傅里叶、小波--刘永飞
小波神经网络原理及其应用
幅度 A
sin(t)---a=1 1
morlet---a=1 1
0
0
-1
-1
0
2
4
6
8
-10 -5
0
5 10
sin(2t)---a=1/2 1
morlet---a=1/2 1
0
0
-1
-1
0
2
4
6
8
-10 -5
0
5 10
sin(4t)---a=1/4
morlet---a=1/4
1
1
0
0
-1
-1
0
2
4
6
为ω0，窗口宽度为△ ω，则相应的连续小波的傅立叶
变换为： a,()a12ej(a)
➢ 其频域窗口中心为： a,
1 a
0
➢ 窗口宽度为： 1
a
➢ 信号在频域窗内：[1 a0 . 2 1 a ,1 a02 1 a ]13
➢ 从上面的时频域的讨论可见，连续小波的时频域窗口
➢ 中心及其宽度都随a的变化而伸缩，如果我们称△t·△
事实上小波分析的应用领域十分广 泛，它包括：数学领域的许多学科；信 号分析、图象处理；量子力学、理论物 理；军事电子对抗与武器的智能化；计 算机分类与识别，音乐与语言的人工合 成；医学成像与诊断；地震勘探数据处 理；大型机械的故障诊断等方面。
.
37
6.小波分析应用前景
（1） 瞬态信号或图像的突变点常包含有很重要的 故障信息，例如，机械故障、电力系统故障、脑电图、 心电图中的异常、地下目标的位置及形状等，都对应 于测试信号的突变点。因此，小波分析在故障检测和 信号的多尺度边缘特征提取方面的应用具有广泛的应 用前景。
morlet小波傅里叶变换 的积分过程
morlet小波傅里叶变换的积分过程小波傅里叶变换是一种在信号处理中常用的方法，可以将信号在时间和频率两个域上进行分析。
在小波傅里叶变换中，我们首先需要对信号进行加窗处理，常用的窗函数就是小波函数。
而Morlet小波则是小波函数的一种具体形式，是在实数轴上定义的。
要进行Morlet小波傅里叶变换，我们先定义Morlet小波函数为：Ψ(t) = π^(-1/4)e^(-t^2/2)cos(ωt)其中，t表示时间，Ψ(t)表示Morlet小波函数，ω表示频率。
Morlet小波函数是一个频率可调节的带通窗函数，通过调整ω的值可以控制小波在频率域中的分辨率。
利用Morlet小波函数，我们可以将信号进行加窗处理，并通过积分的方式得到信号在频率域上的表示。
具体的积分过程如下：1. 首先，我们需要对信号进行加窗处理。
将信号与Morlet小波函数进行卷积运算，即将信号与Morlet小波函数在时间域上相乘。
2. 接下来，我们需要对加窗后的信号进行傅里叶变换，将信号从时间域转换到频率域。
这可以通过对加窗后的信号进行傅里叶积分来实现。
3. 在进行傅里叶积分时，我们需要使用积分的基本性质：积分可以看作是求和的过程。
我们将加窗后的信号分解成一系列的频率分量，然后对每个频率分量进行积分。
4. 对加窗后的信号进行傅里叶积分时，我们可以利用欧拉公式将Morlet小波函数分解成实部和虚部的组合。
这可以简化傅里叶积分的过程。
5. 对每个频率分量进行积分后，我们可以得到信号在频率域上的表示。
这表示了信号在不同频率下的能量分布情况。
总结起来，Morlet小波傅里叶变换的积分过程就是将信号与Morlet小波函数进行卷积，然后对卷积结果进行傅里叶积分。
这个过程可以将信号从时间域转换到频率域，帮助我们分析信号在不同频率下的特征和特性。
Morlet小波傅里叶变换在信号处理中有着广泛的应用，可以用于信号压缩、边缘检测、频谱分析等领域。
通过了解Morlet小波傅里叶变换的积分过程，我们可以更好地理解其原理和应用，为信号处理提供指导和指导意义。
谱图傅里叶变换与谱图小波变换基分析研究
收稿日期：２０２０－０２－１７ 修回日期：２０２０－０６－２２基金项目：海南省自然科学基金资助项目（６１９ＭＳ０７６）作者简介：李社蕾（１９７９－），女，副教授，研究方向为智能算法、人工智能。
