中考数学专题复习 第2时 分类讨论思想
中考数学专题复习2：阅读理解题
中考数学专题复习2：阅读理解题Ⅰ、综合问题精讲：阅读理解型问题以内容丰富、构思新颖别致、题样多变为特点．知识的覆盖面较大，它可以是阅读课本原文，也可以是设计一个新的数学情境，让学生在阅读的基础上，理解其中的内容、方法和思想，然后在把握本质，理解实质的基础上作出回答．这类问题的主要题型有：阅读特殊范例，推出一般结论；阅读解题过程，总结解题思路和方法；阅读新知识，研究新问题等．这类试题要求考生能透彻理解课本中的所学内容，善于总结解题规律，并能准确阐述自己的思想和观点，考查学生对数学知识的理解水平、数学方法的运用水平及分析推理能力、数据处理能力、文字概括能力、书面表达能力、随机应变能力和知识的迁移能力等．因此，在平时的学习和复习中应透彻理解所学内容．搞清楚知识的来龙去脉，不仅要学会数学知识，更要掌握在研究知识的过程中体现出的数学思想和方法．Ⅱ、典型例题剖析【例1】（，模拟，9分）如图 2－7－1所示，正方形ABCD和正方形EFGH的边长分别为2 2 和2 ，对角线BD、FH都在直线l上，O1、O2分别是正方形的中心，线段O1O2的长叫做两个正方形的中心距．当中心O在直线l上平移时，正方形 EFH也随之平移，在平移时正方形EFGH的形状、大小没有改变．（1）计算：O1D=_______，O2 F=______；（2）当中心O2在直线 l上平移到两个正方形只有一个公共点时，中心距O1 O2 =_________.（3）随着中心 O2在直线 l上的平移，两个正方形的公共点的个数还有哪些变化？并求出相对应的中心距的值或取值范围．（不必写出计算过程）解：（1）O1D=2，O2 F=1；（2）O1 O2 =3；（2）当O1 O2＞3或0≤O1 O2＜1时，两个正方形无公共点；当O1 O2=1时，两个正方形有无数个公共点；当1＜O1 O2＜3时，两个正方形有2个公共点．点拨：本题实际上考查的知识点是“两圆的位置关系”，但形式有所变化．因此，可以再次经历探索两个圆之间的位置关系，认真分析并总结两圆五种位置关系所对应的圆心距d与半径R和r的数量关系，五种位置关系主要由两个因素确定：①公共点的个数；②一个圆上的点在另一个圆的外部还是内部，按这两个因素为线索来探究位置关系．然后，把这种利用平移实验直观探索方法迁移到研究“两个正方形的位置关系”上来．【例2】（，内江，9分）阅读材料，大数学家高斯在上学读书时曾经研究过这样一个问题：1+2+3+…+100＝？经过研究，这个问题的一般性结论是1+2+3+…+()121+=n n n ，其中ｎ是正整数。
(完整word版)初中数学分类讨论问题专题
中考数学专题复习——分类讨论问题一、教学目标使学生养成分类讨论思想，并掌握一定的分类技巧，以及常见题型的分类方法。
形成一定的分类体系，对待问题能有更严谨、缜密的思维。
二、教学重点对常见题型分类方法的掌握；能够灵活运用一般的分类技巧。
三、教学难点对于分类的“界点”、“标准”把握不准确，容易出现重复解、漏解等现象。
四、板书设计1：分式方程无解的分类讨论问题；2：“一元二次”方程系数的分类讨论问题；3：三角形、圆等几何图形相关量求解的分类讨论问题；4：分类问题在动点问题中的应用；4.1常见平面问题中动点问题的分类讨论；4.2组合图形（二次函数、一次函数、平面图形等组合）中动点问题的分类。
1：分式方程无解的分类讨论问题例题1：（2011武汉）=+=-+-a 349332无解，求x x ax x 解：去分母，得：1.6,801a 31-a 21-31-a 21-211-a )3(4)3(3=-==∴=-=-=-=⇒-=++a a a x x ax x 或者或或由已知）（ 猜想：把“无解”改为“有增根”如何解？ 68-==a a 或例题2：（2011郴州） ==--+a 2112无解，求x a x2：“一元二次”方程系数的分类讨论问题例题3：（2010上海）已知方程01)12(22=+++x m x m 有实数根，求m 的取值范围。
（1） 当02=m 时，即m=0时，方程为一元一次方程x+1=0，有实数根x=1-（2） 当02≠m 时，方程为一元二次方程，根据有实数根的条件得：41-m ,0144)12(22≥≥+=-+=∆即m m m ，且02≠m 综（1）（2）得，41-≥m 常见病症：（很多同学会从（2）直接开始而且会忽略02≠m 的条件）总结：字母系数的取值范围是否要讨论，要看清题目的条件。
一般设置问题的方式有两种（1）前置式，即“二次方程”；（2）后置式，即“两实数根”。
这都是表明是二次方程，不需要讨论，但切不可忽视二次项系数不为零的要求，本题是根据二次项系数是否为零进行讨论的。
分类讨论问题(含问题解析)
初三数学专题复习：分类讨论问题【学习目标】1、学会运用数学的思维方式去观察、分析数学问题，体会分类讨论思想解决数学问题的方法．2、培养学生思维的逻辑性、探究性、以及归纳的条理性、完整性．【学习重点】用分类讨论思想观察、分析数学问题【学习难点】选择恰当的标准进行分类【学习过程】一、分类讨论概述：1、分类讨论问题就是将要研究的数学对象按照一定的标准划分为若干不同的情形，然后再逐类进行研究和求解的一种数学解题思想.2、分类的要求：①分类的标准统一②分类要不重不漏.二、典型例题例1.已知直角三角形两边、的长满足，则第三边长为。
例2.⊙O的半径为5㎝，弦AB∥CD，AB＝6㎝，CD＝8㎝，则AB和CD的距离是（）A. 7㎝B. 8㎝C. 7㎝或1㎝D. 1㎝例3.如图，正方形ABCD的边长是2，BE＝CE，MN＝1，线段MN的两端在CD、AD上滑动。
当DM＝时，△ABE与以D、M、N为顶点的三角形相似。
