平面向量的概念与线性运算

平面向量的概念及线性运算知识点：

1．向量的有关概念

2.向量的线性运算

三角形法则

3.向量共线的判定定理

a是一个非零向量，若存在一个实数λ，使得b＝λa，则向量b与非零向量a共线．

选择题：

给出下列命题：①零向量的长度为零，方向是任意的；②若a，b都是单位向量，则a＝b；③向量AB→与BA→相等．则所有正确命题的序号是( )

A．① B．③ C．①③ D．①②

解析根据零向量的定义可知①正确；根据单位向量的定义可知，单位向量的模相等，但方向不一定相同，故两个单位向量不一定相等，故②错误；向量AB→与BA→互为相反向量，故③错误．

已知下列各式：①AB→＋BC→＋CA→；②AB→＋MB→＋BO→＋OM→；③OA→＋OB→＋BO→＋CO→；④AB→－AC→＋BD→－CD→，其中结果为零向量的个数为( )

A．1 B．2 C．3 D．4

解析由题知结果为零向量的是①④，故选B.

设a0为单位向量，①若a为平面的某个向量，则a＝|a|a0；②若a与a0平行，则a＝|a|a0；③若a 与a0平行且|a|＝1，则a＝a0.上述命题中，假命题的个数是( )

A．0 B．1 C．2 D．3

解析向量是既有大小又有方向的量，a与|a|a0的模相同，但方向不一定相同，故①是假命题；若a 与a0平行，则a与a0的方向有两种情况：一是同向，二是反向，反向时a＝－|a|a0，故②③也是假命题．综上所述，假命题的个数是3.

设a0，b0分别是与a，b同向的单位向量，则下列结论中正确的是( )

A．a0＝b0 B．a0·b0＝1 C．|a0|＋|b0|＝2 D．|a0＋b0|＝2

解析∵是单位向量，∴|a0|＝1，|b0|＝1

设a是非零向量，λ是非零实数，下列结论中正确的是( )

A．a与λa的方向相反 B．a与λ2a的方向相同 C．|－λa|≥|a| D．|－λa|≥|λ|·a

解析对于A，当λ＞0时，a与λa的方向相同，当λ＜0时，a与λa的方向相反，B正确；对于C，|－λa|＝|－λ||a|，由于|－λ|的大小不确定，故|－λa|与|a|的大小关系不确定；对于D，|λ|a 是向量，

而|－λa |表示长度，两者不能比较大小．

设a 、b 是两个非零向量( )

A ．若|a ＋b |＝|a |－|b |，则a ⊥b

B ．若a ⊥b ，则|a ＋b |＝|a |－|b |

C ．若|a ＋b |＝|a |－|b |，则存在实数λ，使得b ＝λa

D ．若存在实数λ，使得b ＝λa ，则|a ＋b |＝|a |－|b |

解析 对于A ，可得cos 〈a ，b 〉＝－1，∴a ⊥b 不成立；对于B ，满足a ⊥b 时|a ＋b |＝|a |－|b |不成立；对于C ，可得cos 〈a ，b 〉＝－1，∴成立，而D 显然不一定成立．

如图，已知AB →＝a ，AC →＝b ，BD →＝3DC →，用a ，b 表示AD →，则AD →等于( ) A ．a ＋34b B.14a ＋34b C.14a ＋14b D.34a ＋14b

解析 ∵CB →＝AB →－AC →＝a －b ，又BD →＝3DC →，∴CD →

＝14CB →＝14(a －b )，

∴AD →＝AC →＋CD →

＝b ＋14(a －b )＝14a ＋34b

如图，在正六边形ABCDEF 中，BA →＋CD →＋EF →＝( )

A ．0 B.BE → C.AD → D.CF → 解析 由题图知BA →＋CD →＋EF →＝BA →＋AF →＋C

B →＝CB →＋BF →＝CF →.

如图所示，已知AB 是圆O 的直径，点C ，D 是半圆弧的两个三等分点，AB →

＝a ，A C →＝b ，则A D →＝( )

A ．a －12b B.12a －b C ．a ＋12b D.1

2

a ＋b

解析连接CD，∵C，D是半圆弧的三等分点，得CD∥AB且CD→＝1

2

AB→＝

1

2

a，∴AD→＝AC→＋CD→＝b＋

1

2

a

已知向量AB→＝a＋3b，BC→＝5a＋3b，CD→＝－3a＋3b，则( )

