四年级奥数(2)简单的数列求和

教学内容：简单的数列问题(一)

世界著名的数学家高斯(1777年〜1855年)，幼年时代聪明过人。上小学时，有一天数学老师出了一道题让全班同学计算：

1 +

2 +

3 + 4+，・・+ 99 + 100 =?

老师出完题后，全班同学都在埋头计算，小高斯却很快地说出了正确答案5050。那些正忙着把这100 个数一个一个相加求和的同学大吃一惊!小高斯有什么窍门呢?

原来小高斯通过细心观察，发现1〜100这一串数中，1+ 100 = 2 + 99= 3+ 98=-= 49

+ 52= 50+ 51= 101 。即：与这串数首末两端距离相等的每两个数的和，都等于首末两数的和，这样的和为101的数共有100+ 2 = 50对。于是小高斯就把这道题巧算为：

1+ 2+ 3+-+ 99+ 100

=(1 + 100)X 100 + 2

= 5050

像1，2，3，-，99，100 这样的一串数我们称为“等差数列” ，下面介绍有关等差数列的概念。

若干个数排成一列称为数列，数列中的每一个数称为一项，其中第一项称为首项，最后一项称为末项。从第一项开始，后项与前项之差都相等的数称为等差数列，后项与前项之差称为公差，数列中数的个数称为项数。

例如：

(1)5，6，7，8，-，100；

(2)1，3，5，7，9，-，99；

(3)4，12，20，28，-，804；

(4)1，4，8，16，-，256。

其中( 1)是首项为5，末项为100，公差为 1 的等差数列；( 2)是首项为1，末项为99，公差为 2 的等差数列；( 3)是首项为4，末项为804，公差为8 的等差数列；( 4)中前后两项的差都不相等，它不是等差数列。

从高斯的故事我们知道，要想求出像 1 ，2，3，-，99，100 这一等差数列的和，只要用第一个数 1 与最后一个数100 相加求和，再乘以这串数的个数100，最后除以2。

由此，我们得到等差数列的求和公式为：

数列和=(首项+末项)X项数十2

［例1］计算1+ 2+ 3+-+ 1999

［分析与解］这串加数组成的数列1，2，3，-，1999 是等差数列，公差是1，首项是

1，末项是1999，项数是1999。根据等差数列求和公式可解得：

原式=( 1+ 1999)X 1999+ 2

［例2］求首项是5，公差是3 的等差数列的前1999 项的和。

［分析］等差数列中首项、末项、公差的关系是：末项=首项+公差X(项数— 1 ) ［解］末项= 5+ 3X( 1999－1)

= 5999

和=( 5+ 5999)X 1999+ 2

［例3］计算3+ 7+ 11 +-+ 99

［分析］这串加数组成的数列是等差数列，公差是4，首项是3，末项是99，但是我们发现项数从题中看不出来，这时就需要先求出项数。根据上例中介绍的等差数列中首项、末项、公差的关系，可以得到：

项数=(末项一首项)十公差+ 1

［解］项数=(99- 3)十4+ 1 = 25

原式=(3 + 99)X 25- 2= 1275

［例4］计算

(1)2000- 3-6 —9—…一51 - 54

(2)(2+ 4+ 6 +•••+ 96 + 98 + 100)-( 1+ 3+ 5+-+ 95+ 97 + 99)

(3)1991 - 1998 + 1985 - 1982 + …+ 11-8 + 5 - 2

［分析与解］(1 )利用第一讲中的知识，“某数连续减去几个数，等于减去这几个数的和”，可将原式转化为：2000- (3+ 6+ 9+-+ 51 + 54)，所以，此题关键是求3+ 6 + 9+… + 51 + 54 的和。

3+ 6+ 9 + •••+ 51 + 54

=(3+ 54)X ［(54 - 3)- 3+ 1］- 2

=57 X 9 =513

从而，原式=2000- 513= 1487。

(2)同学们可能已经发现和式 2 + 4+-+ 98+ 100, 1 + 3 + 5+-+ 97+ 99中的项成等差数列，从而可能想到先求和，再做减法。这样做，很自然，也比较简便。有其他更为简单

的解法吗？再看题，你会冒出一个好想法：运用加减法性质，先做减法：2- 1,4-3, 6-5, (100)

99,它们的差都等于1,然后计算等于1的差数有多少个。由于题中1至100的全部偶数之和作为被减数，奇数之和为减数，所以，相邻的奇偶数相减(以大减小) ，共得50

个差数1，从而，

原式=(2—1) + ( 4—3) +•+( 98 —97)X( 100 —99)

=50

(3)利用求解题(2)的经验，容易发现

1991 - 1988= 3, 1985 - 1982 = 3,…，5-2= 3

这样，此题就归结为计算上述差的个数。

可以这样计算，由于此数列为等差数列，公差是3,由求项数公式可求得项数为：

(1991 - 2)- 3 + 1 = 664 (个)

这664个数两两配对做减法运算，共得到664十2= 332个差数，因而

原式=(199—1998) (1985/982) .「(1仁8)

332个““()”

=3 X 332 = 996

［思考］还可以怎样计算出差的个数？

(还可根据每个括号中被减数所组成的等差数列的项数。)

［例5］ 2000X 1999- 1999X 1998 + 1998X 1997- 1997X 1996 + …+ 4X 3- 3X 2 + 2X 1 ［解］

原式=1999X( 2000- 1998)+ 1997 X( 1998- 1996)+•••+ 3X( 4-2)+ 2X 1 =(1999 + 1997+…+ 3+ 1)X 2

=(1999 + 1 )X ［(1999 - 1)- 2+ 1］- 2 X 2

=2000X1000

［小结］解简单的数列问题，首先要判断该数列是否为等差数列，再找出首项、末项、项数等相关量，最后运用相应公式正确求解。