高等数学方明亮版第九章答案 曲线积分与曲面积分习题详解
9-习题课
Pdx Qdy
非闭
闭合 I (
Q P )dxdy x y
由 I ( x 2 2 xy )dx ( x 2 y 4 )dy 解 L
P 2 知 ( x 2 xy ) 2 x y y
y
1
D
A
Q 2 ( x y4 ) 2x x x
2 2 2 2
: z 1 x y
2
2
z 0 的下侧.
解 下向xoy面的投影区域Dxy : x 2 y 2 1
x 2 y 2 z x 2 y 2 dxdy = x 2 y 2 dxdy
三重积分
当 R3上区域时,
f ( M )d f ( x , y , z )dV
当 R3上空间曲线时,
曲线积分
f ( M )d f ( x , y , z )ds.
曲面积分
当 R3上曲面S时,
S
f ( M )d f ( x , y , z )dS .
Pdydz Qdzdx Rdxdy
( P cos Q cos R cos )dS
理论上的联系
1.定积分与不定积分的联系
b
a
f ( x )dx F (b) F (a )
( F ( x ) f ( x ))
牛顿--莱布尼茨公式
2.二重积分与曲线积分的联系
对坐标的曲线积分
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
L
f ( x , y )ds lim f ( i , i )si
高等数学曲线积分与曲面积分
典
型
双 侧
n
曲
面
典型单侧曲面: 莫比乌斯带
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章曲线积分与曲面积分
一、主要内容 二、线、面积分的基本计算法
一、对弧长的曲线积分的概念
1.定义 设L为xoy面内一条光滑曲线,弧函数f (x, y)
在L上有界.用L上的点M1, M2,, Mn1把L分成n
个小段.设第i个小段的长度为si ,又(i ,i )为第
i个小段上任意取定的点一, y
i1ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
的直径的最大值0时, 这和式的极限存在,
则称此极限为函数f(x, y,z)在曲面上对面积
的曲面积分或第一类曲面积分.
记 为 f(x,y,z)d.S
n
即 f(x,y,z)d S l i0im 1f(i, i, i) S i
其中 f(x, y,z)叫被积函数 叫积 ，分曲.面
B
作乘积f (i ,i ) si ,
n
并作和 f (i ,i ) si ,
i1
L Mn1
(i,i) M i
M2
A M1
Mi1
o
x
如果当各小弧段长的度的最大值 0时, 这和的极限存, 在则称此极限为函f数 (x, y) 在曲线弧L上对弧长的曲线积分第或一类曲
线积分, 记作 f (x, y)ds, 即 被积函数 L
n
f(x ,y,z)d sl i0im 1f(i,i,i) si.
注意：
1 . 若 L (或 )是分,段 (L L 光 1L 2)滑
f ( x ,y ) d sf ( x ,y ) d s f ( x ,y ) d . s
L 1 L 2
曲线积分与曲面积分习题及答案【范本模板】
第十章 曲线积分与曲面积分(A)1．计算()⎰+Ldx y x ，其中L 为连接()0,1及()1,0两点的连直线段。
2．计算⎰+Lds y x 22，其中L 为圆周ax y x =+22。
3．计算()⎰+Lds y x 22，其中L 为曲线()t t t a x sin cos +=，()t t t a y cos sin -=，()π20≤≤t 。
4．计算⎰+Ly x ds e22，其中L 为圆周222a y x =+，直线x y =及x 轴在第一角限内所围成的扇形的整个边界.5．计算⎰⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+L ds y x 3434，其中L 为内摆线t a x 3cos =,t a y 3sin =⎪⎭⎫ ⎝⎛≤≤20πt 在第一象限内的一段弧.6．计算⎰+Lds yx z 222,其中L 为螺线t a x cos =，t a y sin =，at z =()π20≤≤t . 7．计算⎰Lxydx ，其中L 为抛物线x y =2上从点()1,1-A 到点()1,1B 的一段弧。
8．计算⎰-+Lydz x dy zy dx x 2233,其中L 是从点()1,2,3A 到点()0,0,0B 的直线段AB 。
9．计算()⎰-+++Ldz y x ydy xdx 1，其中L 是从点()1,1,1到点()4,3,2的一段直线。
10．计算()()⎰---Ldy y a dx y a 2，其中L 为摆线()t t a x sin -=，()t a y cos 1-=的一拱（对应于由t 从0变到π2的一段弧)：11．计算()()⎰-++Ldy x y dx y x ,其中L 是：1)抛物线x y =2上从点()1,1到点()2,4的一段弧； 2)曲线122++=t t x ,12+=t y 从点()1,1到()2,4的一段弧。
12．把对坐标的曲线积分()()⎰+Ldy y x Q dx y x P ,,化成对弧和的曲经积分,其中L 为：1)在xoy 平面内沿直线从点()0,0到()4,3; 2）沿抛物线2x y =从点()0,0到点()2,4； 3)沿上半圆周x y x 22=+2从点()0,0到点()1,1。
高数第9章习题课
x2 a2
by22
cz22
1
z c c abc
由实际意义可知
M a a b a c,
bb , a b c
a c b c c
为所求切点 .