例4.如图，在直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠C＝900，BC＝16，DC＝12，AD＝21，动点P 从D 出发，沿射线DA 的方向以每秒2个单位长度的速度运动，动点Q 从点C 出发，经线段CB 上以每秒1个单位长度的速度向点B 运动，点P 、Q 分别从D 、C 同时出发，当点Q 运动到点B 时，点P 随之停止运动。
设运动时间为秒。
⑴设△BPQ 的面积为S ，求S 与之间的函数关系式。
⑵当为何值时，以B 、P 、Q 三点为顶点的三角形是等腰三角形？二、当堂达标1．如图，点A 的坐标是(2,2)，若点P 在x 轴上，且△APO 是等腰三角形，则点P 的坐标不可能是( )A ．(4,0)B ．(1,0)C ．(－2 2，0)D ．(2,0)2．若函数y ＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋2(x ≤2)，2x (x ＞2)，则当函数值y ＝8时，自变量x 的值是( )A ．± 6B ．4C ．±6或4D ．4或－ 63．如图，在平面直角坐标系xOy 中，分别平行x 、y 轴的两直线a 、b 相交于点A (3,4)，连接OA ，若在直线a 上存在点P ，使△AOP 是等腰三角形，那么所有满足条件的点P 的坐标是( )A ．(8,4)B ．(8,4)或(－3,4)C ．(8,4)或(－3,4)或(－2,4)D ．(8,4)或(－3,4)或(－2,4)或⎝⎛⎭⎫－76，44．矩形一个内角的平分线分矩形一边长为1 cm 和3 cm 两部分，则这个矩形的面积为多少cm 2？( )A ．4B ．12C ．4或12D ．6或85．若正比例函数y ＝2kx 与反比例函数y ＝kx(k ≠0)的图象交于点A (m,1)，则k 的值是( )A ．－2或 2B ．－22或22 C.22D. 26．一个等腰三角形的一个外角等于110°，则这个三角形的三个角应该为______________． 7．如图所示，在梯形ABCD 中，AD ∥BC ，∠ABC ＝90°，AD ＝AB ＝6，BC ＝14，点M 是线段BC上一定点，且MC＝8.动点P从C点出发沿C→D→A→B的路线运动，运动到点B停止．在点P的运动过程中，使△PMC为等腰三角形的点P有________个．8．在△ABC中，AB＝AC＝12 cm，BC＝6 cm，D为BC的中点，动点P从B点出发，以每秒1 cm的速度沿B→A→C的方向运动，设运动的时间为t秒，过D、P两点的直线将△ABC 的周长分成两个部分，使其中一部分是另一部分的2倍，那么t的值为________．9．已知正方形ABCD中，点E在边DC上，DE＝2，EC＝1，如图所示．把线段AE绕点A旋转，使点E落在直线BC上的点F处，则F、C两点的距离为_______．10．如图，点A、B在直线MN上，AB＝11 cm，⊙A、⊙B的半径均为1 cm，⊙A以每秒2 cm的速度自左向右运动，与此同时，⊙B的半径也不断增大，其半径r(cm)与时间t(秒)之间的关系式为r＝1＋t(t≥0)，当点A出发后________秒两圆相切．11．(2010·柳州)如图，AB是⊙O的直径，弦BC＝2 cm，F是弦BC的中点，∠ABC＝60°.若动点E以2 cm/s的速度从A点出发沿着A→B→A方向运动，设运动时间为t(s)(0≤t<3)，连接EF，当t值为多少时，△BEF是直角三角形．12．(2011·南通)已知A(1,0)，B(0，－1)，C(－1,2)，D(2，－1)，E(4,2)五个点，抛物线y＝a(x－1)2＋k(a＞0)，经过其中三个点．(1)求证：C、E两点不可能同时在抛物线y＝a (x－1)2＋k(a＞0)上；(2)点A在抛物线y＝a (x－1)2＋k(a＞0)上吗？为什么？(3)求a和k的值．13、如图，在矩形ABCD中，AB=3，BC=2，点A的坐标为(1，0)，以CD为直径，在矩形ABCD 内作半圆，点M为圆心．设过A、B两点抛物线的解析式为y=ax2+bx+c，顶点为点N．(1)求过A、C两点直线的解析式；(2)当点N在半圆M内时，求a的取值范围；(3)过点A作⊙M的切线交BC于点F，E为切点，当以点A、F,B为顶点的三角形与以C、N、M 为顶点的三角形相似时，求点N的坐标．中考数学专题复习分类讨论问题参考答案一、例题参考答案【例题1】解：由已知易得⑴若是三角形两条直角边的长，则第三边长为。
第2讲 分类讨论、转化与化归思想
由于 2x＞0，所以 2a－1＝－1 无解． ②若 a＞1，则 f(a)＝－log2(a＋1)＝－3， 解得 a＋1＝8，a＝7， 所以 f(6－a)＝f(－1)＝2－1－1－2＝－74. 综上所述，f(6－a)＝－74. 答案：(1)－63 (2)A
应用 2 由图形位置或形状引起的分类讨论 【例 2】 (1)(2017·全国卷Ⅰ)设 A，B 是椭圆 C：x32＋ my2＝1 长轴的两个端点．若 C 上存在点 M 满足∠AMB＝ 120°，则 m 的取值范围是( ) A．(0，1]∪[9，＋∞) B．(0， 3 ]∪[9，＋∞) C．(0，1]∪[4，＋∞) D．(0， 3 ]∪[4，＋∞)
[变式训练] 已知函数 f(x)＝mx2－x＋ln x．若在函 数 f(x)的定义域内存在区间 D，使得该函数在区间 D 上为 减函数，则实数 m 的取值范围为________．
解析：f′(x)＝2mx－1＋1x＝2mx2－x x＋1， 即 2mx2－x＋1＜0 在(0，＋∞)上有解． 当 m≤0 时显然成立； 当 m＞0 时，由于函数 y＝2mx2－x＋1 的图象的对称 轴 x＝41m＞0，故需且只需 Δ＞0，即 1－8m＞0，故 m＜18.
