第11讲平面向量的概念及线性运算教案
备课笔记（教案） 要求：①要有明确的教学目的，列出教案的重点和难点，即每节课要让学生学会什么；有完成教育目的和任务的教学要
点、具体施教步骤和方法；课内外思考题，并准备好思考题的大体解答思路和要点；
②教案字迹清楚，书写规范。上课前要出示给家长并在课后给家长签字，最后交由中心备案。
③一课一备，300字左右；必须做到：有针对性、完整和详细。 学生姓名：焦婷 日期： 月 日 上课时间： 时 分 第 次教学 老师签名： 教务老师签名： 课题名称：平面向量的概念及线性运算
教学重点：平面向量概念的熟练应用
1．向量的有关概念
(1)向量：既有大小又有方向的量叫做向量，向量的大小叫做向量的长度(或模)．
(2)零向量：长度为0的向量叫做零向量，其方向是任意的．
(3)单位向量：长度等于1个单位长度的向量．
(4)平行向量：通过有向线段AB →的直线，叫做AB →
的基线，如果向量的基线互相平行或重合，则称这些向量共线或平行．故共线向量的方向相同或相反．规定：0与任一向量平行．
(5)相等向量：长度相等且方向相同的向量．
(6)相反向量：长度相等且方向相反的向量．
(7)用向量表示点的位置：给定点O 和向量a ，过点O 作有向线段OA →＝a ，则点A 相对于O 的位置被a 唯一确定，OA →
叫做点A 相对于点O 的位置向量．
2．向量的表示方法
(1)字母表示法，如：a ，AB →
等．
(2)几何表示法：用一条有向线段表示向量．
(3)代数表示法：在平面直角坐标系中，设向量OA →的起点O 在坐标原点，终点坐标为(x ，y )，则(x ，y )称为OA →
的坐标，记为OA →
＝(x ，y )．
3．向量的线性运算
(1)加法
①法则
A:三角形法则：已知向量a 、b ，在平面上任取一点A ，作AB →＝a ，BC →＝b ，则AC →
＝a ＋b 叫做a 与b 的和．
B:平行四边形法则：已知向量a 、b ，在平面上任取一点A ，作AB →＝a ，AD →＝b ，以AB ，AD 为邻边作平行四边形ABCD ，则AC →
＝a ＋b 为向量a 与b 的和．
C:多个向量和的多边形法则:
已知向量a 1、a 2、…、a n ，在平面上任取一点A ，作AA 1→＝a 1，A 1A 2→＝a 2，…，A n －1A n ＝a n ，则AA n →
＝a 1＋a 2＋…＋a n 为向量a 1、a 2、…、a n 的和．
②运算性质：
a ＋
b ＝b ＋a (交换律)；(a ＋b )＋
c ＝a ＋
(b ＋c )(结合律)；a ＋0＝0＋a ＝a .
③加法的几何意义：从法则可以看出，如下图所示
(2)减法
①三角形法则：已知向量a ，b ，在平面上任取一点O ，作OA →＝a ，OB →＝b ，则BA →
＝a －b .
②减去一个向量等于加上这个向量的相反向量．
(3)实数与向量的积
①定义：实数λ与向量a 的积是一个向量，记作λa .
1°|λa |＝|λ||a |；
2°当λ>0时，λa 与a 的方向相同；当λ<0时，λa 与a 的方向相反；当λ＝0时，
λa ＝0.
②运算律：设λ，μ∈R ，则：
1°λ(μa )＝(λμ)a ；
2°(λ＋μ)a ＝λa ＋μa ；
3°λ(a ＋b )＝λa ＋λb .
4．平行向量基本定理：如果a ＝λb ，则a ∥b ；反之，如果a ∥b ，且b ≠0，则一定存在唯一一个实数λ使a ＝λb .与a 同向且长度为1的向量，叫做a 的单位向量，记作a 0，a 0＝a
|a |
. 复习作业：讲义后附带练习
预习作业：
学生上课情况及建议：
教务老师签字： （注:教案要书写规范，一课一备，300字左右；必须做到：有针对性、完整和详细。） （请家长协助监督）
《第一节平面向量的概念及其线性运算》教案
教学过程 课堂导入 以前台胞春节期间来大陆探亲，乘飞机先从台北到香港，再从香港到上海.20XX年7月4日，两岸直航包机启航．若台北到香港的位移用向量a表示，香港到上海的位移用向量b表示，台北到上海的位移用向量c表示．想一想，向量a、b、c有何关系？ 复习预习 1．我们已经学习过位移、速度、力等，你能总结出它们的特点吗？特点为________________________________．
2．在学习三角函数线时，我们已经学习过有向线段了，你还记得吗？ 所谓有向线段就是________________________，三角函数线都是_____________． 知识讲解 考点1 向量的有关概念
考点2 向量的线性运算 向量运算定义法则(或几何意义)运算律 加法求两个向量和的运算(1)交换律：a＋b＝b＋a (2)结合律：(a＋b)＋c＝a ＋(b＋c) 减法求a与b的相反向量－b的 和的运算叫做a与b的差 a－b＝a＋(－b) 数乘求实数λ与向量a的积的运 算 (1)|λa|＝|λ||a| (2)当λ＞0时，λa与a的方向相同； 当λ＜0时，λa与a的方向相反；当λ ＝0时，λa＝0 λ(μa)＝(λμ) a (λ＋μ)a＝λa＋μa λ(a＋b)＝λa＋λb 考点3 共线向量定理 向量a(a≠0)与b共线的充要条件是存在唯一一个实数λ，使得b＝λa.
例题精析 【例题1】 【题干】设a0为单位向量，①若a为平面内的某个向量，则a＝|a|a0；②若a与a0平行，则a＝|a|a0； ③若a与a0平行且|a|＝1，则a＝a0.上述命题中，假命题的个数是() A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】D 【解析】向量是既有大小又有方向的量，a与|a|a0的模相同，但方向不一定相同，故①是假命题；若a与a0平行，则a与a0的方向有两种情况：一是同向，二是反向，反向时a＝－|a|a0，故②③也是假命题．综上所述，假命题的个数是3. 【例题2】 【题干】如图，在△OAB中，延长BA到C，使AC＝BA，在OB上取点D，使DB＝13OB.设OA＝a，OB＝b，用a，b表示向量OC，DC.
