华东师大版九年级下册：二次函数测试题
1 《二次函数》全章复习与巩固 一、选择题 1．已知抛物线2:310Cyxx
，将抛物线C平移得到抛物线C．若两条抛物线C、C关于直线x＝1
对称．则下列平移方法中，正确的是（ C ）． A．将抛物线C向右平移2
5个单位
B．将抛物线C向右平移3个单位 C．将抛的线C向右平移5个单位 D．将抛物线C向右平移6个单位 2．已知二次函数cbxaxy
2
的图象如图所示，则下列5个代数式：ac，cba，cba24，ba2，
ba2中，其值大于0的个数为( A )． A．2 B．3 C．4 D．5 3．二次函数cbxaxy
2
的图象如图所示，则下列关系式不正确的是( C )．
A．0a B．abc＞0 C．cba＞0 D．04
2
acb
第2题 第3题 4．在平面直角坐标系中，将抛物线223yxx
绕着它与y轴的交点旋转180°，所得抛物线的解析式是
( B) A．2(1)2yx B．2(1)4yx
C．2(1)2yx D．2(1)4yx
5．如图所示，半圆O的直径AB＝4，与半圆O内切的动圆O1与AB切于点M，设⊙O1的半径为y，AM＝x，则y关于x的函数关系式是( B )． A．214yxx B．214yxx C．214yxx D．214yxx 2
第5题 第6题 6．如图所示，老师出示了小黑板上的题后，小华说：过点(3，0)；小彬说：过点(4，3)和(0，3)；小明说： a＝1，c=3；小颖说：抛物线被x轴截得的线段长为2．你认为四人的说法中，正确的有( C )． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 7．已知一次函数yaxb的图象过点(-2，1)，则关于抛物线23yaxbx
的三条叙述：
⊙过定点(2，1)；⊙对称轴可以是直线x＝l；⊙当a＜0时，其顶点的纵坐标的最小值为3． 其中所有正确叙述的有( C )． A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 8．已知二次函数24yxxa
，下列说法错误的是( C )．
A．当x＜1时，y随x的增大而减小 B．若图象与x轴有交点，则a≤4 C．当a＝3时，不等式240xxa
的解集是1＜x＜3
D．若将图象向上平移1个单位，再向左平移3个单位后过点(1，-2)，则a＝-3 二、填空题 9．由抛物线2xy先向左平移2个单位，再向下平移3个单位得到的抛物线的解析式为 .
10．已知一元二次方程230xbx
的一根为-3．在二次函数的图象上有三点),54(1y、),45(2y、),61(3y，
1y、2y、3y、的大小关系是 . 11．如图所示，已知⊙P的半径为2，圆心P在抛物线2112yx上运动，当⊙P与x轴相切时，圆心P的
坐标为________．
第11题 第13题 3
12．在平面直角坐标系中，如果抛物线23xy不动，而把x轴、y轴分别向上，向右平移3个单位，那么
在新坐标系下，此抛物线的解析式是 . 13．已知二次函数2yaxbxc(a≠0)的图象如图所示，则下列结论：⊙a、b同号；⊙当x＝1和x＝3
时，函数值相等；⊙ba4＝0；⊙当y＝-2时，x的值只能取0，其中正确的有 .（填序号） 14．已知抛物线的顶点为)
425,2
1(，与x轴交于A、B两点，在x轴下方与x轴距离为4的点M在抛物线上，
且10AMBS，则点M的坐标为 ． 15．已知二次函数2yaxbxc(a≠0)的图象如图所示，有下列5个结论：
⊙abc＞0；⊙b＜ca；⊙cba24＞0；⊙c2＜b3；⊙ba＞)(bamm，(m≠l的实数)． 其中正确的结论有_____ ___(只填序号)．
第15题 第16题 16．如图所示，抛物线212yx
向右平移1个单位得到抛物线2y．回答下列问题：
(1)抛物线2y的顶点坐标________．
(2)阴影部分的面积S＝________． (3)若再将抛物线2y绕原点O旋转180°得到抛物线3y，则抛物线3y的开口方向________，顶点坐标
________． 三、解答题 17．某商品的进价为每件40元，售价为每件50元，每个月可卖出210件；如果每件商品的售价每上涨l元，则每个月少卖10件(每件售价不能高于65元)．设每件商品的售价上涨x元(x为正整数)，每个月的销售利润为y元． (1)求y与x的函数关系式并直接写出自变量x的取值范围； (2)每件商品的售价定为多少元时，每个月可获得最大利润?最大的月利润是多少元? (3)每件商品的售价定为多少元时，每个月的利润恰为2200元?根据以上结论，请你直接写出售价在什么范围时，每个月的利润不低于2200元? 4
18．如图所示，已知经过原点的抛物线224yxx与x轴的另一交点为A，现将它向右平移m(m＞0)
个单位，所得抛物线与x轴交于C、D两点，与原抛物线交于点P． (1)求点A的坐标，并判断⊙PCA存在时它的形状(不要求说理)； (2)在x轴上是否存在两条相等的线段?若存在，请一一找出，并写出它们的长度(可用含m的式子表示)；若不存在，请说明理由； (3)设⊙PCD的面积为S，求S关于m的关系式．
19. 在平面直角坐标系中，已知抛物线经过A(-4，0)、B(0，-4)、C(2，0)三点． (1)求抛物线的解析式； (2)若点M为第三象限内抛物线上一动点，点M的横坐标为m，⊙AMB的面积为S．求S关于m的函数关系式，并求出S的最大值； (3)若点P是抛物线上的动点，点Q是直线xy上的动点，判断有几个位置能够使得点P、Q、B、O为顶点的四边形为平行四边形，直接写出相应的点Q的坐标．
20. 如图⊙所示，在平面直角坐标系中，抛物线2yaxc
与x轴正半轴交于点F(16，0)、与y轴正半轴交
于点E(0，16)，边长为16的正方形ABCD的顶点D与原点O重合，顶点A与点E重合，顶点C与点，重合． (1)求抛物线的函数表达式；
(2)如图⊙所示，若正方形ABCD在平面内运动，并且边BC所在的直线始终与x轴垂直，抛物线始终5
与边AB交于点P且同时与边CD交于点Q(运动时，点P不与A、B两点重合，点Q不与C、D两点重合)．设点A的坐标为(m，n)(m＞0)． ⊙当PO＝PF时，分别求出点P与点Q的坐标； ⊙在⊙的基础上，当正方形ABCD左右平移时，请直接写出m的取值范围； ⊙当n＝7时，是否存在m的值使点P为AB边的中点?若存在，请求出m的值；若不存在，请说明理由．
【答案与解析】 一、选择题 1.【答案】C；、
【解析】22349:31024Cyxxx，
⊙ 其顶点坐标为349,24，设C顶点坐标为049,4x
，由题意得03212x，
⊙ 0
7
2x，⊙ C的解析式为274924yx．
由234924yx到274924yx需向右平移5个单位，因此选C． 2.【答案】A； 【解析】由图象知，a＜0，c＜0，012ba， ⊙ b＞0，ac＞0，⊙ 2a-b＜0． 又对称轴12ba
，即2a+b＜0．
当x＝1时，a+b+c＞0；当x＝-2时，4a-2b+c＜0．综上知选A． 3.【答案】C；
【解析】由抛物线开口向下知a＜0，由图象知c＞0，02ba，b＜0，即abc＞0，又抛物线与x轴有两个
交点，所以240bac． 4.【答案】B； 【解析】抛物线2223(1)2yxxx，其顶点(-1，2)绕点(0，3)旋转180°后坐标为(1，4)，开口向6
下． ⊙ 旋转后的抛物线解析式为2(1)4yx．
5.【答案】B； 【解析】连接O1M、O1O，易知两圆切点在直线OO1上，线段OO1＝OA-y＝2-y，O1M＝y，OM＝OA-AM
＝2-x．
由勾股定理得(2-y)2＝y2+(2-x)2，故214yxx． 6.【答案】C； 【解析】由小华的条件，抛物线过(3，0)与(1，0)两点，则对称轴为x＝2；由小彬的条件，抛物线过点(4，3)又过(0，3)点
⊙ 对称轴为直线x＝2；由小明的条件a＝1，c=3,得到关系式为23yxbx，过点(1，0)得b＝-4，对
称轴为4221x；由小颖的条件抛物线被x轴截得的线段长为2，另一交点可能是(3，0)或(-1，0)，当另一交点为(-1，0)时，对称轴不是x＝2．所以小颖说的不对.故选C. 7．【答案】C； 【解析】⊙若过定点(2，1)，则有4231ab．整理、化简，得-2a+b＝1，与题设隐含条件相符；
⊙若对称轴是直线x＝1，这时12ba
，2a-b＝0，与题设隐含条件不相符；
⊙当a＜0时，抛物线开口向下，这时顶点的纵坐标为2243()344abbyaa
．
由于20b，0a．⊙ 204ba．⊙ 3y最小． 综合以上分析，正确叙述的个数为2，应选C． 8．【答案】C；
【解析】二次函数24yxxa的对称轴为x＝2，由于a＝1＞0，当x＜2时，y随x增大而减小，因此A是正确的；若图象与x轴有交点，则⊙＝16-4a≥0，⊙ a≤4． 当a＝3时，不等式为x2-4x+3＞0，此时二次函数243yxx，令y＝0，得x1＝1，x2＝3，当x＜1或x
＞3时，y＞0，所以不等式2430xx的解集为x＜1或x＞3．抛物线平移后得2(3)4(3)1yxxa，即222yxxa
，将(1，-2)代入解得3a．
二、填空题 9．【答案】y＝(x+2)2-3；
【解析】y＝x2的顶点为(0，0)，y＝(x+2)2+3的顶点为(-2，-3)，将(0，0)先向左平移2个单位，再向下平移3个单位可得(-2，-3)，即将抛物线y＝x2先向左平移2个单位，再向下平移3个单位得到抛物线y＝(x+2)2-3． 10．【答案】y1＜y2＜y3.
2022年最新精品解析华东师大版九年级数学下册第26章 二次函数单元测试试卷(含答案详解)
华东师大版九年级数学下册第26章 二次函数单元测试考试时间：90分钟；命题人：数学教研组考生注意：1、本卷分第I 卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，满分100分，考试时间90分钟2、答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、班级填写在试卷规定位置上3、答案必须写在试卷各个题目指定区域内相应的位置，如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用涂改液、胶带纸、修正带，不按以上要求作答的答案无效。
第I 卷（选择题 30分）一、单选题（10小题，每小题3分，共计30分）1、抛物线22(1)7y x =-+ 的顶点坐标是 ( )．A ．()17-，B ．()17，C ．()17--，D ．()17，- 2、已知抛物线23y ax bx =++在坐标系中的位置如图所示，它与x ，y 轴的交点分别为A ，B ．点P 是其对称轴1x =上的动点，根据图中提供的信息，给出以下结论：①20a b +=；②x ＝3是230ax bx ++=的一个根；③PAB △()11,M x y 和()22,N x y ，若121x x ，且122x x +>，则12y y >，其中正确的有（ ）个．A ．1B ．2C ．3D ．4 3、已知a ≠0，函数y ＝ax 与y ＝﹣ax 2﹣a 在同一平面直角坐标系中的大致图象可能是（ ）A ．B ．C ．D ．4、二次函数y ＝3（x ﹣2）2+4的图像的顶点坐标是（ ）A ．（﹣2，﹣4）B ．（﹣2，4）C ．（2，﹣4）D ．（2，4）5、二次函数2y ax bx c =++(0a ≠)的图象如图，给出下列四个结论：①240ac b -<；②320b c +<；③42a c b +<；④对于任意不等于-1的m 的值()m am b b a ++<一定成立．其中结论正确的个数是（ ）A ．1B ．2C ．3D ．4 6、抛物线()241y x =-+的顶点坐标是（ ）A ．()4,1B ．()4,1-C ．()41-,D ．()4,1--7、已知二次函数2y ax bx c =++的图象如图所示，则下列结论正确的是（ ）A ．0a >，0c >B ．0a >，0c <C ．0a <，0c >D ．0a <，0c <8、若函数24y x x m =-+的图象上有两点()11,A x y ，()22,B x y ，若122x x <<，则（ ）A ．12y y >B ．12y y <C ．12y y =D ．1y ，2y 的大小不确定9、一次函数21y x =+与二次函数243y x x =-+的图象交点（ ）A ．只有一个B ．恰好有两个C ．可以有一个，也可以有两个D ．无交点10、若抛物线23y ax bx =+-的顶点坐标为（1，-4），则抛物线与x 轴的交点个数为（ ）A ．0个B ．1个C ．2个D ．无法确定第Ⅱ卷（非选择题 70分）二、填空题（10小题，每小题3分，共计30分）1、写出一个图像开口向上，顶点在x 正半轴上的二次函数解析式_________．2、把抛物线22y x =向左平移1个单位长度，再向下平移3个单位长度，得到的抛物线的解析式为________．3、如图（1）是一个横断面为抛物线形状的拱桥，水面在l 时，拱顶(拱桥洞的最高点)离水面3米，水面宽4米．如果按图（2）建立平面直角坐标系，那么抛物线的解析式是_____．4、二次函数y ＝（m ﹣1）x 2+x +m 2﹣1的图象经过原点，则m 的值为_____．5、若点（0，a ），（3，b ）都在二次函数y ＝（x ﹣1）2的图象上，则a 与b 的大小关系是：a ______b （填“＞”，“＜”或“＝”）．6、抛物线()223y x =-+的顶点坐标是______，对称轴是______．7、请写出一个开口向下且过点（0，﹣4）的抛物线表达式为 _________________．8、写出一个二次函数，其图像满足：（1）开口向下；（2）顶点坐标是(1,3)．这个二次函数的解析式可以是_________________．9、已知二次函数2y ax bx c =++的图象如图所示，有下列五个结论：①0abc >；②b a c <+；③420a b c ++>；④23c b <；⑤()a b m am b +>+（m 为实数且1m ≠）．其中正确的结论有______（只填序号）．10、已知二次函数y ＝x 2＋bx ＋3图象的对称轴为x ＝2，则b ＝________；顶点坐标是________．三、解答题（5小题，每小题8分，共计40分）1、如图，将边长为4的正方形纸片ABCD 折叠，使点A 落在边CD 上的点M 处（不与点C 、D 重合），连接AM ，折痕EF 分别交AD 、BC 、AM 于点E 、F 、H ，边AB 折叠后交边BC 于点G ．(1)求证：EDM ∽MCG ；(2)若DM ＝13CD ，求CG 的长；(3)若点M 是边CD 上的动点，四边形CDEF 的面积S 是否存在最值？若存在，求出这个最值；若不存在，说明理由．2、已知抛物线y ＝﹣12x 2+x ．(1)直接写出该抛物线的对称轴，以及抛物线与y 轴的交点坐标；(2)已知该抛物线经过A （3n +4，y 1），B （2n ﹣1，y 2）两点．①若n ＜﹣5，判断y 1与y 2的大小关系并说明理由；②若A ，B 两点在抛物线的对称轴两侧，且y 1＞y 2，直接写出n 的取值范围．3、如图，已知抛物线2y x bx c =++经过点()1,0A -和点()3,0B 两点．(1)求抛物线的解析式和顶点坐标；(2)点P 为抛物线上一点，若10ABPS =，求出此时点P 的坐标． 4、已知二次函数y ＝a 2x ＋2x ＋c 的图象经过A （﹣1，0），C （0，3）．(1)求该二次函数的解析式；(2)结合函数图象直接写出：①当﹣1＜x ＜2时，y 的取值范围；②当y ≤3时，x 的取值范围．5、如图，在平面直角坐标系中，O 为原点，抛物线212y x bx c =-++与x 轴交于点()1,0A -和点()3,0B ．抛物线与y 轴交于C 点，P 为该抛物线上一动点．(1)求抛物线对应的函数关系式；(2)将该抛物线沿y 轴向下平移3个单位，点P 的对应点为P'，若'OP OP =，求P 的坐标；(3)3y x =-与抛物线交点为Q ，连结AC AQ PQ ，，，当P 在x 轴下方，且CAB AQP ∠=∠时，求直线PQ 解析式．-参考答案-一、单选题1、B【解析】【分析】根据抛物线的顶点式的特点，直接写出抛物线顶点坐标即可．【详解】解：抛物线22(1)7y x =-+ 的顶点坐标是()17，， 故选：B ．【点睛】本题考查了抛物线的顶点坐标，解题关键是熟记抛物线2()y a x h k =-+的顶点坐标为（h k ，）．2、D【解析】【分析】①根据对称轴方程求得a 、b 的数量关系； ②根据抛物线的对称性知抛物线与x 轴的另一个交点的横坐标是3； ③利用两点间线段最短来求△PAB 周长的最小值； ④根据二次函数图象，当x 1＜1＜x 2，且x 1+x 2＞2，根据离对称越远的点的纵坐标就越小得出结论．【详解】 解：①根据图象知，对称轴是直线12b x a=-=，则b =-2a ，即2a +b =0． 故①正确；②根据图象知，点A 的坐标是（-1，0），对称轴是直线x =1，则根据抛物线关于对称轴对称的性质知，抛物线与x 轴的另一个交点的坐标是（3，0）， 所以x =3是ax 2+bx +3=0的一个根，故②正确；③如图所示，点A 关于x =1对称的点是A '，即抛物线与x 轴的另一个交点．连接BA '与直线x =1的交点即为点P ， 则△PAB 周长的最小值是BA AB 的长度．∵B （0，3），()3,0A '，∴32BA ．而AB即△PAB 周长的最小值是． 故③正确．④观察二次函数图象可知： 当x 1＜1＜x 2，且x 1+x 2＞2，则1-x 1＜x 2-1，∴y 1＞y 2．故④正确． 综上所述，正确的结论是：①②③④．故选：D ．【点睛】本题考查了二次函数图象与系数的关系，二次函数图象的性质以及两点之间线段最短．解答该题时，充分利用了抛物线的对称性．3、D【解析】【分析】分a ＞0和a ＜0两种情况分类讨论即可确定正确的选项．【详解】解：当a ＞0时，函数y =a x的图象位于一、三象限，y =-ax 2-a 的开口向下，交y 轴的负半轴，D 选项符合；当a ＜0时，函数y =a x 的图象位于二、四象限，y =-ax 2-a 的开口向上，交y 轴的正半轴，没有符合的选项；故选：D ．【点睛】本题考查了反比例函数的图象及二次函数的图象的知识，解题的关键是根据比例系数的符号确定其图象的位置，难度不大．4、D【解析】【分析】根据顶点式2()y a x h k =-+的顶点坐标为(),h k 求解即可．【详解】解：抛物线y ＝3（x ﹣2）2+4的顶点坐标是(2,4)故选D【点睛】本题考查了二次函数顶点式2()y a x h k =-+的顶点坐标为(),h k ，掌握顶点式求顶点坐标是解题的关键．