高中数学 初高中衔接教材 第44课时 指数对数幂函数复习(1)学案(无答案)苏教版
人教高中数学必修二B版《对数与对数函数》指数函数、对数函数与幂函数说课复习(对数函数的性质与图像)
y=logax+k,y=loga|x|,y=|logax+k|等,其图像可由y=logax的图像,通过
平移变换、对称变换或翻折变换得到.
课堂篇探究学习
探究一
探究二
探究三
探究四
思维辨析
当堂检测
延伸探究将以上例题中的函数改为“f(x)=|log3(x+1)|”再研究以下
思维辨析
当堂检测
解:(1)log0.27和log0.29可看作是函数y=log0.2x,当x=7和x=9时对应
的两个函数值,由y=log0.2x在(0,+∞)上是减函数,得log0.27>log0.29.
(2)函数y=log3x(x>1)的图像在函数y=log6x(x>1)的图像的上方,故
log35>log65.
当0<x<1时,y1>y2.
(2)当0<a2<a1<1时,根据对数函数图像的变化规律知当x>1
时,y1<y2;当0<x<1时,y1>y2.
对于含有参数的两个对数值的大小比较,要注意根据对数的底数
是否大于1进行分类讨论.
课堂篇探究学习
探究一
探究二
探究三
探究四
思维辨析
当堂检测
变式训练 2 设 a=log2π,b=log2√3,c=log3√2,则(
人教版高中数学B版必修二
指数函数、对数函数与幂函数
4.2 对数与对数函数
4.2.3 对数函数的性质与图像
课件
-1-
课标阐释
思维脉络
1.理解对数函数的概念,体会对
数函数是一类重要的函数模型.
高中数学 第四章 指数函数、对数函数与幂函数 4.4 幂函数学案(含解析)新人教B版必修第二册-新人
4.4 幂函数学习目标1.通过具体问题,了解幂函数的概念.2.从描点作图入手,画出y=x,y=x2,y=x3,y=x12,y=x-1的图像,总结出幂函数的共性,巩固并会加以应用.3.理解和掌握幂函数在第一象限的分类特征,能运用数形结合的方法处理幂函数的有关问题.自主预习1.一般地,幂函数的表达式为,其特征是以幂的为自变量,为常数.2.幂函数的图像及性质(1)在同一坐标系中,幂函数y=x,y=x2,y=x3,y=x12,y=x-1的图像如图.结合图像,填空.(1)所有的幂函数图像都过点,在(0,+∞)上都有定义.(2)当α>0时,幂函数图像过点,且在第一象限内单调;当0<α<1时,图像上凸,当α>1时,图像.(3)若α<0,则幂函数图像过点,并且在第一象限内单调,在第一象限内,当x从+∞趋向于原点时,函数在y轴右方无限地逼近于y轴,当x趋于+∞时,图像在x轴上方无限逼近x轴.(4)当α为奇数时,幂函数图像关于对称;当α为偶数时,幂函数图像关于对称.(5)幂函数在第象限无图像.课堂探究例1(1)下列函数:①y=x3;②y=(12)x;③y=4x2;④y=x5+1;⑤y=(x-1)2;⑥y=x;⑦y=a x(a>1).其中幂函数的个数为()A.1B.2C.3D.4(2)已知y=(m2+2m-2)x x2-2+2n-3是幂函数,求m,n的值.跟踪训练1(1)已知幂函数f(x)=k·xα的图像过点(12,√22),则k+α等于()A.12B .1C.32D.2(2)已知f (x )=ax 2a+1-b+1是幂函数,则a+b 等于( )A.2B.1C.12D.0例2 比较下列各题中两个值的大小.(1)2.31.1和2.51.1;(2)(x 2+2)-13和2-13.跟踪训练2 比较下列各组数的大小. (1)(25)0.5与(13)0.5;(2)(-23)-1与(-35)-1.例3 讨论函数y=x 23的定义域、奇偶性,通过描点作出它的图像,并根据图像说明函数的单调性.核心素养专练1.以下结论正确的是( )A.当α=0时,函数y=x α的图像是一条直线 B.幂函数的图像都经过(0,0),(1,1)两点C.若幂函数y=x α的图像关于原点对称,则y=x α在定义域内y 随x 的增大而增大 D.幂函数的图像不可能在第四象限,但可能在第二象限 2.下列不等式成立的是( ) A.(13)-12>(12)-12B.(34)23<(23)23C.(23)2>(32)2D.8-78<(19)783.函数y=x -3在区间[-4,-2]上的最小值是 .4.若幂函数f (x )=(m 2-m-1)x x2-2x -3在(0,+∞)上是减函数,则实数m= .参考答案自主预习1.y=x α底数 指数2.(1)(1,1) (2)(0,0),(1,1) 递增 下凸 (3)(1,1) 递减 (4)原点(0,0) y 轴 (5)四 课堂探究例1 (1)B解析:幂函数有①⑥两个. (2)由幂函数定义求参数值.解:由题意得{x 2+2x -2=12x -3=0,解得{x =-3,x =32或{x =1,x =32. 所以m=-3或1,n=32.跟踪训练1 (1)C解析:由幂函数的定义知k=1.又f (12)=√22,所以(12)x =√22,解得α=12,从而k+α=32.(2)A解析:因为f (x )=ax2a+1-b+1是幂函数,所以a=1,-b+1=0,即a=1,b=1,则a+b=2.例2 (1)考查幂函数y=x 1.1,因为在其区间[0,+∞)上是增函数,而且2.3<2.5,所以2.31.1<2.51.1. (2)考查幂函数y=x -13,因为其在区间(0,+∞)上是减函数,而且a 2+2≥2,所以(a 2+2)-13≤2-13.跟踪训练2 解:(1)因为幂函数y=x 0.5在(0,+∞)上是单调递增的, 又25>13,所以(25)0.5>(13)0.5.(2)因为幂函数y=x -1在(-∞,0)上是单调递减的, 又-23<-35,所以(-23)-1>(-35)-1.例3 因为y=x 23=√x 23,所以不难看出函数的定义域是实数集R .记f (x )=x 23,则f (-x )=(-x )23=√(-x)23=√x 23=x 23=f (x ),所以函数y=x 23是偶函数,因此,函数图像关于y轴对称.通过列表描点,可以先作出y=x 23在x ∈[0,+∞)时的函数图像,再根据对称性,可作出它在x ∈(-∞,0]时的图像,如图.由图像可以看出,函数在区间(-∞,0]上单调递减,在区间[0,+∞)上单调递增. 核心素养专练1.D2.A3.-18解析:因为函数y=x-3=1x3在(-∞,0)上单调递减,所以当x=-2时,y min=(-2)-3=-18.4.2解析:由题意,得m2-m-1=1,得m=2或m=-1.当m=2时,m2-2m-3=-3,符合要求.当m=-1时,m2-2m-3=0不符合要求.故m=2.学习目标1.掌握幂函数的概念、图像和性质.2.熟悉α=1,2,3,12,-1时的五类幂函数的图像、性质及其特点.3.能利用幂函数的图像与性质解决综合问题.自主预习1.在关系式N=a b(a>0,a≠1)中.①如果把b作为自变量,N作为因变量,这是什么函数?②如果把N作为自变量,b作为因变量,这是什么函数?③如果把a作为自变量,N作为因变量,这是什么函数?2.观察函数y=x,y=x2,y=x12,y=x-3,这几个函数有什么共同特点?把这几个函数的解析式改写成统一的形式.幂函数的定义:3.给出下列函数,其中是幂函数的有.①y=3x2②y=x2-1③y=-1x ④y=1x2⑤y=x-13⑥y=2x课堂探究1.问题①:给出下列函数:y=x,y=x12,y=x2,y=x-1,y=x3,考察这些解析式的特点,是否为指数函数?问题②:根据问题①,如果让我们起一个名字的话,你将会给它们起个什么名字呢?请给出一个一般性的结论.2.问题③:我们前面学习指对数函数的性质时,用了什么样的思路?研究幂函数的性质呢?问题④:根据函数y=x12,y=x3的性质画出图像.问题⑤:画出y=x,y=x12,y=x2,y=x-1,y=x3五个函数图像,通过对以上五个函数图像的观察,你能类比出一般的幂函数的性质吗?3.例题讲解例1已知y=(m2+2m-2)x x2-1+2n-3是定义域为R的幂函数,求m,n的值.例2比较下列各题中两个值的大小.(1)2.31.1,2.51.1;(2)(a2+2)-13,2-13.变式训练1比较下列各组的大小.(1)-8-78和-(19)78;(2)(-2)-3和(-2.5)-3;(3)(1.1)-0.1和(1.2)-0.1;(4)(4.1)25,(3.8)-23和(-1.9)34.例3讨论函数y=x23的定义域、奇偶性,通过描点作出它的图像,并根据图像说明函数的单调性.变式训练2求下列幂函数的定义域,并指出其奇偶性、单调性.(1)y=x25;(2)y=x-34;(3)y=x-2.核心素养专练1.(多选题)给出下列说法,其中正确的是()A.幂函数的图像均过点(1,1)B.幂函数的图像都在第一象限内出现C.幂函数在第四象限内可以有图像D.任意两个幂函数的图像最多有两个交点2.已知幂函数f(x)的图像经过点(8,4),则f(127)的值为()A.19B.9 C.13D.33.已知a=243,b=425,c=2513,则()A.b<a<cB.a<b<cC.b<c<aD.c<a<b4.若幂函数y=(m2-3m+3)x m-2的图像不过原点,则()A.1≤m≤2B.m=1或m=2C.m=2D.m=15.(开放性题)(1)已知函数f(x)=xα的定义域为[0,+∞),则满足条件的α可以是.(写出两个满足条件的α值)(2)已知幂函数f(x)=xα的图像经过点(0,0),(1,1),(-1,1),(4,2)中的三个点,则满足条件的α可以是.6.如图所示是6个函数的图像,则图中的a,b,c,d从大到小排列为.7.已知幂函数f(x)=xα的图像经过点(2,18),则α=,若f(a+1)<f(3-2a),实数a的取值集合为.8.求出下列函数的定义域,并判断函数的奇偶性.(1)f(x)=x2+x-2;(2)f(x)=x+3x23(3)f(x)=x3+x13;(4)f(x)=2x4+x-12.9.在同一个直角坐标系中,作出下列函数的图像,并总结出一般规律.(1)y=x-3,y=x-13,(2)y=x94,y=x49.参考答案自主预习略 课堂探究1.略2.略3.例1 m=-3,n=32例2 (1)2.31.1<2.51.1 (2)(a 2+2)-13≤2-13变式训练1 (1)-8-78<-(19)78(2)(-2)-3<(-2.5)-3(3)(1.1)-0.1>(1.2)-0.1(4)(-1.9)34<(3.8)-23<(4.1)25例3 通过列表描点,可以先作出y=x 23在x ∈[0,+∞)时的函数图像,再根据对称性,可作出它在x ∈(-∞,0]时的图像.作图略.由图像可以看出,函数y=x 23在区间(-∞,0]上单调递减,在区间[0,+∞)上单调递增.变式训练2 (1)定义域为R,是偶函数,在[0,+∞)单调递增,在(-∞,0]上单调递减. (2)定义域为(0,+∞),非奇非偶函数,在(0,+∞)上单调递减.(3)定义域为(-∞,0)∪(0,+∞),是偶函数,在(-∞,0)上单调递增,在(0,+∞)上单调递减. 核心素养专练1.AB2.D3.A4.B5.(1)α=12或α=34 (2)2或12 6.d>b>c>a 7.-3 (-∞,-1)∪(23,32)8.(1){x|x ≠0},偶函数 (2)R,非奇非偶函数 (3)R,奇函数 (4){x|x>0},非奇非偶函数 9.作图略.(1)幂函数在(0,+∞)都有定义,并且函数图像都通过点(1,1). (2)如果α>0,则幂函数的图像过点(0,0),(1,1)并在(0,+∞)上为增函数. (3)如果α<0,则幂函数的图像过点(1,1),并在(0,+∞)上为减函数.。