平面向量的概念与线性运算知识点
平面向量的概念与线性运算知识点 一.平面向量的有关概念 １．向量：既有大小，又有方向的量． ２．数量：只有大小，没有方向的量． ３．有向线段的三要素：起点、方向、长度． ４．零向量：长度为0的向量． ５．单位向量：长度等于1个单位的向量． ６．平行向量（共线向量）：方向相同或相反的非零向量．零向量与任一向量平行． 注：任一组平平行向量都可以平移到同一直线上 ７．相等向量：长度相等且方向相同的向量． ８．相反向量：长度相等且方向相反的向量 二．向量的表示法 １．字母表示法：如：a ，AB 等 ２．几何表示法：用一条有向线段表示向量 ３．代数表示法：在平面直角坐标系中，设向量OA 的起点Ｏ是坐标原点，终点坐标是（x ，y ），则（x ，y ）称为OA 的坐标，记作：OA ＝（x ，y ） 三．向量的运算 １．向量加法运算： ⑴三角形法则的特点：首尾相连． ⑵平行四边形法则的特点：共起点． ⑶三角形不等式：a b a b a b -≤+≤+． ⑷运算性质：①交换律：a b b a +=+；②结合律：()()a b c a b c ++=++； ③00a a a +=+=． b a C B A a b C C -=A -AB =B
⑸坐标运算：设()11,a x y =，()22,b x y =，则()1212,a b x x y y +=++． ２．向量减法运算： ⑴三角形法则的特点：共起点，连终点，方向指向被减向量． ⑵坐标运算：设()11,a x y =，()22,b x y =，则()1212,a b x x y y -=--． 设A 、B 两点的坐标分别为()11,x y ，()22,x y ，则()1212,x x y y AB =--． ３．向量数乘运算： ⑴实数λ与向量a 的积是一个向量的运算叫做向量的数乘，记作a λ． ①a a λλ=； ②当0λ>时，a λ的方向与a 的方向相同；当0λ<时，a λ的方向与a 的方向相反；当0λ=时，0a λ=． ⑵运算律：①()()a a λμλμ=；②()a a a λμλμ+=+；③()a b a b λλλ+=+． ⑶坐标运算：设(),a x y =，则()(),,a x y x y λλλλ==． ４．向量共线定理： 向量()0a a ≠与b 共线，当且仅当有唯一一个实数λ，使b a λ=． 设()11,a x y =，()22,b x y =，其中0b ≠，则当且仅当12210x y x y -=时，向量a 、() 0b b ≠共线． 四．跟踪训练 １．=++++（ ） A ． B ．0 C ． D ． ２．给出命题 （1）零向量的长度为零，方向是任意的.（2）若a ，b 都是单位向量，则a ＝b . （3）向量AB 与向量BA 相等.（4）若非零向量AB 与CD 是共线向量，则A ，B ，C ，D 四点共线. 以上命题中，正确命题序号是 A.（1） B.（2） C.（1）和（3） D.（1）和（4） ３．在四边形ABCD 中，如果0AB CD =，AB DC =，那么四边形ABCD 的形状是 A.矩形 B.菱形 C.正方形 D.直角梯形 ４．如图，在△ABC 中，AD 、BE 、CF 分别是BC 、CA 、AB 上的中线，它们交于点 G ，则下列各等式中不正确的是
人教A版高中数学《平面向量的线性运算》教学设计
2．2《平面向量的线性运算》教学设计 【教学目标】 1．掌握向量的加、减法运算，并理解其几何意义； 2．会用向量加、减的三角形法则和平行四边形法则作两个向量的和向量，培养数形结合解决问题的能力； 3．通过将向量运算与熟悉的数的运算进行类比，使学生掌握向量加法运算的交换律和结合律，并会用它们进行向量计算，渗透类比的数学方法； 4．掌握实数与向量的积的定义以及实数与向量的积的三条运算律，会利用实数与向量的积的运算律进行有关的计算； 5．理解两个向量平行的充要条件，能根据条件判断两个向量是否平行； 6．通过对实数与向量的积的学习培养学生的观察、分析、归纳、抽象的思维能力，了解事物运动变化的辩证思想. 【导入新课】 设置情景： 1、 复习：向量的定义以及有关概念 强调：向量是既有大小又有方向的量.长度相等、方向相同的向量相等.因此，我们研究的向量是与起点无关的自由向量，即任何向量可以在不改变它的方向和大小的前提下，移到任何位置 2、 情景设置： （1）某人从A 到B ，再从B 按原方向到C ， 则两次的位移和：AC BC AB =+ （2）若上题改为从A 到B ，再从B 按反方向到C ， 则两次的位移和：=+ （3）某车从A 到B ，再从B 改变方向到C ， 则两次的位移和：=+ （4）船速为AB ，水速为，则两速度和：AC =+ 新授课阶段 一、向量的加法 A B C A C A B C
O A a a a b b b １．向量的加法：求两个向量和的运算，叫做向量的加法. ２．三角形法则（“首尾相接，首尾 连”） 如图，已知向量a 、ｂ.在平面内任取一点A ，作AB ＝a ，BC ＝ｂ，则向量AC 叫做a 与ｂ的和，记作a ＋ｂ，即 a ＋ｂAC BC AB =+=，规定： a + 0-= 0 + a. 探究：（1）两相向量的和仍是一个向量； （2）当向量a 与b 不共线时，a +b 的方向不同向，且|a +b |<|a |+|b |； （3）当a 与b 同向时，则a +b 、a 、b 同向，且|a +b |=|a |+|b |，当a 与b 反向时，若|a |>|b |，则a +b 的方向与a 相同，且 |a +b |=|a |-|b |；若|a |<|b |，则a +b 的方向与b 相同，且|a +b|=|b |-|a |. （4）“向量平移”（自由向量）：使前一个向量的终点为后一个向量的起点，可以推广到n 个向量连加. 例1 已知向量a 、b ，求作向量a +b . 作法：在平面内取一点，作a OA = b AB =，则b a OB +=. ４．加法的交换律和平行四边形法则 问题：上题中b +a 的结果与a +b 是否相同？ 验证结果相同 从而得到：１）向量加法的平行四边形法则（对于两个向量共线不适应）； A B C a +b a +b a a b b a ｂ ｂ ａa
