第6讲巧妙求和二四年级奥数
小学四年级奥数讲解：巧妙求和
小学四年级奥数讲解：巧妙求和一、知识要点某些问题，能够转化为求若干个数的和，在解决这些问题时，同样要先判断是否求某个等差数列的和。
如果是等差数列求和，才可用等差数列求和公式。
在解决自然数的数字问题时，应根据题目的具体特点，有时可考虑将题中的数适当分组，并将每组中的数合理配对，使问题得以顺利解决。
二、精讲精练【例题1】刘俊读一本长篇小说，他第一天读30页，从第二天起，他每天读的页数都前一天多3页，第11天读了60页，正好读完。
这本书共有多少页？【思路导航】根据条件“他每天读的页数都比前一天多3页”能够知道他每天读的页数是按一定规律排列的数，即30、33、36、……57、60。
要求这本书共多少页也就是求出这列数的和。
这列数是一个等差数列，首项=30，末项=60，项数=11.所以能够很快得解：（30＋60）×11÷2=495（页）想一想：如果把“第11天”改为“最后一天”该怎样解答？练习1：1.刘师傅做一批零件，第一天做了30个，以的每天都比前一天多做2个，第15天做了48个，正好做完。
这批零件共有多少个？2.胡茜读一本故事书，她第一天读了20页，从第二天起，每天读的页数都比前一天多5页。
最后一天读了50页恰好读完，这本书共有多少页？3.丽丽学英语单词，第一天学会了6个，以后每天都比前一天多学1个，最后一天学会了16个。
丽丽在这些天中学会了多少个英语单词？【例题2】30把锁的钥匙搞乱了，为了使每把锁都配上自己的钥匙，至多要试几次？【思路导航】开第一把锁时，如果不凑巧，试了29把钥匙还不行，那所剩的一把就一定能把它打开，即开第一把锁至多需要试29次；同理，开第二把锁至多需试28次，开第三把锁至多需试27次……等打开第29把锁，剩下的最后一把不用试，一定能打开。
所以，至多需试29＋28＋27＋…＋2＋1=（29＋1）×29÷2=435（次）。
练习2：1.有80把锁的钥匙搞乱了，为了使每把锁都配上自己的钥匙，至多要试多少次？2.有一些锁的钥匙搞乱了，已知至多要试28次，就能使每把锁都配上自己的钥匙。
趣味奥数之巧妙求和
趣味奥数之巧妙求和一、这一个标题若干个数排成一列称为数列。
数列中的每一个数称为一项。
其中第一项称为首项，最后一项称为末项，数列中项的个数称为项数。
从第二项开始，后项与其相邻的前项之差都相等的数列称为等差数列，后项与前项的差称为公差。
在这一章要用到两个非常重要的公式：“通项公式”和“项数公式”。
通项公式：第n项=首项+（项数－1）×公差项数公式：项数=（末项－首项）÷公差＋1二、精讲精练【例题1】有一个数列：4，10，16，22.…，52.这个数列共有多少项？【思路导航】容易看出这是一个等差数列，公差为6，首项是4，末项是52.要求项数，可直接带入项数公式进行计算。
项数=（52－4）÷6＋1=9，即这个数列共有9项。
练习1：1.等差数列中，首项=1.末项=39，公差=2.这个等差数列共有多少项？2.有一个等差数列：2.5，8，11.…，101.这个等差数列共有多少项？3.已知等差数列11.16，21.26，…，1001.这个等差数列共有多少项？【答案】1.（39-1）÷2+1=20项2.（101-2）÷3+1=34项3.（1001-11）÷5+1=199项【例题2】有一等差数列：3.7，11.15，……，这个等差数列的第100项是多少？【思路导航】这个等差数列的首项是3.公差是4，项数是100。
要求第100项，可根据“末项=首项+公差×（项数－1）”进行计算。
第100项=3+4×（100－1）=399.练习2：1.一等差数列，首项=3.公差=2.项数=10，它的末项是多少？2.求1.4，7，10……这个等差数列的第30项。
3.求等差数列2.6，10，14……的第100项。
【答案】1.末项是21 2.1+（30-1）×3=88 3.2+（100-1）×4=398【例题3】有这样一个数列：1.2.3.4，…，99，100。
四年级奥数巧妙求和
巧妙求和
基本概念
1 数列：若干个数排成一列，称为数列