5、C【解析】【分析】由抛物线与x 轴有两个交点得到b 2﹣4ac ＞0，可判断①；根据对称轴是x ＝﹣1，可得x ＝﹣2、0时，y 的值相等，所以4a ﹣2b +c ＞0，可判断③；根据2b a -=-1，得出b ＝2a ，再根据a +b +c ＜0，可得12b +b +c ＜0，所以3b +2c ＜0，可判断②；x ＝﹣1时该二次函数取得最大值，据此可判断④．【详解】解：∵图象与x 轴有两个交点，∴方程ax 2+bx +c ＝0有两个不相等的实数根，∴b 2﹣4ac ＞0，∴4ac ﹣b 2＜0，①正确； ∵2b a-=-1， ∴b ＝2a ，∵a +b +c ＜0， ∴12b +b +c ＜0，∴3b +2c ＜0，∴②正确；∵当x ＝﹣2时，y ＞0，∴4a ﹣2b +c ＞0，∴4a +c ＞2b ，∵由图象可知x ＝﹣1时该二次函数取得最大值，∴a ﹣b +c ＞am 2+bm +c （m ≠﹣1）．∴m （am +b ）＜a ﹣b ．故④正确∴正确的有①②④三个，故选：C ．【点睛】本题考查二次函数图象与系数的关系，看懂图象，利用数形结合解题是关键．6、A【解析】【分析】根据顶点式2()y a x h k =-+的顶点坐标为(),h k 求解即可【详解】解：抛物线()241y x =-+的顶点坐标是(4,1)故选A【点睛】本题考查了二次函数顶点式2()y a x h k =-+的顶点坐标为(),h k ，掌握顶点式求顶点坐标是解题的关键．7、C【解析】根据抛物线的开口方向以及与y 轴的交点位置进行判断即可．【详解】∵抛物线开口方向向下，∴a ＜0.∵抛物线与y 轴交点坐标为（0，c ）点，由图知，该点在x 轴上方，∴c ＞0.故选C.【点睛】本题考查了二次函数的图象与各项系数之间的关系，数形结合是解题的关键．8、A【解析】【分析】根据1x 、2x 与对称轴的大小关系，判断1y 、2y 的大小关系．【详解】解：24y x x m =-+，∴此函数的对称轴为：42221b x a -=-=-=⨯， 122x x <<，两点都在对称轴左侧，10a =>，∴对称轴左侧y 随x 的增大而减小，12y y ∴>．故选：A ．【点睛】此题主要考查了函数的对称轴求法和二次函数的性质，解题的关键是利用二次函数的增减性解题时，利用对称轴进行求解．9、B【解析】【分析】联立解析式得一元二次方程，利用判根公式判断方程的根，方程根的个数即为图象的交点个数．【详解】解：联立一次函数和二次函数的解析式可得：22143y x y x x =+⎧⎨=-+⎩整理得：2620x x -+=2(6)412280=--⨯⨯=>2620x x ∴-+=有两个不相等的实数根21y x ∴=+与243y x x =-+的图象交点有两个故选：B ．【点睛】 本题考查了一元二次方程的根，图象的交点与方程根的关系．解题的关键在于正确求解．10、C【解析】【分析】根据顶点坐标求出b =-2a ，把b =-2a ，（1，-4）代入得223y x x =--，再计算出0∆>即可得到结论【详解】解：∵抛物线23y ax bx =+-的顶点坐标为（1，-4）， ∴12b a -= ∴2b a =-∴223y ax ax =--把（1，-4）代入223y ax ax =--，得，423a a -=--∴1a =∴223y x x =--∴2=(2)41(3)160∆--⨯⨯-=>∴抛物线与x 轴有两个交点故选：C【点睛】本题主要考查了抛物线与x 轴交点个数的确定，抛物线与x 轴交点个数是由判别式确定：240b ac ∆=->时，抛物线与x 轴有2个交点；240b ac ∆=-=时，抛物线与x 轴有1个交点；240b ac ∆=-<时，抛物线与x 轴没有交点二、填空题1、()22y x =-【解析】【分析】根据顶点式2()y a x h =-，写出一个0h >，0a >符合题意的二次函数的解析式即可【详解】解：图像开口向上，顶点在x 正半轴上的二次函数解析式可以是：()22y x =- 故答案为：()22y x =-（答案不唯一）【点睛】本题考查了2()y a x h =-图象的性质，理解题意是解题的关键． 2、()2213y x =+-【解析】【分析】根据“左加右减、上加下减”的平移原则进行解答即可．【详解】解：抛物线22y x =向左平移1个单位长度，再向下平移3个单位长度，得到的抛物线的解析式为()2213y x =+- 故答案为：()2213y x =+-（或2241y x x =+-）【点睛】本题考查了二次函数的平移，掌握函数平移规律是解题的关键．3、234y x =- 【解析】【分析】设出抛物线方程y =ax 2（a ≠0）代入坐标（-2，-3）求得a ．【详解】解：设出抛物线方程y =ax 2（a ≠0），由图象可知该图象经过（-2，-3）点，∴-3=4a ，a =-34，∴抛物线解析式为y =-34x 2． 故答案为：234y x =-． 【点睛】本题主要考查二次函数的应用，解题的关键在于能够熟练掌握待定系数法求解二次函数解析式．4、-1【解析】【分析】将原点坐标（0，0）代入二次函数解析式，列方程求m 即可．【详解】解：∵点（0，0）在抛物线y ＝（m ﹣1）x 2+x +m 2﹣1上，∴m 2﹣1＝0，解得m 1＝1或m 2＝﹣1，∵m ＝1不合题意，∴m ＝1，故答案为：﹣1．【点睛】本题考查利用待定系数法求解二次函数解析式，能够熟练掌握待定系数法是解决本题的关键．5、＜【解析】【分析】根据二次函数的解析式求得对称轴以及开口方向，根据点与对称轴的距离越远函数值越大即可判断,a b 的大小关系．【详解】解：∵二次函数y ＝（x ﹣1）2，10a =>，开口向上，对称轴为1x =又点（0，a ），（3，b ）都在二次函数y ＝（x ﹣1）2的图象上，101,312-=-=∴a b <故答案为：<【点睛】本题考查了二次函数()2y a x h =-图象的性质，掌握二次函数()2y a x h =-图象的性质是解题的关键． 6、 ()2,3 2x =【解析】【分析】根据顶点式直接写出顶点坐标和对称轴即可．【详解】解：抛物线()223y x =-+的顶点坐标是()2,3，对称轴是2x =． 故答案为：()2,3；2x =【点睛】本题考查了二次函数顶点式2()y a x h k =-+的顶点坐标为(),h k ，对称轴为x h =，掌握顶点式求顶点坐标是解题的关键．7、y ＝﹣x 2﹣4（答案不唯一）【解析】【分析】根据二次函数的性质，二次项系数小于0时，函数图象的开口向下，再利用过点（0，﹣4）得出即可．【详解】解：∵抛物线开口向下且过点（0，﹣4），∴可以设顶点坐标为（0，﹣4），故解析式为：y ＝﹣x 2﹣4（答案不唯一）．故答案为：y ＝﹣x 2﹣4（答案不唯一）．【点睛】本题考查了二次函数图象的性质，是开放型题目，答案不唯一．8、()213y x =--+【解析】【分析】根据题意写出一个0a <，且顶点为 (1,3)的二次函数即可，可根据顶点式写出函数解析式．【详解】解：该函数的定点坐标为(1,3)，且开口向下，这个二次函数的解析式可以是：()213y x =--+ 故答案为：()213y x =--+（答案不唯一）【点睛】本题考查了二次函数的性质，掌握顶点式是解题的关键．9、③④⑤【解析】【分析】先利用二次函数的开口方向，与y 轴交于正半轴，二次函数的对称轴为：10,2b xa 判断,,abc 的符号，可判断①，由图象可得：1,a b c 在第三象限，可判断②，由抛物线与x 轴的一个交点在1,0,0,0之间，则与x 轴的另一个交点在()()2,0,3,0之间，可得点2,42a b c 在第一象限，可判断③，由3,93a b c 在第四象限，抛物线的对称轴为：1,2b x a =-= 即,2b a 可判断④，当1x =时，y a b c 最大值，当1x m m ，2,y am bm c =++ 此时：2,am bm c a b c 可判断⑤，从而可得答案.【详解】解：由二次函数的图象开口向下可得：0,a <二次函数的图象与y 轴交于正半轴，可得0,c >二次函数的对称轴为：10,2b x a可得0,b > 所以：0,abc < 故①不符合题意；由图象可得：1,a b c 在第三象限， 0,a b c ,b a c 故②不符合题意； 由抛物线与x 轴的一个交点在1,0,0,0之间，则与x 轴的另一个交点在()()2,0,3,0之间， ∴ 点2,42a b c 在第一象限，420,a b c 故③符合题意；3,93a b c 在第四象限，930,a b c抛物线的对称轴为：1,2b x a =-= ,2b a930,2b b c 23,c b 故④符合题意；当1x =时，y a b c最大值，当1x m m ，2,y am bm c =++此时：2,am bm c a b c,m am b a b 故⑤符合题意；综上：符合题意的有：③④⑤，故答案为：③④⑤．【点睛】本题考查的是二次函数的图象与性质，熟练的应用二次函数的图象与性质判断代数式的符号是解题的关键.10、 4 （2，7）【解析】【分析】由对称轴公式即可求得b ，把解析式化成顶点式即可求得顶点坐标．解：∵二次函数y ＝x 2＋bx ＋3图象的对称轴为x ＝2，∴−2(1)b ⨯-＝2， ∴b ＝4，∴二次函数y ＝−x 2＋4x ＋3，∵y ＝−x 2＋4x ＋3＝−（x −2）2＋7，∴顶点坐标是（2，7），故答案为：4，（2，7）．【点睛】本题考查了二次函数的图象和性质，熟知对称轴公式和二次函数解析式的三种表现形式是解题的关键．三、解答题1、 (1)见解析(2)2(3)存在，10【解析】【分析】（1）由正方形的性质得90D BAD C ∠=∠=∠=︒，故90DEM DME ∠+∠=︒，由折叠的性质得90EMB BAE '∠=∠=︒，故90CMG DME ∠+∠=︒，推出DEM CMG ∠=∠，故可证EDM MCG ；（2）由4CD =，13DM CD =得43DM =，83CM =，设AE x =，则EM x =，4DE x =-，由勾股定理即可求出x 的值，即可求出DE ，由相似三角形的性质即可得出CG 的长；（3）过点F 作FN AD ⊥于N ，根据AAS 证明ADM FNE ≅，由全等三角形的性质得DM EN =，设DM EN a ==，DE b =，由勾股定理求出a 、b 关系，由ENF CDNF CDEF S S S =-矩形四边形化为二次函数即可(1)∵四边形ABCD 是正方形，∴90D BAD C ∠=∠=∠=︒，∴90DEM DME ∠+∠=︒，∵正方形ABCD 沿EF Z 折叠，∴90EMB BAE '∠=∠=︒，∴90CMG DME ∠+∠=︒，∴DEM CMG ∠=∠，∴EDM MCG ；(2)∵正方形ABCD 的边长为4，13DM CD =， ∴43DM =，83CM =， 设AE x =，则EM x =，4DE x =-，由勾股定理得：222DM DE EM +=， ∴2224()(4)3x x +-=， 解得：209x =， ∴2016499DE =-=， ∵EDM MCG ，∴DE DM CM CG=，即1649383CG =， 解得：2CG =；(3)如图，过点F 作FN AD ⊥于N ，∴90FNA DAB ABC ∠=∠=∠=︒，∴四边形ABFN 是矩形，∴4FN AB CD AD ====，由折叠的性质可得：EF AM ⊥，∴90EAM AMD EAM AEF ∠+∠=︒=∠+∠，∴AEF AMD ∠=∠，∵90D ENF ∠=∠=︒，∴()ADM FNE AAS ≅，∴DM EN =，设DM EN a ==，DE b =，∵222EM DE DM =+，即222(4)b a b -=+， ∴2482a b =-，ENF CDNF CDEF S S S =-矩形四边形，14()42a b a =⨯+-⨯⨯， 24a b =+，21282a a =-++， 21(2)102a =--+， ∴当2a =时，S 有最大值为10．【点睛】本题考查几何综合题，主要涉及到折叠的性质，正方形的性质，相似三角形性的判定与性质，全等三角形的判定与性质以及二次函数最值问题，属于中考压轴题，掌握相关知识点间的应用是解题的关键．2、 (1)直线x ＝1，（0，0）(2)①y 1＜y 2，理由见解析；②﹣1＜n ＜﹣15【解析】【分析】（1）由对称轴公式即可求得抛物线的对称轴，令x ＝0，求得函数值，即可求得抛物线与y 轴的交点坐标；（2）①由n ＜﹣5，可得点A ，点B 在对称轴直线x ＝1的左侧，由二次函数的性质可求解；（3）分两种情况讨论，列出不等式组可求解．(1)∵y ＝﹣12x 2+x ，∴对称轴为直线x＝﹣112()2⨯-＝1，令x＝0，则y＝0，∴抛物线与y轴的交点坐标为（0，0）；(2)xA﹣xB＝（3n+4）﹣（2n﹣1）＝n+5，xA﹣1＝（3n+4）﹣1＝3n+3＝3（n+1），xB﹣1＝（2n﹣1）﹣1＝2n﹣2＝2（n﹣1）．①当n＜﹣5时，xA﹣1＜0，xB﹣1＜0，xA﹣xB＜0．∴A，B两点都在抛物线的对称轴x＝1的左侧，且xA＜xB，∵抛物线y＝﹣12x2+x开口向下，∴在抛物线的对称轴x＝1的左侧，y随x的增大而增大．∴y1＜y2；②若点A在对称轴直线x＝1的左侧，点B在对称轴直线x＝1的右侧时，由题意可得3412111(34)(21)1nnn n+<⎧⎪->⎨⎪-+<--⎩，∴不等式组无解，若点B在对称轴直线x＝1的左侧，点A在对称轴直线x＝1的右侧时，由题意可得：3412111(21)341nnn n+>⎧⎪-<⎨⎪-->+-⎩，∴﹣1＜n＜﹣15，综上所述：﹣1＜n＜﹣15．【点睛】本题考查了抛物线与y 轴的交点，二次函数的性质，一元一次不等式组的应用，利用分类讨论思想解决问题是本题的关键．3、 (1)y =x 2-2x -3；（1，-4）；(2)（-2，5）或（4，5）【解析】【分析】（1）把A 、B 两点坐标代入抛物线解析式，利用待定系数法可求得其解析式，再化为顶点式即可求得其顶点坐标；（２）设P （x ，y ），根据三角形的面积公式以及S △PAB =10，即可算出y 的值，代入抛物线解析式即可得出点P 的坐标．(1)∵抛物线y =x 2+bx +c 经过A （-1，0）、B （3，0）两点，∴10930b c b c -=⎧⎨=⎩＋＋＋，解得23b c =-⎧⎨=-⎩， ∴抛物线解析式为y =x 2-2x -3=()214x --，∴顶点坐标为（1，-4）；(2)∵A （-1，0）、B （3，0），∴AB =4．设P （x ，y ），则S △PAB =１２AB •|y |=2|y |=10，∴|y |=5，∴y =±5．①当y =5时，x 2-2x -3=5，解得：x 1=-2，x 2=4，此时P 点坐标为（-2，5）或（4，5）；②当y =-5时，x 2-2x -3=-5，方程无解；综上所述，P 点坐标为（-2，5）或（4，5）．【点睛】本题考查了二次函数的综合问题，涉及待定系数法求函数解析式、三角形的面积公式以及二次函数图象上点的坐标特征，熟练掌握有关知识点是解题的关键．4、 (1)y ＝﹣2x +2x +3(2)①0＜y ＜4；②x ≤0或x ≥2【解析】【分析】（1）把点的坐标代入解析式，转化为a ，c 的二元一次方程组，求解即可；（2）根据函数的解析式，求得函数值，结合函数图像，利用函数的增减性解答即可．(1)∵y ＝a 2x ＋2x ＋c 的图象经过A （﹣1，0），C （0，3），∴203a c c -+=⎧⎨=⎩， 解得：13a c =-⎧⎨=⎩． ∴该二次函数的解析式为y ＝﹣2x +2x +3．(2)①∵当x ＝﹣1时，y ＝0，当x ＝2时，y ＝3，又∵y ＝﹣2x +2x +3＝﹣2(1)x -+4，故当x ＝1时函数有最大值4，∴结合图象，5、 (1)该抛物线解析式为：21322y x x =-++ (2)P 的坐标为(0，32)或(2，32) (3)PQ 直线解析式3922y x =-或3571111y x =- 【解析】【分析】 （1）根据待定系数法求抛物线解析式，将()1,0A -和点()3,0B 代入解析式得出221(1)0213302b c b c ⎧-⨯--+=⎪⎪⎨⎪-⨯++=⎪⎩．解方程组即可； （2）根据抛物线是向下平移了3个单位，得出PP′⊥x 轴，'3PP =．根据'OP OP =，可得x 轴是PP′的垂直平分线，得出点P 与点P′关于x 轴对称，可求点P 的纵坐标为32当32y =时，2133222x x -++=．解方程即可； （3）详解方程组231322y x y x x =-⎧⎪⎨=-++⎪⎩求出Q (-3，-6)或(3，0)，分两种情况当Q (3，0)， CAB AQP ∠=∠即AC//PQ ，用待定系数法求出AC 解析式为3322y x =+，利用过点Q 与AC平行待定系数法求PQ 解析式PQ 直线解析式3922y x =-；当Q (-3，-6) 过A 作AM ⊥PQ 于M ，过M 作MN ⊥x 轴于N ，过Q 作QL ⊥MN 于L ，可证MAN ∽△QML 利用性质得出3tan 2MN AN AM AQP QL ML QM ===∠=，设AN =3m ，ML =2m ，MN =3n ，QL =2n ，NL =MN +ML =6,QL -AN =3-1=2，列方程组326232n m n m +=⎧⎨-=⎩，求出点M （5661313-，），用待定系数法设PQ 解析式3571111y x =-即可． (1) 根据待定系数法求抛物线解析式，将()1,0A -和点()3,0B 代入解析式 得221(1)0213302b c b c ⎧-⨯--+=⎪⎪⎨⎪-⨯++=⎪⎩． 解得132b c =⎧⎪⎨=⎪⎩． 则该抛物线解析式为：21322y x x =-++； (2)解： ∴抛物线是向下平移了3个单位，PP′⊥x 轴，'3PP =．'OP OP =，∴x 轴是PP′的垂直平分线，∴点P 与点P′关于x 轴对称，∴点P 的纵坐标为32， ∴当1y =时，2133222x x -++=． 10x ∴=，22x =；P ∴的坐标为(0， 32)或(2， 32)；(3) 解231322y x y x x =-⎧⎪⎨=-++⎪⎩， 解得：33,06x x y y ==-⎧⎧⎨⎨==-⎩⎩， 得Q (-3，-6)或(3，0)当Q (3，0)， CAB AQP ∠=∠即AC//PQ ，，设AC 解析式为y kx b =+将A 、C 坐标代入解析式得： 032k b b -+=⎧⎪⎨=⎪⎩， 解得3232k b ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩， ∴AC 解析式为3322y x =+， ∴过点Q （3，0）与AC 平行的解析式中k =32，设PQ解析式为32y x m=+过点Q，代入坐标得，3 032m=⨯+，解得92m=-，∴PQ直线解析式3922y x=-；当Q(-3，-6) ，过A作AM⊥PQ于M，过M作MN⊥x轴于N，过Q作QL⊥MN于L，∴∠NAM+∠AMN=90°，∠AMN+∠LMQ=180°-∠AMQ=180°-90°=90°，∴∠NAM=∠LMQ，∴△MAN∽△QML，∴3tan2 MN AN AMAQPQL ML QM===∠=，设AN=3m，ML=2m，MN=3n，QL=2n，NL=MN+ML=6,QL-AN=3-1=2，∴326232n m n m +=⎧⎨-=⎩， 解得6132213m n ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩， ∴AN =61831313⨯=，ON =AN -AO =18511313-=，MN =226631313⨯=， ∴点M （5661313-，）， 设PQ 解析式y px q =+，过点M 与点Q （-3，-6），665131363p q p q⎧-=+⎪⎨⎪-=-+⎩， 解得3115711p q ⎧=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩， 解得3571111y x =-， ∴PQ 解析式为3922y x =-或3571111y x =-．【点睛】本题考查待定系数法求一次函数，二次函数解析式，抛物线平移，等腰三角形性质，轴对称性质，解一元二次方程，三角形相似判定与性质，锐角三角函数，二元一次方程组，一次函数图像平行性质，掌握以上知识是解题关键．。