2020-2021学年第一学期高中数学新教材必修第一册苏教版(2019)第四章第1课时 指数(1)新学案(无答案)
第1课时 指 数 (1)一、学习目标1. 理解n 次方根及根式的概念,掌握n 次根式的性质,并能运用它们进行化简、求值.2. 能够熟练地进行分数指数幂与根式的互化;初步掌握有理数指数幂的运算法则,并能够运用它们进行运算和化简.二、问题导引预习教材P74~78,然后思考下面的问题. 1. 一个数的平方根、立方根的含义分别是什么?2. 填空并回答问题:(1) a m ·a n = (m , n 是正整数); (2) (a m )n = (m , n 是正整数); (3) (ab )n = (n 是正整数); (4) a m ÷a n = (a ≠0, m , n 是正整数,m>n );(5) a -n = (a ≠0, n 是正整数).由上述等式可以看出,在初中指数幂的概念中,指数的范围已从正整数拓展到了负整数,按照数的大致生成过程(整数→分数→有理数→无理数→实数),指数幂中指数的范围还可以做怎样的扩充?3. 如果x n =a (n>1, n ∈N *),那么x 可称为什么?当n 分别为奇数和偶数时,有无区别?三、即时体验1. 8的平方根是 ,立方根是 .2. 化简:√x 2−4x +4(x ≤2)= .3. 把下列根式改写成分数指数幂的形式:√a = , √a 3= , √a 23= .四、导学过程类型1 根式的化简与求值 【例1】 求下列各式的值:(1) (√3)2; (2) (√−53)3; (3) √(−8)33; (4) √(−10)2;(5) √(3−π)44; (6) √4−2√3; (7) √(a −b)2.类型2 分数指数幂的化简与求值 【例2】 求下列各式的值:(1) 4912; (2) 823; (3) 25−32; (4) (1681)−34.类型3 根式与分数指数幂的互化【例3】 用分数指数幂的形式表示下列各式(a>0):(1) a 2·√a 23; √a 5; (3) √a √a .类型4 分数指数幂的混合运算 【例4】 计算或化简下列各式:(1) (a -2)·(-4a -1)÷(12a -4)(a>0);(2) (−338)−23+0.002−12-10(√5-2)-1+(√2-√3)0.五、课堂练习1. 计算:(1) (√11)2= ; (2) (√−83)3= ; (3) √−8273= ; (4) √(−2)44= ; (5) √(√3−2)2= ; (6) 8114= ; (7) (827)−13= ; (8) (8125)−32= .2. 用分数指数幂表示下列各式:(1) √a 3= ; (2) √a5= ; (3) √y 36= ;(4) √x 3y 4= ;(5) √a √a √a = .3. 化简(a 32)(-3a 12)÷(13a)(a>0)等于( )A. 6aB. -aC. -9aD. 9a 24. 计算:(1) √5−2√6+√5+2√6; (2) √(3−π)44+(0.008)−13-(0.25)12×(2)−4.六、课后作业1. 下列等式成立的是 ( )A . √(-2)33=2B . √(-2)2=-2C . √(-2)2=2D . √(-2)33=-82. (多选)若x n =a (x ≠0),则下列说法中正确的有 ( ) A . 当n 为奇数时,x 的n 次方根为a B . 当n 为奇数时,a 的n 次方根为x C . 当n 为偶数时,x 的n 次方根为±a D . 当n 为偶数时,a 的n 次方根为±x3. 下列等式成立的是 ( ) A . 2+n 23m +n )23B . (b a)2=a 12b 12C . √(-3)26=(-3)13 D . √√432134. 用根式表示下列各式:(1) a 25= ;(2) b -83= (b ≠0); (3) (m -n )23= .5. 用分数指数幂表示下列各式:(1)4√a= (a >0); (2)√(m +n )54= (m +n ≥0); (3) √x √x 3= . 6. 若(1-2x )-34有意义,则实数x 的取值范围是 . 7. 计算:(259)0.5+(2764)-23= .8. 化简(1-a )√1(a -1)34的结果是( )A . √a -14B . -√a -14C . √1-a 4D . -√1-a 49. 已知x -23=4,则x 的值为( )A . ±18B . ±8C .√434D . ±2√2310. (多选)下列根式与分数指数幂的互化中不正确的有 ( )A . (-x )0.5=-√x (x ≠0)B .√y 26=y 13C . (x y )-34=√(y x )34(xy ≠0) D . x -13=-√x 311. 试写出符合分数指数幂的定义,且值相等的两个式子: . 12. 求下列各式的值:(1) √81×√9234; (2)2√a ·√a 23(a >0);(3) √(-6)33+√(√5-4)44+√(√5-4)33; (4) √1.5×√23×√546.13. 若a =√2, b =√23,求[a -32b (ab -2)-12(a -1)-23]2的值.。
精编高中数学知识点专题复习及练习-指数函数、对数函数、幂函数图象与性质
精编高中数学知识点专题复习及练习必考点二指数函数、对数函数、幂函数图象与性质[高考预测]——运筹帷幄1．考查指数幂及对数式的化简与运算．2．以指数函数、对数函数、幂函数为原型进行复合而成的函数的图象与性质．3．指数型、对数型、幂型的方程式不等式的求解问题．[速解必备]——决胜千里1．二次函数y＝ax2＋bx＋c为偶函数⇔b＝0.2．指数函数在同一直角坐标系中的图象的相对位置与底数大小的关系如图所示，则0＜c＜d＜1＜a＜b.在y轴右侧，图象从上到下相应的底数由大变小；在y轴左侧，图象从下到上相应的底数由大变小；即无论在y轴的左侧还是右侧，底数按逆时针方向变大．3．对数函数图象在同一直角坐标中的相对位置与底数的大小关系如图所示．0＜d＜c＜1＜a＜b，在第一象限顺时针方向底数变大．4．y＝log a x，当x∈(1，＋∞)且a>1时，y>0，当x∈(0,1)且0<a<1时，y>0，记忆：“真底同，对数正”．5．log a b＝1log b a，log a b·log b c·log c d＝log a d.6．y ＝a x y ＝log a x定义域R 值域R值域(0，＋∞)定义域(0，＋∞)7．对于函数，y ＝ax ＋b x ，(a >0，b >0)的单调分界点是ax ＝bx ，即x ＝±b a .[速解方略]——不拘一格类型一 比较函数值的大小[例1] (1)设a ＝log 32，b ＝log 52，c ＝log 23，则( ) A ．a ＞c ＞b B ．b ＞c ＞a C ．c ＞b ＞a D ．c ＞a ＞b解析：基本法：∵3＜2＜3,1＜2＜5，3＞2，∴log 33＜log 32＜log 33，log 51＜log 52＜log 55，log 23＞log 22， ∴12＜a ＜1,0＜b ＜12，c ＞1， ∴c ＞a ＞b .故选D.速解法：分别作出y ＝log 3x ，y ＝log 2x ，y ＝log 5x 的图象，在图象中作出a 、b 、c 的值，观察其大小，可得c ＞a ＞b .答案：D方略点评：基本法是利用了每个对数值的范围的估算.,速解法是利用不同底的对数函数图象的相对位置关系，只要能作出其图象，便可容易得出大小关系. (2)已知x ＝ln π，y ＝log 52，z ＝，则( )A．x＜y＜z B．z＜x＜yC．z＜y＜x D．y＜z＜x解析：基本法：由已知得x＝ln π＞1，y＝log52∈(0,1)，z＝∈(0,1)，又2＜e＜3，∴2＜e＜3，∴1e＞13＞12，得z＝＞12，而y＝log52＜log55＝12，∴y＜z＜x，故选D.答案：D方略点评：1利用指数函数、对数函数的单调性，利用插值法来比较大小. 2对于多个数的大小比较，可插入0，分出正数与负数，正数中再插入1，分出0，1间与1，＋∞的数；也可直接利用单调性或数形结合法比较大小.1．(2016·高考全国丙卷)已知a＝，则()A．b＜a＜c B．a＜b＜cC．b＜c＜a D．c＜a＜b解析：利用幂函数的性质比较大小．∵y＝在第一象限内为增函数，又5＞4＞3，∴c＞a＞b.答案：A2．设a＝，b＝2，c＝3，则()A．a＞b＞c B．a＞c＞bC．b＞c＞a D．c＞a＞b解析：基本法：∵b＝－log32∈(－1,0)，c＝－log23＜－1，a＝＞0，∴a＞b＞c，选A.答案：A类型二指数函数、对数函数图象的变换与应用[例2] (1)设函数y ＝f (x )的图象与y ＝2x ＋a 的图象关于直线y ＝－x 对称，且f (－2)＋f (－4)＝1，则a ＝( ) A ．－1 B ．1 C ．2 D ．4解析：基本法：设(x ，y )是函数y ＝f (x )图象上任意一点，它关于直线y ＝－x 的对称点为(－y ，－x )，由y ＝f (x )的图象与y ＝2x ＋a 的图象关于直线y ＝－x 对称，可知(－y ，－x )在y ＝2x ＋a 的图象上，即－x ＝2－y ＋a ，解得y ＝－log 2(－x )＋a ，所以f (－2)＋f (－4)＝－log 22＋a －log 24＋a ＝1，解得a ＝2，选C.速解法：设y 1＝f (－2)，则(－2，y 1)关于y ＝－x 的对称点为(－y 1,2)在y ＝2x ＋a 上， ∴2＝2－y 1＋a ，∴－y 1＋a ＝1，即y 1＝a －1 同理设y 2＝f (－4)，∴4＝2－y 2＋a ，即y 2＝a －2. ∴y 1＋y 2＝1，∴a －1＋a －2＝1，∴a ＝2 答案：C方略点评：两种方法都采用了关于y ＝－x 对称点的特征.