非线性分析中弧长法的简介

非线性分析弧长法的读书报告
1.弧长法的原理
弧长法属于双重目标控制方法，即在求解过程中同时控制荷载因子和位移增量的步长。

其基本的控制方程为：
{}{}{}{}222l P P T T ∆=∆+∆∆ϕλδδ （1）
式中：
λ∆为荷载因子增量数值
ϕ为荷载比例系数，用于控制弧长法中荷载因子增量所占的比重
l ∆为固定的半径
在求解过程中，荷载因子增量λ∆在迭代中是变化的，下列非线性静力平衡的迭代求解公式中存在n 个未知数，即
()[]{}{}(){}j i j i j
i j i
F P K δλ
δδδ-=++1
1
210，，=i （2）
这样，在弧长法中一共存在1+n 个未知数，根据约束方程：
{}{}{}{}222l P P T T ∆=∆+∆∆ψλδδ
即为附加的控制方程，问题才能得到解答，此时，可以根据ψ值的取值分为两种弧长法，其中，0≠ψ时的弧长法称为球面弧长法，0=ψ时的弧长法称为柱面弧长法。

1.1球面弧长法
如下图所示，根据图中所示来说明弧长法的求解策略：
在第j 步荷载增量第i 次迭代分析中，结构的位移增量}{1j
i +δδ可由式（2）来计算，即
}
{)]([)}({)]([})
{)}(({)]([)})({}{}{()]([)})
({}{()]([}
{1111111111P K K P K F P P K F P K j i j i j i j i j i j i j i j i j i j i j i j i j i j i j i -+-+-+-+-++-=
--=-+=-=δδλδψδδλδψδδδλλδδλδδδ （3） 由于刚度矩阵不对称以及带宽被改变，通常情况下直接联立求解式（1）和式（3）中1+n 个变量相当困难。

通常，将式(3)中}{1j
i +δδ分解为两个部分，即
j
i p j i j i g j i 1
111}{}{}{+++++=δδδλδδδδ （4）
式中，)}({)]([}{11j i j i j i g K δψδδδ-+-= （5） 说明j i j 1}{+δδ的第一项j i g 1}{+δδ为采用荷载控制的标准切线刚度迭代求解的 结果；
P K j i j i p 11)]([}{-+=δδδ （6）
说明j i j 1}{+δδ的第二项j i p 1}{+δδ为考虑荷载}{P 下按当前结构刚度)]([j i K δ计算出来的位移增量。

至此，式(4)中仍有j i 1+δλ为未知量，现在只有借助控制方程（1）来求解。

第i 次迭代结束后相应于迭代初始点（上图中1-j 点）的位移增量}{1+∆i δ为
}{}{}{11+++∆=∆i i i δδδδ
(7)
将（7）式代入控制方程（1）式，并考虑迭代前后弧长保持不变，故得到：
}
{}{)(}{}{}{}{)(}{}{22111222P P P P l T
j i j i T j i T j i j i T j i ψλδδψλδδ+++∆+∆∆=∆+∆∆=∆ (8)
式中：
j i λ∆与j i 1+∆λ分别为第i 次迭代前后荷载因子相对于迭代初始点（上图中1-j
点）的增量，它们有如下关系：
j i j i j i 11+++∆=∆δλλλ
(9)
将(4)代入(9)中，可得：
（10）
式中：
}{}{}{}{211p p A T j i p T
j i p ψδδδδ+∙=++
}{}{2)}{}({}{2211p p B T j i j i g j i T j i p ψλδδδδδ∆∙++∆∙=++
22211}{}{)()}{}({)}{}({l p p C T j i j i g j i T j i g j i ∆-∆++∆+∆=++ψλδδδδδδ
由此，可通过解上述一元二次方程得到何在因子的增量j i 1+δλ，从而进一步确定当前的荷载水平和位移向量，即
j i j i j i j j i 1101++++=∆+=δλλλλλ
(11) }
{}{}{}{}{1101j
i j i j i j j i ++++=∆+=δδδδδδ
(12)
1.2柱面弧长法
经过研究发现，荷载比例系数ψ对于最终分析结果的影响是有限的，尤其是结构非线性成都较高时，这种影响甚微。

令0=ψ，从而减少程序中的未知数和提高求解效率。

于是把从原先所谓的“球面弧长法”简化为“柱面弧长法”，结构的控制方程则简化成：
{}{}2l T ∆=∆∆δδ （13）
0)(121=+∙+∙++C B A j i j i δλδλ。