A．A，B，C三点共线 B．A，B，D三点共线

C．A，C，D三点共线 D．B，C，D三点共线

解析：∵BD→＝BC→＋CD→＝2a＋6b＝2(a＋3b)＝2AB→，∴BD→、AB→共线，又公共点B，∴A、B、D三点共线设D为△ABC所在平面一点，BC→＝3CD→，则( )

A.AD→＝－1

3

AB→＋

4

3

AC→ B.AD→＝

1

3

AB→－

4

3

AC→ C.AD→＝

4

3

AB→＋

1

3

AC→ D.AD→＝

4

3

AB→－

1

3

AC→

解析∵BC→＝3CD→，∴AC→－AB→＝3(AD→－AC→)，即4AC→－AB→＝3AD→，∴AD→＝－1

3

AB→＋

4

3

AC→.

设D，E，F分别为△ABC的三边BC，CA，AB的中点，则EB→＋FC→等于( )

A.BC→

B.1

2

AD→ C.AD→ D.

1

2

BC→

解析EB→＋FC→＝1

2

(AB→＋CB→)＋

1

2

(AC→＋BC→)＝

1

2

(AB→＋AC→)＝AD→

在△ABC中，AB→＝c，AC→＝b，若点D满足BD→＝2DC→，则AD→等于( )

A.2

3

b＋

1

3

c B.

5

3

c－

2

3

b C.

2

3

b－

1

3

c D.

1

3

b＋

2

3

c

解析∵BD→＝2DC→，∴AD→－AB→＝BD→＝2DC→＝2(AC→－AD→)，

∴3AD→＝2AC→＋AB→，∴AD→＝2

3

AC→＋

1

3

AB→＝

2

3

b＋

1

3

c.

设M为平行四边形ABCD对角线的交点，O为平行四边形ABCD所在平面任意一点，则OA→＋OB→＋OC→＋OD→等于( )

A.OM→ B．2OM→ C．3OM→ D．4OM→

解析OA→＋OB→＋OC→＋OD→＝(OA→＋OC→)＋(OB→＋OD→)＝2OM→＋2OM→＝4OM→

已知点O ，A ，B 不在同一条直线上，点P 为该平面上一点，且2OP →＝2OA →＋BA →，则( ) A ．点P 在线段AB 上 B ．点P 在线段AB 的反向延长线上 C ．点P 在线段AB 的延长线上 D ．点P 不在直线AB 上

解析 ∵2OP →＝2OA →＋BA →，∴2AP →＝BA →，∴点P 在线段AB 的反向延长线上，故选B.

在△ABC 中，已知D 是AB 边上的一点，若AD →＝2DB →，CD →＝13CA →＋λCB →，则λ等于( )

A.23

B.13 C ．－13 D ．－23 解析 ∵AD →＝2DB →，即CD →－CA →＝2(CB →－CD →)，∴CD →＝13CA →＋23CB →，∴λ＝23.

在△ABC 中，点D 在线段BC 的延长线上，且BC →＝3CD →，点O 在线段CD 上(与点C ，D 不重合)，若AO →＝xAB →＋(1－x )AC →

，则x 的取值围是( )

A.? ????0，12

B.? ????0，13

C.? ????－12，0

D.? ????－13，0

解析 设CO →＝yBC →，∵AO →＝AC →＋CO →＝AC →＋yBC →＝AC →＋y (AC →－AB →)＝－yAB →＋(1＋y )AC →. ∵BC →＝3CD →

，点O 在线段CD 上(与点C ，D 不重合)，∴y ∈? ????0，13，

∵AO →＝xAB →＋(1－x )AC →

，∴x ＝－y ，∴x ∈? ????－13，0.

已知a ，b 是不共线的两个向量，AB →＝x a ＋b ，AC →＝a ＋y b (x ，y ∈R )，若A ，B ，C 三点共线，则点P (x ，

y )的轨迹是( )

A ．直线

B ．双曲线

C ．圆

D ．椭圆 解析 ∵若A ，B ，C 三点共线，∴AB →＝λAC →

，即x a ＋b ＝λ(a ＋y b )???

?

x ＝λ，1＝λy ，?xy ＝1，故选B.

设a ，b 不共线，AB →＝2a ＋p b ，BC →＝a ＋b ，CD →＝a －2b ，若A ，B ，D 三点共线，则实数p 的值为( ) A ．－2 B ．－1 C ．1 D ．2 解析 ∵BC →＝a ＋b ，CD →＝a －2b ，∴BD →＝BC →＋CD →

＝2a －b .

