直线方程的五种形式

例2:直线l的倾斜角＝60º，且l 在 y 轴上的截
距为3，求直线l的斜截式方程。
练习:写出下列直线的斜截式方程。 （1） 斜率是 3 ，在y轴上的截距是-2；
2
答案： y 3 x - 2 2
（2） 斜率是-2，在y轴上的截距是4；
答案： y -2x 4
2.两点式:已知直线 l 经过点p1(x1, y1)和p2 (x2 y2 ) (x1≠x 2)求直线 l的方程.
（x1≠x2, y1≠y2 ），求通过这两点的直线方程？
k y2 y1 x2 x1
代入y y0 k(x x0 )得
y
P1(x1，l y1)【注意y】 当y1 直 yx线22 没xy斜11 (率x 或x1斜) 率为0时，
特属
情况
y P0 ( xp0,1y0 )
l
1、当直线 l 的倾斜角为零度
时（图 2）tan0 =0 , 即 k=0. 这时 直线 的方程就是
o
x
图2
y y1
2、当直线 l的倾斜角为 900时,
y
直线没有斜率这时直线 l与y轴平行
或重合，它的方程不能用点斜式表示。 o
Pp01 ( x0, y0 )
方程 名称
条件
直线方程
点 点 P(x , y )
斜 式
1
1
1
和斜率k
y y k(xx )
1
1
斜 斜率k和直
截 线在y轴上 y kx b
式 的截距
使用范围
斜 率 必 须 存 在
斜率不存在时， 直线方程为：x x0
3.2.2 直线的两点式方程
探究：已知直线上两点P1(x1,y1), P2(x2,y2)
思已考知题:直线l1 , l 2 的方程分别为: A1x B1y C1 0 A2x B2 y C2 0
如何用系数表示两条直线的平 行与垂直的位置关系?
例3、已知直线 l1 : y k1x b1 , l2 : y k2x b2 试讨论：
（1）l1 // l2 的条件是什么？
（2）已知直线的点斜式方程是 y＋2= 3 (x＋1)，那么此直线 的斜率是_____3_____,倾斜角是_____6_0_______.
y l
P0(0, b)
O
x
【注意】适用范 围：斜率K存在
直线经过点 P0 0,b， 且斜率为k 的点斜式方程？
y b k(x 0)
y kx b
3、A,B两厂距离一条小河分别为400m和100m，A,B 两厂之间的距离为500m,把一条小河看成一条直线， 今在小河边建一座提水站，供A,B两厂用水，要使提 水站到A,B两厂铺设的水管长度之和最小，提水站应 建在什么地方？
1、若直线（2t-3）x+y+6=0不经过第一象限，则t
的取值范围为——
3. .经过两点 M(0,5) 和 N(5,0)
4. .经过M(6,-4) , -4/3为斜率的直线的一般方程
5已知直线l的方程为
x 3 y 4 0求直线 l的倾斜角
5、已知直线经过点A（4,-3），斜率为-2\3求直线的点 斜式方程，并化为一般式方程.
6、已知三角形三个顶点分别为A(-3，0)， B(2，-2),C(0，1)求这个三角形三边各自所在直线的方 程。
2
（4）一直线过点 A1,3 ，其倾斜角等于
直线 y 3 x 的倾斜角的2倍，求直线 l 的方程.
3
拓展2:
①过点(1, 1)且与直线y＝2x＋7平行的直线
方程为__y___2_x 1
②过点(1, 1)且与直线y＝2x＋7垂直的直线
方程为__y____
1 2
x