2 项：数列中的每一个数
首项：数列中的第一项
末项：数列中的最后一项
项数：数列中项的个数
3 等差数列：从第二项开始，后项与前项之差都相等的数列
公差：后项与前项的差
4 等差数列求和
通项公式：第n项=首项+（项数-1）×公差
项数公式：项数=（末项-首项）÷公差+1
求和公式：总和=（首项+末项）×项数÷2
例1：数列4,10,16,22…52共有多少项？
例2：等差数列9,12,15,18…，2004，这个数列共有多少项？
例3：等差数列1000,993,986,979，…20，这个数列共有多少项？
例4：已知等差数列3,7,11,15，…，则该等差数列第100项是多少？
例5：求等差数列1,6,11,16，…的第61项。
例6：求等差数列307,304,301,298，…第99项。
例7：有这样一列数：1,2,3,4，…98,99,100.请求出这列数各项相加之和。
例8：求等差数列2,4,6,…48,50的和。
例9：用简便方法计算（100+102+104+...+200）-（1+5+9+13+ (97)
作业：
1.3+5+7+9+…+63
2.100+110+120+…+350
3.160+154+148+…+16
4.2+3-4+5+6-7+8+9-10+11+12-13+…+101+102-103。
四年级巧妙求和奥数题
四年级巧妙求和奥数题摘要：一、引言二、四年级巧妙求和奥数题的类型与解题思路1.数字求和2.图形求和3.逻辑求和三、解题技巧与方法1.利用数学公式2.寻找规律3.转化思维四、实例解析1.数字求和实例2.图形求和实例3.逻辑求和实例五、结尾正文：一、引言随着数学教育的不断推进，奥数题已经成为许多小学生课外学习的热门话题。
其中，四年级巧妙求和奥数题备受孩子们喜爱。
这类题目既能锻炼孩子们的思维能力，又能培养他们的创新精神。
那么，如何解决这类题目呢？接下来，我们就来探讨一下。
二、四年级巧妙求和奥数题的类型与解题思路1.数字求和数字求和题主要涉及到加法运算，孩子们需要运用加法公式和运算规律来解决。
例如，给出一些数字，让孩子们找到一个合适的规律，使得这些数字相加等于一个特定的和。
2.图形求和图形求和题要求孩子们通过观察图形，找到图形的面积或周长与数字之间的联系。
这类题目需要孩子们具备一定的观察能力和几何知识。
3.逻辑求和逻辑求和题主要以故事或问题的形式出现，让孩子们在理解题意的基础上，通过逻辑推理找到答案。
这类题目对孩子的思维逻辑能力有较高要求。
三、解题技巧与方法1.利用数学公式在解决四年级巧妙求和奥数题时，可以尝试运用数学公式，简化运算过程。
例如，利用平方差公式、完全平方公式等，将复杂数字求和问题转化为简单的计算。
2.寻找规律观察题目中的数字、图形或故事，找到潜在的规律。
例如，数字求和题中，数字之间可能存在等差、等比等关系；图形求和题中，图形的边长、角度等可能存在一定的规律。
3.转化思维当遇到困难时，可以尝试转换思维角度，从另一个角度审视问题。
例如，将问题从一个维度转化为另一个维度，或者从整体到局部，再从局部到整体进行分析。
四、实例解析1.数字求和实例题目：1，2，3，4，5，…，99的和是多少？解：利用等差数列求和公式，求和=（首项+末项）×项数÷2，可得答案。
2.图形求和实例题目：一个正方形的面积是16平方厘米，周长是16厘米，求正方形的边长。
四年级奥数巧妙求和
四年级奥数专题巧妙求和（一）专题简析：若干个数排成一列称为数列。
数列中的每一个数称为一项。
其中第一项称为首项，最后一项称为末项，数列中项的个数称为项数。
从第二项开始，后项与其相邻的前项之差都相等的数列称为等差数列，后项与前项的差称为公差。
这一周学习“等差数列求和”。
需要记住三个非常重要的公式：“通项公式”、“项数公式”、“求和公式”。
通项公式：第n项=首项+（项数－1）×公差项数公式：项数=（末项－首项）÷公差＋1求和公式：总和=（首项+末项）×项数÷2例1：有一个数列：4，10，16，22，…，52，这个数列共有多少项？分析与解答：容易看出这是一个等差数列，公差为6，首项是4，末项是52，要求项数，可直接带入项数公式进行计算。