基本法是具体求出对称函数，速解法是间接求出f－2及f－4.(2)当0＜x ≤12时，4x ＜log a x ，则a 的取值范围是( ) A.⎝ ⎛⎭⎪⎫0，22 B.⎝ ⎛⎭⎪⎫22，1C ．(1，2)D ．(2，2)解析：基本法：易知0＜a ＜1，则函数y ＝4x 与y ＝log a x 的大致图象如图，则只需满足log a 12＞2，解得a ＞22， ∴22＜a ＜1，故选B.速解法：若a ＞1，∵x ∈⎝ ⎛⎦⎥⎤0，12，显然log a x ＜0，原不等式不成立，∴0＜a ＜1.若a ＝12，当x ＝12时，log a x ＝1,4x ＝412＝2，显然不成立，∴故只能选B. 答案：B方略点评：1.基本法是利用图象的变换关系，速解法是特值检验．2．作函数图象，要注意各个函数图象的相对位置及变化，要做到即“形似”又“神似”．1．函数y ＝2x 2－e |x |在[－2,2]的图象大致为( )解析：利用导数研究函数y ＝2x 2－e |x |在[0,2]上的图象，再利用奇偶性判断． ∵f (x )＝2x 2－e |x |，x ∈[－2,2]是偶函数，又f (2)＝8－e 2∈(0,1)，故排除A ，B.设g (x )＝2x 2－e x ，则g ′(x )＝4x －e x .又g ′(0)<0，g ′(2)>0，∴g (x )在(0,2)内至少存在一个极值点，∴f (x )＝2x 2－e |x |在(0,2)内至少存在一个极值点，排除C. 答案：D2．若关于x 的不等式4a x －1＜3x －4(a ＞0，且a ≠1)对于任意的x ＞2恒成立，则a 的取值范围为( ) A.⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12 B.⎝ ⎛⎦⎥⎤0，12 C ．[2，＋∞) D ．(2，＋∞)解析：基本法：不等式4a x －1＜3x －4等价于a x －1＜34x －1.令f (x )＝a x －1，g (x )＝34x －1，当a ＞1时，在同一坐标系中作出两个函数的图象，如图1所示，由图知不满足条件；当0＜a ＜1时，在同一坐标系中作出两个函数的图象，如图2所示，则f (2)≤g (2)，即a 2－1≤34×2－1，即a ≤12，所以a 的取值范围是⎝ ⎛⎦⎥⎤0，12，故选B.答案：B类型三 关于指数、对数的方程、不等式的求解方法[例3] (1)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x －1－2， x ≤1，－log 2x ＋1， x ＞1，且f (a )＝－3，则f (6－a )＝( ) A ．－74 B ．－54 C ．－34 D ．－14解析：基本法：当a ≤1时，f (a )＝2a －1－2＝－3， 即2a －1＝－1，不成立，舍去；当a ＞1时，f (a )＝－log 2(a ＋1)＝－3，即log 2(a ＋1)＝3，得a ＋1＝23＝8，∴a ＝7，此时f (6－a )＝f (－1)＝2－2－2＝－74.速解法：当x ≤1时，f (x )＝2x －1－2∈(－2，－1]，不可能f (x )＝－3. 故－log 2(a ＋1)＝－3，∴a ＋1＝23，a ＝7. ∴f (6－a )＝f (－1)＝2－2－2＝－74，选A. 答案：A方略点评：基本法是分别使用两段解析式进行求值验证.速解法是分析第一段的值域来确定fa＝－3的可能性.(2)设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧e x －1，x ＜1，x 13， x ≥1，则使得f (x )≤2成立的x 的取值范围是________．解析：基本法：f (x )≤2⇒⎩⎪⎨⎪⎧x ＜1，e x －1≤2或⎩⎪⎨⎪⎧x ≥1，x 13≤2⇒⎩⎪⎨⎪⎧x ＜1，x ≤ln 2＋1或⎩⎨⎧x ≥1，x ≤8⇒x ＜1或1≤x ≤8⇒x ≤8，故填(－∞，8]．速解法：当x ＜1时，f (x )＝e x －1为增函数，当x ≥1时，f (x )＝x 13为增函数． ∴f (x )在R 上为增函数，且e x －1＜1. ∴令x 13≤2，∴x ≤8. 答案：(－∞，8] 方略点评：1基本法是分段讨论fx ≤2的解，速解法是利用了整个函数fx 的单调性. 2对数函数、指数函数性质的应用，首先明确底数的取值来确认单调性及图象特征. 3分段函数要分段讨论处理，同时注意整体性和分段点.1．已知f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧log 2x ＋3x ＞0，x 2＋1x ≤0，若f (a )＝5，则a ＝________.解析：基本法：利用分段函数求解．由题意可得 ⎩⎪⎨⎪⎧ a ＞0，log 2a ＋3＝5或⎩⎪⎨⎪⎧a ≤0，a 2＋1＝5，解得a ＝4或－2. 答案：4或－22．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－x 2＋2x ，x ≤0，ln x ＋1，x ＞0.若|f (x )|≥ax ，则a 的取值范围是( )A ．(－∞，0]B ．(－∞，1]C ．[－2,1]D ．[－2,0]解析：基本法：|f (x )|＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2－2x ， x ≤0，ln x ＋1， x ＞0，其图象如图．由对数函数图象的变化趋势可知，要使ax ≤|f (x )|， 则a ≤0，且ax ≤x 2－2x (x ≤0)，即a ≥x －2对x ≤0恒成立，所以a ≥－2. 综上，－2≤a ≤0，故选D. 答案：D[终极提升]——登高博见选择题、填空题的解法——估算法方法诠释由于选择题提供了唯一正确的选项，解答又无需过程，因此，有些题目不必进行准确的计算，只需对其数值特点和取值界限作出适当的估计，便能作出正确的判断，这就是估算法．估算法的关键是确定结果所在的大致范围，否则“估算”就没有意义．估算法往往可以减少运算量，但是加强了思维的层次．应用方向估算法是根据变量变化的趋势或极值的取值情况进行求解的方法．当题目从正面解析比较麻烦，特值法又无法确定正确的选项时，如难度稍大的函数的最值或取值范围、函数图象的变化等问题，常用此种方法确定选项.限时速解训练六 指数函数、对数函数、幂函数图象与性质(建议用时40分钟)一、选择题(在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的) 1．已知a ＝50.5，b ＝0.55，c ＝log 50.5，则下列关系中正确的是( ) A ．a ＞b ＞c B ．b ＞a ＞c C ．c ＞a ＞b D ．c ＞b ＞a解析：选A.因为a ＝50.5＞50＝1,0＜b ＝0.55＜0.50＝1， c ＝log 50.5＜log 51＝0，所以a ＞b ＞c .故选A.2．函数f (x )＝ln(x ＋1)－2x 的一个零点所在的区间是( ) A ．(0,1) B ．(1,2) C ．(2,3) D ．(3,4)解析：选B.因为f (1)＝ln 2－2＜0，f (2)＝ln 3－1＞0，所以f (x )在(1,2)上必存在零点．故选B.3．函数f (x )＝ln ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －1x 的图象是( )解析：选B.要使函数f (x )＝ln ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －1x 有意义，需满足x －1x ＞0，解得－1＜x ＜0或x ＞1，所以排除A 、D ；当x ＞10时，x －1x 一定大于1，ln ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －1x 大于0，故选B.4．函数f (x )的图象向右平移1个单位长度，所得图象与曲线y ＝e x 关于y 轴对称，则f (x )＝( ) A ．e x ＋1 B ．e x －1 C ．e －x ＋1 D ．e －x －1解析：选D.依题意，f (x )的图象向右平移1个单位长度之后得到的曲线对应的函数应为y ＝e －x ，于是f (x )的图象相当于曲线y ＝e －x 向左平移1个单位长度的结果，∴f (x )＝e －x －1，故选D.5．函数f (x )＝a x ＋log a (x ＋1)在[0,1]上的最大值和最小值之和为a ，则a 的值为( ) A.14 B.12C ．2D ．4解析：选B.f (x )＝a x ＋log a (x ＋1)是单调递增(减)函数(原因是y ＝a x 与y ＝log a (x ＋1)的单调性相同)，且在[0,1]上的最值分别在两端点处取得，最值之和为f (0)＋f (1)＝a 0＋log a 1＋a ＋log a 2＝a ，∴log a 2＋1＝0，∴a ＝12. 6．定义在R 上的函数f (x )满足f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧log 21－x ，x ≤0，f x －6，x ＞0，则f (2 019)＝( ) A ．－1 B ．0C ．1D ．2 解析：选D.∵2 019＝6×337－3，∴f (2 019)＝f (－3)＝log 2(1＋3)＝2.故选D.7．设12＜⎝ ⎛⎭⎪⎫12b ＜⎝ ⎛⎭⎪⎫12a ＜1，那么( ) A ．a a ＜a b ＜b a B ．a a ＜b a ＜a bC ．a b ＜a a ＜b aD ．a b ＜b a ＜a a解析：选C.由于指数函数y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x 是减函数，由已知12＜⎝ ⎛⎭⎪⎫12b ＜⎝ ⎛⎭⎪⎫12a ＜1，得0＜a ＜b ＜1.当0＜a ＜1时，y ＝a x 为减函数，所以a b ＜a a ，排除A 、B ；又因为幂函数y ＝x a 在第一象限内为增函数，所以a a ＜b a ，选C.8．下列四个命题：①∃x 0∈(0，＋∞)，⎝ ⎛⎭⎪⎫12x 0＜⎝ ⎛⎭⎪⎫13x 0；②∃x 0∈(0,1)，③∀x ∈(0，＋∞)，⎝ ⎛⎭⎪⎫12x ＞x ； ④∀x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，13，⎝ ⎛⎭⎪⎫12x ＜x . 