第26章 二次函数 华东师大版九年级数学下册达标测试卷(含答案)
第26章二次函数达标测试卷一、选择题(每题3分，共24分)1．下列函数中，是二次函数的是()A．y＝5x2B．y＝22－2x C．y＝2x2－3x3＋1 D．y＝1 x22．抛物线y＝3(x－1)2＋8的顶点坐标为()A．(1，8) B．(－1，8) C．(－1，－8) D．(1，－8) 3．某商场第1年销售计算机5 000台，设平均每年的销售量增长率为x，第3年的销售量为y台，则y关于x的函数表达式为()A y＝5 000(1＋2x)B y＝5 000(1＋x)2C y＝5 000(1－2x)D y＝5 000(1－x)2 4．在平面直角坐标系中，抛物线y＝2x2保持不动，将x轴向上平移1个单位(y轴不动)，则在新坐标系下抛物线的表达式是()A．y＝2x2＋1 B．y＝2x2－1 C．y＝2(x－1)2D．y＝2(x＋1)2 5．已知点A(2，y1)、B(3，y2)、C(－1，y3)均在抛物线y＝ax2－4ax＋c(a ＞0)上，则y1、y2、y3的大小关系为()A．y1＜y2＜y3B．y1＜y3＜y2 C．y2＜y1＜y3D．y2＜y3＜y1 6．二次函数y＝ax2与一次函数y＝ax＋a在同一坐标系中的大致图象为()7．若二次函数y＝－x2＋mx在－2≤x≤1时的最大值为5，则m的值是()A．－2 5或6 B．2 5或6 C．－92或6 D．－92或－2 5 8．如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝13x2经过平移得到抛物线y＝ax2＋bx，其对称轴与两段抛物线所围成的阴影部分的面积为83，则a，b的值分别为()A.13，43 B.13，－23 C.13，－43D．－13，43(第8题) (第13题) (第14题)二、填空题(每题3分，共18分)9．已知点P⎝ ⎛⎭⎪⎫a，12在抛物线y＝2x2上，则a等于________．10．抛物线y＝x2＋6x＋c与x轴有且只有1个公共点，则c＝________．11．某小型无人机着陆后滑行的距离s(米)关于滑行的时间t(秒)的函数表达式是s＝－0.25t2＋10t，那么无人机着陆后滑行__ _秒才能停下来．12．已知二次函数y＝ax2＋bx＋c，x与y的部分对应值如下表：则不等式ax2＋bx＋c＞－3的解集为________．13．如图，过点A(0，4)作平行于x轴的直线AC，分别交抛物线y1＝x2(x≥0)与y2＝14x2(x≥0)于点B、C，则BC的长是________．14．二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象如图所示，则下列结论：①ac＜0；②a＋b＝0；③a＋b＋c＞0；④b2－4ac＜0.其中正确的是___(填序号)三、解答题(第15，16题每题5分，第17～19题每题6分，第20，21题每题8分，第22题10分，其余每题12分，共78分)15．一抛物线以(－1，9)为顶点，且经过x轴上一点(－4，0)，求该抛物线的表达式及抛物线与y轴的交点坐标．16．如图，二次函数y＝－x2＋bx＋c的图象经过坐标原点，且与x轴交于点A(－2，0)．(1)求此二次函数的表达式；(2)结合图象，直接写出满足y＞0的x的取值范围．(第16题)17．一名男生推铅球，铅球行进高度y(m)与水平距离x(m)之间满足关系式y＝－112x2＋23x＋53.(1)求铅球离手时的高度；(2)求铅球推出的最大距离．18．在平面直角坐标系中，二次函数y＝－2x2＋bx＋c的图象经过点A(－2，4)和点B(1，－2)．(1)求这个二次函数的表达式及其图象的顶点坐标；(2)平移该二次函数的图象，使其顶点恰好落在原点的位置上，请直接写出平移方法．19．某网店正在热销一款电子产品，其成本为每件10元，销售过程中发现，该商品每天的销量y(件)与销售单价x(元)之间存在如图所示的函数关系．(1)求y与x之间的函数关系式；(2)该款电子产品的销售单价为多少时，每天的销售利润最大？最大利润是多少？(第19题)20．如图，已知抛物线y＝ax2＋(a－1)x＋3(a≠0)与x轴交于A、B(1，0)两点，与y轴交于点C.(1)点C的坐标为________；(2)将抛物线y＝ax2＋(a－1)x＋3平移，使平移后的抛物线仍经过点B，与x轴的另一个交点为B′，且点B′的坐标为(3，0)，求平移后的抛物线的表达式．(第20题) 21．现有一面12米长的墙，某农户计划用28米长的篱笆靠墙围成一个如图所示的矩形养鸡场ABCD.(1)若矩形养鸡场的面积为90平方米，求所用的墙长AD；(2)求矩形养鸡场的最大面积．(第21题)22．如图，矩形OABC的顶点A、C的坐标为A(2 3，0)、C(0，2)，抛物线y＝－x2＋bx＋c经过点B、C.(1)求该抛物线的表达式；(2)将矩形OABC绕原点O顺时针旋转一个角度α(0°＜α＜90°)，在旋转过程中，当矩形的顶点A的对应点A′落在抛物线的对称轴上时，求此时点A′的坐标．(第22题)23．某班数学兴趣小组对函数y ＝x 2－2|x |的图象和性质进行了探究，探究过程如下，请补充完整．(1)自变量x 的取值范围是全体实数，x 与y 的几组对应值如下表：其中m ＝__________；(2)根据表中数据，在如图所示的平面直角坐标系中描点，并画出了函数图象的一部分，请画出该函数图象的另一部分；(3)(3)观察函数图象，写出两条函数的性质；(4)进一步探究函数图象发现：①函数图象与x 轴有__________个交点，对应的方程x 2－2|x |＝0有__________个实数根；②方程x 2－2|x |＝2有__________个实数根；③关于x 的方程x 2－2|x |＝a 有4个实数根时，a 的取值范围是__________．(第23题)答案一、1.A 2.A 3.B 4.B5．A 【点拨】∵y ＝ax 2－4ax ＋c ，且a ＞0， ∴图象开口向上，对称轴是直线x ＝－－4a2a ＝2， ∴x ≥2时，y 随x 的增大而增大，∵C (－1，y 3)关于直线x ＝2的对称点是(5，y 3)，2＜3＜5，∴y 1＜y 2＜y 3. 6．C7．C 【点拨】∵y ＝－x 2＋mx ，∴图象开口向下，对称轴为直线x ＝－m 2×（－1）＝m2.①当m 2≤－2，即m ≤－4时，函数在x ＝－2时取得最大值5，∴－4－2m ＝5，解得m ＝－92；②当m2≥1，即m ≥2时，函数在x ＝1时取得最大值5， ∴－1＋m ＝5，解得m ＝6.③当－2＜m 2＜1，即－4＜m ＜2时，函数在x ＝m 2时取得最大值5，∴－m 24＋m 22＝5，解得m ＝2 5(舍去)或m ＝－2 5(舍去)．综上所述，m 的值为－92或6.8．C 【点拨】如图，设平移后所得新抛物线的对称轴和两抛物线分别相交于点A 和点B ，连结OA 、OB ，(第8题)∴S 阴影＝S △OAB .由题意得a ＝13，∴y ＝ax 2＋bx ＝13x 2＋bx ＝13⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋3b 22－3b 24，∴点A 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫－3b 2，－3b 24，∴点B 的坐标为 ⎝ ⎛⎭⎪⎫－3b 2，3b 24，∴AB ＝3b 22，点O 到AB 的距离为－3b2，∴S △AOB ＝12×3b 22×⎝ ⎛⎭⎪⎫－3b 2＝83，解得b ＝－43.二、9.12或－12 10.9 11.2012．0＜x ＜2 13.2 14.①②③三、15.解：设抛物线的表达式为y ＝a (x ＋1)2＋9，将(－4，0)代入y ＝a (x ＋1)2＋9， 得0＝9a ＋9，解得a ＝－1， ∴抛物线的表达式为y ＝－(x ＋1)2＋9.令x ＝0，则y ＝8，∴抛物线与y 轴的交点坐标为(0，8)．16．解：(1)把(0，0)和(－2，0)分别代入y ＝－x 2＋bx ＋c ，得⎩⎨⎧c ＝0，－4－2b ＋c ＝0，解得⎩⎨⎧b ＝－2，c ＝0，∴二次函数的表达式为y ＝－x 2－2x . (2)－2＜x ＜0.17．解：(1)令x ＝0，则y ＝53.∴铅球离手时的高度为53 m.(2)当y ＝0时，－112x 2＋23x ＋53＝0， 解得x 1＝10，x 2＝－2(不合题意，舍去)， ∴铅球推出的最大距离是10 m.18．解：(1)∵二次函数y ＝－2x 2＋bx ＋c 的图象经过点A (－2，4)和点B (1，－2)．∴⎩⎨⎧－2×4－2b ＋c ＝4，－2×1＋b ＋c ＝－2，解得⎩⎨⎧b ＝－4，c ＝4， ∴这个二次函数的表达式为y ＝－2x 2－4x ＋4. ∵y ＝－2x 2－4x ＋4＝－2(x ＋1)2＋6， ∴顶点坐标为(－1，6)．(2)(答案不唯一)将该二次函数图象先向右平移1个单位，再向下平移6个单位． 19．解：(1)设y 与x 之间的函数关系式为y ＝kx ＋b ，将(20，100)，(25，50)代入，得 ⎩⎨⎧20k ＋b ＝100，25k ＋b ＝50，解得⎩⎨⎧k ＝－10，b ＝300， ∴y 与x 之间的函数关系式为y ＝－10x ＋300. (2)设该款电子产品的销售利润为w 元，根据题意得w ＝(x －10)(－10x ＋300)＝－10x 2＋400x －3 000＝－10(x －20)2＋1 000， ∵－10＜0，∴x ＝20时，w 最大，为1 000.答：该款电子产品的销售单价为20元时，每天销售利润最大，最大利润是1 000元． 20．解：(1)(0，3)(2)∵抛物线y ＝ax 2＋(a －1)x ＋3与x 轴交于点B (1，0)，∴a ＋a －1＋3＝0，∴a ＝－1，∴y ＝－x 2－2x ＋3.设平移后的抛物线表达式为y ＝－(x ＋h )2＋k ， ∵平移后的抛物线经过点B (1，0)和点B ′(3，0)， ∴⎩⎨⎧－（1＋h ）2＋k ＝0，－（3＋h ）2＋k ＝0，解得⎩⎨⎧h ＝－2，k ＝1， ∴平移后的抛物线表达式为y ＝－(x －2)2＋1.21．解：(1)设所用的墙长AD 为x 米，则AB 的长为28－x2米，由题意可得x ·28－x2＝90，解得x 1＝18(舍去)，x 2＝10.答：所用的墙长AD 为10米． (2)设AB 为a 米，面积为S 平方米， 则S ＝a (28－2a )＝－2(a －7)2＋98， ∵0＜28－2a ≤12，∴8≤a ＜14，∴当a ＝8时，S 取得最大值，此时S ＝96， 答：矩形养鸡场的最大面积是96平方米．22．解：(1)∵A (2 3，0)，C (0，2)，∴易得B (2 3，2)． 把点C 和点B 的坐标代入y ＝－x 2＋bx ＋c ， 得⎩⎨⎧c ＝2，－12＋2 3b ＋c ＝2，解得⎩⎨⎧b ＝2 3，c ＝2， ∴该抛物线的表达式为y ＝－x 2＋2 3x ＋2. (2)设对称轴与x 轴交于点D ，∴易得OD ＝3， 又∵OA ′＝OA ＝2 3，∴A ′D ＝（2 3）2－（3）2＝3，∴A ′(3，－3)． 23．解：(1)0 (2)如图．(3)①函数y ＝x 2－2|x |的图象关于y 轴对称；②当x ＞1时，y 随x 的增大而增大． (4)①3；3 ②2 ③－1<a <0(第23题)【点拨】(3)题答案不唯一．24. 解：(1)由题意得⎩⎨⎧a －b ＋c ＝0，16a ＋4b ＋c ＝0c ＝3，，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－34，b ＝94，c ＝3，∴抛物线对应的函数表达式为y ＝－34x 2＋94x ＋3.(2)设直线BC 对应的函数表达式为y ＝kx ＋d ，则⎩⎨⎧4k ＋d ＝0，d ＝3，解得⎩⎪⎨⎪⎧k ＝－34，d ＝3，∴y ＝－34x ＋3.设D (m ，－34m 2＋94m ＋3)(0＜m ＜4)．过点D 作DM ⊥x 轴交BC 于点M ，则M ⎝ ⎛⎭⎪⎫m ，－34m ＋3，DM ∥OC ，∴DM ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－34m 2＋94m ＋3－⎝ ⎛⎭⎪⎫－34m ＋3＝－34m 2＋3m ，∠DME ＝∠OCB ，又∵∠DEM ＝∠BOC ＝90°，∴△DEM ∽△BOC ， ∴DE OB ＝DMBC .∵OB ＝4，OC ＝3，∴BC ＝5，∴DE ＝45DM ，∴DE ＝－35m 2＋125m ＝－35(m －2)2＋125(0<m <4)．当m ＝2时，DE 取得最大值，最大值是125. (3)存在．∵F 为AB 的中点， ∴OF ＝32，∴tan ∠CFO ＝OCOF ＝2.如图，过点B 作BG ⊥BC ，交CD 的延长线于点G ，过点G 作GH ⊥x 轴，垂足为H .(第24题)①若∠DCE ＝∠CFO ，则tan ∠DCE ＝GBBC ＝2， ∴BG ＝10.易得△GBH ∽△BCO ，∴GH BO ＝HB OC ＝GBBC ，∴GH ＝8，BH ＝6，∴G (10，8)． 设直线CG 对应的函数表达式为y ＝px ＋n ，11∴⎩⎨⎧n ＝3，10p ＋n ＝8，解得⎩⎪⎨⎪⎧p ＝12，n ＝3，∴直线CG 对应的函数表达式为y ＝12x ＋3，令12x ＋3＝－34x 2＋94x ＋3，解得x ＝73或x ＝0(舍去)． ②若∠CDE ＝∠CFO ，同理可得BG ＝52，GH ＝2，BH ＝32，∴G ⎝ ⎛⎭⎪⎫112，2.易得直线CG 对应的函数表达式为y ＝－211x ＋3，令－211x ＋3＝－34x 2＋94x ＋3，解得x ＝10733或x ＝0(舍去)．综上所述，点D 的横坐标为73或10733.12。
最新整理初中数学试题试卷华东师大九年级下期二次函数单元测试卷有答案[下学期]华师大版.doc
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26.1二次函数(A 卷)(100分 60分钟)一、选择题:(每题4分,共28分)1.若函数2221()m m y m m x --=+是二次函数,那么m 的值是A.2B.-1或3C.3D.1-2.满足函数y=x 2-4x-4的一个点是( )A.(4,4)B.(3,-1);C.(-2,-8)D. 1171,24⎛⎫- ⎪⎝⎭3.无论m 为何实数,二次函数y=x 2-(2-m)x+m 的图象总是过定点( )A.(1,3)B.(1,0);C.(-1,3)D.(-1,0)4.在函数中,自变量x 的取值范围是( ) A.x≠1 B.x>0; C.x>0且x≠1 D.x≥0且x≠15.在直角坐标系中,坐标轴上到点P(-3,-4)的距离等于5的点共有( ) A.1个 B.2个 C.3个 D.4个6.在函数,自变量x 的取值范围是( )A.x>-2且x≠-3;B.x>-2且x≠3;C.x≥-2且x≠±3;D.x≥-2且x≠3 7.下列函数中,是二次函数的是( )A.y=8x 2+1 B.y=8x+1; C.y=8x D.y=28x二、填空题:(每题5分,共45分)y=-x+2x>1y=x 2-1≤x ≤1y=x+2x<-1输入x 值(1) (2) (3)8.形如_______________的函数叫做二次函数.9.如图1所示,某校小农场要盖一排三间长方形的羊圈,打算一面利用一堵旧墙, 其余各面用木棍围成栅栏,该校计划用木棍围出总长为24m 的栅栏. 设每间羊圈的B ACDx B 长为xm.(1)请你用含x 的关系式来表示围成三间羊圈所利用的旧墙的总长度L=_______,三间羊圈的总面积S=____________;(2)S 可以看成x 的_________,这里自变量x 的取值范围是_________; (3)请计算,当羊圈的长分别为2m 、3m 、4m 和5m 时,羊圈的总面积分别为_____、_____、______、______,在这些数中,x 取_____m 时,面积S 最大.10.如图2所示,长方体的底面是边长为xcm 的正方形,高为6cm,请你用含x 的代数式表示这个长方体的侧面展开图的面积S=________,长方体的体积为V=__________,各边长的和L=__________,在上面的三个函数中,_______是关于x 的二次函数.11.根据如图3所示的程序计算函数值.(1)当输入的x 的值为23时,输出的结果为________; (2)当输入的数为________时,输出的值为-4.12.如图4所示,要用总长为20m 的铁栏杆,一面靠墙, 围成一个矩形的花圃, 若设AB 的长为xm,则矩形的面积y=_______________.13.某商店将每件进价为8元的某种商品每件10元出售,一天可销出约100件. 该店想通过降低售价、增加销售量的办法来提高利润.经过市场调查,发现这种商品单价每降低0.1元,其销售量可增加10件,将这 种商品的售价降低x 元时, 则销售利润y=_________.14.函数中,自变量x 的取值范围是___________.15.y=(m 2-2m-3)x 2+(m-1)x+m 2是关于x 的二次函数要满足的条件是_______.16.如图5所示,有一根长60cm 的铁丝,用它围成一个矩形,写出矩形面积S(cm 2)与它的一边长x(cm)之间的函数关系式____________. 