3 2
小结：
直线 已知
k l 1、过点 P0 (x0, y0 ) ，斜率为 的直线 上的
每一点的坐标都满足方程（1）。
y y0 k(x x0 ) （1） —— 直线方程的点斜式
注：点斜式适用范围：斜率k存在 直线和方程的关系 （1）直线上任意一点的坐标是方程的解（满足方程）
（2）方程的任意一个解是直线上点的坐标
[ 3 ,) 2
2、经过点A(1,2)并且在两个坐标轴上的截距的绝 对值相等的直线方程有——条 3
3、已知三角形ABC三个顶点的坐标为A(1，2),B(3， 6),C(5，2),M为A,B的中点，N为A,C的中点，则中 位线MN所在的直线方程为—— 2x+y-8=0
4、设点A（4,0），B(0，2),动点P(x,y)在线段AB上 运动，1）求xy的最大值。
2 , 2)，倾斜角是30°；y 2
3 (x 3
2)
（3）经过点C(0, 3)，倾斜角是0°； y 3
（4）经过点D(－4, －2)，倾斜角是120°.
2.填空题：
y 2 3( x 4)
（1）已知直线的点斜式方程是 y－2=x－1，那么此直线的 斜率是_____1_____,倾斜角是_____4_5_______.
说明
直线的斜率的正负确定直线通过的象限.
y y=kx+b (k>0,b>0)
y=x
当斜率大于0时
x
o
y=kx+b (k>0,b<0)
y
当斜率小于0时
x
o
y=kx+b(k<0,b>0
y=-x
y=kx+b(k<0,b<0
课堂练习
(1)若直线 x=1 的倾斜角为 ，则

A．等于 0
B．等于 4

C．等于 2
x
但因直线上每一点的横坐标都等于 x1(图3），所
以它的方程是 x x1
直线 l经过点 P0 (2,3) ，且倾斜
角 45，0 求直线 l的点斜式方
程
课堂练习：
1.写出下列直线的点斜式方程：
（1）经过点A(3, －1)，斜率是 2； y 1 2 (x 3)
（2）经过点B(
D．不存在
(2)如右图,直线 l1 , l2 , l3 的斜率分别为 k1, k2 , k3 ,则
A． k1 k2 k3
B． k3 k1 k2
C． k3 k2 k1
D． k1 k3 k2
课堂练习：
1.直线ax+by+c=0，当ab<0,bc<0时，此直 线不通过的象限是( D )
定点问题
1，直线y=k(x-2)+3必过定点———— 2，
1、若过点P（-1,-3）的直线l与y轴的正半轴没有公共点， 求直线L的斜率
2、设线L的方程为（a+1）x+y+2-a=0 1)若直线l在两坐标轴上的截距相等，求直线l 的方程 2）若直线l不经过第二象限，求实数a的取值范围
3、一束光线从点A（-2,3）射入，经x轴上点P反射， 通过点B(5,7),求点P的坐标
A、【1,2】 B [0，1] C [0，1\2] D [0，1\2]
2、若过点p(1-a,1+a)和Q(3,2a)的直线的倾斜角为钝角， 那么实数a的取值范围为—— (-2,1) 3、已知三点A（2，-3）B（4，3）C(5,k\2),在同一条 直线上，则k的值为———— 12 4、已知A(1,1),B(3,5) C(a,7),D(-1,b)四点在同一条直线 上，求直线的斜率k以及a,b的值。 K=2,a=4,b=-3
(A) A·B>0,A·C>0 (B) A·B>0,A·C<0 (C) A·B<0,A·C>0 (D) A·B<0,A·C<0
例2、设直线l的方程为
（m2-2m-3）x+（2m2+m-1）y=2m-6， 根据下列条件确定m的值：
（1）l在X轴上的截距是-3；
5 3
（2）斜率是-1.
1、直线l过点A（1,2）且不过第四象限，那么l的斜率 的取值范围为———
1、设A、B是x轴上的两点，点P的横坐标为2，且
│PA│=│PB│，若直线PA的方程为x-y+1=0，则直线PB
的方程是—
x+y-5=0
2、求过点A(5,2)且在两坐标轴上截距互为相反数 的直线方程
3、已知直线L: x y 1
m 4m
1）若直线的斜率是2，求m的值
2）若直线l与两坐标轴的正半轴围成三角形的 面积最大，求此直线的方程
2）在1）中xy取最大值的前提下，是否存在过点P 的直线L，使得L与两坐标轴的截距相等？若存在， 求L的方程，不存在，说明理由
P(2,1) x-2y=0, x+y-3=0
求直线与两坐标轴围成的图形面积和周长
1、求斜率为3\4,且与坐标轴围成的三角形周长为 12的直线方程
2、已知一条直线过点A（-2,2）并且与两坐标轴 围成的三角形的面积为1，求此直线方程。
A.第一象限 C.第三象限
B.第二象限 D.第四象限
2.两条直线2x-y+k=0和4x-2y+1=0的位置
关系是( D )
A.平行
B.垂直
C.相交
但不垂直
D.平行或重合
3.若直线(m+2)x+(2-m)y=2m在x轴上 的截距为3，则m的值是_____ -6
4、直线Ax+By+C=0通过第一、二、四象限， 则（ ） B
1、直线的倾斜角范围？
0 180
2、如何求直线的斜率？
k tan ( 90)
k y2 y1 x2 x1
(x1 x2 )
3、在直角坐标系内如何确定一条直线？
ຫໍສະໝຸດ Baidu
答（1）已知两点可以确定一条直线。 （2）已知直线上的一点和直线的倾斜角（斜率） 可以确定一条直线。
B）通过点 3,2的所有直线；
C）通过点 3,2且不垂直于x轴的所有直线；
D）通过点 3,2 且去除x轴的所有直线.
思维拓展1 ①过点(2, 1)且平行于x轴的直线方程为_y__ 1
②过点(2, 1)且平行于y轴的直线方程为_x__ 2 ③过点(2, 1)且过原点的直线方程为_y__ 1 x
温复故知习新 回顾 ①指明直线方程几种形式的应用范围.
点斜式 y－y0 = k（x－x0） 有斜率的直线
斜截式 y = kx + b
有斜率的直线
两点式
y y1 y2 y1