其中真命题是( )A ．①③B ．②③C ．②④D ．③④ 解析：选C.根据指数函数的图象和性质，可知①③是错误的，②④是正确的，故选C.9．若a ＝2x ，b ＝x ，c ＝x ，则“a ＞b ＞c ”是“x ＞1”的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分又不必要条件解析：选B.如图，可知“x ＞1”⇒“a ＞b ＞c ”，但“a ＞b ＞c ”⇒“x ＞1”，即“a ＞b ＞c ”是“x ＞1”的必要不充分条件．故选B.10．若不等式4x 2－log a x ＜0对任意x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，14恒成立，则实数a 的取值范围为( )A.⎣⎢⎡⎭⎪⎫1256，1B.⎝ ⎛⎭⎪⎫1256，1 C.⎝ ⎛⎭⎪⎫0，1256 D.⎝ ⎛⎦⎥⎤0，1256解析：选A.∵不等式4x 2－log a x ＜0对任意x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，14恒成立，∴x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，14时，函数y ＝4x 2的图象在函数y ＝log a x 的图象的下方．如图，∴0＜a ＜1.再根据它们的单调性可得4×⎝ ⎛⎭⎪⎫142≤log a 14，即log a ≤log a 14，∴≥14， ∴a ≥1256.综上可得1256≤a ＜1，故选A.11．已知x 0是f (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x ＋1x 的一个零点，x 1∈(－∞，x 0)，x 2∈(x 0,0)，则( ) A ．f (x 1)＜0，f (x 2)＜0B ．f (x 1)＞0，f (x 2)＞0C ．f (x 1)＞0，f (x 2)＜0D ．f (x 1)＜0，f (x 2)＞0解析：选C.在同一坐标系下作出函数f (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x ，f (x )＝－1x 的图象(如图)，由图象可知当x ∈(－∞，x 0)时，⎝ ⎛⎭⎪⎫12x ＞－1x ；当x ∈(x 0,0)时，⎝ ⎛⎭⎪⎫12x ＜－1x ，所以当x 1∈(－∞，x 0)，x 2∈(x 0,0)时，有f (x 1)＞0，f (x 2)＜0，故选C.12．设函数f (x )＝2x 1＋2x －12，[x ]表示不超过x 的最大整数，则函数y ＝[f (x )]的值域是( )A ．{0,1}B ．{－1,0}C ．{－1,1}D ．{1}解析：选B.f (x )＝2x 1＋2x －12＝12－11＋2x ，∵2x ＞0，∴1＋2x ＞1,0＜11＋2x ＜1，∴－1＜－11＋2x＜0， ∴－12＜12－11＋2x ＜12，即－12＜f (x )＜12， ∵[x ]表示不超过x 的最大整数，∴y ＝[f (x )]的值域为{－1,0}，故选B.二、填空题(把答案填在题中横线上)13．已知函数f (x )＝lg x ，若f (ab )＝1，则f (a 2)＋f (b 2)＝________.解析：∵f (x )＝lg x ，f (ab )＝1，∴lg(ab )＝1，∴f (a 2)＋f (b 2)＝lg a 2＋lg b 2＝2lg(ab )＝2.答案：214．若函数f (x )＝2|x －a |(a ∈R )满足f (1＋x )＝f (1－x )，且f (x )在[m ，＋∞)上单调递增，则实数m 的最小值等于________．解析：由f (1＋x )＝f (1－x )可知f (x )的图象关于直线x ＝1对称，所以a ＝1.结合图象知函数f (x )＝2|x －1|在[1，＋∞)上单调递增，故实数m 的最小值为1. 答案：115．已知函数f (x )＝则不等式f (x )＞1的解集为________． 解析：若x ≤0，则不等式f (x )＞1可转化为3x ＋1＞1⇒x ＋1＞0⇒x ＞－1，∴－1＜x ≤0；若x ＞0，则不等式f (x )＞1可转化为log 13x ＞1⇒x ＜13，∴0＜x ＜13.综上，不等式f (x )＞1的解集为⎝ ⎛⎭⎪⎫－1，13 答案：⎝ ⎛⎭⎪⎫－1，13 16．若直线y ＝2a 与函数y ＝|a x －1|(a ＞0且a ≠1)的图象有两个公共点，则实数a 的取值范围是________．解析：当a ＞1时，作出函数y ＝|a x －1|的图象如图(1)，此时y ＝2a ＞2，只有一个交点，不成立．当0＜a ＜1时，函数y ＝|a x －1|的图象如图(2)，此时0＜2a ＜2，要使两个函数的图象有两个公共点，则有0＜2a ＜1，即0＜a ＜12，所以a 的取值范围是⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12. 答案：⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12。
新教材苏教版高中数学必修第一册第6章幂函数、指数函数和对数函数 知识点考点重点难点归纳总结
第六章幂函数、指数函数和对数函数6.1幂函数 (1)6.2指数函数 (6)第1课时指数函数的概念、图象与性质 (6)第2课时指数函数的图象与性质的应用 (11)6.3对数函数 (16)第1课时对数函数的概念、图象与性质 (16)第2课时对数函数的图象与性质的应用 (20)6.1幂函数知识点1幂函数的概念一般地，我们把形如y＝xα的函数称为幂函数，其中x是自变量，α是常数．知识点2幂函数的图象和性质1．幂函数的图象在同一平面直角坐标系中，幂函数y＝x，y＝x2，y＝x3，y＝x，y＝x－1的图象如图所示：2．幂函数的性质y＝x y＝x2y＝x3y＝x y＝x－1定义域R R R[0，＋∞)(－∞，0)∪(0，＋∞)值域R[0，＋∞)R[0，＋∞)(－∞，0)∪(0，＋∞)奇偶性奇函数偶函数奇函数非奇非奇函数偶函数单调性在(－∞，＋∞)上单调递增 在(－∞，0]上单调递减，在[0，＋∞)上单调递增在(－∞，＋∞)上单调递增在[0，＋∞) 上单调递增在(－∞，0)上单调递减，在(0，＋∞)上单调递减定点(1,1)，(0,0)(1,1)，(0,0) (1,1)，(0,0) (1,1)，(0,0)(1,1)考点类型1 幂函数的概念 【例1】 (1)下列函数：①y ＝x 3；②y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x；③y ＝4x 2；④y ＝x 5＋1；⑤y ＝(x －1)2；⑥y ＝x ；⑦y ＝a x (a >1)．其中幂函数的个数为( )A ．1B ．2C ．3D ．4(2)已知y ＝(m 2＋2m －2)x m2－2＋2n －3是幂函数，求m ，n 的值．(1)B [幂函数有①⑥两个．] (2)[解] 由题意得⎩⎨⎧m 2＋2m －2＝1，2n －3＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧m ＝－3，n ＝32或⎩⎪⎨⎪⎧m ＝1，n ＝32.所以m ＝－3或1，n ＝32.1．幂函数y ＝x α满足的三个特征 (1)幂x α前系数为1；(2)底数只能是自变量x ，指数是常数； (3)项数只有一项．2．求幂函数解析式时常用待定系数法，即设解析式为f (x )＝x α，根据条件求出α.类型2 比较大小【例2】 比较下列各组数中两个数的大小： (1)⎝ ⎛⎭⎪⎫13与⎝ ⎛⎭⎪⎫14；(2)⎝ ⎛⎭⎪⎫－23－1与⎝ ⎛⎭⎪⎫－35－1； (3)0.25与6.25；(4)1.20.6与0.30.4；(5)(－3)与(－2).[思路点拨] 可以借助幂函数y ＝x 2的单调性或化为同指数或借助于中间量进行比较．[解] (1)∵y ＝x 是[0，＋∞)上的增函数，且13>14， ∴⎝ ⎛⎭⎪⎫13>⎝ ⎛⎭⎪⎫14. (2)∵y ＝x －1是(－∞，0)上的减函数， 且－23<－35，∴⎝ ⎛⎭⎪⎫－23－1>⎝ ⎛⎭⎪⎫－35－1. (3)0.25＝⎝ ⎛⎭⎪⎫14＝2，6．25＝2.5.∵y ＝x 是[0，＋∞)上的增函数，且2<2.5， ∴2<2.5，即0.25<6.25.(4)由幂函数的单调性，知1.20.6>10.6＝1,0.30.4<10.4＝1，从而0.30.4<1.20.6. (5)由幂函数的奇偶性，(－3)＝3>0，(－2)＝－2<0， 所以(－3)>(－2).比较幂值的大小，关键在于构造适当的函数(1)若指数相同而底数不同，则构造幂函数；若指数相同、底数不在同一单调区间，则用奇偶性；(2)若指数与底数都不同，需考虑是否能把指数化为相同，是否可以引入中间量．类型3 幂函数的图象及应用【例3】 点(2，2)与点⎝ ⎛⎭⎪⎫－2，－12分别在幂函数f (x )，g (x )的图象上，问当x 为何值时，有：(1)f (x )>g (x )；(2)f (x )＝g (x )；(3)f (x )<g (x )． [解] 设f (x )＝x α，g (x )＝x β. ∵(2)α＝2，(－2)β＝－12， ∴α＝2，β＝－1，∴f (x )＝x 2，g (x )＝x －1.分别作出它们的图象，如图所示．由图象知，(1)当x ∈(－∞，0)∪(1，＋∞)时，f (x )>g (x )； (2)当x ＝1时，f (x )＝g (x )； (3)当x ∈(0,1)时，f (x )<g (x )．1．解决幂函数图象问题应把握研究一般的方法 (1)求幂函数的定义域，再判定奇偶性；(2)先研究第一象限的图象与性质，再根据奇偶性(对称性)研究其它象限的图象．2．幂函数在第一象限的图象与性质(1)α>0，幂函数的图象恒经过(0,0)，(1,1)，在[0，＋∞)是增函数． (2)α<0，幂函数的图象恒经过(1,1)，在(0，＋∞)上是减函数． 3．幂函数图象在第一象限内随指数变化而变化的规律(1)在第一象限内直线x ＝1的右侧，图象从上到下，相应的指数由大变小；(2)在第一象限内直线x ＝1的左侧，图象从下到上，相应的指数由大变小．类型4 幂函数性质的综合应用【例4】 已知幂函数y ＝x 3m －9(m ∈N *)的图象关于y 轴对称，且在(0，＋∞)上单调递减，求满足(a ＋1)<(3－2a )的a 的取值范围．1．函数图象关于y 轴对称，函数有怎样的奇偶性？ [提示] 偶函数． 2．x>y时，x 、y 与0的大小关系有多少种？[提示] 0<x <y ，x <y <0，x >0>y .[解] ∵函数在(0，＋∞)上递减，∴3m －9<0，解得m <3. 又m ∈N *，∴m ＝1,2.又函数图象关于y 轴对称，∴3m －9为偶数，故m ＝1. ∴有(a ＋1)<(3－2a ).∵y ＝x在(－∞，0)，(0，＋∞)上均递减，∴a ＋1>3－2a >0或0>a ＋1>3－2a ，或a ＋1<0<3－2a ，解得23<a <32或a <－1. 所以a 的取值范围为(－∞，－1)∪⎝ ⎛⎭⎪⎫23，32.1．本题在解答过程中易出现忽略对底数的分类讨论而产生漏解． 2．求解此类题目的关键是弄清幂函数的概念及幂函数的性质． 解决此类问题可分为两大步：第一步，研究幂函数的奇偶性(图象对称性)、第一象限的图象的单调性求出m 的值或范围；第二步，利用分类讨论的思想，结合函数的图象求出参数a 的取值范围．6.2指数函数第1课时指数函数的概念、图象与性质知识点1指数函数的概念一般地，函数y＝a x(a>0，a≠1)叫作指数函数，它的定义域是R.知识点2指数函数的图象和性质a>10<a<1图象性质定义域R值域(0，＋∞)定点图象过点(0,1)，图象在x轴的上方函数值的变化x>0时，y>1；x<0时，0<y<1x>0时，0<y<1；x<0时，y>1单调性在(－∞，＋∞)上是增函数在(－∞，＋∞)上是减函数奇偶性非奇非偶函数1.指数函数y＝a x(a>0且a≠1)的图象“升”“降”主要取决于什么？[提示]指数函数y＝a x(a>0且a≠1)的图象“升”“降”主要取决于字母a.当a>1时，图象具有上升趋势；当0<a<1时，图象具有下降趋势．2.为什么底数应满足a>0且a≠1?[提示]①当a≤0时，a x可能无意义；②当a>0时，x可以取任何实数；③当a＝1时，a x＝1(x∈R)，无研究价值．因此规定y＝a x中a>0，且a≠1.考点类型1指数函数的概念【例1】(1)下列函数中，是指数函数的个数是()①y＝(－8)x；②y＝2x2－1；③y＝a x；④y＝2·3x.A ．1B ．2C ．3D ．0(2)已知函数f (x )为指数函数，且f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－32＝39，则f (－2)＝________.(1)D (2)19 [(1)①中底数－8<0，所以不是指数函数； ②中指数不是自变量x ，而是x 的函数， 所以不是指数函数；③中底数a ，只有规定a >0且a ≠1时，才是指数函数； ④中3x 前的系数是2，而不是1，所以不是指数函数，故选D.(2)设f (x )＝a x (a >0且a ≠1)，由f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－32＝39得a －32＝39，所以a ＝3，又f (－2)＝a －2，所以f (－2)＝3－2＝19.]1．判断一个函数是否为指数函数，要牢牢抓住3点 (1)底数是大于0且不等于1的常数；(2)指数函数的自变量必须位于指数的位置上； (3)a x 的系数必须为1.2．求指数函数的解析式常用待定系数法．类型2 利用单调性比较大小 【例2】 比较下列各组数的大小： (1)⎝ ⎛⎭⎪⎫34－1.8与⎝ ⎛⎭⎪⎫34－2.6；(2)⎝ ⎛⎭⎪⎫58与1； (3)0.6－2与⎝ ⎛⎭⎪⎫43；(4)⎝ ⎛⎭⎪⎫130.3与3－0.2；(5)0.20.6与0.30.4；(6) ⎝ ⎛⎭⎪⎫23，⎝ ⎛⎭⎪⎫23，⎝ ⎛⎭⎪⎫25.[思路点拨] 观察底数是否相同(或能化成底数相同)，若相同用单调性，否则结合图象或中间值来比较大小．[解] (1)∵0<34<1，y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫34x在定义域R 内是减函数，－1.8>－2.6， ∴⎝ ⎛⎭⎪⎫34－1.8<⎝ ⎛⎭⎪⎫34－2.6.(2)∵0<58<1，∴y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫58x在定义域R 内是减函数．又∵－23<0， ∴⎝ ⎛⎭⎪⎫58>⎝ ⎛⎭⎪⎫580＝1， ∴⎝ ⎛⎭⎪⎫58>1.(3)∵0.6－2>0.60＝1，⎝ ⎛⎭⎪⎫43<⎝ ⎛⎭⎪⎫430＝1， ∴0.6－2>⎝ ⎛⎭⎪⎫43.(4)∵⎝ ⎛⎭⎪⎫130.3＝3－0.3，y ＝3x 在定义域R 内是增函数，又∵－0.3<－0.2， ∴3－0.3<3－0.2，∴⎝ ⎛⎭⎪⎫130.3<3－0.2.(5)由幂函数的单调性，知0.20.6<0.30.6，又y ＝0.3x 是减函数，∴0.30.4>0.30.6，从而0.20.6<0.30.4.(6)∵f (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫23x 在R 上为减函数，∴⎝ ⎛⎭⎪⎫23<⎝ ⎛⎭⎪⎫23， ∵f (x )＝x 在(0，＋∞)上为增函数，∴⎝ ⎛⎭⎪⎫23>⎝ ⎛⎭⎪⎫25，所以⎝ ⎛⎭⎪⎫23>⎝ ⎛⎭⎪⎫23>⎝ ⎛⎭⎪⎫25.在进行指数式的大小比较时，可以归纳为以下3类 (1)底数同、指数不同：利用指数函数的单调性解决． (2)底数不同、指数同：利用幂函数的单调性解决．(3)底数不同、指数也不同：采用介值法．以其中一个的底为底，以另一个的指数为指数．比如a c 与b d ，可取a d ，前者利用单调性，后者利用图象．类型3 利用指数函数的单调性解不等式 【例3】 (1)解不等式⎝ ⎛⎭⎪⎫123x －1≤2；(2)已知ax 2－3x ＋1<a x ＋6(a >0，且a ≠1)． [解] (1)∵2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12－1，∴原不等式可以转化为⎝ ⎛⎭⎪⎫123x －1≤⎝ ⎛⎭⎪⎫12－1. ∵y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x在R 上是减函数，∴3x －1≥－1，∴x ≥0， 故原不等式的解集为{x |x ≥0}． (2)分情况讨论①当0<a <1时，函数f (x )＝a x (a >0，a ≠1)在R 上为减函数， ∴x 2－3x ＋1>x ＋6， ∴x 2－4x －5>0，根据相应二次函数的图象可得x <－1或x >5.②当a >1时，函数f (x )＝a x (a >0，a ≠1)在R 上是增函数． ∴x 2－3x ＋1<x ＋6，∴x 2－4x －5<0. 根据相应二次函数的图象可得－1<x <5， 综上所述当0<a <1时，x <－1或x >5， 当a >1时，－1<x <5.1．形如a x >a y 的不等式，借助y ＝a x 的单调性求解，如果a 的取值不确定，需分a ＞1与0＜a ＜1两种情况讨论．2．形如a x ＞b 的不等式，注意将b 化为以a 为底的指数幂的形式，再借助y ＝a x 的单调性求解．类型4 图象变换及其应用【例4】 (1)函数y ＝3－x 的图象是________．(填序号)(2)已知0＜a ＜1，b ＜－1，则函数y ＝a x ＋b 的图象必定不经过第________象限．(3)函数f (x )＝2a x ＋1－3(a ＞0且a ≠1)的图象恒过定点________． [思路点拨] 题(1)中可将y ＝3－x转化为y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13x.题(2)中，函数y ＝a x ＋b 的图象过点(0,1＋b )， 因为b ＜－1，所以点(0,1＋b )在y 轴负半轴上． 题(3)应该根据指数函数经过定点求解．(1)② (2)一 (3)(－1，－1) [(1)y ＝3－x ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13x 为单调递减的指数函数，其图象为②.(2)函数y ＝a x (0＜a ＜1)在R 上单调递减，图象过定点(0,1)，所以函数y ＝a x ＋b 的图象在R 上单调递减，且过点(0,1＋b )．因为b ＜－1，所以点(0,1＋b )在y 轴负半轴上，故图象不经过第一象限．(3)令x ＋1＝0，得x ＝－1，此时y ＝2a 0－3＝－1，故图象恒过定点(－1，－1)．]1．处理函数图象问题的策略(1)抓住特殊点：指数函数的图象过定点(0,1)．(2)巧用图象变换：函数图象的平移变换(左右平移、上下平移)． (3)利用函数的性质：奇偶性与单调性． 2．指数型函数图象过定点问题的处理方法求指数型函数图象所过的定点时，只要令指数为0，求出对应的y 的值，即可得函数图象所过的定点．第2课时 指数函数的图象与性质的应用知识点 指数型函数形如y ＝ka x (k ∈R ，且k ≠0，a >0且a ≠1)的函数是一种指数型函数，这是一种非常有用的函数模型．设原有量为N ，每次的增长率为p ，经过x 次增长，该量增长到y ，则y ＝N (1＋p )x (x ∈N )．考点类型1 求函数的定义域、值域 【例1】 求下列函数的定义域和值域： (1)y ＝2；(2)y ＝1－2x；(3)y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x 2－2x －3；(4)y ＝4x ＋2x ＋2－3.[解] (1)由x －4≠0，得x ≠4， 故y ＝2的定义域为{x |x ≠4}．又1x －4≠0，即2≠1，故y ＝2的值域为{y |y >0，且y ≠1}．(2)由1－2x ≥0，得2x ≤1，∴x ≤0， ∴y ＝1－2x 的定义域为(－∞，0]． 由0<2x ≤1，得－1≤－2x <0， ∴0≤1－2x <1，∴y ＝1－2x 的值域为[0,1)． (3)y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x 2－2x －3的定义域为R .∵x 2－2x －3＝(x －1)2－4≥－4， ∴⎝ ⎛⎭⎪⎫12 x 2－2x －3≤⎝ ⎛⎭⎪⎫12－4＝16. 又∵⎝ ⎛⎭⎪⎫12x 2－2x －3>0，故函数y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x 2－2x －3的值域为(0,16]．(4)函数 y ＝4x ＋2x ＋2－3的定义域为R .设t ＝2x ，则t >0.所以y ＝t 2＋4t －3＝(t ＋2)2－7，t >0. 