项数=（52－4）÷6＋1=9，即这个数列共有9项。
练习一1，等差数列中，首项=1，末项=39，公差=2，这个等差数列共有多少项？2，有一个等差数列：2，5，8，11，…，101，这个等差数列共有多少项？3，已知等差数列11，16，21，26，…，1001，这个等差数列共有多少项？例2：有一等差数列：3，7，11，15，……，这个等差数列的第100项是多少？分析与解答：这个等差数列的首项是3，公差是4，项数是100。
要求第100项，可根据“末项=首项+公差×（项数－1）”进行计算。
第100项=3+4×（100－1）=399练习二1，一等差数列，首项=3，公差=2，项数=10，它的末项是多少？2，求1，4，7，10……这个等差数列的第30项。
3，求等差数列2，6，10，14……的第100项。
例3：有这样一个数列：1，2，3，4，…，99，100。
请求出这个数列所有项的和。
分析与解答：如果我们把1，2，3，4，…，99，100与列100，99，…，3，2，1相加，则得到（1+100）+（2+99）+（3+98）+…+（99+2）+（100+1），其中每个小括号内的两个数的和都是101，一共有100个101相加，所得的和就是所求数列的和的2倍，再除以2，就是所求数列的和。
小学四年级奥数巧妙求和
四年级奥数专题巧妙求和（一）专题简析：若干个数排成一列称为数列。
数列中的每一个数称为一项。
其中第一项称为首项，最后一项称为末项，数列中项的个数称为项数。
从第二项开始，后项与其相邻的前项之差都相等的数列称为等差数列，后项与前项的差称为公差。
这一周学习“等差数列求和”。
需要记住三个非常重要的公式：“通项公式”、“项数公式”、“求和公式”。
通项公式：第n项=首项+（项数－1）×公差项数公式：项数=（末项－首项）÷公差＋1求和公式：总和=（首项+末项）×项数÷2例1：有一个数列：4，10，16，22，…，52，这个数列共有多少项？分析与解答：容易看出这是一个等差数列，公差为6，首项是4，末项是52，要求项数，可直接带入项数公式进行计算。
项数=（52－4）÷6＋1=9，即这个数列共有9项。
练习一1，等差数列中，首项=1，末项=39，公差=2，这个等差数列共有多少项？2，有一个等差数列：2，5，8，11，…，101，这个等差数列共有多少项？3，已知等差数列11，16，21，26，…，1001，这个等差数列共有多少项？例2：有一等差数列：3，7，11，15，……，这个等差数列的第100项是多少？分析与解答：这个等差数列的首项是3，公差是4，项数是100。
要求第100项，可根据“末项=首项+公差×（项数－1）”进行计算。
第100项=3+4×（100－1）=399练习二1，一等差数列，首项=3，公差=2，项数=10，它的末项是多少？2，求1，4，7，10……这个等差数列的第30项。
3，求等差数列2，6，10，14……的第100项。
例3：有这样一个数列：1，2，3，4，…，99，100。
请求出这个数列所有项的和。
分析与解答：如果我们把1，2，3，4，…，99，100与列100，99，…，3，2，1相加，则得到（1+100）+（2+99）+（3+98）+…+（99+2）+（100+1），其中每个小括号内的两个数的和都是101，一共有100个101相加，所得的和就是所求数列的和的2倍，再除以2，就是所求数列的和。
举一反三四年级奥数第6讲巧妙求和一
举一反三四年级奥数第6讲巧妙求和一奥数（即奥林匹克数学竞赛）是一项旨在培养学生逻辑思维能力和解决问题技巧的数学竞赛活动。
对于四年级学生而言，学习奥数可以培养他们的数学思维和动手能力，提高他们对数学的兴趣和学习效果。
在本文中，我们将从第六讲的巧妙求和一这一话题来探讨如何举一反三。
巧妙求和一：等差数列求和在第六讲中，我们遇到了一个有关等差数列的求和问题。
等差数列是由一个初始项和一个公差确定的一系列数，其中每个数与它的前一个数的差值都是相等的。