谱图傅里叶变换与谱图小波变换基分析研究李社蕾１，２，杨博雄１，２，陆娇娇１，２（１．三亚学院信息与智能工程学院，海南三亚５７２０２２；２．三亚学院陈国良院士工作站，海南三亚５７２０２２）摘 要：卷积神经网络在欧氏数据上取得巨大成功之后，开始在图结构、几何流行等非欧数据上泛化。
当前图卷积神经已成为研究热点。
在数字图像去噪、压缩、增强、融合以及加密方面傅里叶变换与小波变换是不可或缺的处理手段，在图卷积神经中有卷积定理将傅里叶变换用于实现图上的卷积运算，谱图小波变换也只是实现了卷积的快速算法，都是围绕如何在图结构上做卷积而展开的研究，没有真正发挥其作用，大大限制了图卷积神经网络性能的发挥。
该文对谱图傅里叶变换与谱图小波变换基进行分析研究，同时研究基与图结构之间的关系。
实验表明通过谱图傅里叶变换和谱图小波变换可以获取图结构的特征信息，为谱图小波变换和谱图傅里叶变换更深入地与图卷积神经网络结合提供了参考。
关键词：谱图；小波变换；图卷积神经网络；傅里叶变换；卷积定理；本征函数；拉普拉斯算子中图分类号：ＴＮ９１１．３０－３９ 文献标识码：Ａ 文章编号：１６７３－６２９Ｘ（２０２１）０５－００８５－０５ｄｏｉ：１０．３９６９／ｊ．ｉｓｓｎ．１６７３－６２９Ｘ．２０２１．０５．０１５ＡｎａｌｙｓｉｓａｎｄＳｔｕｄｙｏｆＳｐｅｃｔｒａｌＦｏｕｒｉｅｒＴｒａｎｓｆｏｒｍａｎｄＳｐｅｃｔｒａｌＷａｖｅｌｅｔＴｒａｎｓｆｏｒｍＢａｓｉｓＬＩＳｈｅ－ｌｅｉ１，２，ＹＡＮＧＢｏ－ｘｉｏｎｇ１，２，ＬＵＪｉａｏ－ｊｉａｏ１，２（１．ＳｃｈｏｏｌｏｆＩｎｆｏｒｍａｔｉｏｎ＆ＩｎｔｅｌｌｉｇｅｎｃｅＥｎｇｉｎｅｅｒｉｎｇ，ＵｎｉｖｅｒｓｉｔｙｏｆＳａｎｙａ，Ｓａｎｙａ５７２０２２，Ｃｈｉｎａ；２．ＣｈｅｎＧｕｏｌｉａｎｇＡｃａｄｅｍｉｃｉａｎＷｏｒｋｓｔａｔｉｏｎ，ＵｎｉｖｅｒｓｉｔｙｏｆＳａｎｙａ，Ｈａｉｎａｎ５７２０２２，Ｃｈｉｎａ）Ａｂｓｔｒａｃｔ：ＡｆｔｅｒａｃｈｉｅｖｉｎｇｇｒｅａｔｓｕｃｃｅｓｓｉｎＥｕｃｌｉｄｅａｎｄａｔａ，ｃｏｎｖｏｌｕｔｉｏｎａｌｎｅｕｒａｌｎｅｔｗｏｒｋｂｅｇａｎｔｏｇｅｎｅｒａｌｉｚｅｏｎｎｏｎ－Ｅｕｃｌｉｄｅａｎｄａｔａｓｕｃｈａｓｇｒａｐｈｓｔｒｕｃｔｕｒｅａｎｄｇｅｏｍｅｔｒｉｃｐｏｐｕｌａｒｉｔｙ．Ａｔｐｒｅｓｅｎｔ，ｔｈｅｇｒａｐｈｃｏｎｖｏｌｕｔｉｏｎａｌｎｅｒｖｅｈａｓｂｅｃｏｍｅａｒｅｓｅａｒｃｈｈｏｔｓｐｏｔ．Ｉｎｔｈｅｄｉｇｉｔａｌｉｍａｇｅｄｅｎｏｉｓｉｎｇ，ｃｏｍｐｒｅｓｓｉｏｎ，ｅｎｈａｎｃｅｍｅｎｔ，ｆｕｓｉｏｎａｎｄｅｎｃｒｙｐｔｅｄ，Ｆｏｕｒｉｅｒｔｒａｎｓｆｏｒｍａｎｄｗａｖｅｌｅｔｔｒａｎｓｆｏｒｍａｒｅｉｎｄｉｓｐｅｎｓａｂｌｅｍｅａｎｓｏｆｐｒｏｃｅｓｓｉｎｇ．ＴｈｅｒｅｉｓａｃｏｎｖｏｌｕｔｉｏｎｔｈｅｏｒｅｍｉｎｔｈｅｇｒａｐｈｃｏｎｖｏｌｕｔｉｏｎａｌｎｅｒｖｅｔｏｒｅａｌｉｚｅｔｈｅｃｏｎｖｏｌｕｔｉｏｎｏｐｅｒａｔｉｏｎｏｎｔｈｅｇｒａｐｈｂｙｓｐｅｃｔｒａｌＦｏｕｒｉｅｒｔｒａｎｓｆｏｒｍａｎｄｆａｓｔｃｏｎｖｏｌｕｔｉｏｎａｌｇｏｒｉｔｈｍｂｙｓｐｅｃｔｒａｌｗａｖｅｌｅｔｔｒａｎｓｆｏｒｍ．Ｔｈｅｓｔｕｄｙｉｓｏｖｅｒｈｏｗｔｏｃｏｎｖｏｌｕｔｉｏｎｓｏｎｔｈｅｇｒａｐｈｓｔｒｕｃｔｕｒｅ，ｗｈｉｃｈｄｏｅｓｎｏｔｒｅａｌｌｙｐｌａｙｉｔｓｒｏｌｅａｎｄｇｒｅａｔｌｙｌｉｍｉｔｓｔｈｅｐｅｒｆｏｒｍａｎｃｅｏｆｔｈｅｇｒａｐｈｃｏｎｖｏｌｕｔｉｏｎａｌｎｅｕｒａｌｎｅｔｗｏｒｋ．Ｔｈｅｒｅｆｏｒｅ，ｗｅａｎａｌｙｚｅａｎｄｓｔｕｄｙｔｈｅＦｏｕｒｉｅｒｔｒａｎｓｆｏｒｍａｎｄｗａｖｅｌｅｔｔｒａｎｓｆｏｒｍｂａｓｉｓｏｆｓｐｅｃｔｒｏｇｒａｍａｎｄａｌｓｏｔｈｅｒｅｌａｔｉｏｎｓｈｉｐｂｅｔｗｅｅｎｔｈｅｂａｓｉｓａｎｄｇｒａｐｈｓｔｒｕｃｔｕｒｅ．ＴｈｅｅｘｐｅｒｉｍｅｎｔｓｈｏｗｓｔｈａｔｔｈｅｃｈａｒａｃｔｅｒｉｓｔｉｃｉｎｆｏｒｍａｔｉｏｎｏｆｔｈｅｇｒａｐｈｓｔｒｕｃｔｕｒｅｃａｎｂｅｏｂｔａｉｎｅｄｂｙｔｈｅＦｏｕｒｉｅｒｔｒａｎｓｆｏｒｍａｎｄｗａｖｅｌｅｔｔｒａｎｓｆｏｒｍｏｆｔｈｅｓｐｅｃｔｒｕｍ，ｗｈｉｃｈｐｒｏｖｉｄｅｓａｒｅｆｅｒｅｎｃｅｆｏｒｔｈｅｄｅｅｐｅｒｃｏｍｂｉｎａｔｉｏｎｏｆｔｈｅｗａｖｅｌｅｔｔｒａｎｓｆｏｒｍａｎｄＦｏｕｒｉｅｒｔｒａｎｓｆｏｒｍｏｆｔｈｅｓｐｅｃｔｒｕｍｗｉｔｈｔｈｅｃｏｎｖｏｌｕｔｉｏｎａｌｎｅｕｒａｌｎｅｔｗｏｒｋｏｆｔｈｅｇｒａｐｈ．Ｋｅｙｗｏｒｄｓ：ｓｐｅｃｔｒａｌ；ｗａｖｅｌｅｔｔｒａｎｓｆｏｒｍ；ｇｒａｐｈｃｏｎｖｏｌｕｔｉｏｎａｌｎｅｕｒａｌｎｅｔｗｏｒｋ；Ｆｏｕｒｉｅｒｔｒａｎｓｆｏｒｍ；ｃｏｎｖｏｌｕｔｉｏｎｔｈｅｏｒｅｍ；ｅｉｇｅｎｆｕｎｃｔｉｏｎ；Ｌａｐｌａｃｅｏｐｅｒａｔｏｒ０ 引 言在现实世界中，大量数据是以图或者网络的形式存在的，比如社交网络、知识图谱、蛋白质相互作用网、世界贸易网等等。
傅里叶原理详解
傅里叶原理详解一、引言傅里叶原理，又称为傅里叶分析或傅里叶变换，是数学和工程领域中的一个核心概念。
它提供了一种将复杂信号或函数分解为简单正弦波的方法，从而使我们能够更深入地理解信号的特性。
傅里叶原理在信号处理、图像处理、通信、音频处理等领域有着广泛的应用。
本文将详细解析傅里叶原理的基本概念、原理、应用及其重要性。
二、傅里叶原理的基本概念•正弦波与余弦波正弦波和余弦波是傅里叶原理中的基本波形。
正弦波是一种连续变化的波形，其振幅在周期内呈正弦函数变化。
余弦波则与正弦波相位相差90度，形状相似但起始点不同。
•傅里叶级数傅里叶级数是一种将周期性函数表示为一系列正弦波和余弦波之和的方法。
任何一个周期为T的周期函数f(t)都可以表示为一系列正弦波和余弦波的叠加，即：f(t) = a0/2 + Σ(ancos(nωt) + bnsin(nωt))其中，ω = 2π/T 是角频率，an 和bn 是傅里叶系数，通过积分计算得出。
•傅里叶变换傅里叶变换是傅里叶原理的核心内容，它将非周期函数或周期无限长的函数表示为一系列连续频率的正弦波和余弦波之和。
对于非周期函数f(t)，其傅里叶变换为：F(ω) = ∫f(t)e^(-jω*t) dt其中，j是虚数单位，ω是频率。
傅里叶变换的结果F(ω)表示了原函数f(t)在不同频率下的幅度和相位信息。
三、傅里叶原理的原理傅里叶原理的核心思想是将复杂信号分解为简单正弦波的叠加。
这种分解是基于正弦波和余弦波在频率域中的正交性，即不同频率的正弦波和余弦波之间是相互独立的。
通过将信号分解为这些基本波形，我们可以更清楚地了解信号的频率成分、振幅和相位等信息。
傅里叶变换的实现过程是通过积分运算将时间域中的信号转换为频率域中的频谱。
在频率域中，我们可以直观地观察到信号的频率分布和能量分布，从而进行信号处理和分析。
四、傅里叶原理的应用•信号处理傅里叶原理在信号处理领域有着广泛的应用。
通过傅里叶变换，我们可以将信号从时间域转换到频率域，从而方便地进行滤波、降噪、频谱分析等处理。
小波变换、WT适用场合及其在R中的实现过程？
小波变换、WT适用场合及其在R中的实现过程？傅里叶变换如何工作的？傅里叶变换（FFT）将一个信号从时域转换成频域。
频谱中的峰值表示信号中出现次数最多的频率。
频谱中锋越大，越尖，表示在信号中出现越普遍。
频谱中峰值的位置(频率值)和高度(振幅)可以作为分类器的输入，如随机森林或梯度增强。
使用傅里叶变换能够很好的解决问题，这是因为信号不依赖时间变化而变化的；如果信号只频域信息，信号在任何时间段种都是相同的。
这样越是非平稳信号，那傅里叶变换的结果越是糟糕。
遗憾的是，生活中常见的大部分信号都是这种非平稳信号；例如ECG信号心电图electrocardiogram，股票信息，设备或传感器的数据，更有效的方法就是使用小波变换来代替傅里叶变换。