因为函数y ＝t 2＋4t －3＝(t ＋2)2－7在(0，＋∞)为增函数， 所以y >－3，即函数的值域为(－3，＋∞)．1．若将本例(2)中函数换为y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13x－1，求其定义域． [解] 由⎝ ⎛⎭⎪⎫13x －1≥0得⎝ ⎛⎭⎪⎫13x ≥⎝ ⎛⎭⎪⎫130，∴x ≤0即函数的定义域为(－∞，0]．2．若将本例(4)增加条件“0≤x ≤2”再求函数的值域．[解] 由于x ∈[0,2]则2x ＝t ∈[1,4]，所以y ＝t 2＋4t －3＝(t ＋2)2－7.t ∈[1,4]，∵函数y ＝t 2＋4t －3＝(t ＋2)2－7在[1,4]为增函数．故y ∈[2,29]．1．对于y ＝a f (x )这类函数(1)定义域是指使f (x )有意义的x 的取值范围． (2)值域问题，应分以下两步求解： ①由定义域求出u ＝f (x )的值域；②利用指数函数y ＝a u 的单调性或利用图象求得函数的值域．2．对于y ＝m (a x )2＋n (a x )＋p (m ≠0)这类函数值域问题，利用换元法，借助二次函数求解．类型2 指数型函数的应用题【例2】 某市现有人口总数为100万人，如果年平均增长率为1.2%，试解答下列问题：(1)试写出x 年后该城市人口总数y (万人)与年份x (年)之间的函数关系式； (2)计算10年后该城市人口总数(精确到1万人)．(参考数据：1.01210≈1.127) [思路点拨] 本题考查有关增长率的问题，若设原来人口总数为N ，年平均增长率为p ，则对于x 年后的人口总数y ，可以用y ＝N (1＋p )x 表示．[解] (1)1年后城市人口总数为： y ＝100＋100×1.2%＝100(1＋1.2%)．2年后城市人口总数为：y ＝100×(1＋1.2%)＋100×(1＋1.2%)×1.2% ＝100(1＋1.2%)2，同理3年后城市人口总数为y ＝100(1＋1.2%)3， …故x 年后的城市人口总数为y ＝100(1＋1.2%)x . (2)10年后该城市人口总数为：y ＝100(1＋1.2%)10＝100×1.01210≈100×1.127 ≈113(万人)．故10年后该城市人口总数约为113万人．解决实际应用题的步骤(1)领会题意，并把题中的普通语言转化为数学语言；(2)根据题目要求，分析量与量之间的关系，建立恰当的函数模型，并注意对变量的限制条件，加以概括；(3)对已经“数学化”的问题用所学的数学知识处理，求出解；(4)检验：将数学问题的解代入实际问题检查，舍去不符合题意的解，并作答．类型3 指数函数性质的综合应用【例3】 已知定义域为R 的函数f (x )＝－2x ＋b2x ＋1＋a 是奇函数．(1)求a ，b 的值；(2)若对任意的t ∈R ，不等式f (t 2－2t )＋f (2t 2－k )<0恒成立，求k 的取值范围； (3)求f (x )在[－1,2]上的值域．[思路点拨] (1)根据奇函数的定义，求出a ，b .(2)利用单调性和奇偶性去掉“f ”解不等式求k 的范围．(3)利用(2)中单调性求f (x )的值域．[解] (1)∵函数y ＝f (x )是定义域R 上的奇函数， ∴⎩⎨⎧f (0)＝0，f (－1)＝－f (1)，∴⎩⎪⎨⎪⎧－1＋b 2＋a ＝0，－2－1＋b 20＋a ＝－－21＋b 22＋a ，∴b ＝1，a ＝2.(2)由(1)知f (x )＝1－2x 2(2x ＋1)＝－12＋12x ＋1，设x 1，x 2∈R 且x 1<x 2， 则f (x 2)－f (x 1)＝12x 2＋1－12x 1＋1＝2x 1－2x 2(2x 2＋1)(2x 1＋1)<0， ∴f (x )在定义域R 上为减函数， 由f (t 2－2t )＋f (2t 2－k )<0恒成立， 可得f (t 2－2t )<－f (2t 2－k )＝f (k －2t 2)， ∴t 2－2t >k －2t 2， ∴3t 2－2t －k >0恒成立，∴Δ＝(－2)2＋12k <0，解得k <－13， ∴k 的取值范围为⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，－13.(3)由(2)知f (x )在R 上单调递减， ∴f (x )在[－1,2]上单调递减，∴f (x )max ＝f (－1)＝－12＋11＋12＝16，f (x )min ＝f (2)＝－12＋14＋1＝－310，∴f (x )的值域为⎣⎢⎡⎦⎥⎤－310，16.与指数函数有关的综合应用问题往往涉及到指数函数的定义域、值域、单调性、奇偶性、最值(值域)等问题，求解时可充分借助已学的知识逐项求解．类型4 复合函数的单调性 【例4】 判断f (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13x 2－2x的单调性，并求其值域．y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13x与y ＝x 2－2x 的单调性分别如何？ [提示] y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13x单调递减．y ＝x 2－2x 在(－∞，1]上单调递减，在[1，＋∞)上单调递增．[解] 令u ＝x 2－2x ，则原函数变为y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13u.∵u ＝x 2－2x ＝(x －1)2－1在(－∞，1]上递减，在[1，＋∞)上递增， 又∵y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13u在(－∞，＋∞)上递减，∴y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13x 2－2x 在(－∞，1]上递增，在[1，＋∞)上递减．∵u ＝x 2－2x ＝(x －1)2－1≥－1， ∴y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13u，u ∈[－1，＋∞)，∴0<⎝ ⎛⎭⎪⎫13u ≤⎝ ⎛⎭⎪⎫13－1＝3，∴原函数的值域为(0,3]．1．关于指数型函数y ＝a f (x )(a >0，且a ≠1)，它由两个函数y ＝a u ，u ＝f (x )复合而成．其单调性由两点决定，一是底数a >1还是0<a <1；二是f (x )的单调性．2．求这种指数型函数的单调区间，首先求出函数的定义域，然后把函数分解成y ＝f (u )，u ＝φ(x )，通过考查f (u )和φ(x )的单调性，求出y ＝f (φ(x ))的单调性，其规则是“同增异减”．6.3对数函数第1课时对数函数的概念、图象与性质知识点1对数函数的概念一般地，函数y＝log a x(a>0，a≠1)叫作对数函数，它的定义域是(0，＋∞)．1.函数y＝2log3x，y＝log3(2x)是对数函数吗？[提示]不是，其不符合对数函数的形式．知识点2对数函数的图象与性质a>10<a<1图象性质定义域：(0，＋∞)值域：R图象过定点(1,0)在(0，＋∞)上是增函数当0<x<1时，y<0；当x>1时，y>0在(0，＋∞)上是减函数当0<x<1时，y>0；当x>1时，y<02.对数函数的“上升”或“下降”与谁有关？[提示]底数a与1的关系决定了对数函数的升降．当a>1时，对数函数的图象“上升”，当0<a<1时，对数函数的图象“下降”．知识点3反函数(1)对数函数y＝log a x(a>0，a≠1)和指数函数y＝a x(a>0，a≠1)互为反函数，它们的图象关于y＝x对称．(2)一般地，如果函数y＝f(x)存在反函数，那么它的反函数记作y＝f－1(x)．(3)互为反函数的两个函数的图象关于直线y＝x对称．(4)原函数y＝f(x)的定义域是它的反函数y＝f－1(x)的值域；原函数y＝f(x)的值域是它的反函数y＝f－1(x)的定义域．考点类型1对数函数的概念【例1】判断下列函数是否是对数函数？并说明理由．(1)y＝log a x2(a＞0，且a≠1)；(2)y＝log2x－1；(3)y＝2log8x；(4)y＝log x a(x＞0，且x≠1)．[思路点拨]依据对数函数的定义来判断．[解](1)中真数不是自变量x，∴不是对数函数；(2)中对数式后减1，∴不是对数函数；(3)中log8x前的系数是2，而不是1，∴不是对数函数；(4)中底数是自变量x，而不是常数a，∴不是对数函数．一个函数是对数函数，必须是形如y＝log a x(a＞0且a≠1)的形式，即必须满足以下条件：(1)系数为1；(2)底数为大于0且不等于1的常数；(3)对数的真数仅有自变量x.类型2对数函数的定义域【例2】求下列函数的定义域．(1)f(x)＝1log12x＋1；(2)f(x)＝12－x＋ln(x＋1)；(3)f(x)＝log(2x－1)(－4x＋8)；(4)f (x )＝x ln(1－2x )．[解] (1)要使函数f (x )有意义，则log 12 x ＋1>0，即log 12 x >－1，解得0<x <2，即函数f (x )的定义域为(0,2)．(2)要使函数式有意义需满足⎩⎨⎧ x ＋1>0，2－x >0，即⎩⎨⎧x >－1，x <2，解得－1<x <2，故函数的定义域为(－1,2)．(3)由题意得⎩⎨⎧－4x ＋8>0，2x －1>0，2x －1≠1，解得⎩⎪⎨⎪⎧x <2，x >12，x ≠1，故函数的定义域为⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪12<x <2，且x ≠1. (4)由题意知⎩⎨⎧x ≥0，1－2x >0，解得0≤x <12，∴定义域为⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪0≤x <12.求与对数函数有关的函数定义域时，除遵循前面已学习过的求函数定义域的方法外，还要对这种函数自身有如下要求：一是要特别注意真数大于零；二是要注意对数的底数；三是按底数的取值应用单调性，有针对性地解不等式．类型3 比较对数式的大小 【例3】 比较下列各组值的大小： (1)log 534与log 543； (2)log 13 2与log 15 2；(3)log 23与log 54.[解] (1)法一(单调性法)：对数函数y ＝log 5x 在(0，＋∞)上是增函数，而34<43，所以log 534<log 543.法二(中间值法)：因为log 534<0，log 543>0，所以log534<log543.