2020-2021备战中考数学初中数学旋转综合经典题含答案.doc

2020-2021备战中考数学初中数学旋转综合经典题含答案

一、旋转

1．在平面直角坐标系中，四边形AOBC是矩形，点O（ 0， 0），点 A（ 5，0），点 B（ 0，3）．以点 A 为中心，顺时针旋转矩形AOBC，得到矩形ADEF，点 O， B， C 的对应点分别

为D， E， F．

（1）如图①，当点 D 落在 BC 边上时，求点 D 的坐标；

（2）如图②，当点 D 落在线段 BE 上时， AD 与 BC交于点 H．

①求证△ ADB≌ △ AOB；

②求点 H 的坐标．

（3）记 K 为矩形 AOBC对角线的交点， S 为△ KDE的面积，求 S 的取值范围（直接写出结果

即可）．

【答案】（ 1） D（ 1，3）；（ 2）①详见解析；② H（17

， 3）；（ 3）

5

30 3 34 ≤S≤303 34 ．

4 4

【解析】

【分析】

（1）如图①，在 Rt△ ACD中求出 CD即可解决问题；

（2）①根据 HL 证明即可；

②，设 AH=BH=m，则 HC=BC-BH=5-m，在 Rt△ AHC中，根据AH2=HC2+AC2，构建方程求出m 即可解决问题；

（3）如图③中，当点 D 在线段 BK 上时，△DEK的面积最小，当点 D 在 BA 的延长线上时，△ D′E′K的面积最大，求出面积的最小值以及最大值即可解决问题；

【详解】

（1）如图①中，

∵A（5， 0）， B（ 0，3 ），

∴ O A=5， OB=3， ∵四边形 AOBC 是矩形，

∴ A C=OB=3， OA=BC=5， ∠

OBC=∠C=90 ，° ∵矩形 ADEF 是由矩形 AOBC 旋转得到，

∴ A D=AO=5，

在 Rt △ ADC 中， CD=

AD 2

AC

2

=4

，

∴BD=BC-CD=1，

∴D （ 1， 3）．

（2） ① 如图 ② 中，

由四边形 ADEF 是矩形，得到 ∠ ADE=90°，

∵点 D 在线段 BE 上，

∴∠ ADB=90 ，°

由（ 1）可知， AD=AO ，又 AB=AB ，∠ AOB=90°，

∴ R t △ ADB ≌ Rt △ AOB （ HL ）．

② 如图 ② 中，由 △ ADB ≌ △ AOB ，得到 ∠BAD=∠BAO ，又在矩形 AOBC 中， OA ∥ BC ，

∴∠ CBA=∠OAB ，

∴∠ BAD=∠ CBA ，

∴ B H=AH ，设 AH=BH=m ，则 HC=BC-BH=5-m ，

在 Rt △ AHC 中， ∵ AH 2=HC 2+AC 2，∴m 2=32+（ 5-m ） 2，

∴m=

17

，

5

∴ B H=

17

，

5

∴H （ 17 ， 3）．

5

（3）如图 ③ 中，当点 D 在线段 BK 上时， △DEK 的面积最小，最小值

1 1

=

?DE?DK= × 3×

2

2

（5-

34 ）= 30 3 34 ，

2 4

当点 D 在 BA 的延长线上时， △D ′E ′K 的面积最大，最大面积 =

1 1

2

×D ′E ′×KD ′=× 3×

2

（5+

34

） =

30

3 3

4 ． 2

4

综上所述，

30 3

34 ≤S ≤30 3 34 ．

4

4

【点睛】

本题考查四边形综合题、矩形的性质、勾股定理、全等三角形的判定和性质、旋转变换等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题，学会利用参数构建方程解决问题．

2．(1)发现：如图 1，点 A 为线段 BC 外一动点，且 BC ＝a ， AB ＝ b ．填空： 当点 A 位于

时，线段 AC 的长取得最大值，且最大值为

(用含 a ， b 的式子表示 )

(2)应用：点 A 为线段 BC 外一动点，且 BC ＝4 ， AB ＝ 1，如图 2 所示，分别以 AB ， AC 为 边，作等边三角形 ABD 和等边三角形 ACE ，连接 CD ， BE ．

① 请找出图中与 BE 相等的线段，并说明理

由； ② 直接写出线段 BE 长的最大值．

(3)拓展：如图 3，在平面直角坐标系中，点 A 的坐标为 (2， 0)，点 B 的坐标为 (6， 0)，点 P

为线段 AB 外一动点，且 PA ＝ 2， PM ＝ PB ， ∠BPM ＝90°，请直接写出线段 AM 长的最大值及此时点 P 的坐标．

【答案】 (1)CB 的延长线上，满足条件的点 P 坐标 (2﹣ 2 【解析】

【分析】

a+b ； (2) ①CD ＝ BE ，理由见解析； ② BE 长的最大值为 5； (3) ， 2 )或(2﹣ 2 ，﹣ 2 )， AM 的最大值为 2 2 +4．

（1）根据点 A 位于 CB 的延长线上时，线段 AC 的长取得最大值，即可得到结论；（

2）

①根据已知条件易证△CAD≌ △ EAB，根据全等三角形的性质即可得CD＝ BE；② 由于线段

BE 长的最大值＝线段 CD 的最大值，根据（ 1）中的结论即可得到结果；（ 3）连接 BM，将△

APM 绕着点 P 顺时针旋转 90°得到△ PBN，连接 AN，得到△ APN 是等腰直角三角形，

根据全等三角形的性质得到PN＝ PA＝ 2， BN＝ AM ，根据当N 在线段 BA 的延长线时，线段BN 取得最大值，即可得到最大值为2 2 +4；如图2，过P作PE⊥x轴于E，根据等腰直角

三角形的性质即可求得点P 的坐标．如图 3 中，根据对称性可知当点P 在第四象限时也满

足条件，由此求得符合条件的点P 另一个的坐标．

【详解】

(1)∵点∴当点A 为线段 BC外一动点，且BC＝ a， AB＝ b，

A 位于 CB的延长线上时，线段AC的长取得最大值，且最大值

为

BC+AB＝ a+b，

故答案为CB 的延长线上，a+b；

(2) ①CD＝ BE，

理由：∵ △ABD 与△ACE是等边三角形，

∴AD＝ AB，AC＝ AE，∠BAD＝∠ CAE＝ 60 °，

∴∠ BAD+∠ BAC＝∠ CAE+∠ BAC，

即∠ CAD＝∠ EAB，

AD AB

在△ CAD与△ EAB

中，

CAD EAB ，

AC AE

∴△ CAD≌ △ EAB(SAS)，

∴CD＝ BE；

② ∵线段 BE长的最大值＝线段CD 的最大值，

由(1) 知，当线段CD的长取得最大值时，点 D 在

∴最大值为BD+BC＝ AB+BC＝ 5；

CB的延长线上，(3)如图1，

∵将△ APM 绕着点 P 顺时针旋转 90 °得到△PBN，连接

AN，则△ APN 是等腰直角三角形，

∴PN＝ PA＝2， BN＝ AM，

∵A 的坐标为 (2， 0)，点 B 的坐标为 (6， 0)，

∴OA＝2， OB＝ 6，

∴AB＝ 4，

∴线段 AM 长的最大值＝线段BN 长的最大值，