例11 求旋转 zx抛 2y2与 物平 面 xy面 2z2 之间的最短距离． 解 设P(x,y,z)为抛物 z面 x2y2上任一 ,则点 P到平x面 y2z20的距离 d, 为
2) 显式情况. 空间光滑曲面 :zf(x,y)
法向量
n(fx,fy,1)
法线的方向余弦
co s fx ,co s fy ,
1 fx 2 fy 2
1 fx 2 fy 2
cos
1
1fx2fy2
切平面方程
z z 0 f x ( x 0 , y 0 ) ( x x 0 ) f y ( x 0 , y 0 ) ( y y 0 )
x y
(t) (t)
切向量
z (t)
T ( ( t 0 ) ,( t 0 ) ,( t 0 ))
切线方程 xx0 yy0 zz0
(t0) (t0) (t0)
法平面方程
(t0)x (x0)(t0 )(y y 0 )(t0 )z( z 0 ) 0
2) 一般式情况. 空间光滑曲线 : G F((xx,,yy,,zz)) 0 0
dx hz
dxgyhz gy
代 (1 )得 入 d d u x fxfy g y g xfy g y g zh zh x.
例7 设函 ux数 3y.而 x,y是由x5方 y程 t与 方x程 2y3t2所 确 定 d.u， 求 dt
答d d案 u t1x 3 5 x y ： 2 2 [3 y (3 y 2 2 t) 2 x 2 (5 x 3 t 1 )].
高等数学方明亮版数学课件95对坐标的曲面积分
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记为 R(x, y, z)dxdy ，即
n
R (x ,y ,z)dx l d i0i m 1 y R (i,i, i) (S i)xy
被积函数
积分曲面
类似可定义
n
P (x ,y ,z)dy ld i0i m z 1P (i,i, i) (S i)yz
曲面分上侧和下侧
曲面分内侧和外侧
以后如未作特别说明，我们所讨论的曲面都是双侧的.
2019/12/10
3
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曲面法向量的指向决定曲面的侧.
决定了侧的曲面称为有向曲面.
曲面的投影问题: 在有向曲面 Σ 上取一小块 S
假定 S 在 xOy 面的投影 (S )xy 为
(S)xy
(()x)y， xy，ccooss
cos
i
k
,
通过 si 流向指定侧的流量的近似值为
v in i S i ( i 1 ,2 , ,n ).