向量的概念及线性运算
向量的概念及线性运算 编制人：马兰主审人: 朱礼强 一、新课引入 1. 老鼠以10 m/s的速度向东跑，猫以50 m/s的速度向西追，猫能否追上老鼠？ 分析：老鼠逃窜的路线、猫追逐的路线实际上都是有方向、有长短的量. 2. 问题：质量、力、速度这三个物理量有什么区别？ 质量只有大小；力、速度既有大小，又有方向. 二、概念建构 1．向量的有关概念 2.向量的线性运算
3.共线向量定理 向量a (a ≠0)与b 共线的充要条件是存在唯一一个实数λ，使得b ＝λa ． 三、例题选讲 【例1】（1）已知下列结论： ① 若a ∥b ，b ∥c ，则a ∥c ； ① 非零向量a 与b 同向是a =b 的必要不充分条件； ① 四边形ABCD 是平行四边形的充要条件是=； ① λ，μ为实数，若λa = μb ，则a 与b 共线. 其中正确的序号为 . （2）设,a b 都是非零向量，下列四个条件中，使 =a b a b 成立的充分条件是( ) A .|a |=|b |且a ∥b B .a =-b C .a ∥b D .a =2b 【解题导引】（1）利用共线向量定理及向量相等的概念逐一判断. （2）利用单位向量与向量相等的概念求解. 【规范解答】（1）对于①，当b =0时，条件满足但结论不成立； 对于①，因为向量a 与b 都是非零向量，所以该命题是正确的；
对于①，四边形是大前提，当AB DC =u u u r u u u r 时，即AB∥DC ，且AB=DC ，所以四边形ABCD 是平行四边形，反之，若四边形ABCD 是平行四边形，则AB DC =u u u r u u u r ， 所以①正确； 对于①，当λ=μ=0时，a 与b 可为任意向量，不一定共线，所以①不正确. 答案：①①. （2）选D .由a a 表示与a 同向的单位向量，表示与b 同向的单位向量，故只要a 与b 同向即可，观察可知D 满足题意. 【变式】 1. 本例（2）①中，若b ≠0，该结论是否正确? 【解析】若b ≠0，又a ①b ，b ①c ，所以a ①c 显然成立，故该结论正确. 2. 若本例（2）①中的实数λ，μ满足λ2+μ2 ≠ 0，该结论是否正确? 【解析】由λ2+μ2 ≠ 0知实数λ，μ 中至少有一个不为0. (①)若λ≠0，μ=0，则λa =0·b =0.因为λ≠0，所以a =0，又0与任何向量共线， 所以结论正确. (①)同理，若λ=0，μ≠0，结论也正确； (①)若λ≠0，μ≠0，由λa = μb 得a =μ λ b ，由共线向量定理知结论正确. 综上所述，该结论正确. 【易错警示】解答本例题（1）有两点容易出错. （1） 不清楚 ,a b a b 表示何种向量，不知道a a 是a 方向上的单位向量. （2） 求解时易忽视两向量是同向还是反向，是共线还是相等. 【规律方法】把握向量有关概念的关键点 （1）定义：方向和长度. （2）非零共线向量：方向相同或相反，长度没有限制. （3）相等向量：方向相同且长度相等. （4）单位向量：方向没有限制，但长度都是一个单位长度. （5）零向量：方向没有限制，长度是0，规定零向量与任何向量共线. 【变式训练】设a 0为单位向量，下列命题中：
41平面向量的概念及线性运算
6. （2010浙江杭州调研）设a 、b 是两个不共线向量, AB = 2a + pb , BC = a + b , CD = a — 2b , 第四单元 平面向量 4.1 平面向量的概念及线性运算 、选择题 1.在厶 ABC 中，AB = c , AC = b ,若点 D 满足 BD = 2DC ，则 AD =( ) 2 1 A ?3b + 3c 5 2 B ?3c — 3b C.2b -3c 3 3 1 2 D ?1b + 3c …AD = AB + BD = c + 3( b — c) = §b + 3c 答案：A 2. （2010广东中山调研）已知a 、b 是两个不共线的向量，AB =入a b, AC = a +讥入 此R ）, 那么 A 、B 、C 三点共线的充要条, 件是 ( ) A . ?+尸 2 B .入一 (i= 1 C . 入=—1 D . 入=1 解析 由 AB =入 a b, AC = a + 3 b 人 卩€ R ）及 A 、B 、 C 三点共线得AB = tAC (t € R), 入=t 所以 入 t+ b^ t(a + ub ta +1 3, 「所以 1 ，即入 =1. 1 = t 3 答案 :D 3. （2009 ?东）设P 是厶ABC 所在平面内的一点， BC + BA = 2BP ，则（ ） A . PA + PB = 0 C . PB + PC =0 B . P C + PA = 0 D . PA + PB + PC = 0 V ----------- 」 解析：如上图，根据向量加法的几何意义 Be + B A = 2B P ? P 是AC 的中点, 故 PA + PC = 0. 答案：B 4.已知平面内有一点 P 及一个△ ABC ，若PA + PB + PC = AB ，则（ ） A .点P 在厶ABC 外部 B .点P 在线段 AB 上 C .点P 在线段BC 上 D .点P 在线段AC 上 解析：?/ PA + PB + PC = AB , ??? PA + PB + PC = PB — PA ??? PC = — 2PA.A 2PA = CP ，?点 P 在线段 AC 上. 答案：D 、填空题 5. （2009宁夏银川模拟）若AB = 3% CD = — 5e i ,且AD 与CB 的模相等，则四边形 ABCD 是 解析：?/ AB = — 3CD , ??? AB // CD ，且 |AB|M |CD|. 5 答案：等腰梯形 解析: D C =AC — AB = b- c , B D = 2BC = 2(b — c),