当 n≥2 时，an＝Sn－Sn－1＝2an＋1－(2an－1＋1)， 所以 an＝2an－1(n≥2)． 因此数列{an}是以－1 为首项，以 2 为公比的等比数 列． 则 an＝－2n－1，a6＝－25＝－32. 所以 S6＝2a6＋1＝2×(－32)＋1＝－63. (2)①若 a≤1，则 f(a)＝2a－1－2＝－3， 整理得 2a－1＝－1.
第2讲 分类讨论、转化与化归思想
第2讲 分类讨论、转化与化归思想
应用 1 正与反、常量与变量的转化 【例 1】 (1)设 y＝(log2x)2＋(t－2)log2x－t＋1，若 t 在[－2，2]上变化时，y 恒取正值，则 x 的取值范围是 ________________． (2)若对于任意 t∈[1，2]，函数 g(x)＝x3＋m2 ＋2x2 －2x 在区间(t，3)上总不为单调函数，则实数 m 的取值范 围是________________． 解析：(1)设 y＝f(t)＝(log2x－1)t＋(log2x)2－2log2x＋1， 则 f(t)是一次函数，当 t∈[－2，2]时，f(t)＞0 恒成立，
中考数学第二轮复习资料—专题复习(共50页,大量对应练习)
中考数学第二轮复习资料—专题复习（一）、初中阶段主要的数学思想1.数形结合的思想把问题中的数量关系与形象直观的几何图形有机的结合起来，并充分利用这种结合寻找解题的思路，使问题得到解决的思想方法，在分析问题的过程中，注意把数和形结合起来考察，根据问题的具体情形，把图形性质的问题转化为数量关系的问题，或者把数量关系的问题转化为图形性质的问题，使复杂问题简单化，抽象问题具体化，化难为易，获取简便易行的方法。
涉及实数与数轴上点的对应关系，公式、定理的几何背景问题，函数与方程的对应关系等。
一：【要点梳理】1.数形结合思想方法是初中数学中一种重要的思想方法.数是形的抽象概括,形是数的直观表现,用数形结合的思想解题可分两类:一是利用几何图形的直观表示数的问题,它常借用数轴、函数图象等;二是运用数量关系来研究几何图形问题,常需要建立方程(组)或建立函数关系式等2.热点内容(1).利用数轴解不等式(组)(2).研究函数图象隐含的信息,判断函数解析式的系数之间的关系,确定函数解析式和解决与函数性质有关的问题.(3).研究与几何图形有关的数据,判断几何图形的形状、位置等问题.(4).运用几何图形的性质、图形的面积等关系,进行有关计算或构件方程(组),求得有关结论等问题.二：【例题与练习】1.选择：（1）某村办工厂今年前5个月生产某种产品的总量c（件）关于时间t（月）的图象如图所示，则该厂对这种产品来说（）A.1月至3月每月生产总量逐月增加，4、5两月生产总量逐月减少B.1月至3月每月生产总量逐月增加，4、5两月生产总量与3月持平C.1月至3月每月生产总量逐月增加，4、5两月均停止生产D.1月至3月每月生产总量不变，4、5两月均停止生产（2）某人从A 地向B 地打长途电话6分钟，按通话时间收费，3分钟以内收费2．4元每加 1分钟加收 1元，则表示电话费y （元）与通话时间(分）之间的关系的图象如图所示，正确的是（ ）（3）丽水到杭州的班车首法时间为早上6时,末班车为傍晚18时,每隔2小时有一班车发出,且丽水到杭州需要4个小时.图中相遇的次数最多为( )A.4次B.5次C.6次.D.7次 2.填空：（1）已知关于X 的不等式2x-a>-3的解集如图所示,则a 的值等于 （2）如果不等式组8 4x-1x mx ⎧+⎪⎨⎪⎩的解集为x>3,则m 的取值范围是3.考虑2xy =的图象,当x=－2时,y= ；当x<-2时,y 的取值范围是 。
中考二轮专题复习：第2课时 分类讨论
第二轮复习二 分类讨论Ⅰ、专题精讲：在数学中，我们常常需要根据研究对象性质的差异，分各种不同情况予以考查．这种分类思考的方法是一种重要的数学思想方法，同时也是一种解题策略．分类是按照数学对象的相同点和差异点，将数学对象区分为不同种类的思想方法，掌握分类的方法，领会其实质，对于加深基础知识的理解．提高分析问题、解决问题的能力是十分重要的．正确的分类必须是周全的，既不重复、也不遗漏．分类的原则：（1）分类中的每一部分是相互独立的；（2）一次分类按一个标准；（3）分类讨论应逐级进行． Ⅱ、典型例题剖析【例1】如图3－2－1，一次函数与反比例函数的图象分别是直线AB 和双曲线．直线AB 与双曲线的一个交点为点C ，CD ⊥x 轴于点D ，OD ＝2OB ＝4OA ＝4．求一次函数和反比例函数的解析式．解：由已知OD ＝2OB ＝4OA ＝4，得A （0，－1），B （－2，0），D （－4，0）．设一次函数解析式为y ＝kx ＋b ．点A ，B 在一次函数图象上，∴⎩⎨⎧=+--=,02,1b k b 即⎪⎩⎪⎨⎧-=-=.1,21b k 则一次函数解析式是 .121--=x y点C 在一次函数图象上，当4-=x 时，1=y ，即C （－4，1）． 设反比例函数解析式为m y x=． 点C 在反比例函数图象上，则41-=m ，m ＝－4． 故反比例函数解析式是：xy 4-=． 点拨：解决本题的关键是确定A 、B 、C 、D 的坐标。