2. 求和 通过 Σ 流向指定侧的流量
n
vi niSi
i1
2019/12/10
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返回nBiblioteka [P(i,i,i)coisQ(i,i,i)cois
2019/12/10
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（2） 设稳定流动的不可压缩流体(假定密度为 1) 的速度场由
v(x, y, z) P(x, y, z)i Q(x, y, z) j R(x, y, z)k
给出，Σ 是速度场中的一片有向曲面,函数
P( x, y, z), Q( x, y, z), R( x, y, z) z
高数答案(全集)第九章答案
第九章解答：1、（1）)271,91,31()1,1,1(----或； （2）321+； （3）→→+j i 362、（1）A （2）A3.解：方程两边对x 求导并移项得：⎪⎩⎪⎨⎧=--=+2532322dx dzdx dy x dx dz z dx dy y 由此可解得⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+-+-=+---=z y y x dxdz z y z x dx dy 61094661015410169)1,1,1(=dx dy ，161)1,1,1(-=dx dz )161,169,1(-∴→＝Ｔ 所求切线方程为：1191161--=-=-z y x 法平面方程为：0)1()1(9)1(16=---+-z y x 即024916=--+z y x 4. 将锥面方程变形为： )3(0)3(),,(222≥=---=z y x z z y x F在锥面上任取一点),,(000z y x ，则曲面在该点的法向量))3(2,2,2()),,(),,,(),,,((000000000000---==→z y x z y x F z y x F z y x F n z y x 所以该点的切平面方程为 0))(3()()(000000=----+-z z z y y y x x x将顶点坐标（0,0,3）代入上方程得0)3(202020=-+--z y x 所以过锥面上任一点),,(000z y x 处的切平面都过锥面的顶点（0,0,3）。
→→→→→→+-=-+-+-=-kj i ku j u i u gradu z y x 42)2,1,1()2,1,1()2,1,1()2,1,1(.5解：方向的方向导数最处沿向量在点函数→→→+--=∴k j i P z xy u 42)2,1,1(2211)4(2|)2,1,1(|22=+-+=-grad 其最大值为6.同37.)21,0(0)24(),(0)22(2),(:2222-⎪⎩⎪⎨⎧=+==+++=得唯一驻点解方程组解y e y x f e y y x e y x f xyx x xx yy x xy x xx e f y e f y y x e f 22224),12(4),122(4=+=+++=求二阶导数04,08042)21,0(2>=>=-⨯=--A B AC 又处，在点21)21,0()21,0(-=--∴f 处有极小值，极小值为函数在8. 解：此题为有条件极值问题，在椭圆上任取一点),,(z y x M 则 22222||zy x OM d ++==其中点M 受到两个限制条件：⎩⎨⎧=-++==--=01),,(0),,(2221z y x z y x y x z z y x ϕϕ 作拉格朗日函数 )1()(),,(2221222-+++--+++=z y x y x z z y x z y x L λλ令⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧=-++==--==++==+-==+-=)5(01)4(0)3(02)2(022)1(0222221212121z y x y x z z L y y L x x L z y x ϕϕλλλλλλ由)5()4(,)2()1(及代入知y x =-得： x z x z 21,22-==01222=-+∴x x 故 32,231 =±-==z y x 得两个驻点)32,231,231(±-±-。
高等数学方明亮版数学课件92对坐标的曲线积分共24页
答：曲线方向由参数的变化方向而定.
例如， L： x a cos t ， y a sin t，t [0,2 ]中
当t 从 0 变到2时， L取逆时针方向;
反之当 t 从2变到 0 时， L取顺时针方向.
15.04.2021
21
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2、对____坐____标______的曲线积分与曲线的方向有关；
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推广：若 L 为空间有向光滑曲线弧，P(x, y, z) ，Q(x, y, z) 及 R(x, y, z) 为定义在 L 上的有界函数，则可类似地定义 在空间有向曲线 L 上对坐标的曲线积分（或第二类曲线 积分）
注意：本节下一段的定理 1 将看到，当被积函数在有向
光滑曲线弧 L 上连续时，对坐标的曲线积分总是存在
简写成 L P (x ,y ,z ) d x Q (x ,y ,z ) d y R (x ,y ,z ) d z
如果 L 是有向闭曲线，那么该曲线积分记为
PdxQdy或P d xQ d yR d z
L
L
15.04.2021
8
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3. 对坐标的曲线积分的性质
性质 1 两个函数代数和的曲线积分等于这两个函 数的曲线积分的代数和．即
L P(x, y)dx Q(x, y)dy
P[(t), (t)](t) Q[(t), (t)] (t)dt (证明从略. )
注意：上述公式右端定积分上限 不一定大于下限 ，
要求 对应于 L 的起点， 对应于 L 的终点，这是与计算第一
类曲线积分不同的.