2019高考数学考点突破——平面向量平面向量的概念及线性运算学案
平面向量的概念及线性运算 【考点梳理】 1．向量的有关概念 (1)向量：既有大小又有方向的量叫做向量，向量的大小叫做向量的长度(或模)． (2)零向量：长度为0的向量，其方向是任意的． (3)单位向量：长度等于1个单位的向量． (4)平行向量：方向相同或相反的非零向量．平行向量又叫共线向量．规定：0与任一向量平行． (5)相等向量：长度相等且方向相同的向量． (6)相反向量：长度相等且方向相反的向量． 2．向量的线性运算 向量 运算定义 法则 (或几何意义) 运算律 加法 求两个向量 和的运算 三角形法则 平行四边形法则(1)交换律： a＋b＝b＋a； (2)结合律：(a＋b)＋c＝a＋(b＋c) 减法求a与b的相反 向量－b的和的 运算叫做a与b 的差 三角形法则 a－b＝a＋(－b) 数乘 求实数λ与向 量a的积的运算(1)|λa|＝|λ||a|； (2)当λ>0时，λa的 方向与a的方向相同； λ(μa)＝ λμa； (λ＋μ)a＝λa
当λ<0时，λa 的方向与a 的方向相反；当λ＝0时，λa ＝0 ＋μa ； λ(a ＋b )＝λa ＋λb 3.共线向量定理 向量a (a ≠0)与b 共线的充要条件是存在唯一一个实数λ，使得b ＝λa . 【考点突破】 考点一、平面向量的有关概念 【例1】给出下列四个命题： ①若|a |＝|b |，则a ＝b ； ②若A ，B ，C ，D 是不共线的四点，则“AB →＝DC → ”是“四边形ABCD 为平行四边形”的充要条件； ③若a ＝b ，b ＝c ，则a ＝c ； ④a ＝b 的充要条件是|a |＝|b |且a ∥b . 其中正确命题的序号是( ) A ．②③ B ．①② C ．③④ D ．②④ [答案] A [解析] ①不正确.两个向量的长度相等，但它们的方向不一定相同. ②正确.∵AB →＝DC →，∴|AB →|＝|DC →|且AB →∥DC → ，又A ，B ，C ，D 是不共线的四点，∴四边形ABCD 为平行四边形；反之，若四边形ABCD 为平行四边形，则|AB →|＝|DC →|，AB →∥DC →且AB →，DC →方向相同，因此AB →＝DC →. ③正确.∵a ＝b ，∴a ，b 的长度相等且方向相同，又b ＝c ，∴b ，c 的长度相等且方向相同，∴a ，c 的长度相等且方向相同，故a ＝c . ④不正确.当a ∥b 且方向相反时，即使|a |＝|b |，也不能得到a ＝b ，故|a |＝|b |且a ∥b 不是a ＝b 的充要条件，而是必要不充分条件. 综上所述，正确命题的序号是②③.
平面向量线性运算教案
向量的加法；向量的减法；向量的数乘. 教学目标 通过经历向量加法的探究，掌握向量加法概念，结合物理学实际理解向量加法的意义。能 熟练地掌握向量加法的平行四边形法则和三角形法则， 并能作出已知两向量的和向量。 通 过探究活动，掌握向量减法概念，理解两个向量的减法就是转化为加法来进行，掌握相反 向量。 教学重点 向量的加减法的运算。 〔 _____________ ! 教学难点 教学过程 」、导入 高考对本内容的考查主要以选择题或者是填空题的形式来出题， 一般难度不 大，属于简单题 二、知识讲解 I 考）向量加量加三法形法则 在定义中所给出的求象量和的方法就是向量加法的三角形法则。 运用这一法则时 要特别注意“首尾相接”，即第二个向量要以第一个向量的终点为起点， 则由第 一个向量的起点指向第二个向量的终点的向量即为和向量。 0位移的合成可以看 作向量加法三角形法则的物理模型。 知识点 向量的加减法的几何意义 。 【知识导图】
（2）平行四边形法则 以同一点0为起点的两个已知向量 A.B为邻边作平行四边形，则以0为起点的对角线0C就是a与b 的和。我们把这种作两个向量和的方法叫做向量加法的平行四边形法则。 由于方向反转两次仍法法原来的方向，因此a和-:互为相反向量。 于是-（-a）=a。 我们规定，零向量的相反向量仍是零向量. ____________ __ 一「 4 ■+ , 4 4 任一向量与其相反向量的和是零向量，即 a （-a）二（-a）■ a =0。 TH 4 4 H ^4^4 所以，如果a,b是互为相反的向量，那么a二-b,b二-a,a ? b =0。 考点3实数与向量的积的运算律 设■, ^为实数，那么 ⑴，（七）=（」i）a； （2）（I 丄）a 虫；」a ； （3）（a b）八a ■ b. ■.斗、- ,4 _斗屮.4 特别地，我们有（- ’）a = ，a）二’（-a），，（a-b）二’a-'b。 ■H 屮 4 . 向量共线的等价条件是：如果a（a = 0）与b共线，那么有且只有一个实数?，使 ■I J b —■ a。 二、例题精析 类型一平面向量的坐标表示 例题知边长为1的正方形ABCD 中, AB与x轴正半轴成30°角.求点B和点D的坐标和 uuiv uuv AB与AD的坐标.