(2)法一(单调性法)：由于log132＝1log213，log152＝1log215，又因对数函数y＝log2x在(0，＋∞)上是增函数，且13>15，所以0>log213>log215，所以1log213<1log215，所以log132<log152.法二(图象法)：如图，在同一坐标系中分别画出y＝log13x及y＝log15x的图象，由图易知：log132<log152.(3)取中间值1，因为log23>log22＝1＝log55>log54，所以log23>log54.比较对数值大小的常用方法(1)同底数的利用对数函数的单调性．(2)同真数的利用对数函数的图象或用换底公式转化．(3)底数和真数都不同，找中间量．提醒：比较数的大小时先利用性质比较出与零或1的大小．第2课时对数函数的图象与性质的应用知识点图象变换(1)平移变换当b＞0时，将y＝log a x的图象向左平移b个单位，得到y＝log a(x＋b)的图象；向右平移b个单位，得到y＝log a(x－b)的图象．当b＞0时，将y＝log a x的图象向上平移b个单位，得到y＝log a x＋b的图象，将y＝log a x的图象向下平移b个单位，得到y＝log a x－b的图象．(2)对称变换要得到y＝log a 1x的图象，应将y＝log a x的图象关于x轴对称．考点类型1与对数函数相关的图象【例1】作出函数y＝|log2 (x＋2)|＋4的图象，并指出其单调增区间．[解]步骤如下：(1)作出y＝log2x的图象，如图(1)．(2)将y＝log2x的图象沿x轴向左平移2个单位得到y＝log2 (x＋2)的图象，如图(2)．(3)将y＝log2(x＋2)的图象在x轴下方的图象以x轴为对称轴翻折到x轴的上方，得到y＝|log2 (x＋2)|的图象，如图(3)．(4)将y＝|log2(x＋2)|的图象沿y轴方向向上平移4个单位，得到y＝|log2(x ＋2)|＋4的图象，如图(4)．由图可知，函数的单调增区间为[－1，＋∞)．1．已知y＝f(x)的图象，求y＝|f(x＋a)|＋b的图象步骤如下：y＝f(x)→y＝f(x＋a)→y＝|f(x＋a)|→y＝|f(x＋a)|＋b.2．已知y＝f(x)的图象，求y＝|f(x＋a)＋b|的图象，步骤如下：y＝f(x)→y＝f(x＋a)→y＝f(x＋a)＋b→y＝|f(x＋a)＋b|.以上可以看出，作含有绝对值号的函数图象时，先将绝对值号内部的图象作出来，再进行翻折，内部变换的顺序是先变换x，再变换y.类型2值域问题x的定义域为[2,4]，则函数f(x)的值域是【例2】(1)已知函数f(x)＝2log12________．(2)求函数f(x)＝log2(－x2－4x＋12)的值域．x在定义域[2,4]上为减函数求解．[思路点拨](1)中利用f(x)＝2log12(2)中注意考虑真数－x2－4x＋12的范围．x在[2,4]上为减函数，(1)[－4，－2][∵f(x)＝2log122＝－2；∴x＝2时，f(x)max＝2log124＝－4.x＝4时，f(x)min＝2log12∴f(x)的值域为[－4，－2]．](2)[解]∵－x2－4x＋12＞0，又∵－x2－4x＋12＝－(x＋2)2＋16≤16，∴0＜－x2－4x＋12≤16，故log2(－x2－4x＋12)≤log216＝4，∴函数的值域为(－∞，4]．求函数值域或最大(小)值的常用方法(1)直接法根据函数解析式的特征，从函数自变量的变化范围出发，通过对函数定义域、性质的观察，结合解析式，直接得出函数值域．(2)配方法当所给的函数是二次函数或可化为二次函数形式的(形如y ＝a [f (x )]2＋bf (x )＋c )，求函数值域问题时，可以用配方法．(3)单调性法根据在定义域(或定义域的某个子集)上的单调性，求出函数的值域．(4)换元法求形如y ＝log a f (x )型函数值域的步骤：①换元，令u ＝f (x )，利用函数图象和性质求出u 的范围；②利用y ＝log a u 的单调性、图象，求出y 的取值范围．类型3 对数函数的综合问题【例3】 已知函数f (x )＝lg (2－x )－lg (2＋x )．(1)求值：f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12 021＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12 021； (2)判断f (x )的奇偶性；(3)判断函数的单调性并用定义证明．[思路点拨] (1)利用代入法求解，(2)(3)用定义法判断奇偶性和单调性．[解] (1)f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12 021＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12 021＝lg ⎝ ⎛⎭⎪⎫2－12 021－lg ⎝ ⎛⎭⎪⎫2＋12 021＋lg ⎝ ⎛⎭⎪⎫2＋12 021－lg ⎝ ⎛⎭⎪⎫2－12 021＝0. (2)由题知⎩⎨⎧2－x >0，2＋x >0⇒－2<x <2， 又f (－x )＝lg (2＋x )－lg (2－x )＝－f (x )，∴f (x )为奇函数．(3)设－2<x 1<x 2<2，f (x 1)－f (x 2)＝lg 2－x 12＋x 1－lg 2－x 22＋x 2＝lg (2－x 1)(2＋x 2)(2＋x 1)(2－x 2)， ∵(2－x 1)(2＋x 2)－(2＋x 1)(2－x 2)＝4(x 2－x 1)>0.又(2－x 1)(2＋x 2)>0，(2＋x 1)(2－x 2)>0，∴(2－x 1)(2＋x 2)(2＋x 1)(2－x 2)>1，∴lg (2－x 1)(2＋x 2)(2＋x 1)(2－x 2)>0.从而f (x 1)>f (x 2)，故f (x )在(－2,2)上为减函数．对数函数性质的综合应用(1)常见的命题方式对数函数常与函数的奇偶性、单调性、最大(小)值以及不等式等问题综合命题，求解中通常会涉及对数运算．(2)解此类问题的基本思路首先要将所给的条件进行转化，然后结合涉及的知识点，明确各知识点的应用思路、化简方向，与所求目标建立联系，从而找到解决问题的思路．类型4 解对数不等式【例4】 解下列关于x 的不等式： (1)log 17 x >log 17(4－x )； (2)log a (2x －5)>log a (x －1)．[解] (1)由题意可得⎩⎨⎧ x >0，4－x >0，x <4－x ，解得0<x <2.所以原不等式的解集为{x |0<x <2}．(2)当a >1时，原不等式等价于⎩⎨⎧ 2x －5>0，x －1>0，2x －5>x －1.解得x >4. 当0<a <1时，原不等式等价于⎩⎨⎧ 2x －5>0，x －1>0，2x －5<x －1，解得52<x <4. 综上所述，当a >1时，原不等式的解集为{x |x >4}；当0<a <1时，原不等式的解集为⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪ 52<x <4.对数不等式的三种考查类型及解法(1)形如log a x>log a b的不等式，借助y＝log a x的单调性求解，如果a的取值不确定，需分a>1与0<a<1两种情况进行讨论．(2)形如log a x>b的不等式，应将b化为以a为底数的对数式的形式(b＝log a a b)，再借助y＝log a x的单调性求解．(3)形如log f(x)a>log g(x)a(f(x)，g(x)>0且不等于1，a>0)的不等式，可利用换底公式化为同底的对数进行求解，或利用函数图象求解．。
高中数学第4章指数函数与对数函数4.4对数函数第1课时对数函数的概念图象和性质学案含解析第一册
4.4 对数函数第1课时对数函数的概念、图象和性质学习目标核心素养1.理解对数函数的概念，会求对数函数的定义域．（重点、难点) 2．能画出具体对数函数的图象，并能根据对数函数的图象说明对数函数的性质．(重点）1。
通过学习对数函数的图象，培养直观想象素养．2．借助对数函数的定义域的求解，培养数学运算的素养。
中科院古脊椎动物与古人类研究所的专家向外界确认，河南汝阳村李锤发现的“龙骨"实际上是一头距今已有1亿至8 000万年历史的黄河巨龙的肋骨．经过发掘、整理、还原模型,专家推断这条黄河巨龙活着的时候，体重应该在60吨左右，是迄今为止亚洲最高大、最肥胖的“亚洲龙王”．同学们，你们知道专家是怎样依据化石估算出黄河巨龙的生活年代的吗？那就让我们学习一种新的函数模型——对数函数来解决这个问题吧！问题：(1）考古学家一般通过提取附着在出土文物、古遗址上死亡物体的残留物，利用（P为碳14含量）估算出土文物或古遗址的年代t，那么t是P的函数吗?为什么？（2)函数的解析式与函数y＝log2x的解析式有什么共同特征?提示：（1)t是P的函数，因为对于P每取一个确定的值按照对应关系f:，都有唯一的值与之相对应，故t是P的函数．（2)两个函数都是对数的真数作为函数的自变量．1．对数函数的概念函数y＝log a x（a〉0，且a≠1)叫做对数函数，其中x是自变量,函数的定义域是(0，＋∞）．思考1：函数y＝2log3x，y＝log3(2x）是对数函数吗？提示:不是，其不符合对数函数的形式．2．对数函数的图象和性质a的范围0〈a〈1a〉1图象定义域(0，＋∞）值域R性质定点(1,0），即x＝1时,y＝0单调性在（0,＋∞)上是减函数在（0，＋∞）上是增函数思考2:对数函数的“上升”或“下降"与谁有关？提示：底数a与1的关系决定了对数函数的升降．当a〉1时,对数函数的图象“上升”；当0<a〈1时，对数函数的图象“下降"．3．反函数指数函数y＝a x（a>0，且a≠1)与对数函数y＝log a x(a〉0且a≠1）互为反函数．1．思考辨析（正确的画“√”，错误的画“×”）(1)对数函数的定义域为R。
高中数第3章指数函数、对数函数和幂函数3.4.1.2用二分法求方程的近似解课件苏教版必修1
x 0
0.5
0.531 25 0.562 5 0.625 0.75 1
f(x) -1.307 -0.084 -0.009
0.066 0.215 0.512 1.099
由二分法求得方程ln(x+1)+2x-m=0的近似解(精确度0.05)可能是
(
). (导学号51790116)
高中数第3章指数函数、对数函
数和幂函数3.4.1.2用二分法求方
程的近似解课件苏教版必修1
学习目标
重点难点
1.会用二分法求方程的近似
解.
