (3)对任意实数 x，都有 x3>x2.
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知识要点一：全称命题与特称命题的概念 判断一个命题是全称命题还是特称命题，关键是看命题中是否含有全称量词或存在量 词．常见的全称量词有：“所有的”“任意一个”“一切”“每一个”“任给”等．常见的 存在量词有： “存在一个”“至少有一个”“有些”“有一个”“有的”等． 有些全称命题 中虽不含全称量词，但我们可根据命题所涉及的意义去判断，如“一个数的绝对值是非负 数”，省略了“任意”，但它仍然是全称命题． 知识要点二：全称命题与特称命题的真假判断 要判定一个全称命题是真命题，必须对限定集合 M 中的每一个元素 x 验证 p(x)成立； 但要判定一个全称命题是假命题，却只需找出集合 M 中的一个 x＝x0，使得 p(x0)不成立即 可(这就是我们常说的“举出一个反例”)．要判定一个特称命题为真命题，只要在限定集合 M 中，至少能找到一个 x＝x0，使得 p(x0)成立即可；否则，这一特称命题就是假命题．
高三数学知识点复习全称量词与存在量词
全称量词与存在量词知识梳理1、数学命题中出现“全部”、“所有”、“一切”、“任何”、“任意”、“每一个”等与“存在着”、“有”、“有些”、“某个”、“至少有一个”等的词语，在逻辑中分别称为全称量词与存在性量词（用符号分别记为“ ∀”与“∃”来表示）；由这样的量词构成的命题分别称为全称命题与存在性命题。
在全称命题与存在性命题的逻辑关系中，,∨∧都容易判断，但它们的否定形式是我们p q p q困惑的症结所在。
一般地，全称命题P：∀ x∈M,有P（x）成立；其否定命题┓P为：∃x∈M,使P（x）不成立。
存在性命题P：∃x∈M，使P（x）成立；其否定命题┓P为：∀x∈M,有P（x）不成立。
用符号语言表示：P:∀∈M, p(x）否定为⌝ P: ∃∈M, ⌝ P（x）P:∃∈M, p(x）否定为⌝ P: ∀∈M, ⌝ P（x）典例剖析题型一全称命题的否定例1：指出下列命题的形式，写出下列命题的否定。
（1）所有的矩形都是平行四边形；（2）每一个素数都是奇数；（3）∀x∈R，x2-2x+1≥0题型二存在性命题的否定例2：写出命题的否定（1）p：∃x∈R，x2＋2x+2≤0；（2）p：有的三角形是等边三角形；（3）p：有些函数没有反函数；（4）p ：存在一个四边形，它的对角线互相垂直且平分；备选题例3：写出下列命题的否定。
（1） 若x 2＞4 则x ＞2.。
（2） 若m≥0,则x 2+x-m=0有实数根。
（3） 可以被5整除的整数，末位是0。
（4） 被8整除的数能被4整除。
（5） 若一个四边形是正方形，则它的四条边相等。
点击双基1、下列命题中，真．命题是 （ ） A. ,sin cos 1.5x R x x ∃∈+=.B (0,),1x x e ∀∈+∞> C ．2,1x R x x ∃∈+=D ．(0,),sin cos x x x π∀∈> 2、命题“存在x Z ∈，使22x x m ++≤0”的否定是（ ）.A 存在x Z ∈使22x x m ++0>.B 不存在x Z ∈使22x x m ++0> .C 对任意x Z ∈使22x x m ++≤0 .D 对任意x Z ∈使22x x m ++0>3、已知命题:p x ∀∈R ，sin 1x ≤，则（ ）Ａ．:p x ⌝∃∈R ，sin 1x ≥Ｂ．:p x ⌝∀∈R ，sin 1x ≥ Ｃ．:p x ⌝∃∈R ，sin 1x >Ｄ．:p x ⌝∀∈R ，sin 1x > 4、若命题P ：2,10,x R x ∀∈->则命题P 的否定 .5、以下为真命题的序号是（1）2,x R x x ∃∈> （2）2,x R x x ∀∈> （3）2,80x Q x ∃∈-= （4）2,20x R x ∀∈+> 课外作业一、选择1、已知命题x x R x p sin ,:>∈∀，则p 的否定形式为 （ ）A ．x x R x p sin ,:<∈∃⌝B ．x x R x p sin ,:≤∈∀⌝C ．x x R x p sin ,:≤∈∃⌝D ．x x R x p sin ,:<∈∀⌝2、以下错误的是（ ）A ．“对任意实数x ，均有x 2－2x+1≥0；”的否定为：“存在一个实数x ，使得x 2－2x+1＜0”B ．“存在一个实数x ，使得x 2－9=0” 的否定为：“不存在一个实数x ，使得x 2－9=0”C ．“AB ∥CD ”且“AB=CD ” 的否定为：“AB 不平行于CD 或AB ≠CD ”D ．“△ABC 是直角三角形或等腰三角形” 的否定为：“△ABC 既不是直角三角形又不是等腰三角形”3、以下错误的是（ ）A ．命题“若1,0232==+-x x x 则”的逆否命题为：“若023,12≠+-≠x x x 则”B ．“x=1”是“0232=+-x x ”的充分不必要条件C ．若p q ∧为假命题，则p 、q 均为假命题D ．