2015届高考数学一轮总复习 5-1平面向量的概念与线性运算
2015届高考数学一轮总复习 5-1平面向量的概念与线性运算 基础巩固强化 一、选择题 1．(文)(2014·南通中学月考)设P 是△ABC 所在平面内的一点，BC → ＋BA → ＝2BP → ，则( ) A.P A →＋PB →＝0 B.PC →＋P A →＝0 C.PB → ＋PC → ＝0 D.P A → ＋PB → ＋PC → ＝0 [答案] B [解析] 如图，根据向量加法的几何意义，BC → ＋BA → ＝2BP → ?P 是AC 的中点，故P A → ＋PC → ＝0. (理)已知△ABC 中，点D 在BC 边上，且CD → ＝2DB →，CD → ＝rAB → ＋sAC → ，则r ＋s 的值是( ) A.23 B.43 C ．－3 D ．0 [答案] D [解析] CD → ＝AD → －AC → ，DB → ＝AB → －AD → . ∴CD →＝AB →－DB →－AC →＝AB → －1 2CD →－AC →. ∴3 2 CD →＝AB →－AC → ，
∴CD →＝23AB →－2 3 AC → . 又CD →＝rAB →＋sAC → ，∴r ＝23，s ＝－2 3， ∴r ＋s ＝0. 2．(2012·四川理，7)设a 、b 都是非零向量，下列四个条件中，使a |a |＝b |b |成立的充分条件是( ) A ．a ＝－b B ．a ∥b C ．a ＝2b D ．a ∥b 且|a |＝|b | [答案] C [解析] 本小题考查共线向量、单位向量、向量的模等基本概念． 因a |a |表示与a 同向的单位向量，b |b |表示与b 同向的单位向量，要使a |a |＝b |b |成立，则必须a 与b 同向共线，所以由a ＝2b 可得出a |a |＝b |b | . [点评] a ＝－b 时，a 与b 方向相反；a ∥b 时，a 与b 方向相同或相反．因此A 、B 、D 都不能推出a |a |＝b |b | . 3．(2013·长春调研)已知向量a ＝(2,1)，b ＝(x ，－2)，若a ∥b ，则a ＋b 等于( ) A ．(－2，－1) B ．(2,1) C ．(3，－1) D ．(－3,1) [答案] A [解析] 由a ∥b 可得2×(－2)－1×x ＝0，故x ＝－4，所以a ＋b ＝(－2，－1)，故选A. 4．(2013·辽宁五校联考)设点M 是线段BC 的中点，点A 在直线BC 外，BC → 2＝16，|AB → ＋AC → |＝|AB → －AC → |，则|AM → |＝( ) A ．2 B ．4 C ．6 D ．8 [答案] A [解析] 由|AB → ＋AC →|＝|AB →－AC →|两边平方得AB →2＋AC →2＋2AB →·AC →＝AB →2＋AC →2－2AB →·AC →，即AB →·AC → ＝0， 所以AB →⊥AC → ，∴AM 为Rt △ABC 斜边BC 上的中线，又由BC →2＝16得|BC →|＝4，所以|AM → |＝2. 5．设OA → ＝e 1，OB → ＝e 2，若e 1与e 2不共线，且点P 在线段AB 上，|AP PB |＝4，如图所示，则 OP → ＝( )
2020-2021学年新教材数学人教B版必修第二册 6.3 平面向量线性运算的应用 学案
6.3 平面向量线性运算的应用 学习目标 考点学习目标核心素养 几何应用通过本节课学习理解向量 在处理有关平面几何问题 中的优越性并体会向量在 几何和现实生活中的意义 数学抽象、数学建模 物理应用运用向量的有关知识(向 量加减法与向量数量积的 运算法则等)解决简单的 物理问题 数学抽象、数学建模 自主预习 预习教材P168~170的内容,解决以下问题: 1.已知向量a=(-2,m)与向量b=(1-m,1)平行,则实数m的值为() A.-1 B.1 C.2 D.-1或2 2.已知三个力F1=(-2,-1),F2=(-3,2),F3=(4,-3)同时作用于某物体上一点,为使物体保持平衡,现加上一个力F4,则F4等于() A.(-1,-2) B.(1,-2) C.(-1,2) D.(1,2) 3.如图,已知点A(4,0),B(4,4),C(2,6),则AC与OB的交点P的坐标为. 4.如图,已知两个力的大小和方向,则合力的大小为N;若用坐标表示合力F,则F=. 课堂探究 一、向量在平面几何中的应用 例1如图所示,MN是中位线,求证:MN∥BC且MN=1 2 BC. 例2如图所示,已知在平行四边形ABCD中,E,F在对角线BD上,并且BE=FD. 求证:四边形AECF是平行四边形.