三、解答题:(27分)17.(12分)心理学家发现,在一定的时间范围内,学生对概念的接受能力y 与提出概念所用的时间x(单位:分钟)之间满足函数关系y=-0.1x 2+2.6x+43(0≤x≤30),y的值越大,表示接受能力越强.(1)若用10分钟提出概念,学生的接受能力y 的值是多少?(2)如果改用8分钟或15分钟来提出这一概念,那么与用10分钟相比,学生的接受能力是增强了还是减弱了?通过计算来回答.18.(15分)已知正方形的周长是Ccm,面积是Scm 2.(1)求S 与C 之间的函数关系式;(2)当S=1cm 2时,求正方形的边长;(3)当C 取什么值时,S≥4cm 2?BRACD PGl26.1 二次函数(B 卷)(100分 90分钟)一、学科内综合题:(每题6分,共18分)1.如图所示,在直角梯形ABCD 中,∠A=∠D=90°,截取AE=BF=DG=x.已知AB=6,CD=3,AD=4.求四边形CGEF 的面积S 关于x 的函数表达式和x 的取值范围.x x BF ACD E x G2.如图所示,在△ABC 中是AC 上与A 、C 不重合的一个动点,过P 、B 、C 的⊙O 交AB 于D.设PA=x,PC 2+PD 2=y,求y 与x 的函数关系式,并确定x 的取值范围.3.如图所示,有一边长为5cm 的正方形ABCD 和等腰三角形PQR,PQ= PR= 3cm, QR=8cm,点B 、C 、Q 、R 在同一条直线L 上,当C 、Q 两点重合时,等腰三角形PQR 以1cm/ 秒的速度沿直线L 按箭头所示的方向开始匀速运动,t 秒后正方形ABCD 与等腰△PQR重合部分的面积为Scm 2.解答下列问题:(1)当t=3时,求S 的值;(2)当t=5时,求S 的值;(3)当5≤t≤8时,求S 与t 之间的函数关系式.BRA CD PQ lB HRAC D PQ G l二、学科间综合题:(7分)4.一个人的血压与其年龄及性别有关,对女性来说,正常的收缩压p(毫米汞柱) 与年龄x(岁)大致满足关系式p=0.01x 2+0.05x+107;对男性来说,正常的收缩压p( 毫米汞柱)与年龄x(岁)大致满足关系式p=0.006x 2-0.02x+120.(1)利用公式计算你的收缩压;(2)如果一个女性的收缩压为120毫米汞柱,那么她的年龄大概是多少岁?(1毫米汞柱=133.3224帕)(3)如果一个男性的收缩压为130毫米汞柱,那么他的年龄大概是多少岁?三、应用题:(每题9分,共36分)5.如图所示,在矩形ABCD中,AB=6厘米,BC=12厘米,点P在线段AB上,P从点A 开始沿AB边以1厘米/秒的速度向点B移动.点E为线段BC的中点,点Q从E点开始,沿EC以1厘米/秒的速度向点C移动.如果P、Q同时分别从A、E出发,写出出发时间t与△BPQ的面积S的函数关系式,求出t的取值范围.QA6.某化工材料经销公司购进了一批化工原料共7000千克, 购进价格为每千克30元.物价部门规定其销售单价不得高于每千克70元,也不得低于30元.市场调查发现,单价定为70元时,日均销售60千克;单价每降低1元,每天多售出2千克. 在销售过程中,每天还要支出其他费用500元(天数不足一天时,按一天计算).设销售单价为x元,日均获利为y元.请你求出y关于x的二次函数关系式,并注明x的取值范围.7.某商场以每件30元的价格购进一种商品,试销中发现,这种商品每天的销售量m(件)与每件的销售价x(元)满足一次函数关系m=162-3x. 请写出商场卖这种商品每天的销售利润y(元)与每件销售价x(元)之间的函数关系式.8.某公司试销一种成本单价为500元/件的新产品, 规定试销时的销售单价不低于成本单价,又不高于800元/件.试销时,发现销售量y(件)与销售价x(元/件)的关系可近似看作一次函数y=kx+b(k≠0),如图所示.(1)根据图象,求一次函数y=kx+b的表达式;(2)设公司获得的毛利润(毛利润=销售总价-成本总价)为S元, 试用销售单价表示毛利润S./件)四、创新题:(每题10分,共20分) (一)教材中的变型题9.(教材P4第3题变题)已知二次函数y=ax 2+(km+c),当x=3时,y=15;当x=-2时,y=5,试求y 与x 之间的函数关系式.(二)多变题10.如图所示,在边长为4的正方形EFCD 上截去一角,成为五边形ABCDE, 其中AF=2,BF=1,在AB 上取一点P,设P 到DE 的距离PM=x,P 到CD 的距离PN=y,试写出矩形PMDN 的面积S 与x 之间的函数关系式.FEB ACD PN五、中考题:(19分)11.(2002,昆明,8分)某广告公司设计一幅周长为12米的矩形广告牌, 广告设计费为每平方米1000元,设矩形一边长为x 米,面积为S 平方米.(1)求出S 与x 之间的函数关系式,并确定自变量x 的取值范围.(2)为使广告牌美观、大方,要求做成黄金矩形,请你按要求设计,并计算出可获得的设计费是多少?(精确到元)12.(2004,黄冈,11分)心理学家研究发现,一般情况下, 学生的注意力随着老师讲课时间的变化而变化,讲课开始时,学生的注意力逐步增强, 中间有一段时间学生的注意力保持较为理想的状态,随后学生的注意力开始分散.经过实验分析可知, 学生的注意力y 随时间t 的变化规律有如下关系式:224100(0100)240(1020)7380(2040)t y t y t t t ⎧-++<≤⎪=<≤⎨⎪-+<≤⎩(1)讲课开始后第5分钟时与讲课开始后第25分钟时比较, 何时学生的注意力更集中?(2)讲课开始后多少分钟,学生的注意力最集中?能持续多少分钟?(3)一道数学难题,需要讲解24分钟,为了效果较好,要求学生的注意力最低达到180,那么经过适当安排,老师能否在学生注意力达到所需的状态下讲解完这道题目?26.1 二次函数(C 卷)(30分 45分钟)一、实践题:(10分)1.某高科技发展公司投资500万元,成功研制出一种市场需求量较大的高科技替代产品,并投入资金1500万元进行批量生产.已知生产每件产品的成本为40元, 在销售过程中发现,当销售单价定为100元时,年销售时为20万件;销售单价每增加10元, 年销售量将减少1万件.设第一年销售单价为x 元,销售量为y 万件,获利(年获利=年销售额-生产成本-投资)为z 万元.(1)试写出y 与x 之间的函数关系式;(不必写出x 的取值范围) (2)试写出z 与x 之间的函数关系式;(不必写出x 的取值范围)(3)计算销售单价为160元时的获利,并说明同样的获利,销售单价还可以定为多少元?相应的销售量分别为多少万件?二、竞赛题:(每题10分,共20分)2.已知:如图所示,BD 为⊙O 的直径,且BD=8,¼DM是圆周的14,A 为¼DM 上任意一点, 取AC=AB,交BD 的延长线于C,连结OA,并作AE⊥BD 于E,设AB=x,CD=y. (1)写出y 关于x 的函数关系式; (2)当x 为何值时,CA 是⊙O 的切线?(3)当CA 与⊙O 相切时,求tan∠OAE 的值.EBM ACD O3.如图所示,△ABC 中,BC=4,∠B=45°,AB=,M 、N 分别是AB 、AC 上的点,MN∥BC.设MN=x,△MNC 的面积为S.(1)求出S 与x 之间的函数关系式,并写出自变量x 的取值范围.(2)是否存在平行于BC 的线段MN,使△MNC 的面积等于2?若存在,请求出MN 的长; 若不存在,请说明理由.二次函数A 卷答案:一、1.C 2.D 3.C 4.D 5.C 6.D 7.A二、8.y=ax 2+bx+c(a 、b 、c 为常数,a≠0)9.(1)-4x+24;-4x 2+24x (2)二次函数;0<x<6(3)32m 2;36m 2;32m 2;20m 2;310.24x;6x 2;8x+24;V=6x 211.(1)49 (2)6或-6 12.y=-2x 2+20x(0<x<10)13.y=-100x 2+100x+200(0≤x≤2) 14.x>3且x≠5 15.m≠-1且m≠316.S=-x 2+30x(0<x<30)三、17.解:(1)当x=10时,y=-0.1x 2+2.6x+43=-0.1×102+2.6×10+43=59.(2)当x=8时,y=0.1x 2+2.6x+43=-0.1×82+2.6×8+43=57.4, ∴用8分钟与用10分钟相比,学生的接受能力减弱了;当x=15时,y=-0.1x 2+2.6x+43=-0.1×152+2.6×15+43=59.5. ∴用15分钟与用10分钟相比,学生的接受能力增强了.18.解:(1)S=221416C C ⎛⎫= ⎪⎝⎭(2)当S=1时,由 2116S C =,得1=2116C , ∴C=4或C=-4(舍去).∴C=4,∴正方形边长为1cm.(3)∵S=2116C ,∴欲使S≥4,需2116C ≥4,∴C 2≥64.∴C≥8或C≤-8(舍去), ∴C≥8.B 卷答案: 一、1.解:S=S 梯形ABCD -S △EGD -S △EFA -S △BCF=12×(3+6)×4-12x(4-x)- 12x(6-x)-12×4x=x 2-7x+18∵0 30 40 60 xxxx>⎧⎪->⎪⎨->⎪⎪->⎩∴0<x<3,故S=x2-7x+18(0<x<3).2.解:∵AB=∴AB22 =48,AC2=62=36,BC2)2=12.∴AB2=AC2+BC2.∴△ABC为直角三角形,且∠A=30°.连结PB,则PB为⊙O的直径.∴PD⊥AB.∵在Rt△APD中,∠A=30°,PA=x,∴PD=12x,∴y=PC2+PD2=(6-x)2+22x⎛⎫⎪⎝⎭=254x-12x+36(0<x<6).3.解:(1)作PE⊥QR于E,∵PQ=PR,∴QE=RE=12QR=12当t=3时,QC=3,设PQ 与DC相交于点G.∵PE∥DC,∴△QCG∽△QEP,∴234QEPSS∆⎛⎫= ⎪⎝⎭,∵S△QEP=12×4×3=6,∴S=2327648⎛⎫⨯=⎪⎝⎭(cm2)(2)当t=5时,CR=3.设PR与DC交于G,由△RCG∽△REP可求出S△RCG=278,∴S=S△PBR-S△RCG=12-278=698(cm2)(3)当5≤t≤8时,如答图所示,QB=t-5,RC=8-t. 设PQ 交AB 于点H,由△QBH ∽△QEP,得S △QBH =23(5)8t -.设PR 交CD 于G,由△PCG∽△REP,得S △RCG =38(8-t)2.∴S=12-23(5)8t --23(8)8t -=2339171448t t -+-即关系式为S=2339171448t t -+-.二、4.解:(1)根据解答者的性别、年龄实事求是地代入即可.(2)把p=120代入p=0.01x 2+0.05x+107,得120=0.01x 2+0.05x+107.解得x 1≈-39(舍去),x 2=34. 故该女性的年龄大约为34岁.(3)把p=130代入p=0.006x 2-0.02x+120,得130=0.006x 2-0.02x+120. 解得x 1≈-39(舍去),x 2=43. 故该男性的年龄大约为43岁. 三、5.解:∵PB=6-t,BE+EQ=6+t,∴S=12PB ·BQ=12PB ·(BE+EQ)= 12(6-t)(6+t)=-12t 2+18.∴S=-12t 2+18(0≤t≤6).6.解:若销售单价为x 元,则每千克降低(70-x)元,日均多销售出2(70-x)千克,日均销售量为[60+2(70-x)]千克,每千克获利(x-30)元.依题意,得 y=(x-30)[60+2(70-x)]-500 =-2x2+260x-6500(30≤x≤70). 即y=-2x2+260x-6500(30≤x≤70).7.解:由题意,得每件商品的销售利润为(x-30)元,那么m 件的销售利润为y=m(x-30).又∵m=162-3x,∴y=(x -30)(162-3x),即y=-3x 2+252x-4860.∵x -30≥0,∴x≥30.又∴m≥0,∴162-3x≥0,即x≤54. ∴30≤x≤54.∴所求关系式为y=-3x 2+252x-4860(30≤x≤54).8.解:(1)由图象可知,当x=600时,y=400;当x=700时,y=300,代入y=kx+b中,得400600 300700k bk b=+⎧⎨=+⎩解得k=-1,b=1000∴y=-x+1000(500≤x≤800)(2)销售总价=销售单价×销售量=xy,成本总价=成本单价×销售量=500y,代入毛利润公式,得S=xy-500y=x(-x+1000)-500(-x+1000)=-x2+1500x-500000.∴S=-x2+1500x-500000(500≤x≤800)四、(一)9.解:把x=3,y=15;x=-2,y=5分别代入y=ax2+(xm+c),得9()15 4()5 a km ca km c++=⎧⎨++=⎩解得a=2,km+c=-3, ∴y=2x2-3.(二)10.解:如答图,S矩形PNDM=xy,且2≤x≤4.延长NP交EF于G,显然PG∥BF.故PG AGBF AF=,即4212y x--=,∴y=-12x+5,∴S=xy=-12x2+5x,即S=-12x2+5x(2≤x≤4).五、11.解:(1)由矩形的一边长为x米,得另一边长为1222x-⎛⎫⎪⎝⎭米,即(6-x)米,∴S=x(6-x)=-x2+6x,即S=-x2+6x,其中0<x<6.(2)设此黄金矩形的长为x米,宽为y米,则由题意,得2()6x y x yx y⎧=+⎨+=⎩,解得39xy⎧=⎪⎨=-⎪⎩即当把矩形的长设计为3米时,矩形将成为黄金矩形,此时S=xy=(3)(9-2);可获得的设计费为2)×1000≈8498(元).12.解:(1)当t=5时,y=195,当t=25时,y=205.∴讲课开始后第25分钟时学生的注意力比讲课开始后第5分钟时更集中.(2)当0<t≤10时,y=-t 2+24t+100=-(t-12)2+244,该图的对称轴为t=12, 在对称轴左侧,y 随x 的增大而增大,所以,当t=10时,y 有最大值240.当10<t≤20时,y=240.当20<t≤40时,y=-7t+380,y 随x 的增大而减小,故此时y<240.所以,当t=20时,y 有最大值240.所以,讲课开始后10分钟时,学生的注意力最集中,能持续10分钟.(3)当0<t≤10,令y=-t 2+24t+100=180,∴t=4.当20<t≤40时,令=-7t+380=180,∴t=28.57.所以,老师可以经过适当安排,能在学生注意力达到所需的状态下讲解完这道题目.二次函数C 卷答案: 一、1.解:(1)y=20-10010x -×1=-0.1x+30. (2)z=y ·x-40y-500-1500=(30-0.1x)x-40(30-0.1x)-2000=30x-0.1x 2-1200+4x-2000=-0.1x 2+34x-3200.(3)当x=160时,z=-0.1x 2+34x-3200=-0.1×1602+34×160-3200=-320.把z=- 320代入z=-0.1x 2+34x-3200,得-320=-0.1x 2+34x-3200,x 2-340x+28800=0,∴(x -160) (x-180)=0.∴x=160或x=180.当x=160时,y=-0.1x+30=-0.1×160+30=14(万件);当x=180时,y=-0.1x+30=-0.1×180+30=12(万件).二、2.解:(1)∵OA=OB,AB=AC,∴△AOB 和△ABC 是等腰三角形.∴∠B=∠BAO=∠C.∴△AOB∽△BAC. ∴AB OB BC AB=, 即 48x y x =+, ∴y=2184x - ∵A 为¼MD上任意一点,BM≤AB≤BD,而==∴∴y=2184x - ( (2)若OA⊥CA,则AC 为⊙O 的切线,即当OC 2=OA 2+AC 2时,OA⊥CA,∴(4+y)2=42+ x 2,即y 2+8y=x 2.由y=14x 2-8和y 2+8y=x 2两式可得y=4,∴x=即当时,CA 是⊙O 的切线.(3)由(2)得是⊙O 的切线,此时y=4,而OE=BE-OB=12∴tan∠OAE=OE AE ==. 3.解:(1)过点A 作AD⊥BC 于D,则有×sin450=32=. 设△MNC 的MN 边上的高为h,∵MN∥BC,∴343x h -=. ∴h=1234x -, ∴S=12MN ·h=21123332482x x x x -=-+g , 即S=23382x x -+ (0<x<4). (2)若存在这样的线段MN,使S △MNC =2,则方程 23382x x -+=2必有实根, 即3x 2-12x+16=0 必有实根.但△=(-12)2-4×3×16=-48<0,说明此方程无实根,所以不存在这样的线段MN.。
华东师大版九年级下册数学试题：第26章二次函数单元测试卷A
如果别人思考数学的真理像我一样深入持久，他也会找到我的发现。