【例2】如图3－2－2所示，如图，在平面直角坐标系中，点O 1的坐标为（－4，0），以点O 1为圆心，8为半径的圆与x 轴交于A 、B 两点，过点A 作直线l 与x 轴负方向相交成60°角。
以点O 2（13，5）为圆心的圆与x 轴相切于点D.（1）求直线l 的解析式；（2）将⊙O 2以每秒1个单位的速度沿x 轴向左平移，同时直线l 沿x 轴向右平移，当⊙O 2第一次与⊙O 2相切时，直线l 也恰好与⊙O 2第一次相切，求直线l 平移的速度；（3）将⊙O2沿x 轴向右平移，在平移的过程中与x轴相切于点E ，EG 为⊙O 2的直径，过点A 作⊙O 2的切线，切⊙O 2于另一点F ，连结A O 2、FG ，那么FG ·A O 2的值是否会发生变化？如果不变，说明理由并求其值；如果变化，求其变化范围。
专题二-分类讨论思想训练
方法技巧专题二分类讨论思想训练当数学问题中的某一条件模糊而不确定时，需要对这一条件进行分类讨论，然后逐一解决．常见的分类讨论有概念的分类、解题方法的分类和图形位置关系的分类等．一、选择题1．⊙O中，点A，B，C在⊙O上，∠AOB＝100°，点C不与A、B重合，则∠ACB的度数为()A．50°B．80°或50°C．130°D．50°或130°2．[2016·荆门]已知3是关于x的方程x2－(m＋1)x＋2m＝0的一个实数根，并且这个方程的两个实数根恰好是等腰三角形ABC的两条边长，则△ABC的周长为() A．7B．10C．11D．10或113．[2017·聊城]如图F2－1是由8个全等的矩形组成的大正方形，线段AB的端点都在小矩形的顶点上，如果点P是某个小矩形的顶点，连结PA，PB，那么使△ABP为等腰直角三角形的点P的个数是()A．2个B．3个C．4个D．5个二、填空题4．[2017·西宁]若点A(m，n)在直线y＝kx(k≠0)上，当－1≤m≤1时，－1≤n≤1，则这条直线的函数解析式为________．5．[2016·西宁]⊙O的半径为1，弦AB＝2，弦AC＝3，则∠BAC的度数为________．6．在Rt△ABC中，∠A＝90°，有一个锐角为60°，BC＝6.若点P在直线AC上(不与点A，C重合)，且∠ABP＝30°，则CP的长为________．7．[2016·江西]如图F2－2是一张长方形纸片ABCD，已知AB＝8，AD＝7，E为AB上一点，AE＝5，现要剪下一张等腰三角形纸片(△AEP)，使点P落在长方形ABCD的某一条边上，则等腰三角形AEP的底边长是________．图F2－28．[2017·齐齐哈尔]如图F2－3，在等腰三角形纸片ABC中，AB＝AC＝10，BC＝12，沿底边BC上的高AD剪成两个三角形，用这两个三角形拼成平行四边形，则这个平行四边形较长的对角线的长是________．图F2－39．[2016·鄂州]如图F2－4，AB＝6，O是AB的中点，直线l经过点O，∠1＝120°，P是直线l上一点．当△APB为直角三角形时，AP＝________．图F2－410．[2016·荆门]如图F2－5，已知点A(1，2)是反比例函数y＝kx图象上的一点，连结AO并延长交双曲线的另一分支于点B，点P是x轴上一动点，若△PAB是等腰三角形，则点P的坐标是________图F2－511．[2017·义乌]如图F2－6，∠AOB＝45°，点M，N在边OA上，OM＝x，ON＝x＋4，点P是边OB上的点，若使P，M，N构成等腰三角形的点P恰好有三个，则x的值是________．图F2－6。
2013中考数学专题复习：分类讨论 课件
AD=21。动点P从点D出发，沿射线DA的方向以每秒2个单位 长的速度运动，动点Q从点C出发，在线段CB上以每秒1个单 位长的速度向点B运动，点P，Q分别从点D，C同时出发，当 点Q运动到点B时，点P随之停止运动。设运动的时间为（秒）。 （1）设△BPQ的面积为S，求S与t之间的函数关系式； （2）当线段PQ与线段AB相交于点O，且BO=2AO时，求 B Q P 的正切值； （3）当t为何值时，以B、P、Q三点为顶点的三角形是等 腰三角形？ (4)是否存在时刻t，使得PQ⊥BD？若存 在，求出 t的值；若不存在，请说明理由。
OBQ
Ｐ
Ａ Ｏ
图１ Ｅ
Ｄ