例3如图所示,已知△ABC中,E,F分别是AB,BC的重点,AF与CE相交于点O,求AO∶OF与CO∶OE的值. 跟踪训练如图,在直角梯形ABCD中,DC????? =1 4AB ????? ,BE ????? =2EC ????? ,且AE ????? =r AB ????? +s AD ????? ,则2r+3s=() A.1 B.2 C.3 D.4 二、向量在物理中的应用 例4如图所示,一个物体被两根轻质细绳拉住,且处于平衡状态,已经物体所受的重力大小为50 N,求每条绳上的拉力大小. 跟踪训练已知船在静水中的速度大小为5 m/s,且船在静水中的速度大小大于水的速度大小,河宽为20 m,船垂直到达对岸用的时间为5 s,试用向量的减法来求水流的速度大小. 课堂练习 1.已知点A(2,3),B(-2,6),C(6,6),D(10,3),则以ABCD为顶点的四边形是() A.梯形 B.邻边不相等的平行四边形 C.菱形 D.两组对边均不平行的四边形 2.已知作用在点A的三个力F1=(3,4),F2=(2,-5),F3=(3,1),且A(1,1),则合力F=F1+F2+F3的终点坐标为() A.(9,1) B.(1,9) C.(9,0) D.(0,9) 3.已知在平行四边形ABCD中,E,F是对角线AC上的两点,且AE=FC=1 4 AC,试用向量方法证明四边形DEBF也是平行四边形. 核心素养专练 1.人骑自行车的速度是v1,风速为v2,则人的实际速度为() A.v1-v2 B.v1+v2 C.|v1|-|v2| D.|v1 v2 | 2.已知四边形ABCD各顶点坐标是A(-1,-7 3),B(1,1 3 ),C(-1 2 ,2),D(-7 2 ,-2),则四边形ABCD是()
平面向量的概念与线性运算
平面向量的概念及线性运算知识点： 1．向量的有关概念 2.向量的线性运算
3.向量共线的判定定理 a是一个非零向量，若存在一个实数λ，使得b＝λa，则向量b与非零向量a共线． 选择题： 给出下列命题：①零向量的长度为零，方向是任意的；②若a，b都是单位向量，则a＝b；③向量AB→与BA→相等．则所有正确命题的序号是( ) A．①B．③C．①③D．①② 解析根据零向量的定义可知①正确；根据单位向量的定义可知，单位向量的模相等，但方向不一定相同，故两个单位向量不一定相等，故②错误；向量AB→与BA→互为相反向量，故③错误． →；③OA→＋OB→＋BO→＋CO→；④AB→－AC→＋BD→已知下列各式：①AB→＋BC→＋CA→；②AB→＋MB→＋BO→＋OM －CD→，其中结果为零向量的个数为( )
A．1 B．2 C．3 D．4 解析由题知结果为零向量的是①④，故选B. 设a0为单位向量，①若a为平面的某个向量，则a＝|a|a0；②若a与a0平行，则a＝|a|a0；③若a 与a0平行且|a|＝1，则a＝a0.上述命题中，假命题的个数是( ) A．0 B．1 C．2 D．3 解析向量是既有大小又有方向的量，a与|a|a0的模相同，但方向不一定相同，故①是假命题；若a 与a0平行，则a与a0的方向有两种情况：一是同向，二是反向，反向时a＝－|a|a0，故②③也是假命题．综上所述，假命题的个数是3. 设a0，b0分别是与a，b同向的单位向量，则下列结论中正确的是( ) A．a0＝b0B．a0·b0＝1 C．|a0|＋|b0|＝2 D．|a0＋b0|＝2 解析∵是单位向量，∴|a0|＝1，|b0|＝1 设a是非零向量，λ是非零实数，下列结论中正确的是( ) A．a与λa的方向相反B．a与λ2a的方向相同C．|－λa|≥|a| D．|－λa|≥|λ|·a 解析对于A，当λ＞0时，a与λa的方向相同，当λ＜0时，a与λa的方向相反，B正确；对于C，|－λa|＝|－λ||a|，由于|－λ|的大小不确定，故|－λa|与|a|的大小关系不确定；对于D，|λ|a是向量，而|－λa|表示长度，两者不能比较大小． 设a、b是两个非零向量( ) A．若|a＋b|＝|a|－|b|，则a⊥b B．若a⊥b，则|a＋b|＝|a|－|b| C．若|a＋b|＝|a|－|b|，则存在实数λ，使得b＝λa D．若存在实数λ，使得b＝λa，则|a＋b|＝|a|－|b| 解析对于A，可得cos〈a，b〉＝－1，∴a⊥b不成立；对于B，满足a⊥b时|a＋b|＝|a|－|b|
平面向量的基本概念及线性运算知识点
平面向量 一、向量的相关概念 1、向量的概念：既有大小又有方向的量，注意向量和数量的区别。向量常用有向线段来表示，注意不能说向量就是有向线段（向量可以平移）。如已知A （1,2），B （4,2），则把向量AB u u u r 按向量a r ＝（－1,3）平移后得到的向量是_____（3,0） 2、向量的表示方法：用有向线段来表示向量. 起点在前，终点在后。有向线段的长度表示向量的大小，用_____箭头所指的方向____表示向量的方向.用字母a ，b ，…或用AB ，BC ，…表示 （1） 模：向量的长度叫向量的模，记作|a |或|AB |. （2）零向量：长度为0的向量叫零向量，记作：0，注意零向量的方向是任意的； （3）单位向量：长度为一个单位长度的向量叫做单位向量(与AB u u u r 共线的单位向量是|| AB AB ±u u u r u u u r )； （4）相等向量：长度相等且方向相同的两个向量叫相等向量，相等向量有传递性。 （5）平行向量（也叫共线向量）：方向相同或相反的非零向量a 、b 叫做平行向量，记作：a ∥b ，规定零向量和任何向量平行。提醒：①相等向量一定是共线向量，但共线向量不一定相等；②两个向量平行与与两条直线平行是不同的两个概念：两个向量平行包含两个向量共线, 但两条直线平行不包含两条直线重合；③平行向量无传递性！（因为有0r )；④三点A B C 、、共线? AB AC u u u r u u u r 、共线； （6）相反向量：长度相等方向相反的向量叫做相反向量。a 的相反向量是－a 。零向量的相反向量时零向量。 二、向量的线性运算 1.向量的加法： （1）定义：求两个向量和的运算，叫做向量的加法. 如图，已知向量a ，b ，在平面内任取一点A ，作AB =u u u r a ，BC =u u u r b ，则向量AC 叫做a 与b 的和，记作a+b ，即 a+b AB BC AC =+=u u u r u u u r u u u r 。AB BC CD DE AE +++=u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r 特殊情况：a b a b a+b b a a+ b (1)平行四边形法则三角形法则 C B D C B A 对于零向量与任一向量a ，有 a 00+=+ a = a （2）法则：____三角形法则_______，_____平行四边形法则______ （3）运算律：____ a +b =b +a ；_______，____（a +b ）+c =a +（b +c ）._______ 当a 、b 不共线时，