——高斯绝密★启用前二次函数单元测试卷A题号一二三总分得分注意事项：1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息2．请将答案正确填写在答题卡上第Ⅰ卷（选择题）请点击修改第I卷的文字说明评卷人得分一．选择题（共10小题，3*10=30）1．下列函数中，y关于x的二次函数是（）A．y=ax2+bx+c B．y=x（x﹣1）C．D．y=（x﹣1）2﹣x22．将二次函数y=x2+4x+3化成顶点式，变形正确的是（）A．y=（x﹣2）2﹣1 B．y=（x+1）（x+3）C．y=（x﹣2）2+1 D．y=（x+2）2﹣1 3．抛物线y=﹣（x+1）2+3有（）A．最大值3 B．最小值3 C．最大值﹣3 D．最小值﹣34．如图，函数y=ax2﹣2x+1和y=ax﹣a（a是常数，且a≠0）在同一平面直角坐标系的图象可能是（）A．B． C．D．5．若A（﹣4，y1），B（﹣3，y2），C（1，y3）为二次函数y=x2﹣4x+m的图象上的三点，则y1，y2，y3的大小关系是（）A．y1＜y2＜y3B．y3＜y2＜y1C．y3＜y1＜y2D．y1＜y3＜y26．已知二次函数y=ax2+bx+c中，函数y与自变量x的部分对应值如表，则方程ax2+bx+c=0的一个解的范围是（）x 6.17 6.18 6.19 6.20y﹣0.03﹣0.010.020.04A．﹣0.01＜x＜0.02 B．6.17＜x＜6.18 C．6.18＜x＜6.19 D．6.19＜x＜6.207．若二次函数y=（x﹣m）2﹣1．当x≤1时，y随x的增大而减小，则m的取值范围是（）A．m=1 B．m＞1 C．m≥1 D．m≤18．二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象如图，给出下列四个结论：①b2﹣4ac＞0；②4a﹣2b+c＜0；③3b+2c＜0；④m（am+b）＜a﹣b（m≠﹣1），其中正确结论的个数是（）A．4个B．3个C．2个D．1个9．二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的部分图象如图，图象过点（﹣2，0），对称轴为直线x=1，下列结论：①abc＜0；②2a﹣b=0；③b2﹣4ac＞0；④无论m为何值时，总有am2+bm ≤a+b；⑤9a+c＞3b，其中正确的结论序号为（）A．①②③B．①③④C．①③④⑤D．②③④10．抛物线C1：y1=mx2﹣4mx+2n﹣1与平行于x轴的直线交于A、B两点，且A点坐标为（﹣1，2），请结合图象分析以下结论：①对称轴为直线x=2；②抛物线与y轴交点坐标为（0，﹣1）；③m＞；④若抛物线C2：y2=ax2（a≠0）与线段AB恰有一个公共点，则a的取值范围是≤a＜2；⑤不等式mx2﹣4mx+2n＞0的解作为函数C1的自变量的取值时，对应的函数值均为正数，其中正确结论的个数有（）A．2个B．3个C．4个D．5个第Ⅱ卷（非选择题）请点击修改第Ⅱ卷的文字说明评卷人得分二．填空题（共8小题，3*8=24）11．若y=（m+2）x+3x﹣2是二次函数，则m的值是．12．将二次函数y=x2+6x+5化为y=a（x﹣h）2+k的形式为．13．当x=时，二次函数y=x2﹣2x+6有最小值．14．将抛物线y=﹣x2+1向右平移2个单位长度，再向上平移3个单位长度所得的抛物线解析式为．15．抛物线y=2x2﹣4x+m的图象的部分如图所示，则关于x的一元二次方程2x2﹣4x+m=0的解是．16．二次函数y=﹣x2+bx+c的部分图象如图所示，由图象可知，不等式﹣x2+bx+c＜0的解集为．17．如图，将顶点为P（1，﹣2），且过原点的抛物线y的一部分沿x轴翻折并向右平移2个单位长度，得到抛物线y1，其顶点为P1，然后将抛物线y1沿x轴翻折并向右平移2个单位长度，得到抛物线y2，其顶点为P2；…，如此进行下去，直至得到抛物线y2016，则点P2016坐标为．18．两幢大楼的部分截面及相关数据如图，小明在甲楼A处透过窗户E发现乙楼F处出现火灾，此时A，E，F在同一直线上．跑到一楼时，消防员正在进行喷水灭火，水流路线呈抛物线，在1.2m高的D处喷出，水流正好经过E，F．若点B和点E、点C和F的离地高度分别相同，现消防员将水流抛物线向上平移0.4m，再向左后退了m，恰好把水喷到F处进行灭火．评卷人得分三．解答题（共5小题，46分）19．（8分）使用五点法画出二次函数y=x2﹣2x﹣3的图象．20．（8分）抛物线y=﹣x2+bx+c经过点A（3，0）和点B（0，3），且这个抛物线的对称轴为直线l，顶点为C．（1）求抛物线的解析式；（2）连接AB、AC、BC，求△ABC的面积．21．（9分）某商人将进价为每件8元的某种商品按每件10元出售，每天可销出100件．他想采用提高售价的办法来增加利润．经试验，发现这种商品每件每提价1元，每天的销售量就会减少10件．（1）请写出售价x（元/件）与每天所得的利润y（元）之间的函数关系式；（2）每件售价定为多少元，才能使一天的利润最大？22．（9分）如图，已知抛物线y=﹣x2+bx+c与x轴交于点A（﹣1，0）和点B（3，0），与y轴交于点C，连接BC交抛物线的对称轴于点E，D是抛物线的顶点．（1）求此抛物线的解析式；（2）直接写出点C和点D的坐标；（3）若点P在第一象限内的抛物线上，且S△ABP =4S△COE，求P点坐标．注：二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的顶点坐标为（﹣，）23．（12分）如图，已知二次函数y=ax2+bx+3的图象与x轴分别交于A（1，0），B（3，0）两点，与y轴交于点C（1）求此二次函数解析式；（2）点D为抛物线的顶点，试判断△BCD的形状，并说明理由；（3）将直线BC向上平移t（t＞0）个单位，平移后的直线与抛物线交于M，N两点（点M在y轴的右侧），当△AMN为直角三角形时，求t的值．参考答案与试题解析1．解：A、当a=0时，y=bx+c不是二次函数；B、y=x（x﹣1）=x2﹣x是二次函数；C、y=不是二次函数；D、y=（x﹣1）2﹣x2=﹣2x+1为一次函数．故选：B．2．解：y=x2+4x+3=x2+4x+4﹣1=（x+2）2﹣1，故选：D．3．解：∵y=﹣（x+1）2+3，∴抛物线开口向下，∴当x=﹣1时，有最大值3，故选：A．4．解：A、由一次函数y=ax﹣a的图象可得：a＜0，此时二次函数y=ax2﹣2x+1的图象应该开口向下，故选项错误；B、由一次函数y=ax﹣a的图象可得：a＞0，此时二次函数y=ax2﹣2x+1的图象应该开口向上，对称轴x=﹣＞0，故选项正确；C、由一次函数y=ax﹣a的图象可得：a＞0，此时二次函数y=ax2﹣2x+1的图象应该开口向上，对称轴x=﹣＞0，和x轴的正半轴相交，故选项错误；D、由一次函数y=ax﹣a的图象可得：a＞0，此时二次函数y=ax2﹣2x+1的图象应该开口向上，故选项错误．故选：B．5．解：∵y=x2﹣4x+m=（x﹣2）2﹣4+m，∴该函数在x＜2时，y随x的增大减小，当x＞2时，y随x的增大而增大，∵A（﹣4，y1），B（﹣3，y2），C（1，y3）为二次函数y=x2﹣4x+m的图象上的三点，﹣4＜﹣3＜1，∴y1＞y2＞y3，即y3＜y2＜y1，故选：B．6．解：由表格中的数据看出﹣0.01和0.02更接近于0，故x应取对应的范围．故选：C．7．解：二次函数y=（x﹣m）2﹣1的对称轴为直线x=m，∵当x≤l时，y随x的增大而减小，∴m≥1，故选：C．8．解：①抛物线与x轴有两个交点，∴△＞0，①正确；②由于对称轴为x=﹣1，∴（1，0）关于直线x=﹣1的对称点为（﹣3，0），（0，0）关于直线x=﹣1的对称点为（﹣2，0），当x=﹣2时，y=0，∴4a﹣2b+c=0，故②错误；③由题意可知：=﹣1，∴2a=b，当x=1时，y＜0，∴a+b+c＜0，∴+b+c＜0，∴3b+2c＜0，故③正确；④由于该抛物线的顶点横坐标为﹣1，此时y=a﹣b+c是最大值，∴am2+bm+c＜a﹣b+c（m≠﹣1），∴m（am+b）＜a﹣b（m≠﹣1），故④正确；故选：B．9．解：①由图象可得c＞0，∵x=﹣=1，∴ab＜0，∴abc＜0，故①正确；②∵抛物线的对称轴为直线x=﹣=1，∴b=﹣2a，即2a+b=0，故②错误；③∵抛物线与x轴有两个不同的交点，∴b2﹣4ac＞0，故③正确；④当x=1时，函数有最大值，∴a+b+c≥am2+bm+c，∴am2+bm≤a+b，即无论m为何值时，总有am2+bm≤a+b．故④正确；⑤∵当x=﹣3时，y＜0，∴9a﹣3b+c＜0，即9a+c＜3b，故⑤错误；故选：B．10．解：抛物线对称轴为直线x=﹣故①正确；当x=0时，y=2n﹣1故②错误；把A点坐标（﹣1，2）代入抛物线解析式得：2=m+4m+2n﹣1整理得：2n=3﹣5m带入y1=mx2﹣4mx+2n﹣1整理的：y1=mx2﹣4mx+2﹣5m由图象可知，抛物线交y轴于负半轴，则：2﹣5m＜0即m＞故③正确；由抛物线的对称性，点B坐标为（5，2）当y2=ax2的图象分别过点A、B时，其与线段分别有且只有一个公共点此时，a的值分别为a=2、a=a的取值范围是≤a＜2；故④正确；不等式mx2﹣4mx+2n＞0的解可以看做是，抛物线y1=mx2﹣4mx+2n﹣1位于直线y=﹣1上方的部分，由图象可知，其此时x的取值范围使y1=mx2﹣4mx+2n﹣1函数图象分别位于轴上下方故⑤错误；故选：B．11．解：由题意，得m2﹣2=2，且m+2≠0，解得m=2，故答案为：2．12．解：y=x2+6x+5，=x2+6x+9﹣4，=（x2+6x+9）﹣4，=（x+3）2﹣4．故答案是：y=（x+3）2﹣4．13．解：∵y=x2﹣2x+6=（x﹣1）2+5，∴当x=1时，二次函数y=x2﹣2x+6有最小值5．故答案为：1、5．14．解：抛物线y=﹣x2+1的顶点坐标为（0，1），再把点（0，1）向右平移2个单位长度，再向上平移3个单位长度所得点的坐标为（2，4），所以平移后抛物线的解析式为y=﹣（x﹣2）2+4．故答案是：y=﹣（x﹣2）2+4．15．解：观察图象可知，抛物线y=2x2﹣4x+m与x轴的一个交点为（﹣1，0），对称轴为x=1，∴抛物线与x轴的另一交点坐标为（3，0），∴一元二次方程2x2﹣4x+m=0的解为x1=﹣1，x2=3．故本题答案为：x1=﹣1，x2=3．16．解：抛物线的对称轴为直线x=2，而抛物线与x轴的一个交点坐标为（5，0），所以抛物线与x轴的另一个交点坐标为（﹣1，0），所以不等式﹣x2+bx+c＜0的解集为x＜﹣1或x＞5．故答案为x＜﹣1或x＞5．17．解：第一次变换平移点的坐标是（3，2），第二次变换平移点的坐标是（5，﹣2），第三次变换平移点的坐标是（7，2，）第n次平移变换点的横坐标是2n+1，偶数次变换平移点的纵坐标是﹣2，奇数次变换平移点的坐标是2，点P2016坐标为（4033，﹣2），故答案为：（4033，﹣2）．18．解：由图形可知，点A（0，21.2）、D（0，1.2）、E（20，9.2）、点F的纵坐标为6.2设AE所在直线解析式为y=mx+n，则，解得：，∴直线AE解析式为y=﹣0.6x+21.2，当y=6.2时，﹣0.6x+21.2=6.2，解得：x=25，∴点F坐标为（25，6.2），设抛物线的解析式为y=ax2+bx+c，将点D（0，1.2）、E（20，9.2）、F（25，6.2）代入，得：，解得：，∴抛物线的解析式为y=﹣x2+x+=﹣（x﹣15）2+，设消防员向左移动的距离为p（p＞0），则移动后抛物线的解析式为y=﹣（x+p﹣15）2++，根据题意知，平移后抛物线过点F（25，6.2），代入得：﹣（25+p﹣15）2++=6.2，解得：p=﹣﹣10（舍）或p=﹣10，即消防员将水流抛物线向上平移0.4m，再向左后退了（﹣10）m，恰好把水喷到F 处进行灭火，故答案为：﹣10．19．解：列表如下：x…﹣10123…y…0﹣3﹣4﹣30…描点、连线即可画出函数图象，如图所示．20．解：（1）∵抛物线经过A、B（0，3）∴由上两式解得∴抛物线的解析式为：；（2）由（1）抛物线对称轴为直线x=把x=代入，得y=4则点C坐标为（，4）设线段AB所在直线为：y=kx+b解得AB解析式为：∵线段AB所在直线经过点A、B（0，3）抛物线的对称轴l于直线AB交于点D∴设点D的坐标为D将点D代入，解得m=2∴点D坐标为，∴CD=CE﹣DE=2过点B作BF⊥l于点F∴BF=OE=∵BF+AE=OE+AE=OA=∴S△ABC =S△BCD+S△ACD=CD•BF+CD•AE∴S△ABC=CD（BF+AE）=×2×=21．解：（1）根据题中等量关系为：利润=（售价﹣进价）×售出件数，列出方程式为：y=（x﹣8）[100﹣10（x﹣10）]，即y=﹣10x2+280x﹣1600（10≤x≤20）；（2）将（1）中方程式配方得：y=﹣10（x﹣14）2+360，∴当x=14时，y最大=360元，答：售价为14元时，利润最大．22．解：（1）由点A（﹣1，0）和点B（3，0）得，解得：，∴抛物线的解析式为y=﹣x2+2x+3；（2）令x=0，则y=3，∴C（0，3），∵y=﹣x2+2x+3=﹣（x﹣1）2+4，∴D（1，4）；（3）设P（x，y）（x＞0，y＞0），S△COE=×1×3=，S△ABP=×4y=2y，∵S△ABP =4S△COE，∴2y=4×，∴y=3，∴﹣x2+2x+3=3，解得：x1=0（不合题意，舍去），x2=2，∴P（2，3）．23．解：（1）将A（1，0）、B（3，0）代入y=ax2+bx+3，得：，解得：，∴此二次函数解析式为y=x2﹣4x+3．（2）△BCD为直角三角形，理由如下：∵y=x2﹣4x+3=（x﹣2）2﹣1，∴顶点D的坐标为（2，﹣1）．当x=0时，y=x2﹣4x+3=3，∴点C的坐标为（0，3）．∵点B的坐标为（3，0），∴BC==3，BD==，CD==2．∵BC2+BD2=20=CD2，∴∠CBD=90°，∴△BCD为直角三角形．（3）设直线BC的解析式为y=kx+c（k≠0），将B（3，0），C（0，3）代入y=kx+c，得：，解得：，∴直线BC的解析式为y=﹣x+3，∴将直线BC向上平移t个单位得到的直线的解析式为y=﹣x+3+t．联立新直线与抛物线的解析式成方程组，得：，解得：，，∴点M的坐标为（，），点N的坐标为（，）．∵点A的坐标为（1，0），∴AM2=（﹣1）2+（﹣0）2=，AN2=（﹣1）2+（﹣0）2=，MN2=（﹣）2+（﹣）2=18+8t．∵△AMN为直角三角形，∴分三种情况考虑：①当∠MAN=90°时，有AM2+AN2=MN2，即+=18+8t，整理，得：t+2t﹣4=0，解得：t1=﹣1，t2=﹣﹣1（不合题意，舍去）；②当∠AMN=90°时，有AM2+MN2=AN2，即+18+8t=，整理，得：t2﹣10t﹣27=0，解得：t1=5+2，t2=5﹣2（不合题意，舍去）；③当∠ANM=90°时，有AN2+MN2=AN2，即+18+8t=，整理，得：（3+t+2）=0．∵t＞0，∴该方程无解（或解均为增解）．综上所述：当△AMN为直角三角形时，t的值为﹣1或5+2．一天，毕达哥拉斯应邀到朋友家做客。
华东师大版九年级数学下册26.2.1：二次函数y=ax2的图象与性质 同步测试题(含答案)
华东师大版九年级数学下册第26章二次函数26.2 二次函数的图象与性质26.2.1 二次函数y＝ax2的图象与性质同步测试题一、选择题1.二次函数y＝x2的图象是(C)A.线段B.直线C.抛物线D.双曲线2.如图，函数y＝－2x2的图象是(C)A.①B.②C.③D.④3.对于函数y＝4x2，下列说法正确的是(B)A.当x>0时，y随x的增大而减小B.当x<0时，y随x的增大而减小C.y随x的增大而减小D.y随x的增大而增大4.已知原点是抛物线y＝(m－2)x2的最低点，则m的取值范围是(A)A.m>2B.m>－2C.m<2D.m<05.已知抛物线y＝－x2过A(－2，y1)，B(－1，y2)两点，则下列关系式一定正确的是(C)A.y1＜0＜y2B.y2＜0＜y1C.y1＜y2＜0 D.y2＜y1＜06.抛物线y＝2x2，y＝－2x2，y＝12x2共有的性质是(B)A.开口向下B.图象对称轴是y轴C.都有最低点D.y随x的增大而减小7.已知点A(－1，m)，B(1，m)，C(2，m－n)(n＞0)在同一个函数的图象上，这个函数可能是(D)A.y＝xB.y＝－2xC.y＝x2D.y＝－x28.如图，A，B为抛物线y＝x2上两点，且线段AB⊥y轴.若AB＝6，则点A的坐标为(D)A.(3，3)B.(3，9)C.(－3，3)D.(－3，9)9.二次函数y＝ax2与一次函数y＝ax＋a在同一坐标系中的大致图象可能是(D)A. B. C. D.二、填空题10.抛物线y＝－x2的开口向下，顶点坐标是(0，0)，对称轴是y轴.11.二次函数y＝(k＋2)x2的图象如图所示，则k的取值范围是k＞－2.12.下列各点：(－1，2)，(－1，－2)，(－2，－4)，(－2，4)，其中在二次函数y＝－2x2的图象上的是(－1，－2).13.已知二次函数y＝x2，当x＞0时，y随x的增大而增大(填“增大”或“减小”).14.二次函数y＝ax2(a＞0)的图象经过点(1，y1)，(2，y2)，则y1＜y2(填“＞”或“＜”).15.当－1≤x≤2时，二次函数y＝x2的最大值是4，最小值是0.16.已知二次函数y＝mxm2－1，在其图象对称轴的左侧y随x的增大而增大，则m17.下列四个二次函数：①y＝x2；②y＝－2x2；③y＝12x2；④y＝3x2，其中抛物线开口从大到小的排列顺序是③①②④.18.如图，各抛物线所对应的函数表达式分别为：①y＝ax2；②y＝bx2；③y＝cx2；④y＝dx2.比较a，b，c，d的大小，用“＞”连接为a＞b＞d＞c.19.如图，边长为2的正方形ABCD的中心在直角坐标系的原点O处，AD∥x轴，以O为顶点且过A，D两点的抛物线与以O为顶点且过B，C两点的抛物线将正方形分割成几部分，则图中阴影部分的面积是2.三、解答题20.在同一平面直角坐标系中，画出下列函数的图象.(1)y＝2x2；(2)y＝12x2.解：列表：描点、连线可得图象如图.21.已知抛物线y＝ax2经过点(1，3).(1)求a的值；(2)当x＝3时，求y的值；(3)说出此二次函数的三条性质.解：(1)∵抛物线y＝ax2经过点(1，3)，∴a＝3.(2)把x＝3代入抛物线y＝3x2，得y＝3×32＝27.(3)答案不唯一，如：抛物线的开口向上；坐标原点是抛物线的顶点；当x＞0时，y随着x的增大而增大；抛物线有最低点；当x＝0时，y有最小值，最小值是0等.22.根据下列条件求m的取值范围.(1)函数y＝(m＋3)x2，当x＞0时，y随x的增大而减小，当x＜0时，y随x的增大而增大；(2)函数y＝(2m－1)x2有最小值；(3)抛物线y＝(m＋2)x2与抛物线y＝－12x2的形状相同.解：(1)∵函数y＝(m＋3)x2，当x＞0时，y随x的增大而减小，当x＜0时，y 随x的增大而增大，∴m＋3＜0.∴m＜－3.(2)∵函数y＝(2m－1)x2有最小值，∴2m－1＞0.∴m＞1 2 .(3)∵抛物线y＝(m＋2)x2与抛物线y＝－12x2的形状相同，∴m＋2＝±1 2 .解得m＝－52或－32.23.已知二次函数y＝ax2与一次函数y＝mx＋4的图象相交于点A(－2，2)和B(n，8)两点.(1)求二次函数y＝ax2与一次函数y＝mx＋4的表达式；(2)试判断△AOB的形状，并说明理由.解：(1)∵二次函数y＝ax2的图象经过点A(－2，2).∴2＝4a，a＝1 2 .∴二次函数的表达式为y＝12x2.∵一次函数y＝mx＋4的图象经过点A(－2，2)，∴2＝－2m＋4，m＝1.∴一次函数的表达式是y＝x＋4.(2)△AOB是直角三角形.理由如下：∵点B(n，8)在一次函数y＝x＋4的图象上，∴8＝n＋4，n＝4.∴B(4，8).∵A(－2，2)，∴OA2＝22＋22＝8，OB2＝42＋82＝80，AB2＝(4＋2)2＋(8－2)2＝72. ∴OA2＋AB2＝OB2.∴△AOB为直角三角形，且∠OAB＝90°.。
九年级数学下册26.3实践与探索26.3.3二次函数的应用同步跟踪训练(含解析)华东师大版(new)
26.3。
3二次函数的应用一．选择题(共8小题)1．一个小球被抛出后，如果距离地面的高度h（米)和运行时间t（秒）的函数解析式为h=﹣5t2+10t+1,那么小球到达最高点时距离地面的高度是（）A．1米B．3米C．5米D．6米2．某公司在甲、乙两地同时销售某种品牌的汽车．已知在甲、乙两地的销售利润y（单位：万元）与销售量x（单位：辆)之间分别满足:y1=﹣x2+10x,y2=2x，若该公司在甲，乙两地共销售15辆该品牌的汽车，则能获得的最大利润为（)A．30万元B．40万元C．45万元D．46万元3．向上发射一枚炮弹,经x秒后的高度为y公尺，且时间与高度关系为y=ax2+bx．若此炮弹在第7秒与第14秒时的高度相等,则在下列哪一个时间的高度是最高的( ）A．第9。