AP 2 t 21， BQ 16 t 2 ( 2 t 21 ) 16 t , t 58 5
Ｂ Ｑ 图２
Ｃ
过点 Q 作 QE AD ，垂足为 E ， PD 2 t , ED QC t , PE t , 在 Rt PEQ 中，tan QPE tan BQP 30 29 QE PE 12 t 30 29 , BQP QPE ,
2
2
③ 若 PB PQ ，由 PB
整理得： 3 t
2
PQ 得： t
2
2
12 16 3
2
(16 2 t ) 12 ,
2 2
64 t 256 0 , 解得， t 1 当t 7 2
, t 2 16 ( 不符合题意，舍去） 16 3 秒时，以 B 、 P 、 Q 三点为顶点的
1 3
3
3
当a=0时,为一次函数y=3x+1,交点为（1 3
中考数学专题复习一分类讨论思想PPT课件
AC
∴AD=AC×sin 45°， 在Rt△ABD中，∠B=30°，
∴AB=2AD=2AC×sin 45°=750 2 m．
答案：750 2 m
【知识归纳】解直角三角形实际应用的两点技能 1.转化：利用直角三角形或构造直角三角形解决实际问题，一 般先把实际问题转化为数学问题，若题目中无直角三角形，需 要添加辅助线(如作三角形的高等)构造直角三角形，再利用解 直角三角形的知识求解. 2.前提：解直角三角形时结合图形分清图形中哪个三角形是直 角三角形，哪条边是角的对边、斜边、邻边，此外正确理解俯 角、仰角、坡度、坡角等名词术语是解答此类题目的前提条件.
5.一次函数:已知一次函数与坐标轴围成的三角形的面积,求k 的值,常分直线交于坐标轴正半轴和负半轴讨论;确定反比例函 数与一次函数交点个数,常分一、三象限或二、四象限两种情 况讨论. 6.圆:圆的一条弦(直径除外)对两条弧,常分优弧和劣弧两种情 况讨论;求圆中两条平行弦的距离,常分两弦在圆心的同旁和两 旁两种情况讨论;圆与圆的相切,此时要考虑分外切和内切两种 情况讨论.
4.在几何中的应用:对于几何问题,我们常通过图形,找出边、 角的数量关系,通过边、角的数量关系,得出图形的性质等.
【例2】(2013·兰州中考)已知反比例函数y1= k 的图象与
x
一次函数y2=ax+b的图象交于点A(1，4)和点B(m，－2)． (1)求这两个函数的解析式. (2)视察图象，当x>0时，直接 写出y1>y2时自变量x的取值范围. (3)如果点C与点A关于x轴对称， 求△ABC的面积．
5.(2013·十堰中考)如图,在小山的东侧A点有一个热气球,由
专题2 分类讨论思想
专题2分类讨论思想一、选择题1．等腰三角形有一个角的度数为50°，那么它的底角的度数为( )A．50°B．65C．80°D．50°或65°2．已知⊙O的半径为10，圆心O到弦AB的距离为5，则弦AB所对的圆周角的度数是( )A．30°B．60°C．30°或150°D．60°或120°3．若直角三角形的两边长分别为3 cm和4 cm，则第三边长为( )A．5 cm B．7 cmC．5 cm或7 cm D．5 cm或7 cm4．(2019·达州)如图，边长都为4的正方形ABCD 和正三角形EFG如图放置，AB与EF在一条直线上，点A与点F重合．现将△EFG沿AB方向以每秒1个单位的速度匀速运动，当点F与B重合时停止．在这个运动过程中，正方形ABCD和△EFG重叠部分的面积S与运动时间t的函数图象大致是( C )5．当－2≤x≤1时，二次函数y＝－(x－m)2＋m2＋1有最大值4，则实数m的值为( )A．－74B． 3 或－ 3C．2或－ 3 D．2或 3 或－7 4二、填空题6．在△ABC中，AB＝6，AC＝5，点D在边AB 上，且AD＝2，点E在边AC上，当AE＝____时，以A，D，E为顶点的三角形与△ABC相似．7．某超市推出如下优惠方案：(1)一次性购物不超过100元不享受优惠；(2)一次性购物超过100元但不超过300元一律9折；(3)一次性购物超过300元一律8折．小李两次购物分别付款80元，252元，如果他一次性购买以上两次相同的商品，应付款___元．8．如图，直线y＝－34x－3交x轴于点A，交y轴于点B，点P是x轴上一动点，以点P为圆心，以1个单位长度为半径作⊙P，当⊙P与直线AB相切时，点P的坐标是____．三、解答题9．如果四个整数中的三个数分别是2，4，6，且它们的中位数也是整数，求它们的中位数．10．我国是世界上严重缺水的国家之一．为了增强居民节水意识，某市自来水公司对居民用水采用以户为单位分段计费办法收费．即一月用水10吨以内(包括10吨)的用户，每吨收水费a元；一月用水超过10吨的用户，10吨水仍按每吨a元收费，超过10吨的部分，按每吨b元(b＞a)收费．