高中数学——空间向量与立体几何练习题附答案

空间向量练习题

1. 如图所示，四棱锥P -ABCD 的底面ABCD 是边长为1的菱形，∠BCD ＝60°，E 是CD

的中点，P A ⊥底面ABCD ，P A ＝2. （Ⅰ）证明：平面PBE ⊥平面P AB ;

（Ⅱ）求平面P AD 和平面PBE 所成二面角（锐角）的大小.

如图所示，以A 为原点，建立空间直角坐标系.则相关各点的 坐标分别是A （0，0，0），B （1，0，0），

33(2C 13(2D P （0，0，2）,3E （Ⅰ）证明 因为3

BE =， 平面P AB 的一个法向量是0(0,1,0)n =， 所以0BE n 和共线.从而BE ⊥平面P AB . 又因为BE ?平面PBE ， 故平面PBE ⊥平面P AB .

(Ⅱ)解 易知3(1,0,2),(0,02PB BE =-=u u u r u u u r ）， 13

(0,0,2),(,22

PA AD =-=u u u r u u u r 设1111(,,)n x y z =r 是平面PBE 的一个法向量，则由110,

n PB n BE ?=??=??u r u u u r g u r u u u r

g 得 111122020,

3

000.2

x y z x y z +?-=??

??+

+?=??所以11110,2.(2,0,1).y x z n ===u r 故可取 设2222(,,)n x y z =u u r 是平面PAD 的一个法向量，则由220,

n PA n AD ?=??=??u u r u u u r

g u u r u u u r

g 得2222220020,13

00.22

x y z x y z ?+?-=??

?+

+?=??所以2220,3.z x ==-故可取2(3,1,0).n =-u u r

于是，121212

2315

cos ,52n n n n n n <>==

=?u r u u r

u r u u r g u r u u r g 故平面PAD 和平面PBE 所成二面角（锐角）的大小是15

2. 如图，正三棱柱ABC －A 1B 1C 1的所有 棱长都为2，D 为CC 1中点。 （Ⅰ）求证：AB 1⊥面A 1BD ；

（Ⅱ）求二面角A －A 1D －B 的大小； （Ⅲ）求点C 到平面A 1BD 的距离；

（Ⅰ）证明 取BC 中点O ，连结AO ． ABC Q △为正三角形，AO BC ∴⊥．

Q 在正三棱柱111ABC A B C -中，平面ABC ⊥平面11BCC B ，

AD ∴⊥平面11BCC B ．

取11B C 中点1O ，以O 为原点，OB uuu r ，1OO u u u u r ，OA u u u

r 的方向为x y z ，，轴的正方向建立空间直角坐标系，则(100)B ，，，(110)D -，，，1(023)A ，，，(003)A ，，，1(120)B ，，， 1(123)AB ∴=-u u u r ，，，(210)BD =-u u u r ，，，1(123)BA =-u u u r

，，．

12200AB BD =-++=u u u r u u u r Q g ，111430AB BA =-+-=u u u r u u u r

g ， 1AB BD ∴u u u r u u u r ⊥，11AB BA u u u r u u u r ⊥．

1AB ∴⊥平面1A BD ．

（Ⅱ）解 设平面1A AD 的法向量为()x y z =，，n ．

(113)AD =--u u u r ，，，1(020)AA =u u u r ，，．

AD u u u r Q ⊥n ，1AA u u u r ⊥n ，

100AD AA ?=?∴?=??u u u r g u u u r g ，，n n 3020x y z y ?-+-=?∴?=?

?，，03y x z =??∴?=-??，．

令1z =得(301)=-，

，n 为平面1A AD 的一个法向量． 由（Ⅰ）知1AB ⊥平面1A BD ，

1AB ∴u u u r

为平面1A BD 的法向量．

cos

336

222AB AB AB -->==

=-u u u r

u u u r g u u u r g g n n ． ∴二面角1A A D B --的大小为6arccos

． x

z

A

B C D

1

A

1

C

1

B

O F

y

（Ⅲ）解 由（Ⅱ），1AB u u u r

为平面1A BD 法向量，

1(200)(12BC AB =-=u u u r u u u r Q ，，，，．

∴点C 到平面1A BD

的距离11

BC AB d AB ===

u u u r u u u r g u u u r ． 3.如图，在四面体ABCD 中，O 、E 分别是BD 、BC 的中点，

2,CA CB CD BD AB AD ======

（1）求证：AO ⊥平面BCD ；

（2）求异面直线AB 与CD 所成角的余弦值； （3）求点E 到平面ACD 的距离．

⑴ 证明 连结OC

,,.BO DO AB AD AO BD ==∴⊥Q ,BO DO BC CD ==Q ，CO BD ⊥．

在AOC ?