5秒B．第10秒C．第10.5秒D．第11秒4．如图是一副眼镜镜片下半部分轮廓对应的两条抛物线关于y轴对称．AB∥x轴，AB=4cm，最低点C在x轴上，高CH=1cm,BD=2cm．则右轮廓线DFE所在抛物线的函数解析式为（）A．y=(x+3）2B．y=（x+3）2C．y=（x﹣3)2D．y=（x﹣3）25．烟花厂为国庆观礼特别设计制作一种新型礼炮，这种礼炮的升空高度h（m）与飞行时间t(s）的关系式是，若这种礼炮在点火升空到最高点处引爆,则从点火升空到引爆需要的时间为（)A．2s B．4s C．6s D．8s6一小球被抛出后,距离地面的高度h（米)和飞行时间t（秒）满足下面函数关系式：h=﹣5t2+20t﹣14，则小球距离地面的最大高度是（）A．2米B．5米C．6米D．14米7．烟花厂为成都春节特别设计制作一种新型礼炮，这种礼炮的升空高度h（m）与飞行时间t （s）的关系式是,若这种礼炮在点火升空到最高点引爆，则从点火升空到引爆需要的时间为（）A．3s B．4s C．5s D．6s8．某车的刹车距离y(m)与开始刹车时的速度x(m/s）之间满足二次函数y=（x＞0）,若该车某次的刹车距离为5m，则开始刹车时的速度为（)A．40 m/s B．20 m/s C．10 m/s D．5 m/s二．填空题（共6小题）9．如图是一个横断面为抛物线形状的拱桥，当水面宽4米时，拱顶（拱桥洞的最高点)离水面2米，水面下降1米时,水面的宽度为_________ 米．10．如图的一座拱桥，当水面宽AB为12m时，桥洞顶部离水面4m,已知桥洞的拱形是抛物线，以水平方向为x轴，建立平面直角坐标系，若选取点A为坐标原点时的抛物线解析式是y=﹣（x﹣6）2+4,则选取点B为坐标原点时的抛物线解析式是_________ ．11．某种商品每件进价为20元，调查表明：在某段时间内若以每件x元（20≤x≤30,且x为整数）出售，可卖出（30﹣x）件．若使利润最大，每件的售价应为_________ 元．12．在平面直角坐标系中，点A、B、C的坐标分别为（0，1）、(4，2）、（2，6）．如果P （x，y）是△ABC围成的区域(含边界）上的点，那么当w=xy取得最大值时，点P的坐标是_________ ．13．如图，小李推铅球，如果铅球运行时离地面的高度y(米）关于水平距离x（米）的函数解析式,那么铅球运动过程中最高点离地面的距离为_________ 米．14．某种工艺品利润为60元/件，现降价销售，该种工艺品销售总利润w（元）与降价x（元)的函数关系如图．这种工艺品的销售量为_________ 件（用含x的代数式表示）．三．解答题（共8小题）15．某机械公司经销一种零件，已知这种零件的成本为每件20元,调查发现当销售价为24元时，平均每天能售出32件，而当销售价每上涨2元,平均每天就少售出4件．(1）若公司每天的现售价为x元时则每天销售量为多少?(2）如果物价部门规定这种零件的销售价不得高于每件28元,该公司想要每天获得150元的销售利润，销售价应当为多少元？16．在2014年巴西世界杯足球赛前夕，某体育用品店购进一批单价为40元的球服，如果按单价60元销售，那么一个月内可售出240套．根据销售经验，提高销售单价会导致销售量的减少,即销售单价每提高5元,销售量相应减少20套．设销售单价为x(x≥60）元，销售量为y套．（1）求出y与x的函数关系式．（2)当销售单价为多少元时，月销售额为14000元；（3）当销售单价为多少元时，才能在一个月内获得最大利润?最大利润是多少？［参考公式:抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）的顶点坐标是］．17．某经销商销售一种产品,这种产品的成本价为10元/千克,已知销售价不低于成本价，且物价部门规定这种产品的销售价不高于18元/千克，市场调查发现，该产品每天的销售量y （千克）与销售价x（元/千克）之间的函数关系如图所示：（1)求y与x之间的函数关系式，并写出自变量x的取值范围；（2）求每天的销售利润W(元）与销售价x(元/千克）之间的函数关系式．当销售价为多少时,每天的销售利润最大？最大利润是多少?（3）该经销商想要每天获得150元的销售利润，销售价应定为多少?18．某研究所将某种材料加热到1000℃时停止加热,并立即将材料分为A、B两组，采用不同工艺做降温对比实验，设降温开始后经过x min时，A、B两组材料的温度分别为y A℃、y B℃,y A、y B与x的函数关系式分别为y A=kx+b,y B=（x﹣60）2+m（部分图象如图所示)，当x=40时，两组材料的温度相同．（1）分别求y A、y B关于x的函数关系式；(2）当A组材料的温度降至120℃时,B组材料的温度是多少?（3）在0＜x＜40的什么时刻，两组材料温差最大？19．“丹棱冻粑"是眉山著名特色小吃，产品畅销省内外，现有一个产品销售点在经销时发现：如果每箱产品盈利10元，每天可售出50箱；若每箱产品涨价1元,日销售量将减少2箱．（1）现该销售点每天盈利600元，同时又要顾客得到实惠，那么每箱产品应涨价多少元？（2）若该销售点单纯从经济角度考虑，每箱产品应涨价多少元才能获利最高?20．某企业设计了一款工艺品，每件的成本是50元，为了合理定价,投放市场进行试销．据市场调查，销售单价是100元时，每天的销售量是50件，而销售单价每降低1元，每天就可多售出5件，但要求销售单价不得低于成本．（1）求出每天的销售利润y（元）与销售单价x（元）之间的函数关系式；(2)求出销售单价为多少元时,每天的销售利润最大？最大利润是多少?（3）如果该企业要使每天的销售利润不低于4000元，且每天的总成本不超过7000元，那么销售单价应控制在什么范围内？（每天的总成本=每件的成本×每天的销售量)21．某体育用品商店试销一款成本为50元的排球，规定试销期间单价不低于成本价，且获利不得高于40％．经试销发现，销售量y（个）与销售单价x(元）之间满足如图所示的一次函数关系．（1)试确定y与x之间的函数关系式；（2)若该体育用品商店试销的这款排球所获得的利润Q元，试写出利润Q（元）与销售单价x （元）之间的函数关系式；当试销单价定为多少元时，该商店可获最大利润?最大利润是多少元？（3）若该商店试销这款排球所获得的利润不低于600元，请确定销售单价x的取值范围．22．某种商品每天的销售利润y（元）与销售单价x（元）之间满足关系：y=ax2+bx﹣75．其图象如图所示．（1）销售单价为多少元时，该种商品每天的销售利润最大？最大利润为多少元?（2)销售单价在什么范围时，该种商品每天的销售利润不低于16元?26。
最新华东师大版九年级下册数学《二次函数》期末复习卷及答案.docx
（新课标）华东师大版九年级下册期末复习试卷（二次函数）时间：120分钟 总分100分_姓名：___________班级：___________考号：___________一、选择题（10×3，本题共30分）1．已知抛物线y=x 2+x-1经过点P(m ，5)，则代数式m 2+m+2006的值为 （ ▲ ）A ．2012B ．2013C ．2014D ．20152．把二次函数243y x x =-+化成2()y a x h k =-+的形式，其结果是（ ）A ．2(2)1y x =--B ．2(2)1y x =+- C ．2(2)7y x =-+D ．2(2)7y x =++ 3．二次函数c bx ax y ++=2的图象如图所示，则一次函数a bx y +=的图象不经过（ ）.A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限4． 小明从二次函数y=ax 2+bx+c 的图象（如图）中观察得出了下面五条 信息：①c ＜0；②abc ＞0；③a-b+c ＞0；④2a-3b=0；⑤c-4b ＞0.你认为其中正确的信息是 （ ）A. ①②③⑤B. ①②③④C. ①③④⑤D. ②③④⑤5．二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c 的图象如图所示，反比例函数y ＝a x 与正比例函数y ＝（b ＋c ）x 在同一坐标系中的大致图象可能是（ ）6．如果反比例函数x ky =的图象如图所示，那么二次函数122--=x k kx y 的图象大致为（ ）xyO7．（2011广西梧州，11，3分）2011年5月22日—29日在美丽的青岛市举行了苏迪曼杯羽毛球混合团体锦标赛．在比赛中，某次羽毛球的运动路线可以看作是抛物线的一部分（如图5），其中出球点B 离地面O 点的距离是1m ，球落地点A 到O 点的距离是4m ，那么这条抛物线的解析式是8．已知二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c(a ≠0)的图象如图所示，给出以下结论：①0<abc ②当1x =时，函数有最大值。
华东师大数学九年级下第26章二次函数单元测试题有答案
华东师大版数学九年级下册第26章二次函数单元测试题一、选择题1．将二次函数y＝x2－2x＋3化为y＝(x－h)2＋k的形式，结果为( )A．y＝(x＋1)2＋4 B．y＝(x＋1)2＋2C．y＝(x－1)2＋4 D．y＝(x－1)2＋22．把抛物线y＝－x2向左平移1个单位，然后向上平移3个单位，则平移后的抛物线所对应的函数表达式为( )A．y＝－(x＋1)2＋3 B．y＝－(x＋1)2－3C．y＝－(x－1)2＋3 D．y＝－(x－1)2－32A．抛物线的开口向下B．当x＞－3时，y随x的增大而增大C．二次函数的最小值是－2D．抛物线的对称轴是x＝－5 24．若抛物线y＝2x2＋3上有三点A(1，y1)，B(5，y2)，C(－2，y3)，则y1，y2，y3的大小关系为( )A．y2＜y1＜y3 B．y2＜y3＜y1 C．y1＜y3＜y2 D．y3＜y2＜y15．如图是二次函数y＝ax2＋bx＋c的部分图象，由图象可知不等式ax2＋bx＋c＜0的解集是( )A．－1＜x＜5 B．x＜－1且x＞5 C．x＜－1或x＞5 D．x＞56．将进货单价为70元的某种商品按零售价100元/个售出时每天能卖出20个，若这种商品的零售价在一定范围内每降价1元，其日销售量就增加1个，为了获得最大利润，则应降价( )A．5元 B．10元 C．15元 D．20元7．二次函数y＝ax2＋bx的图象如图，若一元二次方程ax2＋bx＋m＝0有实数根，则m的最大值为( )A．－3 B．3 C．－9 D．08．已知二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c(a≠0)的图象如图所示，对称轴是直线x ＝－1，下列结论：①abc ＜0；②2a ＋b ＝0；③a －b ＋c ＞0；④4a －2b ＋c ＜0.其中正确的是( )A ．①②B ．只有①C ．③④D ．①④9. 如图，坐标平面上，二次函数y ＝－x 2＋4x －k 的图形与x 轴交于A ，B 两点，与y 轴交于C 点，其顶点为D ，且k ＞0.若△ABC 与△ABD 的面积比为1∶4，则k 值为何？( )A ．1 B. 12 C. 43 D. 4510．如图，正方形ABCD 的边长为3 cm ，动点P 从B 点出发以3 cm /s 的速度沿着边BC －CD －DA 运动，到达A 点停止运动；另一动点Q 同时从B 点出发以1 cm /s 的速度沿着边BA 向A 点运动，到达A 点停止运动，设P 点运动时间为x(s )，△BPQ 的面积为y(cm 2)，则y 关于x 的函数图象是( )二、填空题11．已知函数y ＝(m －1)xm 2＋1＋4x －3是二次函数，则该二次函数图象的顶点是______________．12．用一根长为12 cm 的细铁丝围成一个矩形，则围成的矩形中，面积最大为_________． 13．已知函数y ＝(k －3)x 2＋2x ＋1的图象与x 轴有交点，则k 的取值范围是___________． 14．某学习小组为了探究函数y ＝x 2－|x|的图象和性质，根据以往学习函数的经验，列表x … －2 －1.5 －1 －0.5 0 0.5 1 1.5 2 … y…20.75－0.25－0.25m2…15.如图，二次函数y ＝3x 2－3x 的图象经过△AOB 的三个顶点，其中A(－1，m)，B(n ，n)，直线AB 与y 轴交于点C ，则△AOB 的面积是____．16．如图，隧道的截面是抛物线，且抛物线的表达式为y＝－18x2＋3.5，一辆车高2.5 m，宽4 m，该车____通过该隧道．(填“能”或“不能”)17．某校的围墙上端由一段相同的凹曲拱形栅栏组成，如图．其拱形图形为抛物线的一部分，栅栏AB之间，按相同的间距0.2 m用5根立柱加固，拱高OC为0.6 m，则一段栅栏所需立柱的总长度是______．(精确到0.1 m)18. 抛物线y＝ax2＋bx＋c(a，b，c为常数，且a≠0)经过点(－1，0)和(m，0)，且1＜m ＜2，当x＜－1时，y随着x的增大而减小．下列结论：①abc＞0；②a＋b＞0；③若点A(－3，y1)，点B(3，y2)都在抛物线上，则y1＜y2；④a(m－1)＋b＝0；⑤若c≤－1，则b2－4ac≤4a.其中结论错误的是________．(只填写序号)三、解答题19．已知抛物线y＝x2＋bx＋6经过x轴上两点A，B，点B的坐标为(3，0)，与y轴相交于点C.(1)求抛物线的表达式；(2)求△ABC的面积．20．抛物线y＝x2－2x＋c经过点(2，1)．(1)求抛物线的顶点坐标；(2)将抛物线y＝x2－2x＋c沿y轴向下平移后，所得新抛物线与x轴交于A，B两点，如果AB＝2，求新抛物线的表达式．21．如图，A(－1，0)，B(2，－3)两点在一次函数y 1＝－x ＋m 与二次函数y 2＝ax 2＋bx －3的图象上．(1)求m 的值和二次函数的表达式； (2)求二次函数图象的顶点C 的坐标，并描述该函数的函数值随自变量的增减而变化的情况； (3)请直接写出当y 1＞y 2时，自变量x 的取值范围．22. 某商店原来平均每天可销售某种水果200千克，每千克可盈利6元，为减少库存，经市场调查，如果这种水果每千克降价1元，则每天可多售出20千克．(1)设每千克水果降价x 元，平均每天盈利y 元，试写出y 关于x 的函数表达式； (2)若要平均每天盈利960元，则每千克应降价多少元？23．已知锐角△ABC 中，边BC 长为12，高AD 长为8.如图，矩形EFGH 的边GH 在BC 边上，其余两个顶点E ，F 分别在AB ，AC 边上，EF 交AD 于点K.(1)求EFAK的值；(2)设EH ＝x ，矩形EFGH 的面积为S.求S 与x 的函数表达式，并求S 的最大值．24．有一座抛物线形拱桥，正常水位时桥下面的宽度为20 m ，拱顶距离水面4 m . (1)在如图的直角坐标系中，求出该抛物线所对应的二次函数表达式；(2)在正常水位的基础上，当水位上升h(m )时桥下水面的宽度为d(m )，试求d 与h 之间的函数关系式；(3)设正常水位时桥下的水深为2 m，为保证过往船只顺利航行，桥下水面宽度不得小于18 m．问：水深超过多少时，就会影响过往船只在桥下顺利航行？25. 已知，m，n是一元二次方程x2＋4x＋3＝0的两个实数根，且|m|＜|n|，抛物线y＝x2＋bx＋c的图象经过点A(m，0)，B(0，n)，如图所示．(1)求这个抛物线的表达式；(2)设(1)中的抛物线与x轴的另一个交点为C，抛物线的顶点为D，试求出点C，D的坐标，并判断△BCD的形状；(3)点P是直线BC上的一个动点(点P不与点B和点C重合)，过点P作x轴的垂线，交抛物线于点M，点Q在直线BC上，距离点P为2个单位长度，设点P的横坐标为t，△PMQ 的面积为S，求出S与t之间的函数关系式．答案:一、1---10 DADCC ABDDC 二、11. (1，－1) 12. 9cm 2 13. k ≤4 14. 0.75 15. 2 16. 能 17. 2.3m 18. ③⑤点拨：易得①的结论正确；∵抛物线过点(－1，0)和(m ，0)，且1＜m ＜2，∴0＜－b 2a＜12，∴12＋b 2a ＝a ＋b 2a＞0，∴a ＋b ＞0，所以②的结论正确；∵点A(－3，y 1)到对称轴的距离比点B(3，y 2)到对称轴的距离远，∴y 1＞y 2，所以③的结论错误；∵抛物线过点(－1，0)，(m ，0)，∴a －b ＋c ＝0，am 2＋bm ＋c ＝0，∴am 2－a ＋bm ＋b ＝0，a(m ＋1)(m －1)＋b(m＋1)＝0，∴a(m －1)＋b ＝0，所以④的结论正确；∵4ac －b 24a ＜c ，而c ≤－1，∴4ac －b 24a＜－1，∴b 2－4ac ＞4a ，所以⑤的结论错误三、19. 解：(1)y ＝x 2－5x ＋6 (2)∵抛物线的表达式y ＝x 2－5x ＋6，∴A(2，0)，B(3，0)，C(0，6)，∴S △ABC ＝12×1×6＝320. 解：(1)把(2，1)代入y ＝x 2－2x ＋c 得4－4＋c ＝1，解得c ＝1，所以抛物线表达式为y ＝x 2－2x ＋1，顶点坐标为(1，0) (2)y ＝x 2－2x ＋1＝(x －1)2，抛物线的对称轴为直线x ＝1，而新抛物线与x 轴交于A ，B 两点，AB ＝2，所以A(0，0)，B(2，0)，所以新抛物线的表达式为y ＝x(x －2)，即y ＝x 2－2x21. 解：(1)m ＝－1，y 2＝x 2－2x －3 (2)C(1，－4)，当x ≤1时，y 随x 的增大而减小；当x ＞1时，y 随x 的增大而增大 (3)－1＜x ＜2 22. 解：(1)根据题意得y ＝(200＋20x)(6－x)＝－20x 2－80x ＋1200 (2)令y ＝－20x 2－80x ＋1200中y ＝960，则有960＝－20x 2－80x ＋1200，即x 2＋4x －12＝0，解得x ＝－6(舍去)或x ＝2.答：若要平均每天盈利960元，则每千克应降价2元23. 解：(1)EF AK ＝BC AD ＝32 (2)由(1)知EF 8－x ＝32，∴EF ＝12－32x ，∴S ＝EH ·EF ＝12x －32x 2＝－32(x －4)2＋24，当x ＝4时，S max ＝24 24. 解：(1)设抛物线所对应的表达式为y ＝ax 2，把(－10，－4)代入得y ＝－125x 2 (2)由(1)得y ＝－125x 2，将(d 2，－4＋h)代入得－4＋h ＝－125(d 2)2，求得d ＝104－h (3)当x ＝9时，y ＝－125×92＝－8125，∴4＋2－8125＝6925，即当水深超过6925m 时，就会影响船只在桥下顺利航行25. 解：(1)∵m ，n 是一元二次方程x 2＋4x ＋3＝0的两个实数根，且|m|＜|n|，∴m ＝－1，n ＝－3，∵抛物线y ＝x 2＋bx ＋c 的图象经过点A(m ，0)，B(0，n)．∴⎩⎨⎧1－b ＋c ＝0，c ＝－3，∴⎩⎨⎧b ＝－2，c ＝－3，∴抛物线表达式为y ＝x 2－2x －3 (2)令y ＝0，则x 2－2x －3＝0，∴x 1＝－1，x 2＝3，∴C(3，0)，∵y ＝x 2－2x －3＝(x －1)2－4，∴顶点坐标D(1，－4)，过点D 作DE ⊥y 轴，∵OB ＝OC ＝3，∴BE ＝DE ＝1，∴△BOC 和△BED 都是等腰直角三角形，∴∠OBC ＝∠DBE ＝45°，∴∠CBD ＝90°，∴△BCD 是直角三角形(3)如图，∵B(0，－3)，C(3，0)，∴直线BC 表达式为y ＝x －3，∵点P 的横坐标为t ，PM ⊥x 轴，∴点M 的横坐标为t ，∵点P 在直线BC 上，点M 在抛物线上，∴P(t ，t －3)，M(t ，t 2－2t －3)，过点Q 作QF ⊥PM ，∴△PQF 是等腰直角三角形，∵PQ ＝2，QF ＝1，当点P 在点M 上方时，即0＜t ＜3时，PM ＝t －3－(t 2－2t －3)＝－t 2＋3t ，∴S ＝12PM ·QF ＝12(－t 2＋3t)＝－12t 2＋32t ；当点P 在点M 下方时，即t ＜0或t ＞3时，PM ＝t 2－2t －3－(t －3)，∴S ＝12PM ·QF ＝12(t 2－3t)＝12t 2－32t。