设一户居民月用水x 吨，应收水费y元，y与x之间的函数关系如图所示．(1)求a的值，某户居民上月用水8吨，应收水费多少元；(2)求b的值，并写出当x＞10时，y与x之间的函数关系式；(3)已知居民甲上月比居民乙多用水4吨，两家共收水费46元，求他们上月分别用水多少吨？11．如图，公交车行驶在笔直的公路上，这条路上有A，B，C，D四个站点，每相邻两站之间的距离为5千米，从A站开往D站的车称为上行车，从D站开往A站的车称为下行车，第一班上行车、下行车分别从A站、D站同时发车，相向而行，且以后上行车、下行车每隔10分钟分别在A，D站同时发一班车，乘客只能到站点上、下车(上、下车的时间忽略不计)，上行车、下行车的速度均为30千米/小时．(1)问第一班上行车到B站、第一班下行车到C站分别用时多少？(2)若第一班上行车行驶时间为t小时，第一班上行车与第一班下行车之间的距离为s千米，求s与t 的函数关系式；(3)一乘客前往A站办事，他在B，C两站间的P处(不含B，C站)，刚好遇到上行车，BP＝x千米，此时，接到通知，必须在35分钟内赶到，他可选择走到B站或走到C站乘下行车前往A站．若乘客的步行速度是5千米/小时，求x满足的条件．专题2分类讨论思想一、选择题1．等腰三角形有一个角的度数为50°，那么它的底角的度数为( D )A．50°B．65C．80°D．50°或65°2．已知⊙O的半径为10，圆心O到弦AB的距离为5，则弦AB所对的圆周角的度数是( D)A．30°B．60°C．30°或150°D．60°或120°3．若直角三角形的两边长分别为3 cm和4 cm，则第三边长为( C )A．5 cm B．7 cmC．5 cm或7 cm D．5 cm或7 cm4．(2019·达州)如图，边长都为4的正方形ABCD 和正三角形EFG如图放置，AB与EF在一条直线上，点A与点F重合．现将△EFG沿AB方向以每秒1个单位的速度匀速运动，当点F与B重合时停止．在这个运动过程中，正方形ABCD和△EFG重叠部分的面积S与运动时间t的函数图象大致是( C )5．当－2≤x≤1时，二次函数y＝－(x－m)2＋m2＋1有最大值4，则实数m的值为( C )A ．－74B ． 3 或－ 3C ．2或－ 3D ．2或 3 或－74解析：当m ＜－2，x ＝－2时，y最大＝－(－2－m )2＋m 2＋1＝4，解得m ＝－74(舍)，当－2≤m ≤1，x ＝m 时，y 最大＝m 2＋1＝4，解得m ＝－ 3 ；当m ＞1，x ＝1时，y 最大＝－(1－m )2＋m 2＋1＝4，解得m ＝2，综上所述：m 的值为－ 3 或2，二、填空题6．在△ABC 中，AB ＝6，AC ＝5，点D 在边AB上，且AD ＝2，点E 在边AC 上，当AE ＝__125 或53__时，以A ，D ，E 为顶点的三角形与△ABC 相似．7．某超市推出如下优惠方案：(1)一次性购物不超过100元不享受优惠；(2)一次性购物超过100元但不超过300元一律9折；(3)一次性购物超过300元一律8折．小李两次购物分别付款80元，252元，如果他一次性购买以上两次相同的商品，应付款__316或288__元．8．如图，直线y＝－34x－3交x轴于点A，交y轴于点B，点P是x轴上一动点，以点P为圆心，以1个单位长度为半径作⊙P，当⊙P与直线AB相切时，点P的坐标是__(－73，0)或(－173，0)__．解析：A(－4，0)，B(0.－3)，∴OA＝4，OB＝3，∴AB＝5，设⊙P与直线AB相切于D，连接PD，则PD⊥AB，PD＝1，可证△APD∽△ABO，∴PDOB＝APAB，∴13＝AP5，∴AP＝53，∴OP＝73或OP＝173，∴P(－73，0)或P(－173，0).三、解答题9．如果四个整数中的三个数分别是2，4，6，且它们的中位数也是整数，求它们的中位数．解：设第四个数为x，所以对x进行分类讨论：当x≤2时，这组数据按从小到大的顺序排列后为x，2，4，6，这时它的中位数为2＋42＝3；当2＜x＜4时，这组数据按从小到大的顺序排列后为2，x，4，6，这时它的中位数为x＋42且为整数，所以x不存在；当4≤x＜6时，这组数据按从小到大的顺序排列后为2，4，x，6，这时它的中位数为x＋42，当x＝4时，符合题意；当x≥6时，这组数据按从小到大的顺序排列后为2，4，6，x，这时它的中位数为4＋62＝5；综上所述，所求的中位数为3或4或5.10．我国是世界上严重缺水的国家之一．为了增强居民节水意识，某市自来水公司对居民用水采用以户为单位分段计费办法收费．即一月用水10吨以内(包括10吨)的用户，每吨收水费a元；一月用水超过10吨的用户，10吨水仍按每吨a元收费，超过10吨的部分，按每吨b元(b＞a)收费．