中，由已知可得1,AO CO == 而2AC =， 2

2

2

,AO CO AC ∴+=

90,o AOC ∴∠=即.AO OC ⊥

,BD OC O =Q I ∴AO ⊥平面BCD ．

(2)解 以O 为原点，如图建立空间直角坐标系， 则(1,0,0),(1,0,0),B D -

1(0,0,1),((1,0,1),(1,2C A E BA CD =-=-u u u r u u u r

cos ,BA CD BA CD BA CD

?∴<>==

?u u u r u u u r

u u u r u u u r u u u r u u u r ∴ 异面直线AB 与CD

所成角的余弦值为

4

． ⑶解 设平面ACD 的法向量为(,,),n x y z =r

则

(,,)(1,0,1)0

(,,)1)0

n AD x y z n AC x y z ??=?--=???=?-=??r u u u r r u u u

r ，

∴

30 x z

y z

+=

??

?

-=

??

，令1,

y=得(3,1,3)

n=-

r

是平面ACD的一个法向量．

又

13

(,,0),

22

EC=-

u u u r

∴点E到平面ACD的距离

321

7

7

EC n

h

n

?

===

u u u r r

r．

4.已知三棱锥P－ABC中，PA⊥ABC，AB⊥AC，PA=AC=?AB，N为AB上一点，AB=4AN,M,S 分别为PB,BC的中点.

（Ⅰ）证明：CM⊥SN；

（Ⅱ）求SN与平面CMN所成角的大小.

证明：

设PA=1，以A为原点，射线AB，AC，AP分别为x，y，z轴正向建立空间直角坐标系如图。

则P（0,0,1），C（0,1,0），B（2,0,0），M（1,0,

1

2

），N（

1

2

,0,0），S（1,

1

2

,0）.……4分（Ⅰ）

111

(1,1,),(,,0)

222

CM SN

=-=--

u u u u r u u u r

,

因为

11

00

22

CM SN

?=-++=

u u u u r u u u r

，

所以CM⊥SN ……6分

（Ⅱ）

1

(,1,0)

2

NC=-

u u u r

,

设a=（x，y，z）为平面CMN的一个法向量，

则

1

0,

22

1

0.

2

x y z

x

x y

?

-+=

??

=

?

?-+=

??

令，得a=(2,1,-2).……9分

E

O

G F A 1

B 1

C 1

C

B A

因为cos ,2a SN =

=u u u r

所以SN 与片面CMN 所成角为45°。 ……12分

5. 如图，在三棱柱111ABC A B C -中，已知11,2,BC BB ==13

BCC π

∠=AB ⊥侧面11BB C C ，（1）求直线C 1B 与底面ABC 所成角正切值；（2）在棱1CC （不包含端点1,)C C 上确定一点E 的位置,

使得1EA EB ⊥(要求说明理由).

（3）在（2）的条件下,

若AB 11A EB A --的大小.

解：（1）在直三棱柱111ABC A B C -中，1C C ABC ⊥平面 1C B ∴在平面ABC 上的射影为

CB .

1C BC ∴∠为直线1C B 与底面ABC 所成角. …………2' 112,1CC BB BC ===Q ，1tan 2C BC ∴∠=

即直线1C B 与底面ABC 所成角正切值为2. …………4'

（2）当

E

为中点时，1EA EB ⊥.

1111,1CE EC BC B C ====Q

1145BEC B EC ∴∠=∠=o

190BEB ∴∠=o

，即1B E BE ⊥ …………6'

又11AB BB C C ⊥Q 平面，111EB BB C C ?Q 平面1AB EB ∴⊥ BE AB B

=Q I

1EB ABE

∴⊥平面，

ABE

EA 平面?，

1EA EB ⊥ …………8'

（3）取1EB 的中点G ，1A E 的中点F ，则FG ∥11A B ，且111

2

FG A B =

，1111A B EB FG EB ⊥∴⊥Q

连结11,A B AB ，设11A B AB O =I ，连结,,OF OG FG ， 则OG ∥AE ，且1

2

OG AE =

11AE EB OG EB ⊥∴⊥Q OGF ∴∠为二面角11A EB A --的平面角. …………10'

111111,22222

OG AE FG A B OF BE =

=====Q ， 45

OGF ∴∠=o ∴二面角11A EB A --的大小为45° …………12'