高中数学学案：平面向量的有关概念及其线性运算
高中数学学案:平面向量的有关概念及其线性运算 1. 了解向量的实际背景；理解平面向量的基本概念和几何表示；理解向量相等的含义. 2. 掌握向量的加、减运算和数乘运算；理解其几何意义；理解向量共线定理. 3. 了解向量的线性运算性质及其几何意义. 1. 阅读:必修4第59～73 页. 2. 解悟:①向量的相关概念；②向量的线性运算；③第71 页例4中两个不共线的向量OA →,OB →可 以表示平面内任意一向量吗？④第71页例4你能得到什么结论吗？ 3. 践习:在教材空白处,完成第72～73页习题第11、13、14、15、16题. 基础诊断 1. 给出下列命题:①若AB →∥CD →,则AB →与CD →共线；②若AB →＝CD →,则AB →∥CD →；③若AB →＝CD →, 则BA →＝DC →；④若AB →∥BC →,则A,B,C 三点共线.其中,正确的命题是 ①②③④ .(填序号) 解析:①根据向量平行的定义可知,平行即共线,所以若AB →∥CD →,则AB →与CD →共线正确；②根 据相等向量的定义可知,若AB →＝CD →,则AB →与CD →的方向相同,故AB →∥CD →正确；③若AB →＝CD →,则 －AB →＝－CD →,即BA →＝DC →,故③正确；④若均不为零向量,若AB →∥BC →,则A,B,C 三点共线显然成立.若有一个为零向量,则其中有两个点重合,三点共线依旧成立,故④正确.故选①②③④. 2. 化简:AB →－CB →＋EF →－EC →＝ AF → . 解析:原式＝AB →＋BC →＋EF →＋CE →＝AC →＋CF →＝AF →. 3. 若O 是△ABC 所在平面内的一点,且满足|OB →－OC →|＝|OB →＋OC →－2OA →|,则△ABC 的形状 是 直角三角形 . 解析:因为|OB →－OC →|＝|OB →＋OC →－2OA →|,所以|CB →|＝|AB →＋AC →|.以线段AB 和AC 为邻边画出 平行四边形ABDC,则AB →＋AC →＝AD →.因为|CB →|＝|AB →－AC →|＝|AB →＋AC →|,所以平行四边形的两条 对角线相等,所以平行四边形是矩形,所以∠BAC ＝90°,所以△ABC 是直角三角形.
平面向量的线性运算教学设计
《平面向量的线性运算》复习教学设计 高中数学北师大版 西安交通大学第二附属中学 刘正伟
§5.1平面向量的线性运算 【教学目标】 知识与能力；过程与方法；情感、态度、价值观； 1.掌握向量加法，减法的运算，并理解其几何意义； 2.掌握向量数乘向量的运算及其几何意义，理解向量共线的充要条件； 了解向量共线的含义，理解向量共线判定和性质定理。 【教学重点、难点】 重点：理解并掌握向量的线性运算及向量共线的充要条件； 难点：向量的线性运算及向量共线的充要条件的应用。 【教具准备】 多媒体课件 【教学方法】 启发引导式；讲练结合 【教学设计】 （一）．复习导入 问题：前面我们已经复习了的向量的有关概念，知道了向量是既有大小又有方向的量，物理中既有大小又有方向的量？ 学生：速度，加速度，位移，力 力可以合成也可以分解，那么向量怎么运算 那么我们今天一起回顾向量的线性运算——板书课题 （二）知识要点 1.向量的线性运算
a 是一个非零向量，若存在一个实数λ.，使得 b ＝λa ，则向量b 与非零向量a 共线． 3.【知识拓展】 1．一般地，首尾顺次相接的多个向量的和等于从第一个向量起点指向最后一个向量终 点的向量，即A 1A 2→＋A 2A 3→＋A 3A 4→＋…＋A n －1A n ——→＝A 1A n →，特别地，一个封闭图形，首尾连 接而成的向量和为零向量． 2．若P 为线段AB 的中点，O 为平面内任一点，则OP →＝12 (OA →＋OB →)． 3.OA →＝λOB →＋μOC →(λ，μ为实数)，点A ，B ，C 共线 λ＋μ＝1. 题型一 平面向量的线性运算 命题点1 向量的线性运算 例2 (1)在△ABC 中，AB →＝c ，AC →＝b ，若点D 满足BD →＝2DC →，则AD →等于( )
(统编版)2020高中数学第二章平面向量2.2平面向量的线性运算知识导航学案新人教A版必修04
2.2 平面向量的线性运算 知识梳理 一、向量加法 1.向量加法的定义 如图2-2-1，在平面内任取一点A，作AB=a，BC=b，则向量AC叫做向量a与b的和，记作a+b，即a+b=AB+BC=AC. 图2-2-1 求两个向量和的运算，叫做向量的加法. 对于零向量与任意向量a，仍然有a+0=0+a=a. 2.向量加法的运算律 (1)交换律：a+b=b+a. (2)结合律：(a+b)+c=a+(b+c). 二、向量减法的定义 与a长度相等且方向相反的向量，叫做a的相反向量，记作-a. 求两个向量差的运算叫做向量的减法：a-b=a+(-b)，即向量a减去向量b相当于加上向量b 的相反向量-b. 三、向量数乘 1.向量数乘的定义 一般地，实数λ与向量a的积是一个向量，这种运算叫做向量的数乘，记作λa，它的长度与方向规定如下： (1)|λa|=|λ||a|； (2)当λ＞0时，λa的方向与a的方向相同；当λ＜0时，λa的方向与a的方向相反； (3)当λ=0时，λa=0. 2.向量数乘的运算律 设λ、μ是实数，则有： (1)λ(μa)=(λμ)a； (结合律) (2)(λ+μ)a=λa+μa； (第一分配律) (3)λ(a+b)=λa+λb. (第二分配律) 知识导学 要学好本节内容，可从数的加法启发我们，从运算的角度看，位移的合成、力的合成可看作向量的加法.借助于物理中位移的合成、力的合成来理解向量的加法，从而顺理成章地接受向量的加法定义.结合图形掌握向量加法的三角形法则和平行四边形法则.联系数的运算律理解和掌握向量加法运算的交换律和结合律.减法运算是加法运算的逆运算，应在理解相反向量的基础上结合向量的加法运算掌握向量的减法运算；并利用三角形作出减向量.通过探究类比数的运算性质，理解向量的加法交换律和结合律，通过画图验证的实验方法理解向量加法的交换律和结合律.