设一户居民月用水x 吨，应收水费y元，y与x之间的函数关系如图所示．(1)求a的值，某户居民上月用水8吨，应收水费多少元；(2)求b的值，并写出当x＞10时，y与x之间的函数关系式；(3)已知居民甲上月比居民乙多用水4吨，两家共收水费46元，求他们上月分别用水多少吨？解：(1)a ＝15÷10＝1.5.用8吨水应收水费8×1.5＝12(元).(2)当x ＞10时，y ＝2x －5，b ＝2；(3)∵假设甲乙用水量均不超过10吨，水费不超过30元，不符合题意；假设乙用水10吨，则甲用水14吨，∴水费是：1.5×10＋1.5×10＋2×4＜46，不符合题意；∴甲、乙两家上月用水均超过10吨．设甲、乙两家上月用水分别为x 吨，y 吨，则甲用水的水费是(2x －5)元，乙用水的水费是(2y －5)元，则⎩⎨⎧y ＝x －4，2y －5＋2x －5＝46， 解得：⎩⎨⎧x ＝16，y ＝12，故居民甲上月用水16吨，居民乙上月用水12吨．11．如图，公交车行驶在笔直的公路上，这条路上有A ，B ，C ，D 四个站点，每相邻两站之间的距离为5千米，从A 站开往D 站的车称为上行车，从D 站开往A 站的车称为下行车，第一班上行车、下行车分别从A 站、D 站同时发车，相向而行，且以后上行车、下行车每隔10分钟分别在A，D站同时发一班车，乘客只能到站点上、下车(上、下车的时间忽略不计)，上行车、下行车的速度均为30千米/小时．(1)问第一班上行车到B站、第一班下行车到C站分别用时多少？(2)若第一班上行车行驶时间为t小时，第一班上行车与第一班下行车之间的距离为s千米，求s与t 的函数关系式；(3)一乘客前往A站办事，他在B，C两站间的P 处(不含B，C站)，刚好遇到上行车，BP＝x千米，此时，接到通知，必须在35分钟内赶到，他可选择走到B站或走到C站乘下行车前往A站．若乘客的步行速度是5千米/小时，求x满足的条件．解：(1)第一班上行车到B站用时530＝16小时，第一班下行车到C站用时530＝16小时；(2)当0≤t≤14时，s＝15－60t，当14＜t≤12时，s＝60t－15；(3)由(2)可知同时出发的一对上、下行车的位置关于BC中点对称，设乘客到达A站总时间为t分钟，①当x ＝2.5时，往B 站用时30分钟，还需要再等下行车5分钟，t ＝30＋5＋10＝45，不合题意；②当x ＜2.5时，只能往B 站乘下行车，他离B 站x 千米，则离他右边最近的下行车离C 站也是x 千米，这辆下行车离B 站(5－x )千米，如果能乘上右侧的第一辆下行车，则x 5 ≤5－x 30 ，解得：x ≤57，∴0＜x ≤57 ，∵1847 ≤t ＜20，∴0＜x ≤57符合题意；如果乘不上右侧第一辆下行车，只能乘右侧第二辆下行车，x ＞57 ，x 5 ≤10－x 30 ，解得：x ≤107 ，∴57 ＜x ≤107，2217 ≤t ＜2847 ，∴57 ＜x ≤107符合题意；如果乘不上右侧第二辆下行车，只能乘右侧第三辆下行车，x ＞107 ，x 5 ≤15－x 30 ，解得：x ≤157 ，∴107 ＜x ≤157，3557≤t ＜3717 ，不合题意，∴综上，得0＜x ≤107 ； ③当x ＞2.5时，乘客需往C 站乘坐下行车．离他左边最近的下行车离B 站是(5－x )千米，离他右边最近的下行车离C 站也是(5－x )千米．如果乘上右侧第一辆下行车，则5－x 5 ≤5－x 30，解得：x ≥5，不合题意．∴x ≥5，不合题意．如果乘不上右侧第一辆下行车，只能乘右侧第二辆下行车，x ＜5，5－x 5 ≤10－x 30，解得x ≥4，∴4≤x ＜5，30＜t ≤32，∴4≤x ＜5符合题意．如果乘不上右侧第二辆下行车，只能乘右侧第三辆下行车，x ＜4，5－x 5 ≤15－x 30，解得x ≥3，∴3≤x ＜4，42＜t ≤44，∴3≤x ＜4不合题意．综上，得4≤x ＜5.综上所述，0＜x ≤107 或4≤x ＜5.。
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∵∠2＋∠3＝90°，∴∠1＝∠3. 又∵∠D＝∠NEF＝90°， ∴△MDF∽△FEN. DM EF x 4－x ∴ ＝ ， ＝ . DF EN 2 4 4 ∴x＝ . 3 情况②：当∠4＋∠5＝90°时，∠FMN＝90°. ∵∠4＋∠1＝90°，∴∠1＝∠5. 又∵∠D＝∠A＝90°，∴△MDF∽△NAM. DM AN x 6－x 2 ∴ ＝ ， ＝ ，x －6x＋12＝0. DF AM 2 4－x ∵＝36－4×1×12＜0， ∴原方程无解，∠FMN 不能是直角.