重点:用二分法求方程的
近似解.
2.明确函数零点的近似值的
判断方法.
难点:零点近似值的判定
方法.
1.二分法的含义
(1)满足的条件:函数y=f(x)在区间(a,b)上连续不断且f(a)·f(b)<0.
1
则当 x∈(-∞,0)时,x >0, <0,
2
1
所以- >0,所以
2 1
2 1
f(x)=x - >0 恒成立.
所以 x - =0 在(-∞,0)内无实数解.
(导学号
典例导学
即时检测
一
二
1.准确理解“二分法”的含义:
二分法就是通过不断地将所选区间一分为二,使区间的两个端点逐
步逼近零点,直至找到零点附近足够小的区间,根据所要求的精确
零点,都能用二分法求函数零点,故选A.
典例导学
即时检测
一
二
1.下列图象表示的函数中,能用二分法求零点的是(
).
答案:C
解析:由题图知,只有C中有变号零点,能用二分法求零点.
苏教版高中同步学案数学必修第一册精品课件 分层作业 第4章 指数与对数 指数 指数幂的拓展
3
1
4
C. 2和4 D.4
− = −,
( )
3
−2
1 −3
和( )
2
(−) =
，不符合题意；对于B，
= = ，符合题意；对于D，
( )− = = ，不符合题意.故选.
−
=
−
= ，
= ，
2
2 −2
27
1
5.( ) +π0 − ( )3 =___.
[解析]因为 −
−
+
=
−
( +
1
1
2
−2
= 3，则 +
1
−2
13
=_____.
= ，所以
− ) =
(
− − ) +
= + = .
14.已知 3
=
3
=
解令 3 = 3 = 3 =
1
1
1
1
1
3
（4） (
解当 >
> 0).
3
0时，
=
3
1
2
=
1
3−2
5
2
= .
6 5
+
2 2
11
2
= .
B层 能力提升练
8.2−2
2
3
× 8 × 2560 =() B
苏教版高中同步学案数学必修第一册精品课件 分层作业 第4章 指数与对数 指数-4.1.1 根式
10.当 2 − 有意义时，化简 2 − 8 + 16 − 2 − 6 + 9的结果是() C
A.2 − 7B.−2 + 1C.1D.7 − 2
[解析]因为 − 有意义，所以 − ≥ ，即 ≤ ，则 − < ， − < .由题
5.
2 024
[解析]
9
(−9)2 024 =___.
(−) = | − | = .
6.化简： ( − )2 +
[解析] (
− )
+
5
0, <
ቊ
2 − 2, ≥
( − )5 =_______________.
( − )
, < ,
[解析]当为奇数时，的次方根只有1个，为；当为偶数时，因为
(±) = = ，所以的次方根有2个，为±.由题意不能判断的次方根.故选
.
13.已知 < 0，化简二次根式
− 2
−
的值是_____.
[解析]由 − 可知， < ，又 < ，所以 > ，所以 − = −，所以
第4章 指数与对数
4.1 指数
4.1.1 根式
A层 基础达标练
1.下列等式成立的个数是() D
①( ) = （>0, ∈ ∗ 且 > 1）；② = （为大于1的奇数）；
③
A.0
, ≥ 0,
=∣ ∣= ቊ
（为大于零的偶数）.
−, < 0
高中数学 初高中衔接教材 第27-28课时 指数函数(3)学案(无答案)苏教版
指数函数（3）1、截止到1999年底，我国人口约13亿，如果今后能将人口平均增长率控制在1%，那么经过x 年我国人口数y 为多少？到2019年底，我国人口约为多少？（参考数据21.101.119≈，22.101.120≈，23.101.121≈，计算结果精确到亿。
）二、例题分析例1、某种放射性物质不断变化为其他物质，每经过一年，这种物质剩留的质量是原来的84%，写出这种物质的剩留量关于时间的函数关系式。
a 元，每期利率为r ，设存期是x ，本利和（本金加25.2%，计算5期后的本利和，按这样的利率，第倍？；0.001）？，49258.10225.118≈，5261.10225.119≈，例3、2000年到2002年，我国国内生产总值年平均增长8.7%左右，按照这个增长速度，画出从2000年开始我国年国内生产总值随时间变化的图象，并通过图象观察到2010年我国年国内生产总值约为2000年的多少倍（结果取整数）。
（参考数据：2.1078.12≈，4.1078.14≈，6.1078.16≈，8.1078.18≈，1.2078.110≈， 5.2078.112≈，9.2078.114≈）三、随堂练习1、一个电子元件厂去年生产某种规格的电子元件a 个，计划从今年开始的m 年内，每年生产此种规格的电子元件的产量比上一年增长%p ，则此种规格的电子元件的年产量y 随年数x 变化的函数关系是 。
2、一个电子元件厂去年生产某种规格的电子元件的成本是a 元/个，计划从今年开始的m 年内，每年生产此种规格的电子元件的成本比上一年下降%p ，则此种规格的电子元件的单件成本y 随年数x 变化的函数关系是 。
3、某种商品零售价2004年比2003年上涨25%，现要求2005年比2003年只上涨10%，则2005年比2004年应降价__________________。
4、某工厂的产值月平均增长率为r ，则年平均增长率是________________________。
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指数、对数、幂函数（1）
总 课 题 期中复习 总课时 第44课时
分 课 题 指数、对数、幂函数（1） 分课时 第 3 课时
教学目标
理解有理指数幂的意义，掌握有理指数幂的运算性质；掌握指数函数的
概念、图象和性质；理解对数的概念，掌握对数的运算性质；掌握对数函
数的概念、图象和性质；了解幂函数的概念和性质，知道指数函数、对数
函数、幂函数是描述客观世界变化规律的重要数学模型
重点难点 指、对数函数的概念、图象和性质及应用 课 型 复 习 课
引入复习
1、有理指数幂的意义及其运算性质
2、指数函数、对数函数的概念、图象及性质（1,0aa）
x
ay
xyalog
图
象
1a
10a
定义域
值 域
过定点
单调性
3、幂函数的图象与性质
4、课前练习
⑴、求值： nna nna)( 625lg20lg2lg50lg5lg
⑵、已知31aa，求22aa，33aa，2121aa，2121aa的值。
例题剖析
例1、⑴、比较大小：2133231)43(,)32(,2,)34(
比较大小：9.0log,7.0log,7.0log2.032
2
比较大小：9.0log,1.2,3.0log,32312.031
⑵、函数)1,0(312aaayx的图象必经过定点_________；
函数)1,0(3)12(logaaxya的图象必经过定点_________；
函数)21(312axya的图象必经过定点_________；
⑶、若指数函数xay)12(在R上是单调增函数，则a的取值范围是________
若对数函数xya)12(log在),0(上是单调减函数，则a的取值范围是_____
若幂函数12axy在定义域上是单调减函数，则a的取值范围是_____
例2、求函数的定义域
⑴、118xy ⑵、xy)31(1
⑶、521log2xxy ⑷、4321)3()1(xxy
例3、求函数的值域
⑴、1216xy ⑵、1762)21(xxy ⑶、)8(log25xy
例4、已知函数)(322Znxynn的图象与两坐标轴均无交点，且其图象关于y轴对称。
⑴、求出n的值； ⑵、画出函数图象的示意图。
3
课后作业
班级：高一（ ）班 姓名__________
一、基础题
1、化简：⑴、65212121132)(bababa ⑵、4223baabba
2、计算：⑴、1412121)32(10)427()23(10)3001(
⑵、)21)(21)(21)(21)(21(214181161321
3、已知322xx，求xx44，xx88，xx)22()2(，xx33)22()2(的值。
二、提高题
4、求函数)32(425152xxxy的值域。
5、求方程)43lg()1lg(xx的解集。
4
三、能力题
6、若函数)1(log)(221axxxf。
⑴、若函数的定义域为R，求a的取值范围。
⑵、若函数的值域为R，求a的取值范围。
⑶、若函数在)31,(上是增函数，求a的取值范围。
批改时间：