x x1 x2 x1
( x1

x2 , y1

y2 )
不垂直于x,y轴
的直线
截距式 x y 1a,b 0
（2）l1 l2 的条件是什么？
(1) l1 // l2 k1 k2 ,且b1 b2
(2) l1 l2 k1 k2 1
练习
1、判断下列各对直线是否平行或垂直：
(1)
l1
:
y

1 2
x

3
,
l2
:
y

1 2
x

2
l1 // l2
(2)
l1
:
y

5 3
x
,
l2
:
y


ab
不垂直于x,y轴 的直线 不过原点的直线
5.一般式:关于x和y的一次方程都表 示一条直线.我们把方程
Ax+By+C = 0
( 其中A、B 不全为零)叫做直线方程的 一般式 .
练习
求下列直线方程。 1.经过点A(2,5) , 斜率是4;
2.经过两点 M(2,1) 和 N(0,-3);
3、已知点A(2,-3),B(-3,-2),直线l过点P(3,1)且与线段AB 相交，求直线l的斜率的取值范围。 【1\2,4】
思考题：1、经过点 P(0, 1) 作直线 l，若直线 l
与连结 A(1,2), B2,1 的线段始终有公共点，
求直线的斜率 k 的取值范围.
[-1,1]
2 已知 P（3,-1）,M(5,1),N(1,1)直线 l 过点 P 且与线段 MN 相交，求： 1) 直线 l 的倾斜角的取值范围 [450,1350] 2) 直线 l 的斜率 k 的取值范围。(,1) [1,)
——直线的斜截式方程
斜率
在 y轴的截距
y=kx+b ——直线方程的斜截式 .
思考2：截距与距离一样吗？
y
P(0,b)
O
x
截距与距离不一样，截距可正、可零、可负, 而距离不能为负。
练习：
写出下列直线的斜率和在y轴上的截距：
（1）y 3x 2 (2) y 3x (3)x 3y 2
y y1 x x1 y2 y1 x2 x1 这个方程是由直线上两点确定的，叫做 直线方程的两点式。
例：求经过两点P（a,0）,Q(0,b)的直线l方程
截距式:这个方程是由直线在x 轴和 y 轴的截距式确定的,叫做直线方程的截 距式 .
x y 1 ab
例2.已知直线 在 X 轴和 Y 轴上的 截距分别是2和3，求直线的方程。
3 5
x
l1 l2
数巩学固之练美习：
1.下列方程表示直线的什么式？倾斜角各为多少度？
1) y 3 x 2
300
3 2) y 2 x 3
450
3)
600
y 2 3x 3 3
2.方程 y 2 k(x 3) 表示( C )
A)通过点2,3 的所有直线；