15.04.2021
11
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高等数学方明亮版数学课件95对坐标的曲面积分
被积函数
积分曲面
类似可定义
n
P (x ,y ,z)dy ld i0i m z 1P (i,i, i) (S i)yz
n
Q (x ,y ,z)dz l d i0i x m 1Q (i,i,i) (S i)zx
13.06.2019
11
存在条件:
13.06.2019
13
二、对坐标的曲面积分的计算
定理 1 设积分曲面 是由方程
z z(x, y) , (x, y) Dxy , 给出的曲面的上侧,其中 Dxy 为 在 xOy 面上的投影区域, 且函数 z(x, y) 在 Dxy 上具有连续的一阶偏导数.又设被积函
新课引入
前面我们讲述了两类曲线积分： 弧长曲线积分（第一类）
坐标曲线积分（第二类）。
同样我们也要讲述两类曲面积分： 对面积的曲面积分（第一类）
对坐标的曲面积分（第二类）。 上一节我们讲述了对面积的曲面积分，
这一节我们就来讲对坐标的曲面积分。
13.06.2019
1
第九章
第五节 对坐标的曲面积分
（Surface integral of coordinate)
Pdydz Qdzdx Rdxdy .
物理意义:
13.06.2019
12
4. 对坐标的曲面积分的性质
性质 1 两个函数代数和的曲线积分等于这两个函 数的曲线积分的代数和．即
(P1 P2 )dydz P1dydz ± P2dydz .
性质 2 被积函数的常数因子可以提到积分号外面,即
一、对坐标的曲面积分的概念与性质 二、对坐标的曲面积分的计算 三、两类曲面积分之间的联系 四、小结与思考练习
高等数学下教学课件：9-1
（2）Γ：x2+y2+z2=a2，x+y+z=a
L
OA OA
1
y
1
1 1dy
x2
1 (2x)2 dx
0
2
2
3
y2
1
1
0 1
1(1 4x 2 ) 2 d(1 4x 2 )
2
3
2
10
80
2 (1
3
4x2 )2
1
y A(1,1)
3 83
2
2 1 (5
5 1) 13
0
5
1
y x2
3 12
12 12
O
1x
例2 计算 ( x 2 y 2 )ds，其中L : x 2 y 2 2ax
二、对弧长的曲线积分的计算方法
1．定理
设f (x，y)在曲线弧L上有定义且连续，L的参数方
程为 : x (t),
y
(t ),
( t )
其中 (t),(t) 在[α，β]上具有一阶连续导数，且
2(t) + 2(t) 0，则曲线积分 f ( x, y)ds存在， L
且
f ( x, y)ds
n
M ( i ,i )si
i 1
n
M
lim
0
i 1
( i ,i
)si
o
A
M2 M1
M i 1
x
2．对弧长的曲线积分的定义
2、定义 设L为xOy面内的一条光滑曲线弧，函数f (x,y) 在L上有界。 在L上任意插入一点M1,M2Mn把L分成
高等数学《曲线积分与曲面积分》习题课
L( A,B)
b
f (x, y)
1 y2dx
a
曲顶柱体的表面积
如图曲顶柱体，
z z f (x, y)
S
(1
1
f2 x
f
2 y
)d
D
f ( x, y)ds L
o
y
x
D L
2
2
例 3 求柱面 x 3 y 3 1在球面 x2 y2 z 2 1内
的侧面积.
解 由对称性
S 8Lzds 1 x2 y2ds
2
解
z
y 1绕y轴旋转面方程为
x 0
y 1 z2 x2
(如下图)
欲求
I
(8
y
1) xdydz
2(1
2
y
)dzdx
4
yzdxdy
z
且有 I
* *
P Q R
*
(
x
y
z
)dxdydz
x
2
o1
*
y
3
(8 y 1 4 y 4 y)dxdydz dv
3
2
2
3
dxdz
D
8
a 0 dx (e x m) 0 0, OA 0
M
A(a,0) x
I
m a2 0 m a2.
AMOA OA
8
8
曲面面积的计算法
z
z f (x, y) S
z
z f (x, y)
o
Dxy
y
a
bo
A
s LB
y
x S dS
1
z
2 x
z
2 y