平面向量线性运算教案
适用
高中数学
适用年级
高一
学科
适用区域 苏教版区域
课时时长（分钟）
2 课时
知识点 向量的加法；向量的减法；向量的数乘.
教学目标
通过经历向量加法的探究，掌握向量加法概念，结合物理学实际理解向量加法的意义。能 熟练地掌握向量加法的平行四边形法则和三角形法则，并能作出已知两向量的和向量。通 过探究活动，掌握向量减法概念，理解两个向量的减法就是转化为加法来进行，掌握相反 向量。
教学重点 向量的加减法的运算。
教学难点 向量的加减法的几何意义。
【知识导图】
教学过程
一、导入
高考对本内容的考查主要以选择题或者是填空题的形式来出题，一般难度不 大，属于简单题。
二、知识讲解
（考1）点向1量向加量法加的法三法角则形法则 在定义中所给出的求象量和的方法就是向量加法的三角形法则。运用这一法则时 要特别注意“首尾相接”，即第二个向量要以第一个向量的终点为起点，则由第一 个向量的起点指向第二个向量的终点的向量即为和向量。0 位移的合成可以看作 向量加法三角形法则的物理模型。
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（2）平行四边形法则 以同一点 O 为起点的两个已知向量 A.B 为邻边作平行四边形，则以 O 为起点的 对角线 OC 就是 a 与 b 的和。我们把这种作两个向量和的方法叫做向量加法的平 行四边形法则。
由考于点方2向反向转量两的次减仍法回法到则原来的方向，因此 a 和 a 互为相反向量。 于是 (a) a 。 我们规定，零向量的相反向量仍是零向量. 任一向量与其相反向量的和是零向量，即 a (a) (a) a 0 。 所以，如果 a, b 是互为相反的向量，那么 a= b,b= a, a b 0 。
考点 3 实数与向量的积的运算律 设 ， 为实数，那么 (1) ( a) ()a ； (2) ( )a a a ； (3) (a b) a b . 特别地，我们有 ()a (a) (a) ， (a b) a b 。 向量共线的等价条件是：如果 a(a 0) 与 b 共线，那么有且只有一个实数 ，使 b a。
三 、例题精析 类型一 平面向量的坐标表示
例题 1
已知边长为 1 的正方形 ABCD 中，AB 与 x 轴正半轴成 30°角．求点 B 和点 D 的坐标和 AB 与 AD 的坐标．
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第32讲 平面向量的概念及线性运算
金题精讲 题一：判断下列命题的真假：[来源学_科_网Z_X_X_K] (1)若非零向量,AB CD 是共线向量，则四点D C B A ,,,共线； (2)若//,//,a b b c 则//a c ； (3)起点不同，但方向相同且长度相等的几条有向线段表示的向量是相等的向量； (4)不相等的向量，则一定不平行； (5)与非零向量a 共线的单位向量是 || a a ． 题二：已知O 是△ABC 所在平面内一点，D 为BC 边中点，且2OA →＋OB →＋OC →＝0→，那么（ ） A ．AO → = OD → B ．AO → = 2OD → C ．AO → = 3O D → D ．2AO →＝OD → 题三：已知P 、A 、B 、C 是平面内四个不同的点，且PA →＋PB →＋PC →＝AC →，则（ ） A ．A 、B 、C 三点共线 B ．A 、B 、P 三点共线 C ．A 、C 、P 三点共线 D ．B 、C 、P 三点共线 题四：已知OA →＝a ，OB →＝b ，C 为线段AO 上距A 较近的一个三等分点，D 为线段C B 上距C 较近 的一个三等分点，则用a 、b 表示OD →的表达式为__________________． 题五：设平面内有四边形ABCD 和点O ，若OA →＝a ，OB →＝b ，OC →＝c ，OD →＝d ，且a ＋c ＝b ＋ d ，则四边形ABCD 为（ ） A ．菱形 B ．梯形 C ．矩形 D ．平行四边形
金题精讲 题一：(1)假命题；(2) 假命题；(3)真命题；(4) 假命题；(5) 假命题． 题二：A ． 题三：B ． 题四：OD → = 49a ＋13b ． 题五：D ．
高中数学必修4《平面向量线性运算》教案
高中数学必修4《平面向量线性运算》教案 High school mathematics compulsory 4 "plane vector linear op eration" teaching plan
高中数学必修4《平面向量线性运算》教案前言：数学是研究数量、结构、变化、空间以及信息等概念的一门学科，从某种角度看属于形式科学的一种，在人类历史发展和社会生活中，数学发挥着不可替代的作用，是学习和研究现代科学技术必不可少的基本工具。本教案根据数学课程标准的要求和教学对象的特点，将教学诸要素有序安排，确定合适的教学方案的设想和计划、并以启迪发展学生智力为根本目的。便于学习和使用，本文档下载后内容可按需编辑修改及打印。 教学准备 教学目标 1、掌握向量的加法运算，并理解其几何意义; 2、会用向量加法的三角形法则和平行四边形法则作两个向量的和向量，培养数形结合解决问题的能力; 3、通过将向量运算与熟悉的数的运算进行类比，使学生掌握向量加法运算的交换律和结合律，并会用它们进行向量计算，渗透类比的数学方法; 教学重难点 教学重点：会用向量加法的三角形法则和平行四边形法则作两个向量的和向量. 教学难点：理解向量加法的定义.
教学工具 投影仪 教学过程 一、设置情景： 1、复习：向量的定义以及有关概念 强调：向量是既有大小又有方向的量.长度相等、方向相同的向量相等.因此，我们研究的向量是与起点无关的自由向量，即任何向量可以在不改变它的方向和大小的前提下，移到任何位置 从而，多个向量的加法运算可以按照任意的次序、任意的组合来进行. 三、应用举例： 例二（P94—95）略 练习：P95 四、小结 1、向量加法的几何意义; 2、交换律和结合律;