通过找到这个差值，我们可以利用求和公式来快速求解等差数列的和。
以数列1，4，7，10，13为例，我们可以观察到每个数与前一个数的差值都是3。
因此，我们可以使用求和公式S = (a1 + an) * n / 2来求得该数列的和，其中a1为初始项，an为最后一项，n为项数。
在这个例子中，我们有a1 = 1，an = 13，n = 5，代入公式计算得到S = (1 + 13) * 5 / 2 = 35。
举一反三：寻找等差数列通过上述例子，我们学会了如何利用求和公式求解等差数列的和。
那么，如果我们只知道数列的和S、项数n，我们能否反过来寻找等差数列呢？答案是肯定的。
假设我们知道一个等差数列的和S为35，项数n为5，我们可以先假设初始项a1为未知数x，公差d也为未知数y。
根据求和公式，我们可以得到一个方程式：S = (a1 + an) * n / 2。
将具体数值代入方程，我们得到35 = (x + (x + (n-1)y)) * n / 2，化简得 35 = (2x + (n-1)y) * n / 2，继续化简可得 70 = 2x + (n-1)y * n，即 2x + 4y = 70。
从这个方程中，我们可以发现x和y的取值不是唯一的，但它们需要满足方程。
我们可以通过试探不同的x和y值，来寻找满足这个方程的合理解。
通过上述例子，我们可以看到在已知一些条件的情况下，通过方程求解的方法可以帮助我们寻找等差数列。
四年级下册数学教案-6.2 巧妙求和丨苏教版
四年级下册数学教案-6.2 巧妙求和一、教学目标1. 知识与技能：使学生掌握巧妙的求和方法，能够运用所学的求和技巧解决实际问题。
2. 过程与方法：通过观察、分析、讨论等活动，培养学生的逻辑思维能力和团队合作意识。
3. 情感态度价值观：激发学生对数学的兴趣，培养学生的创新意识和解决问题的能力。
二、教学重点、难点1. 教学重点：掌握巧妙的求和方法，能够运用求和技巧解决实际问题。
2. 教学难点：灵活运用求和技巧，解决实际问题。
三、教学过程1. 导入通过提问方式引导学生回顾已学的求和方法，为新课的学习做好铺垫。
2. 新课讲解（1）出示例题，引导学生观察、分析、讨论，发现求和的规律。
例题：计算1 2 3 ... 100的和。
（2）引导学生总结求和的方法，并加以验证。
方法一：高斯求和法1 2 3 ... 100 = (1 100) × 100 ÷ 2 = 5050方法二：等差数列求和公式1 2 3 ... 100 = (首项末项) × 项数÷ 2 = (1 100) × 100 ÷ 2 = 5050（3）出示练习题，巩固所学方法。
练习题1：计算1 3 5 ... 99的和。
练习题2：计算2 4 6 ... 100的和。
3. 小组合作探究（1）出示探究题，引导学生小组合作，共同解决问题。
探究题：计算1×1 2×2 3×3 ... 10×10的和。
（2）小组展示探究成果，师生共同总结求和方法。
方法：平方求和公式1×1 2×2 3×3 ... 10×10 = n(n 1)(2n 1) ÷ 6 = 3854. 课堂小结通过本节课的学习，学生能够掌握巧妙的求和方法，并能够运用求和技巧解决实际问题。
同时，培养学生的逻辑思维能力和团队合作意识。
5. 课后作业（布置必做题和选做题）必做题：完成练习册相关题目。
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4、有一大串钥匙被搞乱了，已知至多要试55次,就能使每把锁都配上自己的钥匙。这一串钥匙到底有几把?
５、小童练习口算，他按照顺序从1开始求和。当计算到某个数时,和是70，但他重复计算了其中的一个数字。问:小童重复计算了哪个数字？
在解决自然数的数字问题时，应根据题目的具体特点，有时可考虑将题中的数适当分组，并将每组中的数合理配对，使问题得以顺利解决。
【精讲1】刘俊读一本长篇小说，他第一天读３0页，从第二天起，他每天读的页数都前一天多３页，第１1天读了６０页,正好读完。这本书共有多少页?