傅里叶变换通过很多不同频率的正弦波叠加，就可以知道一个信号中存在哪些频率？如果信号和某个频率的正弦波之间的点积导致振幅很大，这意味着这两个信号之间有很多重叠，信号包含这个特定的频率。
当然，这是因为点积是衡量两个向量/信号重叠程度的指标。
傅里叶变换的局限傅里叶变换对频域变换有很好的解决方式，但是不能解决时域变换问题。
这意味着，它能告诉我们信号包含哪些频段，但是不能告诉我们这个频段是在信号的哪个时间段出现的？第一行的两个图表示的是一个信号包含4种频率，不因时间的变化而变化；第二行的两个图表示的是信号中的4种频率根据时间依次出现。
图1中左上角的信号中包含4种不同的频率(4、30、60、90Hz) ，所有频率在这段时间内全部出现，右上角是这个信号的频谱。
在下面的两个图中，同样能看到这4种频率，但是第一种出现在1/4时间上，之后的频率依次出现；并且能在右下部看到这个信号的频谱图。
值得注意的是两个频谱图都包含了4峰值，但是他们都不能明确表示出在信号的哪个时间段出现的？这就使得傅里叶变换不能区分这两个信号。
傅里叶变换处理非平稳信号有天生缺陷。
它只能获取一段信号总体上包含哪些频率的成分，但是对各成分出现的时刻并无所知；因此时域相差很大的两个信号，可能频谱图一样。
小波理论简介
小波分析理论简介傅立叶变换伟大的历史贡献及其局限性1 Fourier 变换1807年，由当年随拿破仑远征埃及的法国数学、物理学家傅立叶（JeanBaptistle Joseph Fourier ,1786-1830),提出任意一个周期为T (=π2)的函数)(t f ，都可以用三角级数表示：)(t f =∑∞-∞=k iktkeC=20a + ∑∞=1cos k k kt a + ∑∞=1sin k k kt b (1)k C =π21⎰-π20)(dt et f ikt= *iktef , (2)k k k C C a -+= )(k k k C C i b --= (3)对于离散的时程 )(t f ，即 N 个离散的测点值 m f ，=m 0,1，2，……,N-1,T为测量时间：)(t f =20a +)sin cos (121∑-=+Nk k k k kt b t aωω+t a N N 22cos 21ω=∑-=1N k ti k k e C ω （4）其中 ∑-==102cos2N m m kN km x N a π ，=k 0，1，2，…,2N (5)∑-==12sin2N m m k Nkm x N b π , =k 1,2,…,2N -1 (6)∑-=-=1)/2(1N m N km i mk exNC π ，=k 0，1，2，…,N-1 (7)tN k k ∆=πω2 ，NT t=∆ (8)当T ∞→ 时，化为傅立叶积分（即 Fourier 变换）：⎰∞∞--=dt et f f ti ωω)()(=ti ef ω, （9）ωωπωd e f t f ti )(21)(⎰∞∞-=(10)傅立叶变换的理论是人类数学发展史上的一个里程碑，从1807 年开始，直到1966年(1807年傅立叶提出任意一个周期函数都可以表示为傅立叶级数的结论是有误的，直到1966年才证明了2L可积的周期函数才能表示为傅立叶级数)，整整用了一个半世纪多，才发展成熟。
傅里叶变换的前世今生
栉
，ｚ
＿ｚ．
应用联系ｓｉｎｚ和ｃｏｓ２ｚ的三角恒等式，这些因子等于
４（１＋三）ｓｉｎ：堕＋；
，ｌ
疗
，ｚ‘．
如果我们用４ｓｉｎ：丝对相应的ｋ除每一个因子，（１．２）的根不受影响，这样平方因子就
疗
是
１
Ｍｉｓｃ．Ｂｅｒｏｌｉｌｌ．，７，１７４３，１９３．１４２＝Ｏｐｅｍ’（１），２２，１０８．１４９． ２这个定理欧拉在他的《引论》中也独立地证明过．
把函数表示成幂级数是最自然不过的事，但是，能用幂级数表示的函数并不多，因 为要想用幂级数表示，起码这函数得无穷次连续可微，而且即使无穷次可微也不一定就