又∵A ，B ，D 三点共线，∴AB →，BD →共线．

设AB →＝λBD →，∴2a ＋p b ＝λ(2a －b )，∴2＝2λ，p ＝－λ，∴λ＝1，p ＝－1.

已知平面一点P 及△ABC ，若PA →＋PB →＋PC →＝AB →，则点P 与△ABC 的位置关系是( ) A ．点P 在线段AB 上 B ．点P 在线段BC 上 C ．点P 在线段AC 上 D ．点P 在△ABC 外部

解析 由PA →＋PB →＋PC →＝AB →得PA →＋PC →＝AB →－PB →＝AP →，即PC →＝AP →－PA →＝2AP →，所以点P 在线段AC 上．

已知点O 为△ABC 外接圆的圆心，且OA →＋OB →＋OC →＝0，则△ABC 的角A 等于( ) A ．30° B ．60° C ．90° D ．120° 解析 由OA →＋OB →＋OC →＝0，知点O 为△ABC 的重心，

又∵O 为△ABC 外接圆的圆心，∴△ABC 为等边三角形，A ＝60°.

填空题：

设D ，E 分别是△ABC 的边AB ，BC 上的点，AD ＝12AB ，BE ＝2

3BC .若DE →＝λ1AB →＋λ2AC →(λ1，λ2为实数)，

则λ1＋λ2的值为________

解析 DE →＝DB →＋BE →

＝12AB →＋23BC →＝12AB →＋23(AC →－AB →)＝－16AB →＋23AC →，

∵DE →＝λ1AB →＋λ2AC →

，∴λ1＝－16，λ2＝23，故λ1＋λ2＝12.

如图，在平行四边形ABCD 中，对角线AC 与BD 交于点O ，AB →＋AD →＝λAO →，则λ＝________

解析 ∵ABCD 为平行四边形，∴AB →＋AD →＝AC →＝2AO →，已知AB →＋AD →＝λAO →，故λ＝2

已知□ABCD 的对角线AC 和BD 相交于O ，且OA →＝a ，OB →＝b ，则DC →＝________，BC →＝________(用a ，b 表示)．

解析 如图，DC →＝AB →＝OB →－OA →＝b －a ，BC →＝OC →－OB →＝－OA →－OB →

＝－a －b .

已知a 与b 是两个不共线向量，且向量a ＋λb 与－(b －3a )共线，则λ＝________.

解析 由已知得a ＋λb ＝－k (b －3a )，∴??

?

λ＝－k ，

3k ＝1.

解得???

??

λ＝－1

3，k ＝13

.

已知O 为四边形ABCD 所在平面一点，且向量OA →，OB →，OC →，OD →

满足等式OA →＋OC →＝OB →＋OD →，则四边形ABCD 的形状为________

解析 由OA →＋OC →＝OB →＋OD →得OA →－OB →＝OD →－OC →，∴BA →＝CD →，∴四边形ABCD 为平行四边形．

若点O 是△ABC 所在平面的一点，且满足|OB →－OC →|＝|OB →＋OC →－2OA →|，则△ABC 的形状为________ 解析：OB →＋OC →－2OA →＝(OB →－OA →)＋(OC →－OA →)＝AB →＋AC →，OB →－OC →＝CB →＝AB →－AC →， ∴|AB →＋AC →|＝|AB →－AC →|，故A ，B ，C 为矩形的三个顶点，△ABC 为直角三角形．

设点M 是线段BC 的中点，点A 在直线BC 外，BC →2＝16，|AB →＋AC →|＝|AB →－AC →|，则|AM →|＝________ 解析 由|AB →＋AC →|＝|AB →－AC →|得，AB →⊥AC →，则AM 为Rt△ABC 斜边BC 上的中线，∴|AM →|＝12|BC →|＝2

在△ABC 中，点M ，N 满足AM →＝2MC →，BN →＝NC →.若MN →＝xAB →＋yAC →，则x ＝________；y ＝________

解析 MN →＝MC →＋CN →＝13AC →＋12CB →＝13AC →＋12(AB →－AC →)＝12AB →－16AC →，

∴x ＝12，y ＝－1

6.

解答题：

在△ABC 中，D 、E 分别为BC 、AC 边上的中点，G 为BE 上一点，且GB ＝2GE ，设AB →

＝a ，AC →＝b ，试用a ，b 表示AD →，AG →. 解 AD →

＝12(AB →＋AC →)＝12a ＋12

b .

AG →＝AB →＋BG →＝AB →

＋23BE →＝AB →＋13(BA →＋BC →)＝23AB →＋13(AC →－AB →)＝13AB →＋13AC →＝13a ＋13b .