华东师大版九年级数学下册 二次函数练习
二次函数练习一、填空题1、抛物线21(2)43y x =++可以通过将抛物线y ＝ 向 平移 个单位、再向 平移 个单位得到。
2、抛物线21(4)72y x =+-的顶点坐标是 ，对称轴是直线 ，它的开口向 ，在对称轴的左侧，即当x< 时，y 随x 的增大而 ；在对称轴的右侧，即当x> 时，y 随x 的增大而 ；当x= 时，y 的值最 ，最 值是 。
3、已知y=x 2+x －6，当x=0时，y= ；当y=0时，x= 。
4、直线y=2x+4与y 轴交点的坐标为 ，与x 轴交点的坐标为 。
5、抛物线217322y x x =+-与y 轴交点的坐标为 ，与x 轴交点的坐标为 。
6、抛物线y=(x+3)2－25与y 轴交点的坐标为 ，与x 轴交点的坐标为 。
7、当k 的值为 时，关于x 的一元二次方程x 2+kx+k+3=0有两个相等的实数根。
8、将抛物线y=3x 2向左平移6个单位，再向下平移7个单位所得新抛物线的解析式为 。
9、若抛物线y=ax 2－3ax+a 2－2a 经过的点，则a 的值为 。
10、若抛物线2132y x mx =++的对称轴是直线x=4，则m 的值为 。
11、抛物线与x 轴的公共点是（－1,0），（3,0），则这条抛物线的对称轴是 。
12、若抛物线经过点（－6,5）（2,5），则其对称轴是 。
13、已知抛物线y=ax 2+bx+c 经过点A （－2,7），B （6,7），C （3，－8），则该抛物线上纵坐标为－8的另一点的坐标是 。
二、选择题1、在同一坐标系中，直线y=kx+b 与抛物线y=kx 2+b 的图象大致是 。
三、计算题1、通过配方将下列函数写成y=a(x －h)2+k 的形式：（1）216172y x x =-+- （2）y=4x 2―24x+26 (3)2144y x x =-++ （4) y=(x+2)(1－2x)四、简答题1、已知二次函数y=x 2+4x+c 2－5c －3，当x ＝－4时，y=3，求c 的值。
2022年最新华东师大版九年级数学下册第26章二次函数章节测评练习题(精选含解析)
华东师大版九年级数学下册第26章二次函数章节测评考试时间：90分钟；命题人：数学教研组考生注意：1、本卷分第I 卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，满分100分，考试时间90分钟2、答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、班级填写在试卷规定位置上3、答案必须写在试卷各个题目指定区域内相应的位置，如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用涂改液、胶带纸、修正带，不按以上要求作答的答案无效。
第I 卷（选择题 30分）一、单选题（10小题，每小题3分，共计30分）1、已知点()12,A y 、()23,B y 、()31,C y -均在抛物线24(0)y ax ax c a =-+>上，则123,,y y y 的大小关系为（ ）A ．123y y y <<B ．132y y y <<C ．213y y y <<D ．231y y y <<2、将抛物线y ＝x 2先向右平移1个单位长度，再向上平移2个单位长度，再次平移后得到的抛物线的表达式为（ ）A ．y ＝(x ﹣1)2﹣2B ．y ＝(x +1) 2﹣2C ．y ＝(x ﹣1) 2+2D ．y ＝(x +1) 2+23、若二次函数2()10y ax bx a =++≠与x 轴的一个交点为(1,0)-，则代数式225a b --的值为（ ）A ．3-B ．4-C ．6-D ．7-4、某商场第1年销售计算机5000台，如果每年的销售量比上一年增加相同的百分率x ，第3年的销售量为y 台，则y 关于x 的函数解析式为（ ）A ．()500012y x =+B ．()250001y x =+C ．50002y x =+D ．25000y x =5、将抛物线222y x =-先向右平移1个单位长度，再向下平移3个单位长度后，得到抛物线的解析式是（ ）A ．()2211y x =++B ．()2215y x =+-C ．()2215y x =--D ．()2121y x =-+ 6、二次函数y =ax 2+bx +c (a ≠0)的图象如图所示，与x 轴交于点(−1，0)和(x ，0)，且1<x <2，以下4个结论：①ab <0；②2a +b =0；③3a +c >0；④a +b <am 2+bm (m <−1)；其中正确的结论个数为（ ）A ．4B ．3C ．2D ．17、已知二次函数y ＝x 2﹣2x +m ，点A （x 1，y 1）、点B （x 2，y 2）（x 1＜x 2）是图象上两点，下列结论正确的是（ ）A ．若x 1+x 2＜2，则y 1＞y 2B ．若x 1+x 2＞2，则y 1＞y 2C ．若x 1+x 2＜﹣2，则y 1＜y 2D ．若x 1+x 2＞﹣2，则y 1＞y 28、二次函数2y ax bx c =++的图像如图所示，那么点,a P b c⎛⎫ ⎪⎝⎭在（ ）A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限 9、已知函数()22y x =--的图象上有11,2A y ⎛⎫- ⎪⎝⎭，()21,B y ，()34,C y 三点，则1y ，2y ，3y 的大小关系（ ）A ．123y y y <<B ．132y y y <<C ．312y y y <<D ．321y y y <<10、抛物线2(1)2y x =-++的对称轴是（ ）A ．直线1x =B ．直线1x =-C ．直线0x =D ．直线1y =第Ⅱ卷（非选择题 70分）二、填空题（10小题，每小题3分，共计30分）1、如图，院子里有块直角三角形空地ABC ，∠C ＝90°．直角边AC ＝3m 、BC ＝4m ，现准备修一个如图所示的矩形DEFG 的养鱼池，当矩形DEFG 面积最大时，EF 的长为 _____．2、二次函数()221y x =+-的顶点坐标是___________．3、已知二次函数y ＝ax 2+bx +c 的图象与x 轴交于A （1，0），B （3，0）两点，与y 轴交于点C （0，3），则二次函数的解析式是 _____．4、如图，在平面直角坐标系xOy 中，抛物线21y x =-与x 轴交于A ，B 两点（点A 在点B 左侧），直线y kx b =+经过点A ；当1b =时，直线y kx b =+分别与y 轴，抛物线21y x =-交于1P ，1Q 两点；当2b =时，直线y kx b =+分别与y 轴，抛物线21y x =-交于2P ，2Q 两点；……；当b n =（n 为正整数）时，直线y kx b =+分别与y 轴，抛物线21y x =-交于n P ，n Q 两点，则线段n n P Q 长为______．（用含n 的代数式表示）5、已知一条抛物线经过点()0,1，且在对称轴右侧的部分是下降的，该抛物战的表达式可以是_________（写出一个即可）．6、抛物线y ＝（x ﹣1）2＋3的顶点坐标为___．7、已知抛物线()20y ax bx c a =++≠上部分点的横坐标x ，纵坐标y 的对应值如下表：那么该抛物线的顶点坐标是______．8、写出一个二次函数，其图像满足：（1）开口向下；（2）顶点坐标是(1,3)．这个二次函数的解析式可以是_________________．9、已知二次函数2y ax bx c =++的图象如图所示，有下列五个结论：①0abc >；②b a c <+；③420a b c ++>；④23c b <；⑤()a b m am b +>+（m 为实数且1m ≠）．其中正确的结论有______（只填序号）．10、当24x ≤≤时，二次函数22y x mx =-+的函数值y 随自变量x 的增大而减小，则m 的取值范围是________．三、解答题（5小题，每小题8分，共计40分）1、如图，在平面直角坐标系中，O 为原点，抛物线212y x bx c =-++与x 轴交于点()1,0A -和点()3,0B ．抛物线与y 轴交于C 点，P 为该抛物线上一动点．(1)求抛物线对应的函数关系式；(2)将该抛物线沿y 轴向下平移3个单位，点P 的对应点为P'，若'OP OP =，求P 的坐标；(3)3y x =-与抛物线交点为Q ，连结AC AQ PQ ，，，当P 在x 轴下方，且CAB AQP ∠=∠时，求直线PQ 解析式．2、如图，二次函数y ＝a （x ﹣1）2﹣4a （a ≠0）的图像与x 轴交于A ，B 两点，与y 轴交于点C （0，．(1)求二次函数的表达式；(2)连接AC ，BC ，判定△ABC 的形状，并说明理由．3、如图，在平面直角坐标系xOy 中，已知抛物线2y x bx =+经过点A （2，0）和点()1,B m -，顶点为点D ．(1)求直线AB 的表达式；(2)求tan ∠ABD 的值；(3)设线段BD 与x 轴交于点P ，如果点C 在x 轴上，且ABC 与ABP △相似，求点C 的坐标．4、如图，将边长为4的正方形纸片ABCD 折叠，使点A 落在边CD 上的点M 处（不与点C 、D 重合），连接AM ，折痕EF 分别交AD 、BC 、AM 于点E 、F 、H ，边AB 折叠后交边BC 于点G ．(1)求证：EDM ∽MCG ；(2)若DM ＝13CD ，求CG 的长；(3)若点M 是边CD 上的动点，四边形CDEF 的面积S 是否存在最值？若存在，求出这个最值；若不存在，说明理由．5、如图， 在平面直角坐标系 xQ ，中， 直线 5y x =-+ 与 x 牰交于点 A ， 与 y 轴交于点 B ． 点C 为拋物线 223122y ax a x a a =-++ 的顶点．(1)用含 a 的代数式表示顶点 C 的坐标：(2)当顶点 C 在 AOB 内部， 且 52AOC S = 时，求抛物线的表达式： (3)如果将抛物线向右平移一个单位，再向下平移 12 个单位后，平移后的抛物线的顶 点 P 仍在 AOB 内， 求 a 的取值范围．-参考答案-一、单选题1、A【解析】【分析】根据解析式求得对称轴，根据开口向上，离对称轴越远的点的函数值越大进行分析判断即可【详解】24(0)y ax ax c a =-+>的对称轴为422a x a-=-=，0a >，开口向上， 点()12,A y 、()23,B y 、()31,C y -均在抛物线24(0)y ax ax c a =-+>上，∴()12,A y 在顶点，则1y 最小，又()321,213-=--=123y y y ∴<<故选A【点睛】本题考查了2(0)y ax bx c a =++≠图象的性质，掌握二次函数图象的性质是解题的关键．2、C【解析】【分析】先确定抛物线y ＝x 2的顶点坐标为（0，0），再根据点平移的规律得到对应点的坐标为（1，2），然后根据顶点式写出平移后的抛物线解析式即可．【详解】解：抛物线y ＝x 2的顶点坐标为（0，0），点（0，0）先向右平移1个单位长度，再向上平移2个单位长度所得对应点的坐标为（1，2），所以新抛物线的解析式为y ＝（x ﹣1）2+2，故选：C ．【点睛】本题主要考查了二次函数图象的平移，将二次函数图象的平转化为顶点的平移是解答本题的关键．3、D【解析】【分析】把1x =-代入即可求出10a b -+=，则1a b -=-，进而可求出代数式225a b --的值．【详解】 解：二次函数2()10y ax bx a =++≠与x 轴的一个交点为(1,0)-，1x ∴=-时，10a b -+=，1a b ∴-=-，2252()5257a b a b ∴--=--=--=-，故选：D ．【点睛】本题主要考查抛物线与x 轴的交点，解题的关键是把1x =-代入求出-a b 的值．4、B【解析】【分析】根据增长率问题的计算公式解答．【详解】解：第2年的销售量为()50001y x =+，第3年的销售量为()()250001(1)50001y x x x =++=+，故选：B ．【点睛】此题考查了增长率问题的计算公式()21a x b +=，a 是前量，b 是后量，x 是增长率，熟记公式中各字母的意义是解题的关键．5、C【解析】【分析】根据函数图象平移规律，可得答案．【详解】解：抛物线y =2x 2-2向右平移1个单位长度，再向下平移3个单位长度后，所得抛物线的表达式是y =2（x -1）2-2-3，即y =2（x -1）2-5，故选：C ．【点睛】主要考查了二次函数图象与几何变换，要求熟练掌握平移的规律：左加右减，上加下减．并用规律求函数解析式．6、B【解析】【分析】由开口方向、对称轴的位置可判断结论①；由对称轴的位置可判断结论②；由x =-1函数值为0以及对称轴的位置可判断结论③；由增减性可判断结论④．【详解】解：由图象可知，a >0，b <0，∴ab <0，①正确；因与x 轴交于点(−1，0)和(x ，0)，且1<x <2，所以对称轴为直线−2b a <1， ∴−b <2a ，∴2a +b >0，②错误；由图象可知x =−1，y =a −b +c =0，又2a >−b ，2a +a +c >−b +a +c ，∴3a+c>0，③正确；由增减性可知m<−1，am2+bm+c>0，当x=1时，a+b+c＜0，即a+b<am2+bm，④正确．综上，正确的有①③④，共3个，故选：B．【点睛】本题考查了二次函数图象与系数之间的关系，熟练掌握二次函数的开口方向，对称轴，函数增减性并会综合运用是解决本题的关键．7、A【解析】【分析】由二次函数y＝x2﹣2x+m可知对称轴为x＝1，当x1+x2＜2时，点A与点B在对称轴的左边，或点A在左侧，点B在对称轴的右侧，且点A离对称轴的距离比点B离对称轴的距离小，再结合抛物线开口方向，即可判断．【详解】解：∵二次函数y＝x2﹣2x+m，∴抛物线开口向上，对称轴为x＝1，∵x1＜x2，∴当x1+x2＜2时，点A与点B在对称轴的左边，或点A在左侧，点B在对称轴的右侧，且点A离对称轴的距离比点B离对称轴的距离大，∴y1＞y2，故选：A．【点睛】本题考查了二次函数的性质，灵活应用x1+x2与2的关系确定点A、点B与对称轴的关系是解决本题的关键．8、C【解析】【分析】根据对称轴的位置、开口方向、与y 轴的交点的位置即可判断出a 、b 、c 的符号，进而求出,a P b c ⎛⎫ ⎪⎝⎭的符号．【详解】由函数图像可得：∵抛物线开口向上，∴a ＞0，又∵对称轴在y 轴右侧， ∴02b a->， ∴b <0，又∵图象与y 轴交于负半轴，∴c ＜0， ∴0a c< ∴,a P b c ⎛⎫ ⎪⎝⎭在第三象限 故选：C【点睛】考查二次函数y =ax 2+bx +c 系数符号的确定．根据对称轴的位置、开口方向、与y 轴的交点的位置判断出a 、b 、c 的符号是解题的关键．9、B【解析】【分析】根据抛物线的对称性，增减性，即可得出y 1、y 2、y 3的大小关系．【详解】解：二次函数y =-（x -2）2的图象开口向下，对称轴为直线x =2，∴C （4，y 3）关于对称轴的对称点为（0，y 3），∵-12＜0＜1＜2，∴y 1＜y 3＜y 2，故选：B ．【点睛】本题主要考查对二次函数图象上点的坐标特征，二次函数的性质等知识点，熟练掌握二次函数的增减性、对称性是解此题的关键．10、B【解析】【分析】由抛物线解析式的顶点式即可求得抛物线的对称轴．【详解】抛物线2(1)2y x =-+-的对称轴是直线1x =-，故选：B ．【点睛】本题考查了抛物线的图象与性质，当抛物线的解析式为2y ax bx c =++时，对称轴为直线2b x a =-；当抛物线的解析式为2()y a x h k =-+时，对称轴为直线x =h ．二、填空题1、2.5##52【解析】【分析】过点C 作CH AB ⊥，交DG 于点K ，等面积法求得CH ，设,DE x EF y ==，进而根据CDG CAB ∽△△得出比例式，根据矩形的面积为DE EF ⨯，得到关于x 的二次函数，根据二次函数的性质即可求得面积最大时的x 的值，进而求得EF 的长．【详解】解：如图，过点C 作CH AB ⊥，交DG 于点K ，∠C ＝90°．直角边AC ＝3m 、BC ＝4m ，5AB ∴=34 2.45CH ⨯∴== 设,DE x EF y ==，则HK x =四边形DEFG 是矩形DG EF ∴∥，DG EF =∴DG AB ∥CDG CAB ∴△∽△CK DG CH AB∴= ∴2.42.45x y -= 整理得25512y x =-+ 设矩形的面积为S ，则2252565()312125S xy x x x ⎛⎫==-+=--+ ⎪⎝⎭当S 取得最大值时，65x =，此时256551252y =-⨯+= 故答案为：2.5【点睛】 本题考查了矩形的性质，勾股定理，相似三角形的性质与判定，二次函数的性质，掌握以上知识是解题的关键．2、（-2，-1）【解析】【分析】因为顶点式y =a （x -h ）2+k ，其顶点坐标是（h ，k ），对照求二次函数y =（x +2）2-1的顶点坐标即可．【详解】解：∵二次函数y =（x +2）2-1是顶点式，∴顶点坐标为（-2，-1），故答案为：（-2，-1）．