对于命题使得R x p ∈∃:012<++x x ，则01,:2≥++∈∀⌝x x R x p 均有 4、命题“对任意的3210x x x ∈-+R ，≤”的否定是（ ）A ．不存在3210x R x x ∈-+，≤B ．存在3210x R x x ∈-+，≤C ．存在3210x R x x ∈-+>，D ．对任意的3210x R x x ∈-+>， 5、命题“存在0x ∈R ，02x ≤0”的否定是 A.不存在0x ∈R, 02x >0 B.存在0x ∈R, 02x ≥0C.对任意的x ∈R, 2x ≤0D.对任意的x ∈R, 2x >06、已知:,10p x R x ∀∈+>，:32q >，则下列判断错误的是：（ ）A. “p q ∨”为真，“q ⌝”为假B. “p q ∧”为假，“p ⌝”为真C. “p q ∧”为假，“p ⌝”为假D. “p q ∧”为假，“p q ∨”为真 7、已知命题;25sin ,:=∈∃x R x p 使:,q x R ∀∈命题都有210.x x ++>给出下列结论：①命题“q p ∧”是真命题 ②命题“q p ⌝∧”是假命题③命题“q p ∨⌝”是真命题； ④命题“q p ⌝∨⌝”是假命题 其中正确的是（ ）. A ．②④ B ．②③ C ．③④ D ．①②③8、已知命题p:“[]21,2,0x x a ∀∈-≥”，命题q:“2,220x R x ax a ∃∈++-=”若“p 且q ”是真命题，则实数a 的取值范围是（ ）A ．{}21a a a ≤-=或 B. {}212a a ≤-≤≤或C. {}1a a ≥D. {}21a a -≤≤二、填空9、命题“21,2≥+∈∃x R x ”的否定形式是______________________.10、若命题“∃x ∈R , 使x 2+ax +1＜0”是真命题，则实数a 的取值范围为 .11、下列命题是全称命题的序号为（1）方程2x=5只有一解；（2）凡是质数都是奇数；（3）方程2x 2＋1=0有实数根；（4）没有一个无理数不是实数；（5）如果两直线不相交，则这两条直线平行；（6）集合A ∩B 是集合A 的子集；三、解答12、写出下列命题的否定，并判断其真假：（1）p ：∀m ∈R ，方程x 2+x-m=0必有实根；（2）q ：∃∈R ，使得x 2+x+1≤0；13、写出下列命题的否定（1）所有人都晨练；（2）01,2>++∈∀x x R x ；（3）平行四边形的对边相等；（4）01,2=+-∈∃x x R x 。
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全称量词和存在量词简称
量词是汉语中的一个重要语言元素，它用来表示事物的数量或程度。
汉语中的
量词分为两类：全称量词和存在量词。
本文将从语言学的角度，分别探讨这两种量词的特点和用法。
一、全称量词
全称量词指的是表示整体数量的量词，即可以用来计算一批事物总量的单位。
常见的全称量词有：“个”、“只”、“条”、“件”等。
这些量词可以单独使用，也可以
和数词一起使用。
例如，“三个苹果”、“五只猫”。
全称量词的特点是具有数量确定的特性。
因为全称量词表示的是整体数量，它
的数量不会发生变化。
比如，“三个苹果”中，“三个”是确定的数量单位。
如果苹果
的数量增加或减少，这个数量单位也不会变化，仍然是“三个”。
此外，全称量词还具有一定的语法特点。
在使用全称量词时，需要注意以下几点：
1.全称量词后一般不加量词，但有些情况下可以加上表示数量或程度的修饰语，如“三个红苹果”、“很多只猫”。
2.在使用全称量词时，应该注意量词与名词的搭配，如“条烟”、“支笔”、“件衣服”。
3.在充当主语或宾语时，全称量词要放在名词之前，如“三只猫”、“五个小孩”。
4.在修饰名词时，全称量词一般放在名词之后，如“衣服五件”、“蓝色的鞋子两双”。
二、存在量词
存在量词是表示存在数量的量词，它用来表示某个范围内存在多少个事物。
常
见的存在量词有：“有”、“没有”、“几个”、“多少”等。
这些量词必须和数词或数量
状语一起使用。
例如，“有三个苹果”、“几只猫”。
存在量词的特点是具有数量不确定的特性。
因为存在量词表示的是存在的数量，它的数量是不确定的。
即使是同一个场景，存在的数量也会发生变化。
比如，有时候会有“三个苹果”，有时候会有“四个苹果”，甚至会有“五个苹果”。
使用存在量词时需要注意以下几点：
1.存在量词必须和数词或数量状语一起使用，如“两个苹果”、“很多猫”。
2.存在量词的数量是不确定的，常用的有“有几个”、“有多少”等。
3.存在量词有时需要加上修饰语，如“这里有两个很大的苹果”、“那里有好几只
小猫”。
总结：
全称量词和存在量词是汉语中重要的语言元素，它们在表达数量或程度上发挥
着重要作用。
全称量词用来表示整体数量，具有数量确定的特性；存在量词用来表示存在的数量，具有数量不确定的特性。
在使用时，需要根据语法规则和上下文的意义来选择恰当的量词，并注意修饰语的使用。