觥饩 傅里叶的科 行。这样，要想用无穷级数表示一般的连续函数，就得另觅他途，我们所熟悉的比多项
式稍复杂的函数就是三角函数。三角函数图像清楚，有表可查，当然是最有力的候补者。 １８世纪的弦振动问题引起了历史上“一个任意的函数能否被表示为三角级数”的著名的 争论，其中主要涉及到以下几位数学家：丹尼尔・伯努利（Ｄａｎｉｅｌ Ｂｅｍｏｕｌｌｉ，１７００．１７８２）、 欧拉（ＬｅｏＩｌｌｌａｒｄ Ｅｕｌｅｒ，１７０７．１７８３）、达朗贝尔（Ｄ’Ａ１ｅＩｎｂｅｎ
及一致连续与一致收敛的概念，它也诱导集合论的发现，它也是引导测度论思想的背景
并包含广义函数论的萌芽。本文第三部分在详尽占有材料的基础上，系统介绍了傅里叶
以后各位数学家如狄利克雷（Ｐｅｔｅｒ （Ｈｅｎｒｉ
Ｌ６０ｎ ＧｕｓｔａＶ
Ｌｅｊｅｕｎｅ．Ｄｉｒｉｃｌｌｌｅｔ，１８０５—１８５９）、黎曼、勒贝格
Ｌｕｄｗｉｇ Ｐｈｉｌｉｐｐ Ｃａｎｔｏｒ，１８４５—
ｃｏｎｖｅｒｇｅｎｃｅ
ｉｎｔｅ孕ａ１
引
言
自从牛顿时代起，物理问题就成为数学发展的一个重要源泉。１８世纪物理和数学的 结合点主要是微分方程。随着物理科学所研究的现象从力学、热学到电学、电磁学扩展， 偏微分方程的求解成为数学家和物理学家关注的重心，在对某些偏微分方程如弦振动方
傅里叶详解
一、傅立叶变换的由来关于傅立叶变换，无论是书本还是在网上可以很容易找到关于傅立叶变换的描述，但是大都是些故弄玄虚的文章，太过抽象，尽是一些让人看了就望而生畏的公式的罗列，让人很难能够从感性上得到理解，最近，我偶尔从网上看到一个关于数字信号处理的电子书籍，是一个叫Steven W. Smith, Ph.D.外国人写的，写得非常浅显，里面有七章由浅入深地专门讲述关于离散信号的傅立叶变换，虽然是英文文档，我还是硬着头皮看完了有关傅立叶变换的有关内容，看了有茅塞顿开的感觉，在此把我从中得到的理解拿出来跟大家分享，希望很多被傅立叶变换迷惑的朋友能够得到一点启发，这电子书籍是免费的，有兴趣的朋友也可以从网上下载下来看一下，URL地址是：/pdfbook.htm要理解傅立叶变换，确实需要一定的耐心，别一下子想着傅立叶变换是怎么变换的，当然，也需要一定的高等数学基础，最基本的是级数变换，其中傅立叶级数变换是傅立叶变换的基础公式。
二、傅立叶变换的提出让我们先看看为什么会有傅立叶变换？傅立叶是一位法国数学家和物理学家的名字，英语原名是Jean Baptiste Joseph Fourier(1768-1830), Fourier对热传递很感兴趣，于1807年在法国科学学会上发表了一篇论文，运用正弦曲线来描述温度分布，论文里有个在当时具有争议性的决断：任何连续周期信号可以由一组适当的正弦曲线组合而成。
当时审查这个论文的人，其中有两位是历史上著名的数学家拉格朗日(Joseph Louis Lagrange, 1736-1813)和拉普拉斯(Pierre Simon de Laplace, 1749-1827)，当拉普拉斯和其它审查者投票通过并要发表这个论文时，拉格朗日坚决反对，在近50年的时间里，拉格朗日坚持认为傅立叶的方法无法表示带有棱角的信号，如在方波中出现非连续变化斜率。
法国科学学会屈服于拉格朗日的威望，拒绝了傅立叶的工作，幸运的是，傅立叶还有其它事情可忙，他参加了政治运动，随拿破仑远征埃及，法国大革命后因会被推上断头台而一直在逃避。
空间角度谈傅立叶变换、gabor变换小波及变换
空间角度谈傅立叶变换、gabor变换小波及变换电气与自动化工程学院王欣博1014203044对于空间的概念，我们最熟悉的就是欧式空间，这个定义了距离概念的空间，代表了我们生活中的空间概念。
在泛函分析中，空间概念得到了扩展，比较著名的有希尔伯特空间、banach空间。
它们的出现，极大的拓展了数学概念的内涵，并提供给我们一系列全新的工具来构建完整的数学大厦。