【点睛】本题考查了二次函数的性质，注意：顶点式y =a （x -h ）2+k ，顶点坐标是（h ，k ），对称轴是直线x =h ．3、y =x 2-4x +3【解析】【分析】把点A 、B 、C 的坐标代入函数解析式，解方程组求出a 、b 、c 的值，即可得解．【详解】解：将A （1，0），B （3，0），C （0，3）代入函数解析式得，09303a b c a b c c ++=⎧⎪++=⎨⎪=⎩， 解得：143a b c =⎧⎪=-⎨⎪=⎩， 所以二次函数的解析式为y =x 2-4x +3，故答案为：y =x 2-4x +3．【点睛】本题考查了待定系数法求二次函数解析式，待定系数法是求函数解析式常用的方法，需熟练掌握，难点在于解三元一次方程组．4、2(1)n +【解析】【分析】根据抛物线解析式结合题意可求出A 点坐标，又点A 在直线上，即可求出k b =，即得出直线解析式．当b n =时，直线解析式即为y nx n =+，即可求出此时n P 的坐标．联立抛物线解析式和直线解析式，即可求出n Q 的坐标，再代入抛物线解析式，可求出其纵坐标．最后利用两点的距离公式就出结果即可．【详解】∵21y x =-与x 轴交于A ，B 两点（点A 在点B 左侧），令0y =，则210x -=，解得：11x =-，21x =． ∴A 点坐标为(-1，0)．∵直线y kx b =+经过点A ，∴0k b =-+，解得：k b =，∴该直线解析式为y bx b =+．当b n =时，直线解析式为y nx n =+，令0x =，则y n =，∴n P 的坐标为(0，n )．联立21y x y nx n ⎧=-⎨=+⎩，即()1(1)0x n x -++=⎡⎤⎣⎦， 解得：11x =-，21x n =+．∴n Q 的横坐标为n +1．将1x n =+代入21y x =-中，得：22y n n =+，∴n Q 的坐标为(212n n n ++，)．∴n n P Q ==2(1)n ==+ 故答案为：2(1)n +．【点睛】本题为二次函数与一次函数综合题，较难．考查二次函数图象与坐标轴的交点坐标，利用待定系数法求函数解析式，二次函数图象与一次函数图象的交点以及两点的距离公式．正确求出n P 和n Q 的坐标是解答本题的关键．5、y =-x 2+1【解析】【分析】首先根据在对称轴右侧部分是下降确定其开口方向，然后根据经过的点的坐标确定解析式即可．【详解】解：∵在对称轴右侧部分是下降，∴设抛物线的解析式可以为y =-x 2+b ，∵经过点（0，1），∴解析式可以是y =-x 2+1，故答案为：y =-x 2+1．【点睛】本题考查了二次函数的性质，掌握二次函数在对称轴两侧的增减性相反是解题的关键，即根据增减性可以确定出开口方向进而确定出a 的符号．6、（1，3）【解析】【分析】根据顶点式判断顶点即可．【详解】解：∵抛物线解析式为y ＝（x ﹣1）2＋3∴顶点坐标是（1，3）．故答案为：（1，3）【点睛】本题考查了二次函数解析式---顶点式，明确2()y a x h k =-+的顶点坐标为（h ，k ）是解答本题的关键．7、()1,4-【解析】【分析】 观察表格可知该抛物线的对称轴为直线1312x -+==，根据二次函数图像的顶点坐标在对称轴上，在表格中查取点坐标即可．【详解】解：观察表格并由抛物线的图像与性质可知 该抛物线的对称轴为直线1312x -+== ∵顶点坐标在对称轴上∴由表格可知该抛物线的顶点坐标为()1,4-故答案为：()1,4-．【点睛】本题考查了二次函数的图像与性质．解题的关键在于正确把握二次函数的图像与性质． 8、()213y x =--+【解析】【分析】根据题意写出一个0a <，且顶点为 (1,3)的二次函数即可，可根据顶点式写出函数解析式．【详解】解：该函数的定点坐标为(1,3)，且开口向下，这个二次函数的解析式可以是：()213y x =--+ 故答案为：()213y x =--+（答案不唯一）【点睛】本题考查了二次函数的性质，掌握顶点式是解题的关键．9、③④⑤【解析】【分析】先利用二次函数的开口方向，与y 轴交于正半轴，二次函数的对称轴为：10,2b xa 判断,,abc 的符号，可判断①，由图象可得：1,a b c 在第三象限，可判断②，由抛物线与x 轴的一个交点在1,0,0,0之间，则与x 轴的另一个交点在()()2,0,3,0之间，可得点2,42a b c 在第一象限，可判断③，由3,93a b c 在第四象限，抛物线的对称轴为：1,2b x a =-= 即,2b a 可判断④，当1x =时，y a b c 最大值，当1x m m ，2,y am bm c =++ 此时：2,am bm c a b c 可判断⑤，从而可得答案.【详解】解：由二次函数的图象开口向下可得：0,a <二次函数的图象与y 轴交于正半轴，可得0,c > 二次函数的对称轴为：10,2b x a可得0,b > 所以：0,abc < 故①不符合题意；由图象可得：1,a b c 在第三象限， 0,a b c ,b a c 故②不符合题意； 由抛物线与x 轴的一个交点在1,0,0,0之间，则与x 轴的另一个交点在()()2,0,3,0之间， ∴ 点2,42a b c 在第一象限，420,a b c 故③符合题意；3,93a b c 在第四象限，930,a b c抛物线的对称轴为：1,2b x a =-= ,2b a930,2b b c 23,c b 故④符合题意；当1x =时，y a b c最大值，当1x m m ，2,y am bm c =++此时：2,am bm c a b c,m am b a b 故⑤符合题意；综上：符合题意的有：③④⑤，故答案为：③④⑤．【点睛】本题考查的是二次函数的图象与性质，熟练的应用二次函数的图象与性质判断代数式的符号是解题的关键.10、2m ≤【解析】【分析】根据二次函数的解析式的二次项系数确定该函数图象的开口方向，再确定函数图象的对称轴,最后根据该二次函数的增减性解答即可.【详解】解：∵二次函数的解析式22y x mx =-+的二次项系数是-1,∴该二次函数的开口方向是向下 又二次函数的解析式22y x mx =-+的对称轴为x=m 且当24x ≤≤时，二次函数22y x mx =-+的函数值y 随自变量x 的增大而减小∴2m ≤故答案为2m ≤.【点睛】本题主要考查了二次函数的性质,掌握二次函数的系数与图象的关系、二次函数的增减性与对称轴的关系成为解答本题的关键.三、解答题1、 (1)该抛物线解析式为：21322y x x =-++ (2)P 的坐标为(0，32)或(2，32) (3)PQ 直线解析式3922y x =-或3571111y x =- 【解析】【分析】 （1）根据待定系数法求抛物线解析式，将()1,0A -和点()3,0B 代入解析式得出221(1)0213302b c b c ⎧-⨯--+=⎪⎪⎨⎪-⨯++=⎪⎩．解方程组即可； （2）根据抛物线是向下平移了3个单位，得出PP′⊥x 轴，'3PP =．根据'OP OP =，可得x 轴是PP′的垂直平分线，得出点P 与点P′关于x 轴对称，可求点P 的纵坐标为32当32y =时，2133222x x -++=．解方程即可； （3）详解方程组231322y x y x x =-⎧⎪⎨=-++⎪⎩求出Q (-3，-6)或(3，0)，分两种情况当Q (3，0)， CAB AQP ∠=∠即AC//PQ ，用待定系数法求出AC 解析式为3322y x =+，利用过点Q 与AC 平行待定系数法求PQ 解析式PQ 直线解析式3922y x =-；当Q (-3，-6) 过A 作AM ⊥PQ 于M ，过M 作MN ⊥x 轴于N ，过Q 作QL ⊥MN 于L ，可证MAN ∽△QML 利用性质得出3tan 2MN AN AM AQP QL ML QM ===∠=，设AN =3m ，ML =2m ，MN =3n ，QL =2n ，NL =MN +ML =6,QL -AN =3-1=2，列方程组326232n m n m +=⎧⎨-=⎩，求出点M （5661313-，），用待定系数法设PQ 解析式3571111y x =-即可． (1)根据待定系数法求抛物线解析式，将()1,0A -和点()3,0B 代入解析式 得221(1)0213302b c b c ⎧-⨯--+=⎪⎪⎨⎪-⨯++=⎪⎩． 解得132b c =⎧⎪⎨=⎪⎩． 则该抛物线解析式为：21322y x x =-++； (2)解： ∴抛物线是向下平移了3个单位，PP′⊥x 轴，'3PP =．'OP OP =，∴x 轴是PP′的垂直平分线，∴点P 与点P′关于x 轴对称，∴点P 的纵坐标为32， ∴当1y =时，2133222x x -++=． 10x ∴=，22x =；P ∴的坐标为(0，32)或(2， 32)；(3) 解231322y x y x x =-⎧⎪⎨=-++⎪⎩， 解得：33,06x x y y ==-⎧⎧⎨⎨==-⎩⎩， 得Q (-3，-6)或(3，0)当Q (3，0)， CAB AQP ∠=∠即AC//PQ ，，设AC 解析式为y kx b =+将A 、C 坐标代入解析式得：032k b b -+=⎧⎪⎨=⎪⎩， 解得3232k b ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩， ∴AC 解析式为3322y x =+， ∴过点Q （3，0）与AC 平行的解析式中k =32， 设PQ 解析式为32y x m =+过点Q ，代入坐标得，3 032m=⨯+，解得92m=-，∴PQ直线解析式3922y x=-；当Q(-3，-6) ，过A作AM⊥PQ于M，过M作MN⊥x轴于N，过Q作QL⊥MN于L，∴∠NAM+∠AMN=90°，∠AMN+∠LMQ=180°-∠AMQ=180°-90°=90°，∴∠NAM=∠LMQ，∴△MAN∽△QML，∴3tan2 MN AN AMAQPQL ML QM===∠=，设AN=3m，ML=2m，MN=3n，QL=2n，NL=MN+ML=6,QL-AN=3-1=2，∴326 232n mn m+=⎧⎨-=⎩，解得6132213m n ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩， ∴AN =61831313⨯=，ON =AN -AO =18511313-=，MN =226631313⨯=， ∴点M （5661313-，）， 设PQ 解析式y px q =+，过点M 与点Q （-3，-6），665131363p q p q⎧-=+⎪⎨⎪-=-+⎩， 解得3115711p q ⎧=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩， 解得3571111y x =-， ∴PQ 解析式为3922y x =-或3571111y x =-．【点睛】本题考查待定系数法求一次函数，二次函数解析式，抛物线平移，等腰三角形性质，轴对称性质，解一元二次方程，三角形相似判定与性质，锐角三角函数，二元一次方程组，一次函数图像平行性质，掌握以上知识是解题关键．2、 (1)21)y x =-- (2)直角三角形，理由见解析．【解析】【分析】（1）将点C 的坐标代入函数解析式，即可求出a 的值，即得出二次函数表达式；（2）令0y =，求出x 的值，即得出A 、B 两点的坐标．再根据勾股定理，求出三边长．最后根据勾股定理逆定理即可判断ABC 的形状．(1)解：将点C (0，代入函数解析式得：2(01)4a a =--，解得：a =故该二次函数表达式为：21)y x =- (2)解：令0y =21)0x --=， 解得：11x =-，23x =．∴A 点坐标为(-1，0)，B 点坐标为(3，0)．∴OA =1，OC 3(1)4B A AB x x =-=--=，∴2AC ==，BC ===∵22224+=，即222BC AC AB +=，∴ABC 的形状为直角三角形．【点睛】本题考查利用待定系数法求函数解析式，二次函数图象与坐标轴的交点坐标，勾股定理逆定理．根据点C 的坐标求出函数解析式是解答本题的关键．3、 (1)2y x =-+ (2)13(3)()10,0C -或1,02⎛⎫ ⎪⎝⎭ 【解析】【分析】（1）根据抛物线2y x bx =+经过点A （2，0），可得抛物线解析式为22y x x =-，再求出点B 的坐标，即可求解；（2）先求出点D 的坐标为()1,1D - ，然后利用勾股定理逆定理，可得△ABD 为直角三角形，即可求解；（3）先求出直线BD 的解析式，可得到点P 的坐标为1,02P ⎛⎫ ⎪⎝⎭，然后分两种情况讨论即可求解． (1)解：∵抛物线2y x bx =+经过点A （2，0），∴2220b += ，解得：2b =- ，∴抛物线解析式为22y x x =-，当1x =- 时，3y = ，∴点B 的坐标为()1,3B - ，设直线AB 的解析式为()0y kx m k =+≠ ，把A （2，0），()1,3B -，代入得：203k m k m +=⎧⎨-+=⎩ ，解得：12k m =-⎧⎨=⎩， ∴直线AB 的解析式为2y x =-+；(2)如图，连接BD ，AD ，∵()22211y x x x =-=--， ∴点D 的坐标为()1,1D - ，∵A （2，0），()1,3B -，∴()()()()()22222222212318,2112,111320AB AD BD =--+==-+-==--+--= ， ∴222AB AD BD += ，∴△ABD 为直角三角形，∴1tan 3AD ABD AB ∠==；(3)设直线BD 的解析式为()1110y k x b k =+≠ ，把点()1,1D -，()1,3B -代入得：111113k b k b +=-⎧⎨-+=⎩ ，解得：1121k b =-⎧⎨=⎩ ， ∴直线BD 的解析式为21y x =-+ ，当0y = 时，12x = ， ∴点P 的坐标为1,02P ⎛⎫ ⎪⎝⎭ ， 当△ABP ∽△ABC 时，∠ABC =∠APB ，如图，过点B 作BQ ⊥x 轴于点Q ，则BQ =3，OQ =1，∵△ABP ∽△ABC ，∴∠ABD =∠BCQ ，由（2）知1tan 3ABD ∠=， ∴1tan 3BCQ ∠=， ∴13BQ CQ = ， ∴CQ =9，∴OC =OQ +CQ =10，∴点C 的坐标为()10,0C - ；当△ABP ∽△ABC 时，∠APB =∠ACB ，此时点C 与点P 重合，∴点C 的坐标为1,02C ⎛⎫ ⎪⎝⎭， 综上所述，点C 的坐标为()10,0C -或1,02⎛⎫ ⎪⎝⎭． 【点睛】本题主要考查了二次函数的图象和性质，勾股定理逆定理，锐角三角函数，相似三角形的性质，熟练掌握相关知识点，并利用数形结合思想解答是解题的关键．4、 (1)见解析(2)2(3)存在，10【解析】【分析】（1）由正方形的性质得90D BAD C ∠=∠=∠=︒，故90DEM DME ∠+∠=︒，由折叠的性质得90EMB BAE '∠=∠=︒，故90CMG DME ∠+∠=︒，推出DEM CMG ∠=∠，故可证EDM MCG ；（2）由4CD =，13DM CD =得43DM =，83CM =，设AE x =，则EM x =，4DE x =-，由勾股定理即可求出x 的值，即可求出DE ，由相似三角形的性质即可得出CG 的长；（3）过点F 作FN AD ⊥于N ，根据AAS 证明ADM FNE ≅，由全等三角形的性质得DM EN =，设DM EN a ==，DE b =，由勾股定理求出a 、b 关系，由ENF CDNF CDEF S S S =-矩形四边形化为二次函数即可求出最值．(1)∵四边形ABCD 是正方形，∴90D BAD C ∠=∠=∠=︒，∴90DEM DME ∠+∠=︒，∵正方形ABCD 沿EF Z 折叠，∴90EMB BAE '∠=∠=︒，∴90CMG DME ∠+∠=︒，∴DEM CMG ∠=∠，∴EDM MCG ；(2)∵正方形ABCD 的边长为4，13DM CD =， ∴43DM =，83CM =， 设AE x =，则EM x =，4DE x =-，由勾股定理得：222DM DE EM +=， ∴2224()(4)3x x +-=， 解得：209x =， ∴2016499DE =-=， ∵EDM MCG ， ∴DE DM CM CG=，即1649383CG =， 解得：2CG =；(3)如图，过点F 作FN AD ⊥于N ，∴90FNA DAB ABC ∠=∠=∠=︒，∴四边形ABFN 是矩形，∴4FN AB CD AD ====，由折叠的性质可得：EF AM ⊥，∴90EAM AMD EAM AEF ∠+∠=︒=∠+∠，∴AEF AMD ∠=∠，∵90D ENF ∠=∠=︒，∴()ADM FNE AAS ≅，∴DM EN =，设DM EN a ==，DE b =，∵222EM DE DM =+，即222(4)b a b -=+， ∴2482a b =-， ENF CDNF CDEF S S S =-矩形四边形，14()42a b a =⨯+-⨯⨯， 24a b =+，21282a a =-++， 21(2)102a =--+， ∴当2a =时，S 有最大值为10．【点睛】本题考查几何综合题，主要涉及到折叠的性质，正方形的性质，相似三角形性的判定与性质，全等三角形的判定与性质以及二次函数最值问题，属于中考压轴题，掌握相关知识点间的应用是解题的关键．5、 (1)2()1,C a a (2)2289y x x =-+；(3)1＜a ＜3【解析】【分析】（1）利用配方法将抛物线解析式化为顶点式即可解答；（2）求出点A 、B 的坐标，利用三角形面积公式求解a 值即可解答；（3）根据点的坐标平移规律“右加左减，上加下减”得出P 点坐标，再根据条件得出a 的一元一次不等式组，解不等式组即可求解(1)解：拋物线 2232112()22y ax a x a a a x a a =-++=-+， ∴顶点C 的坐标为1(,)2a a ； (2)解：对于5y x =-+，当x =0时，y =5，当y =0时，x =5，∴A （5，0），B （0，5），∵顶点 C 在 AOB 内部， 且 52AOC S =， ∴1155222a ⨯⋅=，∴a =2，∴拋物线的表达式为 2289y x x =-+；(3)解：由题意，平移后的抛物线的顶点P 的坐标为11(1,)22a a +-，∵平移后的抛物线的顶 点 P 仍在 AOB 内， ∴101102211(1)522a a a a ⎧⎪+>⎪⎪->⎨⎪⎪-++>-⎪⎩， 解得：1＜a ＜3，即a 的取值范围为1＜a ＜3．【点睛】本题考查求二次函数的顶点坐标和表达式、二次函数的图象平移、一次函数的图象与坐标轴的交点问题、坐标与图象、解一元一次不等式组，熟练掌握相关知识的联系与运用，第（3）小问正确得出不等式组是解答的关键．。