分析与引导:根据条件“他每天读的页数都比前一天多3页”可以知道他每天读的页数是按一定规律排列的数，即30、33、36、……57、6０。要求这本书共多少页也就是求出这列数的和。这列数是一个等差数列,首项=30，末项＝60,项数=1１.因此可以很快得解:
２、在一次同学聚会中,一共到4３位同学和4位老师,每一位同学或老师都要和其他同学握一次手。那么一共握了多少次手？
3、假期里有一些同学相约每人互通两次电话，他们一共打了78次电话,问有多少位同学相约互通电话？
【精讲4】求1 ～ 9９这99个连续自然数的所有数字之和。
分析与引导:首先应该弄清楚这题是求9９个连续自然数的数字之和,而不是求这99个数之和。为了能方便地解决问题,我们不妨把０算进来(它不影响我们计算数字之和）计算0～９9这１00个数的数字之和。这10０个数头尾两配对后每两个数的数字之和都相等,是9+９=1８，一共有10０÷2=5０对,所以，１~9９这99个连续自然数的所有数字之和是１8×50=900。
6、四年级举行羽毛球选拔赛,每个参赛选手都要和其他选手各赛一场。现在有20人参赛,一共要进行多少场比赛?
【好题精练】
1、求1~１99这1９9个连续自然数的所有数字之和。
2、求１~999这９99个连续自然数的所有数字之和。
3、求1~3000这30００个连续自然数的所有数字之和。
【精讲5】求1～2０９这2０9个连续自然数的全部数字之和。
分析与引导:不妨先求0~199的所有数字之和,再求200～209的所有数字之和,然后把它们合起来。０～19９的所有数字之和为（1+9×2)×（20０÷2）=1９00，200～209的所有数字之和为2×1０＋1+2+…+９=65。所以,1~２09这2０9个连续自然数的全部数字之和为１900＋６5=１96５。
【好题精练】
１、有80把锁的钥匙搞乱了,为了使每把锁都配上自己的钥匙,至多要试多少次？
2、有一些锁的钥匙搞乱了，已知至多要试28次,就能使每把锁都配上自己的钥匙。一共有几把锁的钥匙搞乱了?
3、有10只盒子，4４只羽毛球。能不能把44只羽毛球放到盒子中去,使各个盒子里的羽毛球只数不相等？
【精讲3】某班有51个同学，毕业时每人都和其他的每个人握一次手。那么共握了多少次手？
第6讲-－-－巧妙求和（二）四年级奥数
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学员姓名:上课日期:教师姓名:ﻩ
某些问题，可以转化为求若干个数的和,在解决这些问题时,同样要先判断是否求某个等差数列的和。如果是等差数列求和,才可用等差数列求和公式。
分析与引导:假设５１个同学排成一排,第一个人依次和其他人握手，一共握了50次，第二个依次和剩下的人握手，共握了49次,第三个人握了4８次。依次类推，第５0个人和剩下的一人握了１次手，这样，他们握手的次数和为：
5０+49＋4８+…+2+1=（50＋1）×５0÷2=1２75(次）.
【好题精练】
1学校进行乒乓球赛,每个选手都要和其他所有选手各赛一场。如果有２1人参加比赛,一共要进行多少场比赛?
３、丽丽学英语单词，第一天学会了6个,以后每天都比前一天多学１个,最后一天学会了1６个。丽丽在这些天中学会了多少个英语单词?
【精讲2】30把锁的钥匙搞乱了，为了使每把锁都配上自己的钥匙，至多要试几次？
分析与引导:开第一把锁时，如果不凑巧，试了2９把钥匙还不行,那所剩的一把就一定能把它打开,即开第一把锁至多需要试29次；同理,开第二把锁至多需试28次,开第三把锁至多需试27次……等打开第29把锁,剩下的最后一把不用试,一定能打开。所以,至多需试29＋28＋27＋…＋2+1＝(29+1）×29÷2=4３５（次)。（ຫໍສະໝຸດ ０＋60）×11÷2=４95（页)
想一想:如果把“第１1天”改为“最后一天”该怎样解答?
【好题精练】
1、刘师傅做一批零件,第一天做了30个,以后每天都比前一天多做２个，第15天做了48个，正好做完。这批零件共有多少个?
2、胡茜读一本故事书，她第一天读了2０页，从第二天起，每天读的页数都比前一天多5页。最后一天读了50页恰好读完，这本书共有多少页？
【好题精练】
1、求1~308连续自然数的全部数字之和。
2、求１～２００9连续自然数的全部数字之和。
3、求连续自然数2000~5000的全部数字之和。
1、刘大妈做一批工艺鞋，她第一天做了8双,第二天起手艺越来越熟练，每天都比前一天多做2双。最后一天做了24双,刘大妈这几天共做工艺鞋多少双?
2、小鹏学英语单词,第一天学会了6个，以后每天比前一天多学相同数量的单词,结果全月（30天)共学了6１5个单词。小鹏每天比前一天多学几个英语单词?