在泛函分析中，傅立叶变换、gabor变换及小波变换都可以理解为空间概念下的一组正交基底，虽然其各自具有不同的性质，但是比较相似的就是，他们都代表了函数空间表达，是对空间中任意函数的级数表达，相应的，我们也可以理解为展开在傅立叶、gabor或小波张成空间的频域表达。
一、傅立叶变换为了在空间角度理解傅立叶变换，我们需要了解傅立叶变换的概念。
傅立叶变换，表示能将满足一定条件的某个函数表示成三角函数（正弦和/或余弦函数）或者它们的积分的线性组合。
在不同的研究领域，傅立叶变换具有多种不同的变体形式，如连续傅立叶变换和离散傅立叶变换。
最初傅立叶分析是作为热过程的解析分析的工具被提出的。
傅里叶变换是数字信号处理领域一种很重要的算法。
要知道傅里叶变换算法的意义，首先要了解傅里叶原理的意义。
傅里叶原理表明：任何连续测量的时序或信号，都可以表示为不同频率的正弦波信号的无限叠加。
而根据该原理创立的傅里叶变换算法利用直接测量到的原始信号，以累加方式来计算该信号中不同正弦波信号的频率、振幅和相位。
从现代数学的眼光来看，傅里叶变换是一种特殊的积分变换。
它能将满足一定条件的某个函数表示成正弦基函数的线性组合或者积分。
在不同的研究领域，傅里叶变换具有多种不同的变体形式，如连续傅里叶变换和离散傅里叶变换。
同样，在泛函分析或空间概念下，傅立叶变换的所对应的正弦余弦函数，可作为函数空间的正交基底，并表示任意该空间下的函数。
二、gabor变换Gabor变换又被称做加窗傅立叶变换，Gabor函数可以在频域不同尺度、不同方向上提取相关的特征。
小波变换与分数傅里叶变换理论与应用-哈工大出版社
小波变换与分数傅里叶变换理论与应用-哈工大出版社目录第0章绪论 (1)0.1 小波变换简要回顾 ............................................................. (1) 0.2 傅里叶变换和分数傅里叶变换 ......................................... (3) 0.3 小波变换与分数傅里叶变换的相似性 ............................. (7) 0.4 本书主要内容和结构 (15)第1章小波变换与傅里叶变换 (18)1.1 小波和小波变换 ............................................................... (18) 1.2 小波变换的性质 ............................................................... (20) 1.3 离散小波和离散小波变换 ...............................................(22) 1.4 傅里叶变换和小波变换 (25)第2章多分辨分析和小波构造 (30)2.1 Shannon小波 (30)2.2 正交多分辨分析和正交小波 (36)2.3 正交多分辨分析的例子 ................................................... (42) 2.4 Daubechies的紧支小波 (47)第3章小波变换与时-频分析 (58)3.1 Gabor变换和时-频分析.................................................... (58) 3.2窗口傅里叶变换和时-频分析........................................... (61) 3.3小波变换与时-频分析 ...................................................... (65) 3.4离散小波与时-频分析 ...................................................... (67) 3.5小波分析和信号处理 (71)第 4 章小波包与时-频分析 (80)4.1 引言 ........................................................................... ........ (80) 4.2 正交小波包 (81)4.3 小波包函数的傅里叶变换 (84)4.4 小波包函数的两种正交性 (85)4.5 正交小波包空间 ............................................................... (86) 4.6 小波空间的小波包分割 (89)4.7 时-频原子 (90)14.8 紧支小波包 (93)4.9 最优小波包基 (96)4.10 正交二分算法 ................................................................. (97) 4.11 用法及其他 . (100)第5章多分辨分析和塔式算法 (102)5.1 多分辨分析和记号 ......................................................... (102) 5.2 Mallat分解算法 (103)5.3 Mallat合成算法 .............................................................. (103) 5.4 小波包变换的Mallat算法 ............................................ (104) 5.5金字塔算法 (105)5.6 小波包完全分解的空间塔式结构 ................................. (108) 5.7二维小波变换的Mallat算法 ........................................ (108) 5.8数字信号和图像的小波算法 (111)第6章小波时-频特性与应用 (124)6.1 小波变换的频带重叠现象 ............................................. (124) 6.2 小波算法应用 ................................................................. (158) 6.3 二进小波构造算法 (166)第7章特殊小波及应用 (176)7.1 Malvar小波与信号最优描述 ......................................... (176) 7.2 小波与采样定理 ............................................................. (187) 7.3 快速小波变换 (197)第8章图像压缩与计算机视觉 (208)8.1 图像的金字塔算法 ......................................................... (208) 8.2 数字图像压缩 (214)8.3 金字塔算法和多分辨分析 (216)8.4 共轭正交小波 ................................................................. (222) 8.5 Marr的视觉理论 ............................................................. (225) 8.6 Marr猜想 ......................................................................... (226) 8.7 Marr猜想的反例 ............................................................. (228) 8.8 Mallat猜想 (229)8.9 二维Mallat算法 (231)28.10 Mallat重构算法 (233)第9章分数傅里叶变换 (239)9.1 分数傅里叶变换与置换矩阵 ......................................... (239) 9.2 分数傅里叶变换的多样性(一) ...................................... (243) 9.3 分数傅里叶变换的多样性(二) ...................................... (250) 9.4 任意周期的分数傅里叶变换 ......................................... (255) 9.5 分数傅里叶变换的极限关系 .. (259)第10章分数傅里叶变换的离散算法 (262)10.1 离散傅里叶变换及其周期性 (262)10.2 离散分数傅里叶变换算法 (266)10.3 任意周期离散分数傅里叶变换 (269)第11章小波变换与分数傅里叶变换比较 (274)11.1 傅里叶变换的特征子空间 ........................................... (274) 11.2 分数傅里叶变换的特征子空间 .. (275)11.3 小波变换的小波子空间 (282)11.4 小波算法和分数傅里叶算法 (285)参考文献 (293)3第0章绪论0.1 小波变换简要回顾小波变换是一种新的变换分析方法，它的主要特点是通过变换能够充分突出问题某些方面的特征，因此，小波变换在许多领域都得到了成功的应用，特别是小波变换的离散数字算法已被广泛用于许多问题的变换研究中。
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1、对cameraman.tif分别进行傅里叶和小波变换，再取不同的大系数进行重构，
并分析重构效果。
重构时大系数分别选为100、1000、10000、20000。
原始图像
N=100 PSNR=17.9232 傅里叶重构图像 N=100 PSNR= 5.8035 小波重构图像
N=1000 PSNR=21.5791 傅里叶重构图像 N=1000 PSNR= 7.9629 小波重构图像
N=10000 PSNR=28.0563傅里叶重构图像 N=10000 PSNR= 34.1394 小波重构图像
N=20000 PSNR=31.6995 傅里叶重构图像 N=20000 PSNR= 43.4158 小波重构图像
傅里叶变换频谱分布图 小波变换频谱分布
傅里叶和小波变换的大系数重构与PSNR的关系
通过去不同的大系数进行傅里叶和小波重构图像，有图像可以直观的看出在N取100,1000
时傅里叶重构图像效果明显好于小波重构图像；但是在N取10000,20000时小波重构图像明
显好于傅里叶重构图像；通过峰值信噪比对cameraman.tif进行分析效果图如上图所示，可
知在取大系数大约低于5000时傅里叶重构图像效果好，当取得大系数大约高于5000时小
波重构图像效果好。
2、不同图像用同一小波重构图像
上面已经对cameraman.tif进行了小波变换和取不同的大系数进行图像重构，现在对pe.png
进行同样处理。
原图像
N=100 PSNR= 6.5390 小波重构图像 N=1000 PSNR= 7.3762 小波重构图像
N=10000 PSNR= 18.8206 小波重构图像 N=20000 PSNR= 28.5016 小波重构图像
经对比知道，对不同图像进行同一小波变换，取相同大系数重构时结果不同；由图像和峰值
信噪比可以知道相同的大系数重构图像，cameraman.tif比pe.png恢复的好的多。