三维旋转：旋转矩阵,欧拉角,四元数 - 一叶斋主人 - 博客园

博问

闪存

联系

订阅

管理

一叶斋

一叶障目，一叶知秋三维旋转：旋转矩阵，欧拉角，四元数

原文见我的博客主站，欢迎大家过去评论。如何描述三维空间中刚体的旋转，是个有趣的问题。具体地说，就是刚体上的任意一个点P(x, y, z)围绕过原点的轴(i, j, k)旋转θ，求旋转后的点P\'(x\',y\', z\')。

旋转矩阵

旋转矩阵乘以点P的齐次坐标，得到旋转后的点P'，因此旋转矩阵可以描述旋转，

绕x，y，或z轴旋转θ的矩阵为：

所以，绕任意轴旋转的矩阵为

这表示：

1. 绕x轴旋转角度p使指定的旋转轴在xz平面上

2. 绕y轴旋转角度q使指定的旋转轴与z轴重合

3. 绕z轴旋转角度θ

4. 绕y轴旋转角度-q

5. 绕x轴旋转角度-p

其中，p和q的值需要用i,j,k计算出来。

;1э79

888Q ΣR ΣS Σ/:<

;;;

7988Q R S /:<

;;&g';1Q 79/

...amqg qg l g .Иqg l g

amqg :<&g';1R 79amqg .qg l g ./

.Иqg

l g .amqg :<&g';1S 79amqg qg l g .Иqg

l g amqg ...

/:<

&ИI'э&ИJ'э

&g'э&J'э&I'1Q 1R 1S 1R 1Q 公告

非计算机专业出身的计算机爱好者，中科院某所硕士研究生在读。理想是做一名一流的游戏设计师，目前正在广泛涉猎中。博客主站：

我的邮箱： xieguanglei@ 我的QQ： 280138635

随笔分类(48)

leetcode 刷题笔录(7)

Three.js Demo 源码笔记(1)Three.js 教程翻译(6)Three.js 源码笔记(5)

WebGL 原生 API 笔记(4)编程语言笔记(9)

计算机图形学笔记(1)开发环境和开发工具算法导论笔记(13)我的 Demo(2)

积分与排名

积分 - 55008

排名 - 2619

欧拉角

欧拉角也可以描述三维刚体旋转，它将刚体绕过原点的轴(i,j,k)旋转θ，分解成三步（蓝色是起始坐标系，而红色的是旋转之后的坐标系。）。

1. 绕z轴旋转α，使x轴与N轴重合，N轴是旋转前后两个坐标系x-y平面的交线

2. 绕x轴（也就是N轴）旋转β，使z轴与旋转后的z 轴重合

3. 绕z轴旋转γ，使坐标系与旋转后的完全重合按照旋转轴的顺序，该组欧拉角被称为是“zxz顺规”的。对于顺规的次序，学术界没有明确的约定。

欧拉角的旋转矩阵为：

在旋转矩阵一节中，最先进行的旋转其矩阵在最右侧，说明该矩阵最先与点的齐次坐标相乘，旋转矩阵按照旋转的次序从右向左排列。而在欧拉角中，最先进行的旋转其旋转矩阵在最左边。这是因为，**对于前者（旋转矩阵），我们始终是以绝对参考系为参照来的，对于后者（欧拉角），我们每一次旋转的刻画都是基于刚体的坐标系。**比如，在欧拉角中的第2步，绕x轴旋转β，这里的x轴实际上是N轴了（而不是蓝色的x轴）。

为什么旋转参考系的不同会导致旋转矩阵次序的差异呢？细想一下便知，旋转矩阵左乘叠加用以描述三维变换效果的叠加，这本身就是基于绝对坐标系的，所以旋转矩阵一节没有疑问；而对于欧拉角一

&`'э&a'э&b'

1S 1Q 1S

节的这种旋转方式，这样考虑：

1. 如果有一个“影子坐标系3”与原坐标系重合，然后首先进行了第3步（绕z轴旋转γ）；

2. 然后有一个“影子坐标系2”也与原坐标系重合，然后与“影子坐标系3”一起（视作同一个刚体）进行了第二步；

3. 最后一个“影子坐标系1”，与前两个坐标系一起进行了第一步。

此时，考察“影子坐标系”1和2，他们就分别落在了欧拉角旋转的两个“快照”上，而“影子坐标系3”就落在旋转后的位置上（红色的）。而在上述过程中，“影子坐标系3”就是相对于绝对坐标系依次进行了第三步，第二步，和第一步。所以欧拉角的旋转矩阵写成那样，也是行得通的。这个想法，我猜在很多第一人称游戏中，已经得到了广泛应用了。这样，玩家对人物的控制就可以绕开人物的实时状态（位置，角度等）直接对人物的模型矩阵产生影响。

万向节死锁是欧拉角的一个弊端，这是一个直观的例子。

四元数

四元数是今天的主角，它能够很方便的刻画刚体绕任意轴的旋转。四元数是一种高阶复数，四元数q 表示为：

其中，i，j，k满足：

由于i，j，k的性质和笛卡尔坐标系三个轴叉乘的性质很像，所以可以将四元数写成一个向量和一个实数组合的形式：

可以推导出四元数的一些运算性质，包括：* 四元数乘法

J ;&Q*R*S*P ';QB)RC )SD )P

;;;И/B 0C 0D 0B C ;D*CD ;B *DB;C

J ;&)P ';&&Q*R*S'*P 'O Τ

δδδδδδ

* 共轭四元数

* 四元数的平方模

* 四元数的逆

四元数可以看做是向量和实数的一种更加一般的形式，向量可以视作为实部为0的四元数，而实数可以是作为虚部为0的四元数。上述四元数的运算性质也是实数或向量的运算性质的更一般的形式。四元数可用来刻画三维空间中的旋转，绕单位向量(x,y,z)表示的轴旋转θ，可令：

刚体坐标系中的点p(P,0)（写成四元数的形式），旋转后的坐标p'为：

接下来我们来证明这一点。首先，我们证明

其中s为实数。显然

此时，我们可以将q看做是单位矩阵，因为如果q不是单位矩阵，我们就可以乘以一个常数s将其化为单位矩阵。

然后，我们证明qpq^{-1}和p的模长相等下面将q视为单位四元数：

四元数q的标量:

J/J0;&·))*Иэ

'O /δO 0δP /O 0δP 0O /δP /P 0O /δO 0δ

;&И*P 'J МO Τ

-&J';-&

')O ΤP 0;

J

И/

J М-&J'

J ;&&Q*R*S'qg l *amq '

g 0g

;JI I ΣJ

И/

JI ;&LJ'I&LJ J И/

'

И/

&LJ'I&LJ ;LJI ;LJ '

И/

J И/L И/I

И/

;J И/J

М