C
) B．150° D．60°或120°
5．某超市推出如下优惠方案：(1)一次性购物不超 过100元不享受优惠；(2)一次性购物超过100元，但不超 过300元，一律9折；(3)一次性购物超过300元一律8 折．小王两次购物分别付款80元、252元．如果小王一次 性购买与上两次相同的商品．则应付款( A．288元 C．288元或316元 B．332元 D．332元或316元
C )
二、填空题 6．若a2＋ma＋9是完全平方式．则m＝______. ±6 7．抛物线y＝x2－(a＋2)x＋9的顶点在坐标轴上．则a ＝______________. －2或4或－8 8．一组数据5、x、7、7的中位数与平均数相等．则x 的值为________． 5或9 9．等腰三角形的一条腰上的高等于该三角形某一条边 的长度的一半，则其顶角的度数为_________________． 30°或120°或150° 10．满足等式(n－1)n＋2＝1的整数n有____个，分别是 3 _____________． 0或2或－2
15．已知⊙O中，半径r＝5 cm. AB、CD是两条平行 弦，且AB＝8 cm、CD＝6 cm.则AC的长为________． 解析：(注意：本题符合条件的图形有多种情 况)．由题意知有四种情形：
如图①、②，∵O 到 AB 的距离 OE＝ 82 5 －( ) ＝3 2
2
O 到 CD 的距离 OF＝
考查几何图形位置或形状的不确定而 进行分类思想 (2010广东)如图1、图2所示，矩形ABCD的边 长AB＝6，BC＝4，点F在DC上，DF＝2.动点M、N分别从点 D、B同时出发，沿射线DA、线段BA向点A的方向运动(点M 可运动到DA的延长线上)，当动点N运动到点A时，M、N两 点同时停止运动．连接FM、MN、FN，当F、N、M不在同 一直线时，可得△FMN，过△FMN三边的中点作△PQW.设 动点M、N的速度都是1个单位/秒，M、N运动的时间为x 秒．试解答下列问题：
2．若直线：y＝4x＋b不经过第二象限，那么b的取值 范围为( B ) A．b＞0 B．b≤0 C．b＝0 D．b＜0
3．如右图，数轴上有一点P，AP＝3.则点P所对应 的数是(
D )
A．2 C．3
B．－4 D．2或－4
4．在⊙O中，弦AB的长等于⊙O的半径．则弦AB所 对的圆周角为( A．30° C．30°或150°
1．已知直角三角形的两边分别为4和5，则第三边的 长为________． 2．等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为30°， 则顶角为________度． 3．一个点到圆的最小距离为4 cm，最大距离为9 cm， 则此圆的半径为________cm.
1．3 或 41 3．2.5 或 6.5 2.60 或 120
第2时 分类讨论思想
一棵草的春天 yyk0328@
第2课时 分类讨论思想
知 识 归 纳
考 点 例 析
基 础 训 练
能 力 训 练
在一些量的不确定或图形位置，形状不确定，引起问 题结果有多种可能，就需要对各种情况 进行分类解决．近几年分类讨论思想在压轴题较常 见．要注意分类的标准，做到不重复、不遗漏．
20 ∴当 x＝ ＝5 时，MN2 最小， 2×2 即 MN 最小.
2 2
∴MN ＝2×5 －20×5＋52＝2，MN＝ 2.
点评：解决图形运动的问题，由于运动过程中 图形的位置或形状不确定，常会用到分类思想.
一、选择题 1．等腰三角形的一个角的度数为40°，那么此三角形 的另两个角的度数为( D ) A．40°，40° C．70°，70° B．40°，100° D．40°，100°或70°，70°
考查数学概念、性质的分类讨论思想方法 若等腰三角形的两条中位线长分别为3和4， 则它的周长为________． 解析：由于等腰三角形的边分为底边和腰长，两条 中位线没有明确位置，因此要分类．当两腰上的中位线长 为3时，周长＝2×3＋2×2×4＝22；当两腰上的中位线长 为4时，周长＝2×4＋2×2×3＝20. 答案：20或22 点评：涉及等腰三角形或直角三角形的边时，要注 意解题时是否要分类．
情况③：当 M、A 重合时，x＝4，此时， BN＝FC＝4，∠FNA 是直角. 4 综上所述，当 x＝4 或 x＝ 时，△PQW 为直角三角 3 4 形；当 x≠4、 时，△PQW 不是直角三角形． 3 (3)当 0≤x≤4 时，显然 MN 逐渐缩短，故只考虑 4≤x≤6，即图 2 的情形． ∵MA＝x－4，AN＝6－x， ∴MN2＝(x－4)2＋(6－x)2 ＝2x2－20x＋52.
解析：(注意△PAD 与△PBC 相似， △PAD∽△PBC 的区别和联系) ∵∠A＝∠B＝90°， ∴∠A 与∠B 是这两个三角形相似的对应角． (1)当△PAD∽△PBC 时，设 AP＝x， x 2 14 则 ＝ .解得 x＝ . 5 7－x 3 x 2 (2)当△PAD∽△CBP 时，则 ＝ .解得 x＝1 或 6. 3 7－x 14 ∴AP 的长为 1 或 或 6. 5
∴三角形的三边长分别为 11、8、8 或 7、10、10.
13．如图，已知∠AOB，画射线 OC⊥OA，射线OD⊥OB.若∠AOB＝ 40°.求∠COD的度数． 解析：有三种符合条件的图形．如下图：
①∠COD＝140° ③∠COD＝40°
②∠COD＝140°
∴∠COD的度数为140°或40°.
14．如图，在直角梯形ABCD中，∠B＝90°、 AB＝7、BC＝3、AD＝2，点P为AB边上的一点，若 △PAD与△PBC相似．求AP的长．
(1)说明△FMN∽△PQW为直角三角形？当x在何范围时，△PQW不为 直角三角形？ (3)问当x为何值时，线段MN最短？求此时MN的值．
(1)解析：如图1，∵P、Q、W分别为△MNF三边的中 点，
PW PQ WQ 1 ∴ ＝ ＝ ＝ ， MN FN FM 2
12．已知等腰△ABC中，腰AC上 的中线BD把三角形的周长分为12和15两 部分．求这个三角形的各边长．
解析：设底 BC＝x，腰 AC＝2y，分两种情况． 2y＋y＝12 2y＋y＝15 得： 或 x＋y＝15 x＋y＝12
x＝11 x＝7 解得： 或 y＝4 y＝5
62 5 －( ) ＝4. 2
2
∴EF＝3＋4＝7 或 EF＝4－3＝1. ∴AC＝ 或 AC＝ 8－6 2 7 ＋( ) ＝5 2 2
2
8－6 2 1 ＋( ) ＝ 2. 2
2
如图③、④，同理可得 AC＝7 2或 5 2. 故满足条件的 AC 的长为 2或 5 2或 7 2.